MARCIN SZMIDT
ROBERT SZUL
ANALIZA PZEŻYWALNOŚCI JAKO
NARZ
DZIE BADANIA EKONOMICZNEGO
PRACA ZALICZENIOWA Z PRZEDMOTU
EKONOMETRIA II
WST
P
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie możliwości analizy przeżywalności, zwanej
też analizą długości trwania, jako narzędzia do badań ekonomicznych.
Część pierwszą stanowi streszczenie artykułu  The duration of fixed exchange rate
regimes autorstwa S�bastien W�lti. Jest to przykład wykorzystania analizy przeżywalności
do badania determinantów wpływających na długość utrzymywania stałych kursów
walutowych
Druga część pracy to przedstawienie własnego przykładu zastosowania analizy
przeżywalności w analizie ekonomicznej. Możliwości te zostaną pokazane podczas badania
czynników, jakie wpływają na decyzję o zmianie Otwartego Funduszu Emerytalnego.
Konkretniej zostaną przebadane czynniki wpływające na długość trwania kryzysu, pod
względem ruchu klientów między danym OFE a konkurencją. Będziemy więc starali się
odpowiedzieć na pytanie, że jeżeli do kwartału t więcej osób odeszło do konkurencji to jakie
jest prawdopodobieństwo, że w okresie t +1 to badany fundusz przyciągnie więcej klientów z
konkurencji a nie odwrotnie. Jednostkami obserwowanymi będą tu wszystkie pary funduszy.
- 2 -
1. Artykuł The duration of fixed exchange rate regimes
Tematem artykułu jest długość utrzymywania stałych kursów walutowych w
poszczególnych krajach. Fala kryzysów walutowych i fiskalnych pokazała, że problem
przejścia z kursu stałego do płynnego jest ważnym problemem. Badanie natury przejścia, jego
makroekonomicznych, finansowych i instytucjonalnych determinantem stało się tematem
wielu prac. Jednym ze sposobów analizy zjawiska jest badanie prawdopodobieństwa wyjścia
ze stanu stałego kursu i jego determinantów. Typowym podejściem są tu modele probitowe i
logitowe. Niektóre badania pokazały że istotnym czynnikiem wpływającym na owe
prawdopodobieństwo jest czas utrzymywania kursu stałego.
Skłoniło to autorów do zaproponowania jako skutecznego narzędzia analizy
przeżywalności. Metoda ta oznacza operowanie na prawdopodobieństwie warunkowym.
Tłumaczymy tutaj prawdopodobieństwo tego, że wyjdziemy ze stanu sztywnego kursu
walutowego w okresie t+1, jeżeli wiemy że w okresie t kurs taki był utrzymywany. Metoda
taka pozwala na nie monotoniczny wpływ czasu trwania na prawdopodobieństwo wyjścia ze
stanu kursu stałego, co pokazywały wcześniejsze badania. Metoda ta pozwala też na
eliminacje problemu ocenzurowania danych, z którym to modele probitowe i logitowe nie
radzą sobie najlepiej.
1.1 Metodologia badania
Została zdefiniowana nieujemna zmienna losowa T, jako czas trwania stanu kursów
stałych. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo, że czas trwania będzie krótszy niż t jako
F(t)=Pr(Twykorzystuje ogon rozkładu zmiennej T, nazywany funkcją przeżycia, którą oznaczono jako
S(t)=1-F(t).
Zdefiniowano funkcję hazardu, która mówi o prawdopodobieństwie, że status zakończy
się w czasie T=t, jeżeli dożył czasu t. Ścisły zapis wygląda następująco:
Pr(t < T < t + dt | T e" t) f (t)
(t) = =
lim
dt S(t)
dt0
Istnieją różne podejścia do estymacji funkcji hazardu. Jednym z nich jest estymator
Kaplana-Meiera. Jest to podejście nieparametryczne. Wprowadzano oznaczenia T* jako czas
trwania bez ocenzurowania, C jako czas ocenzurowania. Zmienną T można było, zatem
zapisać jako T=min(T*,C). Oznaczono dodatkowo n jako liczbę obserwacji, a k jako liczbę
obserwacji, których status się zakończył w trakcie obserwacji. Zdefiniowano � jaklo zmienną
przyjmującą wartość 1 gdy zmienna została ocenzurowana. Można uporządkować zmienne 
długości trwania statusu dla poszczególnych obserwacji od najmniejszej do największej: t1< t2
di, oraz liczbę obserwacji ocenzurowanych w okresie pomiędzy ti a ti+1 jako mi. Próbkę na
ryzyku czyli obserwację które mogą się zakończyć r okresie Ti zdefiniowano w sposób
następujący:
k
ni = + d )
"(m j j
j>i
Jest to po prostu liczba obserwacji, których status nie zakończył się do momentu ti. Możliwe
jest zdefiniowanie estymatora funkcji hazardu Kaplana Meiera:
di
Ć
(ti ) =
ni
- 3 -
Jest to więc liczba obserwacji ocenzurowanych lub kończących swój status w momencie ti
podzielona przez liczbę obserwacji, których status nie zakończył się przed okresem ti.
