Dr hab. Krzysztof Komęza prof. PA

1
Model dławika
DÅ‚awik jest wzbudzany
prądem stałym
uzwojeniem
umieszczonym na
sÄ…siedniej do
rozpatrywanej kolumny.
Część kolumny składa
się z dwóch różnych
materiałów
ferromagnetycznych
2
Model dławika
Obszar o stałej
przenikalnoÅ›ci µ1
i szerokości a
Rdzeń
wiodÄ…cy
strumień o
strumień o
znanej
wartoÅ›ci ¨
Obszar o stałej
przenikalnoÅ›ci µ2
i szerokości b
3
Model dławika - problem do rozwiązania
Rdzeń
wiodÄ…cy
strumień o
znanej
wartoÅ›ci ¨
Problem  okreÅ›lić rozpÅ‚yw strumienia ¨ na strumienie ¨1 -
przenikajÄ…cy przez obszar o przenikalnoÅ›ci µ1 i strumieÅ„ ¨2 -
przenikajÄ…cy przez obszar o przenikalnoÅ›ci µ2
4
Model dławika
Model 3D
dławika
zaznaczony
podział na
ostrosłupy
ostrosłupy
będące
elementami
podziału dla
siatki
przestrzennej
5
Model dławika
Rzeczywisty rozkład
modułu indukcji
magnetycznej w
rozpatrywanym
dławiku
6
Model dławika
Wektory indukcji
przedstawione w
postaci stożków
7
Uproszczenia modelu
Zakładamy, że pole magnetyczne w obszarze kolumny ma tylko
składową y, a więc wektor B będzie miał postać:
B = 1x0 +1y By +1z0
Zakładamy również, że kolumna zawierająca badany układ jest
dostatecznie długa, a więc nie występują w niej zmiany pola w
dostatecznie długa, a więc nie występują w niej zmiany pola w
kierunku y oraz nie występują żadne zjawiska które
powodowałyby nierównomierność pola w kierunku z. Przyjęcie
takich założeń powoduje, że wszystkie pochodne wielkości
polowych w kierunku y oraz z będą równe zeru.
" "
a" 0 a" 0
"y "z
8
Równanie opisujące
Do opisu pola magnetycznego w obrębie kolumny dławika
zastosujemy pierwsze równanie Maxwell a
"D
rot H = J +
"t
Pole wzbudzane jest prądem stałym w czasie mamy więc do
czynienia z problemem magnetostatycznym w którym oczywiście
czynienia z problemem magnetostatycznym w którym oczywiście
nie będą występować prądy przesunięcia. Ponieważ uzwojenie
wzbudzające jest umieszczone na sąsiedniej kolumnie równanie w
badanym przez nas obszarze uprości się do równania postaci
rot H = 0
9
Równanie opisujące
Zgodnie z równaniem konstytutywnym
Å‚ = µ
ZakÅ‚adamy, że Å›rodowisko jest liniowe (a wiÄ™c µ nie jest funkcjÄ…
H) oraz izotropowe (a wiÄ™c µ jest wartoÅ›ciÄ… skalarnÄ… a nie
tensorem). Stąd też nasze założenie co do B będzie przenosić się na
tensorem). Stąd też nasze założenie co do B będzie przenosić się na
wektor H.
B = 1x0 +1y By +1z0
H = 1x0 + 1y H + 1z0
y
10
Równanie opisujące
Równanie opisujące przyjmie więc postać po uwzględnieniu
uproszczeń:
i j k
" " "
rotH = =
"x "y "z
"x "y "z
Hx H Hz
y
"H
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"Hz "H y ÷Å‚ "Hx "Hz "Hx
öÅ‚
y
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= 1xìÅ‚ - + 1yëÅ‚ - +1z ìÅ‚ - = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
"y "z "z "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" "
H = 1x0 + 1y H + 1z0
a" 0 a" 0
y
"y "z
11
Równanie opisujące
Równanie opisujące przyjmie więc postać po uwzględnieniu
uproszczeń:
"H
ëÅ‚ öÅ‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
rotH = 1z ìÅ‚ = 0
÷Å‚
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ wektor jest zerowy kiedy wszystkie jego składowe są
zerowe otrzymujemy równanie postaci
"H
y
= 0
"x
Równanie to jest spełnione przez każdy rozkład Hy stały względem
x czyli przez dowolną wartość stałą Hy.
12
Równanie opisujące
Stąd też do opisu pola będziemy chcieli zastosować magnetyczny
potencjał wektorowy opisywany zależnością:
rot A = B
i j k
" " "
" " "
rot A = =
A = =
"x "y "z
Ax Ay Az
"Ay "Ax
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"Az "Ay "Ax "Az
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= 1xìÅ‚ - +1yëÅ‚ - +1z ìÅ‚ - =
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
"y "z "z "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= 1x Bx +1y By +1z Bz
13
Równanie opisujące
Dla opisu pola płaskiego a tym bardziej pola z którym mamy do
czynienia w naszym przypadku wystarczy zastosowanie
potencjału, który ma tylko składową z-tową niezerową
i j k
" " "
" " "
rot A = =
rot A = =
"x "y "z
0 0 Az
ëÅ‚ öÅ‚
"Az "Az
öÅ‚
ìÅ‚
= 1xìÅ‚ ÷Å‚ +1yëÅ‚- = 1x Bx +1y By
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
"y "x
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
14
Równanie opisujące
Mamy więc:
"Az
ëÅ‚- öÅ‚
By =
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚ = µ
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
StÄ…d:
1 "A
1 "Az
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚- öÅ‚
H =
ìÅ‚ ÷Å‚
y
µ "x
íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawiając do równania opisującego, które uzyskaliśmy
poprzednio
ëÅ‚ 1 "Az öÅ‚
ëÅ‚-