ROZDZIAA 1
POCHODNE I EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ
ZMIENNEJ
Podstawowe wzory na obliczanie pochodnych:
FUNKCJA POCHODNA
ó
y = a , a R y = 0
y = x
ó
y =1
ó
y = ax + b y = a
ó
y = 2ax + b
y = ax2 + bx + c
y = xa
ó
y = axa -1
1
ó
y =
y = x
2 x
a a
ó
y = y = -
x x2
1
n ó
y =
y = x
nn xn-1
ó
y = sin x y = cos x
y = cos x ó
y = -sin x
1
y = tgx
ó
y =
cos2 x
1
y = ctgx
ó
y = -
sin2 x
ó
y = ex y = ex
1
y = ln x ó
y =
x
1
y = loga x ó
y =
xln a
1
ó
y =
y = arcsin x
1- x2
-1
ó
y = arccos x y =
1- x2
1
y = arctgx
ó
y =
1+ x2
-1
y = arcctgx
ó
y =
1+ x2
oraz:
ó ó
[f (x)ą g(x)]ó = f (x)ą g (x)
ó ó
[f (x) g(x)]ó = f (x) g(x)+ f (x) g (x)
ó
ł ó ó
f (x) f (x) g(x)- f (x) g (x)
ę 2
g(x)ś =
[g(x)]
ZAPAMITAJ!
xa
xa xb = xa+b = xa-b
xb
a
b
b
(xa) = xab xa = xb
2
Przykład 1. Oblicz pochodne:
a)
f (x)= 6x2 + 24x -36
ó
f (x)=(6x2)ó +(24x)ó -(36)ó = 62 x2-1 + 241- 0 =12x + 24
b)
f (x)= 2 x + 44 x3
ó ó
1 3 1 3
ó
ć ć -1 -1
1 3
2x2 4x4
ó
f (x)=(2 x)ó +(44 x3) = + = 2 x2 + 4 x4 =
2 4
Ł ł Ł ł
1 1
1 3 x + 34 x3
= x2 + 3x4 = + =
4
x
x x
c)
x3 + x
f (x) =
ex
(x3 + x)óex -(x3 + x)(ex)ó ex[(3x2 +1)-(x3 + x)]=
ó
f (x)= =
2 2
(ex) (ex)
(3x2 +1)-(x3 + x)= - x3 + 3x2 - x +1
=
ex ex
d)
f (x)=(23 x2 - x)(43 x4 + 23 x5 + x5)
ó ó
ó
f (x)=(23 x2 - x)(43 x4 + 23 x5 + x5)+(23 x2 - x)(43 x4 + 23 x5 + x5) =
ó ó
2 4 5 2 4 5
ć ć ć ć
2x 3 2x 3
= - x 4x 3 + 2x3 + x5 + - x4x3 + 2x3 + x5 =
Ł ł Ł ł Ł łŁ ł
2 4 5 2 4 5
ć -1 ć ć ć -1 -1
2 2 x 3 -14x 3 + 2x3 + x5 2x 3 - x4 4 x 3 + 2 5 x3 + 5 x5-1
+ =
3 3 3
Ł łŁ ł Ł łŁ ł
1 4 5 2
ć - ć ć ć16 1 10 2
4
3 3 3
2x 3
= x -14x + 2x3 + x5 + - x x3 + x + 5x4 =
3 3 3
Ł łŁ ł Ł łŁ ł
3
34 16
3 3
=16x + x14 - x5 - 6x5
3 3
e)
f (x)= sin x2
ó
f (x)= cos x2 (x2)ó = cos x2 2x = 2xcos x2
Przykład 2. Wyznacz ekstrema następujących funkcji:
a) f (x)= 4x3 - 6x2
Pierwszym krokiem jest określenie dziedziny funkcji, którą w tym przypadku
jest zbiór liczb rzeczywistych Df : x R .
Po określeniu dziedziny funkcji należy obliczyć jej pierwszą pochodną:
ó
f (x)=12x2 -12x .
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej
(przyrównanie pochodnej do zera).
ó
f (x)= 0 12x2 -12x = 0
x(12x -12)= 0
x = 0 lub 12x -12 = 0
x = 0 lub x =1
Po określeniu miejsc zerowych należy zaznaczyć je na osi, a następnie
określić w których przedziałach funkcja rośnie, a w których maleje:
max min
+ +
x
0 1
4
Jeżeli następuje zmiana znaku z + na , w danym punkcie funkcja
posiada maksimum, jeżeli następuje zmiana jest z na + , w danym
punkcie funkcja posiada minimum.
