Elektrotechnika elektronika miernictwo
Franciszek Gołek ([e-mail])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 05 i 06
Filtry i układy RLC
Z poprzednich wykładów wiemy że:
indukcyjność i pojemność, w odróżnieniu od idealnej rezystancji, przyczyniają
się do powstawania różnicy faz między napięciem i prądem a ich impedancje
zależą od częstotliwości przebiegów elektrycznych:
XL = jÉL, XC = 1/jÉC.
Przypomnijmy nazwy:
Impedancja (oporność zespolona): Z = R + X,
R  rezystancja, X  reaktancja,
Dla szeregowo połączonych idealnych L i C - gdy pomijamy rezystancję cewki i
upływność kondensatora:
X = j(XL  XC) = j(ÉL  1/ÉC), Z = R + j(XL  XC),
Admitancja (przewodność zespolona): Y = 1/Z = G + jB
G  konduktancja, B  susceptancja.
Dla równolegle połączonych idealnych L i C - gdy pomijamy rezystancję cewki i
upływność kondensatora:
B = j(BC  BL) = j(ÉC  1/ÉL)
ìÅ‚Z ìÅ‚= "(R2 + X2), ìÅ‚Y ìÅ‚ = "(G2 + B2),
Z = ìÅ‚Z ìÅ‚ejarctg(R/X), Y = ìÅ‚Y ìÅ‚ejarctg(B/G)
Dla nie idealnych L i C, gdy znamy rezystancjÄ™
cewki RL i upływność kondensatora RC
to przy ich szeregowym połączeniu z rezystorem
R ImpedancjÄ™ wypadkowÄ…  zawadÄ™ zapiszemy
w postaci:
Z = R + RL + RC + j(ÉL  1/ÉC).
Natomiast przy ich równoległym połączeniu z
rezystorem o rezystancji R = 1/G
Admitancją wypadkową (zespoloną przewodność
całości) zapiszemy w postaci:
Y = 1/R + 1/RC + 1(RL + jÉL) + jÉC
W tym wykładzie pokażemy dalsze konsekwencje
obecności pojemności i indukcyjności w obwodach
elektrycznych.
Między innymi zbadamy jaki wpływ mają one na tzw.
pasmo przenoszenia oraz kształtowanie impulsów
elektrycznych.
Najprostszy dzielnik
napięcia zawierający
impedancję zależną
od częstotliwości
sygnału.
Pasmo częstotliwości
Pasmo częstotliwości jest ważną wielkością i podstawowym
pojęciem w systemach komunikacji. Pasmem częstotliwości dla
danego sygnału nazywamy zakres częstotliwości jaki obejmuje
spektrum tego sygnału.
FM  modulacja częstotliwości
Aby przesłać informację przy
pomocy fali nośnej
o czÄ™stotliwoÅ›ci Éo trzeba
ją zmodulować (zdeformować)
w takt informacji.
Taka modulacja oznacza
AM  modulacja amplitudy
zamianę sygnału nośnego
o jednej częstości
na sumÄ™ pewnego
spektrum sygnałów
obejmujÄ…cego pewne
pasmo.
Filtrem nazywamy urządzenie, które przepuszczając
(transmitując) sygnał wejściowy może zmieniać przy tym
jego spektralny rozkład energii.
Filtry dzielimy pod względem technologii wykonania:
a) Pasywne - są nimi dzielniki napięcia (lub prądu) z
elementami pasywnymi: R, C i L).
b) Aktywne (zawierają, oprócz elementów R, C i L,
tranzystory lub wzmacniacze operacyjne).
c) Cyfrowe, w których sygnał jest zamieniany na postać
cyfrową a następnie szeregi liczb są przetwarzane,
filtrowane i ponownie zamieniane na sygnał.
d) Inne np. kwarcowe.
Filtry mają za zadanie przenosić sygnały o interesujących nas
częstotliwościach i tłumić sygnały o częstotliwościach niepożądanych. Filtry,
poprzez zmianę składowych harmonicznych, modelują impulsy elektryczne.
