Przykład 9.5
Pewien sprinter w 12 startach w biegu na 100 m uzyskał następujące wyniki (w sekundach)
10,34 10,28 10,15 10,09 10,30 10,21 10,33 10,18 10,19 10,06 10,36 10,15.
Obliczymy charakterystyki położenia, rozproszenia, asymetrii oraz kwartle. Dokonamy
analizy danych.
Uzyskane wyniki zestawiamy w poniższej tabeli, dokonując w niej potrzebne obliczenia.
UporzÄ…dkowane wyniki biegu
Numer biegu Wynik biegu
(xi x)2
x(i)
i xi
1 10,34 10,06 0,0130
2 10,28 10,09 0,0029
3 10,15 10,15 0,0058
4 10,09 10,15 0,0185
5 10,30 10,18 0,0055
6 10,21 10,19 0,0001
7 10,33 10,21 0,0109
8 10,18 10,28 0,0021
9 10,19 10,30 0,0009
10 10,06 10,33 0,0275
11 10,36 10,34 0,0180
12 10,15 10,36 0,0058
Suma 122,71 - 0,1105
x = 122,65/12= 10,22 me=½(10,19+10,21)= 10,20 s2=0,1101/12= 0,0092
s 0,0092 0,1
Komplet wyników jest następujący:
Åšrednia arytmetyczna 10,22 s
Mediana 10,20 s
Dominanta 10,15 s
Wariancja 0,0092 s2
Odchylenie standardowe 0,1 s
Współczynnik zmienności 0,1/10,23 100%= 1%
Rozstęp 10,36-10,06 = 0,3 s
Wskaz
nik asymetrii (10,22-10,15)/0,1=0,73
Kwartale: pierwszy q1= 10,15 q2=10,20 (mediana) q3= 10,315
Przedział typowych jednostek <10,12; 10,32>
Analiza otrzymanych wyników
Średni wynik sprintera w 12 startach na 100 metrów wynosił 10,22 s, zaś mediana 10,20 s, co
oznacza, że w 6 startach uzyskał wynik 10,20 s lub lepszy oraz także w 6 startach uzyskał
wynik 10,20 s lub gorszy. Najczęściej uzyskiwanym wynikiem był czas 10,15 s.
Zróżnicowanie wyników bardzo małe, bowiem charakterystyki: wariancja, odchylenie
standardowe, współczynnik zmienności i rozstęp są małymi liczbami. Świadczy to o dużej
stabilności formy zawodnika w całym okresie startów. Różnica między najgorszym i
najlepszym wynikiem wynosi 0,3 s. Typowe wyniki są zawarte między 10,12 s, a 10,32 s,
zatem nietypowymi wynikami są dwa najlepsze i dwa najgorsze wyniki. Asymetria rozkładu
wyników jest niewielka prawostronna. Oznacza to, że więcej wyników jest mniejszych od
średniej niż większych od średniej. 25% wyników jest co najwyżej równych 10,5, zaś 75%
wyników jest mniejszych niż 10,315. <ð
Przykład 9.6
Badano wzrost 10 dziewcząt uprawiających koszykówkę i 9 dziewcząt uprawiających piłkę
ręczną.
X  wzrost dziewcząt uprawiających koszykówkę w cm
Y - wzrost dziewcząt uprawiających piłkę ręczną w cm
Wartości cechy X: 167, 189, 178, 187, 187, 195, 162, 188, 199, 179
Wartości cechy Y: 165, 160, 169, 169, 170, 184, 171, 190, 192
Znajdziemy miary położenia, rozproszenia i asymetrii obu cech populacji. Porównamy te
cechy.
Wzrost koszykarek Wzrost piłkarek ręcznych
i xi X(i) (xi- x)2 i yi y(i) (yi-y)2
(x i -x)2
1 167 162 259,21 1 165 160 89,19753
2 189 167 34,81 2 160 165 208,642
3 178 178 26,01 3 169 169 29,64198
4 187 179 15,21 4 169 169 29,64198
5 187 187 15,21 5 170 170 19,75309
6 195 187 141,61 6 184 171 91,30864
7 162 188 445,21 7 171 184 11,8642
8 188 189 24,01 8 190 190 241,9753
9 199 195 252,81 9 192 192 308,1975
10 179 199 16,81 Suma 1570 1030,222
Suma 1831 1230,9
Charakterystyki Charakterystyki Charakterystyki Charakterystyki
położenia rozproszenia Położenia rozproszenia
s2 s2
y
183,1 X 123,09 174,44 Y 114,4691
x x
s2
Y
mex 187 sX 11,09 mey 170 sY 10,70
dx 187 vX 6,1% dy 169 vY 6,1%
roX 37 roY 32
Przedział typowych jednostek Przedział typowych jednostek
<172,01 ; 194,19> <163,75 ; 185,14>
Analiza otrzymanych wyników
Porównanie struktury wzrostu koszykarek i piłkarek. Przeciętnie wzrost koszykarek jest
x
większy od wzrostu piłkarek. Wskazuje na to porównanie miar tendencji centralnej ( , me, d)
w obu badanych grupach. Bezwzględne zróżnicowanie wzrostu koszykarek (mierzone
odchyleniem standardowym) jest większe niż zróżnicowanie wzrostu piłkarek, natomiast
względne zróżnicowanie wzrostu (mierzone współczynnikiem zmienności) jest w obu
grupach jednakowe.
