Ogolnotech(dla Bio I) W V

OGÓLNOTECHNICZNE
PODSTAWY BIOTECHNOLOGII
Z GRAFIK INŻYNIERSK
Wykład V
Podstawowe zasady statyki
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1
ELEMENTY STATYKI
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
POJCIA STOPNIA SWOBODY I WIZÓW
W statyce bardzo ważną rolę odgrywają pojęcia stopni swobody
oraz więzów.
Stopniem swobody nazywamy możliwość wykonywania przez dane
ciało pewnego ruchu niezależnego od innych ruchów.
Punkt materialny ma na płaszczyznie 2, a w przestrzeni 3 stopnie
swobody.
Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyznie 3, a w przestrzeni 6
stopni swobody.
Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch punktu lub ciała.
Więzy zawsze zmniejszają liczbę stopni swobody.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI
Statyka, podobnie jak większość nauk opiera się na zestawie pewnych
twierdzeń zaczerpniętych z innych dziedzin, które przyjmuje się jako
prawdziwe. Twierdzenia te nazywamy aksjomatami.
Aksjomaty statyki wynikają z podstawowych praw fizyki i zasad
rachunku wektorowego.
Ja przedstawię Państwu ujęcie, w którym funkcjonuje 6 aksjomatów.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI
Aksjomat I (zasada dodawania sił):
Dwie siły P1 i P2 działające na ten sam punkt można zastąpić jedną
siłą R działającą w tym samym punkcie i będącą sumą wektorową
wektorów P1 i P2.
Siłę R nazywamy wypadkową układu sił P1 i P2.
P1 P2 R
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI cd.
Aksjomat II (zasada równoważności sił):
Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły P1 i P2 to równoważą się
one tylko wtedy, kiedy mają tę samą linię działania, te same
wartości liczbowe i przeciwne zwroty.
P1 P2
P1 P2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI cd.
Aksjomat III (zasada układu zerowego):
Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni
się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ
równoważących się sił P2 i -P2 czyli tzw. układ zerowy.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI cd.
Aksjomat IV (zasada zesztywnienia):
Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod
działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w
równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne)
identyczne geometrycznie, pod wpływem tego samego
układu sił.
Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. że
równowaga ciała doskonale sztywnego jest konieczna ale nie
wystarczająca do równowagi ciała rzeczywistego.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI cd.
Aksjomat V (zasada działania i przeciwdziałania):
Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym
zwrocie i leżace na tej samej prostej przeciwdziałanie. To
przeciwdziałanie nazywamy siłą reakcji.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
AKSJOMATY STATYKI cd.
Aksjomat VI (zasada oswobodzenia od więzów):
Każde ciało nieswobodne (ograniczone więzami) można myślowo
oswobodzić z więzów, zastępując ich działania reakcjami, a następnie
rozpatrywać ciało swobodne (bez więzów) znajdujące się
pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów).
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ZBIEŻNE UKAADY SIA
Układy sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy
zbieżnymi układami sił. Takie układy mogą być płaskie lub przestrzenne.
y
F2 F2
z
F3
F1
M
M
F1
F4
F3 F4
O
y
O x
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ZBIEŻNE UKAADY SIA
WYZNACZANIE WYPADKOWEJ
Wypadkową zbieżnego układu sił wyznacza się przesuwając wszystkie siły do punktu
przecięcia i dodając wektory dowolną metodą.
y
F2 F2
z
F3
F1
M
M
F1
F4
F3 F4
O
y
O x
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ZBIEŻNE UKAADY SIA
WYZNACZANIE WYPADKOWEJ cd.
W przypadku płaskiego układu sił możemy zastosować metodę wieloboku. W przypadku
układu przestrzennego należy geometrycznie dodawać kolejne siły metodą równoległoboku
lub zbudować przestrzenny wielobok sił.
y
F2
F1
K
M W
W
A
F4
Stosując algebraiczny zapis sił jako wektorów
F3
znajdowanie wypadkowej polega na dodawaniu
wektorowym wszystkich sił składowych, czyli:
n
W F1 F2 ... Fn Fi
O x
i 1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ZBIEŻNE UKAADY SIA
PODSTAWOWE TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE
Z podstawowych praw fizyki wynika twierdzenie o równowadze ciała na które
działa zbieżny układ sił:
n
Ciało na które działa układ
sił zbieżnych F1,F2,& Fn
Fi 0
jest w równowadze statycznej
i 1
n
Fxi 0
i 1
Warunek po prawej stronie równoważności
n n
można zapisać algebraicznie za pomocą
Fi 0 Fyi 0
trzech równań dotyczących składowych:
i 1 i 1
n
Fzi 0
i 1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MOMENT SIAY WZGLDEM PUNKTU
Pojęcie momentu siły jest nieodzowne przy rozpatrywaniu sił niezbieżnych
działających na ciało płaskie lub przestrzenne. Istnieją różne momenty sił.