Obrazkowa ilustracja działania filtru
Pasmo przenoszenia filtra
Jest to obszar częstotliwości o najlepszym przenoszeniu sygnału
zawarty między granicami pasma. Granice pasma przenoszenia
to takie częstotliwości fg1, fg2, przy których moc sygnału spada o
50%, przy których moduł współczynnika przenoszenia sygnału kU=
IUwy/UweI lub kI = IIwy/IweI jest "2 razy mniejszy od swej
maksymalnej wartości. W decybelach:
20log(1/"2) = -3 dB, czyli stosunek k(fg)/kmax wyrażony w
decybelach wynosi -3 dB. Ponieważ moc jest proporcjonalna do
kwadratu napięcia albo kwadratu natężenia prądu, P = U2/R = I2R
graniczne częstotliwości fg spełniają równość:
IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/"2
P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max = I2(fg)/I2max =1/2
Pasmo przenoszenia dowolnego układu
W zasadzie każdy układ, przez który następuje propagacja
jakiegokolwiek sygnału ma jakieś ograniczenia dotyczące
częstotliwości propagowanego sygnału.
KP(fg) = P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max = I2(fg)/I2max = 1/2
IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/"2
Filtry pasywne  jako dzielniki napięcia
zależne od częstotliwości. Często są to filtry RC i
stanowią bardzo ważne zastosowanie
kondensatorów. Obliczenia parametrów tych
dzielników w dziedzinie częstotliwości wymagają
stosowania uogólnionych praw Ohma i Kirchhoffa
czyli praw w zapisie zespolonym (tj. przy pomocy
liczb zespolonych i funkcji zespolonych).
Przy analizie filtrów warto też stosować
wykresy wskazowe bo mogą one stanowić
dogodną ilustrację relacji między sygnałem
wejściowym i wyjściowym danego filtra dla
wybranej częstotliwości.
Współczynnik przenoszenia kU i przesuniÄ™cie fazy Õ.
Rysunek przedstawia dzielnik napięcia złożony z zespolonych impedancji Z1 i
Z2, zasilany przez z
ródło o pomijalnie małej impedancji wewnętrznej Z0 ~ 0 &!.
Zatem Z0 ma pomijalny udział w podziale napięcia Thevenina. Ponadto dzielnik
jest nieobciążony, gdyż obciążenie Z3 ~ ". Aby obliczyć współczynnik
przenoszenia tego dzielnika, zwanego też czwórnikiem bo ma dwa zaciski
wejściowe i dwa zaciski wyjściowe  razem cztery, stosujemy taką logikę
postępowania jak przy zwykłych opornikach ale z użyciem liczb zespolonych.
Zespolony stosunek Uwy/Uwe= KU = kUeiÕ zawiera współczynnik przenoszenia kU
czyli stosunek wartości skutecznych lub amplitud - modułów napięcia
wyjściowego do napięcia wejściowego IUwyI/IUweI oraz względne przesunięcie
fazy Õ. NapiÄ™cie wyjÅ›ciowe to spadek napiÄ™cia na Z2: Uwy= U2 = I1 Z2. NapiÄ™cie
wejściowe to spadek na szeregowo połączonych Z1 i Z2 czyli Uwe= I1Z1+I1Z2.
kU = IUwyI/IUweI = IZ2I/IZ1+Z2I, Õ = arctg((Im(KU))/(Re(KU))).
Filtr dolnoprzepustowy, opis w dziedzinie częstotliwości.
Opis ten mówi jak, w funkcji częstotliwości, ma się stosunek amplitud napięcia
wyjÅ›ciowego do napiÄ™cia wejÅ›ciowego - kU oraz wzglÄ™dna różnica faz - Õ
sygnału wyjściowego względem wejściowego. Obie te wielkości mamy w
funkcji zespolonej przedstawiającej stosunek zespolonych wartości napięcia
wyjściowego do wejściowego. Zakładamy, że z
ródło sygnału ma zerową a
obciążenie nieskończoną oporność wewnętrzną.
Bardzo często podczas łączenia układów elektronicznych powstają
pasożytnicze układy całkujące - filtry dolno-przepustowe (lub różniczkujące,
czyli filtry górno-przepustowe). Zwykle składają się one z rezystancji wyjściowej
jednego układu i pojemności wejściowej następnego lub pojemności
przewodów łączących. Te pasożytnicze elementy mogą przyczyniać się do
zmniejszenia górnej częstotliwości granicznej danej aparatury oraz wpływać na
kształt i czas trwania impulsów.
Przypomnijmy, co pojawia się na nieobciążonym wyjściu dolnoprzepustowego
filtru RC gdy na jego wejściu wymuszamy
skok napięcia o wartości U0.
Dla skoku od 0 do U0: uwy(t) = U0(1 - e-t/RC)
Dla skoku od U0 do 0: uwy(t) = U0e-t/RC
Iloczyn RC zwany jest staÅ‚Ä… czasowÄ… Ä,
określa czas, po którym uwy(t)
zbliża się do swej
asymptotycznej wartości na  odległość
= 1/e wysokości skoku.
