Funkcje trygonometryczne
Niech dany będzie na płaszczyz
nie trójkąt prostokątny OAB (patrz rys. 1) z wyróżnionym

kątem ostrym o mierze ą oraz długościami boków OA = x , OB = r , AB = y .
Y
B
Ä
r y
.
Ä…
O x A X
rys.1
Wtedy funkcje trygonometryczne definiujemy następującymi wzorami:
y x y x
sinÄ… = , cosÄ… = , tgÄ… = , ctgÄ… = .
r r x y
0
KÄ…ty mierzymy miarÄ… stopniowÄ… Ä… z jednostkÄ… 10 albo miarÄ… Å‚ukowÄ…
)"
Ä
ą = (patrz rys. 1) z jednostką 1rd (radian), mając przy tym zależność
r
0
)"
Ä…
Ä… = Ä„ .
1800
Wykresy funkcji trygonometrycznych:
a) funkcja sinus
b) funkcja cosinus
c) funkcja tangens
d) funkcja cotangens
Funkcje trygonometryczne sÄ… okresowe:
sin(ą + 2kĄ ) = siną, k "
 ,
cos(ą + 2kĄ ) = cosą, k "
 ,
tg(ą + kĄ ) = tgą, k "
 ,
ctg(ą + kĄ ) = ctgą, k "
 .
Funkcje sin, tg, ctg sÄ… nieparzyste, tzn.:
sin(-Ä… ) = - sin(Ä… ) , tg(-Ä… ) = -tg(Ä… ) , ctg(-Ä…) = -ctg(Ä…) .
Funkcja cos jest parzysta, tzn.:
cos(-Ä…) = cos(Ä… ) .
Wzory redukcyjne dla poszczególnych funkcji trygonometrycznych:
Ä„ Ä… ² 2Ä„ Ä… ²
Ä… Ä„ 3Ä„
Ä… ² Ä… ²
2 2
sinÄ… cos ² m sin ² cos ² Ä… sin ²
cosÄ… m sin ² - cos ² Ä… sin ² cos ²
tgÄ…
m ctg² Ä… tg² m ctg² Ä… tg²
ctgÄ…
m tg² Ä… ctg² m tg² Ä… ctg²
Między funkcjami trygonometrycznymi zachodzą następujące związki:
sin2 Ä… + cos2 Ä… = 1,
sin Ä… cosÄ…
tgÄ… = , ctgÄ… = ,
cosÄ… sin Ä…
sin 2Ä… = 2sinÄ… Å" cosÄ… ,
cos 2Ä… = cos2 Ä… - sin2 Ä… ,
2tgÄ…
tg2Ä… = ,
2
1- tg Ä…
ctg2Ä… -1
ctg2Ä… = ,
2ctg2Ä…
sin(Ä… + ² ) = sin Ä… Å" cos ² + cosÄ… Å" sin ² ,
cos(Ä… + ² ) = cosÄ… Å" cos ² + sin Ä… Å" sin ² ,
tgÄ… + tg²
tg(Ä… + ² ) = ,
1- tgÄ…tg²
ctgÄ… Å" ctg² -1
ctg(Ä… + ² ) = ,
ctgÄ… + ctg²
Ä… + ² Ä… - ²
sin Ä… + sin ² = 2sin Å" cos ,
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
cosÄ… + cos ² = 2 cos Å" cos ,
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
sin Ä… - sin ² = 2 cos Å" sin ,
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
cosÄ… + cos ² = -2sin Å" sin ,
2 2
sin(Ä… + ² )
tgÄ… + tg² = ,
cosÄ… Å" cos ²
sin(Ä… - ² )
tgÄ… - tg² = ,
cosÄ… Å" cos ²
sin(Ä… + ² )
ctgÄ… + ctg² = ,
sin Ä… Å" sin ²
sin(Ä… - ² )
ctgÄ… - ctg² = - .
sinÄ… Å" sin ²