Ćwiczenia z matematyki
Janusz Górczyński
Zeszyt 2
Granice ciągów i funkcji.
Pochodna i jej zastosowania
Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu
Sochaczew 2001
2
Zeszyt ten jest trzecią pozycją w serii materiałów dydaktycznych
Ćwiczenia z matematyki.
Dotychczas ukazały się pozycje:
Zeszyt 1. Funkcje i ciÄ…gi liczbowe
Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
W najbliższym czasie ukażą się kolejne pozycje:
Zeszyt 3. Całki i ich zastosowanie
Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania
Wydanie I
Materiały do druku zostały w całości przygotowane przez Autora.
ISBN 83-88781-02-2
Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu w Sochaczewie
Arkuszy wydawniczych 2,75
Arkuszy drukarskich 2,75
 3
Spis treści
OD AUTORA ...................................................................................4
1. GRANICA CI
GU...................................................................................5
1.1 CI
GI ZBIEŻNE .......................................................................................5
1.2 CI
GI ROZBIEŻNE...................................................................................7
1.3 OBLICZANIE GRANIC CI
GÓW ................................................................9
2. GRANICA FUNKCJI ............................................................................13
2.1 GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE .............................................................13
2.2 GRANICE JEDNOSTRONNE ....................................................................16
2.3 GRANICA W NIESKOC
CZONOÅšCI ...........................................................18
2.4 CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ..............................................................................19
2.5 ASYMPTOTY FUNKCJI...........................................................................21
3. POCHODNA FUNKCJI ........................................................................23
3.1 GRANICA ILORAZU RÓŻNICOWEGO ......................................................23
3.2 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ.....................................24
3.3 RÓŻNICZKA FUNKCJI............................................................................25
3.4 OBLICZANIE POCHODNYCH..................................................................26
3.5 POCHODNA A MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI...........................................28
3.6 POCHODNA A EKSTREMA FUNKCJI........................................................28
3.7 DRUGA POCHODNA I JEJ ZASTOSOWANIA .............................................30
3.8 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOÅšCI FUNKCJI .........................................32
3.9 REGUA
A DE L HOSPITALA....................................................................38
3.10 ELEMENTY EKONOMICZNEJ INTERPRETACJI POCHODNEJ....................40
4. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH ......................................................43
4.1 POCHODNE CZ
STKOWE PIERWSZEGO RZ
DU ......................................45
4.2 ZASTOSOWANIE POCHODNYCH CZ
STKOWYCH ...................................47
5. LITERATURA .......................................................................................48
4
Od autora
U podstaw decyzji o wydaniu serii zeszytów pod wspólnym tytułem  Ćwiczenia z ma-
tematyki są moje wieloletnie doświadczenia nauczyciela akademickiego w zakresie
nauczania przedmiotów ilościowych (matematyka, statystyka matematyczna, doświadczal-
nictwo, ekonometria) jak i informatycznych (arkusze kalkulacyjne, relacyjne bazy danych).
Od szeregu lat obserwujemy narastajÄ…ce problemy znacznej grupy studiujÄ…cych ze
zrozumieniem tych przedmiotów, przy czym jest to szczególnie groz
ne w przypadku osób
studiujÄ…cych w trybie zaocznym.
Seria  Ćwiczenia z matematyki została pomyślana z jednej strony jako materiał
ułatwiający przypomnienie programu matematyki z zakresu szkoły średniej. Z drugiej
strony materiał zawarty w tej serii jest już pewnym przygotowaniem pod nauczanie takich
przedmiotów jak właśnie statystyka, ekonometria, arkusze kalkulacyjne, bazy danych czy
badania operacyjne.
Seria  Ćwiczenia z matematyki powinna być traktowana raczej jako literatura uzupeł-
niająca klasyczną literaturę przedmiotu (podawaną przez prowadzących poszczególne
przedmioty) niż jako jedyny i wystarczający do zrozumienia matematyki skrypt. Mam
jednak nadzieję, że przedstawiony materiał z szeregiem szczegółowych przykładów ułatwi
zrozumienie tych wybranych działów matematyki.
W serii  Ćwiczenia z matematyki ukażą się następujące pozycje:
" Zeszyt 1. Funkcje i ciÄ…gi liczbowe
" Zeszyt 2. Granice ciągów i funkcji. Pochodna i jej zastosowanie
" Zeszyt 3. Całki i ich zastosowania
" Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
" Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania.
Zeszyty pierwszy i czwarty ukażą się w roku 2000, a pozostałe trzy w roku 2001.
Janusz Górczyński
 5
1. Granica ciÄ…gu
W poprzednim zeszycie rozważaliśmy ciąg geometryczny, którego wyrazy powstawały
w wyniku kolejnych podziałów odcinka o jednostkowej długości:
1 1 1 1
ëÅ‚
; ; ; ; ...öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 8 16
íÅ‚ Å‚Å‚
A
atwo możemy zauważyć, że wraz ze zwiększaniem indeksu n wyrazy tego ciągu
różnią się coraz mniej od pewnej liczby, w tym przykładzie od zera. O takich ciągach
będziemy mówić, że są zbieżne, a liczbę do której dążą wyrazy ciągu będziemy nazywać
jego granicą. Przejdziemy teraz do bardziej formalnych określeń granicy ciągu.
1.1 Ciągi zbieżne
OkreÅ›lenie: PrzedziaÅ‚ otwarty (x0 - µ; x0 + µ ) nazywamy otoczeniem punktu x0 i ozna-
czamy U (x0; µ ) . LiczbÄ™ µ nazywamy promieniem otoczenia.
Z tak podanego określenia otoczenia punktu wynika, że:
x "U (x0; µ ) Ô! x0 - µ < x < x0 + µ
lub z wykorzystaniem symbolu wartości bezwzględnej (modułu):
x "U (x0; µ ) Ô! x - x0 < µ
Wracając raz jeszcze do wyrazów naszego ciągu zauważmy, że różnią się one od liczby
zero dowolnie mało, jeżeli tylko numery (indeksy) tych wyrazów są wystarczająco duże:
n-1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
Å" < 0,1 Ò! n > 3 (skorzystaliÅ›my z wzoru na wyraz n-ty ciÄ…gu geometry-
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
cznego zdefiniowanego przez a1 = i q = )
2 2
n-1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
Å" < 0,01 Ò! n > 6
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
n-1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
Å" < 0,001 Ò! n > 9
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
.........................
n-1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
Å" < µ Ò! n > log0,5 µ (obustronne logarytmowanie przy podstawie 0,5
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
i uporzÄ…dkowanie).
OkreÅ›lenie: LiczbÄ™ zero nazywamy granicÄ… ciÄ…gu (an ) , jeżeli dla każdego µ > 0
istnieje taka liczba ´ , że dla każdego n > ´ speÅ‚niona jest nierówność:
an < µ .
6
Fakt, że liczba zero jest granicą ciągu (an ) zapisujemy następująco:
lim an = 0 (lim to skrót od greckiego limes).
n+"
Z równoÅ›ci tej wynika, że do otoczenia punktu U (0; µ ) należą prawie wszystkie
wyrazy ciągu (wszystkie z wyjątkiem skończonej ich liczby).
Ciąg nieskończony, który ma granicę zero nazywamy ciągiem zbieżnym. Ważnym
przykładem ciągu zbieżnego do zera jest ciąg geometryczny nieskończony z ilorazem
mniejszym co do wartości bezwzględnej od jedności:
lim a1 Å" qn-1 = 0 dla q < 1.
n+"
Określenie: Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an ) , jeżeli lim (an - g) = 0 .
n+"
Z tego określenia wynika, że:
lim an = g Ô! an - g < µ .
'"(" '"
n+"
µ >0 ´ n>´
2n +1
Przykład 1. Granicą ciągu o wyrazie ogólnym an = jest liczba 2, ponieważ:
n
2n +1 2n +1- 2n 1
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
lim - 2öÅ‚ = lim = lim = 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n+" n+" n+"
n n n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3n -1
Przykład 2. Korzystając z definicji granicy ciągu wykażemy, że lim = 3 .
n+"
n +1
3n -1
Dla dowolnej liczby µ > 0 rozwiÄ…zujemy nierówność - 3 < µ :
n +1
3n -1 3n -1- 3n - 3 - 4 4 - µ
- 3 < µ Ò! < µ Ò! < µ Ò! n > .
n +1 n +1 n +1 µ
4 - µ
Jeżeli przyjmiemy, że ´ = , to dla każdego n > ´ speÅ‚niona jest nierówność
µ
3n -1 3n -1
- 3 < µ , a to oznacza, że lim = 3 .
n+"
n +1 n +1
 7
n2 -1
Przykład 3. Korzystając z definicji granicy ciągu wykażemy, że lim = 1 .
n+"
n(n +1)
n2 -1
Dla dowolnej liczby µ > 0 rozwiÄ…zujemy nierówność -1 < µ :
n(n -1)
n2 -1 n2 -1- n2 + n n -1 1 1
-1 < µ Ò! < µ Ò! < µ Ò! < µ Ò! n > .
n(n -1) n(n -1) n(n -1) n µ
1
Jeżeli przyjmiemy, że ´ = , to dla każdego n > ´ speÅ‚niona jest nierówność
µ
n2 -1 n2 -1
-1 < µ , a to oznacza, że lim = 1 .
n+"
n(n -1) n(n +1)
Określenie: Jeżeli lim an = a oraz lim bn = b , to:
n+" n+"
lim (an + bn ) = a + b lim (an - bn ) = a - b lim (an Å" bn ) = a Å" b
n+" n+" n+"
ëÅ‚ öÅ‚
an a
ìÅ‚ ÷Å‚
lim = pod dodatkowym warunkiem, że `" 0 '" b `" 0 .
n
ìÅ‚ ÷Å‚ '"b
n+"
bn b
íÅ‚ Å‚Å‚
n
n
Określenie: Jeżeli lim an = a i a > 0 , to lim (c)a = ca dla c > 0 .
n+" n+"
1.2 Ciągi rozbieżne
Określenie: Ciąg nieskończony, który nie ma granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.
Określenie: Ciąg (an ) nazywamy ciągiem rozbieżnym do nieskończoności, jeżeli dla
każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M :
lim an = " .
n+"
Określenie: Ciąg (an ) nazywamy ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności, jeżeli
dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M :
lim an = -" .
n+"
8
Przykład 4. Wykażmy na podstawie definicji ciągu rozbieżnego do plus nieskończo-
ëÅ‚
noÅ›ci, że lim n2 +1 + nöÅ‚ = " .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
íÅ‚ Å‚Å‚
Zgodnie z definicją dla każdej liczby M nierówność n2 +1 + n > M ma być
spełniona dla prawie wszystkich wyrazów ciągu. Rozwiązując tę nierówność mamy:
2 2
M -1
ëÅ‚ 2
n2 +1 + n > M Ò! n2 +1öÅ‚ > (M - n)2 Ò! n2 +1 > M - 2Mn + n2 Ò! n > .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ 2M
2
M -1
Ostatecznie mamy, że n2 +1 + n > M jest spełniona dla n > , a to oznacza, że
2M
ëÅ‚
lim n2 +1 + nöÅ‚ = " .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
íÅ‚ Å‚Å‚
Określenie. Przy wyznaczaniu granic ciągów rozbieżnych do plus czy minus nieskoń-
czoności obowiązują następujące ogólne reguły (zapis symboliczny):
a) +" + (+") = +" b) -" + (-") = -"
c) -" - (+") = -" d) +" Å" (+") = +"
e) +" Å" (-") = -" Å" (+") = -" f) -" Å" (-") = +"
a
g) a + (Ä…") = Ä…" h) = 0
Ä… "
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚a Å" (Ä…") = Ä…" ôÅ‚a Å" (Ä…") = m"
i) a > 0 Ò! Ä… " j) a < 0 Ò! Ä… " .
òÅ‚ òÅ‚
= Ä…" = m"
ôÅ‚ ôÅ‚
ół a ół a
n -1
Przykład 5. Obliczmy granicę ciągu o wyrazie ogólnym an =
n2 - 4n + 3
1 1
n Å"(1- ) 1-
n -1 1
n n
lim = lim = lim = = 0
3 3
n+" n+" - 4 + ) n - 4 + + "
n+"
n Å"(n
n2 - 4n + 3
n n
Tę samą granicę można było obliczyć także inaczej (w rozwiązaniu powyższym
chodziło o pokazanie zastosowania punku h. z ostatniego określenia). Poniżej wyznaczymy
granicę naszego ciągu w sposób bardziej ogólny.
1 1 1 1
n2 Å"( - ) -
n -1 0
n n
n2 n2
lim = lim = lim = = 0 .
4 3
4 3
n+" n+" n+"
1- + 1
n2 - 4n + 3 n2 Å"(1- + )
n
n
n2
n2
 9
1.3 Obliczanie granic ciągów
Przy obliczaniu granic ciągów istotne są dwie implikacje:
1
lim an = " Ò! lim = 0
n+" n+"
an
1
îÅ‚
ëÅ‚
(an > 0)'" lim an = 0öÅ‚Å‚Å‚ Ò! lim = " .