Dla wzrostu X koszykarek mamy x meX dX oraz współczynnik i wskaz
nik asymetrii sÄ…
ujemne. Mamy tu więc do czynienia z asymetrią ujemną, co oznacza, że najczęściej
występujący wzrost koszykarek jest większy od średniego wzrostu oraz większość
koszykarek ma wzrost większy od średniego wzrostu.
9.9. Zadania
9.1. Zbadano czas trwania 15 rozmów telefonicznych miejscowych w Warszawie (cecha X
populacji). Otrzymano następujące wyniki (w minutach)
8, 3, 18, 12, 35, 4, 1, 4, 25, 6, 18, 20, 26, 18, 12
Oblicz:
a) Charakterystyki położenia: średnią, medianę i dominantę.
b) Charakterystyki zróżnicowania: wariancję, odchylenie standardowe, współczynnik
zmienności, rozstęp.
c) Wskaz
nik asymetrii.
d) Kwantyl k1/3
e) Kwartyle pierwszy i trzeci.
f) Decyl d0,3
g) Centyl c0,36
Dokonaj analizy otrzymanych wyników.
9.2. Badano maksymalną prędkość dwu typów samochodów osobowych marki A (cecha X)
i marki B (cecha Y). W ośmiu pomiarach maksymalnej prędkości samochodów marki A
otrzymano wyniki (w km/h) 190, 205, 186, 202, 194, 208, 190, 185. Natomiast w 6
pomiarach dotyczÄ…cych marki B otrzymano wyniki 205, 200, 185, 195, 195, 175.
Znajdz
charakterystyki położenia, zróżnicowania i wskaz
nik asymetrii obu cech.
Porównaj obie cechy na podstawie otrzymanych charakterystyk.
9.3. Badano liczbę żółtych kartek otrzymanych przez piłkarzy w 40 meczach pierwszej ligi
(cecha X populacji). Otrzymano wyniki
2, 4, 0, 1, 0, 3, 5, 2, 3, 1, 2, 3, 6, 4, 3, 2, 1, 2, 5, 4,
3, 2, 5, 4, 6, 7, 2, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 3, 4, 2.
Znajdz
charakterystyki położenia, zróżnicowania i wskaz
nik asymetrii X.
Zinterpretuj otrzymane wyniki. Dokonaj prezentacji danych statystycznych.
9.4. Przeprowadzono dyktando z języka polskiego w dwóch grupach uczniów. Badano
liczbę błędów w grupie pierwszej  cecha X i w grupie drugiej - cecha Y. Dla grupy
pierwszej otrzymano wyniki: 2, 4, 6, 0, 3, 0, 3, 5, 2, 1, 8, 0; dla grupy drugiej 3, 0, 4, 5,
6, 0, 2, 2, 4, 2. Znajdz
charakterystyki położenia, zróżnicowania i wskaz
niki asymetrii
obu cech X i Y. Zinterpretuj otrzymane wyniki i porównaj obie cechy. Dokonaj
prezentacji danych statystycznych.
9.5. Badano wiek piłkarzy stanowiących kadrę dwóch drużyn ligowych A i B. Wyniki
przedstawione są w tabelach. X oznacza wiek piłkarzy drużyny A, zaś Y drużyny B.
Charakterystyka liczbowa n dX mex sX
x
Drużyna A 25 28,5 24,0 25,0 8,5
y
Charakterystyka liczbowa n dY meY sY
Drużyna B 22 23,5 25,0 24,0 5.0
Porównaj zróżnicowanie i asymetrię obu cech.
9.6. Wykaż, że
n
1
2
s2 = xi -(x)2
n
i=1
9.10. Odpowiedzi do zadań
9.1. a) 16 18 18 b) 108,5 10,42 65% 34 c) -0,19 d) 8 e) 6; 25 f) 6 g) 8
9.2. x=195 mex =192 dx =190 s2 =68,75 sx =8,29 vx =4,3% rox =23 a1x =0,6
x
y=192 mey=195 dy=195 s2 =97,9 sy=9,86 vy=5,1% roy=30 a1y=-0,25
y
9.3. x=2,875 mex =3 dx =2 s2 =2,76 sx =1,66 vx =58% rox =7 a1x =0,63
x
9.4. x=2,83 mex =3,5 dx =0 s2 =5,97 sx =2,4 vx =86% rox =8 a1x =1,2
x
y=2,8 mey =2,5 dy=2 s2 =3,56 sy=1,89 vy=67% roy=6 a1y=0,42
y
9.5. X bardziej zróżnicowana niż Y (vx = 30%, vy = 21%), X ma mocniejszą asymetrię niż Y
(a1x =0,93 , a1y = -0,30).
10.1. Model I
Cecha X jest skokowa o umiarkowanej liczbie wariantów (do 25). Danych statystycznych jest
znacznie więcej niż wariantów. Z powyższych założeń wynika, że niektóre warianty cechy
muszą się powtarzać.
