I. KINEMATYKA
Składanie i rozkładanie wektorów. Metoda analityczna.
r
ax = a cos�
ay
r
y
2 2
r
a = ax + ay , tg� =
ay = a sin�
ax r
ax = a cos�
r
r
r r r r ay = a sin�
r
a = i ax + jay (b = i bx + jby)
ay
r
r r
r
c = a + b, cx = ax + bx cy = ay + by
a
�
r
j
r
x
ax
i
Mno\
enie wektorów
Iloczyn k�a jest nowym wektorem,
r r r
ka = ak = a'
kierunek
r
c kciuka
Iloczyn skalarny
r
r
a �"b = abcos� = axbx + ayby
r
b
Iloczyn wektorowy
r
kierunek
r r
c = a � b = a �" bsin� �
palców
r r
r r
r
a � b = -b � a
a
Kinematyka punktu materialnego
Prędkość średnia vśr
x - x0 "x
vsr = =
t - t0 "t
Prędkość chwilowa
"x dx
v = lim =
"t 0
"t dt
Droga jako funkcja czasu
dx = vdt
x t
+"dx=v+"dt wtedy x - x0 = v(t - t0 ) gdy t0 = 0
x0 t0
x = x0 + vt
Ruchu zmienny  przyspieszenie średnie
v - v0 "v
asr = =
t - t0 "t
Znając przyspieszenie a = a(t), mo\
na znalez
ć prędkość tego ruchu ze związku:
dv
a = �! v = adt, v - v0 = a(t - t0 ) gdy t0 = 0 wtedy v = v0 + at
dt
1
Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym jest liniowo zale\
na od czasu
ruch przysp. |a| rośnie
v
ruch jednostajnie przysp.
v a=const
tg ą = a
ruch przysp. |a| maleje
at
ruch jednostajny
ą
v0
v0
ruch opó\
. |a| maleje
t
ruch jednostajnie opóz
.
a=const
ruch opóz
. |a| rośnie
t
Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym
dx = vdt i v = v0 + at
x t t
dx = (v0 + at)dt �! = dt + dt
0
+"dx +"v +"at
x0 0 0
2 2
at at
x - x0 = v0t + czyli x = x0 + v0t +
2 2
Układ trójwymiarowy  wektor wodzący r punktu przestrzeni
gdzie
i,j,k  są wektorami
jednostkowymi
(wersorami)
z
r
odpowiednich osi
k
x
współrzędnych.
y
i
j
r
r r
r r
r = xi + yj + zk przy czym r = r = x2 + y2 + z2
1. Prędkość poruszającego się punktu jest wtedy zdefiniowana wzorem:
r
r r
r r r r
r dr dx dy dz
v = = vxi + vy j + vzk = i + j + k
dt dt dt dt
a bezwzględna wartość prędkości wynosi
r
v = v = vx2 + vy 2 + vz 2
2. Przyspieszenie poruszającego się punktu jest definiowane wzorem:
r r
2
r dv d r
a = =
2
dt dt
2 2 2
r r
r r r r
r d x d y d z r
a = axi + ay j + azk = i + j + k ana logicznie a = a = ax 2 + ay 2 + az 2
2 2 2
dt dt dt
3. W ruchu prostoliniowym  prędkość i przyspieszenie:
2
2
ds dv d s
v = , a = = gdzie s - oznacza odcinek przebytej drogi
2
dt dt dt
a) ruch prostoliniowy jednostajny
ds dv
v = const v = �! s = vdt �! s = = vt + s0 i a = = 0,
+"vdt
dt dt
gdzie s0  jest odcinkiem drogi przebytym do chwili początkowej t=0
b) ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony (a>0) i opóz
niony (a<0) 
charakteryzuje się stałym przyspieszeniem, mamy więc
a = const v = = at + v0
+"adt
1
2
s = = + v0 )dt = at + v0t + s0
+"vdt +"(at
2
gdzie v0  oznacza tzw. prędkość początkową tj. wartość prędkości w chwili początkowej t=0
Szczególne przypadki ruchu jednostajnie przyspieszonego:
1. SPADEK SWOBODNY
1
2
a = g v0 = 0 v = gt s = gt
2
2. RZUT PIONOWY W DÓA

1
2
a = g v0 `" 0 v = v0 + gt s = v0t + gt
2
3. RZUT PIONOWY W GÓR

1
2
a = -g v0 `" 0 v = v0 - gt s = v0t - gt
2
4. RZUT POZIOMY
1 2y 2h
x = v0t y = gt2 �! x = v0 gdy y = h x = v0
2 g g
5. RZUT UKOŚNY
dvy
dvx
ax = = 0 ay = = -g
dt dt
dx dy
vx = = vox = v0 cosą vy = = -gt + v0 y = -gt + v0siną
dt dt
1
x = v0t cosą y = v0tsiną - gt2
2
2
v0 sin 2ą
gdy y = 0 x =
g
y
parabola
v0 sin ą = voy
v0
ą
vox = v0 cos ą
x
3
II. DYNAMIKA
Zasady dynamiki Newtona
I zasada - PRAWO BEZWA
ADNOŚCI
r
r
a = 0 gdy Fwyp = 0
II zasada
r
r r
m
r r r
Fwyp
r r d(mv) dp
a = czyli Fwyp = ma = = gdzie Fwyp =
"Fi
m dt dt
i=1
III zasada  PRAWO AKCJI I REAKCJI
r r
FA = -FB
Masa ciała
m a0 v0 t v0 v0
ma = m0a0 �! = = = = const �! m = m0
m0 a t v v v
Pęd
r r
p = mv
II zasada dynamiki
r r
v
r r
dp dp d r dv r
F = gdy m = const F = = (mv) = m = ma
dt dt dt dt
:
r
v
d r r dm dv r dm r
gdy m `" const F = (mv) = v + m = v + ma
dt dt dt dt
Zasada zachowania pędu
r
r r
r r
r dv d(Mv) dP
Fzew = Ma = M = = = 0 wtedy P = const
dt dt dt
Środek masy
r
ri
"mi
y
r
i m1r1 + m2r2
R =
R =
m1
"mi m1 + m2
i
r r
r1 R m2 r
+"rdm +"�rdV
R = =
+"dm +"�dV
r2
m
gdzie V = �! dm = �dV
x
�
Prawo ruchu środka masy
r
r r
Maśrm = ai = Fzew
"mi
i
Popęd
r r
r
 = " p =p F " t
t
2 2
r r
r r r r
" p = p - p = d p = F dt = 
r 2 1 +" +"
p2 t2
p t
1 1
r r
r r
dp r
dla F = const ( " t 0 )
r r r r
= F �! dp = Fdt
"p = p2 - p1 = = Fdt =  dla F = const ("t 0)
+"dp +"
dt
p1 t1
r r
r
 = "p = F"t
Prawo pędu i popędu
r
r r r r
dP r r
F = gdy F = fi, P = pi = vi
" " "mi
dt
4
III. RUCH OBROTOWY
Ruch jednostajny po okręgu
� = const
v r r
v
bo r i v = const
v = const
"s
r
�
�
�
�
v `" const
r
at ad
"ą
r
a
v
ad
"s "s
"s = r"ą siną = �! "ą = �!