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
íÅ‚ n+" Å‚Å‚ n+"
ðÅ‚ ûÅ‚ an
Przykład 6. Kilka przykładów obliczania granic ciągów:
1
n2 + 2 n2 (1+ 2n-2 ) 1+ 2n-2 1+ 2 lim 1+ 2 Å" 0 1
n2
n+"
a) lim = lim = lim = = =
n+"
2 2 2
2n2 n+" 2n2 n+" 2
2n3 - n2 + 2n +1 2n3 - n2 + 2n +1 n3(2 - n-1 + 2n-2 + n-3)
b) lim = lim = lim =
n+" n+" n+"
(n +1)(n2 - n +1) n3 +1 n3(1+ n-3)
2 - n-1 + 2n-2 + n-3 2 - lim (n-1) + 2 lim (n-2 ) + lim (n-3) 2
n+" n+" n+"
= lim = = = 2 .
n+"
1
1+ n-3 1+ lim (n-3)
n+"
1
n(n +1)
1 + 2 + 3 + ... + n 1
2
c) lim = lim = .
n+" n+"
n2 n2 2
ëÅ‚ ëÅ‚
4n2 +1 - 2nöÅ‚ Å" 4n2 +1 + 2nöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
d) lim 4n2 +1 - 2nöÅ‚ = lim =
ìÅ‚ ÷Å‚
n+" Å‚Å‚ n+"
íÅ‚
4n2 +1 + 2n
(4n2 +1- 4n2)= lim 1
= lim = 0 .
n+" n+"
4n2 +1 + 2n 4n2 +1 + 2n
n - n3 n3(n-2 -1) n-2 -1 1
e) lim = lim = lim = - .
n+" n+" n+"
2
2n3 + 2n - 3 n3(2 + 2n-2 - 3n-3) 2 + 2n-2 + 3n-3
1 1
lim
n
n
f ) lim 5 Å" 4n = lim 4 Å" 5 = 4 Å" lim 5n = 4 Å" 5n+" n = 4 Å" 50 = 4 Å"1 = 4
n+" n+" n+"
10
Określenie: Jeżeli lim an = lim bn = g i dla prawie wszystkich n spełniona jest nierów-
n+" n+"
ność an d" cn d" bn , to lim cn = g (jest to tzw. twierdzenie o trzech
n+"
ciÄ…gach).
Przykład 7. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczymy granicę ciągu o wyra-
n
zie ogólnym an = 2n + 3Å" 4n +1 .
Aby skorzystać z tego twierdzenia musimy znalez
ć takie dwa ciągi (an ) i (bn ) , które
ograniczą wyrazy naszego ciągu z dołu i z góry oraz będą zbieżne do tej samej liczby.
Proszę zauważyć, że dla n e" 2 spełniona jest następująca nierówność:
n n n
4n d" 2n + 3Å" 4n +1 d" 5 Å" 4n .
n n
Granice ciÄ…gów ograniczajÄ…cych 4n i 5 Å" 4n sÄ… takie same (równe 4; zobacz
n
przykÅ‚ad 6f), tym samym także lim 2n + 3Å" 4n +1 = 4 .
n+"
n
PrzykÅ‚ad 8. Powiedzmy, że chcemy obliczyć lim 2n + 3Å" 5n - 2 .
n+"
Podobnie jak w poprzednim przykładzie szukamy takich dwóch ciągów
ograniczających wyrazy naszego ciągu z dołu i z góry, których granice będą takie same.
Proszę zauważyć, że dla wszystkich n e" 2 spełniony jest warunek:
n n n
5n d" 2n + 3Å" 5n - 2 d" 6 Å" 5n .
n n n
Ponieważ lim 5n = lim 6 Å" 5n = 5 , to także lim 2n + 3Å" 5n - 2 = 5 .
n+" n+" n+"
an
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
Określenie: Granicą ciągu o wyrazie ogólnym , gdzie lim an = " jest tzw.
ìÅ‚1+ ÷Å‚
n+"
an
íÅ‚ Å‚Å‚
liczba e (stała Eulera, w przybliżeniu 2,71828...):
an
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
lim = e .
ìÅ‚1+ ÷Å‚
n+"
an
íÅ‚ Å‚Å‚
n
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
W szczególności lim = e . Liczba e odgrywa szczególną rolę w zastosowa-
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
niach matematyki i statystyki, zwłaszcza w opisie wielu zjawisk przyrodniczych i eko-
nomicznych. Warto w tym miejscu przypomnieć funkcję wykładniczą y = ex = exp(x)
oraz funkcjÄ™ logarytmicznÄ… y = ln x .
 11
3n+1
n + 2
ëÅ‚ öÅ‚
Przykład 9. Obliczmy lim .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
Przy obliczaniu granicy tego ciągu nie możemy skorzystać ze  standardowych metod,
ponieważ w wyrazie ogólnym ciągu parametr n występuje jednocześnie jako podstawa
potęgi i jej wykładnik. Dość łatwo możemy jednak zauważyć, że wyraz ogólny naszego
ciągu jest podobny do wyrazu ogólnego ciągu, którego granicą jest liczba e .
Mamy więc:
3 3
ëÅ‚ öÅ‚
3n+1
îÅ‚ëÅ‚ öÅ‚n Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚ 2 öÅ‚n Å‚Å‚
n + 2 ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚ 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
lim = lim ïÅ‚ 1+ śł Å" 1+ = lim ïÅ‚ 1+ śł Å" lim 1+ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
n+" n+" n+" n+"
n n n
íÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ðÅ‚íÅ‚ n Å‚Å‚ ûÅ‚ ðÅ‚íÅ‚ n Å‚Å‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2Å"3
n
îÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚1+ öÅ‚
ïÅ‚ëÅ‚1+ 2 öÅ‚ 2 śł
= lim Å" lim = e6 Å"1 = e6 .
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ n ÷Å‚ śł
n+" n+"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
n
2 2
ëÅ‚1+ öÅ‚
Przy obliczaniu lim skorzystaliśmy z:
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
an
2 2 ëÅ‚ öÅ‚
1 n
ëÅ‚1+ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
lim = lim = e , gdzie an = .
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚1+ ÷Å‚
n+" n+"
n an 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3n+1
2n + 7 n
ëÅ‚ öÅ‚
Przykład 10. Obliczmy granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = .
ìÅ‚ ÷Å‚
n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Przy obliczaniu granicy tego ciągu, gdzie zmienna jest zarówno podstawa jak i wykła-
dnik potęgi będziemy musieli skorzystać z wielu podanych wcześniej reguł obliczania
granic ciągów.
Mamy kolejno:
3n+1 ëÅ‚ öÅ‚ 1
1
ëÅ‚ öÅ‚
3+
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚3 ëÅ‚2 1 öÅ‚ ÷Å‚
2n + 7 n 2(n + 3) +1 n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚
lim = lim = lim + Å" + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ìÅ‚2 n + 3 ÷Å‚ ìÅ‚ n + 3 ÷Å‚ ÷Å‚
n+" n+" n+"
n + 3 n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
3
1 1 n
ëÅ‚2 öÅ‚ ëÅ‚2 öÅ‚
= lim + Å" lim + .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n+" n+"
n + 3 n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Granica pierwszego ciÄ…gu jest stosunkowo Å‚atwa do policzenia:
3
1
ëÅ‚ öÅ‚
lim 2 + = (2 + 0)3 = 23 = 8 .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
12
Przy obliczaniu granicy drugiego ciÄ…gu mamy zaÅ›:
1
1 n 1
ëÅ‚2 öÅ‚
n
lim + = lim 2 + .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+" n+"
n + 3 n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Dalsze obliczenia granicy tego ciÄ…gu wymagajÄ… skorzystania z twierdzenia o trzech
ciągach. Dla każdego n wyrazy naszego ciągu spełniają warunek:
1
n n
n
2 d" 2 + d" 3 .
n + 3
Granice ciągów ograniczających są odpowiednio równe:
1
1
lim
n
n
lim 2 = lim 2 = 2n+" n = 20 = 1
n+" n+"
1
1
lim
n
lim 3 = lim 3n = 3n+" n = 30 = 1 .
n+" n+"
Ciągi ograniczające są zbieżne do tej samej granicy, w takim razie granicą ciągu
1
n
2 + jest także liczba 1. Ostatecznie mamy więc, że
n + 3
3n+1
2n + 7 n
ëÅ‚ öÅ‚
lim = 8 Å"1 = 8 .
ìÅ‚ ÷Å‚
n+"
n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 11. Obliczmy korzystając z definicji granicy liczbę wyrazów ciągu
5n - 3
an = pozostających poza przedziałem (2; 3) .
2n +1
5n - 3 5
Zaczniemy od obliczenia granicy ciągu: lim = = 2,5 . Z warunków
n+"
2n +1 2
zadania mamy więc, że przedział (2; 3) jest otoczeniem granicy naszego ciągu o promieniu
µ = 2,5 .
Jeżeli liczba 2,5 jest granicą badanego ciągu, to musimy teraz ustalić, dla jakich n
5n - 3 5
warunek - < µ bÄ™dzie speÅ‚niony dla dowolnego µ > 0 .
2n +1 2
5n - 3 5 10n - 6 -10n - 5 -11 11- 2µ
- < µ Ò! < µ Ò! < µ Ò! n > .
2n +1 2 4n + 2 4n + 2 4µ
11-1
Dla µ = 0,5 warunek ten bÄ™dzie speÅ‚niony dla n > = 5 , stÄ…d poza przedziaÅ‚em
2
5n - 3
(2; 3) znajduje się tylko pierwszych pięć wyrazów ciągu an = .
2n +1
 13
2. Granica funkcji
Rozważania o granicy funkcji zaczniemy od wprowadzenia pojęcia sąsiedztwa punktu.
Określenie: Przedział liczbowy {(x0 - r ; x0 ) *" (x0; x0 + r)} nazywamy sąsiedztwem
punktu x0 o promieniu r i oznaczamy symbolem S(x0; r) .
Proszę zauważyć, że zgodnie z podanym określeniem sam punkt x0 nie należy do
sÄ…siedztwa punktu.
2.1 Granica funkcji w punkcie
Powiedzmy, że interesuje nas funkcja y = f (x) określona w pewnym sąsiedztwie
punktu x0 . W samym punkcie x0 funkcja f (x) może być określona lub nie.
Określenie: Funkcja y = f (x) ma w punkcie x0 granicę g , jeżeli dla każdego ciągu (xn )
o wyrazach należących do sąsiedztwa S(x0; r) i zbieżnego do x0 , ciąg
( f (xn )) jest zbieżny do liczby g .
Podana w określeniu definicja jest tzw. definicją Heinego granicy funkcji w punkcie
x0 .
x2 - 4
Przykład 12. Wyznaczmy z definicji Heinego granicę funkcji f (x) = w punkcie
x - 2
x0 = 2 .
Zauważmy, że rozpatrywana funkcja nie jest określona w punkcie x0 = 2 , jest
natomiast określona w dowolnym sąsiedztwie tego punktu. Zgodnie z definicją Heinego
bierzemy dowolny ciąg (xn ) taki, że xn `" 2 oraz lim xn = 2 .
n+"
Obliczamy teraz granicÄ™ ciÄ…gu:
2
xn - 4 (xn - 2)Å"(xn + 2)
lim = lim = lim (xn + 2) = lim xn + 2 = 2 + 2 = 4 .
n+" - 2 xn
n+" - 2
n+" n+"
xn
Uproszczenie licznika z mianownikiem (czyli podzielenie licznika i mianownika przez
wyrażenie (xn - 2) ) było dopuszczalne, ponieważ z założenia xn `" 2 . Ostatecznie więc:
x2 - 4
lim = 4 .
x2 - 2
x
14
3x2 + 2x
Przykład 13. Wyznaczmy granicę funkcji f (x) = w punkcie x0 = 3 .
1- x
Dziedziną tej funkcji jest zbiór X = R -{1}, bierzemy więc dowolny ciąg (xn )
spełniający warunki: xn " X , xn `" 3 i lim xn = 3 . Obliczamy teraz granicę ciągu:
n+"
2
2 lim
3xn + 2xn n+"(3xn + 2xn ) 3Å" 32 + 2 Å" 3 27 + 6 33
lim = = = = - .
n+"
1- xn lim (1- xn ) 1- 3 - 2 2
n+"
Ostatecznie więc:
3x2 + 2x 33
lim = - .
x3
1- x 2
Określenie: Liczba g jest granica funkcji f (x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, jeżeli
dla dowolnego µ > 0 istnieje takie sÄ…siedztwo S(x0; r) , że dla wszystkich
x " S speÅ‚niony jest warunek f (x) - g < µ . Definicja powyższa jest tzw.
definicjÄ… Cauchy ego granicy funkcji w punkcie x0 .
Określenie powyższe można także zapisać w równoważnej postaci:
lim f (x) = g Ô! f (x) - g < µ .