Oznaczenia
X - cecha populacji,
r - liczba wariantów,
w1, w2, ..., wr - warianty cechy X,
n - liczba danych statystycznych,
ni - liczebność wariantu wi ( ile razy powtarza się wariant wi)
10.1.1.Prezentacja danych statystycznych
Tabelaryczna - za pomocÄ… szeregu statystycznego punktowego
Wariant wi Liczebność ni
w1 n1
w2 n2
& &
wr nr
Suma n
graficzna - wykres szeregu punktowego
10.1.2. Charakterystyki liczbowe
Wzory na średnią arytmetyczną, wariancję i współczynnik asymetrii przybierają teraz postać:
Åšrednia arytmetyczna
r
1
x niwi
n
i=1
Wariancja
r
1
s2 ni(wi x)2
n
i=1
Współczynnik asymetrii
r
1 3
ni wi- x
n
i=1
a
s3
Pozostałe charakterystyki obliczamy wg wcześniej poznanych wzorów (patrz punkty 9.2 
9.5).
Przykład 10.1
Badano liczbę błędów w maszynopisie 30 maszynistek (cecha X populacji). Otrzymano
następujące wyniki: 3, 2, 1, 3, 4, 5, 3, 1, 0, 2, 6, 3, 4, 5, 3, 1, 5, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 3, 2, 6,
5.
Opracujemy te dane.
Prezentacja tabelaryczna: Szereg statystyczny punktowy
Liczba błędów Liczebność
wi ni
0 2
1 4
2 5
3 8
4 5
5 4
6 2
Razem 30
Prezentacja graficzna
Histogram Wykres kołowy
9
8
7
0
6
7% 7%
1
13% 13%
5
2
4
3
3
17% 17%
4
2
5
26%
1
6
0
0 1 2 3 4 5 6
Liczba błędów
Rys. 10.1 Prezentacje graficzne danych
Charakterystyki liczbowe
Liczba błędów Liczebność niwi Liczebność skumulowana1
ni(wi x)2
wi ni Si
0 2 0 2 18
1
Suma liczebności danych statystycznych równych wariantowi wi oraz liczebności wszystkich wariantów < wi.
Liczba maszynistek
1 4 4 6 16
2 5 10 11 5
3 8 24 19 0
4 5 20 24 5
5 4 20 28 16
6 2 12 30 18
Razem 30 90 78
Charakterystyki tendencji centralnej Charakterystyki zróżnicowania
r
1 90
x= niwi = =3 s2 = 2,6
n 30
i=1
11
me = x +x = 3+3 =3 - patrz 2 s = 1,61
15 16
22
d = 3 r0 = 6  0 = 6
v = 53,3 %
Przedział typowych jednostek populacji <1,39 ; 4,61>. Do tego przedziału należą
maszynistki, które popełniły 2, 3 lub 4 błędy. Jest ich 18.
x
Rozkład cechy jest symetryczny, bo = me= d, więc wskaz
nik asymetrii a1= 0.
Histogram jest symetryczny wzglÄ™dem prostej x = 3. <ð
10.2. Model II
Cecha populacji X ma rozkład skokowy i wariantów jest dużo ( >25) lub ma rozkład ciągły.
10.2.1. Prezentacja danych statystycznych
Prezentacja tabelaryczna - szereg rozdzielczy przedziałowy. Dane statystyczne grupujemy w r
klasach
Klasa Liczebność klasy
... ...
Suma n
Prezentacja graficzna  wykres szeregu rozdzielczego przedziałowego.
10.2.2. Charakterystyki liczbowe
Charakterystyki położenia Charakterystyki rozproszenia
r r
1 1
Åšrednia arytmetyczna x= nixi Wariancja s2 = ni (xi -x)2
n n
i=1 i=1
gdzie xi - środek klasy o numerze i
b n
Odchylenie standardowe s= s2
Mediana me =ak + -sk-1
nk 2
2
x(15) i x(16) oznaczają piętnasty i szesnasty wynik w ciągu uporządkowanych niemalejąco danych. Z czwartej
kolumny tabeli wynika , że x(12) do x(19) są równe 3.
 ak - lewy koniec klasy mediany3 Współczynnik zmienności
b - długość klasy mediany, s
v
nk - liczebność klasy mediany,
x
sk-1 - liczebność skumulowana klasy poprzedzającej
Rozstęp ro =ar+1-a1
klasÄ™ mediany
nk nk 1
Dominanta d ak b
2nk nk 1 nk 1
ak - lewy koniec klasy dominanty,
b - długość klasy dominanty,
nk - liczebność klasy dominanty,
nk-1 - liczebność klasy poprzedzającej klasę dominanty,
nk+1 - liczebność klasy następującej po klasie dominanty.
Przedział typowych jednostek populacji

Asymetria - wskaz
nik asymetrii
x-d
a1=
s
3
tj. klasy, do której należy mediana
Współczynnik asymetrii
r
1 3
ni xi-x
a1=n i=1
s3
Uwagi.
1. Stosując powyższe wzory obliczamy jedynie w przybliżeniu wartości charakterystyk
opisowych, gdyż obliczenia nie są wykonywane przy pomocy indywidualnych danych
statystycznych.
2. Dominanta nie może być obliczona z podanego wzoru gdy najbardziej liczna jest klasa
pierwsza lub ostatnia, a także w przypadku, gdy klasa najliczniejsza nie istnieje.
