Teoria sterowania i technika regulacji, II rok 18.05.2014
LABORATORIUM TEORII STEROWANIA I TECHNIKI REGULACJI
Regulator PID  charakterystyki czasowe i częstotliwościowe
1 Wprowadzenie
Regulator PID jest to element układu regulacji realizujący w przypadku idealnym następujące prawo sterowania:
T
de(t)
u(t)=ð K e(t)+ð Ki +ðKd , ( 1 )
p òðe(t)dt dt
0
gdzie:
żð Kp  współczynnik części proporcjonalnej
żð Ki  współczynnik części caÅ‚kujÄ…cej Ki = 1/Ti Ti  czas zdwojenia
żð Kd  współczynnik części różniczkujÄ…cej Kd = Td Td  czas wyprzedzenia
żð e(t)  E(s)  uchyb regulacji (bÅ‚Ä…d) e(t) = ref(t)  y(t)
żð u(t)  U(s)  sygnaÅ‚ sterujÄ…cy podawany na obiekt (generowany przez regulator)
żð ref(t)  Ref(s)  sygnaÅ‚ odniesienia (referencyjny)
żð y(t)  Y(s)  sygnaÅ‚ wyjÅ›ciowy
żð d(t)  D(s)  sygnaÅ‚ zakłócenia
Po przekształceniu Laplace a otrzymano transmitancję:
Kd s2 +ð K s +ð Ki
U(s) 1 Ki
p
GPID(s)=ð =ð K +ð +ð Td s =ð K +ð +ð Kd s =ð . ( 2 )
p p
E(s) Tis s s
W literaturze spotyka się również inne postacie zapisu prawa sterowania regulatora PID, np.:
K
U(s) 1
p
GPID(s)=ð =ð K (1 +ð +ð TDs) =ð K +ð +ð K TDs ( 3 )
p p p
E(s) TI s TI s
gdzie:
żð TI = KpTi
żð TD = Td/Kp
CzÅ‚on różniczkujÄ…cy realizowany w praktyce zawiera niedużą inercjÄ™ tð << Td (np.: tð = 0,001). Zatem jego transmitancja
przyjmuje postać:
Td s
Gd(s)=ð , ( 4 )
Äs +ð 1
stÄ…d:
(Kd +ð K Ä)s2 +ð (Kp +ð KiÄ)s +ð Ki
U(s) 1 Td s Ki Kd s
p
GPID(s)=ð =ð K +ð +ð =ð K +ð +ð =ð ( 5 )
p p
E(s) Tis Äs +ð 1 s Äs +ð 1 Äs2 +ð s
Ponadto jeśli uwzględni się możliwości techniczne (wejście wzmacniacza operacyjnego w stan nasycenia),
to rzeczywisty regulator PID można przedstawić za pomocą następującego schematu blokowego:
Kp
+
E(s) U(s)
1
+
Ki
e(t) s
u(t)
+
Td s
Äs +ð 1
rys. 1
2 Przykład
Będziemy rozważać następujący układ automatycznej regulacji z ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego:
rys. 2
Y(s) 1 Y(s) 1
&ð&ð &ð
My(t)+ð by(t)+ð ky(t) =ð u(t) Þð =ð =ð .
U(s) Ms2 +ð bs +ð k U(s) s2 +ð 10s +ð 20
Katedra EiASPE, AGH Kraków dr inż. Andrzej Firlit 1
Teoria sterowania i technika regulacji, II rok 18.05.2014
2.1 Wpływ współczynników: Kp, Ki, Kd, na: czas narastania, przeregulowanie
i błąd w stanie ustalonym.
2.2 Metoda Ziglera i Nicholsa
Jednym ze sposobów doboru nastaw parametrów regulatora PID dla obiektów nie zawierających opóz
nień jest inżynierska
metoda Ziglera i Nicholsa. Wymaga ona obliczenia marginesu wzmocnienia i częstotliwości odpowiadającej wzmocnieniu
krytycznemu, tj. takiemu, przy którym faza jest równa  180 stopni. JeÅ›li oznaczymy Gm  margines amplitudy, wð 180 
wspomniana częstotliwość, to nastawy Ziglera i Nicholsa dla regulatorów są następujące:
pð Ti
PID: Kp=0,6 Gm
Ti =ð Td =ð
wð 4
-ð180
5pð
PI: Kp=0,45 Gm
Ti =ð
3wð
-ð180
P: Kp=0,5 Gm
Należy zaznaczyć, że uzyskane nastawy nie są optymalne i można je w sposób arbitralny skorygować.
