Kinematyka i dynamika punktu i ciała sztywnego
Materiał nauczania
Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez
uwzględniania przyczyn, które ten ruch wywołują. Ruchem nazywamy zmianę poło\
enia
ciała względem innego ciała, które traktowane jest jako układ odniesienia. Ze względu układ
odniesienia ruch dzielimy na:
- ruch bezwzględny; jest to ruch określony w ruchomym układzie odniesienia,
-
-
-
- ruch względny; jest to ruch określony względem ruchomego układu odniesienia.
-
-
-
Ruch punktu mo\
emy określić równaniem prędkości:
v = f (t)
i równaniem ruchu:
s = f (t)
Ze względu kształt toru ruch mo\
na podzielić na:
- prostoliniowy - torem jest linia prosta,
-
-
-
- krzywoliniowy - torem jest dowolna linia na geometryczna na płaszczyz
nie (ruch płaski)
-
-
-
lub w przestrzeni (ruch przestrzenny).
Ruch prostoliniowy jednostajny
W ruchu prostoliniowym jednostajnym stosunek drogi do czasu, w którym ta droga
została przebyta, nazywamy prędkością. Prędkość ma wartość stałą
s
v = = const [m/s]
t
Droga w ruchu jest proporcjonalna do czasu trwania ruchu.
s = v �"t równanie ruchu prostoliniowego jednostajnego
Wykresem prędkości w ruchu jednostajnym jest odcinek równoległy do osi czasu, a pole
zawarte pod wykresem prędkości przedstawia w odpowiedniej podziałce drogę. Graficznym
odwzorowaniem drogi jest linia prosta nachylona do osi t pod kątem ą . Wartość kąta ą
przedstawia zale\
ność
tgą = v =const
Je\
eli czas jest liczony od chwili, w której punkt przebył ju\
drogę so , to całkowita droga
wynosi s = so + v �"t
a) b)
Rys. 1. Wykresy: a) prędkości, b) drogi
Ruch prostoliniowy zmienny
Prędkość punktu zmienia się. Je\
eli prędkość rośnie, to mamy do czynienia z ruchem
przyspieszonym, a gdy maleje z ruchem opóz
nionym.
Stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu nazywamy prędkością średnią punktu.
"s s2 - s1
v = =
"t t2 - t1
"s
Prędkością chwilową nazywamy granicę wyra\
enia , je\
eli przyrost "t dą\
y do zera.
"t
"s
v =lim , gdy "t 0
"t
Dla określenia przyspieszenia wyznaczamy przyrosty prędkości.
Przyspieszeniem średnim nazywamy stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym ten
przyrost nastąpił.
"v v2 - v1
a = = [m/s2]
"t t2 - t1
Przyspieszenie chwilowe określa zale\
ność
"v
a =lim , gdy "t 0
"t
Równanie prędkości ruchu jednostajnie zmiennego przyspieszonego
v = vo + a �"t
Równanie prędkości ruchu jednostajnie zmiennego opóz
nionego
v = vo - a �"t
Równanie drogi
a �"t2
s = vo �"t ą
2
a) b)
Rys. 2. Wykresy: a) prędkości, b) drogi
Ruch krzywoliniowy jednostajny
Torem takiego ruchu jest linia krzywa, do której styczne są wektory prędkości o równych
wartościach.
Miejsce geometryczne wektorów prędkości wykreślonych ze wspólnego punktu nazywamy
hodografem prędkości. Hodograf w ruchu krzywoliniowym jednostajnym jest łukiem okręgu
o promieniu równym wartości prędkości poruszającego się punktu.
Rys. 3. Ruch krzywoliniowy jednostajny: a) wektory prędkości, b) hodograf prędkości
Przyspieszenie chwilowe ma kierunek prostopadły (normalny) do prędkości
poruszającego się punktu. Przyspieszenie związane ze zmianą kierunku wektora prędkości
nazywa się przyspieszeniem normalnym.
Ruch krzywoliniowy zmienny
Wektory prędkości w tym ruchu zmieniają kierunek i wartość.
a) b) c)
Rys. 4. Ruch krzywoliniowy zmienny: a) wektory prędkości, b) hodograf prędkości, c) przyspieszenie
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym zmiennym tworzy z wektorem prędkości kąt ą .
Po rozło\
eniu przyspieszenia na dwa kierunki otrzymujemy przyspieszenie:
- normalne (dośrodkowe) an , o kierunku prostopadłym do toru i wartości an = a �"siną ,
-
-
-
- styczne at , o kierunku prędkości i wartości at = a �"cosą .
-
-
-
Na podstawie kierunków i wartości składowych przyspieszenia an i at mo\
na ustalić
klasyfikację ruchów:
-
-
-
an `"0 at `"0 - ruch krzywoliniowy zmienny
-
-
-
an =0 at `"0 - ruch prostoliniowy zmienny
-
-
-
an `"0 at =0 - ruch krzywoliniowy jednostajny
-
-
-
an =0 at =0 - ruch prostoliniowy jednostajny
Ruch jednostajny po okręgu
W czasie ruchu po okręgu o promieniu r punkt materialny przebywa w równych
odstępach czasu równe drogi oraz zatacza równe kąty ą . Prędkość punktu poruszającego się
po okręgu nazywamy prędkością liniową lub obwodową.
