ELEKTROMECHANICZNE
SYSTEMY NAP
DOWE
WYKA
AD 2
ANALIZA UKA
ADÓW
ELEKTROMECHANICZNYCH
Z ZASTOSOWANIEM
METODY LAGRANGE A
Podział ogólny układów elektromechanicznych
Wszystkie układy elektromechaniczne mo\
na podzielić na dwie grupy:
" Układy zachowawcze;
" Układy niezachowawcze.
Układ zachowawczy - jest to taki układ w którym mo\
e występować jedynie
magazynowanie energii, czyli energia nie mo\
e być rozpraszana (wytracana).
Układ niezachowawczy - jest to taki układ w którym oprócz magazynowania
energii występuje równie\
rozpraszanie energii (wytracanie).
Układ zachowawczy - jest układem idealnym, wszystkie rzeczywiste układy fizyczne
są układami niezachowawczymi.
W układach elektromechanicznych niezachowawczych następuje wytracanie energii
w elementach tłumiących przez siły tarcia mechanicznego oraz wytracanie energii w
elementach rezystorowych przez zamianÄ™ energii elektrycznej strat na energiÄ™
cieplnÄ….
Metody energetyczne analizy układów
elektromechanicznych
Dla zło\
onych układów elektromechanicznych prawidłowe formułowanie równań
układu na podstawie oddzielnych równań Newtona dla układu mechanicznego i
oddzielnych równań Kirchhoffa dla układu elektrycznego mo\
e prowadzić do
otrzymania niekompletnej lub niepoprawnej formy równań.
Do analizy układów elektromechanicznych bardziej dogodne jest zastosowanie
formułowania równań z zastosowaniem metod energetycznych.
Do metod energetycznych analizy układów elektromechanicznych nale\
Ä…:
Metoda Lagrange a (równania Lagrange a);
Zasada Hamiltona (metoda wariacyjna).
Metodę Lagrange a opracował francuski matematyk Joseph Louis de Lagrange około
1780 roku.
Metoda Lagrange a
W metodzie Lagrange a w równaniach wyjściowych występują składniki
będące funkcją stanu energetycznego układu.
Funkcje stanu energetycznego układu dla układu zachowawczego
(bez strat energii):
Funkcja Lagrange a L.
Funkcje stanu energetycznego układu dla układu niezachowawczego
(ze stratami energii):
Funkcja Lagrange a L;
Funkcja dyssypacji Rayleigha F.
Funkcja Lagrange a
Ogólna postać funkcji Lagrange a dla układu elektromechanicznego:
L = T -V
Gdzie:
L  funkcja Lagrange a układu elektromechanicznego;
T  całkowita funkcja stanu koenergii układu
elektromechanicznego;
V - całkowita funkcja stanu energii układu
elektromechanicznego;
Składniki funkcji Lagrange a
Całkowita funkcja stanu koenergii T układu elektromechanicznego jest
równa sumie całkowitej koenergii kinetycznej Ek i całkowitej koenergii
magnetycznej Em :
' '
T = +
E E
k m
Gdzie:
Ek - całkowita koenergia kinetyczna układu elektromechanicznego;
Em - całkowita koenergia magnetyczna układu elektromechanicznego.
Całkowita funkcja stanu energii V układu elektromechanicznego jest równa
sumie całkowitej energii potencjalnej Ep i całkowitej energii elektrycznej Ee :
V = +
E E
p e
Gdzie:
Ep - całkowita energia potencjalna układu elektromechanicznego;
Ee - całkowita energia elektryczna układu elektromechanicznego.
Funkcja dyssypacji Rayleigha
Ogólna postać funkcji dyssypacji Rayleigha dla układu
elektromechanicznego:
F = +
F' F
m e
F - ogólna funkcja dyssypacji Rayleigha;
F m - kofunkcja dyssypacji Rayleigha dla elementów tłumiących
mechanicznych;
Fe - funkcja dyssypacji Rayleigha dla elementów stratnych
elektrycznych.
