Wykład 1
Teoria popytu konsumpcyjnego
1.1 Podstawowe pojęcia teorii popytu konsumpcyjnego
Ekonomia jest studium racjonalnego wyboru (Economics is the study of rational choice.) Analiza ekonomiczna wy-
chodzi z założenia, że podmioty ekonomiii (economic agents) poszukują najlepszego elementu w odpowiednim zbiorze
dostępnych możliwości. Konsumenci wybierają najlepszy plan konsumpcji spośród tych, na które ich stać. Każdy
producent wybiera najbardziej zyskowny plan produkcji w obrębie swojej przestrzeni produkcyjnej. . . . W konse-
kwencji analiza ekonomiczna wymaga, aby badacz był w stanie uszeregować alternatywy i wskazać najlepszy element
w rozmaitych zbiorach wyboru. (M. Carter, Mathematical Economics.)
1.1.1 Przestrzeń towarów i przestrzeń cen
W analizie i modelowaniu zjawiska popytu konsumenta zasadniczą rolę odgrywają następujace obiekty:
Dobra (towary) i przestrzeń towarów  tą ostatnią nazwą określa się zbiór X, którego elementy reprezentują plany
konsumpcji, lub inaczej wiązki (koszyki) dóbr (lub towarów). Zakładając, że mamy do czynienia ze skończoną liczbą
wzajemnie rozróżnialnych i ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi 1, . . . , n dóbr, przyjmujemy, że wektory
przestrzeni Rn reprezentują wiązki (koszyki) dóbr (towarów) (ang. bundle of commodities). Przyjmuje się najczęściej,
że
X = Rn = { (x1, x2, . . . , xn) | xi 0 dla i = 1, . . . , n },
+
czasem, że jest to jakiś właściwy podzbiór wypukły zawarty w Rn . Tutaj n oznacza liczbę rozważanych towarów 
+
w realnych warunkach n może być bardzo duże, więc dla uproszczenia operuje się wielkościami  zagregowanymi ,
reprezentującymi określone grupy towarów. Każda współrzędna xi, i = 1, . . . , n wyznacza zatem ilość towaru iden-
tyfikowanego numerem składowej. Dla porównywania wiązek towarów wyrażonych w postaci wektorów x, y " Rn
stosujemy następującą konwencję notacyjną:
x y Ð!Ò! xj yj, " j " {1, 2, . . .};
x > y Ð!Ò! x y i " j0 " {1, 2, . . .}, że xj > yj ;
0 0
x k" y Ð!Ò! xj > yj, " j " {1, 2, . . .}.
Trzeba zauważyć, że dla przypadku n > 1, w odróżnieniu od przypadku n = 1 dotyczącego osi liczbowej, żadna z tych
relacji nie jest relacją porządkującą, bo nie jest zupełna (nie każde dwa elementy są w relacji).
1.1.2 Relacja preferencji konsumenta
Przyjmujemy, że w odniesieniu do wiązek towarów konsument wykazuje pewne preferencje  postrzegając te wiązki
towarów jako możliwe plany konsumpcji preferuje jeden z nich od drugiego (przedkłada jeden nad drugi), a wobec
innych jest  indyferentny  jednakowo ceni każdy z danych dwóch planów konsumpcji.
Modelując tę sytuację w języku matematyki wygodnie wyjść od opisu sytuacji, w której preferencje są  nieostre ,
to jest gdy konsument ocenia jeden z planów konsumpcji jako  nie gorszy od drugiego . W tym przypadku mówi się
o  słabej relacji preferencji i wymaga się od niej spełnienia następujących naturalnych własności.
2
3
Definicja 1.1 (Relacja Preferencji Konsumenta) Relację x y określoną w przestrzeni towarów X nazywamy
relacją preferencji, jeśli jest zwrotna, zupełna i przechodnia.
(a) Zwrotność " x " X x x,
(b) Zupełność " x, y " X x y lub y x, (1.1)
(c) Przechodniość " x, y, z " X x y i y z =Ò! x y.
Jeśli dla dwóch elementów x, y " X spełnione są oba warunki x y i y x, to mówimy, że te elementy są dla
konsumenta  indyferentne , tj. konsument jest  indyferentny wobec wyboru między jednym a drugim i tę sytuację
oznaczamy symbolicznie x E" y. A zatem
x y oraz y x Ð!Ò! x E" y
Natomiast jeśli zachodzi x y i nie zachodzi y x, to mówimy że x jest  ściśle preferowany względem y, co
symbolicznie zapisujemy x {" y.
Zakładamy dalej, że relacja preferencji jest spójna (konsystentna), tzn. że {" spełnia zwykłe warunki relacji
słabego porządku:
x y oraz y {" z =Ò! x {" z
x {" y oraz y z =Ò! x {" z .
NastÄ™pne zaÅ‚ożenie o relacji preferencji wymaga, aby przestrzeÅ„ towarów X ‚" Rn byÅ‚a wypukÅ‚ym podzbiorem zbioru
+
Rn wektorów o nieujemnych współrzędnych. Przyjęcie założenia, że konsument  preferuje średnie w porównaniu ze
+
skrajnościami prowadzi do żądania, aby relacja preferencji była wypukła w następującym sensie.
Wypukłość preferencji:
" x " X V (x) = { y " X | y x } jest wypukły. (1.2)
Jeśli towary w wiązce są przez konsumenta pożądane (są bardziej  dobrami niż  szkodami ) relacja preferencji wiąże
się z wielkością zasobu towaru w wiązce:
x y =Ò! x y .
Zazwyczaj przyjmujemy silniejsze założenie ( im więcej, tym lepiej ), znane jako
Postulat niedosytu:
x > y =Ò! x {" y , (1.3)
przynajmniej wtedy, gdy y k" 0.
Ciągłość relacji preferencji:
Przyjmujemy, że przestrzeń towarów X jest wyposażona w topologię  jeśli nie będzie wyraz
nie podana inna topologia,
będzie to topologia indukowana przez normę w Rn. Ciągłość relacji preferencji oznacza, że dla każdego x " X oba
zbiory { y " X | x y } i { y " X | y x } są domknięte. A zatem zbiory { y " X | x {" y } i { y " X | y {" x } są
otwarte.
Zadanie 1.1.1 (Pewne relacje preferencji)
W zbiorze X = R2 reprezentującym koszyki dwóch dóbr rozważamy następujące relacje:
+
(a) (x1, x2) (y1, y2) wtedy i tylko wtedy, gdy min(x1, x2) min(y1, y2);
(b) (x1, x2) (y1, y2) wtedy i tylko wtedy, gdy max(x1, x2) max(y1, y2);
(c) (x1, x2) (y1, y2) wtedy i tylko wtedy, gdy x1 > y1 lub (x1 = y1 i x2 y2).
Zbadać, które z własności wymienionych w tekście powyżej przysługują zdefiniowanym wyżej relacjom.
4
1.1.3 Funkcja użyteczności
Wygodny w użyciu, bo otwierający możliwość stosowania metod analitycznych sposób opisu preferencji opiera się o
koncepcję miernika preferencji konsumenta. Przyjmuje się, że porównując ze sobą dowolne dwa różne koszyki
towarów, konsument może określić przez odniesienie do pewnej liczbowej skali swój własny stopień użyteczności każdego
z nich. A zatem konsument przyporządkowuje każdemu koszykowi x pewną liczbę rzeczywistą u(x) w taki sposób, że
x y Ð!Ò! u(x) u(y). (1.4)
A zatem konsument definiuje na swój własny użytek pewną funkcję określoną na przestrzeni towarów X odpowiadającą
używanej przez niego relacji słabej preferencji. Tak określoną funkcję u : X R nazywa się funkcją użyteczności
konsumenta odpowiadajÄ…cÄ… danej relacji preferencji (ang. utility function).
Zbiory punktów (koszyków towarów), które mają jednakową użyteczność nazywa się zbiorami (powierzchniami)
obojętności (indyferencji) konsumenta  w języku matematyki są to  poziomice funkcji użyteczności , tj. zbiory
postaci
O(Ä…) = { x " X | u(x) = Ä… }
dla ustalonego ą " R. Natomiast  przekrój wykresu funkcji użyteczności u dwu-wymiarową płaszczyzną (u, xi), po-
wstającą przez ustalenie wartości wszystkich poza i-tą zmienną, jest wykresem funkcji xi ui(xi) = u(x0, . . . , xi, . . . x0 )
1 n
nazywanej krzywą użyteczności i-tego towaru.
Szczegółowe założenia o funkcji użyteczności. Dla umożliwienia stosowania metod analitycznych żąda się,
aby funkcja użyteczności była odpowiednio gładka  zazwyczaj wystarcza założenie ciągłości pierwszych i drugich
pochodnych cząstkowych funkcji u. To założenie ma charakter techniczny i nie wynika z przesłanek ekonomicznych. Na-
tomiast w oparciu o badania empiryczne żąda się od funkcji użyteczności szeregu innych własności, które odpowiadają
obserwowanym prawidłowościom ekonomicznym. Najważniejszymi są:
" Postulat niedosytu. Dla każdej ze zmiennych xi, przy wszystkich pozostałych zmiennych ustalonych, funkcja
xi u(x0, . . . , xi, . . . x0 ) jest rosnąca. Stosując terminologię używaną w (mikro-)ekonomii można tę własność
1 n
(dzieki założonej gładkości funkcji u) wypowiedzieć w następujący sposób(1):
Dla dowolnego koszyka x0 " X krańcowa stopa użyteczności i-tego towaru w koszyku x0 jest dodatnia. Analitycznie
"u
(x0) > 0, dla każdego i = 1, . . . , n.
"xi
Czasem osłabia się to założenie dopuszczając, żeby krańcowa stopa użyteczności towaru była nieujemna.
" Postulat lokalnego niedosytu. Postulat niedosytu stanowi zbyt daleko idące uproszczenie rzeczywistości
 w stosunku do każdego dobra istnieją granice jego użyteczności czy możliwości wykorzystania (por. mit o
królu Midasie). Dlatego czasem używa się słabszego, lecz nieco bardziej złożonego matematycznie założenia o
następującej formie: w każdym otoczeniu dowolnego punktu x " X istnieje taki punkt x2 , że u(x2 ) > u(x). Inaczej
mówiąc, funkcja użyteczności nie ma lokalnych maksimów.
" Prawo Gossena:(2) Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie. Analitycz-
nym wyrażeniem tego prawa są nierówności
"2u
(x) < 0, dla każdego i = 1, . . . , n. (1.5)
"x2
i
" Wypukłość zbioru preferowanych koszyków. Ustalmy koszyk x0 i rozważmy zbiór V (x0) wszystkich ko-
szyków o niemniejszej od niego użyteczności, por. (1.2). Oznaczając przez ą użyteczność referencyjnego koszyka
x0, ą = u(x0), zbiór ten możemy zapisać jako zbiór nadpoziomicowy funkcji użyteczności
V (x0) = G(Ä…) = { x " X | u(x) Ä… } = u-1([ Ä…, " [). (1.6)
A zatem relacja preferencji jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór (1.6) jest wypukły dla każdego x0 " X,
lub, co mówi to samo, że dla każdej liczby ą " R zbiór koszyków o użyteczności niemniejszej niż ą jest wypukły.
Pokażemy poniżej, jak własność tę opisać bezpośrednio za pomocą funkcji użyteczności.
1
W ekonomii termin  krańcowy oznacza po prostu pochodną. (Varian, loc. cit. str. 98.)
2
Hermann Heinrich Gossen, niemiecki ekonomista XIX wieku.
Teoria popytu konsumpcyjnego 5
Zadanie 1.1.2 (Funkcje użyteczności dla wybranych relacji preferencji  c.d. Zadania 1.1.1)
(d) Dla podanych funkcji
(a) u(x1, x2) = min(x1, x2) (b) u(x1, x2) = max(x1, x2)
naszkicować przebieg kilku poziomic (np. dla wartości u(x1, x2) = 1, 2, 5). Wykazać, że za pomocą wzoru (1.4)
odpowiadajÄ… one relacjom preferencji (a) i (b) z Zadania 1.1.1.
(e) Których z postulowanych własności funkcji użyteczności nie spełniają te funkcje?
(f) Wykazać, że relacji (c) z Zadania 1.1.1 nie odpowiada żadna ciągła funkcja użyteczności.
Wykład 2
Teoria popytu II
2.1 Wypukłość funkcji i jej uogólnienia
Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe, . . . , i jakie jeszcze bywają funkcje?
Przypomnijmy pojęcie wypukłości funkcji.
Definicja 2.1 (WypukÅ‚ość funkcji) FunkcjÄ™ f : K R okreÅ›lonÄ… na niepustym podzbiorze wypukÅ‚ym K ‚" Rn
nazywamy funkcją wypukłą, jeśli zbiór
E(f) = { (x, t) " K × R | f(x) t }
jest zbiorem wypukłym. Funkcję f : K R nazywamy funkcją wklęsłą, jeśli funkcja (-f) jest wypukła.
Stwierdzenie 2.1 Niech K ‚" Rn bÄ™dzie jak wyżej. Funkcja f : K R jest funkcjÄ… wypukÅ‚Ä… wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdej pary x1, x2 " K i każdej liczby  " [ 0, 1 ] zachodzi nierówność
f(x1 + (1 - )x2) f(x1) + (1 - )f(x2) (2.1)
a jest funkcją wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy w analogicznych warunkach zachodzi nierówność odwrotna.
Mówimy też, że f jest ściśle wypukła, jeśli w powyższym warunku spełniona jest nierówność ostra dla  = 0 i  = 1.