Przykład 10.2
Badano wysokości kredytów w tysiącach złotych udzielonych przez pewien bank w ciągu
lutego 2005 r. Otrzymane dane są przedstawione w szeregu rozdzielczym przedziałowym.
Wysokość kredytu 0  10 10  20 20  30 30  40 40  50 50- 60 60  70 Razem
Liczba kredytów 32 88 73 58 25 16 8 300
Opracujemy te dane.
RozwiÄ…zanie
Prezentacja graficzna
Histogram
100
88
90
80
73
70
58
60
50
40
32
25
30
16
20
8
10
0
5 15 25 35 45 55 65
Wielkość kredytu
Rys. 10.2 Histogram wielkości kredytów
Charakterystyki liczbowe
Nr
Liczebność Środek
Klasa Liczebność
nixi
klasy
klasy
skumulowana
ni (xi-x)2
i ni
Si xi
1 0 - 10 32 32 5 160 14382,08
2 10 - 20 88 120 15 1320 11038,72
3 20 - 30 73 193 25 1825 105,12
4 30 - 40 58 251 35 2030 4491,52
5 40 - 50 25 276 45 1125 8836,00
6 50 - 60 16 292 55 880 13271,04
7 60 - 70 8 300 65 520 12043,52
Liczba kredytów
 Suma 300 7860 64168
Charakterystyki tendencji centralnej
Średnia arytmetyczna x = 26,2 tys. zł
10 300
Mediana me = 20 120 = 24,11 tys. zł
73 2
88 32
Dominanta d = 10 10 17,89 tys. zł
2 88 32 73
Miary zróżnicowania
Wariancja s2 = 213,89 tys. zł2
Odchylenie standardowe s = 14,63 tys. zł
Rozstęp r0 = 70  0 = 70 tys. zł
Współczynnik zmienności v = 56%
Przedział typowych wielkości kredytów < 11,6 ; 40,8>
Wskaz
nik asymetrii a1 = 0,57 (asymetria prawostronna  wydłużona prawa część wykresu
rys. poniżej  także rysunek 10.2).
100
88
80
73
60
58
40
32
25
20
16
8
0
0 20 40 60 80
Rys. 10.3 Wykres liczebnoÅ›ci kredytobiorców dla wyróżnionych wysokoÅ›ci kredytów <ð
10.3. Grupowanie danych statystycznych w szereg rozdzielczy przedziałowy
1. Ustalamy liczbÄ™ klas.
LiczbÄ™ klas (oznaczenie r) wyznaczamy wg tabeli
Liczba danych
Liczba klas
statystycznych
r
n
30-60 6-8
60-100 7-10
100-200 9-12
200-500 11-17
>500 16-25
2. Wyznaczamy długość klasy.
Zakładamy, że wszystkie klasy mają równe długości. Długość klasy b wyznaczamy wg
wzoru
ro
b
r
gdzie: r0 xmax xmin rozstęp
Wynik dzielenia zaokrąglamy zawsze w górę do dokładności danych statystycznych.
Zaokrąglenie w górę zapewnia zmieszczenie się wszystkich danych statystycznych
w wyznaczonych przedziałach.
3. Wyznaczamy końce klas.
Przyjmujemy, że klasy są przedziałami lewostronnie domkniętymi i prawostronnie
otwartymi.
A1=Wtedy przyjmujemy, że lewy koniec pierwszej klasy jest równy
a1= xmin
Zatem
a2 a1 b,a3 a2 b,...
4. Wyznaczamy liczebności klas.
W tym celu wygodnie jest dane statystyczne posortować. Wyznaczone przedziały i ich
liczebności przedstawiamy w tabeli
Klasa Liczebność
Ai ai ;ai 1) ni
a1;a ) n1
2
a ;a3 ) n
2 2
..... ...
ar ; ar 1) n
r
Razem n
Przykład 10.3
Badano dodatek do wynagrodzenia (w zł.) 40 pracowników pewnego przedsiębiorstwa.
Otrzymano następujące dane
405, 420, 411, 427, 479, 440, 378, 468, 437, 452, 421, 414, 402, 422, 462, 431, 414, 437, 405,
390, 425, 425, 400, 432, 447, 385, 419, 400, 425, 458, 439, 360, 405, 369, 406, 431, 412, 387,
416, 415.
Przedstawimy powyższe dane w szeregu rozdzielczym przedziałowym.
RozwiÄ…zanie
Przyjmiemy, że klas jest 6 (co jest zgodne z tabelą z punktu 1). Obliczmy długość klasy.
W tym celu sortujemy dane statystyczne
360, 369, 378, 385, 387, 390, 400, 400, 402, 405, 405, 405, 406, 411, 412, 414, 414, 415, 416,
419,420, 421, 422, 425, 425, 425, 427, 431, 431, 432, 437, 437, 439, 440, 447, 452, 458, 462,
468, 479
xmax = 479, xmin = 360,
Rozstęp ro = 479  360 = 119,
Liczba klas r = 6,
Długość klasy b = 119/6 = 19,83 20 (zaokrąglono w górę do dokładności danych
statystycznych, która wynosi w tym przykładzie 1).