Wielkości występujące w równaniach
Lagrange a
WspółrzÄ™dna uogólniona ¾
Do opisu układu elektromechanicznego stosuje się pewne zmienne stanu
nazywane współrzędnymi uogólnionymi.
Jako współrzędne uogólnione przyjmuje się:
W układach mechanicznych:
Poło\
enia liniowe x ka\
dego elementu masy (o ruchu postępowym);
Poło\
enia kÄ…towe Å‚ ka\
dego elementu bezwładności (o ruchu
Å‚
Å‚
Å‚
obrotowym);
W układach elektrycznych:
A
adunki elektryczne q dla ka\
dego oczka obwodu elektrycznego;
Strumienie magnetyczne È dla ka\
dego oczka obwodu
elektrycznego;
Między współrzędnymi uogólnionymi nie występują \
adne zale\
ności  są to
więc współrzędne niezalezne.
Wielkości występujące w równaniach
Lagrange a
Pochodna wzglÄ™dem czasu współrzÄ™dnej uogólnionej ¾
¾ = d¾/dt
Jako pochodne współrzędnych uogólnionych przyjmuje się:
W układach mechanicznych:
Prędkości liniowe x =v ka\
dego elementu masy (o ruchu
postępowym);
Prędkości kątowe ł
Å‚ =É ka\
dego elementu bezwładności (o ruchu
Å‚
Å‚
obrotowym);
W układach elektrycznych:
PrÄ…dy elektryczne q =i dla ka\
dego oczka obwodu elektrycznego;
NapiÄ™cia indukowane È =e dla ka\
dego oczka obwodu
elektrycznego;
Wielkości występujące w równaniach
Lagrange a
Siły uogólnione Q
Jako siły uogólnione przyjmuje się:
W układach mechanicznych:
Suma algebraiczna sił zewnętrznych działających na ka\
dy
element masy (o ruchu postępowym);
Suma algebraiczna momentów zewnętrznych działających na
ka\
dy element bezwładności (o ruchu obrotowym);
W układach elektrycznych:
Suma algebraiczna sił elektromotorycznych zewnętrznych z
ródeł
napięcia dla ka\
dego oczka obwodu elektrycznego;
Przykład modelu mechanizmu podnoszenia
dz
wignicy
Rzeczywisty mechanizm jest modelowany przez układ połączonych z sobą
elementów składowych.
Zachowanie siÄ™ tego modelu powinno z du\
ą dokładnością odtwarzać zachowanie
układu rzeczywistego.
Przykład modelu mechanizmu
podnoszenia dz
wignicy
Siły uogólnione
" Moment M;
M
" CiÄ™\
ar G;
Współrzędne uogólnione
" KÄ…t obrotu Å‚
Å‚;
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
" Przesunięcie x;
x
G
Rzeczywisty pojazd jest modelowany przez układ połączonych z sobą elementów
składowych.
Zachowanie siÄ™ tego modelu powinno z du\
ą dokładnością odtwarzać zachowanie
układu rzeczywistego.
Ogólne równania Lagrange a dla układu
zachowawczego
Dla układu zachowawczego równanie Lagrange a sformułowane dla ka\
dej
zmiennej uogólnionej ma następującą postać:
'
îÅ‚"L ' Å‚Å‚
d (¾ ,¾,t)śł - "L(¾ ,¾,t)= Qk (t)
, k =1, 2,..., s
ïÅ‚
'
dt "
" ¾
¾
k
ðÅ‚ k ûÅ‚
Gdzie:
L  funkcja Lagrange a układu elektromechanicznego;
¾ - współrzÄ™dna uogólniona;
¾ - pochodna wzglÄ™dem czasu współrzÄ™dnej uogólnionej;
Qk - siła uogólniona.
Liczba równań Lagrange a dla danego układu fizycznego jest równa liczbie stopni
swobody układu s, czyli liczbie współrzędnych uogólnionych.
