Ćwiczenie M-9
Wahadło rewersyjne
1. Wstęp teoretyczny
1.1. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
I zasada:
Jeżeli wypadkowy moment siły względem wybranej osi obrotu jest równy zeru, to bryła pozostaje w
spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową wokół tej osi.
Podczas obrotu bryły sztywnej działający moment siły wykonuje pewną pracę. Iloraz pracy do czasu,
w którym ta praca została wykonana informuje o szybkości zmian energii kinetycznej następującej w
układzie. Moc w ruchu obrotowym obliczamy jako iloczyn momentu siły oraz szybkości kątowej:
(1)
II zasada:
Jeżeli wypadkowy moment sił działających na bryłę jest różny od zera, to bryła porusza się zmiennym
ruchem obrotowym z przyspieszeniem kÄ…towym wprost proporcjonalnym do wypadkowego
momentu sił.
× × ×
(2)
×
~ 1 ~
1.2. Moment bezwładności i twierdzenie Steinera
Sumę iloczynów wszystkich mas i kwadratów odległości punktów materialnych od osi obrotu nazywa
się momentem bezwładności I ciała względem tej osi.
(3)
"
Przy obliczaniu momentów bezwładności różnych ciał bardzo przydatne okazuje się twierdzenie
Steinera:
(4)
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi równa się sumie momentu bezwładności
tego ciała względem osi przechodzącej przez środek masy ciała i równoległej do i
iloczynu masy ciała i kwadratu odległości tych osi od siebie.
Moment bezwładności ciała zależy nie tylko od samej masy ciała, ale również od jej rozkładu
względem osi obrotu.
Dla walca:
Dla kuli:
1.3. Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne jest to ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się
dookoła osi poziomej O nie przechodzącej przez środek ciężkości.
W zakresie małych amplitud ruch ten jest ruchem harmonicznym prostym i jego równanie możemy
przedstawić w postaci:
(5)
gdzie:
 moment bezwładności ciała względem osi obrotu (zawieszenia)
 kąt wychylenia z położenia równowagi
 odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości
Okres wahań wahadła fizycznego:
(6)
"
~ 2 ~
Długość zredukowana wahadła fizycznego to długość takiego wahadła matematycznego, które ma
taki sam okres wahań jak wahadło fizyczne.
(7)
" "
(8)
Ze wzoru Steinera:
(9)
 moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek masy wahadła i
równoległej do osi wahań O
(10)
StÄ…d:
2. Cel i przebieg ćwiczenia
Celem ćwiczenia M-9 jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.
Przed rozpoczęciem dokonywania pomiaru okresu drgań wahadła ustawiamy soczewki w
odpowiednich odległościach (soczewkę M1 w jak największej odległości powyżej ostrza O, natomiast
soczewkę M2 po drugiej stronie ostrza O, możliwie jak najbliżej). Następnie mierzymy czas dziesięciu
okresów drgań najpierw względem ostrza O, potem względem ostrza O . Przed rozpoczęciem
każdego kolejnego pomiaru przesuwamy soczewkę M2 o 8 cm i mierzymy czas dziesięciu okresów
względem obu ostrzy. Na papierze milimetrowym sporządzamy wykresy czasów drgań 10T i 10T w
zależności od odległości h soczewki M2 od ostrza O. Z gotowego wykresu możemy odczytać czy jakim
położeniu soczewek okresy wahań wokół obu soczewek są zbliżone. Aby ustalić dokładną odległość,
przy której T = T , przeprowadzamy pomiary przesuwając soczewkę M2 o 1 cm. Na koniec wybieramy
odległości najlepiej spełniające powyższy warunek i trzykrotnie mierzymy czas pięćdziesięciu okresów
wokół obu ostrzy.
3. Wyniki
3.1. Tabele wyników i wykres
h [cm] 10 T [s] 10 T [s]
116 29,24 23,28
124 20,21 22,45
132 19,00 22,06
~ 3 ~
140 18,42 22,40
148 18,13 21,74
156 18,51 21,64
164 18,85 21,37
172 19,56 21,71
180 19,98 21,74
188 20,64 21,45
196 21,34 22,07
204 22,07 22,21
212 22,64 22,58
220 23,10 22,81
Wykresy okresów czasów drgań 10T i 10T od odległości h
30
29
28
27
26
25
24
10 T
23
10 T'
22
21
20
19
18
17
h [cm]
Z wykresu odczytujemy przy jakim położeniu soczewek okresy wahań wokół obu ostrzy są zbliżone i
mierzymy trzykrotnie czas dziesięciu okresów w pobliżu tych punktów.
~ 4 ~
10 T [s]
108
116
124
132
140
148
156
164
172
180
188
196
204
212
220
 [cm] 10 T [s] 10 T [s] [cm] 10 T [s] 10 T [s]
117 23,50 22,92 209 22,51 22,28
118 23,63 22,81 210 22,95 22,52
119 22,95 22,65 211 23,02 22,58
Dla wybranych odległości = 119 cm i = 209 cm mierzymy trzykrotnie czas pięćdziesięciu
okresów i otrzymane wyniki zamieszczamy w tabeli.
Dla
50 T [s] 50 T [s]
114,21 114,33
114,38 114,35
114,24 114,31
Dla
50 T [s] 50 T [s]
113,37 113,67
113,32 113,65
113,39 113,60
Odległość między ostrzami l = 128,5 cm.
3.2. Opracowanie wyników
Obliczamy średnie wartości okresów dla i .

(11)
"
~ 5 ~
Dla :
(
)

(
)

Dla :
(
)

(
)

Średnia wartość okresu wynosi:
( )

Odchylenie standardowe wartości średniej liczymy ze wzoru:
(12)

"
gdzie:
(13)
" " 
( )
( )
) ( ) ( ) (
"
~ 6 ~
 
"
Wzór na przyspieszenie ziemskie uzyskujemy przekształcając wzór na okres wahadła
matematycznego.
(14)
"
(15)
"
(16)
(17)
( )
( )
( ) ( )
| | |
|
( ) ( )
Tak więc ostatecznie otrzymałam wynik ( ) .
4. Podsumowanie
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego wynosi . W wyniku doświadczenia
( )
otrzymałam wynik . Wynik różni się od wartości tablicowej. Owe różnice
spowodowane mogą być niedokładnością pomiaru okresu wahadła, jak i również różnicami między
kątami odchylenia przy poszczególnych pomiarach.
| | | | (18)
|
| | |
Równanie (18) nie jest spełnione, więc otrzymany drogą doświadczalną wynik nie jest zgodny z
wielkością tablicową.
~ 7 ~