Innym sposobem estymacji funkcji hazardu jest estymacja metodą parametryczną. Metoda
ta wymaga zdefiniowania klasy rozkładu zmiennej losowej T. Estymacja polega na
wyznaczeniu parametrów rozkładu, oznaczmy je jako wektor Ł. Należy funkcję największej
wiarogodności W przypadku, gdy zmienna zakończyła swój status w momencie t można użyć
funkcji gęstości f(t, Ł). Jeżeli zmienna została ocenzurowana w momencie t, możliwe jest
jedynie stwierdzenie że czas trwania statusu był nie mniejszy niż t, a więc można użyć funkcji
przeżycia S(t, Ł). Tak więc logarytm funkcji wiarogodności wyraża się następująco:
n n
ln L *(� ) = �i )ln f (ti ,� ) + ln S(ti ,� )
"(1- "�i
i=1 i=1
Oba podejścia nie uwzględniają wpływu na czas trwania statusu (w artykule czas
utrzymywania stałych kursów walutowych) zmiennych egzogenicznych. Podejściem, które to
wykorzystuje jest estymator proporcjonalnego hazardu Coxa.
W metodzie proporcjonalnego hazardu Coxa wykorzystana jest funkcja hazardu. Mówi
ona jakie jest prawdopodobieństwo że w najbliższym czasie od okresu t (ściśle w okresie
gdzie d->") zakończy się określony status, jeżeli wiemy że status nie zakończył się
do czasu t. Można to nazwać intensywnością wymierania statusu. Matematyczny zapis tej
funkcji jest następujący:
(t)=Pr(td"T0
Metoda proporcjonalnego hazardu pozwala na estymowanie wpływu zmiennych
egzogenicznych na funkcję hazardu. Jak sama nazwa wskazuje metoda ta zakłada
proporcjonalny wpływ regresorów na funkcję hazardu. Jej zapis matematyczny jest
następujący:
(t,x,�, 0)= 0(t)*f(x,�)
We wzorze tym 0(t) oznacza bazową funkcję hazardu, funkcje dla f(x,�)=1. Najczęściej
przyjmuje się ograniczenie na funkcję takie, że f(x,�)=1 dla wartości średniej regresorów x.
Standardowo jako funkcję f przyjmuje się f(x,�)=exp(x �). Tak też jest w naszym modelu.
Taka specyfikacja warunkowej funkcji hazardu pozwala ominąć problem specyfikacji
postaci bazowej funkcji hazardu 0(t). Estymowana jest nie bezpośrednio funkcja hazardu, ale
jej postać warunkową. Estymujemy prawdopodobieństwo, że status zakończył się w okresie
pod warunkiem że każdy statusów jeszcze trwających mógł się zakończyć w tym
okresie. Prawdopodobieństwo to ma następującą postać:
(t , x (t), � ,0 ) 0 (t ) " f (x (t), � ) f (x (t), � )
j j j j j
= =
n n n
, xi (t), � ,0 ) 0 (t ) f (xi (t), � ) f (xi (t), � )
"(t j j " "
i= j i= j i= j
W liczniku mamy więc funkcję hazardu dla statusu kończącego się w okresie t, a w
mianowniku sumę funkcji hazardu statusów jeszcze trwających. Powyższa specyfikacja
oznacza model ze zmiennymi parametrami w czasie (czyli zapisujemy x(t)). Stosuje się go
wtedy gdy znamy wartości regresorów nie tylko w okresie zakończenia statusu, ale w każdym
z okresów wcześniejszych. Z powyższego wzoru łatwo wyprowadzić wzór na funkcję
wiarogodności:
n n
ln L(� ) = f (xj , � ) - ln f (xi, � )]
"[ln "
j=1 i= j
Należy jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jaka jest interpretacja parametru � w tym
modelu. Ponieważ funkcja hazardu jest nie zależy od wartości x wiemy, że pochodną
proporcjonalnej funkcji hazardu Coxa to po prostu pochodna funkcji f(x,�) po x. Ponieważ
f(x,�)=exp(x �) to pochodna ta to po prostu nasz parametr �. Tak więc � to proporcjonalny
- 4 -
wpływ x a na prawdopodobieństwo wyjścia ze statusu. Zapiszmy to rozumowanie językiem
matematyki:
" ln (t, x, �,0 ) " ln f (x, � )
=
"x "x
mamy : f (x, � ) = exp(x'� )
" ln (t, x, �,0 ) " ln f (x, � )
czyli : = = �
"x "x
1.2 Wyniki Badania
Dane użyte w artykule pochodzą z 58 krajów z okresu od Stycznia 1974 do Grudnia 2001.