Przyspieszenie
r r
r r r
a = at + ad
"s = r"ą
2
2
ds r"ą "ą dą �ł �ł
dv v2 �ł
�ł �ł
v = = i � = = �ł
a = at 2 + ad 2 = +
�ł �ł
�ł �ł
dt "t "t dt
dt r
�ł łł
�ł łł
v = r�
Przyspieszenie styczne
r r r
v = � � r w notacji wektorowej
dv
at = ale v = r�
dą dt
� = const � = �! dą = �dt
2
dt d� d ą
at = r = = r�
2
dt dt
ą = = �t + ą0
+"�dt
gdzie
d�
Ruch po okręgu - ruch okresowy
� =
dt
s 2Ąr
v = = bo s = 2Ąr v = r�
Przyspieszenie dośrodkowe
t T
2
d ą
oraz
ad =
dt2
ą 2Ą
� = = = 2Ąn bo ą = 2Ą
v2
2
t T
ad = � r = �v =
r
1 1
�łHz = łł
f =
�ł śł
T s
�ł �ł
Ruch jednostajnie przyspieszony (�>0) i opóz
nionym (�<0), �=const
d�
� = �! d� = �dt � = = �t + �0
+"�dt
dt
dą 1
2
� = �! ą = = + �0 )dt = �t + �0t +ą0
+"�dt +"(�t
dt 2
5
Moment pędu cząstki
r y
r
L = I�
r
r r
L
L = r � p, L = rp sin�
Moment siły cząstki
r r
r
dp d(mv) r
F = = � r,
dt dt
r
r
r r d(mv)
r � F = r � ,
0 x
dt
r
r
p
r r
r d(mv) r
M = r � = r � F
z
dt
m
�
oś obrotu
A B
r
0
F2
F1
F
r
r r
Ró\
niczkując po dt równanie na moment pędu L = r � p
r
r r r r r
dL d(r � p) dr r r dp dr r
= = ( � p) + (r � ), ale = v
dt dt dt dt dt
r
r
dL r r r d(mv)
= (v � mv) + (r � )
dt dt
r r r r r r
(v � mv) = 0, bo v � v = v �" v �" sin 00 = 0, v v
r
r
dL r d r r d r
= r � (mv) i M = r � (mv),
dt dt dt
r
r
dL
czyli M =
dt
r r
r
M = r � F
M = rF sin�
Ciało sztywne - ruch środka masy
r
r
Fzew = Ma
Równanie ruchu - II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciała
r
r
dL
M =
zew
dt
6
r
r r
r r r
r r dL d(I�) d� r
M = I� M = I� lub M = = = I = I�
dt dt dt
I  moment bezwładności
I = Ł
Łmiri2,
Ł
Ł
I = +" +"�
+"r2dm = +"�r2dV, dm=�dV,
+" +"�
+" +"�
�
mi
Twierdzenie Steinera ri
2
I = I0 + md
ri
Zasada zachowania momentu pędu
r
r r
dL
M = 0 wtedy = 0 i L = const
zew
dt
Całkowity moment pędu układu izolowanego
r
r r r r
L = � pi = � mvi = const
"ri "ri
i i
Ruch prostoliniowy i obrotowy  analogie
RUCH PROSTOLINIOWY RUCH OBROTOWY
Przemieszczenie x Przemieszczenie kątowe ą
Prędkość v = dx/dt Predkość kątowa
� = dą/dt
Przyspieszenie a = dv/dt Przyspieszenie kątowe
� = d�/dt
Masa m Moment bezwładności
I
Siła F = ma Moment siły
M = I�
Praca Praca
W = +"F dx
W = +"M d�
Energia kinetyczna Energia kinetyczna
Ek = �mv2
Ek = �I�2
Moc Moc
P = Fv
P = M�
Pęd Moment pędu
p = mv
L = I�
Siły bezwładności (lub siły pozorne) - układ nieinercjalny
ma = F + FB
F* = - ma*
F* = Fod + Fc
v2
2
Fod = m�v = m� r = m
r
r
r r r r r r r r
Fod = m(� � v) = m[� � (� � r )] bo v = � � r
v2
2
Fc = 2m�v = 2m� r = 2m
r
r
r r
Fc = 2m(� � v)
gdzie Fod = m�2r = mv2/r
Fc = 2m�v bo Fc prostopadła do v i �
�
�
�
przy czym
Fod  siła odśrodkowa
Fc  siła Coriolisa
7
IV. KINEMATYKA I DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
z
Pojazd kosmiczny
vB
B
z
v
vimp
Impuls światła
Pan X
A
x
y
Ziemia
Pan Prim
x
y
pan X widziany przez pana Prima
Transformacja Galileusza i Lorentza
x'= x + vt, y'= y, z'= z, t'= t Transformacja Galileusza
v
t + ( )x
x + vt