Wyznaczamy końce klas
a1=xmin =360, a2=a1+b=380, a3=a2+b=400, a4=a3+b=420,
a5=a4 +b=440, a6=a5+b=460, a7 =a6+b=480
Klasy
A1=<360;380), A2 =<380;400), A3=<400; 420), A4 =<420 ; 440),
A5=<440 ; 460), A6=<460 ; 480)
Wyznaczamy liczebności klas. Korzystamy z posortowanych danych statystycznych. Wyniki
zapisujemy w szeregu rozdzielczym przedziałowym.
Klasa
Liczebność
Ai ai ;ai 1)
ni
360;380)
3
380;400)
3
400;420)
14
420; 440)
13
<ð
440;460)
4
460;480)
3
Razem 40
W powyższym przykładzie przyjęliśmy, że przedziały są lewostronnie domknięte i
prawostronnie otwarte. Można było przyjąć inaczej, że są lewostronnie otwarte i
prawostronnie domknięte lub są obustronnie otwarte.
Jeśli przyjąć, że są lewostronnie otwarte i prawostronnie domknięte, to najpierw wyznaczamy
prawy koniec ostatniej klasy wg wzoru ar+1=xmax , a następnie przez odejmowanie długości
klasy otrzymujemy końce klas poprzednich.
Jeśli przyjąć, że klasy są obustronnie otwarte, to wyznaczamy najpierw lewy koniec pierwszej
Ä…
klasy wg wzoru a1=xmin - , ą  dokładność danych statystycznych, a następnie przez
2
dodawanie długości przedziału otrzymujemy końce pozostałych klas.
Zaletą klas obustronnie otwartych jest fakt, że żadna dana statystyczna nie jest równa
końcowi jakiejkolwiek klasy, możemy więc w szeregu rozdzielczym przedziałowym
zapisywać te klasy bez podania informacji czy końce przedziałów należą do klasy czy też nie
należą.
Przykład 10.4
Przedstawimy dane statystyczne z poprzedniego przykładu w szeregu rozdzielczym
przedziałowym przyjmując, że klasy są obustronnie otwarte.
RozwiÄ…zanie
Ä…
a1= xmin - = 360-0,5= 359,5; a2= a1+b = 359,5+20 = 379,5; a3= a2 +b = 399,5 itd
2
Szereg rozdzielczy przedziałowy
Klasa Liczebność
Ai ai;ai 1 ni
359,5 ; 379,5 3
379,5 ; 399,5 3
399,5 ; 419,5 14
419,5 ; 439,5 13
439,5 ; 459,5 4
<ð
459,5 ; 479,5 3
Razem 40
10.7. Zadania
10.1. Badano zużycie surowca na jednostkę produktu dla 100 produktów. Otrzymano wyniki
93 32 43 45 67 38 80 28 47 59 60 40 06 36 09 33 27 43 57 50
58 48 65 88 29 45 49 62 63 57 82 64 66 60 22 26 37 54 69 35
21 54 32 83 89 81 44 59 22 81 63 20 87 57 29 64 64 43 36 28
53 84 43 59 87 44 57 95 95 79 31 65 45 41 36 51 55 83 76 60
23 33 60 61 03 31 80 40 68 73 72 81 65 29 59 60 69 33 49 48
a) Pogrupuj dane statystyczne w szeregu rozdzielczym przedziałowym w 8 klasach.
b) Dokonaj graficznej prezentacji danych statystycznych.
c) Oblicz średnią i odchylenie standardowe za pomocą danych indywidualnych i za
pomocą danych pogrupowanych w szeregu. Oceń błąd tej drugiej metody.
d) Oblicz za pomocą danych pogrupowanych pozostałe charakterystyki położenia
i rozproszenia oraz wskaz
nik asymetrii.
Zinterpretuj otrzymane wyniki.
10.2. Badano grupę 200 małżeństw ze względu na liczbę dzieci (cecha X populacji). Wyniki
badania przedstawione sÄ… w szeregu rozdzielczym punktowym
Liczba dzieci Liczba małżeństw
i majÄ…cych i dzieci
ni
0 26
1 79
2 50
3 26
4 12
5 4
6 2
7 1
Razem 200
Znajdz
charakterystyki położenia, rozproszenia i asymetrii. Podaj ich interpretacje.
10.3. Populację 100 pracowników pewnej firmy badano ze względu na czas dojazdu do pracy
(cecha X populacji) i ze względu na lata pracy w tej firmie (cecha Y populacji).
Otrzymane dane dla cechy X przedstawione są w szeregu rozdzielczym przedziałowym.
Czas dojazdu do pracy Liczba pracowników
ni
<0 ;12) 5
<12;24) 35
<24 ;36) 45
<36 ;48) 10
<48 ;60) 5
Razem 100
Natomiast dla cechy Y otrzymano, że średnia dominanta i mediana są odpowiednio równe
y=6,5, dY =8,0 sY=2,0 .
a) Oblicz średnią, medianę i wariancję cechy X.
b) Czy pracownicy są bardziej zróżnicowani ze względu czas dojazdu do pracy, czy ze
względu na lata pracy?