Mają one częstotliwość miesięczną. Do większości badań empirycznych używano danych
zawartych w rocznym raporcie Międzynarodowego Funduszu Walutowego. Należy jednak
pamiętać, że kraje nie zawsze postępują tak jak to deklarowały. Kraje deklarujące kursy
płynne często interweniowały w celu utrzymania stabilności waluty, zaś waluty krajów o
nominalnie stałych kursach często były dewaluowane. W 2002 podjęta została próba
stworzenia miesięcznych klasyfikacji kategorii kursów walutowych wszystkich członków
MFW od 1990 roku nie tylko na podstawie deklaracji, ale również obserwacji działań na
rynkach walutowych. W tym samym roku stworzony został również indeks rocznych
elastyczności kursów walutowych, pogrupowanych w kategorie. Od tego okresu powstało
wiele prac klasyfikujące kursy walutowe nie na podstawie deklaracji władz monetarnych, ale
rzeczywistych działań władz monetarnych. Informacje te zostały wykorzystane do
zdefiniowania statusu badanego za pomocą analizy przeżywalności. Za początek czasu
trwania reżimu kursów stałych autor artykułu przyjął pierwszy miesiąc, w którym
klasyfikacja wskazuje jakikolwiek z typów kursów stałych. Jako  wyjście autor przyjął
zmianę formy kursu walutowego z kursu stałego na jedna z trzech kategorii: kurs płynny
kierowany,  free floating i  free falling . Zastosowany w artykule model proporcjonalnego
hazardu dopuszcza stosowanie zmiennych objaśniających zmiennych w czasie. Zastosowano
następujące zmienne
" Zmienne makroekonomiczne:
o Inflacja
o Wzrost gospodarczy
o Stopień otwarcia gospodarki
o Saldo na rachunku obrotów bierzących
o Deficyt budżetowy
o Bezrobocie
o Realny kurs walutowy
o Zero-jedynkowe zmienne dotyczące kryzysów bankowych
" Zmienne finansowe
o Stopa wzrostu rezerw walutowych
o Poziom rozwoju finansowego
" Zmienne instytucjonalne
o Poziom niezależności banku centralnego
o Jakoś instytucji
o Zmienne zero-jedynkowe na temat istnienia kontroli kapitału
Ponieważ dane na temat systemów kursów walutowych były miesięczne, również
zmienne objaśniające powinny mieć taką samą częstość. Nie udało się tego osiągnąć dla
wszystkich zmiennych. W przypadku, gdy dane nie były dostępne dla danego miesiąca w
- 5 -
modelu została użyta wartość zmiennej z poprzedniego roku, w którym dana osiągalna była
dla tego miesiąca.
Pierwszym etapem analizy jest analiza statystyk opisowych. Średni nieprzerwanego
utrzymywania stałych kursów walutowych wynosi 140 miesięcy. Dla krajów rozwiniętych
111 a dla rozwijających się 188. Okres ten może być bardzo długi. 14 krajów utrzymywało
stały kurs przez cały okres badania czyli 336 miesięcy. Najkrótszy czas utrzymywania tego
statusu wynosił 3 miesiące.
Analiza funkcji hazardu wyestymowanego omawianym estymatorem Kaplana-Meiera,
pokazała że prawdopodobieństwo zakończenia statusu nie jest funkcją monotoniczną czasu
trwania statusu. Obserwujemy na początku przyrost prawdopodobieństwa w okresie do 250
miesiąca a następnie jego spadek aż do okresu 360 miesiąca. Następnie funkcja znów rośnie.
Pokazuje to, że utrzymanie stałego kursu wymaga uzyskania wiarygodności na rynku
finansowym, co nie jest początkowo łatwe. Autorzy poruszają tu hipotezę  Bipolar hypothesis
of exchange rate:, która mówi, że przy dużej zależności rynków finansowych nie da się
utrzymać stałych kursów i one się w końcu załamią. Oznaczałoby to niemalejącą funkcję
hazardu  prawdopodobieństwo wyjścia ze stałych kursów nie może spadać. Wykresy nie
potwierdzają tej hipotezy.
Dalszą analizę funkcji hazardu przeprowadzono, tym razem w dwóch próbach: dla krajów
rozwijających się, oraz krajów rozwiniętych. Pokazała ona, że funkcje te różnią się.
Prawdopodobieństwo że kraj wyjdzie z okresu stałych kursów jest mniejsze dla krajów
rozwiniętych. Prawdopodobieństwo to jest również bardziej stabilne w obu tej grupie. W obu
tych grupach zachowana jest opisywana tendencja dla całej próbki (a wiec początkowego
wzrostu, okresu spadku i znów wzrostu badanego prawdopodobieństwa), jest ona jednak dużo
łagodniejsza w krajach rozwiniętych. Ta różnica pokazuje potrzebę przebadania wpływów
różnych czynników na to prawdopodobieństwo.