W analogiczny sposób określamy funkcje ściśle wklęsłe.
8
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
Położenie siecznej względem wykresu funkcji: wypukłość po prawej, wklęsłość po lewej
Do badania wypukłości (wklęsłości) funkcji wielu zmiennych wykorzystuje się najczęściej następujący rezultat
znany z wykładów analizy matematycznej.
Stwierdzenie 2.2 Niech W ‚" Rn bÄ™dzie otwarty i wypukÅ‚y i niech f : W R bÄ™dzie funkcjÄ… klasy C2. Oznaczmy
przez Hf(x) (symetrycznÄ…) macierz jej drugich pochodnych czÄ…stkowych w p-cie x, (macierz Hessego funkcji f),

"2f(x)
Hf(x) = .
"xi"xj
6
Teoria popytu konsumpcyjnego 7
(a) Na to, aby f była wypukła na W potrzeba i wystarcza, aby jej macierz Hessego Hf(x) była dodatnio półokreślona
w każdym punkcie x " W . Jeśli Hf(x) jest w każdym punkcie dodatnio określona, to f jest ściśle wypukła.
(b) Na to, aby f była wklęsła na W potrzeba i wystarcza, aby jej macierz Hessego Hf(x) była ujemnie półokreślona
w każdym punkcie x " W . Jeśli Hf(x) jest w każdym punkcie ujemnie określona, to f jest ściśle wklęsła.
StÄ…d jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy prawo Gossena.
Wniosek 2.1 (Prawo Gossena) JeÅ›li funkcja użytecznoÅ›ci u jest Å›ciÅ›le wklÄ™sÅ‚a w wypukÅ‚ym zbiorze X ‚" Rn , to
+
nierówności (1.5)
"2u
(x) < 0, dla każdego i = 1, . . . , n.
"x2
i
są spełnione.
D o w ó d. Rzeczywiście, jeśli ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)t oznacza jak zwykle i-ty wektor bazy standardowej w Rn,
to

