Ekonomia matematyczna  egzamin pytania poprawione
Pytanie 1. _____________________________________________________________________________________________________ 1
Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące. _________________________________________________________________ 1
Pytanie 2. _____________________________________________________________________________________________________ 1
Zdefiniować przestrzeń wektorową Rl oraz zinterpretować ją jako przestrzeń _________________________________________________ 1
Pytanie 3. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Zdefiniować przestrzeń wektorową Rl oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen. _____________________________________________ 2
Pytanie 4. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia. _______________________________________________ 2
Pytanie 5. _____________________________________________________________________________________________________ 2
Opisać strukturę działania systemu produkcji __________________________________________________________________________ 2
Pytanie 6. _____________________________________________________________________________________________________ 3
Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w przestrzeni R2 ,
który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności. ________________________________________________________________ 3
1.Domkniętość _________________________________________________________________________________________________ 3
2.Możliwość zaniechania produkcji _________________________________________________________________________________ 3
3.Niemożliwość produkcji wolnej ___________________________________________________________________________________ 3
4.Nieodwracalność procesu produkcji _______________________________________________________________________________ 3
5.Addytywność (dodawanie) _______________________________________________________________________________________ 3
6.Swobodny dostęp do dóbr _______________________________________________________________________________________ 4
7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji . ______________________________________________ 4
8.Wypukłość ___________________________________________________________________________________________________ 5
Pytanie 12. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną. __________________________________________________________________ 5
Pytanie 13. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną. ________________________________________________ 5
Pytanie 14. ____________________________________________________________________________________________________ 5
Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną. _______________________________________________________________ 5
Pytanie 1.
Podać definicję towaru i opisać założenia go dotyczące.
Towar- jest to dobro lub usługa (rzecz lub czynność użyteczna) zaspokajające czyjąś
indywidualną potrzebę wyrażoną przez popyt na ten towar.
Założenia dotyczące towaru:
a). towary różnią się
- cechami fizycznymi
- miejscem i czasem ich dostępności
b). każdy towar ma określoną jednostkę np. szt,kg,litry,cm3
c). towary są nieskończenie podzielne (przyjmuje się, że ustalona jednostka każdego towaru
jest na tyle duża, że każda liczba rzeczywista określająca liczbę jednostek towaru ma sens,
np. można podzielić 1 kg mąki ale 1 szt. samochodu nie ale 10 samochodów : � to 5
samochodów
d). ilość każdego towaru może być liczbą rzeczywistą dodatnią lub ujemną bądz
zerem.
Np.
- wejście : to towar zużywany w procesie produkcji lub konsumpcji
- wyjście : to towar, który jest wynikiem procesu produkcji lub konsumpcji, jest
Udostępniany
Producenci mają wejścia(środki produkcji, nakłady, czynniki, surowce, praca) ujemne
a wyjścia (wyroby gotowe) dodatnie. Konsumenci natomiast odwrotnie.
Pytanie 2.
Zdefiniować przestrzeń wektorową Rl oraz zinterpretować ją jako przestrzeń
1. towarów.
Definicja:
Niech l Ź {1,2,& ..}
Rl
={(v1, v2,v3& & ..vl) : v1,v2,v3& .vl Ź R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l
W zbiorze Rl określa się działania:
Jeżeli v = ( v1& & .vl ) Ź Rl
Jeżeli z = ( z1,z2& & .zl) Ź Rl
Jeżeli alfa Ź R
Wtedy
v + z = ( v1 + z1, & & vl + zl )
alfa x v = ( alfa * v1, alfa * v2& & alfa * vi )
 2
Zbiór Rl z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te
ciągi) nazywamy wektorami.
Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeni towarów:
2. l oznacza liczbę towarów
3. wektor v Ź Rl traktujemy jako plan działania producenta lub konsumenta lub koszyk towarów gdzie k-ta współrzędna wektora v ,
czyli liczba vk (k Ź {1,2,& ..l})oznacza liczbę jednostek k-tego towaru w koszyku v , lub planowaną i przeprowadzoną wielkość
produkcji lub konsumpcji
4. każdemu towarowi przypisana jest cała oś liczbowa, czyli każdy towar ma określone miejsce
5. wektor v z przestrzeni Rl v Ź Rl jest wektorem typu wejście-wyjście.