Ostatnim elementem artykułu jest budowa proporcjonalnego modelu Coxa. Zbudowano
sześć modeli, każdy zawierał inną zmienną opisującą sytuację instytucjonalną w kraju.
Współczynniki  stopnia otwarcia kraju i bilansu handlowego są zawsze istotne i zawsze
ujemne  im większa wymiana handlowa z sąsiadami tym mniejsze prawdopodobieństwo
naruszenia równowagi Współczynnik przy inflacji jest zawsze pozytywny i prawie zawsze
istotny -nieistotny jedynie, gdy dodamy zmienną o niezależności banku centralnego. Można
to tłumaczyć tym, że mniejsza niezależność banku oznacza trudności w utrzymaniu stałego
kursu. Większa inflacja na ogół powiązana jest z mniejszą niezależnością banku centralnego
Wzrost GDP był w większości modeli nieistotny  jeżeli był istotny to zmniejsza
prawdopodobieństwo wyjścia ze stanu stałych kursów Bezrobocie zwykle okazywało się
istotne, zmniejszało ono prawdopodobieństwo wyjścia ze stałych kursów. Autorzy artykułu
spodziewali się czegoś innego i nie potrafili wyjaśnić tego wyniku. Nieistotna okazała się
zależność kapitału, występowanie kryzysów bankowych, stopień rozwoju finansowego i
zachowanie się stopy procentowej. To, czy kraj należy do grupy rozwijającej się, jest istotne
tylko przy p-value 10% i zwiększa prawdopodobieństwo wyjścia z systemu stałego kursu, co
pokazywały wcześniejsze analizy funkcji hazardu pomiędzy grupą krajów rozwiniętych i
rozwijających się.
- 6 -
2. MODEL EKONOMETRYCZNY.
2.1 Badane zagadnienie
Jednym z założeń reformy emerytalnej z 1999 roku było zwiększenie bezpieczeństwa
systemu emerytalnego poprzez zapewnienie wypłaty świadczeń, z co najmniej dwóch z
ródeł.
Obok Zakładu Ubezpieczeń Społecznych działa tzw. II filar, czyli Otwarte Fundusze
Emerytalne działających na zasadzie wolnej konkurencji. O ile pracownik nie ma wpływu na
to, co dzieje się z jego składką w ZUSie, o tyle ma prawo sam wybrać jedno z kilku (15 w
2006 r.) funduszy emerytalnych, który będzie inwestował jego składki emerytalne. Wolna
konkurencja pośród OFE miała zapewnić bardziej efektywne działanie OFE, które powinny
starać działać się jak najbardziej efektywnie, aby mieś szansę przyciągnięcia nowych
klientów.
Dodatkowo każdy członek OFE ma prawo zmienić fundusz na inny, co oznacza nie
tylko gromadzenie składek w nowym funduszu, ale także transfer zgromadzonych już
funduszy do nowego OFE. Transfery takie dokonywane są raz na kwartał. W przypadku, gdy
od podpisaniu umowy z OFE minęły 2 lata przenoszący swoje środki nie ponosi żadnych
kosztów.
Rozwiązanie to powinno wymuszać konkurencję pomiędzy OFE. Powstaje jednak
pytanie na ile racjonalne jest działanie klientów, a więc, czy OFE ma wpływ na podejmowane
przez członków systemu emerytalnego działanie. W niniejszej pracy zbadamy, jakie czynniki
wpływają na rezygnację członków z usług danego OFE.
2.2 Dane
Dane pochodzą z publikacji i raportów publikowanej przez Komisję nadzoru
Ubezpieczeń i Funduszy Emerytalnych na swojej stronie internetowej1. Badanie zostało
ograniczone do 16 funduszy, które działają nieprzerwanie od początku reformy emerytalnej2.
Dane mają charakter panelowy. Pochodzą z lat 2001-2004 i mają częstotliwość kwartalnych.
Jednostką obserwowaną jest tu każda para funduszy, między którymi obserwujemy ruch
członków. Mamy więc 120 obserwacji3.
Pośrednio zmienną objaśniana w modelu jest tu ruch netto członków między jednym
funduszem a drugim. Jednak bezpośrednio wyjaśniamy jak długo ruch członków jest tu
ujemny, a więc jak długo fundusz konkurencyjny ( do ) jest bardziej atrakcyjny od badanego
( od). Nasze badanie polega na analizie ruchu członków między OFE i każdym jego
konkurentem z osobna. Tak więc stawiamy się w roli menedżera OFE i porównujemy naszą
skuteczność w przeciąganiu członków między naszym funduszem a każdym z konkurentów z
osobna. Zmienne objaśniające w modelu to cechy zarówno funduszu z
ródłowego jak i
docelowego:
a) Zwrot z kapitału należącego do członków OFE wypracowany poprzez inwestycje
funduszu. Mówi nam to o efektywności działań inwestycyjnych OFE. Zysk ten jest podawany
co kwartał, należy jednak pamiętać, że fundusze nastawione są na zyski długoterminowe, a
1
www.knuife.gov.pl
2
Niektóre fundusze zmieniały właścicieli, nazwy, przejmowały inne fundusze. W badaniu traktowane są one
jako jeden nieprzerwanie działający podmiot
3
Mamy 16 funduszy a więc 240=16*15 możliwych par. Jednak kolejność w parze nie ma znaczenia więc
pozostaje 120 par.
