1. Przetworniki pomiarowe (definicja przetwornika, z jakich elementów są
zbudowane, podział)
Przetwornik pomiarowy  względnie odosobniony zespół elementów, które służą do przetwarzania
(z określona dokładnością i według określonego prawa fizycznego) sygnałów pomiarowych.
Przetworniki są zbudowane z trzech rodzajów elementów:
- elementy powodujące straty energii rozpraszanej na ciepło np. w wyniku tarcia, rezystancji w
obwodach elektrycznych, opory przepływu gazów i cieczy
- elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej, np. w bezwładności częściach ruchomych
lub cewkach indukcyjnych obwodów elektrycznych
- elementy magazynujące energię w postaci potencjalnej, np. sprężyny w układach mechanicznych,
kondensatory w układach elektrycznych, sprężony gaz
Podział:
Przetworniki pomiarowe są urządzeniami przetwarzającymi energię a w zależności od jej rodzaju
można wyróżnić przetworniki mechaniczne, cieplne, optyczne, chemiczne.
Jeżeli sygnał wejściowy i wyjściowy różnią się rodzajem energii stosuje się nazwy przetworników
określających taką przemianę energii, np. przetworniki elektromechaniczne, fotoelektryczne,
elektrochemiczne.
Najpowszechniejsze przetworniki: kotły, transformatory, sprężarki, generatory elektryczne,
analogowo-cyfrowe lub cyfrowo-analogowe, elektroakustyczne, piezoelektryczne, itp.
2. Struktury podstawowych układów pomiarowych (opisać)
Przez połączenie przetworników współpracujących w procesie pomiaru powstaje układ pomiarowy
realizujący ciąg kolejnych odwzorowań wielkości mierzonej.
Właściwości układu pomiarowego jako całości są określone właściwościami poszczególnych
przetworników oraz sposobem ich połączenia w jedną całość.
Sposób połączenia przetworników w układzie pomiarowym określa jego strukturę.
Układy pomiarowe mogą mieć strukturę łańcuchową, równoległą i zamkniętą.
�� Układ o strukturze łańcuchowej
W układach o strukturze łańcuchowej tor przetwarzania nie jest rozgałęziony, nie ma w nim węzłów
sumacyjnych, a wszystkie procesy przetwarzania zachodzą tylko w jednym kierunku  od wejścia do
wyjścia układu pomiarowego.
Własności dynamiczne takiego układu można wyznaczyć na podstawie znajomości właściwości
dynamicznych poszczególnych przetworników.
�� Układ o strukturze równoległej
W układach o strukturze równoległej zazwyczaj są dwa tory i tworzona jest różnica wielkości
występujących w tych torach. Dlatego też układy takie nazywa się różnicowymi.
Występują dwie odmiany układów różnicowych.
- W pierwszym wielkość mierzona oddziałuje wyłącznie na jeden tor, na drugi działa wielkość
wzorcowa. Powstała różnica jest miarą odchyłki wielkości mierzonej od wzorca.
- W drugim układzie na oba tory różniące się charakterystykami statycznymi oddziałuje wielkość
mierzona.
Układy o tej strukturze stosuje się przede wszystkim w celu polepszenia statycznych właściwości
metrologicznych układ: liniowości i czułości.
Różnice właściwości dynamicznych obu torów mają istotne znaczenie dla dynamiki całego układu,
mogą być również celowo wykorzystywane do dokonywania szczególnych operacji dynamicznych na
wielkości mierzonej.
�� Układ o strukturze zamkniętej
Cechą charakterystyczną układów o strukturze zamkniętej jest występowanie sprzężenia zwrotnego,
obejmującego cały tor pomiarowy (układy kompensacyjne) lub jego części (układy komparacyjne).
- Układy ściśle kompensacyjne są układami typowo laboratoryjnymi i w technice pomiarów
dynamicznych praktycznie nie występują.
- Właściwości dynamiczne układu komparacyjnego zależą od właściwości czujnika lub jego części nie
objętych sprzężeniem zwrotnym oraz od właściwości dynamicznych pętli sprzężenia zwrotnego.
3. Modele matematyczne przetworników rzeczywistych ( opis, transmitancje, wzory
itp.)
Model matematyczny przetwornika służy do opisu przetwarzania sygnałów pomiarowych.
Opis przetwarzania sygnałów zawarty w modelu matematycznym przetwornika jest związany z
przetwarzaniem energii.
Przetwornik pomiarowy jako czwórnik
Przetwornik pomiarowy stanowi czwórnik, w którym wyróżnia się dwie wielkości wejściowe i dwie
wielkości wyjściowe. Iloczyny tych wielkości przedstawiają odpowiednio moc i energię wejściową i
wyjściową.