'"("'"
xx0
µ >0 r x"S
Przykład 14. Korzystając z definicji Cauche go granicy funkcji w punkcie x0
x2 - 4
wykażemy, że funkcja f (x) = ma w punkcie x0 = 2 granicę równą 4.
x - 2
Dla dowolnego µ > 0 i x `" 2 rozwiÄ…zujemy nierówność:
x2 - 4
f (x) - g < µ Ò! - 4 < µ Ò! (x + 2)- 4 < µ Ò! x - 2 < µ
x - 2
x - 2 < µ Ò! -µ < x - 2 < µ Ò! -µ + 2 < x < µ + 2 Ò! 2 - µ < x < 2 + µ .
Widzimy z tego, że warunek f (x) - g < µ jest speÅ‚niony wtedy, gdy x należy do
sÄ…siedztwa S(2; µ ) .
Określenie: Jeżeli przy obliczaniu granicy funkcji f (x) otrzymamy, że g = +" lub
g = -" , to mówimy, że funkcja ma w tym punkcie granicę niewłaściwą.
 15
1
Przykład 15. Obliczmy, korzystając z definicji Heinego, granicę funkcji f (x) =
x2
w punkcie x0 = 0 .
Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu
zero, czyli x " R -{0}. Zgodnie z definicją Heinego bierzemy dowolny ciąg (xn ) zbieżny
do zera i taki, że xn `" 0 . Obliczamy teraz granicę ciągu:
1 1
lim = = +" (korzystamy z implikacji podanej w rozdz. 1.3).
2 2
n+"
xn lim xn
n+"
1
Ostatecznie mamy, że lim = +" .
x0
x2
Określenie: Jeżeli lim f (x) = a i lim g(x) = b , to prawdziwe są następujące granice:
xx0 xx0
lim ( f (x) Ä… g(x)) = lim f (x) Ä… lim g(x) = a Ä… b
xx0 xx0 xx0
lim ( f (x) Å" g(x)) = lim f (x) Å" lim g(x) = a Å" b
xx0 xx0 xx0
lim f (x)
f (x) xx0 a
lim = = , pod warunkiem, że b `" 0 i g(x) `" 0 w otoczeniu x0 .
xx0
g(x) lim g(x) b
xx0
Wzory powyższe są prawdziwe także wtedy, gdy rozpatrujemy granicę funkcji w plus
lub minus nieskończoności, a także wtedy, gdy granice a lub b są niewłaściwe (postaci
"
Ä…" ), przy czym nie dotyczy to sytuacji nieokreÅ›lonych typu: "" - "" , " " , "0 Å" "" .
"
Przykład 16. Obliczmy granicę funkcji f (x) = 2x (3x2 - 2x + 6) w punkcie x = 2 .
Korzystając z podanych wyżej reguł mamy:
lim(2x (3x2 - 2x + 6))= lim 2x Å" lim(3x2 - 2x + 6)= 22 Å"(3Å" 22 - 2 Å" 2 + 6)= 4 Å"14 = 56 .
x2 x2 x2
sin 4x
Przykład 17. Obliczmy granicę funkcji f (x) = w punkcie x = 0 .
x
Przy obliczaniu granicy funkcji tego typu skorzystamy z podstawowego w teorii
sin x
granicy wzoru lim = 1.
x0
x
16
Mamy kolejno:
sin 4x 4sin 4x sin 4x
lim = lim = lim 4 Å" lim = 4 Å"1 = 4 .
x0 x0 x0 x0
x 4x 4x
x + x
Przykład 18. Czy istnieje granica funkcji f (x) = w punkcie x0 = 0 ?
2x
Rozpatrywana funkcja nie jest określona w punkcie x0 = 0 , z uwagi na postać funkcji
musimy rozpatrzyć dwa ciągi (xn ) zbieżne do zera, ale oddzielnie o wyrazach mniejszych
od zera i oddzielnie o wyrazach większych od zera. Oznaczmy te ciągi i warunki zbieżności
odpowiednio przez:
- - - - 1
(xn ); taki, że xn < 0 i lim xn = 0 (np. xn = - )
n
n+"
+ + + +
1
(xn ); taki, że xn > 0 i lim xn = 0 (np. xn = ).
n
n+"
Dla tak zdefiniowanych ciągów mamy następującą granicę:
- -
xn - xn 0
lim = lim = 0
- -
n+"
2 Å" xn n+" 2 Å" xn
+ + +
xn + xn 2xn
lim = lim = 1
+ +
n+"
2xn n+" 2xn
Widzimy z tego, że granice jednostronne (odpowiednio lewostronna i prawostronna)
x + x
nie sÄ… jednakowe, tym samym funkcja f (x) = nie ma granicy w punkcie x0 = 0 .
2x
Przejdziemy teraz do bardziej formalnego określenia granic jednostronnych.
2.2 Granice jednostronne
Określenie: Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f (x) w punkcie x = x0 wtedy
i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu (xn ) należącego do dziedziny funkcji
i takiego, że lim xn = x0 i xn < x0 , granicą ciągu f (xn ) jest liczba g :
n+"
lim f (x) = g
-
xx0
 17
Określenie: Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f (x) w punkcie x = x0 wtedy
i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu (xn ) należącego do dziedziny funkcji
i takiego, że lim xn = x0 i xn > x0 , granicą ciągu f (xn ) jest liczba g :
n+"
lim+ f (x) = g
xx0
x
Przykład 19. Obliczmy granice jednostronne funkcji f (x) = w punktach
x2 - 4
nieokreśloności tej funkcji.
x
Dziedziną funkcji f (x) = jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem
x2 - 4
punktów -2 i 2, czyli x " R -{- 2; 2}. Naszym zadaniem jest więc obliczenie czterech
granic jednostronnych:
symbol "-2" oznacza, że licznik jest  prawie równy
x "-2"
 2, a symbol "0+" oznacza, że mianownik jest
lim = = -"
x-2-  prawie równy zero, ale po stronie wartości
x2 - 4 "0+"
dodatnich; tak będzie, jeżeli za x przyjmiemy np.
-2,0001 .
x "-2" Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
lim = = +"
podstawić np. x = -1,9999 .
x-2+
x2 - 4 "0-"
x "2" Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
lim = = -"
podstawić np. x = 1,9999 .
x2- x2 - 4 "0-"
x "2" Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
lim = = +"
podstawić np. x = 2,00001 .
x2+
x2 - 4 "0+"
Określenie: Jeżeli istnieją granice jednostronne funkcji f (x) w punkcie x = x0 i są sobie
równe, to istnieje także granica funkcji w tym punkcie:
lim f (x) = lim+ f (x) = g Ò! lim f (x) = g .
-
xx0 xx0 xx0
Zależność powyższa prawdziwa jest także w  drugą stronę: jeżeli funkcja f (x) ma
granicę w danym punkcie, to istnieją i są sobie równe granice jednostronne w tym punkcie.
18
2.3 Granica w nieskończoności
Określenie: Funkcja y = f (x) ma w +" ( -" ) granicę g , jeżeli dla każdego ciągu (xn )
o wyrazach należących do dziedziny funkcji i zbieżnego do +" ( -" ), ciąg
( f (xn )) jest zbieżny do liczby g .
x
Przykład 20. Wyznaczmy granicę funkcji f (x) = w plus nieskończoności.
x2 - 4
Bierzemy dowolny ciąg (xn ) taki, że xn +" i obliczamy granicę ciągu (stosujemy
dokładnie te same techniki, co przy obliczaniu granic ciągu liczbowego):
1 1 1
2
xn Å" lim
n+"
xn xn xn xn 0
lim = lim = lim = = = 0 .
2
n+" n+" n+" 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 1- 0
xn - 4
2
1-
ìÅ‚1- 4 ÷Å‚ ìÅ‚1- 4 ÷Å‚
xn Å" lim
2
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ xn n+"ìÅ‚ ÷Å‚
xn xn
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x
Ostatecznie mamy, że lim = 0
x+"
x2 - 4
Przykład 21. Obliczmy granice funkcji f (x) = exp(x) na krańcach dziedziny.
Jak wiemy funkcja f (x) = exp(x) lub inaczej f (x) = ex jest funkcją wykładniczą, a jej
dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Tym samym nasze zadanie sprowadza się do
obliczenia granicy tej funkcji odpowiednio w minus i plus nieskończoności.
Bierzemy więc ciąg (xn ) taki, że xn -" i obliczamy granicę:
lim xn
lim exn = en+" = e-" = 0 .
n+"
Analogicznie dla ciągu (xn ) rozbieżnego do plus nieskończoności otrzymamy:
lim xn
lim exn = en+" = e+" = +" .
n+"
Przy obliczaniu tych granic warto przypomnieć sobie wykres funkcji wykładniczej
rosnÄ…cej.
 19
2.4 Ciągłość funkcji
Określenie. Jeżeli funkcja f (x) jest określona w punkcie x = x0 , jeżeli istnieje granica
funkcji w tym punkcie i jeżeli granica ta jest równa wartości funkcji w tym
punkcie, to funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x = x0 :
f (x) jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie x = x0 Ô! f (x0 ) = lim f (x) .
xx0
x
Przykład 22. Sprawdzimy, czy funkcja f (x) = jest ciągła w punkcie x = 1 .
x2 - 4
Zauważmy, że punkt x = 1 należy do dziedziny tej funkcji (zobacz poprzedni przykład).
Obliczamy więc wartość funkcji w tym punkcie:
1 1 1
f (x = 1) = = = - .
12 - 4 - 3 3
Obliczamy granicę funkcji w punkcie x = 1 (bierzemy dowolny ciąg (xn ) taki, że
xn `" 1 i xn 1 )
lim
xn n+" xn 1 1 x 1
lim = = = - , stÄ…d lim = - .
2 2
n+" x1
1- 4 3 3
xn - 4 lim xn - 4 x2 - 4
n+"
Jak widzimy wszystkie trzy warunki ciągłości funkcji w punkcie są spełnione:
" Funkcja jest określona w punkcie x = 1
x 1
" Istnieje granica funkcji w tym punkcie: lim = -
x1
3
x2 - 4
x 1
" Granica funkcji równa jest wartości funkcji w tym punkcie: lim = - = f (1)
x1
3
x2 - 4
x
tym samym funkcja f (x) = jest ciągła w punkcie x = 1 .
x2 - 4
Określenie: Funkcje f (x) ciągłą w każdym punkcie x0 " X nazywamy funkcją ciągłą
w zbiorze X .
Potocznie pod pojęciem funkcji ciągłej (w pewnym przedziale) rozumie się taką
funkcję, której wykres (w tym przedziale) można narysować bez odrywania ołówka.
Przykładowo funkcja f (x) = exp(x) jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych,
x
zaś funkcja f (x) = jest ciągła w przedziałach (- "; - 2), (- 2; 2), (2; + ").
x2 - 4
20
Określenie: Funkcję f (x) nazywamy ciągłą lewostronnie (prawostronnie) w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, jeżeli:
" Istnieje wartość funkcji w tym punkcie,
" Istnieje granica lewostronna (prawostronna) w tym punkcie,
" Granica lewostronna (prawostronna) równa jest wartości funkcji w tym
punkcie.
Przykład 23. Sprawdzimy, czy funkcja
x + 3 dla x d" 2
Å„Å‚
f (x) =
òÅ‚
2
ółx - 8 dla x > 2
jest ciągła w punkcie x = 2 .
Obliczamy wartość funkcji w punkcie x = 2 : f (x = 2) = 2 + 3 = 5 .
Przejdziemy teraz do obliczenia granicy tej funkcji w punkcie x = 2 , ale ponieważ
funkcja zdefiniowana jest dwoma różnymi wzorami po obu stronach tego punktu, to
musimy obliczać granice jednostronne. Mamy kolejno:
lim f (x) = lim (x + 3) = 2 + 3 = 5
x2- x2-
lim f (x) = lim (x2 - 8) = 4 - 8 = -4 .
x2+ x2-
Jak widzimy
lim f (x) `" lim f (x) ,
x2- x2+
tym samym nie istnieje granica tej funkcji w punkcie x = 2 , a to oznacza, że funkcja ta nie
jest ciągła w tym punkcie.
Proszę jednak zauważyć, że spełniony jest warunek:
f (2) = lim f (x)
x2-
a to oznacza, że rozpatrywana funkcja jest ciągła lewostronnie w punkcie x = 2 .
 21
2.5 Asymptoty funkcji
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) nie istnieje w punkcie x0 i przynajmniej jedna z granic
jednostronnych w tym punkcie jest granicą niewłaściwą (czyli ą" ), to
prosta x = x0 jest asymptotÄ… pionowÄ… tej funkcji:
x = x0 jest asymptotÄ… pionowÄ… f (x) Ô! lim f (x) = Ä…" lub lim+ f (x) = Ä…" .