"2u "2u
(x) = et · (x) · ei =
"x2 i "xi"xj
i
ëÅ‚ öÅ‚
"2u "2u "2u "2u "2u
ëÅ‚ öÅ‚
(x) . . . (x) (x) (x) . . . (x)
ìÅ‚
"x2 "x1"xi-1 "x1"xi "x1"xi+1 "x1"xn ÷Å‚ 0
ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚.÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ìÅ‚.÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚.÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0÷Å‚
"2u "2u "2u "2u "2u
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚1÷Å‚
= 0 . . . 0 1 0 . . . 0 ìÅ‚ (x) . . . (x) (x) (x) . . . (x)÷Å‚ · < 0
·
ìÅ‚ ÷Å‚
"xi"x1 "xi"xi-1 "x2 "xi"xi+1 "xi"xn ìÅ‚ ÷Å‚
i ìÅ‚0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚.÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚.÷Å‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚.Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2u "2u "2u "2u "2u
0
(x) . . . (x) (x) (x) . . . (x)
"xn"x1 "xn"xi-1 "xn"xi "xn"xi+1 "x2
n

2.1.1 PRZYPOMNIENIE  Formy kwadratowe określone lub półokreślone
Definicja 2.2 (Określoność form kwadratowych) Formę kwadratową QA(x) nazywamy formą dodatnio (odpo-
wiednio, ujemnie) określoną, jeśli dla każdego wektora Rn " x = 0 mamy QA(x) > 0 (odpowiednio QA(x) < 0).

Jeśli forma kwadratowa QA(x) przyjmuje na każdym wektorze wartości nieujemne, tzn. dla każdego wektora x " Rn
mamy QA(x) 0, to nazywamy ją formą dodatnio półokreśloną. Analogicznie określamy formy ujemnie półokreślone.
Formy, nie będące określonymi ani półokreślonymi nazywają się formami nieokreślonymi.
s
Macierz symetryczną A " Mn(R) będziemy nazywać macierzą dodatnio (odpowiednio, ujemnie) określoną (pół-
określoną), jeśli odpowiadająca jej forma kwadratowa QA(x) ma tę własność.
Zgodnie z powyższymi określeniemi forma określona dodatnio (odpow. ujemnie) jest także formą półokreśloną
dodatnio (odpow. ujemnie). Jednakże forma półokreślona może przyjmować wartość równą 0 dla różnych od zera
wektorów przestrzeni Rn, co nie może mieć miejsca w przypadku formy określonej.
Można nietrudno wykazać, że forma nieokreślona przyjmuje na niezerowych wektorach wartości różnych znaków,
tj. istnieją takie niezerowe x, y " Rn, że QA(x) > 0 i QA(y) < 0, a z ciągłości wynika, że musi przyjmować też wartość
0 dla jakiegoÅ› niezerowego wektora.
s
Jest jasne, że forma kwadratowa QA(x) o macierzy A " Mn(R) jest dodatnio (odpowiednio, ujemnie) określona
wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A są dodatnie (odpowiednio, ujemne). Półokreślona
forma może mieć 0 jako wartość własną, ale jej różne od zera wartości własne muszą mieć ten sam znak.
W algebrze dowodzi się następującego ogólnego kryterium określoności form kwadratowych.
n

s
Stwierdzenie 2.3 Niech QA(x) = aijxixj będzie formą kwadratową o macierzy A " Mn(R). Dla j = 1, . . . , n
i,j=1
oznaczmy przez dj = det[akl]1 k, l j minor główny stopnia j macierzy A.
Forma QA(x) jest:
dodatnio okreÅ›lona Ð!Ò! dj > 0 dla j = 1, . . . , n;
ujemnie okreÅ›lona Ð!Ò! (-1)jdj > 0 dla j = 1, . . . , n.
Teoria popytu konsumpcyjnego 8
Przypomnijmy, że minorem głównym stopnia j macierzy kwadratowej A (niekoniecznie symetrycznej) nazywamy
wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia j powstającej z macierzy A przez wykreślenie z niej ostatnich n - j wierszy
i n - j kolumn.
Na przykład, minorami głównymi stopni 1, 2 i 3 macierzy A = [aij] " Mn(R) są:
d1 = a11, (2.2)

a a12
11
d2 = = a11a22 - a12a21, (2.3)
a21 a22

a11 a12 a13


d3 = a21 a22 a23 = a11a22a33 + . . . - a13a22a31 - . . . (2.4)

a31 a32 a33
2.1.2 Formy kwadratowe półokreślone
Przedstawimy przykład pokazujący, że podanego w Stwierdzeniu 2.3 kryterium określoności macierzy (dodatniej lub
ujemnej) nie można rozszerzyć na przypadek form półokreślonych przez prostą zamianę nierówności ostrej na nieostrą.
Przykłady 2.1.1 (Znaki form kwadratowych dla n = 3)
Wszystkie poniższe macierze spełniają ten sam warunek (-1)jdj 0 dla j = 1, 2, 3:
ëÅ‚ öÅ‚
-1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
macierz ujemnie półokreślona : A = -1 0 , d1 0, d2 0, d3 0, (2.5)
0
0 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
-1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
macierz nieokreślona : A = 0 0 0 , d1 0, d2 0, d3 0, (2.6)
0 0 1
ëÅ‚ öÅ‚
0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
macierz dodatnio półokreślona : A = 0 1 0 , d1 0, d2 0, d3 0. (2.7)
0 0 1
(2.8)
2.1.3 Półokreśloność form kwadratowych dwóch zmiennych
Dla przypadku n = 2 można sformułować prostą i pełną charakteryzację półokreśloności form kwadratowych w
następującej postaci.
a11 a12
Niech A będzie niezerową macierzą symetryczną stopnia 2 o współczynnikach rzeczywistych, A = ( ). Przy-
a12 a22
pomnijmy, że wyznacznik i ślad macierzy A są dane wzorami det A = a11a22 - (a12)2, tr A = a11 + a22.
Stwierdzenie 2.4 Na to by forma kwadratowa
QA(x) = a11x2 + 2a12x1x2 + a22x2 (2.9)
1 2
a11 a12
o macierzy A = ( ) była półokreślona potrzeba i wystarcza, by det A 0. W takim przypadku forma QA(x) jest
a12 a22
dodatnio półokreślona, gdy tr A > 0, a ujemnie półokreślona, gdy tr A < 0.
Zbierając razem powyższe warunki dostajemy następującą pełną charakteryzację form kwadratowych dwóch
zmiennych:
Stwierdzenie 2.5 Forma kwadratowa QA(x) zadana wzorem (2.9) jest:
Określona wtedy i tylko wtedy, gdy det A > 0,
a przy tym określona dodatnio, gdy tr A > 0  określona ujemnie, gdy tr A < 0.
Półokreślona, ale nie określona, wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0,
a przy tym półokreślona dodatnio, gdy tr A > 0  półokreślona ujemnie, gdy tr A < 0.
W zastosowaniach ekonomicznych często wykorzystywane są poniższe funkcje.
Teoria popytu konsumpcyjnego 9
Wniosek 2.2 Następujące funkcje określone na Rn są wklęsłe:
+
n

1 2 n
(a) u(x1, x2, . . . , xn) = axÄ… xÄ… . . . xÄ… , 0 < a, 0 < Ä…j, Ä…j < 1, Funkcja Cobba-Douglasa (2.10)
1 2 n
j=1
n n

