1 Kryterium stabilności
2 Stabilność liniowych układów sterowania
Układ zamknięty liniowy i stacjonarny opisany równaniem (1) jest stabilny, je\
eli dla
skończonej wartości zakłócenia przy dowolnych wartościach początkowych jego odpowiedz

ustalona przyjmuje skończone wartości.
n n-1 m m-1
d x(t) d x(t) d u(t) d u(t)
an + an-1 +ï"+ aox(t) = bm + bm-1 +ï"+ bou(t)
dtn dtn-1 dtm dtm-1
(1)
Transmitancja operatorowa tego układu ma postać:
bmsm + bm-1sm-1 +ï"+ b1s + b0 L(s)
G(s) = =
ansn + an-1sn-1 +ï"+ a1s + a0 M (s)
(2)
Stąd jego równanie charakterystyczne
M (s) = ansn + an-1sn-1 +ï"+ a1s + a0 = 0
(3)
W ujęciu matematycznym warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, a\
eby układ
zamknięty był stabilny jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego (3) miały ujemne
części rzeczywiste. Rozwiązanie tego równania wystarczy, więc dla stwierdzenia czy dany
układ liniowy jest stabilny. Jednak w praktyce ta metoda nie zawsze jest dogodna i
wystarczajÄ…ca.
Z tego względu zostały opracowane metody pozwalające na badanie stabilności bez
rozwiązywania równania charakterystycznego są to tzw. kryteria stabilności. Kryteria te
dzielą się na: algebraiczne do, których nale\
Ä… kryteria Routha i Hurwitza oraz
częstotliwościowe Michajłowa i Nyquista.
Je\
eli pierwiastki równania charakterystycznego mogą być wyra\
one jako
I ich części rzeczywiste są ujemne (le\
ą na lewej półpłaszczyz
nie) to układ jest stabilny.
Metoda wymaga obliczenie pierwiastków r.char , stąd pojawiły się jej odpowiedniki
(wymagające mniej obliczeń arytmetycznych)
Warunki stabilności:
Re(si)<0 dla i=1,2,3,4........  stabilny asymptotycznie
Re(si)=0 dla dowolnego i, pozostałe Re(si)<0 - granica stabilności
Re(si)>0 dla dowolnego i  układ niestabilny
Dla pierwiastków rzeczywistych
s=Ã
Dla pierwiastków zespolonych:
s=ÃÄ…jÉ
Przykłady funkcji:
2.1 1.1 Kryterium Hurwitza
Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności układu liniowego i stacjonarnego jest,
a\
eby wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego transmitancji tego układu
"n
istniały i były dodatnie, a ponadto a\
eby wyznacznik (1) zwany wyznacznikiem Hurwitza
"2, "3,ï","n-1 byÅ‚y dodatnie.
oraz jego podwyznaczniki
Je\
eli którykolwiek współczynnik jest ujemny lub równy zeru albo którykolwiek
podwyznacznik jest ujemny to układ jest niestabilny.
Jeśli dowolny z podwyznaczników jest równy zeru to oznacza, \
e równanie charakterystyczne
układu ma między innymi pierwiastki urojone i wtedy układ jest na granicy stabilności. Na
jego wyjściu występują drgania o ustalonej amplitudzie.
an-1 an-3 an-5 ï" ï" ï" 0
an an-2 an-4 ï" ï" ï" 0
0 an-1 an-3 ï" ï" ï" 0
"n = ï" ï" ï" ï" ï" ï" ï"
0 0 0 ï" a2 a0 0
0 0 0 ï" a3 a1 0
0 0 0 ï" a4 a2 a0
(4)
"1 = an-1
an-1 an-3
"2 =
an an-2
an-1 an-3 an-5
"3 = an an-2 an-4
0 an-1 an-3
î"
an-1 an-3 an-5 ï" ï" ï" 0
an an-2 an-4 ï" ï" ï" 0
0 an-1 an-3 ï" ï" ï" 0
"n-1 = ï" ï" ï" ï" ï" ï" ï"
0 0 0 ï" a3 a1 0
0 0 0 ï" a4 a2 a0
0 0 0 ï" a5 a3 a1
Przykład 1
Za pomocą kryterium Hurwitza zbadać stabilność układu zamkniętego, którego równanie
charakterystyczne ma postać:
M (s) = s5 + 6s4 + 4s3 + 7s2 +11s + 2 = 0
Zauwa\
my, \
e spełniony jest warunek konieczny stabilności, poniewa\
wszystkie
współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie.