c2 ,
x'= , y'= y, z'= z, t'=
2 2
Transformacja Lorentza czasoprzestrzeni
1 - � 1 - �
v
� = < 1
c
v
t'-( )x'
x'-vt
c2 ,
x = , y = y', z = z', t =
2 2
1- � 1- �
Konsekwencje transformacji czasoprzestrzeni:
Kontrakcja długości (skrócenie Lorentza)
y y
l0 = x2 - x1,
' ' '
x2 + vt x1 + vt l0
l0 = x2 - x1 = - =
2 2 2
1- � 1- � 1- �
' 2
l0 = l0 1- �
l0  długość poruszającego się pręta,
v
Pan X
l0  długość pręta w spoczynku
x1 x2
x
x
x2
x1
Dylatacja czasu (wydłu\
enie)
' '
"t = t2 - t1, "t'= t2 - t1
v v
t2 + ( )x t1 + ( )x
c2 - c2 = t2 - t1 = "t
"t'=
2 2 2 2
1- � 1- � 1- � 1- �
' 2
"t = "t 1- �
8
Jednoczesność zdarzeń
v v
t1 + ( )x1 t2 + ( )x2
'
c2 i t2 = c2
"t'1 =
2 2
1- � 1- �
v v v
t2 + ( )x2 t1 + ( )x1 t2 - t1 + (x2 - x1)
c2 - c2 = c2
t'2 -t'1 = = 0 czyli
2 2 2
1- � 1- � 1- �
v v v
(x2 - x1) = 0 > 0 oraz x1 `" x2 czyli (x1 - x2) `" 0
c2 c2 c2
czyli t1=t2, ale t1 `"t2
Dodawanie prędkości według Einsteina
v
dt + ( )dx
dx + vdt
c2 ,
dx'= , dy'= dy, dz'= dz, dt'=
2 2
1- � 1- �
y y
dx
+ v
dx' dx + vdt
dt
= = ,
dt' dt + ( v )dx 1+ ( v )(dx)
c2 c2 dt
v ux
dx dx'
'
ux = i ux =
x
dt dt'
x
ux + v
' Dla ux = c
ux =
vux
Wzór Einsteina na c + v c + v
1 +
ux ' = = = c
dodawanie prędkości
c2 vc c + v
1+
c2 c
Pęd relatywistyczny
Czas własny:
2 2
� v v
�ł �ł �ł �ł
t = �! � = t 1- �ł �ł
�! d� = dt 1- �ł �ł
2
c c
�ł łł �ł łł
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
dx dy dz
px = m0 , py = m0 pz = m0
d� d� d�
dx dx dt dx 1 vx
= �" = =
2 2 Ogólnie pęd
d� dt d� dt
v v
�ł �ł �ł �ł
1- �ł �ł
1- �ł �ł
c c
�ł łł �ł łł
r
m0v
v
zatem p =
2
v
�ł �ł
m0vy
m0vx
1- �ł �ł
px = , py = ,....
c
�ł łł
2 2
v v
�ł �ł �ł �ł
1- �ł �ł
1- �ł �ł
c c
�ł łł �ł łł
9
Masa relatywistyczna
m0
m(v) = gdzie m0  masa spoczynkowa
2
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
Druga zasada dynamiki w postaci relatywistycznej
r r
r
dp r m0v
F = p =
2
dt
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
r 2 r r
dv v r 1
�ł �ł �ł- 2v dv
�ł
m0 1 - �ł �ł - m0v �"
�ł �ł
2
ńł �ł
dt c c2 dt
�ł łł �ł łł
v
�ł �ł
�ł �ł
2 1 - �ł �ł
r
r
d �ł m0v �ł c
�ł łł
F = = =
�ł żł
2
2
dt �ł �ł
�ł v �ł
�ł �ł v
�ł �ł
�ł �ł
1 - �ł �ł 1 - �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
c
�ł łł c
�ł łł
ół �ł
�ł łł
2 2 2
�ł �ł
v
�ł �ł
�ł1 �ł v �ł + �ł v �ł �ł
r r �ł �ł r - �ł �ł �ł �ł r
m0a m0a m0a �ł �ł m0a
c c c
�ł łł �ł łł �ł łł
= + �" = =
�ł 2 �ł 3
2
2 2 2
�ł łł 2
v
v �ł �ł �ł �ł
�ł �ł
v v v
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
v
�ł �ł
1 - �ł �ł
1 �ł �ł
śł 1
1 - �ł �ł - �ł �ł
1 �ł - �ł �ł - �ł �ł
�ł �ł
1 - �ł �ł
c
c �ł łł
c c �ł łł c �ł łł �ł �ł
�ł łł �ł łł �ł śł �ł łł
�ł �ł c
�ł łł
�ł łł
Dla v<Równowa\
ność masy i energii
r r
r
dp d r dv r dm
F = = (mv) = m + v
dt dt dt dt
m0
m = m(t), m = m(v) i m =
2
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
r r
r
r r ds r ds r r r r r r
F �" ds = mdv + vdm = m �" dv �" v + v �" dm �" v = mv �" dv + v2 �" dm
dt dt
r
ńł �ł
2v r