Po określeniu punktów, w których funkcja posiada ekstremum, należy
obliczyć wartość funkcji w tych punktach. Wyznacza się je przez
podstawienie do funkcji f (x) wartości punktów, w których występują
ekstrema. Zatem:
fmax = f (0)= 403 - 602 = 0
fmin = f (1)= 413 - 612 = -2
Odpowiedz: Funkcja posiada maksimum dla wartości x = 0 . Wartość funkcji
w maksimum wynosi y = 0. Zatem ekstremum znajduje się w punkcie o
współrzędnych ( 0, 0). Funkcja posiada minimum dla wartości x =1. Wartość
funkcji w minimum wynosi y = -2 . Zatem ekstremum znajduje się w
punkcie o współrzędnych (1, - 2).
3x2 + 4x + 4
b) f (x)=
2x2 + 2x + 2
Pierwszym krokiem jest określenie dziedziny funkcji. W przypadku funkcji
będących ilorazem zachodzi konieczność założenia wykluczającego wartość
mianownika równą zero. W powyższym przykładzie sytuacja ta nie będzie
miała miejsca ponieważ mianownik funkcji f (x) nie ma miejsca zerowego.
Można to sprawdzić wyznaczając wartość D :
D = 22 - 422 = -12 < 0 .
Dziedziną funkcji jest zatem zbiór liczb rzeczywistych Df : x R .
5
ZAPAMITAJ!
Jeżeli funkcja określona jest wzorem f (x)= ax2 + bx + c ,
to właściwe są wzory:
D = b2 - 4ac
D < 0 D = 0 D > 0
brak miejsc zerowych jedno miejsce zerowe dwa miejsca zerowe
b - b + D - b - D
x0 = - x1 = x2 =
2a 2a 2a
Kolejnym krokiem jest obliczenie pierwszej pochodnej funkcji:
(3x2 + 4x + 4)'(2x2 + 2x + 2) - (3x2 + 4x + 4)(2x2 + 2x + 2)'
ó
f (x)= =
(2x2 + 2x + 2)2
(6x + 4)(2x2 + 2x + 2) - (3x2 + 4x + 4)(4x + 2) - 2x2 - 4x
= =
(2x2 + 2x + 2)2 (2x2 + 2x + 2)2
Po obliczeniu pochodnej należy wyznaczyć miejsca zerowe przyrównując
pochodną do zera. Mianownik można pominąć:
ó
f (x)= 0 -2x2 - 4x = 0
- x(2x + 4)= 0
- x = 0 lub 2x + 4 = 0
x = 0 lub x = -2
kolejnym krokiem jest naniesienie miejsc zerowych na oś x:
min max
+
x
-2 0
6
Wartość funkcji w wyznaczonych punktach:
3 (-2)2 + 4 (-2) + 4 4
fmin = f (- 2) = =
2 (-2)2 + 2 (-2) + 2 3
3(0)2 + 4(0) + 4
fmax = f (0)= = 2
2(0)2 + 2(0) + 2
Odpowiedz: Funkcja posiada minimum dla wartości x = -2. Wartość funkcji
4
w minimum wynosi y = . Zatem ekstremum znajduje się w punkcie o
3
4
ć
współrzędnych - 2, . Funkcja posiada maksimum dla wartości x = 0 .
3
Ł ł
Wartość funkcji w maksimum wynosi y = 2. Zatem ekstremum znajduje się
w punkcie o współrzędnych ( 0, 2).
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Oblicz pochodne funkcji:
1.1. f (x)=16x3 +10x2 + x -11
1.2. f (x)= 7x6 - 2x4 - 36x
1.3. f (x)= sin(2x3 -15)
1.4. f (x)= (4x3 -12x)(23 x +16x2)
1.5. f (x)= ln(x2 +16x -1)
3x2 + 40
1.6. f (x)=
2x3 + 4x2 - 2x + 6
1.7.
f (x)= x3 + 3x2 -9x -14
1.8.
f (x) = 2x3 -15x2 + 36x -14
7
1 1
f (x)= x4 - x2
1.9.