(b) u(x1, x2, . . . , xn) = a Ä…j ln xj, 0 < a, 0 < Ä…j, Ä…j < 1, (2.11)
j=1 j=1
n

j
(c) u(x1, x2, . . . , xn) = Ä…jx² , 0 < Ä…j, 0 < ²j < 1. (2.12)
j
j=1
Wykresy funkcji Cobba-Douglasa z różnych punktów widzenia
2.1.4 Uzupełnienie  uogólnienia wypukłości
Definicja 2.3 (Funkcje quasi-wypukłe lub quasi-wklęsłe) Funkcję f : X R określoną na zbiorze wypukłym
X ‚" Rn bÄ™dziemy nazywać funkcjÄ… quasi-wypukÅ‚Ä… na X, jeÅ›li dla każdych x, y " X i każdego  " [ 0, 1 ] zachodzi
f(x + (1 - )y) max{f(x), f(y)},
i odpowiednio funkcją quasi-wklęsłą na X, jeśli przy tych samych założeniach spełniona jest nierówność
f(x + (1 - )y) min{f(x), f(y)},
Innymi słowy, funkcja jest quasi-wklęsła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie mniejsze od
mniejszej z wartości na krańcach tego odcinka (tj. minimum funkcji jest przyjmowane na jednym z krańców odcinka),
a quasi-wypukła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie większe od większej z wartości na
krańcach tego odcinka.
Teoria popytu konsumpcyjnego 10
Pozostawiamy do samodzielnego sprawdzenia, że funkcje wypukłe (odpowiednio, wklęsłe) są quasi-wypukłe, (odpo-
wiednio, quasi-wklęsłe).
Stwierdzenie 2.6 Funkcja f : X R okreÅ›lona na zbiorze wypukÅ‚ym X ‚" Rn jest quasi-wypukÅ‚a na X wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej liczby ą " R zbiór { x " X | f(x) ą } jest wypukły.
Analogicznie, f jest funkcją quasi-wklęsłą na X wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { x " X | f(x) ą } jest wypukły
dla każdej liczby ą " R.
D o w ó d. Wykażemy tylko podaną charakteryzację funkcji quasi-wklęsłosłych  dowód w drugim przypadku jest
w pełni analogiczny. Niech ą " R będzie dowolne. Załóżymy najpierw, że f jest quasi wklęsła i niech x, y " G(ą) =
{ x " X | f(x) Ä… }. Dla dowolnego  " [ 0, 1 ] mamy zatem
f(x + (1 - )y) min{f(x), f(y)} Ä…
gdyż obie wartości f(x), f(y) funkcji f są nie mniejsze niż ą. A zatem x+(1-)y " G(ą). Odwrotnie, jeśli zbiór G(ą)
jest wypukły dla każdego za " R, to obrawszy dowolnie punkty x, y " X przyjmiemy ą = min{f(x), f(y)} i utworzymy
zbiór G(ą). Jest on wypukły i oczywiście x, y " G(ą), więc także x + (1 - )y " G(ą), czyli f(x + (1 - )y)
min{f(x), f(y)}, co trzeba było wykazać.
A więc, zgodnie z określemiem wypukłości relacji preferencji konsumenta (por. (1.6)), relacja preferencji jest wypukła
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja użyteczności odpowiadająca tej relacji jest quasi wklęsła.
Do uzupełnienia:
Przykłady  funkcje quasi-wklęsłe i nie wklęsłe, i tp.
Podamy jeszcze jednÄ… definicjÄ™.
Definicja 2.4 (Funkcje pseudo-wypukłe lub pseudo-wklęsłe) Funkcja różniczkowalna f : X R nazywa się
funkcją pseudo-wypukłą, gdy dla każdego x0 " X i dowolnego h " Rn, takiego że x0 + h " X spełniona jest implikacja
"hf(x0) = h · grad f(x0) 0 =Ò! f(x0 + h) f(x0).
Jeśli spełniona jest implikacja z odwróconymi nierównościami po obu stronach, to mówimy, że funkcja jest pseudo-
wklęsła.
Podobnie jak poprzednia, powyższa definicja jest rozszerzeniem definicji wypukłości, gdyż różniczkowalne funkcje
wypukłe są pseudo-wypukłe (ale nie na odwrót), a nadto funkcje pseudo-wypukłe są quasi-wypukłe.
Hiperpłaszczyzna podpierająca wykres funkcji wypukłej
Przypomnijmy, że hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór wypukły F jest taka hiperpłaszczyzna, która ma przynaj-
mniej jeden punkt wspólny z F oraz F jest zawarty w półprzestrzeni wyznaczonej przez tę hiperpłaszczyznę  inaczej
mówiąc F leży po jednej stronie tej hiperpłaszczyzny.
Stwierdzenie 2.7 Niech D ‚" Rn bÄ™dzie otwartym zbiorem wypukÅ‚ym i f : D R różniczkowalnÄ… funkcjÄ… wypukÅ‚Ä…. W
każdym punkcie (x, f(x)) " Rn+1 wykresu płaszczyzna styczna do wykresu jest hiperpłaszczyzną podpierającą nadwykres
funkcji f.
Ponieważ równanie hiperpłaszczyzny stycznej do wykresu f w punkcie x0 " D ma postać
y - f(x0) = grad f(x0) · (x - x0) = 0
więc dla każdego x " D zachodzą nierówności
f(x) f(x0) + grad f(x0) · (x - x0), f wypukÅ‚a (2.13)
f(x) f(x0) + grad f(x0) · (x - x0), f wklÄ™sÅ‚a (2.14)
Teoria popytu konsumpcyjnego 11
2.2 Zagadnienie wyboru optymalnego planu konsumpcji
2.2.1 Ceny i zbiór budżetowy
Definicja 2.5 (Zbiór budżetowy) Przypisując i-temu towarowi jednostkową cenę pi wyrażoną liczbą dodatnią mo-
n