�ł �ł
�ł �ł
�ł - dv
�ł
m0
�ł �ł 1
dm = d = -m0 �ł c2 łł2 �" =
�ł żł
2
2
�ł �ł
�ł v �ł v
�ł �ł �ł �ł v
�ł �ł
�ł �ł
1- �ł �ł
2 1- �ł �ł 1- �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
c c
�ł łł �ł łł c
�ł łł
ół �ł
�ł łł
r r r r
v �" dv m0 v �" dv
= m0 = �" =
3
2
2
2 �ł �ł
�ł �ł v
v
�ł �ł
v
�ł �ł
�ł c2 �ł1- �ł �ł �ł
�ł �ł
1- �ł �ł
c2 �ł 1- �ł �ł
�ł �ł
c
c �ł łł
�ł �ł
�ł łł
c �ł łł
�ł łł
�ł łł
r r r r
v �" dv v �" dv
= m = m
�ł - v2 �ł
�ł c2 - v2
c2
�ł
c2 �ł
c2 �ł
�ł łł
r r
mv �" dv = (c2 - v2)dm
10
r
r
Fds = (c2 - v2 )dm + v2dm = c2dm = d(mc2)
dEp
dU
F = - Ep = U, F = -
ds ds
dU
Fds = - ds = d(mc2)
ds
- dU = d(mc2) i d(mc2) + dU = 0
E = mc2 + U = const v`"0
1 1 v2 3 v4
m0c2 m0c2 R
= 1+ + + ....
E = + U = const gdzie = E
2
2 2
2 c2 8 c4
v
�ł �ł
v v
�ł �ł �ł �ł
1- �ł �ł
1 - �ł �ł
1 - �ł �ł
c
c c �ł łł
�ł łł �ł łł
1 3 v4
1
E = m0c2 + m0v2 + m0 + .. + U = const
gdy v<2 8 c2
2
E = m0c2 + U gdy v=0 E = mc2 gdy v`"0 oraz U=0
E
m0c2
ER =
2
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
ER  opisuje relatywistyczną
postać energii całkowitej bez
pola sił potencjalnych (U=0).
m0c2
Ek= �mv2
� m0c2
1,0
v/c
Energia i pęd cząstki relatywistycznej
m0c2
E =
2
v
�ł �ł
1- �ł �ł
c
�ł łł
2
2
�ł
m0c4 �ł v
2 2 2
�ł1- �ł �ł �łE2 = m0c4 �! E2 - E2 v2 = m0c4 �! E2 = m0c4 + E2 v2
E2 = �!
�ł �ł
v2 �ł �ł łł �ł c2 c2
c
�ł łł
1-
c2
2 2
v2 m0c4 v2 m0v2
2
E2 = m0c4 + p2c2 bo E2 = �" = �" c2 = p2c2
c2 v2 c2 v2
1- 1-
c2 c2
11
V. RUCH DRGAJ
CY
Prosty oscylator harmoniczny - równanie ruchu
F = ma i F = -kx,
2
d x
- kx = ma = m
2
dt
lub
F = -kx
F = 0 2
d x
x = 0
m + kx = 0
2
m
x
dt
F = -kx
Ruch harmoniczny prosty
2
d x
m + kx = 0 równanie
dt2
x = Acos(�t + � ) rozwiązanie
k
�2 =
m
x = Acos(�t + � )
dx
v = = -�Asin(�t + � )
dt
2
d x
2
a = = -� Acos(�t + � )
2
dt
2Ą
x = Acos[�(t + ) + � ] = Acos[�t + 2Ą + � ] = Acos(�t + � )
�
Okres ruchu
2Ą m 1 � 1 k
T = = 2Ą i f = = =
� k T 2Ą 2Ą m
2Ą
� = 2Ąf = , �  częstość kołowa  jednostka [rad/s], f  częstością drgań oscylatora,
T
A - amplituda ruchu, (�t + �) - faza ruchu, � stała fazowa (faza początkowa).
Energia w prostym ruchu harmonicznym
1
E = kx2 i x = Acos(�t + � )
p
2
dE
dU
p
F = - = = -kx
dx dx
1 1
E = kx2 = kA2 cos2 (�t + � )
p
2 2
1 dx k
2
Ek = mv2 i v = = -Asin(�t + � ), gdzie � = wtedy
2 dt m
1 1 1 k 1
Ek = mv2 = m�2A2 sin2(�t + � ) = m A2 sin2(�t + � )= kA2 sin2(�t + � )
2 2 2 m 2
1 1
Ep = kx2 ale x = Acos(�t + � ) czyli Ep = kA2 cos2(�t + � )
2 2
12
1
E = Ek + E = kA2
p
2
1 1
Ek = mv2 = kA2 sin2 (�t + � )
2 2
1 1
E = kx2 = kA2 cos2 (�t + � )
p
2 2
0
t
Maksymalna wartość
1 1 1
2
Ek max = kA2 = m� A2 E = kA2
p max
2 2 2
1 1 1
E = Ek + Ep = kA2 sin2(�t + � ) + kA2 cos2(�t + � ) = kA2
2 2 2
1 1 1
E = Ek + Ep = mv2 + kx2 = kA2 czyli
2 2 2
k dx k
mv2 = k(A2 - x2) �! v2 = (A2 - x2) i v = = ą (A2 - x2)
m dt m
vmax x = 0
v = 0 x = A
Wahadło matematyczne  jako przykład ruchu harmonicznego
F = -mg siną siną ~ ą i F~ą
ą.