- 7 -
więc w początkowym okresie (a z takim mamy tu do czynienia), mogą być one niższe. Jednak
klienci często patrzący na aktualne wyniki. Postać zmiennych w modelu:
o od_zwrot_wzglednylag  względny stosunek wypracowanego przez z
ródłowy/badany
OFE zysku w kwartale (T-1) w stosunku do średniego zwrotu w okresie (t-1)
(wyrażony w procentach)
o do_zwrot_wzglednylag  jak wyżej ale w funduszu konkurencyjnym
o od_zwrot_wzglednylag2  zwrot funduszu z
ródłowego liczony jak wyżej ale w okresie
(t-2)
o do_zwrot_wzglednylag2 - jak wyżej ale w funduszu konkurencyjnym
b) Wzrost liczby członków w danym funduszu  mamy tu sumę napływu nowych
członków oraz ruchu netto osób zmieniających fundusz. Zmienna ta mówi o atrakcyjności
danego funduszu  jeżeli mamy duży przyrost liczby członków to oznacza że czymś on
przyciąga nowych członków. Postać zmiennych w modelu:
" od_u_d_czlonkowlag  stosunek wzrostu liczy członków (czyli członkowie nowi oraz
ci którzy zmienili fundusz) do łącznego przyrostu w okresie w OFE z
ródłowym 
wszystko w okresie (t-1)
" do_u_d_czlonkowlag - jak wyżej, ale w funduszu konkurencyjnym
" od_u_d_czlonkowlag2  jak wyżej, ale w z
ródłowym w okresie (t-2)
" do_u_d_czlonkowlag2 - jak wyżej, ale w funduszu konkurencyjnym
c) Aktywa funduszu  klienci mogą chętniej wybierać fundusze bogatsze, co może być
uznawane albo za gwarancje bezpieczeństwa, albo za wyraz skuteczności działania
funduszu. Postać zmiennych w modelu:
o od_u_aktywamilag  udział w procentach wielkości aktywów OFE z
ródłowego w
łącznej sumie aktywów funduszy w okresie (t-1)
o do_u_aktywamilag - jak wyżej, ale w funduszu konkurencyjnym
d) Wydatki na reklamę funduszu  siła promocji funduszu. Postać zmiennych w modelu:
" od_u_reklamylag  udział w procentach wydatków na reklamę OFE z
ródłowego w
łącznej sumie wydatków na reklame wszystkich OFE w okresie (t-1)
" do_u_reklamylag - jak wyżej ,ale w funduszu konkurencyjnym
" od_u_reklamylag2 -udział reklamy z
ródłowego OFE liczony jak wyżej ale w okresie
(t-2)
" do_u_reklamylag2 - jak wyżej ale w funduszu konkurencyjnym
e) Liczba członków funduszu  podobnie jak aktywa pokazuje wielkość funduszu
o od_u_czlonkamilag  procent udziału liczby członków w danym OFE w stosunku do
łącznej liczby członków wszystkich OFE w okresie t(-1)
o do_u_czlonkamilag - jak wyżej ale w funduszu konkurencyjnym
2.3 Wyniki Badania:
Model o podanej specyfikacji,takiej, jaka podana jest w streszczeniu artykułu w
pierwszej części niniejszej pracy, oszacowaliśmy używając algorytmu  stepwise a więc
usuwając po kolei zmienne o najniższej wartości bezwzględnej statystyki z. Otrzymaliśmy
wyniki:
- 8 -
p = 0.9822 >= 0.1000 removing do_u_aktywamilag
p = 0.9384 >= 0.1000 removing do_zwrot_wzglednylag
p = 0.7226 >= 0.1000 removing od_u_d_czlonkowlag2
p = 0.6224 >= 0.1000 removing od_zwrot_wzglednylag2
p = 0.6145 >= 0.1000 removing od_u_aktywamilag
p = 0.4293 >= 0.1000 removing od_u_reklamylag2
p = 0.3511 >= 0.1000 removing do_u_d_czlonkowlag
p = 0.2514 >= 0.1000 removing do_u_reklamylag
p = 0.1448 >= 0.1000 removing od_u_reklamylag
p = 0.2449 >= 0.1000 removing od_u_czlonkamilag
p = 0.1325 >= 0.1000 removing od_u_d_czlonkowlag
p = 0.2128 >= 0.1000 removing od_zwrot_wzglednylag
Cox regression -- Breslow method for ties
No. of subjects = 130 Number of obs = 678
No. of failures = 86
Time at risk = 678
LR chi2(4) = 35.40
Log likelihood = -357.76764 Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
_t | Haz. Ratio Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
do_u_rekla~2 | .93723 .0234938 -2.59 0.010 .8922958 .984427
do_u_d_czl~2 | .9739757 .0113767 -2.26 0.024 .9519311 .9965307
do_u_czlon~g | 1.066718 .0266245 2.59 0.010 1.015791 1.120199
do_zwrot_w~2 | .9834908 .0049105 -3.33 0.001 .9739134 .9931624
------------------------------------------------------------------------------
Jak więc widzimy okazało się że istotne są tylko parametry funduszu konkurencyjnego.