Pytanie 3.
Zdefiniować przestrzeń wektorową Rl oraz zinterpretować ją jako przestrzeń cen.
Definicja przestrzeni:
Niech l Ź {1,2,& ..}
Rl
={(v1, v2,v3& & ..vl) : v1,v2,v3& .vl Ź R} - tj. zbiór ciągów liczb rzeczywistych o długości l
W zbiorze Rl określa się działania:
Jeżeli v = ( v1& & .vl ) Ź Rl
Jeżeli z = ( z1,z2& & .zl) Ź Rl
Jeżeli alfa Ź R
Wtedy
v + z = ( v1 + z1, & & vl + zl)
alfa x v = ( alfa * v1, alfa * v2& & alfa * vl )
Zbiór Rl z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy l- wymiarową, rzeczywistą przestrzenią wektorową, a jej elementy ( czyli te ciągi)
nazywamy wektorami.
Interpretacja przestrzeni wektorowej jako przestrzeń cen:
Def: Ceną k-tego towaru pk(k Ź {1,2,& ,l}) nazywamy liczbę rzeczywistą przypisaną jednej jednostce tego towaru, która pozwala na
wartościowanie dóbr i usług.
Interpretacja:
1) pk >0 cena dobra rzadkiego
2) pk =0 cena dobra wolnego
3) pk <0 cena dobra niechcianego (szkodliwego)
l
Def: Ceną ( wartością) koszyka �=(v1& vl) Ź R względem wektora (systemu) cen p=(p1*p2& .* pl) Ź Rl nazywamy liczbę:
pć% v = p1*v1+p2*v2+& +pl* vl
Pytanie 4.
Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia.
Na system produkcji składa się działalność producenta. Każdy producent wybiera dla siebie możliwy plan działania, aby maksymalizować
zysk.
Def: System produkcji nazywamy układ relacyjny p=(J,
Rl,y, p, n, pi)
gdzie:
�� J zbiór liczb {1,2,& ,n} skończony zbiór producentów (n Ź {1,2,3,& ,})
��
Rl przestrzeń towarów i cen
��
y J  j Yj C Rl jest korespondencją zbiorów produkcji
��
p Ź Rl wektor cen względem którego każdy producent osiąga max zysków na zbiorze
Yj
j
��
n : J  j nj (p) C Rl korespondencja podaży n (p)- zbiór planów produkcji max zysk j-tego producenta (j Ź J) na zbiorze Yj
względem systemu cen p
�� pi : J  j pij(p) Ź R funkcja zysku maksymalnego, która każdemu producentowi przyporządkowuje jego zysk maksymalny na
zbiorze Yj względem systemu cen p.
Pytanie 5.
Opisać strukturę działania systemu produkcji
1. Wyznaczenie i opisanie zbioru Tj, czyli zbiorów tych systemów cen, dla których istnieje zysk maksymalny.
2. Wyznaczenie zbioru
nj (p) = { yj*: yj* maksymalizuje zysk przy danym systemie cen p na zbiorze Yj* }
dla wektora p Ź Tj
3. Obliczenie wartości funkcji zysku maksymalnego
PIj(p) = PIj*(p) = p � yj*, gdzie yj* Ź nj (p) dla każdego p Ź Tj
Uwaga!
Zysk maksymalny względem wektora cen p Ź ĄRl istnieje na zbiorze yj, jeżeli wektor p jest prostopadły do zbioru yj w pewnym
punkcie oraz zbiór yj leży po drugiej stronie prostej stycznej do yj w punkcie prostopadłości, niż wektor cen.
Ceny traktujemy jako dane. Jeśli cena p = (0,0), czyli dobra wolne, to dla każdego wektora y Ź Yj , p � y = 0 istnieje zysk
maksymalny, zatem dla p = (0,0) Ź Tj zawsze istnieje zysk maksymalny. Stąd dla każdego j Ź J : Tj `" � zb. pusty
 3
Pytanie 6.
Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w
przestrzeni R2 , który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności.
1.Domkniętość
Def.: Y i Yj są domknięte ó� granica każdego ciągu planów produkcji na leży do zbioru.
