05.11.2009 1
Systemy liczbowe
W systemie dziesiętnym ciąg cyfr 123.45 oznacza liczbę
o wartości:
1·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10-1+5·10-2 =
= 100 + 20 + 3 + 0.40 + 0.05 = 123.45
05.11.2009 2
Liczba dziesiętna:
123.45
pozycja -2 (10-2)
pozycja -1 (10-1)
pozycja 0 (100)
pozycja 1 (101)
pozycja 2 (102)
05.11.2009 3
OznaczajÄ…c podstawÄ™ systemu liczbowego przez p ,
a cyfry przez ai , można każdą liczbę N zawierającą
n-cyfrową część całkowitą i m-cyfrową część
ułamkową, przedstawić w postaci szeregu:
N = an-1·pn-1 + an-2·pn-2 +...+ a0·p0 + a-1·p-1 + a-2·p-2 +...+ a-m·p-m =
n 1
ai pi
i m
lub w następującej prostszej postaci:
N = an-1 an-2 ... A0 . a-1 a-2 ... a-m
gdzie kropka jest używana do oddzielenia części
całkowitej od części ułamkowej
05.11.2009 4
W systemie dziesiętnym podstawa jest równa 10.
W systemie dziesiętnym cyframi są: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.
W systemie dwójkowym (binarnym) podstawa jest równa 2.
W systemie dwójkowym cyframi są: 0, 1.
W systemie dwójkowym ciąg cyfr: 1001.01 oznacza liczbę
dziesiętną o wartości:
1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2 =
= 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = 9.25
05.11.2009 5
Liczba dwójkowa
1001.01
(binarna):
pozycja -2 (2-2)
pozycja -1 (2-1)
pozycja 0 (20)
pozycja 1 (21)
pozycja 2 (22)
pozycja 3 (23)
05.11.2009 6
W celu odróżnienia liczb o różnych podstawach stosuje się
notacje polegającą na ujęciu zapisu liczby w nawiasy
okrągłe ( ) oraz podaniu podstawy systemu liczbowego
jako indeksu. Na przykład:
(1001.01)2 = (9.25)10
Cyframi w systemie ósemkowym są:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Cyframi w systemie szesnastkowym sÄ…:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
05.11.2009 7
W systemie ósemkowym ciąg cyfr 123.45 oznacza liczbę
dziesiętną o wartości:
1·82 + 2·81 + 3·80 + 4·8-1+5·8-2 =
= 64 + 16 + 3 + 0.5 + 0.078125 = 83.578125
05.11.2009 8
Liczba ósemkowa:
123.45
pozycja -2 (8-2)
pozycja -1 (8-1)
pozycja 0 (80)
pozycja 1 (81)
pozycja 2 (82)
05.11.2009 9
W systemie szesnastkowym ciÄ…g cyfr F5A.C8 oznacza
liczbę dziesiętną o wartości:
15·162 + 5·161 + 10·160 + 12·16-1+8·16-2 =
= 3840 + 80 + 10 + 0.75 + 0.03125 = 3930.78125
05.11.2009 10
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
05.11.2009 11
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część całkowita: 25
25/2 = 12 reszta = 1
12/2 = 6 reszta = 0
6/2 = 3 reszta = 0
3/2 = 1 reszta = 1
1/2 = 0 reszta = 1
05.11.2009 12
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część całkowita: 25
25/2 = 12 reszta = 1 najmniej znaczÄ…ca cyfra
12/2 = 6 reszta = 0
6/2 = 3 reszta = 0
3/2 = 1 reszta = 1
1/2 = 0 reszta = 1 najbardziej znaczÄ…ca cyfra
05.11.2009 13
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część całkowita: 25
25/2 = 12 reszta = 1
12/2 = 6 reszta = 0
6/2 = 3 reszta = 0
3/2 = 1 reszta = 1
1/2 = 0 reszta = 1
05.11.2009 14
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część całkowita: 25
25/2 = 12 reszta = 1
11001
12/2 = 6 reszta = 0
6/2 = 3 reszta = 0
3/2 = 1 reszta = 1
(25)10 = (11001)2
1/2 = 0 reszta = 1
05.11.2009 15
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część ułamkowa: 0.90625
0.90625 · 2 = 1.8125 część caÅ‚kowita = 1