Należy pamiętać, iż zmienną istotną jest tu też czas trwania statusu. Powyższe wyniki to
współczynniki hazardu dla naszego badanego prawdopodobieństwa. Liczbowa interpretacja
tych zmiennych to:
" wzrost udziału funduszu konkurencyjnego w wydatkach na reklamę o jeden punkt
procentowy dwa kwartały wcześniej oznacza zmniejszenie p-twa zakończenia kryzysu
o 6,3%.
" wzrost udziału funduszu konkurencyjnego w przejmowaniu nowych członków o jeden
punkt procentowy oznacza zmniejszenie p-twa zakończenia kryzysu o 2,6%
" wzrost zwrotu z inwestycji funduszu konkurencyjnego dwa kwartały wcześniej o
jeden punkt procentowy w odniesieniu do średniej stopy zwrotu oznacza zmniejszenie
p-twa zakończenia kryzysu o 1.7%
" Wzrost udziału funduszu konkurencyjnego liczony liczbą członków o jeden punkt
procentowy oznacza wzrost prawdopodobieństwa zakończenia okresu kryzysu o
6,6718 %.
Zaskakujący jest tu ten ostatni wynik. Wynika z niego, że jeżeli nasz konkurent rośnie pod
względem liczby członków, oraz dotychczas przyciągał on więcej naszych członków niż my
jego, to wzrasta prawdopodobieństwa odwrócenia tej niekorzystnej dla nas tendencji. Trudno
jest nam to wytłumaczyć. Może wynikać to z pominięcia jakichś zmiennych, a co za tym
idzie estymator ten może być obciążony.
Przetestujmy założenie proporcjonalności wpływu regresorów na funkcję hazardu.
- 9 -
Time: Rank(t)
----------------------------------------------------------------
| rho chi2 df Prob>chi2
------------+---------------------------------------------------
do_u_rekla~2| -0.09114 0.74 1 0.3888
do_u_d_czl~2| -0.10345 1.85 1 0.1733
do_zwrot_w~2| -0.19964 3.39 1 0.0654
do_u_czlon~g| 0.14716 1.92 1 0.1664
------------+---------------------------------------------------
global test | 7.72 4 0.1024
----------------------------------------------------------------
Widzimy, więc że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o proporcjonalności wpływu
regresorów zarówno na podstawie statystyki globalnej, jak i osobno dla każdego z
regresorów.
Na koniec możemy jeszcze odtworzyć bazową funkcję hazardu. Jest to wygładzona
funkcja hazardu, stworzona z wykorzystaniem estymatora jądrowego hazardu. Przedstawia
ona rozkład współczynnika hazardu w zależności od długości trwania statusu. Jest on
wyliczany dla obserwacji o wartościach średnich współczynników (u nas cech funduszy).
2.83733
-.318287
0 13
Gridpoint on the Analysis Time
Kernel function Epanechnikov
Widzimy, więc że początkowo ryzyko zakończenia okresu mniejszego napływu członków
do OFE niż odpływu początkowo rośnie gwałtownie, po około 5 kwartałach stabilizuje się, a
nawet momentami spada, a następnie od około 9 kwartału gwałtownie rośnie. Pokazuje to, że
jeżeli wejdziemy w kryzys to prawdopodopodobieństwo pozostania w nim jest coraz
mniejsze. Najłatwiej wyjść z kryzysu na jego początku. Gwałtowny skok po 9 kwartale
pokazuje, że kryzys nie trwa wiecznie.
Na początku naszej pracy napisaliśmy, iż naszym celem jest sprawdzenie przydatności
analizy przeżywalności do badań ekonomicznych. Na podstawie powyższego modelu
jesteśmy w stanie przeprowadzić analizę prawdopodobieństwo tego, że dany fundusz zacznie
znowu dominować nad konkurencyjnym funduszem. Spróbujmy wykorzystać to
prawdopodobieństwo do estymacji już nominalnej wielkości przepływów netto między
funduszami.