żemy zbiór Rn traktować jako zbiór wektorów cen. WartoÅ›ciÄ… koszyka x " X nazywamy liczbÄ™ p · x = pixi. JeÅ›li I
+
i=1
jest liczbą nieujemną, to zbiór koszyków o wartości nie przekraczającej I nazywamy zbiorem dopuszczalnych planów
konsumpcji przy dochodzie I, lub krótko  zbiorem budżetowym i oznaczamy
B(p, I) = { x " X | p · x I }.
Zauważmy, że B(p, I) jest zwartym podzbiorem wypukłym w Rn.
Przyjmujemy(1), że każdy konsument dysponuje ustalonym dochodem I, którego nie może przekraczać (wliczamy
więc w to rozsądnej wielkości kredyty) i jego postępowanie jest podporządkowane następującemu celowi: jak przy
danym wektorze cen p wybrać plan konsumpcji o maksymalnej użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I). Mamy
więc:
Zagadnienie Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta  ZMUK :
Tak nazywa się zagadnienie wyznaczenia punktu x" " X, dla którego zachodzi
u(x") = max u(x), przy warunku p · x I. (2.15)
Prosty argument pokazuje, że dla funkcji użyteczności, która ma własność lokalnego niedosytu, nierówność w (2.15)
musi być  wysycona w punkcie optymalnym, tj. jeśli x jest rozwiązaniem  ZMUK , to
p · x = I. (2.16)
Dla wyznaczenie maksimum funkcji użyteczności możemy zatem użyć klasycznej metody poszukiwania ekstremum
warunkowego z  więzami w formie równości , czyli metody opartej na użyciu funkcji Lagrange a. Funkcję L(x, ) =
u(x) - (I - p · x) nazywamy funkcjÄ… Lagrange a problemu 2.15.
Przykład (O.Z.) Piwo i kebab.
Zakładamy, że konsument (student) jest racjonalny, a jego preferencje są gładkie i spełniają postulat lokalnego niedosytu
(na przykład są dane przez funkcję C D). Szukana jest  maksymalna użyteczność wiązki (x1, x2), gdzie x1, x2 są ilościami
skonsumowanego dobra (x1 piwa, x2 kebabu)
max u(x1, x2)
pod warunkiem
p1x1 + p2x2 I
a p1, p2 są cenami jednostkowymi piwa i kebabu, zaś I  wysokość stypendium.
Badania są w toku, czy są to dobra substytucyjne, czy komplementarne  prawdopodobnie ten podział ma charakter lokalny
(jak w postulacie niedosytu).
Dla sformułowania warunku optymalności (pierwszego rzędu) używamy funkcji Lagrange a
L = u(x1, x2) - (I - p1x1 - p2x2) (2.17)
Z wykładu analizy matematycznej wiadomo, że warunkiem koniecznym ekstremum jest spełnienie równań
"L "u
= (x) - p1 = 0
"x1 "x1
"L "u
= (x) - p2 = 0,
"x2 "x2
"L
= I - p1x1 - p2x2 = 0.
"
1
Jak siÄ™ wydaje, koncepcja ta pochodzi od Alfreda Marshalla, (Principles of economics, 1898)
Teoria popytu konsumpcyjnego 12
Z pierwszych dwóch równań wyprowadzamy równości
"u "u
(x") : (x") = p1 : p2
"x1 "x2
oraz
1 "u
(x") = , i = 1, 2.
pi "xi
Mnożnik Lagrange a   cena cień mówi o tym, co się stanie, jeśli ograniczenie zmieni się o jedną jednostkę pieniężną, czyli
jaki jest wzrost użyteczności z dodatkowej złotówki w budżecie.
2.2.2 Interpretacje ekonomiczne
Podamy ogólne rozwiązanie zagadnienia maksymalizacji użyteczności konsumenta.
Stwierdzenie 2.8 Przy odpowiednich założeniach o funkcji użyteczności u rozwiązania zagadnienia optymalizacji pla-
nu konsumpcji (2.15) są rozwiązaniami układu równań w postaci warunku z mnożnikiem Lagrange a  > 0,
"L
grad L = grad u(x) - p = 0; = I - p · x = 0. (2.18)
"
Zastępując wektorową postać równania (2.18) przez układ równań skalarnych otrzymujemy równoważne sformułowanie
"L "u
= (x) - pi = 0, dla i = 1, 2, . . . n, (2.19)
"xi "xi
z warunkiem p · x = I. (2.20)
Rozwiązanie takie jest jedyne, na przykład wtedy, gdy funkcja użyteczności u jest ściśle wklęsła lub nawet quasi-wklęsła.
Jest ono nazywane optymalnym planem konsumpcji.
Użyteczność optymalnego planu konsumpcji (zależna od układu cen p i wielkości budżetu I) jest wartością maksymalną
funkcji użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I), inaczej
v(p, I) = max u(x), pod warunkiem p · x I. (2.21)
W ten sposób powstaje jedna z podstawowych funkcji teorii  nazywana pośrednią funkcją użyteczności funkcja
(p, I) v(p, I) " R, której wartość jest równa użyteczności optymalnego planu konsumpcji.
2.2.3 Sformułowania i wnioski ekonomiczne
Geometryczna interpretacja równań (2.18) określających optymalny plan konsumpcji pozwoli nam również na wy-
ciągnięcie pewnych wniosków o charakterze ekonomicznym. Najpierw wprowadzimy definicję o charakterze czysto
matematycznym
Definicja 2.6 (Płaszczyzna styczna do poziomicy funkcji) Jeśli x u(x) jest funkcją różniczkowalną w sposób
ciÄ…gÅ‚y w otwartym obszarze &! ‚" Rn i ¾ " &!, to zbiór punktów speÅ‚niajÄ…cych równanie
"u "u "u
(¾)(x1 - ¾1) + (¾)(x2 - ¾2) + . . . + (¾)(xn - ¾n) = 0 (2.22)
"x1 "x2 "xn
nazywa siÄ™ pÅ‚aszczyznÄ… stycznÄ… w punkcie ¾ do poziomicy u(x) = u(¾).
Przykład 2.2.1 (Poziomice funkcji Cobba-Douglasa)
Optymalny plan konsumpcji x leży na płaszczyz
nie budżetowej w punkcie styczności tej płaszczyzny do powierzchni
obojÄ™tnoÅ›ci. A zatem z zależnoÅ›ci I - p · x = 0 wynika, że nie ma możliwoÅ›ci oszczÄ™dzania (caÅ‚y dochód zostaje zużyty
do konsumpcji). Płaszczyzna budżetowa jest płaszczyzną podpierającą dla zbioru { x " X | u(x) u(x) } w punkcie
x, a w przypadku, gdy funkcja użyteczności jest gładka, styczną do powierzchni obojętności przechodzącej przez ten
punkt. Czasami tę obserwację formułuje się następująco:
Budżet należy tak rozkładać, aby płaszczyzna budżetu była styczna do powierzchni obojętności.
Ponadto wektor grad u(x), który, jak wiemy, jest prostopadły do powierzchni obojętności w tym punkcie i wskazuje
Teoria popytu konsumpcyjnego 13
w kierunku najszybszego wzrostu użyteczności, ma kierunek i zwrot wektora cen p (grad u(x) = p, dla  > 0). A to
oznacza, że spełnione są następujące warunki
"u "u
(x) : (x) = pi : pj dla i = j. (2.23)

"xi "xj
O lewej stronie tego równania, która jest znana jako krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w
optymalnym koszyku, więcej powiemy w dalszym ciągu. W tym miejscu zauważymy tylko, że warunki (2.23) stwierdzają,
że przy realizacji optymalnego planu konsumpcji podział budżetu między poszczególne towary jest taki, że
dla każdego dobra proporcja między jego użytecznością krańcową a ceną jest taka sama.
Wartość tej proporcji jest mierzona wartością mnożnika Lagrange a :
1 "u
(x) = , dla i = 1, . . . , n. (2.24)
pi "xi
Na koniec zauważmy, że otrzymane rozwiązanie zagadnienia optymalizacji nie zmienia się przy zmianie cen i dochodu
w jednakowych proporcjach, tzn. gdy wszystkie ceny oraz dochód pomnożyć przez stały czynnik dodatni. Ekonomiści
nazywajÄ… to zachowanie brakiem iluzji pieniÄ…dza ze strony konsumenta.
Przykład 2.2.2 (Funkcja użyteczności Rubina Kleina)
Przyjmijmy
u(x1, x2) = Ä…1 ln(x1 - q1) + Ä…2 ln(x2 - q2), dla x1 q1, x2 q2
i ą1, ą2 są dodatnie. Można założyć, że ą1 + ą2 = 1  wskaz
niki podziału konsumpcji. Natomiast q1, q2 są  mini-
malnymi poziomami konsumpcji danego dobra. Równania (2.19) mają postać
"L "u Ä…1
= (x) - p1 = - p1 = 0
"x1 "x1 x1 - q1
"L "u Ä…2
= (x) - p2 = - p2 = 0,
"x2 "x2 x2 - q2
"L
= I - p1x1 - p2x2 = 0.
"
Po rozwiÄ…zaniu otrzymujemy funkcjÄ™ popytu
Ä…1
x1 = q1 + (I - p1q1 - p2q2) (2.25)
p1
Ä…2
x2 = q2 + (I - p1q1 - p2q2) (2.26)
p2
z oczywistą interpretacją  nadwyżka ponad minimalny poziom powstaje z podziału reszty dochodu ponad wydatek
na minimum. Wydatki konsumenta na poszczególne dobra przy zakupie optymalnego koszyka wyrażają wzory
p1x1 = p1q1 + Ä…1(I - p1q1 - p2q2)
p2x2 = p2q2 + Ä…2(I - p1q1 - p2q2)
2.3 Minimalizacja wydatków na uzyskanie oczekiwanej użyteczności
Wykorzystywane jest również inne spojrzenie na kształtowanie się popytu, wiązane z nazwiskiem Johna Hicksa(2), a
mianowicie jako wynik dążenia konsumenta do minimalizacji wydatków na zakup koszyka o pożądanej użyteczności
(lepiej, użyteczności nie mniejszej niż pożądany jej poziom). Koszt koszyka x = (x1, . . . , xn) przedstawia liczba
n