0.81250 · 2 = 1.6250 część caÅ‚kowita = 1
0.62500 · 2 = 1.2500 część caÅ‚kowita = 1
0.25000 · 2 = 0.5000 część caÅ‚kowita = 0
0.50000 · 2 = 1.0000 część caÅ‚kowita = 1
05.11.2009 16
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część ułamkowa: 0.90625
0.90625 · 2 = 1.8125 część caÅ‚kowita = 1
0.81250 · 2 = 1.6250 część caÅ‚kowita = 1
0.62500 · 2 = 1.2500 część caÅ‚kowita = 1
0.25000 · 2 = 0.5000 część caÅ‚kowita = 0
0.50000 · 2 = 1.0000 część caÅ‚kowita = 1
05.11.2009 17
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
dwójkową (binarną)
Przykład 1. Zamiana liczby dziesiętnej 25.90625 na liczbę
dwójkową (binarną):
Część ułamkowa: 0.90625
0.90625 · 2 = 1.8125 część caÅ‚kowita = 1
0.81250 · 2 = 1.6250 część caÅ‚kowita = 1
0.62500 · 2 = 1.2500 część caÅ‚kowita = 1
0.25000 · 2 = 0.5000 część caÅ‚kowita = 0
11101
0.50000 · 2 = 1.0000 część caÅ‚kowita = 1
(0.90625)10 = (0.11101)2
05.11.2009 18
A
ącząc część całkowitą i ułamkową ostatecznie otrzymujemy:
(25.90625)10 = (11001.11101)2
05.11.2009 19
Reprezentacja liczb całkowitych
" Kod znak-moduł
" Kod znak-uzupełnienie do dwóch
05.11.2009 20
Reprezentacja liczby całkowitej
w kodzie znak-moduł
" Liczba dodatnia: 0 na pierwszym bicie (bicie
znaku)
" Liczba ujemna: 1 na pierwszym bicie (bicie
znaku)
" Na przykład, 3 w zapisie znak-moduł 0 011
" Na przykład, -3 w zapisie znak-moduł 1 011
05.11.2009 21
Przykłady:
Zapis dziesiętny Zapis znak-moduł
3 0 011
2 0 010
1 0 001
0 0 000
0 1 000
-1 1 001
-2 1 010
-3 1 011
05.11.2009 22
Reprezentacja liczby całkowitej
w kodzie znak-uzupełnienie do 2
" Liczba dodatnia jest reprezentowana tak jak
w zapisie znak-moduł.
" Liczba ujemna może byd otrzymana
w następujący sposób: negowany jest każdy
bit liczby, a następnie do tak zanegowanego
ciągu bitów dodaje się 1. Uwaga: to nie jest
definicja kodu znak-uzupełnienie do 2.
05.11.2009 23
Przykład zapisu liczby całkowitej w kodzie
znak-uzupełnienie do 2
" 3 w zapisie znak-uzupełnienie do 2: 0 011
" -3 w zapisie znak-uzupełnienie do 2 może byd
uzyskana w następujący sposób: negowany
jest każdy bit liczby 3, to znaczy negowany jest
każdy bit w ciągu bitów 0 011. Po negacji
otrzymujemy 1 100. Następnie do
1 100 dodajemy 1 otrzymujÄ…c 1 101.
05.11.2009 24
Przykłady:
Zapis Zapis
dziesiętny znak-uzupełnienie do 2
3 0 011
2 0 010
1 0 001
0 0 000
-1 1 111
-2 1 110
-3 1 101
05.11.2009 25
Kod ASCII
American Standards Code for Information Interchange
System kodowania znaków. W tablicy znaków ASCII
zebrane są używane znaki alfanumeryczne (litery, cyfry
i inne znaki) i przyporzÄ…dkowane im kody liczbowe.
Istnieją dwa rodzaje kodu ASCII: 7-bitowy (możliwość
zapisu 128 znaków), oraz 8-bitowy (256 znaków, można
zdefiniować tam np. polskie znaki narodowe). Kody
ASCII sÄ… zazwyczaj podawane w postaci liczb w zapisie
szesnastkowym.
05.11.2009 26
Przykłady:
Znak Kod binarny ASCII Kod szesnastkowy ASCII
A 0100 0001 41
a 0110 0001 61
B 0100 0010 42
b 0110 0010 62
... ... ...
1 0011 0001 31
2 0011 0010 32
...
05.11.2009 27
05.11.2009 28
Synchroniczne układy sekwencyjne
05.11.2009 29
05.11.2009 30
05.11.2009 31
05.11.2009 32
05.11.2009 33
05.11.2009 34
05.11.2009 35
05.11.2009 36
05.11.2009 37
05.11.2009 38
05.11.2009 39
05.11.2009 40
05.11.2009 41
05.11.2009 42
05.11.2009 43
05.11.2009 44