Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Całka potrójna
Zad.1 Oblicz całkę potrójnę po obszarze V ograniczonym danymi powierzchniami:
Å„Å‚
òÅ‚
x = 0, y = 0, z = 0,
1.1 (x2 + y2) dxdydz V :
ół
V
y = 3, x + z = 3
Å„Å‚
òÅ‚
x = 0, y = 0, z = 0,
1.2 (2x + 3y - z) dxdydz V :
ół
V
z = 3, x + y = 2
Å„Å‚
òÅ‚
y = 1, y = x2,
1.3 z dxdydz V :
ół
V
z = 0, z = 2
Å„Å‚
òÅ‚
x = y2, y = x2,
1.4 xyz dxdydz V :
ół
V
z = -1, z = 0
Å„Å‚
òÅ‚
x = 0, y = 0, z = 0,
1.5 dxdydz V :
ół
V
2x + y = 4, z = 4 - x2
Å„Å‚
"
òÅ‚
y = x, y = 0,
1.6 y cos(x + z) dxdydz V :
ół Ą
V
z = 0, x + z =
2
Zad.2 Stosując zamianę zmiennych w całce podwójnej oblicz całkę po obszarze V ograniczonym danymi powierzch-
niami:
Å„Å‚
òÅ‚

z = 4,
2.1 x2 + y2 dxdydz V :
ół
V
x2 + y2 = z2
Å„Å‚
òÅ‚
x2 + y2 = z,
2.2 z dxdydz V :
ół
V
x2 + y2 = z2
Å„Å‚

òÅ‚
x2 + y2 = z,
2.3 (x2 + y2) dxdydz V :
ół
V
x2 + y2 + z2 = 8
Å„Å‚
òÅ‚
z = 0,
2.4 y dxdydz V :
ół
V
4x2 + y2 = -z + 4


2.5 z2 dxdydz V :
x2 + y2 + z2 = 16
V
Å„Å‚
òÅ‚
x2 + y2 + z2 = 1,
dxdydz
2.6 V :
x2+y2+z2
ół
V
x2 + y2 + z2 = 9


y2
y2
2.7 x2 + + z2 dxdydz V :
x2 + + z2 = 1
4
4
V
Zad.3 Korzystając z całki potrójnej oblicz objętość bryły V ograniczonej danymi powierzchniami:
3.1 x = 0, x = 5, y = 0, y = 3, z = 0, x + y + z = 8
3.2 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 4, z = 1 + x2 + y2
3.3 x = 0, y = 1, y = 2x, z = 0, z = -x2 - y2
3.4 z = 0, z = 3 - x, y2 = 3x
3.5 y = x, y = x2, z = 0, z = 2x2 + y2 - 8

3.6 z = 6 - x2 - y2, z = x2 + y2

3.7 z = 36 - x2 - y2, 9z = x2 + y2
3.8 z = 0, z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x
3.9 z = 0, 4z = 16 - x2 - y2, x2 + y2 = 4
3.10 z = 3 + 12(x2 + y2), z = 3 - 24x
y2
x2
3.11 + = 1, z = 0, x + z = 8
9 16
x2
x2
9
3.12 z = 0, + y2 = 1, z = e-( +y2)
9

3.13 z = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 8
3.14 3z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 4
Zad.4 Korzystając z całki potrójnej oblicz masę bryły V , ograniczonej danymi powierzchniami, o gęstości :
4.1 x = 0, x = 1, y = 0, y = 3, z = 0, z = 2, (x, y, z) = x + y + z

4.2 x2 + y2 = 4, z = 0, z = 2 x2 + y2, (x, y, z) = x2 + y2

4.3 x2 + y2 = 2x, z = 0, z = 1, (x, y, z) = z x2 + y2
4.4 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x + 2y (x, y, z) = 3 + 2x + 2y - 2z
Zad.5 Znajdz
współrzędne środka ciężkości jednorodnych brył ograniczonych powierzchniami:
5.1 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 9
y2
5.2 x2 + = z2, z = 3
9
5.3 x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1 + x2
5.4 x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 + z2 = 16, dla z 0
Zad.6 Wyznaczyć moment bezwładności względem osi OZ jednorodnej bryły danej nierównościami: x2 +y2 +z2 25 ,
x2 + y2 16 oraz z 0.