-
xx0 xx0
x
Przykład 24. Wyznaczmy, jeżeli istnieją, asymptoty pionowe funkcji f (x) = .
x2 - 2
x
Funkcja f (x) = jest funkcją wymierną określoną w zbiorze liczb rzeczywistych
x2 - 2
z wyłączeniem tych punktów, które są miejscami zerowymi wielomianu w mianowniku,
czyli x = - 2 i x = 2 . W punktach tych mogą istnieć asymptoty pionowe, żeby tak
było, to co najmniej jedna z granic jednostronnych w tych punktach musi być granicą
niewłaściwą. Obliczamy więc granice (zobacz przykład 19):
x "- 2" x "- 2"
lim = = -" lim = = +"
- +
x2
x- 2 - 2 "0+" x2
x- 2 - 2 "0-"
x " 2" x " 2"
lim = = -" lim = = +" .
- +
x2
x 2 - 2 "0-" x2
x 2 - 2 "0+"
Warunki istnienia asymptot pionowych są spełnione, w takim razie badana funkcja
x
f (x) = posiada dwie asymptoty pionowe o równaniach x = - 2 i x = 2 .
x2 - 2
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) ma granicę równą g w +" lub -" , to prosta f (x) = g
jest asymptotÄ… poziomÄ… funkcji f (x) :
f (x) = g jest asymptotÄ… poziomÄ… f (x) Ô! lim f (x) = g lub lim f (x) = g .
x-" x+"
Przykład 25. Ustalmy, czy funkcja f (x) = 3x ma asymptotę poziomą.
Zgodnie z podanym wyżej określeniem funkcja f (x) = 3x będzie miała asymptotę
poziomą wtedy i tylko wtedy, jeżeli co najmniej jedna z granic tej funkcji w minus lub plus
nieskończoności będzie granicą właściwą. W naszym przypadku mamy:
lim 3x = 3-" = 0 lim 3x = 3+" = +" .
x-" x+"
Jak widzimy granica w minus nieskończoności jest właściwa, tym samy prosta o równa-
niu y = 0 (lub f (x) = 0 ) jest asymptotÄ… poziomÄ… funkcji f (x) = 3x .
22
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) ma w nieskończoności obie granice niewłaściwe, to nie
istnieje asymptota pozioma tej funkcji. Nie wyklucza to jednak istnienia
asymptoty ukośnej.
Określenie: Prosta o równaniu y = ax + b (gdzie a `" 0 ) jest asymptotą ukośną funkcji
f (x) wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieją właściwe granice postaci:
f (x)
a = lim
xÄ…"
x
b = lim [f (x) - ax] .
xÄ…"
x2
Przykład 26. Sprawdz
my, czy funkcja f (x) = ma asymptotę ukośną.
2x - 4
Zgodnie z podanym określeniem wyznaczamy kolejno granice:
x2
f (x) x2 x2 1 1
2x - 4
lim = lim = lim = lim = lim =
4
xÄ…" xÄ…" xÄ…" - 4) 2
xÄ…" xÄ…" - 2
x x x(2x
2x2 - 4x
x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x2 1 2x2 - 2x2 + 4x 4x
lim [f (x) - ax]= lim - xśł = lim = lim = 1 .
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
xÄ…" xÄ…" - 4 2 4x 4x
xÄ…" - 8
xÄ…" - 8
ïÅ‚2x śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Obie granice są właściwe, tym samym prosta y = 0,5x +1 jest asymptotą ukośną
x2
funkcji f (x) = .
2x - 4
2x3
Przykład 27. Zbadajmy, czy funkcja y = ma asymptotę ukośną.
x - 5
Z uwagi na postać funkcji łatwo zauważyć, że ą nieskończoności granice są
niewłaściwe, tym samym funkcja ta nie posiada asymptoty poziomej. Nie wyklucza to, jak
wiemy, istnienia asymptoty ukośnej. Zaczniemy od sprawdzenia, czy istnieje skończona
(właściwa) i różna od zera granica określająca współczynnik kierunkowy potencjalnej
asymptoty ukośnej:
2x3
f (x) 2x3 2x3 2x
x - 5
lim = lim = lim = lim = lim = Ä…" .
5
xÄ…" xÄ…" xÄ…" - 5) 1-
xÄ…" xÄ…"
x x x(x
x2 - 5x
x
Jak widzimy z powyższego warunek ten nie jest spełniony, tym samym funkcja
2x3
y = nie posiada asymptoty ukośnej.
x - 5
 23
3. Pochodna funkcji
3.1 Granica ilorazu różnicowego
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) jest określona w przedziale (a; b) " R i w pewnym
punkcie x0 " (a; b) istnieje granica właściwa
f (x0 + "x) - f (x0 )
lim = f '(x0 ) ,
"x0
"x
to funkcję f (x) nazywamy różniczkowalną w tym punkcie.
LiczbÄ™ f '(x0 ) nazywamy pochodnÄ… funkcji f (x) w punkcie x0 .
W podanym określeniu symbol "x oznacza przyrost argumentu funkcji (czasami
oznaczamy go także symbolem h ), a wyrażenie f (x + "x) - f (x) = "y oznacza odpowia-
dający mu przyrost wartości funkcji.
Dla oznaczenia pochodnej funkcji y = f (x) w pewnym punkcie x możemy stosować
wymiennie kilka oznaczeń:
dy df (x) "y f (x + "x) - f (x)
y'= f '(x) = = = lim = lim .
"x0 "x0
dx dx "x "x
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) jest różniczkowalna w każdym punkcie x0 " (a; b) , to
funkcję tę nazywamy różniczkowalną w tym przedziale.
Przykład 28. Obliczmy z definicji pochodną funkcji y = 2x2 w dowolnym punkcie
x0 " R .
Zgodnie z podanym określeniem obliczamy granicę ilorazu różnicowego:
2(x + "x)2 - 2x2 2x2 + 4x"x + ("x)2 - 2x2
lim = lim =
"x0 "x0
"x "x
4x"x + ("x)2
= lim = lim (4x + "x) = 4x + 0 = 4x
"x0 "x0
"x
Określenie: Pochodna funkcji w danym punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieją
i są sobie równe pochodne jednostronne tej funkcji w tym punkcie:
' '
f '(x0 ) = f- (x0 ) = f+ (x0 ) ,
gdzie
f (x0 + "x) - f (x0 ) f (x0 + "x) - f (x0 )
' '
f- (x0 ) = lim f+ (x0 ) = lim .
"x0- "x "x0+ "x
24
Przykład 29. Sprawdz
my, czy funkcja y = x jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0 .
Funkcja y = x jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0 , jeżeli ma w tym punkcie
pochodną. Z uwagi na postać funkcji (moduł) musimy obliczyć pochodne jednostronne
w tym punkcie. Mamy odpowiednio:
0 + "x - 0
f (0 + "x) - f (0) - "x
lim = lim = lim = -1
"x0- "x "x0- "x "x0- "x
0 + "x - 0
f (0 + "x) - f (0) "x
lim = lim = lim = 1 .
"x0+ "x "x0- "x "x0- "x
Jak widzimy pochodne jednostronne nie są sobie równe, tym samym nie istnieje
pochodna funkcji y = x w punkcie x0 = 0 , czyli badana funkcja nie jest różniczkowalna
w tym punkcie.
3.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
Rozważmy funkcję f (x) różniczkowalną w punkcie x = x0 . Zgodnie z definicją
pochodnej mamy:
f (x0 + "x) - f (x0 )
f '(x0 ) = lim .
"x0
"x
Poniżej pokazany jest schematyczny wykres tej funkcji, jej wartość dla argumentu x0 ,
przyrost wartości argumentu i odpowiadający mu przyrost wartości funkcji.
f (x)
f (x0 + "x)
f (x0 + "x) - f (x0 )
f (x0 )
"x
Ä…
x0 + "x
x0
prosta l
 25
Proszę zauważyć, że iloraz przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu:
f (x0 + "x) - f (x0 )
"x
jest tangensem kąta ą , jaki tworzy prosta l z osią x-ów.
Jeżeli przejdziemy do granicy ilorazu różnicowego, to:
f (x0 + "x) - f (x0 )
f '(x0 ) = lim = tgÄ…
"x0
"x
czyli pochodna funkcji w punkcie x0 jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do
wykresu funkcji f (x) w tym punkcie.
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) jest różniczkowalna w punkcie x0 , to styczna do wykresu
funkcji w tym punkcie dana jest wzorem:
y - f (x0 ) = f '(x0 ) Å" (x - x0 ) .
Przykład 30. Wyznaczmy równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 2x2
w punkcie x0 = 1 .
Zgodnie z podanym określeniem równanie stycznej do wykresu tej funkcji dane jest
wzorem:
y - f (1) = f '(1) Å" (x -1) , czyli y - 2 = 4 Å" (x -1) Ò! y = 4x - 2 .
3.3 Różniczka funkcji
Z definicji pochodnej wynikają przybliżone równości:
f (x0 + "x) - f (x0 ) H" f '(x0 ) Å" "x
f (x0 + "x) H" f (x0 ) + f '(x0 ) Å" "x .
Pierwsza z tych równości pozwala oszacować przybliżony przyrost wartości funkcji,
druga zaś pozwala oszacować nową wartość funkcji przy zmianie argumentu z x0 na
x0 + "x . Błąd tych szacunków jest tym mniejszy, im mniejszy jest przyrost argumentu
funkcji "x .
OkreÅ›lenie: Wyrażenie f '(x0 ) Å" "x nazywamy różniczkÄ… funkcji f (x) w punkcie x0 dla
przyrostu argumentu "x .
Przykład 31. Korzystając z różniczki funkcji wyznaczymy przybliżoną wartość funkcji
f (x) = 2x2 w punkcie x0 = 1,01.
Korzystając z drugiej równości mamy (przyjmujemy x0 = 1 i "x = 0,01 )
f (1,01) H" f (1) + f '(1) Å" "x = 2 + 4 Å" 0,01 = 2,04 (gdzie f '(x) = 4x ).
Proszę zauważyć, że prawdziwa wartość różni się od naszego szacunku nieznacznie:
f (1,01) = 2 Å" (1,01)2 = 2,0402 .
26
3.4 Obliczanie pochodnych
Obliczanie pochodnych funkcji wyłącznie z definicji byłoby zajęciem żmudnym,
dlatego też w praktyce będziemy korzystać z szeregu wzorów na obliczanie pochodnych.
Określenie: Przy obliczaniu pochodnych funkcji elementarnych będziemy korzystać
z następujących wzorów:
(c)'= 0 pochodna stałej
(xn )'= nxn-1 pochodna funkcji potęgowej
x x
(a )'= a ln a
pochodna funkcji wykładniczej
(ex )'= ex
1
(loga x)'=
x ln a
pochodna funkcji logarytmicznej
1
(ln x)'=
x
(sin x)'= cos x pochodna funkcji sinus
(cos x)'= -sin x pochodna funkcji cosinus
Określenie: Przy obliczaniu pochodnych funkcji obowiązują następujące reguły:
pochodna iloczynu stałej
(c Å" f (x))'= c Å" f '(x)
i funkcji
pochodna sumy lub różnicy
(f (x) Ä… g(x))'= f '(x) Ä… g'(x)
funkcji
pochodna iloczynu funkcji
(f (x) Å" g(x))'= f '(x)g(x) + f (x)g'(x)
pochodna ilorazu funkcji
ëÅ‚ öÅ‚
f (x) f '(x)g(x) - f (x)g'(x)
'
ìÅ‚ ÷Å‚ =
(oczywiście g(x) `" 0 )
ìÅ‚ ÷Å‚
g(x)
(g(x))2
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 32. Korzystając z podanych wzorów obliczmy pochodne funkcji y = tgx oraz
y = ctgx .
KorzystajÄ…c z wzoru na pochodnÄ… ilorazu mamy:
'
2
sin x (sin x)'cos x - sin x Å" (cos x)' cos2 x + sin x 1
ëÅ‚ öÅ‚
(tgx)'= = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
cos x
íÅ‚ Å‚Å‚ cos2 x cos2 x cos2 x
'
cos x (cos x)'sin x - cos x Å" (sin x)' - sin2 x - cos2 x -1
ëÅ‚ öÅ‚
(ctgx)'= = = = .
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
sin x
íÅ‚ Å‚Å‚ sin x sin2 x sin x
 27
Przykład 33. Obliczmy pochodną funkcji y = sin 4x .
Zauważmy, że pochodnej tej funkcji nie możemy obliczyć z żadnego z dotychczas
podanych wzorów. Wynika to z faktu, że funkcja y = sin 4x nie jest funkcją elementarną,
lecz funkcją złożoną z dwóch funkcji elementarnych:
y = sin t
Å„Å‚
y = sin 4x Ò!
òÅ‚
t = 4x
ół
Zauważmy także, że spełniony jest następujący warunek:
dy dy dt
y'= = Å" .
dx dt dx
W naszym przykładzie mamy więc:
dy dt
y'= Å" = (sin t)'Å"(4x)'= cost Å" 4 = 4cos 4x .
dt dx
Określenie: Pochodna funkcji złożonej y = f (g(x)) równa jest iloczynowi pochodnej
funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej:
y'= [f (g(x)]' = f '(g(x)) Å" g'(x) .