Interpretacja: Jeżeli wiadomo, że wektory leżące dowolnie blisko pewnego planu (wektora) y są technologicznie możliwe, to y jest
technologicznie możliwy, tzn. (y Ź Y lub Yj)
TAK(spełnia) NIE
2.Możliwość zaniechania produkcji
Def.: 0 Y, 0=(0,& 0) Ź R2 (wektor zerowy)
Ź
Interpretacja: Możliwy z punktu widzenia dostępnych technologii jest plan produkcji, w którym wszystkie wejścia i wyjścia są równe
zero.(Można nic nie robić).
2 2
1
TAK NIE
(ma możliwość zaniechania produkcji) (nie ma możliwości zaniechania produkcji)
3.Niemożliwość produkcji wolnej
Def.: Y)" R2 = � ZB. PUSTY lub Y)" R2 = {0 }
+ +
Interpretacja: Nie można produkować z niczego. Każdy plan produkcji powinien zawierać wejścia. (Nie powinien zawierać elementów z I
ćw.).
I ćw. I ćw.
TAK TAK
I ćw.
NIE
4.Nieodwracalność procesu produkcji
Def.: Y)" (-Y) = � ZB. PUSTY lub Y)" (-Y) = {0 }
Interpretacja: Produkcji nie da się odwrócić. Jeżeli możliwy do realizacji jest pewien plan produkcji, w którym nie wszystkie wejścia i
wyjścia są równe zero , to plan przeciwny nie jest możliwy do realizacji.
-Y
-Y
Y
-Y
Y=[-1,2] x[-2,3]
Y Y -Y=[-2,1] [-3,2]
Y)" (-Y) = {0 } Y)" (-Y) = � ZB. PUSTY NIE
TAK TAK Y)" (-Y) `"� ZB. PUSTY lub Y)" (-Y)
Produkcja nie jest odwracalna zawiera więcej elementów niż wektor
zerowy
5.Addytywność (dodawanie)
��
Def.: Y+Y Y
Intrpretacja: Każde dwa plany możliwe do realizacji można zrealizować wspólnie ( z punktu widzenia
dostępnych technologii).
 4
��
Y2, y1 Y+Y=Y Y
Y - TAK
��
Dla każdego y1, y2 Ź Y, ich suma algebraiczna y1+ y2 Ź Y, stąd Y+Y Y
TAK
Y
Y Y=[-2,3] x[-1,1]
Y+ Y=[-4,6] x[-2,2]
Y+Y �� Y
Y+Y
NIE (nie ma właściwości addytywności)
6.Swobodny dostęp do dóbr
��
Def.: -Rl Y (cała III ćwiartka powinna zawierać się w zbiorze Y)
+
Interpretacja: Wejścia procesu produkcyjnego nie są niczym ograniczone.
L=2 (płaszczyzna)
TAK NIE
7.Korzyści skali, które są związane ze zmianą intensywności procesu produkcji .
Trzy typy korzyści skali:
�� niemalejące
Def.: Dla każdego t>1, y Ź Y wektor t .y Ź Y �� każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć w tym zbiorze.
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona.
TAK NIE
�� nierosnące
Def.: Dla każdego t [0,1], y Ź Y wektor t .y Ź Y �� każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie zmniejszyć w tym zbiorze.
Ź
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zmniejszona.
O,1 .y Y
TAK NIE
�� stałe
Def.: Dla każdego te"0, y Ź Y wektor t .y Ź Y �� każdy wektor ze zbioru Y można dowolnie wydłużyć lub skrócić w tym zbiorze.
Interpretacja: intensywność przeprowadzenia każdego planu produkcji może być dowolnie zwiększona lub zmniejszona.
 5
TAK NIE
8.Wypukłość
Def.: Y jest wypukły ó� dla każdych dwóch planów y1, y2 Ź Y ich plan przeciętny (średnioważony) ł należy do Y, gdzie: ł = t .y1 + (1-t) .y2
dla t [0,1]
Ź
Interpretacja: Każdy plan średnioważony (przeciętny) planów możliwych do realizacji jest możliwy do realizacji.
ł Ź Y
TAK NIE
Pytanie 12.
Zdefiniować ekonomię Debreu z własnością prywatną.