10.7. Odpowiedzi do zadań
10.1.
a)
Nr klasy Liczebność
Klasa
i klasy Ai
Ai = ni
1 <3 ; 15) 3
2 <15 ; 27) 6
3 <27 ; 39) 19
4 <39 ; 51) 18
5 <51; 63) 21
6 <63 ; 75) 15
7 <75 ; 87) 11
8 <87 ; 99) 7
Razem 100
b)
25
20
15
Liczebność
klasy
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Numer klasy
c)
Dane statystyczne
BÅ‚Ä…d
indywidualne pogrupowane
bezwzględny
53,05 53,64 1,0%
x
s 21,0 21,13 0,6%
d) mex =53,3 dx =0 s2 =51,2 vx =39% rox =96 0,11 a1x =0,11
x
10.2. x=1,72 mex =1 dx =1 s2 =1,67 sx =1,29 vx =75% rox =7 a1x =0,56
x
10.3. a) x 27 mex 32,5 s2 113,4 ,
x
b) Pracownicy są bardziej zróżnicowani ze względu na czas dojazdu do pracy niż ze
względu na staż pracy, bo vx = 39% > vy = 31%.
13.2. Indeksy indywidualne
Rozpatrzmy:
t0 okres podstawowy z0 wielkość zjawiska Z w okresie podstawowym
t1 okres badany z1 wielkość zjawiska Z w okresie badanym
Określenia:
Przyrost bezwzględny zjawiska: z1- z0
z1-z0
Przyrost względny zjawiska: , założenie z0 > 0
z0
z1
Indeks (indywidualny) zjawiska: I1/ 0
z0
Przykład 13.3
Wielkość zjawiska Z Przyrost
Indeks
Przyrost
względny
Zjawisko
z1
W 1980 r. t0 W 1990 r. t1 bezwzględny z1-z0
I1/0 =
Z
z1  z0 z0
z0 z1
z0
Tereny osiedlowe 840 952 112 0,133 113,3%
Użytki rolne 19102 18784 -318 -0,017 98,3%
Powierzchnia kraju 31296 31286 0 0 100%
Interpretacja
Dla terenów osiedlowych:
W ciągu 10 lat (od 1980 r. do 1990 r.) tereny osiedlowe powiększyły się 112 tys. ha, co
stanowi 0,133 (13,3%) terenów osiedlowych w 1980 r. Tereny osiedlowe w 1990 r. stanowiły
113,3 % tych terenów w 1980 r.
Czytelnik jest proszony o podanie interpretacji dla użytków rolnych indeksów powierzchni
kraju.<ð
Własności indeksów
1. Indeks jest liczbÄ… niemianowanÄ… (bez jednostki).
2. Indeks jest liczbÄ… nieujemnÄ…
a) I1/0>1 z1> z0
b) I1/0<1 z1< z0
c) I1/0=1 z1= z0
d) I1/ 0 0 z1 0 , czyli, gdy zjawisko w okresie badanym nie wystąpiło
z1- z0
e) I1/0-1= , czyli różnica indeksu i liczby 1 jest równa przyrostowi względnemu zjawiska.
z0
Ciągi przyrostów i indeksów
Rozważymy dynamikę zjawiska w n +1 okresach przedstawioną szeregiem dynamicznym
Okres Wielkość
ti zjawiska
zi
t0 z0
t1 z1
.... ....
tn zn
Rozważa się następujące ciągi:
żð CiÄ…g przyrostów bezwzglÄ™dnych o staÅ‚ej podstawie (równej z0)
z1-z0, z2-z0, ..., zn-z0
(podstawą może być także każda inna wielkość zjawiska)
żð CiÄ…g przyrostów wzglÄ™dnych o staÅ‚ej podstawie (równej z0)
z1-z0 z2-z0 zn -z0
, , ... ,
z0 z0 z0
żð CiÄ…g przyrostów bezwzglÄ™dnych o podstawie zmiennej, czyli Å‚aÅ„cuch przyrostów
bezwzględnych
z1-z0, z2-z1, ..., zn-zn-1
żð CiÄ…g przyrostów wzglÄ™dnych o podstawie zmiennej, czyli Å‚aÅ„cuch przyrostów
względnych,
z1-z0 z2-z1 zn -zn-1
, , ... ,
z0 z1 zn-1
żð CiÄ…g indeksów o staÅ‚ej podstawie (równej z0)
z1 z2 zn
, , ... ,
z0 z0 z0
(podstawą może być także każda inna wielkość zjawiska)
z0
Uwaga: Można przyjąć dodatkowo, że I0/0= =1=100%,
z0
żð CiÄ…g indeksów o podstawie zmiennej, czyli Å‚aÅ„cuch indeksów
z1 z2 zn
I1/0 = , I2/1= , ... , In/n-1=
z0 z1 zn-1
Przykład 13.4
Dla danych z przykładu 13.2 wyznaczymy powyższe ciągi przyrostów i indeksów
Okres Wielkość Ciąg Ciąg A
ańcuch A
ańcuch Indeksy o A
ańcuch
średniego przyrostów przyrostów przyrostów przyrostów podstawie indeksów
zatrudnie- bezwzględ- względnych bezwzględ- względnych stałej
Ii/i-1
ti
nia nych o podstawie nych Podstawa
zatrudnienie
zi o podstawie stałej
stałej w 2000 r.
Podstawa:
Podstawa:
zatrudnienie
zatrudnienie
w 2000 r.
w 2000 r.