Wielkości wejściowe i wyjściowe są dostępne na zaciskach czwórnika i mogą być pomierzone bez
znajomości wewnętrznego układu połączeń czwórnika.
Do opisu bardzo różnorodnych wielkości fizycznych występujących na zaciskach czwórników
wykorzystuje się terminy uogólnionych sił, uogólnionych prędkości i uogólnionych współrzędnych a
także uogólnionych rezystancji, impedancji i in.
Ze względu na różnorodność zjawisk fizycznych w przetwornikach pomiarowych i różnorodność ich
konstrukcji wskazany jest opis matematycznych zjawisk za pomocą wielkości o charakterze
uogólnionych sił, prędkości lub przemieszczeń.
Opisem takim w warunkach dynamicznych jest równanie Lagrange a.
ć� ��
d ś�Ek ś�Ek ś�D ś�Ep
�� �� -� +� +� =� Fj
�� ��
&� &�
dt ś�qj ś�qj ś�qj ś�qj
Ł� ł�
Fj-siła uogólniona
D-energia dyscypacji
Ek-energia kinetyczna
Ep-energia potencjalna
Równania różniczkowe
Z równań Lagrange a wynikają równania różniczkowe, które stanowią model matematyczny
przetwornika w dziedzinie czasu.
Równania liniowe przetworniki liniowe
Równania nieliniowe przetworniki nieliniowe
�� Przetworniki liniowe
- o elementach skupionych  opisane równaniami o stałych współczynnikach
- o elementach rozłożonych  opisane równaniami cząstkowymi
- o elementach zmiennych w czasie  opisane równaniami parametrycznymi
�� Przetworniki nieliniowe  można wyróżnić takie same grupy jak dla przetworników
liniowych, jednak bardziej przydatne w praktyce jest wyróżnienie grupy przetworników,
których jedynie charakterystyka statyczna jest nieliniowa, natomiast równanie ma charakter
liniowy.
Nieliniowa charakterystyka wyróżnia się analitycznie:
y =� f (x)
Natomiast równanie ma postać:
m n
d y dy df (x) d f (x)
Am m +�K�+� A1 +� A0 y =� B0 f (x) +� B1 K�+� Bn n
dt dt dt dt
Przyjmując jako wymuszenie funkcję f(x), równanie można traktować jako liniowe.
W rzeczywistości nie istnieją układy całkowicie liniowe.
Przyczyny nieliniowości w przetwornikach pomiarowych np.:
- występowanie tarcia suchego
- nieliniowość statycznej charakterystyki przetwarzania
nieliniowość przebiegu zjawisk fizycznych wykorzystywanych w przetworniku
Linearyzacja  zastąpienie układu nieliniowego w pobliżu punktu ustalonej równowagi
równoważnym mu w określonym zakresie układem liniowym.
Linearyzacja polega na:
- pominięciu skutków pewnych zjawisk nieciągłych
- założeniu że siły tłumiące w elementach tłumiących są proporcjonalne do prędkości
- zastąpieniu funkcji ciągłych pierwszym wyrazem szeregu z pominięciem wyrazów następnych
- zawężeniu zakresu pomiarowego
Większość opisów modelowych sprowadza się do układów równań o stałych współczynnikach A i B.
m 2 2 n
d y d y dy dx d x d x
Am m +�K�+� A2 2 +� A1 +� A0 y =� B0x +� B1 +� B2 2 +�K�+� Bn n
dt dt dt dt dt dt
Współczynniki w równaniu są zazwyczaj funkcjami takich wielkości jak rezystancja, pojemność, masa
itp.
Rząd równania różniczkowego m jest nazywany rzędem przetwornika (m>n).
Transmitancja operatorowa
Właściwości dynamiczne liniowego układu o stałych współczynnikach opisuje się za pomocą
transmitancji.
Transmitancją operatorową nazywa się stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s)
transformaty sygnału wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych. Transmitancję
operatorową nazywa się także przepustowością lub funkcją przejścia układu.