Analiza prostego układu mechanicznego o ruchu
postępowym
Na masę m połączoną ze sprę\
ynÄ… o sprÄ™\
ystości K działa siła mechaniczna Fz.
Pomija się siły tarcia masy  rozpatrywany jest układ bez tłumienia.
K
Fz
Układ zawiera jedną masę  czyli ma
jeden stopień swobody mechanicznej.
x
Przyjęto do opisu zmienną stanu - współrzędną uogólnioną  przesunięcie masy x.
Zmienne pochodne: v=x , a=x 
x'= dx / dt = v
x''= dx'/ dt = a
Na masę działa siła zewnętrzna Fz, która będzie rozpatrywana jako siła uogólniona
Q.
Q = Fz
Gdy zwrot siły Fz jest zgodny z przyjętym dodatnim zwrotem współrzędnej
uogólnionej x, to wartość Fz jest dodatnia.
Analiza prostego układu mechanicznego
o ruchu postępowym
K
Fz
x
Układ mechaniczny opisany jest przez równanie Lagrange a:
d "L "L "F
îÅ‚ Å‚Å‚
- + = Q L = T -V = -
E' E
k p Q = Fz
ïÅ‚"x'śł
dt "x "x'
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1
1 1
= K Å"
E' = m Å"v2 = m Å" x'2 L = T -V = - = m Å" - K Å"
k E x2
p
E' E x'2 x2
k p
2 2
2 F = F' = 0
2 2 m
"L
d "L
îÅ‚ Å‚Å‚
"L
= mÅ" x' "F
= m Å" x''
= -K Å" x
ïÅ‚"x'śł
= 0
"x'
dt
ðÅ‚ ûÅ‚
"x
"x'
Otrzymuje siÄ™:
mÅ" x''+ K Å" x = Fz
Analiza prostego układu mechanicznego o
ruchu postępowym
K
Fz
x
mÅ" x''+ K Å" x = Fz lub
mÅ"a + K Å" x = Fz
Siła Siła
Siła
bezwładności zewnętrzna
sprÄ™\
ysta
Otrzymane równanie jest równaniem równowagi sił dla rozpatrywanego układu
mechanicznego.
W równaniu występuje siła bezwładności opisana II prawem Newtona. Ale
znajomość tego prawa nie była konieczna do otrzymania tego równania !!!.
Analiza prostego układu mechanicznego o
ruchu postępowym
K
Fz
x
mÅ" x''+ K Å" x = Fz lub
mÅ"a + K Å" x = Fz
Siła Siła
Siła
bezwładności zewnętrzna
sprÄ™\
ysta
Otrzymane równanie jest równaniem równowagi sił dla rozpatrywanego układu
mechanicznego.
W równaniu występuje siła bezwładności opisana II prawem Newtona. Ale
znajomość tego prawa nie była konieczna do otrzymania tego równania !!!.
Analogia układu elektrycznego
K
Fz
Fz = mÅ" x''+ K Å" x
x
x = q; x' = v = q' = i ; x'' = q'' ; Fz = U
WprowadzajÄ…c nowe zmienne i
współczynniki:
L = m ; C = 1/ K ;
Otrzymuje się równanie
d q
opisujące równowa\
ny
U = L Å"q''+ (1/ C)Å" q = L Å" i + = +
u u
L C
dt C
obwód elektryczny LC:
Obwód elektryczny LC jest obwodem oscylacyjnym.
Stąd układ mechaniczny: masa sprę\
yna jest równie\

układem oscylacyjnym.
1 1 1 K
Ér = ; Ém = = =
Pulsacja rezonansowa drgań
m
LC LC 1
mÅ"
elektrycznych i mechanicznych:
K
Analiza prostego obwodu elektrycznego
Rozpatrywany jest jednooczkowy obwód elektryczny RLC zasilany napięciem u(t).
Układ zawiera jedną oczko  czyli ma
jeden stopień swobody elektrycznej.
q
Przyjęto do opisu zmienną stanu - współrzędną uogólnioną  ładunek elektryczny q.