Stosunek drogi kątowej ą do czasu, w którym ta droga została przebyta, nazywamy
prędkością kątową � .
ą
� = [rad/s]
t
Często prędkość kątową uzale\
niamy od ilości obrotów na minutę, wielkość tę nazywamy
prędkością obrotową.
Ą �" n
� =
30
Prędkość liniowa v w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała, równa iloczynowi prędkości
kątowej � i promienia r .
Ą �" n �" r
v =� �" r =
30
W ruchu jednostajnym po okręgu wartość przyspieszenia stycznego jest równa zeru,
a przyspieszenie normalne obliczamy ze wzorów
v2
an =�2 �" r =
r
Rys. 5. Ruch punktu po okręgu: a) prędkość i przyspieszenie, b) hodograf prędkości
Ruch zmienny po okręgu koła
W ruchu zmiennym po okręgu koła występuje przyspieszenie normalne i styczne do toru.
Wielkością charakteryzującą ten ruch jest przyspieszenie kątowe, które jest stosunkiem
przyrostu prędkości kątowej do przedziału czasu, gdy ten dą\
y do zera.
�
� =lim , gdy "t 0 [rad/s2]
"t
Przyspieszenie normalne
v2
an =
r
Przyspieszenie styczne
at = r �"� , gdzie r - promień koła.
Ciała sztywne mogą poruszać się ruchem:
- postępowym,
-
-
-
- obrotowym,
-
-
-
- płaskim.
-
-
-
W ruchu postępowym punkty ciała sztywnego zakreślają jednakowe tory, na których
wszystkie punkty mają jednakową prędkość i przyspieszenie.
W ruchu obrotowym ciała sztywnego punkty wykonują ruch dookoła prostej, zwanej osią
obrotu. Je\
eli prędkość kątowa jest wielkością stałą ruch nazywa się ruchem obrotowym
jednostajnym, a je\
eli zmienną ruchem obrotowym zmiennym.
Ruch płaski ciała sztywnego mo\
e być rozpatrywany jako suma dwóch ruchów:
postępowego z prędkością dowolnego punktu ciała i obrotowego dookoła tego punktu
z prędkością kątową lub mo\
e być w ka\
dej chwili ruchem obrotowym dookoła chwilowego
środka obrotu (S - środek chwilowego obrotu jest punktem przecięcia normalnych do
wektorów prędkości).
a) b)
r r r
VA = VB +VB-A
Rys. 6. Ruch płaski bryły: a) suma ruchu postępowego i obrotowego, b) ruch obrotowy względem środka
chwilowego obrotu
Prędkość punktów w ruchu płaskim mo\
emy wyznaczyć kilkoma metodami:
- z wykorzystaniem twierdzenia o rzutach prędkości:
-
-
-
Rzuty prędkości dwu punktów ciała sztywnego, poruszającego się ruchem płaskim, na
prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Rys. 7. Rzuty prędkości i zastosowanie twierdzenia o rzutach prędkości
- metodą prędkości obróconych:
-
-
-
Linie działania prędkości obróconych wszystkich punktów poruszającego się przekroju
przecinają się w chwilowym środku obrotu S. Końce wektorów prędkości obróconych le\
ą na
prostej równoległej do prostej łączącej te punkty zwaną linią przewodnią prędkości
obróconych.
Rys. 8. Prędkość obrócona i linia przewodnia prędkości obróconych
- metodą toru ocechowanego:
-
-
-
Prędkość w punkcie B:
w
vB = k �"
2�" "t
gdzie:
vB - Prędkość w punkcie B w cm/s
w - długość siecznej, w cm
"t - czas, w jakim punkt przebywa drogę między sąsiednimi
punktami, w s,
k - podziałka długości
Rys. 9. Wyznaczanie prędkości metodą toru ocechowanego
- metodą planu prędkości:
-
-
-
Rys. 10. Wyznaczanie prędkości w czworoboku przegubowym metodą planu
W metodzie tej na podstawie równania wektorowego
r r r
vB = vA + vB- A
wyznacza się wykreślnie wartości i kierunki prędkości vB i prędkości względnej vB- A .
Dynamika bada związki między ruchem ciała i przyczynami, który ten ruch wywołują.
Oparta jest na trzech prawach Newtona.
Pierwsze prawo ( prawo bezwładności): Punkt materialny lub ciało sztywne, na który nie
działa \
adna siła, lub działają siły równowa\
ące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu
jednostajnym prostoliniowym.
Drugie prawo: Przyspieszenie punktu materialnego lub ciała sztywnego jest
proporcjonalne do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek oraz zwrot zgodnie
z działającą siłą
F = m�" a (dynamiczne równanie ruchu punktu)
Trzecie prawo: Ka\
demu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone
przeciwdziałanie.
