Rząd A Kolokwium z analizy matematycznej nr 1 1.12.2008r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną

|y - lnx|dxdy, gdzie D = [e-1, e] � [0, 2]
D
"
3
2
4
Zadanie 2. Proszę obliczyć pole płata z = (x2 + y2) wyciętego przez walec x2 + y2 - 2x 0.
3
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną
"
x2y2
dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) " R3; x2 + y2 + z2 4; z 3 x2 + y2}
V (x2+y2)2
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową

ye-xdl,
�
"
gdzie � jest krzywą zadaną przez x(t) = ln(1 + t2), y(t) = 2arctgt - t + 3, z(t) = 3t.
Zadanie 5. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową

(exy2 + y)dx + (2exy + x)dy,
�
gdzie � jest łamaną (0, 0) (1, 0) (1, 2) (ln2, 3).
Kolokwium z analizy matematycznej nr 2
26.01.2009

"
m
n
Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = 1 - x
dookoła osi x w przedziale [0,1] wyraża się wzorem
2
2mn!�( )
m
Vm,n =
2
(mn+2)�(n+ )
m
Wykorzystując ten wzór proszę obliczyć V1,4. Podać dokładny wynik.
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

zdS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni z = 1 + x2 + y2, odciętą płaszczyzną z = 3.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

xdydz - ydzdx + zdxdy,
Ł
gdzie Ł jest powierzchnią zadaną parametrycznie


x = cos� - tsin�
0 � 2Ą
Ł = y = sin� + t cos �
0 t 1,
z = t,
zorientowaną na zewnątrz. Pytanie bonusowe: Co to za powierzchnia?
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

1 1 3
( x3 + y2 + z2)dydz + (3y - x2y + xz)dzdx + (z - x2z + xy)dxdy.
Ł 3 4 4

gdzie Ł-dolna strona dolnej półsfery z = - a2 - x2 - y2 (a 0)
1
Zadanie 5 Wykorzystując twierdzenie Stokesa, proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

zdx + xdy + ydz,
K
gdzie K jest łamaną A B C A, A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).
Zadanie 6 Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = |x| na przedziale [-Ą, Ą], a następnie
wykorzystując równość Parsevala udowodnić, że
" 1 Ą4
=
n=1 (2n-4)4 96
(* Należało wybrać tylko pięć zadań)
Rząd A Egzamin z analizy matematycznej 3.02.2009r.
Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować
to twierdzenie do policzenia poniższej całki:

y
x
dx - dy,
x2+y2 x2+y2
K
gdzie K jest okręgiem x2 + y2 = 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
b) Proszę obliczyć tę całkę.
Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)
1
b) Rozwinąć funkcję f : [0, Ą] R daną wzorem f(x) = x w szereg sinusów.
2
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę

1
(ex + y + z2)dx + (-z + z2 + cosy + x)dy + (yz + z2 + 2xz)dz,
2
K
gdzie K jest okręgiem {x2 + y2 = R2, z = 0} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę
1
1
dx ey2dy
x
0
3 9
Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość części wspólnej kuli x2 + y2 + z2 9 oraz walca x2 + (y - )2
2 4
Rząd A Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 16.02.2009r.
Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować
to twierdzenie do policzenia poniższej całki:

y
x
dx - dy,
x2+y2 x2+y2
K
gdzie K jest okręgiem x2 + y2 = 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
b) Proszę obliczyć tę całkę.
Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)
b) Rozwinąć funkcję f : [-Ą, Ą] R daną wzorem f(x) = x + 1 w szereg sinusów.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę

1
(ex + y + z2)dx + (-z + z2 + cosy + x)dy + (yz + z2 + 2xz)dz,
2
K
2
gdzie K jest okręgiem {x2 + y2 = R2, x = 0} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę
1
1
dx ey2dy
x
0
Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnie: x2 + y2 = 1, x + z = 4, 2x - z = 4.
Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss lub R.Krawczyk)
18.12.2009
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
"

cos4x
"
dx.
x2+ x
0
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę podwójną

y
(1 + )2dxdy,
D x
gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi y = x, y = 3x, x + y = 1, x + y = 4.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną

x
((arcctg )2 + y2z)dxdydz,
V y
"

3
gdzie V = {(x, y, x) " R3; x2 + y2 z R2 - x2 - y2; x, y 0}.
3
Zadanie 4 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną

yzdl,
�
"
jeżeli krzywa � ma parametryzację x(t) = et, y(t) = e-t, z(t) = 2t, t " [0, ln2].
Zadanie 5 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

-ydx + x2dy,
�
gdzie � jest okręgiem x2 + (y - 2)2 = 4, zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 6. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

