Funkcje zdaniowe i zbiory
Zbiór (inaczej zwany mnogością) to podstawowe pojęcie w matematyce. Przy jego pomocy mo\
na
zdefiniować na gruncie teorii mnogości (zwanej te\
teorią zbiorów) wszystkie inne pojęcia matematyczne.
Przyjmuje się, \
e jest to pojęcie pierwotne, tzn. nie wymagające definicji. Z drugiej strony matematycy w
praktyce nadają temu pojęciu pewien określony intuicyjny sens. Intuicyjnie mo\
na powiedzieć, \
e zbiór
jest to objęcie przez umysł pewnej liczby przedmiotów (materialnych lub duchowych), zwanych
elementami tego zbioru. Tę nieformalną definicję podajemy dla wygody czytelnika, zastrzegając się
jednak, \
e nie oddaje ona w pełni treści pojęcia zbioru. Jest tylko pewnym przybli\
eniem.
Zazwyczaj zbiory oznaczamy du\
ymi literami, zaś ich elementy małymi literami. Gdy jest elementem
zbioru , mówimy te\
, \
e nale\
y do i zapisujemy to zdanie symbolicznie w postaci:
nazywamy symbolem nale\
enia do zbioru.
oznacza zdanie . Koniunkcję zdań postaci
zapisujemy krócej w formie
Przykłady zbiorów to zbiór uczniów w klasie, zbiór jabłek na drzewie, zbiór liczb rzeczywistych
dodatnich. Przyjmujemy, \
e dwa zbiory, które mają te same elementy, są równe. Innymi słowy, dla
dowolnych zbiorów mamy
Zasadniczo zbiory mo\
emy określać na dwa sposoby.
Sposób 1. Określenie zbioru przez wypisanie jego elementów. Na przykład, zapis
oznacza, \
e wszystkimi elementami zbioru są Piotr, Jan, Ewa, Ala, . W szczególności prawdą jest,
\
e Piotr . Podobnie zapis
oznacza zbiór, którego wszystkie elementy to liczby . oznacza zbiór, którego jedynym
elementem jest liczba . Nale\
y tu podkreślić, \
e i to ró\
ne obiekty. Podobnie jabłko i zbiór
jednoelementowy zło\
ony z jabłka to dwa ró\
ne przedmioty. Najprościej wyjaśnić to mówiąc, \
e jabłko
wisi na drzewie, a zbiór zło\
ony z tego jabłka istnieje w umyśle.
W przypadku zbioru skończonego
dla wszystkich prawdziwa jest równowa\
ność
Dlatego zapisy i oznaczają ten sam zbiór zło\
ony z .
Zanim przystąpimy do podania drugiego sposobu określania zbiorów, wprowadzimy pojęcie funkcji
zdaniowej.
Wypełniając ró\
ne formularze często wpisujemy ró\
ne słowa w odpowiednie wolne miejsca. Rozwa\
my
na przykład wyra\
enie:
Gdy w miejsce kropek wpiszemy określenie jakiejś osoby (np. słowo Janek), wyra\
enie to stanie się
zdaniem. Podobnie, jeśli w wyra\
eniu algebraicznym
w miejsce niewiadomej wpiszemy konkretną liczbę, stanie sie ono zdaniem. Obydwa rozwa\
ane
powy\
ej wyra\
enia są przykładami funkcji zdaniowych.
Definicja 3..1 Wyra\
enie , które staje się zdaniem, gdy za podstawimy obiekt określonego typu
(np. element jakiegoś zbioru) nazywamy funkcją zdaniową (predykatem). Jeśli określony jest zbiór , z
którego bierzemy obiekty do podstawiania za zmienną , to mówimy, \
e zmienna w funkcji zdaniowej
ma zakres zmienności (lub krótko: zakres) . Piszemy wówczas . Mo\
na równie\

rozwa\
ać funkcje zdaniowe bez określania zakresu zmiennej.
W funkcji zdaniowej zakresem zmiennej jest zbiór ludzi. W zakresem zmiennej jest zbiór liczb
rzeczywistych. Podobnie definiuje się funkcje zdaniowe większej (skończonej)
liczby zmiennych.
Przykładem funkcji zdaniowej dwóch zmiennych jest wyra\
enie . Równania i nierówności (na
przykład takie, jak rozwa\
ane w rozdziale 2) to równie\
funkcje zdaniowe.
Przy pomocy spójników logicznych i nawiasów mo\
emy z danych funkcji zdaniowych
tworzyć nowe (zło\
one) funkcje zdaniowe. Na przykład, jeśli i to dane funkcje zdaniowe,
to równie\

są funkcjami zdaniowymi, przy czym wymagamy tu zgodności zakresów wspólnych zmiennych w tych
funkcjach (o ile są określone); w naszym przypadku zmienna powinna mieć ten sam zakres w funkcjach
i . Bardziej konkretny przykład to funkcja zdaniowa
(tu oznacza zbiór liczb rzeczywistych). Ogólnie, gdy jest formułą zdaniową, zaś są
funkcjami zdaniowymi o odpowiednio zgodnych zakresach zmiennych, to podstawiając w
funkcje za zmienne zdaniowe odpowiednio, dostajemy zło\
oną funkcję zdaniową.
Teraz mo\
emy przedstawić drugi sposób określania zbioru.
Sposób 2. Określenie zbioru przez podanie własności, którą mają wszystkie jego elementy. Załó\
my, \
e
jest funkcją zdaniową. Zapis
oznacza zbiór tych wszystkich , dla których zdanie jest prawdziwe3.1. Zauwa\
my, \
e wówczas
dla wszystkich mamy
Jeśli zakresem zmiennej w jest dany zbiór , to zbiór istnieje, zapisujemy go
wówczas równie\
w formie . Zapis ten odczytujemy następująco:
``zbiór takich nale\
ących do , które spełniają warunek ''.
W matematyce zbiory określone w ten sposób to m.in.
jest liczbą naturalną (zbiór wszystkich liczb naturalnych),
jest liczbą rzeczywistą (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych),
zbiory liczb całkowitych , liczb wymiernych czy liczb niewymiernych .
Szczególnym zbiorem jest tak zwany zbiór pusty, tzn. zbiór bez elementów. Przyjęliśmy, \
e zbiory o tych
samych elementach są równe. Dlatego dowolne dwa zbiory puste są sobie równe. Istnieje więc tylko jeden
zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem .
Rozwa\
my funkcję zdaniową . Wówczas
oznacza zbiór takich liczb rzeczywistych , które spełniają warunek . Rozwiązując
odpowiednie równanie znajdujemy, \
e dla wszystkich liczb rzeczywistych mamy
a zatem jedynymi elementami tego zbioru są liczby . Mamy więc
Lewa strona tej równości określa nasz zbiór przez podanie warunku spełnianego przez jego elementy,
prawa strona określa ten sam zbiór przez wypisanie jego elementów.
Przykład. Antynomia (paradoks) Russella. Niech oznacza funkcję zdaniową . Wówczas nie
istnieje zbiór .
Dowód. Przypuśćmy nie wprost, \
e zbiór istnieje. Wówczas dla wszystkich mamy
W szczególności zdanie jest słuszne, gdy oznacza zbiór . Wówczas dostajemy, \
e wtedy i
tylko wtedy, gdy , sprzeczność.