Egzamin maturalny z matematyki
poziom rozszerzony
Czas pracy: 180 minut
Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwiąż równanie x +� 3 +� x -�1 =� x +�18 .
Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 -� mx +� m -�1 =� 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 spełniające warunek x1 -� x2 >� 2x1 �� x2 .
Zadanie 3. (4 pkt)
Wykaż, że jeżeli x +� y =� 4 , to x3 +� y3 ł�16 .
Zadanie 4. (4 pkt)
Ciąg a, b, 4 jest arytmetyczny, a ciąg 4, a, b jest geometryczny. Oblicz a oraz b .
(� )� (� )�
Zadanie 5. (4 pkt)
p� p� x cos x
��
Wykaż, że jeżeli x ą� +� 2kp� , gdzie k jest liczbą całkowitą, to tgć� +� =� .
�� ��
2 4 2 1-� sin x
Ł� ł�
Zadanie 6. (4 pkt)
Prosta przechodząca przez środek jednego z boków trójkąta równobocznego i tworząca
z tym bokiem kąt ostry a� dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt. Stosunek pola
czworokąta do pola trójkąta jest równy 5:3. Oblicz tangens kąta a� .
Zadanie 7. (6 pkt)
W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 9 i 12, a kąt miedzy ramieniem
trapezu i dłuższą podstawą ma miarę 60�� . Oblicz promień okręgu opisanego na tym
trapezie.
Zadanie 8. (5 pkt)
Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x2 +� y2 =� 5 zawiera się w prostej
o równaniu x +� 2y -� 5 =� 0. Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
1
Zadanie 9. (4 pkt)
W prostopadłościanie długości krawędzi o wspólnym wierzchołku są równe a , b , c ,
długość przekątnej prostopadłościanu jest równa d . Wykaż, że a +� b +� c Ł� d 3 .
Zadanie 10. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC , w którym AB =� a , S�ACB =� 90�� ,
S�CAB =� a� . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny
podstawy pod kątem o mierze b� . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 11. (5 pkt)
Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry
suma uzyskanych liczb oczek będzie równa 8.
Odpowiedzi
Zadanie 1.
Zapisujemy równanie w przedziałach: -�Ą�;-�3 , -�3;1 , 1;+�Ą� .
(� )� )� )�
1. x �� -�Ą�;-�3
(� )�
-�x -� 3 -� x +�1 =� x +�18
20
x =�-�
3
2. x �� -�3;1
)�
x +� 3 -� x +�1 =� x +�18
x =�-�14 �� -�3;1 , brak rozwiązań
)�
3. x �� 1;Ą�
)�
x +� 3 +� x -�1 =� x +�18
x =� 16
20
Odpowiedz
: x =�-� lub x =� 16 .
3
2
Zadanie 2.
��
��D�>� 0
Warunki zadania są równoważne alternatywie warunków
��
x1 -� x2 >� 2x1 �� x2
��
��
��D�>� 0
��
D�>� 0
��
��x
1. lub 2. �� x2 ł� 0
�� ��
1
�� x2 <� 0
��x1
��
x1 -� x2 2 >� 4 x1 �� x2 2
(� )� (� )�
��
��
2
D�=� m -� 2 , D�>� 0 �� m ą� 2
(� )�
x1 �� x2 =� m -�1
x1 �� x2 <� 0 �� m <� 1 x1 �� x2 ł� 0 �� m ł�1
x1 -� x2 2 =� D�
(� )�
Ad. 1. m <� 1
22
Ad. 2. m -� 2 -� 4 m -�1 >� 0 �� -� m 3m -� 4 >� 0
(� )� (� )� (� )�
4
��
m��ć�0; ,
�� ��
3
Ł� ł�
4
��
stąd m�� 1; .
��
3
ł�
4
��
Odpowiedz
: m ��ć� -�Ą�; .
�� ��
3
Ł� ł�
Zadanie 3.
x3 +� y3 =� x +� y x2 -� xy +� y2 =� 4 x2 -� xy +� y2
(� )�
(�)� (�)�
Z warunków zadania wyznaczamy y =� 4 -� x i określamy funkcję f :
2
2
f x =� 4 -� x 4 -� x +� 4 -� x 12x2 -� 48x +� 64
(� )� (� )� (� )�
(�x )�=�
Funkcja f jest funkcją kwadratową i przyjmuje najmniejszą wartość dla x =� 2 .
Odpowiedz
: f 2 =� 16 .
(� )�
Zadanie 4.