3 Listing
clear, close all, clc subplot(2,2,[2,4]), bode(rl2,rm2),
%================================= title('Reg. PD - z inercjÄ…'), grid
% Teoria Sterowania i Technika Regulacji disp('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy
% Regularot PID - przykład Reg PD idealny - Naciśnij klawisz ---->')
%================================= pause, close all
% dane obiektu %=================================
M = 1; % s^2 % Regulator proporcjonalno-całkujący
b = 10; % s % Kp=300; Ki=350;
k = 20; % 0 Ki=input('Podaj współczynnik części całkującej Ki=
u = 1; % licznik 0 ');
%================================= num=[Kp Ki]; den=[M b k+Kp Ki];
% odpow. na step(), ch-ki Bodego rl3=[Kp, Ki]; rm3=[1, 0];
num=u; den=[M b k]; 'Transmitancja regulatora PI'
t=0:0.01:3; printsys(rl3,rm3)
step(num,den,t), [so]=step(num,den,t); disp('---->'), pause
title('Układ otwarty - odp. na skok jednostkowy') %=================================
figure, grid, margin(num,den) figure
disp('Układ otwarty - odp. na skok jednostkowy - step(num,den,t), [spi]=step(num,den,t);
Naciśnij klawisz ---->'), title('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy
pause, close all Reg PI')
%================================= figure, grid, margin(num,den)
% Regulator proporcjonalny figure, margin(rl3,rm3), title('Reg. PI'), grid
% Kp=300; disp('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy
Kp=input('Podaj współczynnik części Reg PI - Naciśnij klawisz ---->'),
proporcjaonalnej Kp= '); pause, close all
num=[Kp*u]; den=[M b k+Kp]; %=================================
'Transmitancja regulatora P' % Regulator PID
rl1=[Kp]; rm1=[1]; % Kp=300; Ki=350; Kd=50;
printsys(rl1,rm1) num=[Kd Kp Ki]; den=[M b+Kd k+Kp Ki];
disp('---->'), pause rl4i=[Kd, Kp, Ki]; rm4i=[0, 1, 0];
figure, step(num,den,t), [sp]=step(num,den,t); rl4=[Kd, Kp, Ki]; rm4=[inKd, 1, 0];
title('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy 'Transmitancja regulatora PID idealnego'
Reg P') printsys(rl4i,rm4i)
figure, grid, margin(num,den) 'Transmitancja regulatora PID'
figure, bode(rl1,rm1), title('Reg. P'), grid printsys(rl4,rm4)
disp('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy disp('---->'), pause
Reg P - Naciśnij klawisz ---->'), %=================================
pause, close all figure
%================================= step(num,den,t), [spid]=step(num,den,t);
% Regulator proporcjonalno-różniczkujący title('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy
% Kp=300; Kd=50; Reg PID idealny')
Kd=input('Podaj współczynnik części różniczkującej figure, grid, margin(num,den)
Kd= '); figure, subplot(2,2,[1,3]), bode(rl4i,rm4i),
num=[Kd Kp]; den=[M b+Kd k+Kp]; title('Reg. PID - idelany'), grid
rl2i=[Kd, Kp]; rm2i=[0, 1]; subplot(2,2,[2,4]), bode(rl4,rm4),
inKd=0.01; rl2=[Kd, Kp]; rm2=[inKd, 1]; title('Reg. PID - Reg. PD z inercjÄ…'), grid
'Transmitancja idealnego regulatora PD' disp('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy
printsys(rl2i,rm2i) Reg PID idealny - Naciśnij klawisz ---->'),
'Transmitancja regulatora z inercjÄ… PD' pause, close all
printsys(rl2,rm2) %=================================
disp('---->'), pause plot(t,so,'k',t,sp,'c',t,spd,'m',t,spi,'r',t,spid,'
%================================= g'), grid
figure, step(num,den,t), [spd]=step(num,den,t); legend('Obiekt','P','PD','PI','PID')
title('Układ zamknięty - odp. na skok jednostkowy %=================================
Reg PD idealny') disp(' '), disp('zamknięcie wszystkich "figur"')
figure, grid, margin(num,den) pause, close all
figure, subplot(2,2,[1,3]), bode(rl2i,rm2i),
title('Reg. PD - idelany'), grid
Katedra EiASPE, AGH Kraków dr inż. Andrzej Firlit 2
Teoria sterowania i technika regulacji, II rok 18.05.2014
4 Model regulatora PID w SIMULINK-u
d(t) = -8
tout
t=100sek
tout
Clock
ut
u(t)
lotw
2
Td+Kp*tau.s +Kp+(1/Ti)*tau.s+1/Ti
yout
motw
2
tau.s +s
yout
ref(t) w2
w1
ograniczenie
OBIEKT
Rgulator PID
-10 / 10
[Kp, Ti, Td] = [30, 0.1, 10]
lub
tau=0.01
-inf / inf
reft reft
rys. 3
Na rysunku rys. 3 przedstawiono układ automatycznej regulacji z ujemną, jednostkową pętlą sprzężenia zwrotnego z
regulatorem PID zbudowany w SIMULINK-u. Tor główny zawiera następujące bloki:
1. Regulator PID
2. ograniczenie  blok umożliwiający wprowadzenie ograniczenia poziomu generowanego przez regulator sygnału
wyjściowego (sterującego)
3. sygnał d(t) oddziaływujący na sygnał wyjściowy (sterujący) z regulatora PID reprezentujący np. zakłócenie
4. OBIEKT
Pliki należy uruchamiać w następującej kolejności:
1. ex1.m  charakterystyka obiektu
2. ex2.m  obliczenie nastaw regulatora PID  wykorzystuje metodÄ™ Ziglera i Nicholsa zaimplementowanÄ…
w ziegnich.m
3. simM65.mdl  model układu regulacji zbudowany w SIMULINK-u (rys. 3)
4. wykr.m  umożliwia wykreślenie przebiegów po przeprowadzeniu symulacji dla modelu simM65.mdl
5. ex3.m  umożliwia wprowadzenie dowolnych nastaw regulatora PID
Katedra EiASPE, AGH Kraków dr inż. Andrzej Firlit 3