Przykład 34. Obliczmy pochodną funkcji y = e2sin 3x .
Zauważmy, że naszą złożoną funkcję możemy rozpisać na następujące funkcje
elementarne i odpowiadajÄ…ce im pochodne:
'
1 1
Å„Å‚
dy 1
ëÅ‚ öÅ‚ 1
2 2
= z = z- =
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 z
Å„Å‚y = z ôÅ‚ dz
ôÅ‚dz ' et
ôÅ‚
= (et) =
z = et
ôÅ‚ ôÅ‚
dt
y = e2sin 3x Ò! Ò! .
òÅ‚ òÅ‚
dt
ôÅ‚t = 2sin p ôÅ‚
= (2sin p)'= 2cos p
ôÅ‚ ôÅ‚dp
p = 3x
ół
ôÅ‚dp
= (3x)'= 3
ôÅ‚
ół dx
Możemy już przejść do obliczenia pochodnej funkcji wyjściowej jako iloczynu
kolejnych pochodnych (w pewnym momencie wracamy do oryginalnych zmiennych):
dy dy dz dt dp 1 1
= Å" Å" Å" = Å" et Å" 2cos p Å" 3 = Å" e2sin 3x Å" 2cos3x Å" 3
dx dz dt dp dx
2 z
2 e2sin 3x
Ostatecznie, po uporzÄ…dkowaniu mamy:
6cos3x Å" e2sin 3x
ëÅ‚
y'= e2sin 3x öÅ‚ '= = 3Å" cos3x Å" e2sin 3x .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 e2sin 3x
28
3.5 Pochodna a monotoniczność funkcji
Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej funkcji dodatnia wartość pochodnej
w pewnym przedziale wskazuje na funkcjÄ™ rosnÄ…cÄ… w tym przedziale, a ujemna na funkcjÄ™
malejÄ…cÄ…:
f (x + "x) - f (x)
f '(x) > 0 Ô! > 0 Ô! f (x + "x) - f (x) > 0
"x
f (x + "x) - f (x)
f '(x) < 0 Ô! < 0 Ô! f (x + "x) - f (x) < 0 .
"x
Określenie: Jeżeli pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w pewnym przedziale (a; b)
należącym do dziedziny funkcji, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
Podobnie, jeżeli w tym przedziale pochodna jest ujemna, to funkcja jest
malejÄ…ca.
x
Przykład 35. Wyznaczmy przedziały monotoniczności funkcji y = .
x2 -1
Dziedziną rozpatrywanej funkcji są liczby rzeczywiste z wyłączeniem ą1 . Obliczamy
pochodnÄ…:
(x)'(x2 -1) - x(x2 -1)' x2 -1- x(2x) x2 -1- 2x2 - x2 -1
y'= = = = .
(x2 -1)2 (x2 -1)2 (x2 -1)2 (x2 -1)2
Z uwagi na kwadrat funkcji w mianowniku o znaku pochodnej decyduje wyłącznie
wyrażenie w liczniku, mamy więc:
y'> 0 Ô! -x2 -1 > 0 Ò! x2 +1 < 0 (nierówność sprzeczna)
y'< 0 Ô! -x2 -1 < 0 Ò! x2 +1 > 0 (nierówność prawdziwa dla każdego x " R ).
x
Z rozwiązania tych nierówności wynika, że funkcja y = jest funkcją malejącą
x2 -1
w całej swojej dziedzinie.
3.6 Pochodna a ekstrema funkcji
Określenie: Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale (a; b) należącym do dziedziny
funkcji, jeżeli jej pochodna jest równa zero w punkcie x0 " (a; b) i zmienia
znak w otoczeniu tego punktu, to w punkcie x0 funkcja f (x) osiÄ…ga
ekstremum lokalne.
Jeżeli pochodna zmienia znak z  + na  - , to w punkcie x0 funkcja
osiÄ…ga maksimum lokalne.
Jeżeli pochodna zmienia znak z  - na  + , to w punkcie x0 funkcja
osiÄ…ga minimum lokalne.
 29
x3
Przykład 36. Wyznaczmy ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji y = .
x2 - 3
DziedzinÄ… rozpatrywanej funkcji sÄ… x "{(- "; - 3)*"(- 3; 3)*"( 3; + ")}, funkcja
przyjmuje wartość zero dla x = 0 . Wyznaczymy pochodną tej funkcji, przyrównamy ją do
zera i zbadamy jej znak:
(x3)'(x2 - 3)- x3(x2 - 3)' 3x2 (x2 - 3) - x3 2x x4 - 9x2 x2 (x2 - 9)
y'= = = = .
2 2 2 2
(x2 - 3) (x2 - 3) (x2 - 3) (x2 - 3)
Pochodna y' równa jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik równy jest zero:
y'= 0 Ô! x2 (x2 - 9) = 0 Ô! x2 (x + 3)(x - 3) = 0
stÄ…d
y'= 0 Ô! x = -3 (" x = 0 (" x = 3 .
Zauważmy, że o znaku pochodnej decyduje wyłącznie wyrażenie w liczniku, bowiem
mianownik jest zawsze dodatni. Musimy więc rozwiązać dwie nierówności:
y'> 0 Ô! x2 (x2 - 9) > 0 Ô! x2 - 9 > 0 Ò! x < -3 (" x > 3 .
y'< 0 Ô! x2 (x2 - 9) < 0 Ô! x2 - 9 < 0 Ò! -3 < x < 3 .
Dla lepszej przejrzystości wyniki badania pochodnej zapiszemy w tabelce:
x -" .... -3 .... 0 .... 3 .... +"
y' + 0 - +
0 -
0
maks. min.
Jak widzimy pochodna jest równa zero w trzech punktach: -3, 0 i 3, ale tylko w otocze-
niu punktów -3 i 3 zmienia znak.
W otoczeniu punktu -3 zmienia znak z  + na  - , tym samym funkcja osiÄ…ga w tym
punkcie maksimum lokalne.
W otoczeniu punktu 3 pochodna zmienia znak z  - na  + , tym samym funkcja osiÄ…ga
w tym punkcie minimum lokalne.
W punkcie 0 wprawdzie pochodna jest równa zero, ale w otoczeniu tego punktu nie
zmienia znaku, tym samym w tym punkcie nie ma ekstremum.
Przy okazji proszę zauważyć, że z badania pochodnej mamy także przedziały mono-
toniczności rozpatrywanej funkcji.
x3
Uwzględniając dziedzinę funkcji mamy, że funkcja y = jest rosnąca dla
x2 - 3
x "{(- "; - 3)*"(3; + ")}, a malejÄ…ca dla x "{(- 3; - 3)*"(- 3; 3)*"( 3; 3)}.
30
3.7 Druga pochodna i jej zastosowania
Określenie: Drugą pochodną funkcji f (x) nazywamy pochodną jej pochodnej:
f "(x) = [f '(x)]' .
Jeżeli funkcja f (x) jest różniczkowalna w pewnym przedziale (a; b) i jej pierwsza
pochodna jest w tym przedziale różniczkowalna, to możemy wyznaczyć pochodną
(pierwszej) pochodnej. Przy wyznaczaniu drugiej pochodnej obowiÄ…zuje te same wzory
i reguły co przy wyznaczaniu pierwszej pochodnej. Często pochodną pochodnej nazywa się
pochodną rzędu drugiego, a (pierwszą) pochodną odpowiednio pochodną rzędu pierwszego.
Istnieje oczywiście możliwość wyznaczania dalszych pochodnych, ale nie wchodzi to
w zakres materiału prezentowanego w tym zeszycie.
Przykład 37. Obliczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji y = sin 4x .
Obliczamy pierwszÄ… pochodnÄ…: y'= (sin 4x)'= 4cos 4x
Obliczamy druga pochodnÄ…:
2 2
y = (4cos 4x)'= 4 Å" (cos 4x)'= 4 Å" (-sin 4x) Å" 4 = -16sin 4x .
Druga pochodna znajduje zastosowanie w szczegółowym badaniu przebiegu zmien-
ności funkcji, pozwala bowiem na określenie kształtu funkcji, a tym samym tempa
zwiększania czy zmniejszania wartości funkcji.
Określenie. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest równa zero w punkcie x0 i zmienia
znak w otoczeniu tego punktu (nie jest istotne jak), to w punkcie x0 istnieje
punkt przegięcia (p.p). W punkcie przegięcia styczna do wykresu funkcji
przechodzi z jednej strony wykresu na drugÄ….
Określenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w przedziale (a; b) , to
wykres funkcji jest w tym przedziale wklęsły. Jeśli druga pochodna jest
ujemna w przedziale (a; b) , to wykres funkcji jest w tym przedziale
wypukły.
x3
Przykład 38. Powiedzmy, że chcemy sprawdzić, czy funkcja y = ma punkt
x2 - 3
przegięcia, chcemy też zbadać, jak zmienia się kształt tej funkcji w poszczególnych
przedziałach.
W przykładzie 36 wyznaczyliśmy pierwszą pochodną tej funkcji otrzymując:
(x3)'(x2 - 3)- x3(x2 - 3)' 3x2 (x2 - 3) - x3 2x x4 - 9x2 x2 (x2 - 9)
y'= = = = .
2 2 2 2
(x2 - 3) (x2 - 3) (x2 - 3) (x2 - 3)
KorzystajÄ…c z przedostatniej postaci obliczmy pochodnÄ… pierwszej pochodnej:
 31
'
îÅ‚ Å‚Å‚
x4 - 9x2 (4x3 -18x) Å" (x2 - 3)2 - (x4 - 9x2 ) Å" 2 Å" (x2 - 3) Å" 2x
ïÅ‚ śł
y"= = =
2
ïÅ‚ śł (x2 - 3)4
(x2 - 3)
ðÅ‚ ûÅ‚
.
2x(x2 - 3)[(2x2 - 9)(x2 - 3) - 2(x4 - 9x2 )]= 2x(x2 - 3)(3x2 + 27)
=
(x2 - 3)4 (x2 - 3)4
Z otrzymanego rozwiązania mamy, że:
y"= 0 Ô! 6x3 (x2 - 3) = 0 Ô! x = - 3 (" x = 0 (" x = 3 .
BiorÄ…c pod uwagÄ™ dziedzinÄ™ funkcji pozostaje nam tylko jedno miejsce zerowe drugiej
pochodnej:
y"= 0 Ô! x = 0 .
x3
W punkcie x = 0 może istnieć punkt przegięcia funkcji y = (chwilowo spełnio-
x2 - 3
ny jest warunek wystarczający: druga pochodna równa jest zero w tym punkcie). Aby być
pewnym, że jest to punkt przegięcia, musimy zbadać znak drugiej pochodnej w otoczeniu
tego punktu.
Z uwagi na postać drugiej pochodnej wiemy, że o jej znaku decyduje wyłącznie
wyrażenie w liczniku (mianownik jest zawsze dodatni dla x-ów należących do dziedziny
funkcji).
Dla lepszej przejrzystości zbadamy znak drugiej pochodnej budując tabelkę jej
zmienności.
x
-" ... ... 0 ... ... +"
- 3 3
0 + + +
-
x + 3
x - 0 0 + +
- -
0 +
- - -
x - 3
y" 0 + 0 -
0 +
-
wkl. p.p wkl.
wyp. wyp.
x3
Z badania znaku drugiej pochodnej wynika więc, że funkcja y = ma w punkcie
x2 - 3
x = 0 punkt przegięcia, że jej kształt jest wypukły w przedziałach (-"; - 3) i (0; 3) ,
a w pozostałych przedziałach jej dziedziny jest to kształt wklęsły.
32
Określenie: Znaki pierwszej i drugiej pochodnej informują nie tylko o tym, czy funkcja
jest rosnąca lub malejąca (pierwsza pochodna), ale także o tempie wzrostu
czy zmniejszania wartości funkcji (druga pochodna). Można ten związek
przedstawić tabelarycznie:
Funkcja malejąca, kształt
y"< 0
wypukły, funkcja maleje coraz
szybciej.
y'< 0
Funkcja malejąca, kształt
y"> 0
wklęsły, funkcja maleje coraz
wolniej.
Funkcja rosnąca, kształt
y"< 0
wypukły, funkcja rośnie coraz
wolniej.
y'> 0
Funkcja rosnąca, kształt
y"> 0
wklęsły, funkcja rośnie coraz
szybciej.
3.8 Badanie przebiegu zmienności funkcji
Rozdział ten poświęcimy na pełne badanie przebiegu zmienności funkcji obejmujące
następujące etapy:
Wyznaczenie dziedziny funkcji i ewentualnie miejsc zerowych;
Wyznaczenie granic funkcji na krańcach dziedziny wraz z ewentualnymi
asymptotami;
Wyznaczenie pierwszej pochodnej, ustalenie przedziałów monotoniczności
i ewentualnych ekstremów (minimum, maksimum);
Wyznaczenie drugiej pochodnej, zbadanie jej znaku, ewentualnego punktu
przegięcia, kształtu wykresu funkcji;
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji;
Naszkicowanie wykresu funkcji.