Ä = RC
Oszacujmy ile wynosi czas narastania impulsu prostokÄ…tnego
zdeformowanego filtrem dolnoprzepustowym. Czyli w jakim czasie
Uwy(t) wzrośnie od 10% do 90% swej wartości maksymalnej?
0.9 U0 = U0(1 - e-t/RC) -> t90%= -RCln0.1(U0 H" wartość maksymalna)
0.1 = 1 - e-t/RC -> t10%= -RCln0.9
tr = t90% - t10% = RC(ln0.9 - ln0.1) = RCln9 H" 2.2RC.
Pamiętając, że fg = 1/(2ĄRC) -> RC = 1/2Ąfg otrzymamy związek:
tr H" 2.2RC = 2.2/(2Ą fg). Zatem możemy napisać:
tr H" 1/(3fg).
Rysunek przedstawia odpowiedz
filtru dolnoprzepustowego na
ciąg impulsów prostokątnych o różnych częstotliwościach.
Filtr górno-przepustowy, opis w dziedzinie czasu.
Filtr pasmowo-przepustowy tłumi jednocześnie sygnały o
częstotliwościach niższych od fg. dolna oraz sygnały o częstotliwościach
wyższych od fg. górna. Przykładem takiego filtra może być kaskadowe połączenie
filtrów: górno i dolno przepustowego o odpowiednio dobranych
częstotliwościach granicznych. Przykład z identycznymi fg poniżej.
Zastosowanie filtrów
Filtry są stosowane do kształtowania charakterystyk
częstotliwościowych układów elektronicznych i do
kształtowania impulsów napięciowych. Wybierania jednych i
eliminowania innych sygnałów (zakłócających) np. tunery to
po prostu przestrajalne filtry pasmowe. W zasadzie każde
urządzenie elektroniczne zawiera filtry. Filtry górno-
przepustowe stosowane są często jako pojemnościowe
sprzężenie między układami elektronicznymi (np.
wzmacniaczami) celem zablokowania tzw. składowej stałej.
Sygnały w.cz. mogą nieoczekiwanie przeniknąć przez
pojemności wyłączników, albo zbliżonych do siebie
przewodów powodując wzajemne zakłócanie obwodów
elektronicznych.
Warto pamiętać, że filtry typu RC lub RL wykazują raczej
łagodne stromości charakterystyk. Natomiast bardziej złożone
filtry typu RLC (zawierające obwody rezonansowe o dużej
dobroci) mogą wykazywać bardzo duże stromości na brzegach
pasm!
Prosta zasada łączenia układów
(np. pojedynczych filtrów w filtry wielostopniowe) mówi, że jeżeli
obwód A steruje obwodem B (B obciąża obwód A) to warto
zadbać o to aby Rwy układu A < 0,1RWE układu B. Wtedy wpływ B 
układu obciążenia na A  układ sterujący będzie mało znaczący.
Układ A po obciążeniu go takim układem B działa z zaburzeniem
nie przekraczającym 10% (A wystawia na swoim wyjściu o 10%
napięcie niższe niż w przypadku braku obciążenia). W sytuacji
gdy takie 10%-we odchylenie możemy zaniedbać uzyskujemy
prosty sposób na projektowanie wielostopniowych układów. Po
prostu każdy podukład (stopień) projektujemy i obliczamy osobno
(obliczenia sÄ… proste).
Dla poprawienia efektu filtracji stosowane sÄ… bardziej
rozbudowane filtry, w tym filtry aktywne czy filtry cyfrowe.
Filtry aktywne powstają poprzez zastosowanie układów aktywnych
(tranzystorów, wzmacniaczy operacyjnych itp.) w obwodach
filtrujących RLC. Elementy aktywne (dzięki dużej impedancji
wejściowej i efektowi wzmacniania sygnału) pozwalają na
budowanie filtrów wielostopniowych o bardzo stromym przebiegu
charakterystyk na brzegach filtrowanych pasm.
Filtry cyfrowe to układy filtrujące i przetwarzające sygnały
dyskretne (cyfrowe).
Filtry cyfrowe są coraz częściej i szerzej stosowane w wielu
dziedzinach techniki bowiem każdy sygnał analogowy (prosty
jednowymiarowy jak i złożony wielowymiarowy, fotografia, film itp)
można zamieniać na sygnał cyfrowy odpowiednimi przetwornikami
analogowo-cyfrowymi.