2
q'= dq / dt = i
Zmienne pochodne: i=q
q''= dq'/ dt = di / dt = d q / dt2
Na obwód działa napięcie zewnętrzne u(t), które będzie rozpatrywane jako siła
uogólniona Q.
Q = u(t)
Przyjęto zwrot współrzędnej q zgodny ze zwrotem prądu w obwodzie q =i.
Gdy zwrot napięcia u(t) jest zgodny ze zwrotem współrzędnej uogólnionej q, to
wartość u(t) jest dodatnia.
Analiza prostego obwodu elektrycznego
Obwód elektryczny jest opisany przez równanie Lagrange a:
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L "L "F
Q = u(t)
- + = Q
L = T -V =
ïÅ‚"q'śł E' - E
m e
dt "q "q'
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
1 1 1
1 1
E' = L Å"i2 = L Å" q'2 = Å" q2 q'2 q2
L = T -V = - = L Å" - Å"
m F = = R Å"i2 = R Å" q'2
E E' E
e m e F
e
2 2
2 2
2 2C
2C
"F
"L "L 1
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L
= R Å" q'
= L Å" q' = - Å" q
= L Å" q''
ïÅ‚"q'śł
"q'
"q' "q C
dt
ðÅ‚ ûÅ‚
Otrzymuje siÄ™:
q
L Å" q''+ + R Å" q'= u(t)
C
Analiza prostego obwodu elektrycznego
q
d q
L Å"q''+ + R Å" q'= u(t)
lub
L Å" i + + R Å" i = u (t )
C
dt C
Napięcie na Napięcie na
Napięcie na Napięcie
cewce L kondensatorze
rezystancji R zasilajÄ…ce
C
Otrzymane równanie jest równaniem równowagi napięć dla rozpatrywanego
obwodu elektrycznego.
Otrzymano opis obwodu za pośrednictwem II prawa Kirchhoffa. Ale znajomość tego
prawa nie była konieczna do otrzymania opisu obwodu !!!.
Analiza zło\
onego obwodu elektrycznego
Rozpatrywany jest dwuoczkowy obwód elektryczny z elementami RLC:
Układ zawiera dwa niezale\
ne oczka 
czyli ma dwa stopnie swobody
elektrycznej.
Do opisu układu przyjęto dwie zmienne stanu - współrzędne uogólnione:
Å‚adunek elektryczny zwiÄ…zany z oczkiem 1 - q1 ;
Å‚adunek elektryczny zwiÄ…zany z oczkiem 2 - q2 ;
W obwodach występują napięcia zewnętrzne u1 i u2, które będą rozpatrywane jako
siła uogólnione:
Q1 = u1 ; Q2 = -u2
Poniewa\
zwrot napięcia u2 nie jest zgodny ze zwrotem współrzędnej
uogólnionej q2, to wartość u2 jest uwzględniana ze znakiem  - .