Z drugim prawem związana jest siła bezładności, która jest zwrócona przeciwnie ni\

przyspieszenie ruchu.
a) b)
Rys. 11. Siły bezwładności w ruchu obrotowym: a) pręta, b) punktu
Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy poruszającego się ciała i przyspieszenia tego
ruchu.
Suma wszystkich sił zewnętrznych działających na punkt materialny znajdujący się w ruchu
równowa\
y się w ka\
dej chwili z siłą bezwładności tego punktu.
F +(- m �"a)=0 zasada D2 Alemberta
W ruchu postępowym badanie ruchu sprowadza się do badania jednego punktu, przy czym
najczęściej punkt ten jest środkiem masy ciała. Siła F działająca na środek masy ciała
w przestrzennym prostokątnym układzie osi współrzędnych x, y , z rozło\
ona mo\
e być na
trzy składowe, które wywołują ruch wzdłu\
tych osi.
Dynamiczne równania ruchu postępowego
Fx = m �" ax
Fy = m �"ay
Fz = m �"az
Rys. 12. Ruch postępowy i równanie dynamiczne ruchu
W uchu obrotowym ciała sztywnego dookoła nieruchomej osi wyznaczmy dynamiczne
równanie ruchu dla ka\
dej elementarnej masy z uwzględnieniem elementarnego momentu
obrotowego.
Dynamiczne równania ruchu obrotowego dla
elementarnej masy
Fi = "mi �" ai
Elementarny moment obrotowy
Fi �" ri = "mi �" ri2 �"�
Dynamiczne równanie ruchu obrotowego ciała
sztywnego
M = J �"�
M - moment bezwładności ciała
J - masowy moment bezwładności ciała
� - przyspieszenie kątowe
Rys. 13. Ruch obrotowy i równanie dynamiczne ruchu obrotowego
Masowe momenty bezwładności pól o prostych figurach i brył geometrycznych
wyznacza się najczęściej względem osi przechodzącej przez środek masy (osie główne lub
środkowe) korzystając ze wzorów z tabel.
Tabela 1. Masowe momenty bezwładności prostych figur i brył geometrycznych
Rysunek figury
J J
x y
(bryły)
2
m �"l
J =0
J =
y
x
12
koło
2 2
m �" r m �" r
J = J =
x y
4 4
kula
2 2
2 2
J = �" m �" r J = �"m �" r
x y
5 5
2
�ł �ł
m h2 �ł
r
2
�ł
J = +
J = m�"
x
�łr �ł y
4 3
2
�ł łł
Gdy oś obrotu jest przesunięta równolegle do osi głównej masowy moment bezwładności
oblicza się korzystając z twierdzenia Steinera.
Jl = Jo + m �" z2
Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy sumie
momentu bezwładności Jo względem osi równoległej do prostej l i przechodzącej przez
środek masy oraz iloczynu masy i ciała i kwadratu odległości między nimi.
Z ruchomym punktem, który pod działaniem siły mo\
e się przesuwać wzdłu\

określonego toru, związana jest praca.
Praca mechaniczna w ruchu prostoliniowym jest równa iloczynowi siły działającej
wzdłu\
kierunku ruchu i drogi, jaką przebył punkt zaczepienia tej siły.
Praca w ruchu obrotowym wyra\
a się iloczynem momentu obrotowego M oraz kąta
obrotu ą wyra\
onego w radianach.
a) b)
W = F �" s �"cosą [1J = N�"1m] W = M �"ą
Rys. 14. Praca w ruchu: a) prostoliniowym, b) obrotowym
Jednostką pracy w układzie jednostek SI jest d\
ul (J). Jest to praca wykonana siłą jednego
niutona na drodze jednego metra.
Do oceny pracy zostało wprowadzone pojęcie mocy.
Moc P jest to iloraz pracy i czasu, w którym ta praca została wykonana.
W 1J
P = [W], 1W=
t s
P = F �"v w ruchu prostoliniowym
P = M �"ą w ruchu obrotowym.
Jednostką mocy w układzie jednostek SI jest wat (W), czyli praca jednego d\
ula
wykonana w czasie jednej sekundy.
W urządzeniach mechanicznych moment obrotowy (skręcający) oblicza się ze wzoru:
P
M = 95514, 14�" [N�"m]
n
P - moc w kW
n - prędkość obrotowa w obr/min.
Sprawnością maszyny � nazywamy stosunek pracy u\
ytecznej Wu do pracy wło\
onej W .
Wu Wu
� = lub � = �"100%
W W
Sprawność mo\
na równie\
określić stosunkiem mocy u\
ytecznej Pu do mocy wło\
onej P .
Pu
� =
p
Je\
eli maszyna składa się z kilku mechanizmów, to sprawność ogólna jest iloczynem
sprawności poszczególnych mechanizmów.
� =�1 �"�2 �"�3 �"K�"�n
Sprawność jest liczbą niemianowaną zawartą w przedziale 0 <� <1.