4 2
3
1.10.
f (x)= 7x4 + x5 - 25 x4 + 2x2 x + 3
2x3 + 7x2 - 4x + 3
1.11. f (x)=
x +1
f (x)=(4x2 + 3x - 2)(x3 -1)
1.12.
f (x)= cos(2x2 - 4x -3)
1.13.
f (x)= ln(7x2 -5x +1)
1.14.
x3 + x
1.15. f (x)=
x3 + 2
Wyznacz ekstremum funkcji:
1.16. f (x)= 4x3 +8x2 - 2x -1
8x2
1.17. f (x)=
x3 + x
1.18. f (x)=112462x2 -56231x +12532
1.19. f (x)= x3 + 3x2 -9x -14
1.20. f (x)= 2x3 -15x2 + 36x -14
1 1
f (x)= x4 - x2
1.21.
4 2
x
f (x)=
1.22.
x2 +1
3x2 + 7x + 5
1.23. f (x)=
x + 2
f (x) = 2x3 + 9x2 +12x
1.24.
9 - x2
1.25. f (x)=
x + 5
8
x2 - 6x + 9
1.26. f (x) =
x -1
2
f (x)= - x3 - 5x2 +12x + 3
1.27.
3
f (x) = x2 + 2x -15
1.28.
3x2 + 7x
1.29. f (x) =
x - 3
f (x) = 2x3 - 9x2 +12x -17
1.30.
9
ROZDZIAA 2
POCHODNE I EKSTREMA FUNKCJI WIELU
ZMIENNYCH
Przykład 3. Oblicz pochodne:
a) z = x + 5y + xy - 2x2 - y2 +8
W przypadku funkcji, w której występuje więcej niż jedna zmienna, liczy się
pochodne względem każdej z tych zmiennych, np. jeżeli liczona jest
pochodna względem x , wówczas y traktowana jest jako stała (pochodna
stałej wynosi 0) i odwrotnie, gdy liczona jest pochodna względem zmiennej
y , x traktowana jest jako stała.
Liczone są zatem:
ś z
pierwsza pochodna względem x : = (x)'+(5y)'+(xy)'-(2x2)'-(y2)'+(8)'
ś x
ś z
co daje w ostateczności: =1+ 0 + y - 4x - 0 + 0 =1+ y - 4x
ś x
ś z
pierwsza pochodna wzglądem y : = 0 + 5 + x - 0 - 2y + 0 = 5 + x - 2y
ś y
druga pochodna względem x (na podstawie pierwszej pochodnej względem
ś2z ś2z
x ): = (1)'+(y)'-(4x)', co daje w ostateczności: = 0 + 0 - 4 = -4
ś x2 ś x2
druga pochodna względem y (na podstawie pierwszej pochodnej względem
ś2z ś2z
y ): = (5)'+(x)'-(2y)' , co daje w ostateczności: = 0 + 0 - 2 = -2
ś y2 ś y2
10
kolejna druga pochodna pochodna mieszana liczona jest z pierwszej
pochodnej liczonej wzglądem x , w stosunku do y , który jest traktowany
jako stała:
ś2z ś2z
= (1)'+(y)'-(4x)', co daje w ostateczności: = 0 +1- 0 =1
ś xś y ś xś y
ostatnią pochodną jest druga pochodna mieszana, liczona z pierwszej
pochodnej względem y , w stosunku do x ( x jest traktowana jest jako stała):
ś2z ś2z
= (5)'+(x)'-(2y)', co daje w ostateczności: = 0 +1- 0 =1
ś yś x ś yś x
b) y = x3 + x z2 -5x z3 + z5 :
ś y
2
= (x3)'+(xz )'-(5xz3)'+(z5)'= 3x2 + z2 - 5z3
ś x
ś y
= 2xz -15xz2 + 5z4
ś z
ś2 y
= (3x2)'+(z2)'-(5z3)'= 6x
ś x2
ś2 y
= (2xz)'-(15xz2)'+(5z4)'= 2x - 30xz + 20z3
ś z2
ś2 y
= (3x2)'+(z2)'-(5z3)'= 2z -15z2
ś xś z
ś2 y
= (2xz)'+(15xz2 )'+(5z4)'= 2z -15z2
ś zś x
Przykład 4. Wyznacz ekstremum funkcji f (x, y)= 2x2 + 2y2 - 2xy + 2x + 2y
Pierwszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych pochodnych względem
x i y .