Analiza zło\
onego obwodu elektrycznego
Obwód elektryczny jest opisany przez równania Lagrange a dla ka\
dego oczka:
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L "L "F
- + = Q1
ïÅ‚"q' śł
dt "q1 "q'1
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L "L "F
Q1 = u1 ; Q2 = -u2
- + = Q2
ïÅ‚"q' śł
dt "q2 "q'2
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Analiza zło\
onego obwodu elektrycznego
L = T -V =
E' - E
m e
1
1 1
)
= Å"( - q2 2
q1
E
e
E' = L Å"i2 = L Å" q'2
m 2
2
Dla oczka 1:
2C
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L "L "F
1 1 1 1
2
2
F = = R1 Å"i1 + R2 Å"i2 = R1 Å" + R2 Å"
- + = Q1 q'1 q'2
F
e 2
2
ïÅ‚"q' śł
2 2 2 2
dt "q1 "q'1
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
1 1
L = T -V = - = L Å" - Å"( - q2 2
q'2 q1 )
E' E
m e
2
Q1 = u1
2 2C
"L
"L 1
îÅ‚ Å‚Å‚ "F
d "L
= 0
= - Å"( - q2
= 0 q1 )
= R1 Å" q'1
ïÅ‚"q' śł
"q'1
dt
"q1 C
"q'1
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
1
Równanie dla
)+ Å" =
Å"( - q2 R1 q'1 1
q1
u
+uR1 =
u u
oczka 1:
C 1
C
Analiza zło\
onego obwodu elektrycznego
L = T -V =
E' - E
m e
1
1 1
)
= Å"( - q2 2
q1
E' = L Å"i2 = L Å" q'2 E
m 2 e
2
Dla oczka 2: 2 2
2C
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L "L "F
1 1 1 1
2
2
F = = R1 Å"i1 + R2 Å"i2 = R1 Å" + R2 Å"
- + = Q2 q'1 q'2
F
e 2
2
ïÅ‚"q' śł
2 2 2 2
dt "q2 "q'2
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
1 1
L = T -V = - = L Å" - Å"( - q2 2
q'2 q1 )
E' E
m e
2
Q2 = -u2
2 2C
"F
"L 1
"L
= R2 Å" q'2
= Å"( - q2
q1 )
= L Å" q'2 d îÅ‚ "L Å‚Å‚ = L Å" q''2
ïÅ‚"q' śł
"q'2
"q'2 "q2 C
dt
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
1
Równanie dla
)+ Å" =
L Å" - Å"( - q2 R2 q'2
q''2 q1
+uR2 =
- u
2
u -u -u
L C 2
oczka 2:
C
Zalety metody Lagrange a
W metodzie Lagrange a w równaniach wyjściowych występują składniki
będące funkcją energii. Składniki energii zale\
Ä… od kwadratu odpowiednich
zmiennych stanu. Zagadnienie odpowiedniego przyjęcia znaków dla
wielkości fizycznych nie ma tu znaczenia.
W metodzie Lagrange a w równaniach występują zale\
ności między
skalarami, a nie wektorami.
Przy zastosowaniu metody Lagrange a równania układu otrzymuje się
drogą rutynowych przekształceń algebraicznych. Nie jest konieczna
znajomość fizycznych związków przyczynowo-skutkowych.
Wady metody Lagrange a
Metoda Lagrange a oparta jest na ścisłym wykorzystaniu formalnych
operacji matematycznych. Przy stosowaniu metody traci siÄ™ zrozumienie i
poglądowość zjawisk fizycznych występujących w układzie
elektromechanicznym.
Siłownik elektromechaniczny
Przetwornik przedstawiony na rysunku jest siłownikiem elektromechanicznym.
Siłownik składa się z rdzenia magnetycznego, uzwojenia nawiniętego na rdzeniu i
ruchomego rdzenia. Siłownik pozwala sterować przesuwaniem ruchomego rdzenia
za pomocą sygnału elektrycznego.
Siłownik jest stosowany do sterowania zaworów hydraulicznych lub
pneumatycznych, do otwierania i zamykania pokryw. Konstrukcja przetwornika jest
stosowana do budowy styczników i przekaz
ników elektromagnetycznych.
Analiza siłownika elektromechanicznego
R i
R
i
Układ
z
u L(x)
elektryczny
u
d
x
Poziom
m
x
odniesienia
G
m
Układ
G
mechaniczny
K
D
K
D
W siłowniku mo\
na wyró\
nić dwa powiązane z sobą układy:
1) Układ elektryczny - zło\
ony z uzwojenia siłownika o rezystancji R oraz
indukcyjności L. Uzwojenie iest zasilane napięciem u o dowolnej zmienności.
2) Układ mechaniczny  zło\
ony z ruchomego rdzenia o masie m, połączonego z
elementem sprÄ™\
ystym o podatności K i z elementem tłumiącym o tłumieniu D.