pjxj = p · x, a zatem funkcjÄ™
j=1
X " x k(x) = p · x " R+
możemy nazwać funkcją kosztu koszyka. To prowadzi do następującego sformułowania.
Zagadnienie Minimalizacji Wydatków na Zakup Koszyka  ZMWZK
Szukane jest minimum funkcji kosztu koszyka
k(x) = p · x min , przy warunku u(x) u0, (2.27)
2
John Hicks, Sir, 8.04.1904 - 20.05.1989. Nagroda im. A. Nobla w dziedzinie ekonomii w 1972
Teoria popytu konsumpcyjnego 14
to jest minimalny wydatek na zakup koszyka o użyteczności nie mniejszej od zadanej wartości u0.
Podobnie jak przy wyznaczaniu rozwiązania Zagadnienia Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta (ZMUK) pro-
sty argument wykorzystujący monotoniczność funkcji kosztu i własność lokalnego niedosytu funkcji użyteczności
pozwala ograniczyć poszukiwanie rozwiązania zagadnienia (2.27) do punktów leżących na powierzchni obojętności
u(x) = u0. Możemy zatem posłużyć się standardową metodą wyznaczenia ekstremum warunkowego z warunkiem w
postaci równości  metodą mnożników Lagrange a.
Przy odpowiednich założeniach na funkcję użyteczności, rozwiązanie tego zagadnienia przy danych cenach wyra-
żonych wektorem p i zadanym poziomie użyteczności u = u0 jest jedyne. Będziemy je oznaczać symbolem h(p, u)
i nazywać Hicksowską funkcją popytu konsumenta. Rozwiązanie to konstruowane jest w analogii do konstrukcji funkcji
popytu Marshalla.
RozwiÄ…zaniem zagadnienia (2.27) jest punkt stacjonarny funkcji Lagrange a
LH(x, ) = p · x - (u0 - u(x)),
wyznaczony jako rozwiązanie równań (pierwszego rzędu)
"LH "u
= pi -  (x) = 0, dla i = 1, . . . , n, (2.28)
"xi "xi
"LH
= u0 - u(x) = 0, czyli warunek u0 - u(x) = 0. (2.29)
"
Można zauważyć, że znaczenie tych równań jest analogiczne do równań wyprowadzonych dla Marshallowskiej funkcji
popytu. W szczególności w punkcie x będącym rozwiązaniem tych równań mamy, podobnie jak poprzednio,
"u "u
(x) : (x) = pi : pj dla i = j.

"xi "xj
Znaczenie mnożnika Lagrange a jest inne
1 "u 1
(x) = , dla i = 1, . . . , n. (2.30)
pi "xi 
Podanie jawnego rozwiązania dla funkcji popytu zależy od możliwości rozwiązania równania odpowiadającego wa-
runkowi (2.29). Na szczęście, jak to pokażemy poniżej, przy dość ogólnych założeniach o funkcji użyteczności oba te
podejścia prowadzą do tych samych rezultatów.
Przykład 2.3.1 (Hicksowska funkcja popytu dla funkcji użyteczności Rubina Kleina)
Przypomnijmy, że ta funkcja określona jest wzorem
u(x1, x2) = Ä…1 ln(x1 - q1) + Ä…2 ln(x2 - q2), dla x1 q1, x2 q2,
przy czym współczynniki ą1, ą2 spełniają ą1 + ą2 = 1. Równania (2.28) mają postać
"L "u Ä…1
= p1 -  (x) = p1 - = 0
"x1 "x1 x1 - q1
"L "u Ä…2
= p2 -  (x) = p2 - = 0,
"x2 "x2 x2 - q2
"L
= u0 - Ä…1 ln(x1 - q1) - Ä…2 ln(x2 - q2) = 0.
"
Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy
Ä…1p2 x1 - q1
= , (2.31)
Ä…2p1 x2 - q2
a ostatnie, po uwzględnieniu własności logarytmów naturalnych i zależności ą1 + ą2 = 1, prowadzi do wyrażenia
x - q1 Ä…
1
1
0
eu = (x2 - q2).
x2 - q2
StÄ…d
Ä… p1 Ä…
1
2
0
x2 - q2 = eu
Ä…1p2
Teoria popytu konsumpcyjnego 15
Z równania (2.31) dostajemy
1
Ä…1p2 Ä…1p2 Ä…2p1 Ä…
0
x1 - q1 = (x2 - q2) = eu
Ä…2p1 Ä…2p1 Ä…1p2
Stąd ostatecznie otrzymujemy wzór dla Hicksowskiej funkcji popytu
Ä…
2
Ä…1p2
0
x1 = q1 + eu (2.32)
Ä…2p1
Ä…
1
Ä…2p1
0
x2 = q2 + eu . (2.33)
Ä…1p2
W ogólności zależność między funkcjami popytu otrzymanymi na wskazanych drogach daje następujące Twierdze-
nie.
Stwierdzenie 2.9 (a) Jeśli funkcja użyteczności u spełnia  postulat lokalnego niedosytu , to przy dowolnych p0
0, I0 0 z p0 = 0 punkt x0 maksymalizujący u w zbiorze budżetowym B(p0, I0) jest jednocześnie punktem minimali-

zujÄ…cym wydatki w zbiorze G(u(x0)).
(b) Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła, p0 0, p0 = 0, punkt x0 minimalizuje koszt koszyka w zbiorze G(u(x0)) i

jeÅ›li I0 = p0 · x0 0 speÅ‚nia warunek I0 > inf{ p0 · x | x " X }, to x0 maksymalizuje funkcjÄ™ u w zbiorze budżetowym
B(p0, I0).
Warunek sformułowany w punkcie (b) powyższego twierdzenia nazywamy założeniem o istnieniu tańszego koszyka.
D o w ó d. Dowód obu punktów przeprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności.
Dla dowodu punktu (a) zauważmy najpierw, że zbiór koszyków x o mniejszym koszcie niż koszt koszyka x0, tj.
zbiór { x " X | p0 · x < p0 · x0 }, jest otwarty. JeÅ›li wiÄ™c w zbiorze G(u(x0)) znalazÅ‚by siÄ™ punkt x2 o mniejszym od x0
koszcie, to korzystając z warunku lokalnego niedosytu możemy również wybrać taki punkt x2 2 , dla którego spełnione
sÄ… obie nierównoÅ›ci p0 ·x2 2 < p0 · x0 i u(x2 2 ) > u(x2 ). A zatem x2 2 ma Å›ciÅ›le wiÄ™kszÄ… użyteczność niż x0 i należy do zbioru
budżetowego, więc x0 nie byłby elementem maksymalizującym użyteczność w tym zbiorze. Ta sprzeczność dowodzi,
że zbiór G(u(x0)) nie zawiera koszyków o koszcie mniejszym niż koszt x0.
Dla dowodu (b) załóżmy, że w zbiorze budżetowym znajdziemy punkt x2 " B(p0, I0) o większej użyteczności od
x0, tj. u(x2 ) > u(x0). WykorzystujÄ…c zaÅ‚ożenie o istnieniu taÅ„szego koszyka obierzmy taki x2 2 , że p0 · x2 2 < I0 = p0 · x0.
Gdyby zachodziła nierówność u(x2 2 ) u(x0), to x2 2 byłby punktem o mniejszym od x0 koszcie należącym do zbioru
G(u(x0)), wbrew założeniu. Z kolei jeśli u(x2 2 ) < u(x0), to dla ciągłej funkcji u znalez
liśmy punkty x0, x2 , x2 2 , dla
których u(x2 2 ) < u(x0) < u(x2 ), a wtedy na odcinku łączącym x2 z x2 2 będzie leżał punkt o tej samej użyteczności co
x0 i mniejszym od niego koszcie, a to również przeczy założeniu.
Zadanie 2.3.1 (Funkcje popytu dla modelu Rubina Kleina) Wykorzystując obliczenia z Przykładów 2.2.2 i
2.3.1 sprawdzić tezę powyższego Stwierdzenia dla funkcji użyteczności Rubina Kleina.
2.4 Funkcja popytu konsumpcyjnego i jej własności
Powyżej wyznaczyliśmy optymalny plan konsumpcji dla danych cen reprezentowanych wektorem p i danego dochodu
I, a teraz przechodzimy do badania zależności planu optymalnego od wielkości cen i dochodu.
Definicja 2.7 (Funkcja popytu konsumpcyjnego i pośrednia funkcja użyteczności)
Niech dla danego układu cen p " Rn i dochodu I " R+ wektor x " Rn reprezentuje optymalny plan konsumpcji
+ +
w zbiorze budżetowym B(p, I) wyznaczony jako rozwiązanie zagadnienia optymalizacji planu konsumpcji danego
równaniami (2.15).
FunkcjÄ™ Õ : Rn × R+ Rn ,
+ +
Rn × R+ " (p, I) Õ(p, I) = x " Rn (2.34)
+
przedstawiającą zależność planu optymalnego od poziomu cen i dochodu konsumenta nazywa się funkcją popytu kon-
sumpcyjnego. Złożenie funkcji użyteczności z funkcją popytu konsumpcyjnego, tj. funkcję
Rn × R+ " (p, I) ½(p, I) = u(Õ(p, I)) " R (2.35)
+
Teoria popytu konsumpcyjnego 16
nazywa się pośrednią funkcją użyteczności.
Inaczej mówiąc,
½(p, I) = max u(x). (2.36)
x"B(p, I)
Zgodnie z tą definicją funkcja popytu konsumpcyjnego spełnia tożsamościowo (względem p, I) następujące równości
(grad u)(Õ(p, I)) - p = 0; I - p · Õ(p, I) = 0. (2.37)
Odnotujmy, że na mocy obserwacji odnotowanej powyżej funkcja popytu konsumpcyjnego jest dodatnio jednorodna
stopnia 0, tj. spełnia tożsamość
Õ(Ä…p, Ä…I) = Õ(p, I), dla wszystkich Ä… > 0, (p, I) " Rn × R+. (2.38)
+
Jest to wyrażenie faktu, że popyt zależy od struktury cen i dochodów, a nie od ich bezwzględnego poziomu.
Zauważmy dalej, że przez różniczkowanie drugiej z tożsamości (2.37) otrzymujemy
n