11
ś f
= 4x - 2y + 2
ś x
ś f
= 4y - 2x + 2
ś y
Kolejno, przyrównuje się je do zera (jest to warunek konieczny istnienia
ekstremum w punkcie) i konstruuje układ równań. Następnym etapem jest
jego rozwiązanie.
4x - 2y + 2 = 0 y = 2x +1 y = 2x +1
4y - 2x + 2 = 0 4(2x +1) - 2x + 2 = 0 8x + 4 - 2x + 2 = 0
y = 2x +1 y = 2x +1 y = 2(-1) +1 y = -1
6x + 6 = 0 x = -1 x = -1 x = -1
Po rozwiązaniu układu równań otrzymano współrzędne pewnego punktu
P (-1,-1), w którym może znajdować się ekstremum badanej funkcji.
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie drugich pochodnych badanej funkcji:
ś2 f
= (4x)ó -(2y)ó +(2)ó = 4
ś x2
ś2 f
= (4y)ó - (2x)ó + (2)ó = 4
ś y2
ś2 f
= (4x)ó - (2y)ó + (2)ó = -2
ś xś y
ś2 f
= (4y)ó -(2x)ó +(2)ó = -2
ś yś x
Po wyznaczeniu pochodnych tworzy się macierz Hessego (hesjan macierzy)
według wzoru:
12
ś2 f ś2 f
(P0) (P0)ł
ę ś
ś x2 ś xś y
ę ś
H =
ś2 f ś2 f
ę ś
(P0) (P0)
ęś y ś x
ś y2 ś
oraz wyznacza się wartości minorów według wzorów:
2
ś2 f ś2 f ś2 f ś2 f
M1 = (P0) M2 = (P0) (P0)- (P0)ł
ś
ś x2 ś x2 ś y2 ęś xś y
Macierz Hessego ma postać:
4 - 2
ł
2
H = , a minory: M1 = 4 , M2 = 44 -(- 2) =12
ę ś
- 2 4
W celu określenia, czy funkcja posiada minimum, czy maksimum w punkcie
korzysta się z następujących zależności:
M1 > 0 i M2 > 0 - minimum
M1 < 0 i M2 > 0 - maksimum
M2 = 0 - może być ekstremum
M2 < 0 - brak ekstremum
Oba minory są większe od zera, co wskazuje na fakt, iż funkcja posiada
minimum właściwe w punkcie P (-1,-1).
Ostatnim krokiem jest obliczenie wartości funkcji w minimum przez
podstawienie do funkcji f (x, y)= 2x2 + 2y2 - 2xy + 2x + 2y współrzędnych
punktu P (-1,-1).
2 2
fmin = f (-1,-1)= 2(-1) + 2(-1) - 2(-1)(-1)+ 2(-1)+ 2(-1)= -2
Odpowiedz: Funkcja posiada minimum w punkcie P (-1,-1). Wartość
funkcji w minimum wynosi f (x, y)= -2 .
13
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Wyznacz pochodne funkcji:
2.1. z = x2 + y2 - 6xy -38x +18y + 20
2.2. z = x3 y4
2.3. z = 2x + 4y - 2x2 - xy - y3 -3
2.4. z = 4x3 + 2xy + 3y2 + 3
2.5. z = 7y2 -14xy + 2x2 -14x
2.6. z = 8xy2 - 2y2 + 3x4 - x + 2
2.7. z = 4x4 + 2y5 + 3xy + 2x + 5
1
2.8. z = 4x2 + 2y3 + x + 3y -12
2
y3
2.9. z = + 4xy2 + 2x + 3y - 2
2
1 1 1
2.10. z = x7 y5 + x2 + y6 + 4x + 2y
4 2 3
2.11. z = 4x5 y7 + 2x2 + 3y4
2.12. z =14x4 y7 + x2 y + 3x
2.13. z = (2x + 3y)(4xy + 3)
x + y
2.14. z =
2x + 3
2x + y2
2.15. z =
x2 - 2y
14
Wyznacz ekstrema funkcji:
2.16. f (x, y)= 2x2 - 2xy + 2y2 - 4x + 2y
2.17. f (x, y)= 2x3 + 2y2 -12xy - 78x + 36y + 40
2.18. f (x, y)= x3 + y3 -3xy
2.19. f (x, y) = x2 + 2y2 - 2xy - 4x
2.20. f (x, y)= x +10y + xy - x2 - 2y2 -8
2.21. f (x, y)= y2 + 3xy + 3x2 - 6x - 2y +1
2.22. f (x, y)= 3xy - x2 - 4y2 + 4x - 6y -1
2.23. f (x, y)= x2 - xy + 2y2 + 3x + 2y + 2
2.24. f (x, y)= x2 + xy + y2 - 2x - y + 3
2.25. f (x, y)= 3x + 9y - x2 - xy - y2 -3
y2
2.26. f (x, y)= x2 + 2xy - - 4x + 2
2
2.27. f (x, y)= 2x4 + y2 - 4xy
2.28. f (x, y)= x2 + xy2 + y4
2.29. f (x, y)= x2 + xy + y2 - 4x - 6y
2.30. f (x, y)= x2 - xy + 2y2 - x + 4y -5
15
ROZDZIAA 3
EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Z
WARUNKIEM DODATKOWYM LAGRANGE A
Przykład 5. Mając daną funkcję z = xy oraz warunek dodatkowy
g = x + y -1, wyznacz ekstremum funkcji.