 33
2x2
Przykład 39. Przeprowadz
my pełne badanie przebiegu zmienności funkcji y = .
x - 3
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu x = 3 , dla którego
mianownik jest równy zero. Fakt ten możemy zapisać jako x " R -{3} lub zapisując
dziedzinę jako sumę przedziałów: x "{(-"; 3) *" (3; + ")}.
Proszę także zauważyć, że badana funkcja przyjmuje wartość zero wtedy, gdy licznik
jest równy zero, stąd mamy miejsce zerowe:
2x2
y = = 0 Ô! 2x2 = 0 Ô! x = 0 .
x - 3
Wyznaczamy teraz granice na krańcach dziedziny. Kolejno mamy:
2x2 2x 2x2 2x
lim = lim = -" lim = lim = +"
3 3
x-" - 3 1- x
x-" x+" - 3 1-
x+"
x
x x
2x2 "18" 2x2 "18"
lim = = -" lim = = +" .
x3- x - 3 x3+ x - 3
"0-" "0+"
Punkt x = 3 jest punktem nieciągłości badanej funkcji, widzimy także, że obie granice
jednostronne w tym punkcie są niewłaściwe, tym samym prosta x = 3 jest asymptotą
2x2
pionowÄ… funkcji y = .
x - 3
Ponieważ granice w ą" nieskończoności były niewłaściwe, to wiemy także, że badana
funkcja nie posiada asymptoty poziomej.
Z wcześniejszych rozważań wiemy także, że nieistnienie asymptoty poziomej nie
wyklucza istnienia asymptoty ukośnej y = ax + b , musimy więc przeprowadzić odpo-
wiednie badanie. Obliczamy granice określające parametry asymptoty:
f (x) 2x2
a = lim = lim = 2
xÄ…" xÄ…" - 3)
x x(x
îÅ‚ Å‚Å‚
2x2 Å‚Å‚ îÅ‚ 2x2 - 2x2 + 6x 6x
b = lim [ f (x) - ax] = lim - 2xśł = lim = lim = 6 .
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
xÄ…" xÄ…" - 3 x x
xÄ…" - 3
xÄ…" - 3
x
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Obie granice są właściwe, tym samym prosta y = 2x + 6 jest asymptotą ukośną badanej
funkcji.
Obliczymy teraz pierwszą pochodną, przyrównamy ją do zera i zbadamy jej znak.
Korzystając z wzorów na pochodną ilorazu mamy:
'
îÅ‚ Å‚Å‚
2x2 4x Å" (x - 3) - 2x2 Å"1 2x2 -12x 2x(x - 6)
y'= = = = .
ïÅ‚ śł
x - 3śł (x - 3)2 (x - 3)2 (x - 3)2
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczona pochodna jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie w liczniku
jest równe zero, stąd x = 0 lub x = 6 .
34
Znak wyznaczonej pochodnej zależy wyłącznie od znaku wyrażenia w liczniku
(mianownik jest dodatni dla wszystkich x należących do dziedziny tej funkcji). Ponieważ
wyrażenie w liczniku jest trójmianem kwadratowym (wykresem jest parabola o gałęziach
skierowanych do góry), to:
2x(x - 6)
y'= > 0 Ô! x < 0 (" x > 6
(x - 3)2
2x(x - 6)
y'= < 0 Ô! x " (0; 6) .
(x - 3)2
Z badania znaku pierwszej pochodnej wynika, że w punktach x = 0 i x = 6 jest ona
równa zero i zmienia znak w otoczeniu tych punktów, czyli są to punkty ekstremów
lokalnych (odpowiednio minimum i maksimum). Z kolei ze znaku pierwszej pochodnej
wnioskujemy, że badana funkcja jest rosnąca w przedziałach (-"; 0) i (6; + ") , a malejąca
w przedziałach (0; 3) i (3; 6) .
Wyznaczymy teraz drugą pochodną i zbadamy jej znak. Najwygodniej będzie, jak
wyznaczymy ją z przedostatniej postaci pierwszej pochodnej. Mamy więc:
'
'
îÅ‚ Å‚Å‚
2x2 -12x (2x2 -12x)'Å"(x - 3)2 - (2x2 -12x) Å"((x - 3)2)
y'= = =
ïÅ‚ śł
(x
ïÅ‚ - 3)2 ûÅ‚ (x - 3)4
śł
ðÅ‚
(4x -12) Å" (x - 3)2 - (2x2 -12x) Å" 2 Å" (x - 3) Å"1 4(x - 3)[(x - 3)2 - (x2 - 6x)]
= = =
(x - 3)4 (x - 3)4
4(x - 3)(x2 - 6x + 9 - x2 + 6x) 36(x - 3)
= = .
(x - 3)4 (x - 3)4
Jak łatwo zauważyć, pochodna ta nigdy nie jest równa zero, a o jej znaku decyduje
wyłącznie wyrażenie w liczniku. Stąd:
y"< 0 Ô! x < 3 oraz y"> 0 Ô! x > 3 .
Z badania drugiej pochodnej mamy ostatecznie, że funkcja nie posiada punktu
przegięcia (bo druga pochodna nie jest równa zero dla żadnego punktu należącego do
dziedziny funkcji i nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Z kolei ze znaku drugiej
pochodnej mamy, że dla x < 3 wykres funkcji jest wypukły, a dla x > 3 wklęsły.
Możemy już przygotować tabelkę zmienności badanej funkcji.
x -" ... 0 ... 3 ... 6 ... +"
y' + 0 - -
0 +
y" - -
+ +
+"
0 +"
n.i
y
-" -" 24
maksimum minimum
 35
Pozostało nam przygotowanie szkicu wykresu, wykorzystamy do jego wykonania
informacje zawarte w tabelce zmienności funkcji plus informacje o asymptotach.
2x2
y =
x - 3
24
y=2x+6
6
Z przedstawionego wykresu (i wcześniej uzyskanych informacji wynika), że funkcja
rośnie od minus nieskończoności do wartości zero, którą osiąga dla x = 0 . W przedziale od
zera do trzech funkcja maleje do minus nieskończoności. Z uwagi na kształt wykresu
funkcji możemy powiedzieć, że w przedziale (-"; 0) funkcja rośnie coraz wolniej (tym
samym wartościom zmiennej x odpowiadają coraz mniejsze przyrosty wartości funkcji).
Z kolei w przedziale od zera do trzech funkcja maleje coraz szybciej (tym samym
wartościom zmiennej x odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji). Po drugiej stronie
asymptoty w punkcie x = 3 funkcja maleje od plus nieskończoności do wartości minimum
równej 24, która osiąga dla x = 6 , przy czym z uwagi na kształt wykresu funkcja maleje
coraz wolniej. W przedziale od sześciu do plus nieskończoności funkcja rośnie coraz
szybciej aż do plus nieskończoności.
x
Przykład 40. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji y =
x2 -1
DziedzinÄ… analizowanej funkcji sÄ… x "{(-"; -1) *" (-1; 1) *" (1; + ")}, w punkcie x = 0
funkcja przyjmuje wartość zero (miejsce zerowe).
Wyznaczamy granice tej funkcji na krańcach dziedziny, mamy odpowiednio:
1 1
x x
x x
lim = lim = 0 lim = lim = 0
1 1
x-" x-" x+" x+"
1- 1-
x2 -1 x2 -1
x2 x2
36
x "-1" x "-1"
lim = = -" lim = = +"
x-1- x2 -1 "0+" x2
x-1+ -1 "0-"
x "1" x "1"
lim = = -" lim = = +" .
x1- x1+
x2 -1 "0-" x2 -1 "0+"
Ponieważ granice w ą" są właściwe i równe zero, to prosta y = 0 jest asymptotą
poziomą badanej funkcji. Z kolei z faktu, że granice jednostronne w punktach nieciągłości
funkcji są niewłaściwe wynika, że badana funkcja posiada dwie asymptoty pionowe
o równaniach odpowiednio x = -1 i x = 1 .
Obliczamy teraz pierwsza pochodnÄ…:
'
x 1Å" (x2 -1) - x Å" 2x - x2 -1 - (x2 +1)
îÅ‚ Å‚Å‚
y'= = = = .
ïÅ‚
x2 ûÅ‚
ðÅ‚ -1śł (x2 -1)2 (x2 -1)2 (x2 -1)2
Jak widzimy pierwsza pochodna badanej funkcji nie posiada miejsc zerowych i jest
zawsze ujemna (wyrażenie - (x2 +1) jest mniejsze od zera dla wszystkich x-ów), tym
samym funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Obliczamy drugÄ… pochodnÄ…:
'
îÅ‚ Å‚Å‚
- (x2 +1) - (x2 +1)'Å"(x2 -1)2 - [-(x2 +1)]Å"[(x2 -1)2 ]'
y"= = =
ïÅ‚ śł
(x2
ïÅ‚ -1)2 ûÅ‚ (x2 -1)4
śł
ðÅ‚
- 2x Å" (x2 -1)2 + (x2 +1) Å" 2 Å" (x2 -1) Å" 2x - 2x(x2 -1)[x2 -1- 2(x2 +1)]
= = =
(x2 -1)4 (x2 -1)4
- 2x(x2 -1)(-x2 - 3) 2x(x2 -1)(x2 + 3)
= = .
(x2 -1)4 (x2 -1)2
Druga pochodna jest równa zero wtedy, gdy wyrażenie w liczniku jest równe zero, stąd:
y"= 0 Ô! 2x(x2 -1)(x2 + 3) = 0 Ô! x = 0
(wyrażenie x2 + 3jest zawsze dodatnie, a rozwiązań związanych z x2 -1 nie bierzemy pod
uwagę ze względu na postać mianownika).
O znaku drugiej pochodnej decyduje wyrażenie 2x(x2 -1) = 2x(x +1)(x -1) , aby
zbadać znak tego wyrażenia sporządzimy pomocniczą tabelkę:
x
-" ... -1 ... 0 ... 1 ... +"
x +1 0 + + +
-
x
0 + +
- -
x -1 0 +
- - -
2x(x +1)(x -1) - - +
- -
- + -
- -
Mamy stąd informacje o kształcie wykresu funkcji:
y"< 0 Ô! x < -1 (" 0 < x < 1 , czyli w tych przedziaÅ‚ach wykres jest wypukÅ‚y;
y"> 0 Ô! -1 < x < 0 (" x > 1 , a w tych wklÄ™sÅ‚y.
 37
Proszę także zauważyć, że w otoczeniu punktu x = 0 druga pochodna zmienia znak
z plus na minus, a w punkcie x = 0 jest równa zero. Tym samym jest to punkt przegięcia
funkcji.
Możemy już sporządzić tabelkę zmienności funkcji:
x -" ... -1 ... 0 ... 1 ... +"
y' - - - -
y" -
+ 0 -
+
+" +"
0
y
0
-"
p.p
0
-"
Pozostało naszkicowanie wykresu badanej funkcji.
x
y =
x2 -1
Jak widzimy z wykresy w całej swojej dziedzinie funkcja maleje, ale odbywa się to
w różnym tempie.
W przedziałach (-"; -1) i (0; 1) funkcja maleje coraz szybciej (kształt wypukły),
a w przedziałach (-1; 0) i (1; + ") funkcja maleje coraz wolniej (kształt wklęsły).
W punkcie x = 0 funkcja ma punkt przegięcia (styczna do wykresu funkcji w tym
punkcie przechodzi z jednej strony wykresu na drugÄ…).
W punktach x = -1 i x = 1 istniejÄ… asymptoty pionowe, a prosta y = 0 jest asymptotÄ…
poziomÄ….
Badana funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.
38
3.9 Reguła de l Hospitala
f (x)
Przy obliczaniu granic funkcji postaci y = w punkcie x0 może się zdarzyć taka
g(x)
0 "
sytuacja, że otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typu " " lub " ". Sytuacja taka
0 "
będzie wtedy, gdy lim f (x) = lim g(x) = 0 lub lim f (x) = lim g(x) = ą" .
xx0 xx0 xx0 xx0
W przypadku zaistnienia takiej sytuacji nie możemy skorzystać z klasycznych reguł
obliczania granic funkcji, możemy natomiast obliczyć tę granicę (jeżeli istnieje) korzystając
z reguły de l Hospitala (czytaj: delopitala).
f (x)
Określenie: Jeżeli funkcja y = w punkcie x0 jest wyrażeniem nieoznaczonym typu
g(x)
0 "
" " lub " ", jeżeli funkcje f (x) i g(x) są różniczkowalne w otoczeniu
0 "
f '(x) f (x)
x0 oraz istnieje lim = g , to lim = g .
xx0 xx0
g'(x) g(x)
x - 3
Przykład 41. Obliczmy granice funkcji y = w punkcie x0 = 3 .