Siłownik elektromechaniczny  układ
elektryczny
R
i
R i
z
u
L(x)
d
u
x
Poziom
m
odniesienia
G
K
D
z2 = z2 = L(x)
L =
Indukcyjność uzwojenia siłownika:
+
R R R
m Fe p
z  liczba zwojów uzwojenia; Rm - opór magnetyczny równy sumie oporu
magnetycznego rdzenia magnetycznego RFe i oporu szczeliny powietrznej Rp
d - x
a
l
Fe
Poniewa\
:
= ; =
L = L(x) =
R R
Fe p
Å" S Å" S
µFe µ0
b - x
Indukcyjność uzwojenia siłownika L=L(x) jest nieliniową funkcją współrzędnej
poło\
enia ruchomego rdzenia x.
Analiza siłownika metodą Lagrange a
x
R i
m
G
L(x)
u
K
D
Układ elektryczny
Układ mechaniczny
Współrzędne uogólnione podstawowe i pochodne:
1) Dla układu elektrycznego - ładunek q oraz prąd i = dq/dt = q ;
2) Dla układu mechanicznego - poło\
enie x oraz prędkość v=dx/dt = x .
W obwodzie elektrycznym siłownika występują straty mocy na rezystancji uzwojenia, a
w układzie mechanicznym straty mocy w elemencie tłumiącym  siłownik jest układem
niezachowawczym.
Funkcja Lagrange a jest ró\
nicą całkowitej koenergii układu T i całkowitej energii
układu V:
L = T -V
Analiza siłownika metodą Lagrange a
R i
x
m
Układ
G
L(x)
Układ
u
mechaniczny
elektryczny K
D
Całkowita koenergia T układu elektromechanicznego siłownika jest równa sumie
całkowitej koenergii kinetycznej Ek i całkowitej koenergii magnetycznej Em :
1 1
1 1 1 1
T = L(x) Å"q'2
L(x)Å"q'2 m Å" x'2 +
2 2
E' = m v2 = m x E' = L(x) Å"i2 =
k m
2 2 2 2 2 2
Całkowita energia V układu elektromechanicznego siłownika jest równa sumie
całkowitej energii potencjalnej Ep i całkowitej energii elektrycznej Ee :
1
1 ( brak elementów
= 0
=
V =
E
E K x2 e
p
K Å" x2
pojemnościowych )
2
2
1 1 1
L = T -V = L(x) Å"q'2 -
Funkcja Lagrange a L układu
m Å" x'2 + K Å" x2
2 2 2
elektromechanicznego siłownika:
1 1 1 1
F =
Funkcja dyssypacji Rayleigha układu q'2 +
R i2 + D v2 = R D x'2
2 2 2 2
elektromechanicznego siłownika:
Analiza siłownika metodą Lagrange a
x
R i
m
Układ
Układ
G
mechaniczny
L(x)
u
elektryczny
K
D
Układ siłownika elektromechanicznego jest opisany następującymi równaniami
Lagrange a:
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L(x', q', x, q,t) "L(x', q', x, q,t) "F(x', q',t)
- + = Qe (t)
Układ elektryczny
ïÅ‚ śł
dt " q' "q "q'
ðÅ‚ ûÅ‚
d "L(x', q', x, q,t) "L(x', q', x,q,t) "F(x', q',t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Układ mechaniczny
- + = (t)
Qm
ïÅ‚ śł
dt "x' "x "x'
ðÅ‚ ûÅ‚
Gdzie siły uogólnione wynoszą:
Qe (t) = u(t) = u ; Qm (t) = -G = -mÅ" g
Szczegółowa postać równania Lagrange a dla
obwodu elektrycznego siłownika
R i
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L(x',q', x,q,t) "L(x',q', x,q,t) "F(x',q',t)
- + = Qe (t) = u(t)
ïÅ‚ śł
L(x)