Pierwszym krokiem jest zapisanie funkcji Lagrange a według schematu:
F = z + l(g). Przyjmuje ona postać: F = xy + l(x + y -1).
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pierwszych pochodnych funkcji F
względem zmiennych x , y i l . Zatem:
ó ó
F x = (xy )+[l(x + y -1)]ó = y + l
ó
F y = x + l
ó
F l = x + y -1
Po wyznaczeniu pochodnych przyrównuje się je do zera i tworzy układ
równań, którego rozwiązanie jest następujące:
y = -l
y + l = 0 y = -l y = -l
x + l = 0 x x
= -l = -l
x = -l
x + y -1 = 0
- l - l -1 = 0 - 2l -1 = 0 l = - 1
2
1
y =
2
1
x =
2
1
l = -
2
16
Po rozwiązaniu układu równań wyznacza się drugie pochodne funkcji
podstawowej z oraz pierwsze pochodne warunku dodatkowego g :
ś z ś z ś2z ś2z ś2z ś2z ś g ś g
= y = x = 0 = 0 =1 =1 = 1 = 1
ś x ś y ś x2 ś y2 ś xś y ś yś x ś x ś y
.
Na podstawie wyznaczonych pochodnych tworzona jest macierz H według
schematu:
ł
ś g ś g
0
ę ś
ś x ś y
ę ś
ęś g ś2z ś2z ś
H =
ę ś
ś x ś x2 ś xś y
ę ś
ęś g ś2z ś2z ś
ęś y ś y ś x ś y2 ś
W związku z tym, przyjmie ona następującą postać:
0 1 1
ł
ę1
H = 0 1ś
ę ś
ę ś
1 1 0
Następnie oblicza się wyznacznik z macierzy H . Jego wartość wynosi
H = 2. Jest ona większa od zera, co wskazuje na to, iż funkcja posiada
maksimum.
Ostatnim krokiem rozwiązania jest obliczenie wartości maksimum, którą
1
uzyskuje się podstawiając do funkcji podstawowej z odpowiednio za x =
2
1
oraz za y = (obydwie wartości wyliczone zostały przez rozwiązanie
2
układu równań).
1 1 1 1 1
zmax = zć , = =
2 2 2 2 4
Ł ł
17
1 1
Odpowiedz: Funkcja posiada maksimum dla x = i y = . Wartość funkcji
2 2
1
w maksimum wynosi z = .
4
Przykład 6. Mając daną funkcję z = 3y + x2 oraz warunek dodatkowy
g = 4x - 2y + 3, wyznacz ekstremum funkcji.
Pierwszym krokiem jest zapisanie funkcji Lagrange a:
F = 3y + x2 + l(4x - 2y + 3).