2 - x +1
Jak łatwo zauważyć lim(x - 3) = lim(2 - x +1)= 0 , tym samym mamy wyrażenie
x3 x3
0
nieoznaczone typu " " . Tym samym przy obliczaniu granicy możemy skorzystać z reguły
0
de l Hospitala:
x - 3 (x - 3)' 1 2 x +1
lim = lim = lim = lim = -4 .
'
x 3 x 3 x 3 -1 x 3 -1
2 - x +1
(2 - x +1)
2 x +1
Przy obliczaniu granic z wykorzystaniem reguły de l Hospitala mogą zdarzyć się takie
sytuacje, że musimy tę regułę zastosować kilkukrotnie.
Regułę de l Hospitala można stosować także w sytuacjach, gdy wyznaczamy granice
w ą" , a także przy wyznaczaniu granic jednostronnych.
Reguły de l Hospitala nie można stosować bezpośrednio przy innych postaciach
0 "
nieoznaczonoÅ›ci niż " " lub " ". Jeżeli jednak nieoznaczoność jest typu "0 Å" "" ,
0 "
"" - "" lub "1"", to można je sprowadzić do jednej z dwóch postaci, przy której wolno
już zastosować regułę de l Hospitala.
 39
x - sin x
Przykład 42. Obliczmy granicę funkcji y = w punkcie x = 0 .
3x2
0
W punkcie x = 0 mamy wyrażenie nieoznaczone typu " " , funkcje występujące
0
w liczniku i mianowniku są różniczkowalne, korzystamy więc z reguły de l Hospitala.
x - sin x (x - sin x)' 1- cos x
lim = lim = lim .
x 0
3x2 x 0 ' x 0 6x
(3x2)
Widzimy, że po zastosowaniu reguły de l Hospitala mamy w dalszym ciągu wyrażenie
0
nieoznaczone typu " " , zastosujemy więc tę regułę raz jeszcze.
0
x - sin x (x - sin x)' 1- cos x (1- cos x)' 1+ sin x 1
lim = lim = lim = lim = lim =
x 0
3x2 x 0 ' x 0 6x x 0 (6x)' x 0 6 6
(3x2)
x
Przykład 43. Obliczmy granicę funkcji y = w plus nieskończoności.
ex
"
Jak łatwo zauważyć w plus nieskończoności mamy wyrażenie nieoznaczone typu " " ,
"
obie funkcje są różniczkowalne, stosujemy więc regułę de l Hospitala.
x x' 1 1
lim = lim = lim = = 0 .
'
x+" x+" x+"
ex ex "
(ex)
Przykład 44. Obliczmy granicę funkcji y = x2e-2x+3 w plus nieskończoności.
Proszę zauważyć, że tym razem mamy w nieskończoności wyrażenie nieoznaczone typu
"" Å" 0" (ponieważ lim x2 = +" , a lim e-2x+3 = e-" = 0 ), tym samym nie możemy
x+" x+"
bezpośrednio zastosować reguły de l Hospitala. Możemy jednak naszą funkcję zapisać
następująco:
x2
y = x2e-2x+3 = x2e-(2x-3) = .
e2x-3
W tej postaci możemy już zastosować regułę H (de l Hospitala), ponieważ mamy
"
wyrażenie nieoznaczone typu " " .
"
'
(x2) (2x)' 2 2
lim (x2e-2x+3)= lim = lim = lim = = 0 .
' '
x+" x+" x+" x+"
4e2x-3 "
(e2x-3) (2e2x-3)
Podobnie jak w przykładzie 42 konieczne okazało się dwukrotne zastosowanie reguły
de l Hospitala.
40
3.10 Elementy ekonomicznej interpretacji pochodnej
W podrozdziale 3.3 mówiliśmy o różniczce funkcji i jej wykorzystaniu przy obliczaniu
przybliżonego przyrostu wartości funkcji jak i nowej wartości funkcji przy zmianie
argumentu z x0 na x0 + "x . Wrócimy teraz do tych zagadnień, ale w aspekcie
ekonomicznym.
Powiedzmy, że koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu
wyrażony jest funkcją K(x) (dla x e" 0 ). Funkcję tę będziemy nazywać funkcją kosztów
całkowitych, a funkcję
K(x)
k (x) =
p
x
funkcją kosztów przeciętnych.
Jak pamiętamy wzór
K(x0 + "x) - K(x0 ) H" K'(x0 )"x
pozwala oszacować przybliżony przyrost wartości funkcji. Po podstawieniu "x = 1
otrzymamy zależność
K(x0 +1) - K(x0 ) H" K'(x0 ) ,
którą można zinterpretować następująco: przyrost kosztów całkowitych spowodowany
zwiększeniem wielkości produkcji o jednostkę z poziomu x0 jest w przybliżeniu równy
wartości pochodnej w tym punkcie.
Funkcję K'(x) (dla x > 0 ) nazywamy funkcją kosztów krańcowych.
Analogicznie można zdefiniować funkcje podaży, popytu, utargu itd., odpowiednio
wprowadzamy wtedy funkcje przeciętnej i krańcowej podaży, popytu, utargu itd.
Przykład 45. Powiedzmy, że koszt całkowity wyprodukowania x jednostek produktu
dany jest funkcjÄ… K(x) = 2500 + 50x - 0,01x3 dla x "< 1; 35 > . Wyznaczmy rzeczywisty
i przybliżony koszt wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji x0 = 10 .
Rzeczywisty koszt jest równy:
"K = K(11) - K(10) = 2500 + 50 Å"11- 0,01Å"113 - 2500 - 50 Å"10 + 0,01Å"103 =
= 50 Å" (11-10) - 0,01Å" (113 -103) = 50 - 0,01Å" (1331-1000) = 50 - 3,31 = 46,69
Przybliżony koszt jest równy:
"K H" K'(10) = 50 - 0,03Å"102 = 50 - 3 = 47 .
Jak widać z powyższego przykładu wyznaczenie przybliżonego kosztu wytworzenia
dodatkowej jednostki produkcji przy zadanym poziomie jest znacznie Å‚atwiejsze.
Przy obliczaniu przybliżonego kosztu wytworzenia dodatkowej jednostki produkcji
korzystaliśmy z pochodnej K'(x) = 50 - 0,03x2 .
 41
Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie określa kierunek i szybkość zmian
wartości funkcji w otoczeniu tego punktu. Przykładowo, dla funkcji kosztów całkowitych
z ostatniego przykładu wartość pochodnej w punkcie x0 = 10 jest równa 47, co oznacza, że
wzrost argumentu funkcji o jedną jednostkę (czyli do 11) powoduje przyrost wartości
funkcji o 47 jednostek.
W zastosowaniach ekonomicznych istotna jest także, poza znajomością szybkości
zmian funkcji znajomość granicy stosunku zmian względnych przyrostu wartości funkcji
do przyrostu argumentu w otoczeniu punktu x0 .
Określenie: Elastycznością funkcji f (x) w punkcie x0 > 0 i takim, że f (x0 ) > 0
nazywamy liczbÄ™
"y
îÅ‚ Å‚Å‚
f '(x0 )x0
y
ïÅ‚ śł
Ex f (x0 ) = lim = .
"x
"x0
ïÅ‚ śł f (x0 )
x
ðÅ‚ ûÅ‚
Warto zauważyć, że znak tak zdefiniowanej liczby zależy tylko i wyłącznie od znaku
pochodnej w danym punkcie. Tym samym elastyczność funkcji rosnącej jest nieujemna,
a elastyczność funkcji malejącej niedodatnia.
Elastyczność funkcji w punkcie x0 można zinterpretować jako przybliżoną miarę
procentowej zmiany wartości funkcji odpowiadającej przyrostowi argumentu o 1%.
Przykład 46. Powiedzmy, że funkcja kosztów przeciętnych pewnego przedsiębiorstwa
jest dana wzorem k (x) = 0,1x2 - 3x + 40 + x-1 (dla x > 0 ). Obliczmy elastyczność kosztu
p
przeciętnego i kosztu całkowitego w punkcie x0 = 10 .
Zgodnie z podanym wyżej wzorem musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji kosztu
przeciętnego w punkcie x0 = 10 . Kolejno mamy:
'
k (x) = 0,2x - 3 - x-2 ,
p
'
k (x0 = 10) = 0,2 Å"10 - 3 -10-2 = 2 - 3 - 0,01 = -1,01 .
p
Musimy jeszcze wyznaczyć wartość funkcji kosztów przeciętnych w punkcie x0 = 10 :
k (x0 = 10) = 0,1Å"102 - 3Å"10 + 40 +10-1 = 10 - 30 + 40 + 0,1 = 20,1 .
p
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji kosztów przeciętnych:
'
k (x0 ) Å" x0 -1,01Å"10 -10,1
p
E k (x0 = 10) = = = H" -0,502 .
p p
k (x0 ) 20,1 20,1
p
Wynik ten można zinterpretować następująco: wzrost wielkości produkcji o 1%
z poziomu x0 = 10 spowoduje zmniejszenie kosztów przeciętnych o 0,502%.
Przed obliczeniem elastyczności kosztu całkowitego musimy odtworzyć funkcję kosztu
K(x)
caÅ‚kowitego K(x) z zależnoÅ›ci kp (x) = , stÄ…d K(x) = x Å" k (x) .
p
x
42
W naszym przypadku mamy:
K(x) = x Å"(0,1x2 - 3x + 40 + x-1)= 0,1x3 - 3x2 + 40x +1 .
Podobnie jak poprzednio wyznaczamy pomocnicze wartości:
K'(x) = 0,3x2 - 6x + 40
K'(x0 = 10) = 0,3Å"102 - 6 Å"10 + 40 = 30 - 60 + 40 = 10
K(x0 = 10) = 0,1Å"103 - 3Å"102 + 40 Å"10 +1 = 100 - 300 + 400 +1 = 201 .
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji kosztów całkowitych w x0 = 10 :
K '(x0 ) Å" x0 10 Å"10 100
Ek K(x0 = 10) = = = H" 0,5 .
K(x0 ) 201 201
Uzyskany wynik można zinterpretować następująco: wzrost wielkości produkcji o 1%
z poziomu x0 = 10 spowoduje wzrost kosztów całkowitych przedsiębiorstwa o około 0,5%.
Przykład 47. Obliczmy elastyczność funkcji utargu w punkcie x0 = 16 , jeżeli wiemy, że
cena jest funkcją podaży opisaną wzorem p(x) = 30 - 0,1x dla 1 d" x d" 50 .
Rozwiązanie tego przykładu musimy zacząć od wyznaczenia funkcji utargu U (x) ,
która będzie iloczynem ilości sprzedanych produktów przez ich cenę:
U (x) = x Å" p(x) = x Å" (30 - 0,1x) = 30x - 0,1x2 .
Dalsze obliczenia przebiegają już analogicznie jak w poprzednim przykładzie.
U '(x) = 30 - 0,2x
U '(x0 = 16) = 30 - 0,2 Å"16 = 30 - 3,2 = 26,8
U (x0 = 16) = 30 Å"16 - 0,1Å"162 = 16 Å" (30 -1,6) = 16 Å" 28,4
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w x0 = 16 :
U '(x0 ) Å" x0 26,8 Å"16 26,8
EuU (x0 = 16) = = = = 0,94 .
U (x0 ) 16 Å" 28,4 28,4
Uzyskany wynik można zinterpretować następująco: wzrost wielkości sprzedaży o 1%
z poziomu x0 = 16 spowoduje wzrost utargu o 0,94%.
 43
4. Funkcje wielu zmiennych
Dotychczas zajmowaliśmy się funkcjami jednej zmiennej. W zastosowaniach
praktycznych z reguły będziemy korzystać z funkcji wielu zmiennych. Przykładowo, jeżeli
pewien zakład z branży spożywczej sprzedaje sok jabłkowy po a złotych, a sok
marchwiowy po b złotych, to funkcja:
Z = f (x; y) = a Å" x + b Å" y ,
gdzie x i y są ilością sprzedanych soków, jest funkcją utargu.
Formalną definicję funkcji wielu zmiennych poprzedzimy wprowadzeniem pojęcia
wektora kolumnowego i przestrzeni n -wymiarowej.
Wektorem kolumnowym o n składowych nazywamy następujący uporządkowany
układ liczb:
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚: śł
x =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
n
ðÅ‚x ûÅ‚
Zbiór wszystkich możliwych wektorów n elementowych będziemy nazywać
przestrzenią n -wymiarową i oznaczać symbolem Rn .
Określenie: Jeżeli każdemu wektorowi x " X , gdzie X ą" Rn , jest przyporządkowana
dokładnie jedna liczba y "Y , to została określona funkcja rzeczywista
n zmiennych przekształcająca zbiór X w zbiór Y .
Funkcję tę będziemy zapisywać symbolicznie w postaci f : X Y , gdzie
y = f (x1; ...; xn ) . Zbiór X będziemy nazywać dziedziną funkcji i zwyczajowo oznaczać
symbolem D , a zbiór Y zbiorem wartości lub przeciwdziedziną funkcji.