u
dt " q' "q "q'
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
d "L(x', q', x, q,t) d d d d dx d
= [L(x) Å" q']= [L(x)]Å" q'+ L(x) Å" q'= [L(x)]Å" Å" q'+ L(x) Å" q'
ïÅ‚ śł
dt " q' dt dt dt dx dt dt
ðÅ‚ ûÅ‚
d d
= [L(x)]Å"v Å"i + L(x) Å" i
dx dt
"F(x',q',t)
"L(x',q', x,q,t)
= RÅ"q'= RÅ"i
= 0
"q'
"q
Równanie dla obwodu elektrycznego po uporządkowaniu ma postać zło\
onÄ… z trzech
składników:
d d
u(t) = R Å"i + L(x)Å" i + [L(x)]Å"v Å"i
dt dx
I  spadek napięcia na rezystancji stojana; II  napięcie indukowane w uzwojeniu przez
zmienny w czasie prąd i ; III  napięcie indukowane w uzwojeniu przez ruch rdzenia z
prędkością v;
Szczegółowa postać równania Lagrange a dla
układu mechanicznego siłownika
x
m
G
d "L(x', q', x, q,t) "L(x', q', x,q,t) "F(x', q',t)
îÅ‚ Å‚Å‚
- + = (t) = -G = -m Å" g
Qm
ïÅ‚ śł
dt "x' "x "x'
ðÅ‚ ûÅ‚
K
D
d "L(x', q', x, q,t) d d
îÅ‚ Å‚Å‚
= [m Å" x']= mÅ" x''= m Å" v
ïÅ‚ śł
dt "x' dt dt
ðÅ‚ ûÅ‚
"L(x',q', x,q,t) 1 " 1 "
= q'2 L(x) - K Å" x = i2 L(x) - K Å" x
"x 2 "x 2 "x
"F(x',q',t)
= DÅ" x'= DÅ"v
"x'
Równanie równowagi dla układu mechanicznego po uporządkowaniu ma postać :
1 d d
[L(x)]- G = mÅ" v + D Å"v + K Å" x
i2
2 dx dt
Szczegółowa postać równania Lagrange a dla
układu mechanicznego siłownika
x
m
Równanie równowagi dla układu mechanicznego po uporządkowaniu
G
ma postać :
K
D
1 d d
[L(x)]- G = mÅ" v + D Å"v + K Å" x
i2
2 dx dt
Składniki po lewej stronie Składniki po prawej stronie
równania oznaczają kolejno: równania oznaczają kolejno:
siłę bezwładności ruchomego
siłę elektromagnetyczną
elementu rdzenia,
wytwarzaną przez siłownik
i siłę tłumienia
siłę cię\
kości ruchomego
siłę sprę\
ystości.
elementu rdzenia.
Siła elektromagnetyczna siłownika
i
z
u
d
x
Fe
Poziom
odniesienia
G
K
D
Na podstawie równań Lagrange a uzyskano wyra\
enie na siłę elektromagnetyczną
Fe wytwarzaną przez siłownik elektromechaniczny.
1 d
= [L(x)]
F i2
e
2 dx
Wytwarzanie siły elektromagnetycznej Fe przez siłownik elektromechaniczny
stanowi podstawę działania tego siłownika.
Wyznaczenie wartości siły elektromagnetycznej Fe nie jest mo\
liwe na podstawie
analizy klasycznej lecz tylko z równań Lagrange a.
Siła elektromagnetyczna siłownika
i
z
u
d
x
Fe
Poziom
odniesienia
G
K
D
Na podstawie równań Lagrange a uzyskano wyra\
enie na siłę elektromagnetyczną
Fe wytwarzaną przez siłownik elektromechaniczny:
1 d
= [L(x)]
F i2
e
2 dx
Warunkiem powstania siły elektromagnetycznej jest:
d
[L(x)]`" 0
dx
Zasada konstruowania przetworników elektromechanicznych jest oparta na
tym, aby przy zmianie poło\
enia liniowego lub kÄ…towego ruchomego elementu
przekształtnika następowała zmiana indukcyjności obwodów przetwornika.