- 10 -
Smoothed Baseline Hazard
Na podstawie naszego modelu wyliczymy teoretyczne wartości funkcji hazardu.
Następnie porównamy trzy modele: badanie panelowe bez uwzględnienia badanego przez
nasz powyżej statusu, z uwzględnieniem długości trwania statusu oraz uwzględniający
zarówno długość trwania zbudowanego przez nas statusu jak i współczynnika hazardu, czyli
w przybliżeniu prawdopodobieństwa zakończenia statusu. Samo włączenie informacji o
statusie (czyli zmiennej mówiącej o długości trwania kryzysu w konkurencji o członków)
zwiększyło znacznie R2 takiego modelu. Dodanie informacji o wartości funkcji hazardu też
okazało się istotne, ale wzrost współczynnika dopasowania nie był już tak znaczny. Obie
informacje okazały się istotne. Pokazuje to poniższa tabela4:
z długością trwania
bez statusu z długością trwania
i funkcją hazardu
R2 within 0.1673 0.2806 0.3517
R2 between 0.3418 0.5130 0.5287
R2 overall 0.2316 0.3716 0.4213
Co prawda wzrost R2 po dodaniu współczynnika hazardu nie jest duży, ale widzimy że po
dodaniu go zmienia się gwałtownie wartość współczynnika przy długości trwania (z -103 do
40). Wynika to z tego iż dołączamy tu informacje nie tylko o długości trwania kryzysu w
badanym OFE ( od ) ale także informacje o prawdopodobieństwie jego zakończenia.
4
Wyniki tych estymacji w załączniku nr1
- 11 -
ZAKOC
CZENIE
Praca ta pokazała, iż narzędzie analizy przeżywalności jest przydatne w badaniach
ekonomicznych. Z jednej strony pozwala ono na mierzenie prawdopodobieństwa zakończenia
określonego statusu, z drugiej strony pozwala na badanie wpływu czynników na to
prawdopodobieństwo. Oczywiście podobne badanie można przeprowadzić za pomocą modelu
probitowego albo logitowego. Aby zbadać, jaki na te prawdopodobieństwo ma wpływ czas
trwania statusu, należałoby dodać zmienną określającą ową długość trwania statusu. Jednak
dodanie takiej zmiennej oznaczałoby, iż zakładamy stały, monotoniczny wpływ czasu trwania
na zakończenie statusu. Zarówno badanie przeprowadzone w artykule, jak i nasz model
pokazuje, że taki wpływ nie zawsze jest monotoniczny. Bez trudu można by znalez
ć w
ekonomii cechy, które początkowo trudno utrzymać a po pewnym czasie
prawdopodobieństwo porażki spada. Do takich kategorii należy używać modelu czasu
trwania. Dodatkowo pokazaliśmy, że analiza przeżywalności może być użyta do poprawienia
innego modelu  poprzez dodanie np. do modelu panelowego informacji o długości trwania
jakiegoś statusu i wartości funkcji hazardu.
- 12 -
Załącznik nr 1: Wyniki estymacji panelowej  wpływ dodania informacji o statusie
1.1 Model  bez statusu
Random-effects GLS regression Number of obs = 1530
Group variable (i): id Number of groups = 120
R-sq: within = 0.1673 Obs per group: min = 11
between = 0.3418 avg = 12.8
overall = 0.2316 max = 13
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(15) = 350.64
corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
ilu | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
od_u_d_czl~g | 11.75812 1.608589 7.31 0.000 8.605342 14.9109
od_u_d_czl~2 | 2.60835 1.54639 1.69 0.092 -.4225187 5.639219
od_u_aktyw~g | -3.571991 5.239749 -0.68 0.495 -13.84171 6.697729
od_u_rekla~g | 7.123983 2.431315 2.93 0.003 2.358694 11.88927
od_u_rekla~2 | 5.463885 2.367784 2.31 0.021 .823114 10.10466
od_u_czlon~g | -27.98751 7.74925 -3.61 0.000 -43.17576 -12.79926
od_zwrot_w~2 | 3.380115 .6662766 5.07 0.000 2.074237 4.685993
do_zwrot_w~g | 5.287759 1.437889 3.68 0.000 2.469547 8.10597
do_u_d_czl~g | -5.618179 .8964574 -6.27 0.000 -7.375203 -3.861155
do_u_d_czl~2 | -1.112357 .8532985 -1.30 0.192 -2.784792 .5600769
do_u_aktyw~g | -4.986598 7.544811 -0.66 0.509 -19.77416 9.80096
do_u_rekla~g | -2.918808 3.836065 -0.76 0.447 -10.43736 4.59974
do_u_rekla~2 | -13.05464 3.573545 -3.65 0.000 -20.05866 -6.050617