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pierwszych pochodnych funkcji F
względem zmiennych x , y i l . Zatem:
ó
F x = 2x + 4l
ó
F y = 3- 2l
ó
F l = 4x - 2y + 3
Po wyznaczeniu pochodnych przyrównuje się je do zera i tworzy układ
równań, którego rozwiązanie jest następujące:
2x + 4l = 0
2x + 4l = 0 2x + 4l = 0
3
3 - 2l = 0 l =
2l = -3/ :(- 2)
-
2
4x - 2y + 3 = 0 4x - 2y + 3 = 0
4x - 2y + 3 = 0
3
2x + 4 = 0
2x = -6/ : 2 x = -3
2
3 3 3
l = l = l =
2 2 2
4x - 2y + 3 = 0
4x - 2y + 3 = 0 - 2y + 3 = 0
4x
18
x = -3 x = -3 x = -3
3 3 3
l = l = l =
2 2 2
(-
4 3)- 2y + 3 = 0 2y = 9 / :(- 2) y = - 9
-
2
Po rozwiązaniu układu równań wyznacza się drugie pochodne funkcji
podstawowej z oraz pierwsze pochodne warunku dodatkowego g :
ś z ś z ś2z ś2z ś2z ś2z ś g
= 2x = 3 = 2 = 0 = 0 = 0 = 4
ś x ś y ś x2 ś y2 ś xś y ś yś x ś x
ś g
= -2
ś y
Na podstawie wyznaczonych pochodnych tworzona jest macierz H :
0 4 - 2
ł
ę ś
H = 4 2 0
ę ś
ę
- 2 0 0 ś
Następnie oblicza się wyznacznik z macierzy H . Jego wartość wynosi
H = -8 . Jest ona mniejsza od zera, co wskazuje na to, iż funkcja posiada
minimum.
Ostatnim krokiem rozwiązania jest obliczenie wartości minimum, którą
uzyskuje się podstawiając do funkcji podstawowej z odpowiednio za x = -3
9
oraz za y = - (obydwie wartości wyliczone zostały przez rozwiązanie
2
układu równań).
9 9 9
2
zmin = zć- 3,- = 3ć- +(- 3) = -
2 2 2
Ł ł Ł ł
19
9
Odpowiedz: Funkcja posiada minimum dla x = -3 i y = - . Wartość
2
9
funkcji w minimum wynosi z = - .
2
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Wyznacz ekstremum funkcji:
3.1. z = xy pod warunkiem g = 2x + 2y -12
3.2. z = x2 + y2 pod warunkiem g = x + y -1
3.3. z = xy + 2x pod warunkiem g = 4x + 2y - 60
3.4. z = 2x2 - 4y2 pod warunkiem g = 2x - 4y + 6
3.5. z = 3x2 + 2y2 pod warunkiem g = x -8y -12
3.6. z = xy + 2x pod warunkiem g = x + 2y + 3
3.7. z = x2 - 2y2 pod warunkiem g = 2x - 4y - 7
3.8. z = 2x2 + 2y2 pod warunkiem g = x + y +16
3.9. z = 3x2 + y2 pod warunkiem g = 4x + 2y - 7
1 1
3.10. z = xy + 2x pod warunkiem g = x + y + 2
3 4
1 1
3.11. z = x2 + y2 pod warunkiem g = 2x - y + 2
2 6
3.12. z = 8x - y2 pod warunkiem g = 4x + 2y -8
1 1
3.13. z = x2 - y2 + 4x + 2y pod warunkiem g = x + y +1
6 4
3.14. z = 2x2 + 3y2 + 3x + 2y +1 pod warunkiem g = 2x -3y + 2
3.15. z = 3y2 - 2x2 - 4x + 2y + 5 pod warunkiem g = 3x + 4y + 7
20
Odpowiedzi do zadań:
ó
1.1. (x)= 48x2 + 20x +1
f
ó
1.2. f (x)= 42x5 -8x3 -36
ó
1.3. f (x)= 6x2 cos(2x3 -15)
2
3
ó
1.4. f (x) = 26 x7 + 320x4 - 323 x - 576x2
3
2x +16
ó
1.5. f (x)=
x2 +16x -1
- 6x4 - 24x2 - 284x + 80
ó
f (x)=
1.6.
2
(2x3 + 4x2 - 2x + 6)
ó
1.7. f (x)= 3x2 + 6x -9
ó
1.8. f (x)= 6x2 -30x + 36
ó
1.9. (x)= x3 - x
f
5 8
3
ó
f (x) = 28x3 + x2 - + 5 x3
1.10.
3
55 x
4x3 + x2 -14x +1
ó
f (x)=
1.11.
2
(x -1)
ó
1.12. f (x)= 20x4 +12x3 - 6x2 -8x -3
ó
1.13. f (x)= -(4x - 4)sin(2x2 - 4x -3)
14x - 5
ó
1.14. f (x)=
7x2 - 5x +1
- 2x3 + 6x2 + 2
ó
f (x)=
1.15.