2000 387 - - - -
- -
2001 388 1 0,26% 1 0,26% 100,26% 100,26%
2002 390 3 0,78% 2 0,52% 100,78% 100,52%
2003 401 14 3,62% 11 2,82% 103,62% 102,82%
2004 390 3 0,78% -11 -2,74% 100,78 97,26%
2005 346 -41 - 10,60% - 44 11,28% 89,60% 88,72%
Interpretacja ciągu indeksów o podstawie stałej
Ciąg indeksów o podstawie stałej (równej z0) podaje informacje o zmianie zjawiska
w okresach t1, t2, ...tn w stosunku do wielkości tego zjawiska w okresie t0.
Interpretacja łańcucha indeksów
A
ańcuch indeksów podaje informacje o zmianie zjawiska w okresach t1, t2, & , tn w stosunku
do wielkości tego zjawiska w poprzednim okresie.
Åšrednie tempo dynamiki
Poniższa tabela przedstawia szereg dynamiczny i łańcuch indeksów pewnego zjawiska Z.
Okres Wielkość A
ańcuch
zjawiska indeksów
ti
zi
Ii/i-1
t0 z0
t1 z1 z1
I1/0 =
z0
t2 z2 z2
I2/1=
z1
t3 z3 z3
I3/2 =
z2
.... .... ...
tn zn
zn
In/n-1=
zn-1
Zagadnienie
Wyznaczyć liczbę g taką, że gdyby wszystkie indeksy łańcuchowe były sobie równe i miały
wartość g , to wielkość zjawiska w okresie tn byłaby także równa zn, czyli wynosiłaby tyle
samo, co bez założenia o równości indeksów łańcuchowych.
Liczbę g nazywamy średnim tempem dynamiki lub średnim indeksem łańcuchowym lub
średnim tempem zmian.
RozwiÄ…zanie.
Mamy
z1
I1/0 = z1=I1/0z0
z0
z2
I2/1= z2 =I2/1z1=I2/1I1/0z0
z1
z1 z1
I1/0 = I1/0 = z1=I1/0z0
z0 z0
z3
I3/2 = z3=I3/2z2=I3/2I2/1I1/0z0 .
z2
Ogólnie
zn =In/n-1 ... I3/2 I2/1 I1/0 z0
(13.1)
Gdyby wszystkie indeksy łańcuchowe były sobie równe i miały wartość g , to równość (13.1)
przybiera postać
n
zn =g ... g g z0= g z0
(13.2)
Porównując (13.2) i (13.1) mamy
n
g =In/n-1 ... I3/2 I2/1 I1/0
czyli
g=n In/n-1 ... I3/2 I2/1 I1/0 wzór na średnie tempo dynamiki
(13.3)
Średnie tempo dynamiki zjawiska jest równe średniej geometrycznej indeksów
łańcuchowych.
Inne wzory na średnie tempo dynamiki
Ponieważ
zn
In/0 =
z0
więc
zn =In/0 z0
Uwzględniając powyższą równość w (13.1) mamy
In/0=In/n-1 ... I3/2 I2/1 I1/0
StÄ…d z (13.3) mamy
g=n In/0 wzór na średnie tempo dynamiki
(13.4)
Uwzględniając znaczenie In/0 otrzymujemy
zn
g=n wzór na średnie tempo dynamiki
z0
(13.5)
Przykład 13.5
Liczby wdrożonych systemów informatycznych przez pewną firmę w latach 2003  2005
były równe
Rok Liczba wdrożonych
systemów
ti
zi
2003 215
2004 237
2005 338
Obliczymy średnie tempo dynamiki procesów wdrożeniowych w latach 2003  2005.
I sposób (za pomocą łańcucha indeksów).
z1 237 z2 338
I1/0 = = =1,102=110,2% , I2/1= = =1,426=142,6%
z0 215 z1 237
Średnie tempo dynamiki obliczamy stosując wzór (13.3)
g= I2/1 I1/0 = 1,426 1,10,2=1,254=125,4%
II sposób (za pomocą wielkości końcowej i początkowej zjawiska)
Stosujemy wzór (13.5)
z2 338
g= = =1,254=125,4%
z0 215
Odp. Średnie tempo dynamiki wdrożeń systemów informatycznych w latach 2003  2005
wynosiło 125,4%. Oznacza to, że liczba wdrożonych systemów w następnym roku wynosiła
Å›rednio 125,4% liczby systemów wdrożonych w roku poprzednim. <ð
Åšredni wskaz
nik tempa
T=g-1
Przykład 13.6
Dla danych z przykładu 13.5 obliczymy średni wskaz
nik tempa procesu wdrożeniowego.
T 1,254 1 0,254 25,4%
Odp. Åšredni wskaz
nik tempa wynosi 25,4%, co oznacza, że liczba wdrożonych systemów
informatycznych rosÅ‚a z roku na rok o tyle procent (wdrożeÅ„ z poprzedniego roku). <ð
Przykład 13.7
Zanotowano na giełdzie kursy akcji dwu firm A i B w ciągu czterech kolejnych notowań.