"
1 + x + ydS,
S
"
2 2
gdzie S jest płatem powierzchniowym z = x3 + y3 dla 1 x 2, 0 y x - 1.
3 3
(* Należało wybrać tylko pięć zadań)
Kolokwium z analizy matematycznej (dr G.Graff)
Zadanie 1. Obliczyć długość krzywej: x(t) = etcost, y(t) = e-tsin(t), z(t) = e( - t), t " [0, +"]
Zadanie 2. Objętość kuli x2 + y2 + z2 = 1 (nie wiem czy dokładnie takiej; możliwe, że była przesunięta)
za pomocą współrzędnych sferycznych.
Zadanie 3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 5x, y = 8x.
Zadanie 4. Oblicz całkę krzywoliniową

(x + y)dx + y2dy,
K
gdzie K jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach: A = (-1, -1), B = (1, -1), C = (1, 1), D(-1, 1).
Oblicz ją wykorzystując twierdzenie Greena, a następnie sprawdz
wynik obliczając tę całkę bezpośrednio.
3
Kolokwium z analizy matematycznej (K.Wroński)
Zadanie 1.(2pkt) Zmienić kolejność całkowania w całce podwójnej
1
1-x
"
dx f(x, y)dy
1-x2
0
Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią
(x2 + y2 + z2)2 = xyz
i zawartej w pierwszej ósemce układu współrzędnych.
Zadanie 3.(3pkt) Obliczyć długość krzywej opisanej równaniami: x(t) = t, y(t) = cost, z(t) = sint, t " [0; 3Ą]
Zadanie 4.(4pkt) Sformułować twierdzenie Greena, uzasadnić, że można je zastosować do obliczenia całki:

x3dx + xy2dy,
L
gdzie L jest krzywą złożoną z odcinka prostej y = x od (1, 1) do (0, 0) i odcinka krzywej y2 = x3 od (0, 0) do (1, 1).
Tą metodą obliczyć daną całkę.
Zadanie 5.(2pkt) Sprawdzić, że dla całki

(2,1)
(y - 1)eydx + xyeydy
(2,0)
można zastosować metodę różniczki zupełnej i obliczyć ją tą metodą.
Kolokwium z analizy matematycznej (M.Styborski)
Zadanie 1. Korzystając z kryterium porównawczego proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej:
"

x-1
dx.
x4+x+1
2
Zadanie 2. Proszę wykazać, że pole obszaru
" = {(r, �) : 0 r r(�), �1 � �2}
opisanego we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:
�2

1
|"| = r2(�)d�.
2
�1
Ą 7Ą
Korzystając z tego wzoru proszę policzyć pole wycinka koła wyciętego promieniami oraz .
3 3
Zadanie 3. Proszę wykazać, że pole obszaru D ograniczonego krzywą dodatnio zorientowaną � można wyrazić wzorem:

1
|D| = (y2 - 2y)dx + 2xydy
2
�

Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę f(x, y), gdzie f(x, y) = (3x2 + y2 + 2x)dx + (2xy - 4y + 1)dy,
ł
Ą
a ł: x(t) = 2t, y(t) = tsint, t Ą.
2
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia Gaussa  Ostrogradskiego proszę policzyć całkę

(x - y)dydz + (y - z)dzdx + (z - x)dxdy,
Ł
gdzie Ł jest zewnętrzną stroną stożka x2 + y2 z2, 0 z H.
4
Egzamin z analizy matematycznej
3.02.2010r.
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
"

cos2x
"
dx.
x2+ x
0
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna

x2z2dxdydz,
V

gdzie V = {(x, y, z) " R3; x2 + y2 z R2 - x2 - y2}.
Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena.
b) W oparciu o powyższe twierdzenie proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

xydx + dy,
�
gdzie � jest okręgiem (x - 1)2 + y2 = 1 zorientowanym dodatnio.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną

(x + y + z)dS,
S
gdzie S jest płaszczyzna 3x + 2y + z - 6 = 0 położoną w I oktancie układu współrzędnych.

Zadanie 5. a) Niech F : R3 R3 będzie polem wektorowym klasy C2.