Dla n = 2 mamy funkcję dwóch zmiennych i w dalszych rozważaniach ograniczymy
siÄ™ do tego typu funkcji.
2
Przykład 48. Wyznaczmy dziedzinę funkcji postaci f (x1; x2 ) = x1 ln(x1 - x2 ) .
Dziedziną będzie taki zbiór X , dla których podana funkcja ma sens. Z uwagi na
2
logarytm dziedzinÄ… bÄ™dzie wiec zbiór D = {(x1; x2 )" R2 : x1 - x2 > 0}‚" R2 .
Przykładowo wektor [2; 1]T (symbol T oznacza transpozycję wektora, czyli w tym
przypadku wektor wierszowy) należy do dziedziny tej funkcji, ponieważ obie współrzędne
2
należą do zbioru liczb rzeczywistych, a obszar wyznaczony nierównością x1 > x2 jest
podzbiorem płaszczyzny R2 . Możemy jeszcze wyznaczyć wartość funkcji dla tego
argumentu: f (2; 1) = 2 Å" ln(2 -12 ) = 2 Å" ln1 = 2 Å" 0 = 0 .
44
Proszę także zauważyć, że wektor [1; 2]T nie należy do dziedziny funkcji, bowiem nie
2
jest spełniona druga część warunku x1 - x2 > 0 : 1- 22 < 0 .
1 x
Przykład 49. Wyznaczmy dziedzinę funkcji g(x, y) = + oraz obliczmy jej
x 2y
wartość dla argumentu [1; 2]T .
Przed wyznaczeniem dziedziny tej funkcji zapiszmy wyrażenie podpierwiastkowe
w trochÄ™ innej postaci:
1 x 2y + x2
g(x, y) = + =
x 2y 2xy
Z uwagi na funkcję pierwiastkową dziedziną będzie taki zbiór, dla którego spełnione
będą warunki:
2y + x2
e" 0 '" xy `" 0 , stÄ…d
2xy
1 1
D = {(x; y) " R2 :(xy < 0 '" y d" - x2)(" (xy > 0 '" y e" - x2)}‚" R2 .
2 2
Obliczamy wartość funkcji g dla podanego argumentu:
1 1
g(1; 2) = + = 1+ 0,25 = 1,25 H" 1,12 .
1 2 Å" 2
Przykład 50. W pewnym zakładzie ustalono, że funkcje miesięcznego popytu (w tys.
opakowań) na dwa produkty wytwarzane w tym zakładzie są funkcjami ich cen postaci:
P1(x; y) = 30 -1,5x + 2,5y
.
P2 (x; y) = 22 + x - 2y
Wyznaczmy na tej podstawie funkcję miesięcznej wartości sprzedaży (utargu).
Poszukiwana funkcja będzie sumą iloczynów ceny poszczególnych produktów przez
sprzedane ich ilości, stąd mamy:
U (x; y) = x Å" P1(x; y) + y Å" P2 (x; y) = 30x -1,5x2 + 2,5xy + 22y + xy - 2y2 =
= 30x + 22y + 3,5xy -1,5x2 - 2y2 .
Przykład 51. Funkcję produkcji pewnego zakładu opisano znaną w zastosowaniach
ekonomicznych funkcjÄ… Cobba-Douglasa postaci:
0,8
P(K; L) = 1,52 Å" K Å" L0,2 .
gdzie parametr K oznacza wielkość zaangażowanego kapitału produkcyjnego, a L wielkość
zatrudnionej siły roboczej.
 45
Obliczmy wielkość produkcji tego zakładu dla K = 80 (mln. zł) i L = 1,6 . Po
podstawieniu do podanej funkcji mamy następującą wartość produkcji (możemy skorzystać
np. z Excela):
P(80; 1,6) = 1,52 Å"800,8 Å"1,60,2 E" 1,52 Å" 33,3021Å"1,0986 E" 55,6 .
r
Ogólnie funkcja Cobba-Douglasa ma postać P(K; L) = c Å" K Å" L1-r , gdzie parametr
c > 0 , r " (0;1) , a dziedzinÄ… jest Dp :{(K; L) " R2; K > 0; L > 0}.
Zobaczmy jeszcze, o ile zmieni się wartość funkcji Cobba-Douglasa, jeżeli oba jej
parametry zostaną jednocześnie powiększone o 10% w stosunku do wyjściowych wartości
podanych wyżej ( K = 80 , L = 1,6 )?
Mamy teraz K1 = 1,1Å" K oraz L1 = 1,1Å" L , stÄ…d
0,8 0
P(K1; L1) = 1,52 Å" K1 Å" L1,2 = 1,52 Å" (1,1Å" K)0,8 Å" (1,1Å" L)0,2 =
0,8
= 1,10,8 Å"1,10,2 Å"1,52 Å" K Å" L0,2 = 1,1(0,8+0,2) Å" P(K; L) = 1,1Å" P(K; L) .
Jak widzimy z powyższego jednoczesna zmiana obu parametrów o 10 procent
spowoduje zwiększenie wartości funkcji produkcji również o 10 procent.
4.1 Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
W zastosowaniach praktycznych funkcji wielu zmiennych istotna jest możliwość
obliczania krańcowych zmian wartości tej funkcji dla wybranego argumentu i przy
ustaleniu wartości pozostałych argumentów jak również tempo tych zmian. W przypadku
funkcji jednej zmiennej odpowiedzi na podobne pytania były osiągalne dzięki
wprowadzeniu pojęcia pochodnej funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych będziemy
korzystać z tzw. pochodnych cząstkowych.
Określenie: Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji y = f (x1; ...; xn ) w punkcie
x ( j = 1; 2; ...; n) nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego
j
f (x1;...; x + "x ;...; xn ) - f (x1;...; x ;...; xn )
"f (x1;...; xn )
j j j
lim =
"x 0
"x "x
j
j j
Dla oznaczenia pochodnej cząstkowej ze względu na zmienną x można także stosować
j
"f (x1;...; xn )
'
zapis f zamiast .
x
j
"x
j
Dla funkcji n zmiennych rozpatrujemy n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu,
choć niekoniecznie wszystkie muszą istnieć. Jeżeli pochodne cząstkowe istnieją dla
każdego punktu należącego do dziedziny funkcji wielu zmiennych, to taką funkcję
nazywamy różniczkowalną w zbiorze X ą" D .
f
46
Dla funkcji dwóch zmiennych f (x; y) można więc wyznaczyć dwie pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu:
"f (x; y) f (x + "x; y) - f (x; y)
= fx' = lim
"x0
"x "x
"f (x; y) f (x; y + "y) - f (x; y)
'
= f = lim .
y
"y0
"y "y
Przy wyznaczaniu pochodnych cząstkowych względem zmiennej x pozostałe zmienne
j
traktujemy jako stałe, stąd przy wyznaczaniu pochodnych cząstkowych korzystamy z reguł
pochodnej jednej zmiennej.
Przykład 52. Wyznaczmy pochodne cząstkowe funkcji f (x; y) = 3x2 y - 2sin y + 3 .
Traktując zmienną y jako stałą wyznaczamy pochodną cząstkową względem x:
'
f = 3y Å" (x2 )'-2 Å" (sin y)'+(3)'= 3y Å" 2x - 2 Å" 0 + 0 = 6xy .
x
Analogicznie obliczamy pochodną cząstkową względem zmiennej y:
'
f = 3x2 Å" (y)'-2 Å" (sin y)'+(3)'= 3x2 Å"1- 2 Å" cos y + 0 = 3x2 - 2cos y .
y
Przykład 53. Wyznaczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch
zmiennych f (x; y) = (x2 - xy0,5 + y3)4 .
Jedyna trudność w porównaniu z poprzednim przykładem związana jest z faktem, że
tym razem mamy funkcję złożoną:
'
f = 4(x2 - xy0,5 + y3)3 Å" (2x - x)
x
'
f = 4(x2 - xy0,5 + y3)3 Å" (-0,5y-0,5 + 3y2 ) .
y
Przykład 54. Wyznaczmy obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w przypadku
funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
"P(K; L)
r ' r
= [c Å" K Å" L1-r] = c Å" L1-r Å" (K )'=
"K
r-1
-1
K
r-1 r-1
= c Å" L1-r Å" r Å" K = cr(Lr-1) K = crëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
"P(K; L)
r ' r
= [c Å" K Å" L1-r] = c Å" K Å" (L1-r )'=
"L
.
r
K
r r
= cK (1- r)(L1-r-1) = c(1- r)K L-r = c(1- r)ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
K
Użyty w tych przekształceniach iloraz nazywamy technicznym uzbrojeniem
L
pracy, gdzie K jest wartością majątku produkcyjnego, a L jest wielkością zatrudnienia
w sferze produkcyjnej.
 47
4.2 Zastosowanie pochodnych czÄ…stkowych
W interpretacji ekonomicznej wartość pochodnej cząstkowej względem zmiennej x
'
funkcji dwóch zmiennych f (x0; y0 ) szacuje krańcową zmianę wartości funkcji w tym
x
punkcie spowodowaną zmianą wartości zmiennej x o "x = 1 i przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
'
Podobnie pochodna f (x0; y0 ) szacuje krańcową zmianę wartości funkcji w tym
y
punkcie spowodowaną zmianą wartości zmiennej y o "y = 1 i przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
Tym samym dodatnia wartość pochodnej cząstkowej w danym punkcie oznacza wzrost
wartości funkcji w otoczeniu punktu (x0; y0 ) wywołany wzrostem wartości odpowiedniej
zmiennej. Analogicznie ujemna wartość pochodnej cząstkowej sygnalizuje spadek wartości
funkcji w otoczeniu punktu (x0; y0 ) wywołany wzrostem wartości odpowiedniej
zmiennej.
Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej możemy wprowadzić określenia
elastyczności (cząstkowej) względem poszczególnych zmiennych.
~)
Określenie: Jeżeli dana jest funkcja f (x; y) i taki pewien punkt (~; y " D w którym
x
f
funkcja f jest różniczkowalna, to:
'
~ ~)
(~; y
x
~ ~) ~) x Å" f x
Jeżeli x > 0 '" f (~; y > 0 , to wyrażenie Ex f (~; y =
x x
~) nazywa-
f (~; y
x
my elastycznością cząstkową ze względu na zmienną x funkcji f w punkcie
~)
(~; y .
x
'
~ ~)
x
~ ~) ~) y Å" f y (~; y nazywa-
Jeżeli y > 0 '" f (~; y > 0 , to wyrażenie Ey f (~; y =
x x
~)
f (~; y
x
my elastycznością cząstkową ze względu na zmienną y funkcji f w punkcie
~)
(~; y .
x
Przykład 55. Wyznaczmy elastyczności cząstkowe funkcji f (x; y) = 2x + 7y + 8
w punkcie (10; 4) , a następnie zinterpretujemy uzyskany wynik.
Zgodnie z podanym wyżej określeniem mamy następujące wzory ogólne:
x Å" 2 y Å" 7
Ex f (x; y) = Ey f (x; y) = .
2x + 7y + 8 2x + 7y + 8
W podanym punkcie (10; 4) elastyczności te wynoszą odpowiednio:
10 Å" 2 20
Ex f (10; 4) = = H" 0,36
2 Å"10 + 7 Å" 4 + 8 56
4 Å" 7 28
Ey f (10; 4) = = = 0,50 .
2 Å"10 + 7 Å" 4 + 8 56
48
Uzyskane wskaz
niki można zinterpretować następująco:
Jeżeli zwiększymy wartość zmiennej x = 10 o 1% przy niezmienionej wartości
zmiennej y = 4 , to wartość funkcji f (10; 4) wzrośnie o około 0,36%.
Podobnie zwiększenie wartości zmiennej y = 4 o 1% przy niezmienionej wartości
zmiennej x = 10 spowoduje wzrost wartości funkcji f (10; 4) o 0,5%.
Materiał dotyczący funkcji wielu zmiennych został w tym zeszycie potraktowany
bardzo skrótowo, w miarę potrzeby odsyłam Czytelnika do obszernej literatury przedmiotu.
5. Literatura
1. E. Bańkowska i in. Egzamin wstępny na wyższe uczelnie. Zbiór zadań.
Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 1994
2. B. Gdowski, E. Pluciński. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982
3. J. Górczyński. Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1. Funkcje i ciągi liczbowe.
WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew 2000
4. J.Górczyński. Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie
równań liniowych. WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew 2000
5. J. Kłopotowski i in. Matematyka dla studiów zaocznych (pod red. I. Nyko-
wskiego). Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1995
6. J. Laszuk. Matematyka. Studium podstawowe. Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 1996
7. J. Laszuk. Matematyka. Rozwiązania zadań. Wskazówki i odpowiedzi. Studium
podstawowe. Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1997
8. R. Leitner, W. Żakowski. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie
techniczne. Część I. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
9. R. Leitner, W. Żakowski. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie
techniczne. Część II. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
10. A. Zieliński. Wykłady z matematyki praktycznej. Fundacja  Rozwój SGGW ,
Warszawa 1997