ą
ą
x mg
F = -mg siną H" -mgą = -mg = - x = -kx = ma
ą
l l
l
2
mg d x g g
l
k = , = - x, �2 =
R
l dt2 l l
Okres drgań w ruchu harmonicznym
x = lą
m
m ml l
ą
mgsiną
T = 2Ą =2Ą = 2Ą
k mg g
mgcosą
mg
Wahadło fizyczne
x
sin� = �! x = a sin�
O
a
Punkt
M = G �" r = mg �" r
obrotu
M = - mgasinĆ i M = I� �
2
a
d � m  masa wahadła
mga sin� = I
2 a  odległość masy od osi obrotu
dt
I  moment bezwładności wahadła
sinĆ~Ć
O
względem osi obrotu
2 Środek
d � mga �  kąt wychylenia z poło\
enia
= - �
masy Ć
równowagi
dt2 I
�  częstość kołowa
mga
2
�0  amplituda
� = G = mg
ą  stała fazowa
I
lr  długość zredukowana
13
� = �0 cos(�t +ą)
gdzie
mga
� =
I
2Ą I lr I
T = = 2Ą = 2Ą gdzie lr =
� mga g ma
Ruch harmoniczny tłumiony (k1 - współczynnik oporu ośrodka)
2
d x dx
m = -kx - k1
2
dt dt
T
x
czyli
x = x0e-�t cos(�t + ą)
2
d x k k1 dx
+ x + = 0
2
dt m m dt
i
t
k k1
= �0 , = 2�
m m
wtedy
2
d x dx
+ �0 x + 2� = 0
2
dt dt
k1
x = x0e- �t cos(�1t + ą) gdzie � =
2m
k
2 2
(�02>�2)
�1 = �0 - � �0 =
m
Tłumienie 
 (T  okres ruchu harmonicznego tłumionego, �  dekrement tłumienia)


x(t) 2Ą
 = = e�T gdzie T = i � = ln  = �T
x(t + T ) �
Ruch harmoniczny wymuszony
2
d x dx
m = -kx - k1 + F0 sin�2t
dt2 dt
i oznaczymy dodatkowo
F0
F0
B = wtedy
m
m x0 =
2 2 2 2
2 (�0 - �2 ) + 4� �2
d x dx
2
+ �0 x + 2� = Bsin�2t
2�2� k k1
dt2 dt
tg� = gdzie �0 = , � =
2 2
x = x0 sin(�2t  Ć)
�0 - �2 m 2m
x0, Ć  wielkości stałe
dx0
2 2
= 0 �! �2rez = �2 = �0 - 2� ,
d�2
F0
m
x0rez =
2 2 2
2 2 �0 = �2rez + 2�
2� �0 - �
14
VI. PRACA I ENERGIA
Praca
- wykonana przez stałą siłę.
r r
r
v
W = F " s = F �" s �"cosą
F
W = Fs cosą
ą
Fcosą
W = F�s dla F||s; ą
ą = 00
ą
ą
W = F�s = 0 dla FĄ"s; ą
ą = 900
ą
ą
d
- wykonana przez siłę zmienną
F(x)
"W = F"x
x2
r
r
W12 =
"F"x
x1
x2
x2
W12 = lim
"F"x = Fdx
+"
"x0
x1
x1
x
x1 "x x2
Ogólnie  pracę siły na pewnym odcinku drogi definiujemy
y
r2
r
r
W = F �" dr
+"
F
r1
r1
r1  wektor wodzący w
początkowym punkcie drogi
r2
r2  wektor wodzący w końcowym
x
punkcie drogi, po której porusza się
punkt.
W szczególnym przypadku
W = F � r F = const, r - droga  linia prosta mająca kierunek siły
Przykład - sprę\
yna przymocowana do ściany.
F = -k(x-x0)
x
Prawo
x0
x
Hooke a,
F = -kx
F (x)  siła przeciwnie skierowana do siły sprę\
ystości F(x) dla x1 = 0 i x2 = x, W12 =�kx2
x x
x
1 1
W = F'(x)dx = = kx2 0 = kx2
+" +"kxdx 2
2
0 0
15
F
y
P(t+dt)
F
�
ds
F = kx
r(t+dt)
P
d�
kx
r(t)
� kx2
�
O
x
x
x
W ruchu obrotowym
ds = rd�, Fcos�  składowa siły F w kierunku ds
r
r
dW = F ds = F dscos� = Fr cos�d�
dW = M d� bo M = Fr cos�
M  wartość chwilowego momentu siły działającego na ciało sztywne względem osi 0.