Wyniki przedstawione sÄ… w szeregach dynamicznych
Nr notowania Kurs akcji A Kurs akcji B
0 36,5 32,0
1 36,0 32,0
2 35,0 32,5
3 36,0 34,0
Na podstawie wzoru (13.5) średnie tempo dynamiki kursów akcji firmy A wynosi
z3 3 36,0
3
g= = =0,995=99,5%
z0 36,5
zaś średni wskaz
nik tempa tych akcji wynosi
T=g-1=-0,5%
co oznacza, że średnio kursy akcji tej firmy spadają o 0,5% z notowania na notowanie w
stosunku do poprzedniego notowania.
Średnie tempo dynamiki kursów akcji firmy B wynosi
z3 3 34,0
3
g= = =1,020=102,0%
z0 32,0
zaś średni wskaz
nik tempa tych akcji wynosi
T=g-1=2%
co oznacza, że średnio kursy akcji tej firmy rosną o 2% z notowania na notowanie w stosunku
do poprzedniego notowania. <ð
Przykład 13.8
W pewnym państwie PKB wzrastał w latach 2000 - 2005 rocznie w stosunku do roku
poprzedniego
o 2%, 4%, 7%, 5%, 3%. Obliczmy średni roczny wzrost PKB w tych latach
A
ańcuch
Nr Rok indeksów
Ii/i-1
0 2000 -
1 2001 102%
2 2002 104%
3 2003 107%
4 2004 105%
5 2005 103%
Åšrednie tempo dynamiki PKB
g=5 I5/4 I4/3 I3/2 I2/1 I1/0 =5 1,03 1,05 1,07 1,04 1,02=104,2%
T=g-1=4,2%
Odp. PKB wzrastaÅ‚ rocznie Å›rednio o 4,2%. <ð
13.5. Zadania
13.1. Wartość eksportu (w mln zł) pewnej firmy w latach 2000  2004 przedstawia poniższa
tabela
Rok 2000 2001 2002 2003 2004
Eksport 85 72 80 95 104
Wyznacz
a) Ciąg przyrostów bezwzględnych o podstawie stałej równej eksportowi w 2000 r.;
b) Ciąg przyrostów względnych o podstawie stałej równej eksportowi w 2000 r.;
c) A
ańcuch przyrostów bezwzględnych;
d) A
ańcuch przyrostów względnych;
e) Ciąg indeksów o podstawie stałej równej eksportowi w 2000 r.;
f) A
ańcuch indeksów;
g) Åšrednie tempo dynamiki eksportu w latach 2000  2004.
13.2. Dynamikę obrotów pewnej firmy w latach 2000  2004 opisuje ciąg indeksów
o podstawie stałej (podstawa 2000 r.) 102%, 98%, 102%, 108%, 115%.
a) Wyznacz łańcuch indeksów.
b) Obroty tej firmy w 2002 r. wyniosły 50 mln zł. Ile wynosiły w 2000 r., a ile w 2004
r.?
c) Oblicz średnie tempo dynamiki obrotów tej firmy w latach 2000  2004.
13.3. Dynamikę zarobków pewnego pracownika w latach 2000 - 2004 charakteryzuje łańcuch
indeksów 90%, 110%, 140%, 130%.
a) Wyznacz ciąg indeksów o podstawie stałej (podstawa 2000 r.).
b) Pracownik w 2000 r. zarobił 45000 zł. Ile zarobił w 2003 r.?
c) Oblicz średnie tempo dynamiki zarobków pracownika w latach 2000 - 2004
różnymi sposobami.
13.4. Przychód pracownika w 2004 r.wyniósł 90000 zł, zaś średnie tempo dynamiki
przychodu
w latach 2000 - 2004 wyniosło 105%.
a) Ile wyniósł przychód pracownika w 2000 r.?
b) Ile wyniósł indeks przychodu pracownika w 2004 r. w stosunku do 2000 r.?
13.5. W pewnym kraju, w kolejnych 4 latach, w stosunku do roku poprzedniego PKB
zmieniał się następująco: spadek o 3%, wzrost o 5%, stabilizacja, wzrost o 6%. O ile
procent średnio zmieniał się w tych latach PKB?
13.6. Kurs akcji pewnej firmy wzrastał od poniedziałku do piątku średnio o 5%. Jaka jest
cena akcji tej firmy w piątek, jeśli w poniedziałek kosztowała 200 zł?
13.6. Odpowiedzi do zadań
13.1.
Przyrosty Przyrosty A
ańcuch A
ańcuch Indeksy
Rok Eksport A
ańcuch
bezwzględne względne przyrostów przyrostów o podstawie
ti zi indeksów
podstawa 2000 podstawa 2000 bezwzględnych względnych stałej 2000
2000 85
2001 72 -13 -15,29% -13,00 -15,29% 84,71% 84,71%
2002 80 -5 -5,88% 8,00 11,11% 94,12% 111,11%
2003 95 10 11,76% 15,00 18,75% 111,76% 118,75%
2004 104 19 22,35% 9,00 9,47% 122,35% 109,47%
T 105%
13.2. a) 102%, 96%, 104%, 106%, 106%, b) 51,02 55,1 c) 1,03
13.3. a) 90%, 99%, 139%, 180%, b) 62550, c) 116%
13.4. a) 74043, b) 122%
13.5. 1,9%
13.6. 243