Dokonując transformacji całkowej Laplace a podanego równania otrzymuje się:
Y(s) Bnsn +� Bn-�1sn-�1 +�K�+� B2s2 +� B1s +� B0
G(s) =� =�
X (s) Amsm +� Am-�1sm-�1 +�K�+� A2s2 +� A1s +� A0
Właściwości transmitancji:
a) Właściwości układu są odzwierciedlone we współczynnikach A i B wielomianów mianownika i
licznika
b) Transmitancja nie zależy od sygnałów ani od zmiennych stanów układu, a jedynie od stałych
cech układu, wyrażonych równaniem różniczkowym i parametrami układu
c) Mianownik transmitancji jest wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego
badanego układu. W układach realizowalnych zawsze jest m ł� n
d) Przy s �� 0transmitancja przekształca się w współczynnik wzmocnienia statycznego (o ile
istnieje i ma skończoną wartość)
B0
k =� G(0) =�
A0
e) Transmitancję można przedstawić w postaci
Bn (s -� l1)(s -� l2 )K�(s -� ln ) L(s)
G(0) =� =�
Am (s -� s1)(s -� s2 )K�(s -� sm ) M (s)
Transmitancja określa syntetycznie właściwości dynamiczne układu.
Transmitancja widmowa
Jeśli sygnały wejściowy i wyjściowy są przedstawione w postaci symbolicznej, to ich stosunek nazywa
się transmitancją widmową i oznacza się G(j�).
Y( jw�)
G( jw�) =� G( jw�) =� G(s)
s=� jw�
X ( jw�)
Transmitancja widmowa opisuje charakter odpowiedzi wymuszonej układu na wymuszenie
harmoniczne.
jw�t
Wymuszenie harmoniczne: X ( jw�) =� X (cosw�t +� j sinw�t) =� X e
m m
Odpowiedz
przetwornika liniowego znajduje się z zależności: Y( jw�) =� X ( jw�)G( jw�)
Odpowiedz
ustalona:
j(w�t+�j�)
Y( jw�) =� Ym[cos(w�t +�j�) +� j sin(w�t +�j�)] =� Yme
Transmitancja widmowa G( jw�) jest funkcją zespoloną, można więc zapisać:
jj�(w�) jj�(w�)
G( jw�) =� P(w�) +� jQ(w�) =� G( jw�) e =� G(w�)e
Moduł transmitancji widmowej jest równy stosunkowi amplitud sygnałów wyjściowego i
wejściowego i nazywa się charakterystyką częstotliwościową amplitudową.
Ym
G( jw�) =� G( jw�) =�
X
m
Argument transmitancji widmowej określa przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
harmonicznym i jest nazywane charakterystyką częstotliwościową fazową.
4. Charakterystyki przetworników (rodzaje wymuszeń, charakt. ), modele przetworników
rzeczywistych(ze wzorami)
Wyróżniamy:
�� Charakterystyka statyczna opisuje zależność jaka zachodzi między sygnałem wejściowym a
wyjściowym w stanach ustalonych (czyli kiedy nie ulegają zmianie sygnały wejściowe oraz
wyjściowe jak również nie zmieniają się zakłócenia).
�� Charakterystyka dynamiczna opisuje zależność jaka zachodzi między sygnałem wejściowym a
wyjściowym w stanach nieustalonych. W miernictwie dynamicznym wykorzystywana do
opisu właściwości przetworników.
Do charakterystyk dynamicznych zaliczamy:
�� Charakterystykę czasową
�� Charakterystyki częstotliwościowe:
- amplitudowo  częstotliwościową
- fazowo  częstotliwościową
- amplitudowo  fazową
Charakterystyki czasowe
Najczęściej stosowane wymuszenia:
�� Impulsowy przebieg sygnału (delta Diraca) x(t) =� Ad� (t)
Jeżeli wymuszenie jest przybliżoną realizacją impulsu Diraca to przebieg y(t) jest nazywany
odpowiedzią impulsową k(t).
�� Skokowy przebieg sygnału (funkcja skokowa Heaviside a) x(t)=A1(t)
Jeżeli przetwornik przed pobudzeniem skokiem jednostkowym znajdował się w stanie ustalonym, to
przebieg odpowiedzi y(t) jest nazywany odpowiedzią skokową h(t).