Proszę udowodnić tożsamość div(rot F )=0.
b) Niech � : F [0, "] będzie miarą określoną na �-ciele zbiorów F.
Proszę udowodnić wykorzystując definicję miary, że
"A,B"F A �" B �! �(A) �(B).
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
17.02.2010r.
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
"

1
"
dx.
3
x3+ x
0
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna

(x2 + y2)dxdydz,
V
"

3
gdzie V = {(x, y, z) " R3; x2 + y2 z 1 - x2 - y2}.
3
Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania na płaszczyz
nie.
b) Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

(3x2y2 - y)dx + (2x3y - x + 1)dy,
�
"
Ą 9Ą
gdzie � we współrzędnych biegunowych określona jest wzorem � = {(r, �); r = 2, � " [ , ]}.
2 4
5
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną

x3dydz + ydzdx + zdxdy,
Ł
gdzie Ł jest górną stroną płata z = y2, dla -1 x 1, 0, y 1.
Zadanie 5. a) Niech f : R3 R3 będzie funkcją klasy C2.
Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=
0.
b) Proszę obliczyć całkę Lebesguea

fd,
[0,1]
gdzie f jest funkcja Dirichleta określoną wzorem

1 dla x " Q )" [0, 1]
Ł = .
0 dla x " IQ )" [0, 1]
Rząd A Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss) 8.12.2010r.
Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą
1
"
dxdy
x2+y2
D
w obszarze D = {(x, y) " R2 : 0 < x2 + y2 < 4, y > 0}.
Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V �" R3 ograniczonego powierzchniami
x2 + y2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4 i zawierającego punkt (0, 0, 0).
Zadanie 3. Oblicz długość łuku ł : x = 3t, y = 3t2, z = 2t3, gdzie 0 t 1.
Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (y2, -x2) po okręgu ł : (x - 1)2 + y2 = 1.
Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową
3Ą
(2,2, )
2

y sin zdx + x sin zdy + xy cos zdz
Ą
(1,1, )
2
nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.
Rząd B Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss) 8.12.2010r.
Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą
2
e-(x +y2)dxdy
D
w obszarze D = {(x, y) " R2 : y > 0}.
Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V �" R3 ograniczonego powierzchniami
x2 + y2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 i zawierającego punkt (0, 0, 0).
Zadanie 3. Oblicz masę łuku ł : y = ln x, gdzie 1 x e, o gęstości liniowej masy �(x, y) = x2.
Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (-y2, x2) po okręgu ł : x2 + (y - 1)2 = 1.
Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową
3Ą
(2, ,2)
2

z sin ydx + xz cos ydy + x sin ydz
Ą
(1, ,1)
2
nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.
6
Egzamin z analizy matematycznej
24.01.2011r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć objętość bryły
"
V = {(x, y, z) " R3; 1 - x2 - y2 z 9 - x2 - y2, x2 + y2 z 3 � x2 + y2, 0 y x}.

Zadanie 2. Niech F : R3 R3 będzie polem wektorowym klasy C2.

Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=0 oraz div(rot F )=0.
Zadanie 3. Oblicz masę łuku ł �" R3 leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x2 + y2 = 4 z paraboloidą
2
z = 1 - x2 - y2, mającego gęstość liniową masy równą �(x, y, z) = ex +y2+5.
Zadanie 4.
a) Proszę podać treść twierdzenia Stokesa.
b) Stosując twierdzenie Stokesa proszę obliczyć całkę:

ydx + z2dy + x3dz,
K
gdzie K jest dodatnio zorientowaną krzywą będącą przecięciem płaszczyzny z = 1 - 2x + 3y z walcem x2 + y2 = 2y.
Zadanie 5. Niech f : [-Ą, Ą] R będzie dana wzorem:

1 dla x " [-Ą, 0)
f(x) = .
x dla x " [0, Ą]
Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [-Ą, Ą] szereg ten jest
zbieżny do wartości funkcji f.
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
7.02.2011r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną

xdxdy,
D
8
gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe y = 1, y = x2, y = .
x
Zadanie 2. Niech f,g: R3 R będą funkcjami klasy C2. Uzasadnić równości:
a) rot(gradf)=0 oraz grad(f � g)=g� gradf + f�grad g.
Zadanie 3. Oblicz masę łuku ł �" R3 leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x2 + y2 = 4 z paraboloidą

z = x2 + y2 + 7, mającego gęstość liniową masy równą �(x, y, z) = x2 + y2 + 5.
Zadanie 4.
a) Proszę sformułować twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego.
b) Korzystając z powyższego twierdzenia proszę obliczyć całkę:

1
xdydz + ydzdx + ( z2 + z)dxdy,
Ł 2

gdzie Ł jest zorientowaną na zewnątrz powierzchnią całkowitą stożka -4 z - x2 + (y - 2)2.
Zadanie 5. Niech f : [-Ą, Ą] R będzie dana wzorem:

1 dla x " [-Ą, 0]
f(x) = .
-1 dla x " (0, Ą]
Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [-Ą, Ą] szereg ten jest
zbieżny do wartości funkcji f.
7