"Õj
1 = pj (p, I)
"I
j=1
skąd dalej przez zastosowanie równań (2.24) dochodzimy do nowej interpretacji mnożnika Lagrange a , a mianowicie
n

"½ "u "Õj
(p, I) = (Õ(p, I)) (p, I) =  (2.39)
"I "xj "I
j=1
 jest równy krańcowej użyteczności dochodu.
Jedną z ważniejszych własności pośredniej funkcji użyteczności jest możliwość wyrażenia funkcji popytu w termi-
nach pośredniej funkcji użyteczności.
Stwierdzenie 2.10 (Tożsamość Roya) Funkcja popytu (p, I) Õ(p, I) wyraża siÄ™ wzorami;
"½
(p, I)
"pj
Õj(p, I) = - , j = 1, . . . , n
"½j
(p, I)
"I
Blisko związana z poprzednimi jest funkcja wydatków (expenditure function), która podaje minimalny koszt osiągnięcia
zadanego poziomu użyteczności. Jest ona dana wzorem
Definicja 2.8 (Funkcja wydatków konsumenta)
Funkcją wydatków (kosztów) konsumenta nazywa się funkcję (p, u) e(p, u) określoną wzorem
e(p, u) = min p · x , przy warunku u(x) u (2.40)
x
krócej
e(p, u) = min p · x . (2.40 )
{ x|u(x) u }
Mamy
Stwierdzenie 2.11 (Lemat Shepharda) Jeśli e(p, u) jest funkcją wydatków konsumenta, to (Hicksowska) funkcja
popytu (p, u) h(p, u) określona jako wiązka minimalizująca wydatek na uzyskanie poziomu użyteczności u przy
zadanym poziomie cen p jest dana wzorem
"e
hi(p, u) = (p, u), i = 1, . . . , n.
"pi
Teoria popytu konsumpcyjnego 17
2.4.1 Elastyczność popytu  cenowa i dochodowa
Ważnymi wskaz
nikami własności funkcji popytu są tak zwane elastyczności. Elastyczności cenowe funkcji popytu defi-
niujemy wzorami:
p1 "Õ1
%Eł11 = (p, I); elastyczność prosta (popytu na dobro 1 względem jego ceny) (2.41)
x1 "p1
p1 "Õ2
%Eł21 = (p, I); elastyczność krzyżowa (popytu na dobro 1 względem ceny dobra 2) (2.42)
x2 "p1
Analogicznie definiujemy %Eł22 i %Eł12. Czasem, dla odróżnienia od elastyczności dochodowych, które zdefiniujemy poniżej,
dodaje siÄ™ indeks c piszÄ…c %EÅ‚c , %EÅ‚c i td.
11 21
Jest to różniczkowy (infinitezymalny) odpowiednik stosunku względnego przyrostu popytu przy zmianie ceny p1
o "1p, okreÅ›lonego jako stosunek przyrostu "(Õ1) = Õ1(p + "1p, I) - Õ1(p, I) do wartoÅ›ci Õ1(p, I) do wzglÄ™dnego
przyrostu ceny "1p/p1, tj.
Õ1(p + "1p, I) - Õ1(p, I) "1p "(Õ1) p1
: = .
Õ1(p, I) p1 "1p Õ1(p, I)
Jest to ważny wskaz
nik przy analizie zmiany wydatków na skutek zmiany cen. Wydatki na zakup towaru 1 w opty-
malnym koszyku wynoszÄ… p1Õ1(p, I), a po zmianie ceny p na p + "1p (notacja "1p wskazuje, ze w wektorze cen p
zmienia się tylko pierwsza współrzędna) możemy je szacować za pomocą elastyczności funkcji popytu
"(p1Õ1(p, I)) "(p1Õ1) "Õ1
- = Õ1 + p1 = Õ1(1 + %EÅ‚11).
"1p "p1 "p1
A zatem wydatki na pierwszy towar:
" wzrosnÄ… ze wzrostem p1, gdy %EÅ‚11 > -1,
" pozostanÄ… na tym samym poziomie, gdy %EÅ‚11 = -1
" zmalejÄ…, gdy %EÅ‚11 < -1.
Podobną interpretację ma krzyżowa elastyczność funkcji popytu.
Rozważa się także elastyczność dochodową popytu, zdefiniowaną dla każdego z dóbr wzorem:
"Ći(p, I) I
µd(p, I) = , i = 1, . . . , n. (2.43)
i
"I Ći(p, I)
Interpretacja tej wielkości jest analogiczna do interpretacji elastyczności cenowej popytu (na i-te dobro).
Do uzupełnienia:
Klasyfikacja towarów  towary wyższego i niższego rzędu, dobra normalne i dobra Giffena
Klasyfikacja towarów ze względu na elastyczność cenową i dochodową popytu
Towary normalne Towary Giffena
Elastyczność
µc < 0 µc > 0
jj jj
Towary wyższego rzędu
µd > 0
j
Towary niższego rzędu
µd < 0
j
Teoria popytu konsumpcyjnego 18
2.5 Substytucja towarów
2.5.1 Dobra substytucyjne i dobra komplementarne
W ogólności terminem substytucja towarów określamy możliwość zastępowania w planie konsumpcji jednego z towarów
przez inny bez zmiany użyteczności tego planu. Podstawowym zagadnieniem przy badaniu tego zjawiska jest określenie,
kiedy i które towary podlegają substytucji i w jakim ilościowym stosunku taka substytucja może zachodzić. Podkreślmy,
że podstawą substytucji nie musi być wcale ten sam zakres zastosowania danych towarów (jak na przykład w przypadku
zastępowania margaryny przez masło), ale niezmienność użyteczności koszyka  pojęciem substytucji posłużymy
się opisując na przykład zachowanie studenta, który postanawia ograniczyć ilość jedzonych lodów, aby kupić nowy
podręcznik do ekonomii matematycznej.
Dla objaśnienia i korespondencji z wykładem mikroekonomii podamy parę przykładów stosując terminologię za-
czerpniętą z podręcznika mikroekonomii H. Variana.
Przykłady 2.5.1 (Substytuty doskonałe i towary doskonale komplementarne.)
(a) Wg. Variana dwa dobra są substytutami doskonałymi, jeśli konsument chce zastępować jedno dobro drugim wg. stałej
stopy, niezależnej od ilości towarów w koszyku. Odpowiada to żądaniu, aby ich funkcja użyteczności była funkcją postaci
u(x1, x2) = Õ(ax1 + bx2), gdzie a, b = 0 i Õ jest rosnÄ…cÄ… (i różniczkowalnÄ…) funkcjÄ… na R+. Mamy wówczas