Transmitancja G(s) jest transformatą Laplace a odpowiedzi impulsowej k(t)
G(s) =���[k(t)]
Zależność między odpowiedzią skokową i impulsową wyraża się równaniem
t
h(t) =� )dt
��k(t�
0
Współczynnik wzmocnienia statycznego k układu liniowego można wyznaczyć
k =� lim h(t) =� lim G(s)
t��Ą� s��0
Charakterystyki częstotliwościowe
Modele przetworników rzeczywistych
�� Przetwornik pomiarowy zerowego rzędu (bezinercyjny, proporcjonalny)
Y(t)=kx(t)
B0
G(s) =� =� k ; k- wsp.wzmocnienia, Ao,Bo  wsp. równania
A0
m 2 2 n
d y d y dy dx d x d x
Am m +�K�+� A2 2 +� A1 +� A0 y =� B0x +� B1 +� B2 2 +�K�+� Bn n
dt dt dt dt dt dt
�� Przetwornik pierwszego rzędu- zawiera jeden element magazynujący energię
&�
A1 y +� A0 y =� B0x
Y(s) k
G(s) =� =�
X (s) 1+� sT
&�
Ty +� y =� kx
Przy czym
k=B0/A0  wsp.wzmocnienia statycznego
T=A1/A0  stała czasowa
�� Przetwornik drugiego rzędu
&� &�
A2 y +� A1 y +� A0 y =� B0 x
Y(s) kw�0 2
G(s) =� =�
2
X (s)
s2 +� 2z�w� s +� w�0 2
0
&�&� &�
y +� 2z�w� y +� w�0 2 y =� w�0 2kx
0
przy czym parametry charakteryzujące przetwornik drugiego rzędu można zapisać następująco:
K=B0/A0  wsp.wzmocnienia statycznego
w�0 =� A0 / A2 - częstotliwość drgań swobodnych nietłumionych
z� =� A1 / 2 A0 / A2 - stopień tłumienia
5. Filtracja i filtry (definicja, podział, typy, charakterystyki)
Filtracją nazywamy proces przetwarzania sygnału w dziedzinie czasu. Polegający na redukowaniu i
odfiltrowywaniu nie pożądanych składowych zawartych w sygnale wejściowym.
Ze względu na typ przetwarzania sygnałów filtrację dzieli się na:
�� Analogową  filtr analogowy działa na sygnale ciągłym, jest nim układ elektroniczny np. RLC
�� Cyfrową  jest to przetwarzanie ciągu wartości próbek, filtrem cyfrowym jest algorytm lub
proces obliczeniowy w wyniku którego jedna sekwencja liczb zamieniana jest w inną
sekwencję.
Filtrem częstotliwości nazywamy układ o strukturze czwórnika, który przepuszcza bez tłumienia lub z
małym tłumieniem napięcia i prądy o określonym paśmie częstotliwości a tłumi napięcia i prądy
leżące poza tym pasmem.
Pasmo częstotliwości które filtr przepuszcza bez tłumienia (lub z małym tłumieniem) nosi nazwę
pasma przepustowego, zaś pasmo w którym napięcia i prądy podlegają tłumieniu nosi nazwę pasma
tłumieniowego.
Częstotliwość, która stanowi granicę pomiędzy pasmem przepustowym a pasmem tłumienia,
nazywana jest częstotliwością graniczną fg. Częstotliwość graniczna wyrażana w Hz może być również
opisać za pomocą pulsacji granicznej �g, której jednostką jest rad/s.
W zależności od położenia pasma przepustowego filtry dzieli się na:
�� Dolnoprzepustowe  posiadające pasmo przepustowe zawarte między częstotliwością
zerową a częstotliwością graniczną
�� Górnoprzepustowe  posiadające pasmo przepustowe powyżej częstotliwości granicznej
�� Środkowoprzepustowe  posiadające pasmo przepustowe zawarte między dwoma
częstotliwościami granicznymi oraz dwa pasma tłumienia poniżej i powyżej częstotliwości
granicznych
�� Środkowozaporowe  posiadające dwa pasma przepustowe poniżej i powyżej pewnych
częstotliwości granicznych oraz pasmo tłumienia zawarte między tymi częstotliwościami
Ze względu na konstrukcję filtry można podzielić na:
�� Pasywne  zbudowane z samych elementów pasywnych RLC
- filtry reaktancyjne L, C  zbudowane z cewek i kondensatorów
- filtry bezindukcyjne R, C  zbudowane z rezystorów i kondensatorów
- filtry piezoelektryczne  materiały piezoelektryczne charakteryzują się tym, że przy
odkształceniach mechanicznych pomiędzy ich powierzchniami generowane jest napięcie
�� Aktywne  zawierają zarówno elementy RLC, jak również i elementy dostarczające energię
do filtrowanego układu, np. wzmacniacze, układy nieliniowe.