Zapisujemy układ równań zgodnie z warunkami zadania:
2b =� a +� 4
��
��
a2 =� 4b
��
3
Wyznaczamy b z pierwszego równania, podstawiamy do drugiego i zapisujemy równanie
kwadratowe:
a2 -� 2a -�8 =� 0 ,
stąd a1 =�-�2, a2 =� 4
Odpowiedz
: a =�-�2 i b =�1 albo a =� 4 i b =� 4 .
Zadanie 5.
p� x
ć� ��p� x p� x
sin +�
sin cos +� cos sin
p� x
4 2=�
ć� ���� ��
tg +� =�Ł� ł�4 2 4 2 =�
�� ��
p� x
4 2 ��p� x p� x
Ł� ł�
cos cos -� sin sin
cosć� +�
�� ��
4 2 4 2
4 2
Ł� ł�
x x x x
cos +� sin cos2 -� sin2 cos x
2 2 2 2
=�=� =�
x x x x x x
cos -� sin cos2 -� 2cos sin +� sin2 1-� sin x
2 2 2 2 2 2
Zadanie 6.
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia. Długość boku trójkąta
równobocznego oznaczamy a .
C
E
ą
.
A B
D F
3
Z warunków zadania wynika, że pole trójkąta DBE , to pola trójkąta ABC .
8
3 3 1 3a 3
Stąd wynika, że: BE =� a , FB =� a , DF =� a , EF =� .
4 8 8 8
EF
Odpowiedz
: tga� =� =� 3 3 .
DF
4
Zadanie 7.
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.
Okrąg opisany na trapezie ABCD to okrąg opisany na trójkącie ABC . Promień tego
d d 3
okręgu możemy obliczyć z twierdzenia sinusów: R =�=� .
2sin 60�� 3
Kolejno obliczamy:
12 -� 9 3
FB =� =� , c =� BC =� 3 .
2 2
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie ABC obliczamy d :
d =� 3 13 .
Odpowiedz
: R =� 39 .
Zadanie 8.
Z warunków zadania wynika, że dwa wierzchołki kwadratu, oznaczmy je przez A i B ,
leżą na prostej o równaniu x +� 2y -� 5 =� 0 oraz na okręgu o środku w punkcie 0,0
(� )�
i promieniu r =� 2 �� 5 =� 10 .
Zapisujemy układ równań.
��
x2 +� y2 =� 10
��
��x +� 2y -� 5 =� 0
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy A =� 3,1 , B =� -�1,3 . Punkt 0,0 jest
(� )� (� )� (� )�
środkiem symetrii kwadratu, stąd wynika, że C =� -�3, -�1 , D =� 1, -�3 .
(� )� (� )�
Zadanie 9.
2
2
Nierówność a +� b +� c Ł� d 3 jest równoważna z nierównością a +� b +� c Ł� 3d .
(�)�
2
Korzystając z tego, że a2 +� b2 +� c2 =� d , otrzymujemy nierówność równoważną
2ab +� 2ac +� 2bc Ł� 2a2 +� 2b2 +� 2c2 , którą możemy zapisać w postaci:
5
222
a -� b +� a -� c +� b -� c ł� 0 .
(� )� (� )� (� )�
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a , b , c .
Zadanie 10.
Z warunków zadania wynika, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu
opisanego na podstawie. Jest to środek przeciwprostokątnej AB . Rysujemy rysunek
pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.
S
C
.
h
B
ą
.
b�
.
A
B
a
C
A
1
V =� Pp �� h
3
11
Pp =� asina� ��a cosa� =� a2 sin 2a�
24
a
h =� tgb�
2
1
Odpowiedz
: V =� a3 sin 2a� �� tgb�
24
Zadanie 11.
Zdarzeniami elementarnymi są pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru
1, 2, 3, 4, 5, 6 . Jest to model klasyczny W� =� 65 .
{� }�
Możliwe przedstawienia liczby 8 w postaci sumy pięciu składników ze zbioru
1, 2, 3, 4, 5, 6 są następujące:
{� }�
8 =� 1+�1+�1+�1+� 4
8 =� 1+�1+�1+� 2 +� 3
8 =� 1+�1+� 2 +� 2 +� 2
6
Oznaczając przez A zdarzenie opisane w treści zadania, otrzymujemy:
5 5 4 5
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
A =� +� +� =� 35
��1�� ��1������1�� ��
2��
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
35
Odpowiedz
: P A =� .
(� )�
65
7