Najważniejszy jest moment siły względem punktu.
B
z
Momentem siły F względem punktu O
MO F
nazywamy wektor MO będący iloczynem
A
wektorowym wektorów r i F czyli
r
O
.
h
MO r F
Wektor r określa wzajemne położenie
punktu O i punktu zaczepienia siły A.
y
Składowe wektora r można obliczyć
za pomocą wzorów:
rx xA xO
x
ry yA yO
rz zA zO
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MOMENT SIAY WZGLDEM PUNKTU cd.
Definicja momentu siły łącznie z definicją iloczynu wektorowego wyznaczają
podstawowe własności momentu siły.
S
1. Długość momentu jest określona
B
wzorem:
z
MO F
A
r
MO r F sin( ) h F S
O
.
h
2. Kierunek momentu siły jest prostopadły
do płaszczyzny wyznaczonej przez
wektory r i F.
y
3. Zwrot wektora momentu siły wyznaczają
reguły korkociągu lub prawej dłoni.
4. Wektor MO jest wektorem swobodnym.
W razie potrzeby najczęściej zaczepia
x
się go w punkcie O.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MOMENT SIAY WZGLDEM PUNKTU cd.
5. Moment siły nie zależy od punktu
S
zaczepienia siły. Wynika to ze wzoru
B
z
określającego długość, w którym
MO F wielkość h oznacza odległość punktu O
od linii działania siły. Odległość h
A
r
nazywana jest ramieniem siły
O
względem punktu O.
.
h
6. Moment siły względem punktu leżącego
na jej linii działania jest wektorem
zerowym.
y
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MOMENT SIAY WZGLDEM PUNKTU
Twierdzenie Varignona
Z pojęciem momentu siły względem punktu wiąże się ważne
w statyce tzw. twierdzenie Varignona dotyczące układów sił.
Jeżeli na ciało działa dowolny układ sił P1,P2,& ,Pn a wypadkowa
tego układu wynosi W to moment siły tej wypadkowej jest równy
sumie momentów poszczególnych sił co można zapisać:
n
MO (W ) MO (Pi )
i 1
Oczywiście wszystkie momenty liczone są względem tego
samego punktu O.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Układ sił równoległych
Układ sił, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie nazywamy niezbieżnym.
Najprostszym niezbieżnym układem jest układ dwu sił równoległych na płaszczyznie.
Zasadniczym problemem dla takiego układu jest wyznaczenie wypadkowej tzn. jednej siły,
której skutek działania jest taki sam jak danego układu. Wyznaczenie wektora wypadkowej jest
bardzo proste. Rozważmy dwa przypadki, gdy dane siły równoległe są zgodne i przeciwne.
F1 F2
Wartość wypadkowej jest sumą wartości sił układu. Kierunek i zwrot jest
oczywiście zgodny z kierunkiem i zwrotem sił równoległych.
W F1 F2
Wartość wypadkowej jest różnicą wartości siły większej i mniejszej. Kierunek
jest taki sam, natomiast zwrot jest zgodny ze zwrotem siły większej.
W F1 F2
W obydwu przypadkach do wyznaczenia pozostaje linia działania wypadkowej.
F1 F2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Układ sił równoległych cd.
Linię działania układu sił równoległych można wyznaczyć metodą geometryczną (wykreślną)
i analityczną która wykorzystuje pojęcie momentu siły względem punktu.
Metoda geometryczna oparta jest na III aksjomacie statyki czyli zasadzie układu zerowego.
Na podstawie tego aksjomatu do dowolnego układu można dodać układ zerowy np. dwie równe
siły o przeciwnych zwrotach.
O
S1 S2=-S1
W R2
F2
R1
K
W=R1+R2=F1+F2
F1
Linia działania wypadkowej W
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Układ sił równoległych cd.