Podstawowe parametry charakteryzujące pasywny filtr częstotliwości to:
- współczynnik tłumienia filtru  wielkość określająca jaka część sygnału wejściowego znajdzie się
przy określonej częstotliwości na wyjściu filtru
- współczynnik przesunięcia fazowego  kąt przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem na wejściu a
napięciem na wyjściu filtru
- częstotliwość graniczna  wartość częstotliwości oddzielająca pasmo przepustowe od zaporowego
- impedancja falowa  taka impedancja odbiornika dołączonego do zacisków wyjściowych filtru, przy
której impedancja mierzona na wejściu czwórnika jest równa impedancji odbiornika
Ze względu na sposób przetwarzania sygnałów filtry cyfrowe dzielimy na:
�� Nierekursywne  o skończonej odpowiedzi impulsowej
�� Rekursywne  o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
Charakterystyki filtrów
Odpowiedz
na skok jednostkowy  to odpowiedz
filtru gdy na jego wejście podamy funkcję skoku
jednostkowego. Jest to zależność napięcia od czasu, analiza tej charakterystyki pozwala ocenić jak
szybko układ po załączeniu lub zmianie napięcia osiągnie stan ustalony.
Wyróżnia się tu:
- czas narastania odpowiedzi  jest to czas w którym napięcie wyjściowe osiągnie poziom 90% do
swojej wartości maksymalnej (tr)
- czas ustalania  czas w jakim napięcie wyjściowe ustala się w obrębie 5% odchylenia od swojej
wartości końcowej (ts)
- przerzut  maksymalna wartość napięcia o jakie napięcie wyjściowe przewyższa chwilowo swoją
wartość końcową
- tętnienie  wokół średniej wartości końcowej
Typy filtrów
Wyróżniamy cztery podstawowe typy filtrów:
�� Butterwortha
�� Czebyszewa
�� Eliptyczny
�� Bessela
Filtr Butterwortha charakteryzuje się płaskim pasmem przepustowym, nieliniowością charakterystyki
fazowej oraz małą stromością charakterystyki ( którą można zwiększyć zwiększając rząd filtru)
Filtr Czebyszewa charakteryzuje się tętnieniami pasma przepustowego oraz zaporowego,
nieliniowością charakterystyki fazowej i większą w porównaniu z filtrem Butterwortha stromością
charakterystyki.
Filtr Czebyszewa I rodzaju
Filtr Czebyszewa II rodzaju
Filtr Eliptyczny charakteryzuje się dużą nieliniowością charakterystyki fazowej oraz dużą stromością
nachylenia charakterystyki. W paśmie przepustowym oraz zaporowym występują tętnienia.
Filtr Bessela charakteryzuje się małą stromością charakterystyki amplitudowej oraz wyjątkowo płaską
charakterystyką fazową.
6. Filtry cyfrowe ( rekursywne i nierekursywne, rysunki wzory w postaci ogólnej i
transmitancje)
Dzielimy je na:
- nierekursywne  SOI
- rekursywne  NOI
Nierekursywne (FIR)
p-liczba próbek
bp-wsp filtra
z-1- opóz
nienie o 1 próbkę
Są to filtry w strukturze których nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego, każda próbka odpowiedzi
nie zależy od poprzednich a jedynie od próbek wymuszenia, w rezultacie odpowiedz
impulsowa
dowolnego filtru nierekursywnego ma zawsze skończoną liczbę próbek. Są zawsze stabilne, liniowe.
P
y(n) =� x(n -� i)
��b
i
i=�0
y(n)  próbka wyjściowa
x(n-i)  próbka wejściowa opóz
niona o i okresów próbkowania
bi  wsp filtru FIR
p
p
G(z) =� z-�i =� b0 +� b1z-�1 +�K�+� bp z
Transmitancja:
��bi
i=�0
Wady i zalety:
- liniowa charakterystyka fazowa
- stabilność
- prostota projektowania
- duża liczba wsp. wagowych dla uzyskania stromej charakterystyki (duża złożoność obliczeniowa);
wysokie pasmo zaporowe
Filtry rekursywne (IIR)- występuje w ich strukturze pętla sprzężenia zwrotnego, każda próbka
odpowiedzi zależy od poprzednich więc odpowiedz
impulsowa tego filtru może mieć nieskończoną
liczbe próbek
Na powyższym schemacie moduły oznaczają opóz
nienie sygnału o jedną próbkę,
natomiast oraz są współczynniki filtru.
p q
Równanie: y(n) =� x(n -� i) +� y(n -� j)
��ai ��bj
i=�0 j=�1
Transmitancja:
gdzie: Y(z) - transformata Z wyjścia, X(z) - transformata Z wejścia
lub po rozpisaniu wzorów na wielomiany opisujące bieguny i zera:
Wady i zalety:
- niska złożoność obliczeniowa algorytmów
- zagrożenie utraty stabilności
- brak możliwości zaprojektowania filtru o liniowej charakterystyce fazowej
- znacznie trudniejsze projektowanie (koszty)