Wyznacznik Hurwitza utworzony ze współczynników wielomianu tego równania ma postać:
6 7 2 0 0
1 4 11 0 0
"5 = 0 6 7 2 0
0 1 4 11 0
0 0 6 7 2
Obliczamy wartość wyznacznika za pomocą polecenia det, które wprowadzamy w oknie
poleceń MATLAB-a według poni\
szej składni. Argumentem polecenia det zapisanym w
nawiasach okrągłych jest macierz współczynników wyznacznika Hurwitza, która z kolei
zapisana jest w nawiasach kwadratowych. Poszczególne elementy wierszy tej macierzy
oddzielone są odstępami, natomiast wiersze  oddzielone są średnikami.
delta_5=det([6 7 2 0 0;1 4 11 0 0;0 6 7 2 0;0 1 4 11 0;0 0 6 7 2]),
delta_5 =
-5846
Ujemna wartość wyznacznika Hurwitza wskazuje na to, \
e badany układ jest niestabilny.
Kryterium Routha
Pierwszym krokiem w uproszczeniu kryterium Hurwitza, nazywanym kryterium Routha, jest
umieszczenie współczynników równania
w dwóch wierszach. Pierwszy wiersz składa się z nieparzystych współczynników, natomiast
drugi wiersz z parzystych współczynników licząc od najwy\
szej potęgi wielomianu
charakterystycznego. Dla równania tego pierwsze dwa wiersze tablicy są
następujące:
Następnym krokiem jest wypełnienie następnych wierszy tablicy Routha w następujący
sposób:
i tak dalej. Kolumna z lewej strony tablicy Routha jest kolumną odniesienia i słu\
y do
identyfikacji obliczeń. Ostatni wiersz tablicy Routha ma zawsze w tej kolumnie element s0.
Po skompletowaniu tablicy Routha ostatnim krokiem jest określenie znaków spółczynników
pierwszej kolumny tablicy, która zawiera informacje o pierwiastkach równania. Przyjęte
zostało następujące zało\
enie:
Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w lewej półpłaszczyz
nie
jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha mają ten sam znak. Liczba zmian
znaków w elementach pierwszej kolumny równa jest liczbie pierwiastków w prawej
półpłaszczyz
nie.
Przykład
Rozwa\
my równanie
w którym nie brakuje elementów i wszystkie współczynniki są tego samego znaku. Spełniony
jest warunek konieczny dotyczący współczynników, jednak warunek dostateczny musi zostać
jeszcze sprawdzony. Pierwszą czynnością jest zainicjowanie tablicy, w kolumnie z lewej
strony znajdują się potęgi s, natomiast współczynniki wielomianu rozdziela się pomiędzy
pierwszy drugi wiersz w sposób pokazany poni\
ej. W pierwszym wierszu znajdujÄ… siÄ™ w
kolejności współczynniki nieparzyste, natomiast w drugim parzyste
Tablica kompletowana jest poczynając od góry wiersz po wierszu, obliczając elementy
następnego wiersza. Ka\
dy obliczany element wyprowadzany jest na podstawie czterech
elementów znajdujących się w dwóch wy\
szych wierszach, dwa z nich sÄ… w lewej kolumnie
i dwa w kolumnie znajdujÄ…cej siÄ™ na prawo od obliczanego elementu. W ka\
dym przypadku,
obliczany element ma ujemny wyznacznik z czterech znajdujÄ…cych siÄ™ wy\
ej elementów,
podzielony jest przez lewy dolny element wyznacznika. Dla przykładu, pierwszy element
wiersza s2
drugi element wiersza s2
pierwszy element wiersza s1
i tak dalej.
Skompletowana tablica Routha pokazana jest poni\
ej. Liczba pierwiastków wielomianu M(s)
znajdująca się w prawej półpłaszczyz
nie jest równa liczbie zmian znaków lewej kolumny
tablicy, przesuwając się z góry na dół.
W tym przykładzie są dwie zmiany znaków w lewej kolumnie co oznacza, \
e wielomian M(s)
ma dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyz
nie.
Tablica Routha  przypadki szczególne
Zero w pierwszej kolumnie tablicy Routha
W pierwszym przypadku, jeśli zero pojawia się w pierwszym elemencie wiersza, wówczas
wszystkie elementy w następnym wierszu mają wartości równe nieskończoności i dalsze
wypełnianie tablicy nie jest mo\
liwe. Aby poradzić sobie z tą sytuacją zastępuje się pierwszy
element w pierwszej kolumnie przez bardzo maÅ‚a liczbÄ™ dodatniÄ… µ i kontynuuje siÄ™
obliczanie pozostałych elementów. Przypadek ten zostanie zilustrowany przez następujący
przykład.
Rozwa\
my następujące równanie charakterystyczne układu liniowego
Nie wszystkie współczynniki mają ten sam znak, czyli na pewno występują pierwiastki
w prawej półpłaszczyz
nie. Sprawdz
my przy u\
yciu kryterium Routha ile pierwiastków
znajduje się w prawej półpłaszczyz
nie. Przy kompletowaniu tablicy Routha dwa pierwsze
wiersze
uzyskuje się bezpośrednio ze współczynników wielomianu. Brakujące współczynniki
uzupełnia się zerami.