Metoda analityczna wyznaczania położenia linii działania siły wypadkowej wykorzystuje
tzw. twierdzenie Varignona, które mówi że moment siły wypadkowej dowolnego układ
względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentów wszystkich sił układu
n n
względem tego samego punktu O:
W Fi MO (W ) MO (Fi )
A O B
i 1 i 1
r1 r2
Załóżmy że dane są wartości sił |F1| i |F2| oraz odległość
ich linii działania czyli długość odcinka AB. Załóżmy że
linia działania wypadkowej układu przechodzi przez punkt O.
Punkt ten wyznacza odcinki r1=AO i r2=OB. Odcinki te
będziemy nazywać ramieniami sił. Na mocy twierdzenia
F2
Varignona możemy napisać:
r�
W
MO(W) 0 MO(F1) MO(F2)
Zatem znaki (zwroty) momentów obydwu sił względem
F1
punktu O muszą być przeciwne. Na podstawie dowolnej
reguły określającej zwrot momentów możemy stwierdzić,
że w przypadku gdy zwroty sił są zgodne punkt O musi
leżeć między siłami a w przypadku gdy zwroty są sił
przeciwne punkt O musi leżeć na zewnątrz odcinka AB.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Układ sił równoległych cd.
r�
MO(W) 0 MO(F1) MO(F2)
Rozpatrzmy teraz wartości powyższych momentów:
r�
MO (F1) MO (F2) 0 MO (F1) MO (F2)
MO (F1) F1 r1
A O B
r1 r2
MO (F2) F2 r2
F1 r1 F2 r2
Ostatnia równość nazywana jest regułą dzwigni.
F2 Wartości r1 i r2 możemy otrzymać rozwiązując układ
równań:
W
F1 r1 F2 r2
F1
r1 r2 AB
F2 F1
r1 AB r2 AB
F1 F2 F1 F2
Podobne wzory można otrzymać dla przypadku, gdy siły mają przeciwne zwroty. Wtedy, wypadkowa
leży na zewnątrz po stronie siły większej.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Para sił
Ważnym pojęciem w statyce jest przypadek sił równoległych o takich samych
wartościach ale przeciwnych zwrotach. Przypadek taki nazywamy parą sił.
Jest oczywiste, że długość wypadkowej pary sił wynosi 0.
Jednakże nieprawdą jest że układ, na który działa para
O F2=-F1
sił jest zrównoważony. Obliczmy bowiem sumaryczny
moment pary sił względem dowolnego punktu O.
r1 r2
MO(F1 F2) MO(F1) MO(F2)
r=r1-r2
r1 F1 r2 ( F1) r1 F1 r2 F1
(r1 r2) F1 r F1
Widzimy, że moment pary sił nie jest wektorem zerowym
F1
oraz że nie zależy on od wyboru punktu O. Wektor r
nazywamy ramieniem pary sił.
Zasadniczym skutkiem działania pary sił jest obrót ciała.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NIEZBIEŻNE UKAADY SIA
Podstawowe twierdzenie statyki
Kluczowe znaczenie w statyce ma twierdzenie o niezbieżnym układzie sił.
Załóżmy, że siły F1, F2,& Fn tworzą niezbieżny układ sił. Układ ten jest w równowadze
statycznej (tzn. nie porusza się lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym)
wtedy i tylko wtedy gdy jego wypadkowa jest wektorem zerowym a suma momentów
wszystkich sił względem dowolnego punktu również jest również wektorem zerowym.
n
r�
W Fi 0
i 1
Układ F1, F2,& Fn jest
n
r�
w równowadze statycznej
MO (Fi ) 0
i 1
Algebraiczny zapis powyższych warunków jest układem 6-ciu równań dla odpowiednich składowych:
n n
Fxi 0 M 0
xi
i 1 i 1
n n
Fyi 0 M 0
yi
i 1 i 1
n n
Fzi 0 M 0
zi
i 1 i 1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Dziękuję bardzo Państwu za uwagę
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ogolnotech(dla Bio I) W III
Ogolnotech(dla Bio Ir) WYKLAD XI
Ogolnotech(dla Bio I) W X
Ogolnotech(dla Bio I) W VI
Ogolnotech dla Bio IV WYKLAD VII
Ogolnotech(dla Bio I) W XII
Ogolnotech(dla Bio I) WYKLAD IX
Ogolnotech(dla Bio Ir) WYKLAD X
Ogolnotech dla Bio Ir WYKLAD IX
Ogolnotech dla Bio WYKLAD VI

więcej podobnych podstron