2
(x3 + 2)
minimum w punkcie (0,111;-1,117), maksimum w punkcie
1.16.
(1,444;6,525)
21
1.17. minimum w punkcie (-1; - 4), maksimum w punkcie (1; 4)
1 1
minimum w punkcie ć ;5503
1.18.
4 8
Ł ł
1.19. minimum w punkcie (1; -19), maksimum w punkcie (- 3;13)
1.20. minimum w punkcie (3;13), maksimum w punkcie (2;14)
1 1
ć ć1;-
minimum w punkcie -1; - oraz w punkcie , maksimum
1.21.
4 4
Ł ł Ł ł
w punkcie (0;0)
1 1
minimum w punkcie ć-1;- , maksimum w punkcie ć1;
1.22.
2 2
Ł ł Ł ł
1.23.
minimum w punkcie (-1;1), maksimum w punkcie (-3;-11)
1.24.
minimum w punkcie (-1;-5), maksimum w punkcie (- 2;- 4)
1.25.
minimum w punkcie (-9;18), maksimum w punkcie (-1; 2)
1.26.
minimum w punkcie (3;0), maksimum w punkcie (-1; - 8)
1
1.27.
minimum w punkcie (- 6;-105), maksimum w punkcie ć1;9
3
Ł ł
1.28.
minimum w punkcie (-1;-16)
1.29.
minimum w punkcie (7;49), maksimum w punkcie (-1;1)
1.30.
minimum w punkcie (2;-13), maksimum w punkcie (1; -12)
ś z ś z ś2z ś2z
2.1.
= 2x - 6y - 38 = 2y - 6x +18 = 2 = 2
ś x ś y ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= -6 = -6
ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z ś2z
2.2.
= 3x2 y4 = 4x3 y3 = 6xy4 =12x3 y2
ś x ś y ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= 12x2 y3 =12x2 y3
ś xś y ś yś x
22
ś z ś z ś2z ś2z
2.3.
= 2 - 4x - y = 4 - x - 3y2 = -4 = -1
ś x ś y ś x2 ś yś x
ś2z ś2z
= -1 = -1
ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z ś2z
2.4.
= 12x2 + 2y = 2x + 6y = 24x = 6
ś x ś y ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= 2 = 2
ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z ś2z
2.5.
= -14y + 4x -14 =14y -14x = 4 =14
ś x ś y ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= -14 = -14
ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z
2.6.
= 8y2 +12x3 -1 =16xy - 4y = 36x2
ś x ś y ś x2
ś2z ś2z ś2z
=16x - 4 =16y =16y
ś y2 ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z ś2z
2.7.
=16x3 + 3y + 2 =10y4 + 3x = 48x2 = 40y3
ś x ś y ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= 3 = 3
ś xś y ś yś x
ś z 1 ś z ś2z ś2z ś2z
2.8.
= 8x + = 6y2 + 3 = 8 =12y = 0
ś x 2 ś y ś x2 ś y2 ś xś y
ś2z
= 0
ś yś x
ś z ś z 3 ś2z ś2z
2.9.
= 4y2 + 2 = y2 + 8xy + 3 = 0 = 3y + 8x
ś x ś y 2 ś x2 ś y2
ś2z ś2z
= 8y = 8y
ś xś y ś yś x
23
ś z 7 ś z 5 ś2z 21
2.10.
= x6 y5 + x + 4 = x7 y4 + 2y5 + 2 = x5 y5 +1
ś x 4 ś y 4 ś x2 2
ś2z ś2z 35 ś2z 35
= 5x7 y3 +10y4 = x6 y4 = x6 y4
ś y2 ś xś y 4 ś yś x 4
ś z ś z ś2z
2.11.
= 20x4 y7 + 4x = 28x5 y6 +12y3 = 80x3 y7 + 4
ś x ś y ś x2
ś2z ś2z ś2z
=168x5 y5 + 36y2 =140x4 y6 =140x4 y6
ś y2 ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z
2.12.
= 56x3 y7 + 2xy + 3 = 98x4 y6 + x2 =168x2 y7 + 2y
ś x ś y ś x2
ś2z ś2z ś2z
= 588x4 y5 = 392x3 y6 + 2x = 392x3 y6 + 2x
ś y2 ś xś y ś yś x
ś z ś z ś2z
2.13.