(Skrót  DSP oznacza: digital signal processing)
http://www.intersil.com/data/AN/an9603.pdf
Rezonans
Obwody rezonansowe to szczególna grupa obwodów, które w
zasadzie możemy zaliczyć do filtrów. Zasługują one jednak na
odrębne potraktowanie co najmniej z dwu powodów:
1) Wykorzystywane są przy wymuszaniu oscylacji o ściśle
określonej częstotliwości fali nośnej stacji nadawczych
(emitujÄ…cych fale elektromagnetyczne).
2) Jako przestrajane obwody rezonansowe wykorzystywane sÄ… w
odbiornikach radio, TV itp. do wybierania pożądanych sygnałów
(tj. pożądanych stacji nadawczych).
Przykładowa krzywa rezonansowa
pokazana jest na rys. obok.
Widać tu reakcję o dużej amplitudzie
tylko dla pewnego zakresu częstości
w otoczeniu częstotliwości
rezonansowej fr Dla sygnałów
o bardziej oddalonych częstościach
reakcja jest znikoma.
Rezonans szeregowo połączonych
elementów R, L i C.
Indukcyjność L i pojemność C są tu konieczne
natomiast rezystancja R zwykle pojawia siÄ™
jako oporność wewnętrzna z
ródła wymuszania i
jako rezystancja przewodu, który stanowi
uzwojenia solenoidu stanowiÄ…cego
indukcyjność L. Czasem należy uwzględnić
nawet rezystancję połączeń elementów ze
sobÄ….
Zawadą (impedancją) szeregowego układu
rezonansowego RLC jest
Z = R + XL + XC = R + j(ÉL  1/ÉC)
Rezonans wystÄ…pi dla pulsacji É = É0, przy
której Z = R i (É0L  1/É0C) = 0.
Dla rezonansu zawada Z = R ma najmniejszÄ…
wartość co skutkuje największym prądem:
I = UT/(ZT + Z) H" UT/R  gdy ZT jest do
zaniedbania. Poza rezonansem, dla É > É0 lub
É = É0, moduÅ‚ Z ma wartość wiÄ™kszÄ… co
zmniejsza prąd I a UC i UL mają różne moduły.
Czasem mówi się, że rezonans szeregowo
połączonych elementów R, L i C jest
rezonansem napięć.
A
atwo to zrozumieć gdy w rezonansie
Impedancje XL = XC >> R. Wówczas spadki
napięcia na Indukcyjności i pojemności są
wielokrotnie większe od napięcia
wymuszającego, równego spadkowi napięcia
na R.
Dla zadanych wartości L i C pulsacja
rezonansowa spełnia równość:
É0L = 1/É0C, É0 = 1/"(LC) a wartość
częstotliwości rezonansowej wynosi:
Z czego wynika, że chcąc dostroić obwód
rezonansowy do częstotliwości
wybranego sygnału należy zmieniać wartość L
lub C, w praktyce zwykle zmieniamy
pojemność.
Rezonans równolegle połączonych
elementów R, L i C.
Dla zadanych wartości L i C pulsacja
rezonansowa spełnia równość
susceptancji (przewodności zespolonych)
BL i BC: 1/É0L = É0C,
Niestety w praktyce nie
É0 = 1/"(LC) a wartość czÄ™stotliwoÅ›ci
możemy pomijać rezystancji
rezonansowej wynosi:
przewodów cewki stanowiącej
Indukcyjność i otrzymany wzór
na częstotliwość rezonansową
jest tylko przybliżeniem.
Odpowiada sytuacji idealnej
nie spotykanej w praktyce.
Mamy tu rezonans prądów, gdyż przy
małym G = 1/R (dużym R) i jednocześnie
dużych BL i BC (czyli małych XL i XC) mamy
olbrzymi prąd w L i C wielokrotnie większy od
prądu wymuszenia, który płynie przez rezystor R.
Rzeczywisty równoległy obwód
rezonansowy.
Aby wyznaczyć frez szeregowy układ
L i RL zastąpimy równoważnym mu
obwodem równoległym:
Dla tak przekształconego ale równoważnego
układu mamy:
Zerowanie się części urojonej (rezonans) oznacza: XLp = XC
Chcąc zwiększać częstotliwość rezonansową (w obszar wielu GHz) musimy
zmniejszać L i C.
ZmniejszajÄ…c L i C niemal
do granic możliwości
osiÄ…gamy tzw.
rezonatory wnękowe:
Współczynnik dobroci Q, dobroć Q,
Q factor (quality factor)
Dobroć Q dotyczy tracenia energii przez układ, który może oscylować (elektryczny lub
elektroniczny obwód rezonansowy, huśtawka, struna itp.) i wyraża się stosunkiem
posiadanej energii do względnej szybkości jej tracenia.