Moc
W dW
P = P = jednostka [J/s] = [W]
t dt
dW
P = jeśli W ~ t wtedy P =W/t
dt
Moc w ruchu obrotowym
dW d�
P = = M = M�
dt dt
d�
P = M� bo dW = Md� , a � =
dt
Energia kinetyczna
v0  prędkość cząstki w chwili t=0
v - v0 v0 + v
a = , x = t
v  prędkość w chwili t
t 2
v - v0 v + v0 1 1 1
2
W = F x = max = m �" t = mv2 - mv0 i Ek = mv2
t 2 2 2 2
x
r
r
W = Fds = Fdx
+" +"
x0
dv dv dx dv dv
a = = = v = v
dt dx dt dx dx
x x v
dv 1 1
2
W = Fdx = mv dx = mv dv = mv2 - mv0
+" +" +"
dx 2 2
x0 x0 v0
W = Ek - Ek = "Ek Twierdzenie o pracy i energii
0
v = const, W = "Ek = 0 v, v0  prędkość punktu materialnego na końcu i początku drogi
16
W ruchu obrotowym
Ek = �I�2 gdy M  moment siły = const, �- obrót o pewinien kąt
�
�
�
W = M� "Ek = Fs
� = "
� "
� "
Ek = �mv2 + �I�2
�
�
�
dW d 1 1 d d�
2 2
= ( I� ) = I � = I� = I�ą
dt dt 2 2 dt dt
M� = I�ą
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego
M = Ią
Energia potencjalna
1 1
x 2
W = Fdx = mv2 - mv0 = "Ek
x0
+"
2 2
"Ek = - "Ep
x
"Ek = Fdx
x0
+"
czyli
x
"Ep = - F(x)dx
x0
+"
zatem
x0
Ep (x) - Ep (x0) = F(x)dx
x
+"
1 1
x0 2
E (x) - E (x0 ) = Fdx = mv0 - mv2 = -"Ek
p p x
+"
2 2
lub
1 1
2
E (x) + mv2 = E (x0 ) + mv0 = const
p p
2 2
Prawo zachowania energii kinetycznej i potencjalnej.
1
E = E + Ek = Ep (x) + mv2
p
2
d
F(x) = - E (x) bo - f (x)dx = "Ep
p
+"
dx
Zasada zachowania energii mechanicznej
1
mgh + mv2 = const h  wysokość punktu materialnego od powierzchni Ziemi
2
Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego
1
2
Ek = I � i Ip = I0 + MR2
p
2
v Ip  moment bezwładności wzgl. osi przechodzącej przez
pkt. P,
I0  moment bezwładności wzgl. osi równoległej do osi
0 R
przechodzącej przez środek cię\
kości, czyli
1 1 1 1
2 2 2 2
Ek = I0� + MR2� = I0� + Mv0 , bo R� = v0
2 2 2 2
v0 = R�  jest prędkością liniową środka masy cylindra
P
względem nieruchomego pkt. P
17
VII. GRAWITACJA
Prawa Keplera ruchu planet
P v
III prawo Keplera
vB 3
a1 T12
=
a
3
B A
a2 T22
S
vA
b
Siła dośrodkowa
r
r v2
Fd = mad ad = ad  jest przyspieszeniem dośrodkowym
r
r2
r
mv
Fd = r  odległość planety od Słońca.
r
Prawo powszechnego cią\
enia
r
m1m2 r
F12 = -G r12
r3
M r = |r12|
m
Mm
Fg
F = G
Fg
2
r
r - odległość punktów materialnych
G  stała grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha)
r12  wektor wodzący punktu materialnego m, |r12| = r
Pole grawitacyjne
Natę\
enie pola grawitacyjnego
r
r
E M F M r
E = = G jedn. [N/kg]=[m/s2] E = = -G r
m r2 m r3
r  wektor wodzący punktu, w którym wyznaczamy natę\
enie pola grawitacyjnego
wytworzonego przez punkt M,
V - potencjał
r
r
M r F
E = -gradV = -G r =
3
r m
r r r
r r
"V "V "V
E = -"V = -( i + j + k )
"x "y "z
r r
r r
" " "
" = i + j + k OPERATOR NABLA
"x "y "z
Przyspieszenie grawitacyjne
r
v
r F r
ag = tzn., \
e ag = E
m
18
Pole grawitacyjne centralne
Linie sił pola centralnego Natę\
enie pola centralnego
M F
E = G =
r2 m
M
M
R
r
Emax
Fg
E~r
m
V
E~1/r2
- wewnątrz kuli - rośnie ~ r
r
M M
=R
E = G r �łr�ł E = G
�ł
R3 R2
- na zewnątrz kuli - maleje ~ r2
M M
=R
E = G �łr�ł E = G
�ł
r2 R2
Sztuczne satelity
Prędkość satelity (MZ  masa i R  promień) na wysokości h
GM GM
z z
vs = = Okres obiegu T = 2Ąr/vs
r (R + h)
Pierwsza prędkość kosmiczna vI = gR
Drugą prędkością kosmiczną
M m
z
E = -G gdzie R  promień Ziemi, Mz  masa Ziemi.
p
R
2
mvII
Ek = .
2
2
mvII MZm
MZ
"Ek + "Ep = 0, = G
g = G
2 R
R2
M
2GMZ GMZ
Z
gR = G
vII = = 2 �" = 2 gR = 2 �" vI
R
R R
19
Potencjał pola
"Ep = W
F = Fg = mg
W = Fh = mgh
"Ep=W=mgh-mgh0, dla h0=0 wtedy
"
"
"
Ep = mgh
F 1 1
E = - = -GmM ( - )
p
r r r0
r  odległość punktu, w którym wyznaczamy energię potencjalną punktu materialnego m, od
punktu materialnego M, r0  odległość punktu odniesienia do punktu materialnego M
M m
z
E (r) = -G r0= ",
p
r
M m
z
E = -G , r=R
p
R
Ep
R
0 r
Wykres energii potencjalnej Ep
ciała o masie m w centralnym
-GMm/R
polu grawitacyjnym w funkcji
odległości r od środka masy
Potencjał pola grawitacyjnego
Ep (r)
V (r) =
m
1
- GmM
1
r
V = = -GM
m r
20
VII. ELEKTRYCZNOŚĆ
Siła elektrostatyczna a grawitacyjna między elektronem i protonem
mpme
FG = G = 3,61�"10-47 N
2
RH
FE = 8,19�10-8 N, czyli 2,27�1039 razy większa od
FG = 3,61�10-47 N
Kwantyzacja ładunku - Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
A
adunek elementarny e = 1,6�10-19 C. w ukł. SI 1 C = 1 As.