=16xy +12y2 + 6 = 24xy + 8x2 + 9 =16y
ś x ś y ś x2
ś2z ś2z ś2z
= 24x =16x + 24y =16x + 24y
ś y2 ś xś y ś yś x
ś z 3- 2y ś z 1 ś2z - 24x +16xy + 24y - 36
2.14.
= = =
2 4
ś x ś y 2x + 3 ś x2
(2x + 3) (2x + 3)
ś2z ś2z 2 ś2z 2
= 0 = - = -
2 2
ś y2 ś xś y ś yś x
(2x + 3) (2x + 3)
ś z - 2x2 - 4y - 2xy2 ś z 2x2 y - 2y2 + 4x
2.15.
= =
2 2
ś x ś y
(x2 - 2y) (x2 - 2y)
ś2z 4x3 + 24xy + 6x2 y2 + 2y3 ś2z 2x4 +16x
= =
3
ś x2 ś y2 - 2y)3
(x2 - 2y) (x2
ś2z -12x2 -8y - 4x3 y ś2z -12x2 -8y - 4x3 y
= =
3 3
ś xś y ś yś x
(x2 - 2y) (x2 - 2y)
2.16. minimum w punkcie P (1, 0), wartość funkcji f (x, y)= -2
2.17. minimum w punkcie P (5,6), wartość funkcji f (x, y)= -172
2.18. minimum w punkcie P (1,1), wartość funkcji f (x, y)= -1
2.19. minimum w punkcie P ( 4, 2), wartość funkcji f (x, y) = -8
24
2.20. maksimum w punkcie P (2,3), wartość funkcji f (x, y) = 8
2.21. minimum w punkcie P (2,-2), wartość funkcji f (x, y) = -3
2.22. brak ekstremum w punkcie P (2,0)
2.23. minimum w punkcie P (- 2,-1), wartość funkcji f (x, y) = -2
2.24. minimum w punkcie P (1,0), wartość funkcji f (x, y) = 2
2.25. maksimum w punkcie P (-1,5), wartość funkcji f (x, y)=18
2 4
ć
brak ekstremum w punkcie P ,
2.26.
3 3
Ł ł
2.27.
brak ekstremum w punkcie P ( 0,0), minimum w punkcie P (1,2),
wartość funkcji f (x, y) = -2, minimum w punkcie P ( -1, - 2),
wartość funkcji f (x, y) = -2,
2.28. minimum w punkcie P (-8,4), wartość funkcji f (x, y) = 192
2 8 28
ć
2.29.
minimum w punkcie P , , wartość funkcji f (x, y)= -
3 3 3
Ł ł
2.30.
minimum w punkcie P (0,-1), wartość funkcji f (x, y) = -7
maksimum dla x = 3 i y = 3 , wartość funkcji z = 9
3.1.
1 1 1
3.2. minimum dla x = i y = , wartość funkcji z =
2 2 2
maksimum dla x = 8 i y = 14 , wartość funkcji z = 128
3.3.
3.4.
minimum dla x = 3 i y = 3 , wartość funkcji z = -18
12 144 44
3.5.
minimum dla x = i y = - , wartość funkcji z = 4
97 97 97
1 7 1
3.6.
maksimum dla x = i y = - , wartość funkcji z =
2 4 8
7 7 49
3.7. minimum dla x = - i y = - , wartość funkcji z = -
2 2 4
25
minimum dla x = -8 i y = -8 , wartość funkcji z = 256
3.8.
3 21
3.9. minimum dla x =1 i y = , wartość funkcji z =
2 4
9 27
3.10.
maksimum dla x = - i y = -5 , wartość funkcji z =
4 4
4 6 2
3.11.
minimum dla x = - i y = , wartość funkcji z =
7 7 7
3.12.
maksimum dla x = 3 i y = -2 , wartość funkcji z = 20
9
3.13. maksimum dla x = 0 i y = -1, wartość funkcji z =
4
21 1 1
3.14. minimum dla x = - i y = - , wartość funkcji z = -
20 30 120
19 23 76
maksimum dla x = i y = - , wartość funkcji z =
3.15.
5 5 5
26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Przykładowe zadanie ekonomia matematycznaRothbard Notatka o ekonomii matematycznejekonomia matematyczna pyt od 1 6, mini14 Notatek plPodstawy ekonomii matematycznej wykladywięcej podobnych podstron