do_u_czlon~g | 35.09224 9.864557 3.56 0.000 15.75806 54.42641
do_zwrot_w~2 | -6.315601 1.291544 -4.89 0.000 -8.84698 -3.784222
_cons | -232.1316 123.8168 -1.87 0.061 -474.808 10.54493
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 276.68082
sigma_e | 544.6194
rho | .20514457 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
1.2 Model  z długością trwania
Random-effects GLS regression Number of obs = 1530
Group variable (i): id Number of groups = 120
R-sq: within = 0.2806 Obs per group: min = 11
between = 0.5130 avg = 12.8
overall = 0.3716 max = 13
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(17) = 678.78
corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
ilu | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
czas | -103.166 6.428089 -16.05 0.000 -115.7648 -90.56716
od_zwrot_w~g | 2.863048 1.019972 2.81 0.005 .8639401 4.862156
od_u_d_czl~g | 10.16841 1.485501 6.85 0.000 7.256878 13.07994
od_u_d_czl~2 | 1.801952 1.429758 1.26 0.208 -1.000322 4.604227
od_u_aktyw~g | -.8589938 4.841865 -0.18 0.859 -10.34888 8.630888
od_u_rekla~g | 7.557453 2.246965 3.36 0.001 3.153483 11.96142
od_u_rekla~2 | 5.256379 2.182745 2.41 0.016 .978278 9.534479
od_u_czlon~g | -30.00975 7.165853 -4.19 0.000 -44.05456 -15.96493
od_zwrot_w~2 | 1.424113 .8878151 1.60 0.109 -.3159725 3.164199
do_zwrot_w~g | 4.445484 1.331612 3.34 0.001 1.835572 7.055396
do_u_d_czl~g | -2.431521 .8491652 -2.86 0.004 -4.095855 -.7671883
- 13 -
do_u_d_czl~2 | 1.015104 .7970931 1.27 0.203 -.5471698 2.577378
do_u_aktyw~g | -3.033509 6.966933 -0.44 0.663 -16.68845 10.62143
do_u_rekla~g | -3.097114 3.536171 -0.88 0.381 -10.02788 3.833653
do_u_rekla~2 | -12.64965 3.292806 -3.84 0.000 -19.10343 -6.19587
do_u_czlon~g | 40.03009 9.123128 4.39 0.000 22.14909 57.9111
do_zwrot_w~2 | -7.443266 1.193031 -6.24 0.000 -9.781563 -5.104969
_cons | -7.08375 123.4309 -0.06 0.954 -249.0038 234.8363
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 262.37231
sigma_e | 508.96986
rho | .2099464 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
1.3 Model  z długością trwania i funkcją hazardu
Random-effects GLS regression Number of obs = 1530
Group variable (i): id Number of groups = 120
R-sq: within = 0.3517 Obs per group: min = 11
between = 0.5287 avg = 12.8
overall = 0.4213 max = 13
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(18) = 895.75
corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
ilu | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
czas | -40.10508 7.954441 -5.04 0.000 -55.6955 -24.51466
f_hazardu | 181.4103 14.53953 12.48 0.000 152.9134 209.9073
od_zwrot_w~g | 1.682364 .9738509 1.73 0.084 -.2263491 3.591076
od_u_d_czl~g | 9.462219 1.411904 6.70 0.000 6.694937 12.2295
od_u_d_czl~2 | 2.444825 1.358436 1.80 0.072 -.2176599 5.10731
od_u_aktyw~g | -3.185056 4.61011 -0.69 0.490 -12.2207 5.850593
od_u_rekla~g | 5.812106 2.145892 2.71 0.007 1.606234 10.01798
od_u_rekla~2 | 3.842 2.079263 1.85 0.065 -.2332797 7.91728
od_u_czlon~g | -24.67532 6.918495 -3.57 0.000 -38.23532 -11.11532
od_zwrot_w~2 | 1.501205 .8426291 1.78 0.075 -.1503174 3.152728
do_zwrot_w~g | 3.399077 1.272022 2.67 0.008 .9059605 5.892194
do_u_d_czl~g | -2.750615 .8074259 -3.41 0.001 -4.333141 -1.16809
do_u_d_czl~2 | 1.840538 .7597759 2.42 0.015 .3514046 3.329672
do_u_aktyw~g | -5.934414 6.6752 -0.89 0.374 -19.01757 7.148738
do_u_rekla~g | -2.477301 3.363105 -0.74 0.461 -9.068865 4.114263
do_u_rekla~2 | .9763474 3.309982 0.29 0.768 -5.511099 7.463794
do_u_czlon~g | 32.61187 8.780985 3.71 0.000 15.40145 49.82228
do_zwrot_w~2 | -3.880238 1.167225 -3.32 0.001 -6.167956 -1.592519
_cons | -208.0158 119.6932 -1.74 0.082 -442.6101 26.57857
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 265.35821
sigma_e | 484.33714
rho | .23087072 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
- 14 -