Def. Ekonomią Debreu z własnością prywatną nazywamy układ relacyjny
Ep= (K, P w (omega), O TETA)
gdzie:
�� P- system produkcji +
��
w (omega) (omega) �� � Rl -- całkowity zasób ekonomii
w (omega)i  zasób i- tego konsumenta, w (omega)= w (omega)1+& + w (omega)m - jest własnością prywatną
�� O TETA (teta) O TETA I x J > (i,j) ą� O TETAij �� �[�0�,�1�]� � � � � �-�-� � �funkcja udziału
O TETAij  udział i-tego konsumenta w zyskach j- tego producenta
Dla każdego j �� �J, O TETA1j + O TETA2j +......+ O TETAnj =1 ó� Łn O TETAij = 1
i=1
Zysk j-tego producenta został rozdzielony pomiędzy konsumentów, zgodnie z funkcją O TETA. Producent nic sobie nie zostawia , chyba
że jest również konsumentem .
�� K  system konsumpcji w którym majątek każdego i- tego konsumenta liczymy według wzoru .
wi = p � w (omega)i + O TETAi1 x PI 1* + O TETAi2 x PI 2* + .......+ O TETAin x PI n* = p � w (omega)i + Łn O TETAij x
(p) (p) (p) j=1
PI j*
i- konsument
j- producent
Ekonomia z własnością prywatną jest takim połączeniem systemów produkcji i konsumpcji
w którym konsumenci są właścicielami całkowitych zasobów ekonomii oraz uczestniczą
w zyskach producentów.
Pytanie 13.
Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną.
Stanem ogólnej równowagi konkurencyjnej Walrasa w ekonomii Ep Debreu z własnością prywatną nazywamy ciąg:
(x1*, x2*, & xm*, y1*, y2*, & ym*, p ) Ź Rl(m+n+1)
m n 1
gdzie:
1. dla każdego i Ź I, xi* maksymalizuje użyteczność i-tego konsumenta na zbiorze g� (p,wi) względem cen p* p, p=p* Ź Rl
Ź
2. dla każdego i-tego producenta (j Ź J), yj* maksymalizuje zysk na zbiorze Yj dla p = p*
3. zachodzi warunek równowagi x* -
y* = w (omega)
Wektorem cen p* nazywamy wektor cen równowagi
Jest to taka sytuacja, w której żaden podmiot ekonomiczny nie ma motywacji do zmiany swojego planu działania.
Pytanie 14.
Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną.
Dany jest wektor cen p �� Rl
.
Etap1.
Każdy j-ty producent (j �� J) maksymalizuje swój zysk na zbiorze produkcji Yj.
Niech Yj* będzie planem produkcji maksymalizującym zysk, to znaczy y j* jest korespondencją podaży y j* �� �h� j(p), wówczas zysk max. j-
tego producenta względem danego  p liczymy ze wzoru i wynosi on:
 6
PI j*(p) = p � y j*
Jest on rozdzielony względem funkcji O TETA pomiędzy konsumentów.
O TETAij x PI j*(p)  ta część zysku j-tego producenta, którą otrzymuje i-ty konsument.
(Na poprawionym opracowaniu od Lipiety etap pierwszy został oddzielony od II i III , z adnotacją,że zasada zawiera się tylko w pierwszym,
ale zostawiłam resztę do waszego uznania,choć osobiście uważam ,że lepiej mniej niż więcej mieć do nauki.
Etap2.
Wyznaczamy majątek każdego i-tego konsumenta zgodnie z przepisem:
n
wi = p � w (omega)i + Ł O TETAij x PI j*(p)
j=1
Wyznaczamy elementy x i*�� ś i (p, wi ) dla każdego i-tego konsumenta na zbiorze jego ograniczeń budżetowych:
łi (p,wi) = { x �� �X i : p � x < wi }
Etap3.
Niech x* = x 1* + x 2* +& & .x n* będzie wektorem konsumpcji całkowitej oraz y * = y 1* + y 2* + & & y n* będzie wektorem
produkcji całkowitej, takiej że :
x i* �� �śi (p, wi ) oraz y j*�� �h� j(p), i �� �I� �,� �j �� �J , jeżeli
zachodzi warunek : x*  y* = w (omega)
to ekonomia Ep jest w stanie równowagi dla ceny równowagi : p* = p
Wtedy p* = p jest wektorem cen równowagi.