Dobroć układu decyduje o kształcie (ostrości) jego krzywej rezonansowej.
DEFINICJA
Po prostym
przekształceniu:
widzimy, że Q jest stosunkiem posiadanej energii do jej porcji traconej w ciągu
jednostkowej części cyklu (w rezonansie) jaką jest 1 radian!
Oczywiście dla dowolnego układu elektrycznego to część rzeczywista R jego
impedancji Z jest tym czynnikiem, który odpowiada za straty (rozpraszanie)
energii.
Współczynnik Q zależy oczywiście od budowy
elementów składowych.
Dla idealnych indukcyjności L i pojemności C przyjmujemy, że
gromadzÄ…c energiÄ™ nie rozpraszajÄ… jej (dla rzeczywistych L i C
rozpraszanie energii nie jest zerowe ale może być małe a czasem
pomijalnie małe). Rozważmy układ równoległy RLC, którego admitancja
(przewodność zespolona) wyraża się przez:
Zatem dla obwodu równoległego
RLC (L i C idealne) jak na rysunku
mamy Q faktor wyrażony przez:
Widać, że rezystancja
równolegle włączona
do równoległego układu
LC powinna być jak największa dla największego Q (najlepiej
ten rezystor usunąć). Opornik R tak włączony osłabia dobroć
Q. W praktyce jednak należy uwzględniać przynajmniej
nieidealność L czyli niezerową oporność drutu z jakiego
wykonana jest indukcyjność.
Wtedy obowiÄ…zuje schemat jak obok:
Dobroć Q ÉrL "É3dB É jest również miarÄ… ostroÅ›ci
krzywych rezonansowych wyrażonej jako:
Dla sprawdzenia równoważności tego
wyrażenia na Q z wyrażeniem poprzez
wartoÅ›ci elementów filtra RLC policzmy Érez i "É3dB.
Niech np. UWY = UR to ku = |UR/URLC| i kumax = 1
ku/kumax =
Zatem
Dodajmy, że w elektronice poza dobrocią układów rezonansowych można
mówić o dobroci innych układów czy elementów.
Przykładowo straty energii w cewkach lub kondensatorach można wyrażać
przy pomocy Współczynnika dobroci Q.
Dobroć cewki zdefiniowana jest jako stosunek: ÉL/R
Q = ÉoL/R albo R = ÉoL/Q
(gdzie L-indukcyjność cewki, R oporność cewki).
Traktując kondensator jako równoległe połączenie idealnej pojemności i
rezystancji R (reprezentującej straty dielektryczne) definiujemy dobroć
kondensatora jako stosunek prądów
Q = IC/IR = (U/XC)/(U/R) = R/XC= ÉCR.
Wynika z tego, że układy o dużej dobroci to takie, które  marnotrawią mało
energii na straty w rezystancjach przewodów cewki, ewentualnego rezystora R
oraz w materiale kondensatora.
Przykładowe ekstra zastosowanie pojemności:
Trzy-osiowy akcelerometr: MMA7260Q, MMA7261QT,
LIS3L06AL i inne.
MMA7260Q
(MEMS - MicroElectroMechanical Systems)
LIS3L06AL
LIS3L06AL
Inne ekstra zastosowanie pojemności to czujniki pojemnościowe w
ekranach dotykowych.
Trzy-osiowy akcelerometr
ADXL330
Czułość do 330mV/g
LIS3L06AL
E-E-M. Lista-05
1 Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych L = 10mH i C
= 50µF, zasilanych z generatora napiÄ™cia sinusoidalnego o pulsacji É = 1000
rad/s i amplitudzie 1V. Impedancja wewnÄ™trzna generatora wynosi Rwe = 1©.
2 Na zaciski układu RC podano sygnał
o złożonym (prostokątnym) przebiegu.
Naszkicuj przebiegi napięć UR i UC.
3. Szeregowy obwód rezonansowy zawiera: R = 1©, L = 1mH, C = 1µF. Oblicz
dobroć układu i stosunki: UR/UWe, UC/UWe i UL/UWe w rezonansie (Uwe -
napięcie zasilające o częstotliwości rezonansowej).
4. Wylicz częstotliwości
graniczne i określ pasma
przenoszenia układów:
5. Zaprojektuj filtr pasmowy dla pasma 1 kHz-10kHz wykorzystujÄ…c prostÄ…
zasadę ułatwiającą obliczenia: Zwy/Zwe d"1/10 (strona 25).