"u "u a
S12 = (x) : (x) =
"x1 "x2 b
(b) Dobra, które zawsze konsumowane są razem w stałej proporcji, Varian nazywa towarami doskonale komplementarnymi.
W takiej sytuacji substytucja nie jest możliwa  zwiększenie ilości tylko jednego z komplementarnych towarów zachowuje
niezmienioną użyteczność wyjściowej wiązki towarów, nie prowadząc do zmiany drugiego z nich. Tutaj jako funkcją użyteczności
można przyjąć

x1 x2
u(x1, x2) = min , a, b > 0
a b
dla której krzywe obojętności mają postać łamanej o dwóch ramionach równoległych do osi współrzędnych i wierzchołku w
punkcie (as, bs), gdzie s > 0. Na poniższym rysunku pokazane są krzywe obojętności dla przypadku a = 1, b = 2 wraz z prostą
łączącą wierzchołki krzywych.
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
Odpowiada to sytuacji, w której konsument wykorzystuje towary w proporcji dwóch jednostek drugiego towaru na jedną jed-
nostkę pierwszego i wszelkie zachwianie tej proporcji w wiązce towarów nie zmienia jej użyteczności.
Miarą ilościową możliwości substytucji towarów jest wspomniana powyżej krańcowa stopa substytucji jednego towaru
przez drugi, która wskazuje, jak zmiany ilości jednego towaru w koszyku  sterują zmianami drugiego towaru dzięki
zachowaniu stałej użyteczności koszyka. Dla kompletności wykładu przytoczymy definicję tej wielkości in extenso.
Definicja 2.9 (Krańcowa stopa substytucji) Jeśli u jest zadana funkcją użyteczności i x " X ustalonym planem
konsumpcji, to krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w odniesieniu do planu x nazywa się wielkość
"u "u
Sij = (x) : (x), i = j. (2.44)

"xi "xj
Teoria popytu konsumpcyjnego 19
Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar względem planu x nazywa się

xi "u "u xi
%EÅ‚ij = Sij = (x) : (x) , i = j. (2.45)

xj "xi "xj xj
2.5.2 Twierdzenie o substytucji dóbr w optymalnym koszyku
Rozważmy związaną z funkcją użyteczności powierzchnię obojętności postaci O(ą) = { x " X | u(x) = ą }. Przy
wskazanych powyżej założeniach dla każdego wektora cen istnieje jedyny punkt na powierzchni obojętności, dla którego
koszt koszyka osiÄ…ga minimum. Obierzmy zatem dwa wektory cen p0 = p", a odpowiadajÄ…ce tym wektorom cen

koszyki o minimalnej cenie oznaczymy przez z0 i z". Własność minimalności oznacza, że dla każdego z " O(ą) mamy
p0 · z p0 · z0 i analogicznie, p" · z p" · z". PodstawiajÄ…c do pierwszej z nich z = z", a do drugiej z = z0 otrzymamy
p0 · z" p0 · z0, p" · z0 p" · z"
Po przeniesieniu na jedną stronę i dodaniu stronami otrzymujemy następujące
Stwierdzenie 2.12 (Twierdzenie o substytucji) Przy wprowadzonych powyżej oznaczeniach spełniona jest nie-
równość
(p0 - p")(z0 - z") 0.
W szczególności, popyt na dany towar jest malejącą funkcją jego ceny
"Õ
(p, I) < 0, i = 1, . . . , n.
"pi
Rzeczywiście, jeśli wektory cen różnią się tylko ceną jednego towaru i zachodzi p0 > p", p0 = p" dla j > 1, to musi być
1 1 j j
0 "
spełniona nierówność z1 z1. Oznacza to, że wzrost (ogólniej, zmiana) ceny jednego towaru przy ustalonych cenach
pozostałych wymaga dla zachowania niezmienionej użyteczności koszyka zmniejszenia ilości tego towaru w koszyku
(ogólniej, zmiany ilości towaru w przeciwnym kierunku do zmiany ceny).
2.5.3 Substytucja  raz jeszcze
Rozważamy problem rozkładu towarów w różnych koszykach, w szczególności zagadnienie, jak (ew. czym) można
zrekompensować stratę (ogólniej  zmianę) ilości jednego z towarów w koszyku, aby zachować niezmieniony po-
ziom satysfakcji konsumenta. Odwołując się do pojęcia funkcji użyteczności możemy nasz problem wypowiedzieć jako
badanie zależności ilości jednego wybranego towaru od ilości innych towarów dla punktów powierzchni obojętności
określonej równaniem
O(Ä…) = { x " X | u(x) = Ä… }, gdzie Ä… " R jest ustalone.
A zatem pytamy, jak związane są ilości dwóch wybranych towarów, powiedzmy i-tego i j-tego, (przy utrzymaniu
niezmiennych ilości pozostałych towarów) jeśli użyteczność koszyków pozostaje niezmieniona. Z powyższych rozważań
wynika następujący wniosek:
"u
Jeśli krańcowa stopa użyteczności j-tego towaru względem planu konsumpcji x jest różna od zera, (x) = 0, to dla

"xj
planów konsumpcji niewiele różniących się od planu x zmianę ilości tego towaru można kompensować zmianą ilości
każdego z pozostałych towarów bez zmiany użyteczności, w stosunku
1 "u "u
= (x) : (x)
Sij "xj "xi
jednostek i-tego towaru na jednostkę j-tego. Innymi słowy, dla takiego towaru substytutem jest każdy z pozostałych
towarów.
Zarys zagadnień teorii produkcji 20
Funkcje teorii popytu i ich liczbowe charakterystyki:
Funkcja użyteczności u : Rn " x = (x1, . . . , xn) u(x) " R
+
Funkcja popytu Ć : Rn × R+ " (p, I) Ć(p, I) = (Ć1(p, I), . . . , Ćn(p, I)) " Rn
+ +
Funkcja poÅ›redniej użytecznoÅ›ci ½ = u ć% Ć; ½ : Rn × R+ " (p, I) ½(p, I) " R
+
"u(x)
Krańcowa użyteczność i-tego towaru w koszyku x
"xi
"u(x) "u(x)
Krańcowa stopa substytucji towaru i-tego przez j-ty sij(x) = :
"xi "xj
xi
Elastyczność substytucji towaru i-tego przez j-ty µij(x) = sij(x)
xj
"½(p, I)
Krańcowa użyteczność dochodu dla zadanych (p, I)
"I
"Ći(p, I)
c
Popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego Pij(p, I) =
"pj
"Ći(p, I) pj
Elastyczność popytu na i-ty towar wzglÄ™dem ceny j-tego µc (p, I) =
ij
"pj Ći(p, I)
"Ći(p, I)
Popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu Pid(p, I) =
"I
"Ći(p, I) I
Elastyczność popytu na i-ty towar wzglÄ™dem dochodu µd(p, I) =
i
"I Ći(p, I)