Współczynniki drugiego wiersza mo\
na podzielić przez 3, co pozwoli na uproszczenie
obliczeń.
Tablica ta nie mo\
e być dalej kompletowana w zwykły sposób, poniewa\
nie mo\
na dzielić
przez zero. W pierwszej kolumnie pojawiło się zero, przy czym nie cały wiersz jest zerowy.
Sytuacja z zerem w pierwszej kolumnie rozwiązywana jest w ten sposób, \
e zamiast zera
wprowadza siÄ™ bardzo maÅ‚Ä… liczbÄ™ dodatniÄ… µ. Dla powy\
szego wielomianu zastępując zero
w pierwszej kolumnie przez µ i po wyznaczeniu kolejnych elementów tablicy w zale\
ności od
µ otrzymuje siÄ™
Dla wszystkich wyra\
eÅ„ w pierwszej kolumnie zawierajÄ…cych µ wyznacza siÄ™ granicÄ™ µ 0,
przy zało\
eniu dodatniej wartoÅ›ci µ, na przykÅ‚ad dla
Uzyskane znaki elementów pierwszej kolumny tablicy Routha
W tym przypadku są trzy zmiany znaku w pierwszej kolumnie, więc badany wielomian ma
trzy pierwiastki w prawej półpłaszczyz
nie.
Zerowy wiersz w tablicy Routha
- świadczy o jednym z 3 przypadków
1.Równanie ma przynajmniej jedną parę pierwiastków o przeciwnych znakach
2. Równanie ma jedną lub więcej par pierwiastków sprzę\
onych na osi urojonych
3 Równanie ma pary pierwiastków tworzących symetrie wokół początku układu
W sytuacji gdy pojawia się cały wiersz zerowy w tablicy Routha, tworzy się równanie
pomocnicze p(s) = 0, które formuje się ze współczynników wiersza znajdującego się powy\
ej
wiersza zerowego w tablicy Routha. Rozwiązując równanie pomocnicze otrzymuje się
równie\
pierwiastki równania oryginalnego. Aby dalej wypełniać tablicę Routha wykonuje się
następujące kroki:
1. Tworzy się równanie pomocnicze p(s) = 0 przez u\
ycie współczynników z wiersza
znajdujÄ…cego siÄ™ powy\
ej wiersza zerowego.
2. Wyznacza się pochodną równania pomocniczego względem s;
3. Zastępuje się wiersz zerowy współczynnikami wielomianu
4. Kontynuuje się wypełnianie tablicy Routha z u\
yciem nowo utworzonego wiersza
współczynnikami zastępującymi wiersz zerowy.
5. Interpretuje się zmianę znaków współczynników w pierwszej kolumnie tablicy Routha
w zwykły sposób.
Przykład
Rozwa\
my następujące równanie charakterystyczne układu liniowego
z badania współczynników widać, \
e w wielomianie występują pierwiastki z prawej
półpłaszczyzny.Tablica Routha zaczyna się następująco:
współczynniki wiersza s4 mo\
na podzielić przez 4:
Pojawił się wiersz zerowy. Wprowadzamy równanie pomocnicze ze współczynników
znajdujÄ…cych siÄ™ nad wierszem zerowym w wierszu s4
Ró\
niczkując wielomian p(s) względem s otrzymuje się
Otrzymanymi współczynnikami 4 oraz 2 zastępujemy wiersz zerowy.
Współczynniki równania dp(s)/ds.
Współczynniki uzyskanego wiersza mo\
na podzielić przez 2. Pozostała część tablicy Routh
jest następująca
Wielomian pomocniczy jest czwartego rzędu, czyli w równaniu M(s) występują dwie pary
pierwiastków. Z badania pierwszej kolumny tablicy Routha uzyskanej dla równania M(s)
widać,\
e występuje jedna zmiana znaku, czyli jedna para pierwiastków jest o przeciwnych
znakach. Dwa pozostałe pierwiastki muszą znajdować się na osi urojonej . Z analizy tablicy
Routha dla tego przykładowego wielomianu wyznaczyliśmy następujące typy pierwiastków:
Lewa półpłaszczyzna LP = 3
Prawa półpłaszczyzna PP = 1
OÅ› urojona IA = 2
Układ ze strojonym parametrem
równanie charakterystyczne:
Tablica Routha dla równania
Na podstawie powy\
szej tablicy uzyskuje się dwa warunki stabilności: z wiersza s2 ,
otrzymanym warunkiem stabilności jest 34 - K > 0, z wiersza s1 warunek
(-K2 + 612)/(34-K) > 0, natomiast dla s0 warunek K > 0.
Z rozwa\
enia tych dwóch warunków otrzymany zakres stabilności dla parametru K
0 < K < 24.739