Zachowanie ładunku - Wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym (izolowanym) jest stały
(nie zmienia się w czasie).
Prawo Coulomba
q1q2 1 1
F = k k = , ogólnie k =
r2 4Ą� 4Ą� �
0 0
�0 = 8,854�10-12 C2/(Nm2) - przenikalność elektryczna pró\
ni (stała dielektryczna pró\
ni),
� - stałą dielektryczna substancji lub względną przenikalnością elektryczna ośrodka
Dipol elektryczny
+Q l -Q
l p
F = F1 = qk
r r3
r
r
F2
gdzie
p = Ql jest momentem
F
q
dipolowym.
F1
Pole elektryczne - A
adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na
ładunek dodatni).
r
Pole elektryczne od n ładunków punktowych jest
r
F
Natę\
enie
E =
równe sumie wektorowej pól elektrycznych
pola
q
(zasada superpozycji)
elektrycznego
Strumień pola
elektrycznego
"Ć = E "S = E"S cosą ą - kąt pomiędzy wektorem powierzchni "S i wektorem E
r r
"S
"
"
"
dĆ = E d S
r r
E
Ć =
"E"S
powierzchnia
"Ś
Suma ta przedstawia całkę
powierzchniową
"S
"
"
"
r r
ą
ą
ą
ą
Ć =
+"EdS
S
21
Q Q
�łk �ł(4Ąr2) = 4ĄkQ =
Ć = E(4Ąr2) =
�ł �ł
r
r2 �0
�ł łł
E
Q
1 1
k = �! = 4Ąk
4Ą�0 �0
Prawo Gaussa
r r r r r r r r r
Ćcalk = = + E2)dS = dS + dS
1 1 2
+"EdS +"(E +"E +"E
S
Ćcałk = (Q1/�0) + (Q2/�0) = (Q1 + Q2)/�0
Q1
r r
Qwewn.
S = 4ĄkQwewn. = Prawo Gaussa
+"Ed
�0
Q2
Jednorodnie naładowana sfera
powierzchnia Gaussa
o promieniu r
+Q
r
r r
+"EdS = E+"dS =E(4Ąr2) E(4Ąr2) = Q/�0
Dla r > R
R
1 Q Q
E = = k
4Ą�0 r2 r2
Dla r < R, E = 0
Jednorodnie naładowana kula
Q
r r
Qwew
2
R EdS =E(4Ąr ) = =
+"
�0
Q
E = k r
Qwewn r
R3
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli.
22
E
kQ/R2
0
R r
Potencjał elektryczny
B
Ró\
nica energii potencjalnych E - EpA = - d r
pB
+"F
A
B B
r r
r r
U -UB = EpB - EpA = - d r = -q r Elektryczną energię potencjalną
A
+"F +"Ed
A A
F  siła elektrostatyczna działająca na ładunek q.
r
r
r
U (r) = Ep (r) = -q r
+"Ed
"
Energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej
r
r
Q 1
łł
U (r) = E (r) = W"r = -q k d r = -qQk�ł-
p
+" 2 �ł śł
r r
�ł �ł"
"
U(r) jest energią potencjalną ładunków q i Q
qQ
U (r) = Ep(r) = k
r
Potencjał elektryczny
Ep(r)
W"r U (r)
V (r) = = = Jedn. [J/C]=[V]
q q q
Q
Potencjał dla ładunku punktowego V = k
r
B
Ró\
nica
VB -VA = U = WAB = -
+"Edr
potencjałów
A
d
Płyty równoległe
"V =  Ed
�
E = -4Ąk� = - stąd "V = �d/�0
�
0
Qd
"V =
�0S
-�
+�
Elektronowolt
"Ek = e"V = (1,60�10-19C)(1 V) = 1,60�10-19J => 1 eV = 1,60�10-19J
23
Powierzchnia ka\
dego przewodnika jest powierzchnią stałego potencjału (powierzchnią
ekwipotencjalną).
Pojemność
Q Q Q �0S
C = = Jedn. farad. 1F = 1C/1V. Dla kondensatora płaskiego C = =
"V U U d
Energia pola elektrycznego
Q Q
q 1 Q2
�ł �łd
W = d q =
+"U +"�ł C �ł q = 2 C Energia zgromadzone w kondensatorze
�ł łł
0 0
Q
Dla kondensatora płaskiego E = , czyli Q = � ES oraz C = �0S/d i
0
� S
0
2
2 2 2
(� ES) � E S � E
0 0 0
W = = d = Sd , Sd - objętość kondensatora
2C 2� S 2
0
1 1
w = �0E2 = E2 Gęstość energii pola elektrycznego
2 8Ąk
Trzy wektory elektryczne
r r r
D = �0E + P
D, E, P są wektorami: indukcji elektrycznej, natę\
enia pola, polaryzacji.
D - ładunek swobodny, �0E - wszystkie ładunki, P - ładunek polaryzacyjny
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
D
P
�0E
Porównanie pola grawitacyjnego i elektrycznego
Pole grawitacyjne g Pole elektryczne E
1. z
ródło pola Masa m>0 A
adunek q>0, q<0
2. stosowalność Obowiązuje, gdy v<r r
3. siła
m1m2 r q1q2 r
Newtona F = G r Coulomba F = k r
3
r r3
r r r
r r r
2 2
4. natę\
enie pola
g = F / m = (Gm / r )r E = F / q = (kq / r )r
5. energia potencjalna
U = -Gm1m2 / r U = kq1q2 / r
g E
r
r
6. potencjał pola
Vg = U / m = Gm / r
VE = U / q = kq / r = - E �" dr
g
E
+"
7. praca Wg = Ug = mVg WE = UE = qVE
r r
r r
8. pole zachowawcze
Gdy Fg �" dr = 0 FE �" dr = 0
+" +"
24
IX. MAGNETYZM
Prawo Ampera
r r
dl || B
+"B d l = �0I
dl  element konturu, �0 = 4Ąk/c2 = 4Ą�10-7 Tm/A -
przenikalnością magnetyczną pró\
ni.
Pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego
przewodnika w odległości r od niego.
r r
+"B d l = �0I
I
B2Ąr = �0I
�0I
B =
dl
2Ąr r
Strumień magnetyczny
(Prawo Gaussa)
v
r
ĆB = d s = 0
+"B
S
Na zewnątrz pręta o promieniu R (r > R)
I
r r
+"B d l = �0I
r
B2Ąr = �0I,
R
�0I
B = dla r>R
2Ąr
2 r r 2
Ąr Ąr
i = I
+"B d l = �0i B2Ąr = �0i B2Ąr = �0I ĄR2 czyli
ĄR2
�0 I
B = r dla r2
2ĄR
Cewka (solenoid)
Z prawa Ampera
Bh = �0I0nh czyli
B = �0I0n
B - pole wewnątrz długiego solenoidu.
Pole wewnątrz solenoidu jest
jednorodne i nie zale\
y od kształtu
cewki, jeśli tylko jest ona bardzo długa.
25
Dwa przewodniki równoległe
a
b
�0l IaIb
Siła elektrodynamiczna Fb = IblBa =
2Ąd
l
Zało\
enie:
F
l = 1m, d = 1m, F = 2�10-7 N, Ia = Ib = I, stąd
2
�0l I 2Ąd 2Ą
F = �! I = F = �" 2 �"10-7 = 1A
Ba
2Ąd �0l 4Ą �"10-7
d
Prawo Biota-Savarta
ia
ib
I
r
r
dl
�0I dl � r
dB =
�
4Ą r3
r
dB
Indukcja elektromagnetyczna
r r
dĆB dĆB
Prawo Faradaya � = = - dla N zwojów � = -N
+"Edl dt
d t
� - SEM pracą na jedn. ład. wykonaną przy przeniesieniu ład. wokół zamkniętej pętli (� =
W/q), ŚB  strumień magnetyczny przechodzący przez tę pętlę.
Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, \
e przeciwstawia się zmianie, która go wywołała.
Transformator
dĆB dĆB U2 N2
U2 = -N2 oraz U1 = -N1 =
d t d t U1 N1
Indukcyjność własna
d I
� = -L Jednostką L jest henr. [1H] = [1Vs/A] lub [1H] = [1&!s]
dt
2
N S
L = �0 Indukcyjność cewki (L zale\
y tylko od czynników geometrycznych)
l0
Obwód RC
Włącznik pozycja a
R
a q dq q
� = IR + � = R + rozwiązanie
+ C dt C
b
�
C
-
q = C� (1- e-t / RC )
26
dq �
Prąd I = = e-t / RC = I0e-t / RC
dt R
Zale\
ności q(t) oraz I(t).
C�
I
q
�/R
t
t
Wyłącznik pozycja b - rozładowanie kondensatora
q d q q
IR + = 0 czyli R + = 0 q = q0e-t / RC
C d t C
gdzie q0 jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
R
Natę\
enie prądu przy rozładowaniu wynosi
d q q0
-
+
I = = - e-t / RC = I0e-t /�C
-q
I
d t RC
C
+q
�C = RC - stała czasowa obwodu.
Obwód RL
R
a
�L
�
�
�
+
b
�
I
L
-
d I �
L
� - IR - L = 0 rozwiązanie I = (1- e- Rt / L) = I0(1- e- Rt / L) = I0(1- e-t / � )
dt R
Napięcie na oporniku i cewce  rys.
� V L
V R �
t
t
Narastanie prądu - stała czasowa �L = L/R.
27
Przełącznik w pozycji (b)
R
d I
L + IR = 0
-
+
dt
rozwiązanie
L
� �
L
I = e- Rt / L = e-t / �
I
R R
Energia a pole magnetyczne
1
2
WL = WB = = = LI
B
+"dW +"LIdI 2
Całkowitą energię magnetyczną zawartą w cewce o indukcyjności L przez którą płynie prąd I.
1 q2
Energią naładowanego kondensatora WE = WC =
2 C
Gęstość energii pola magnetycznego
Solenoid o długości l i powierzchni przekroju S, czyli o objętości lS.
2
WB 1 1 LI
2
Gęstość energii wB = WB = LI więc wB =
lS 2 2 lS
2
N S N Bl
oraz L = �0 i B = �0 In = �0 I �! I =
l l N�0
2
2 2 2
�ł �ł
1 LI 1 N S Bl 1 B 1 B2
�ł �ł
zatem wB = = �0 �ł �ł = wB =
2 lS 2lS l �0 N 2 �0 2 �0
�ł łł
Całkowita gęstość energii pola elektromagnetycznego
1 1 1 1
2 2
wE = � E lub wE = E bo k = �! � =
0 0
2 8Ąk 4Ą� 4Ąk
0
1 B2
wB =
2 �0
�
1 1 B2 0 2 2
2 2
w = wE + wB = (E + c2 B2 ) = (� E + ) = (E + c2 B )
0
8Ąk 2 �0 2
1
bo c2 =
�0�
0
Fala elektromagnetyczna wypromieniowana przez zmieniający się prąd ma E = cB.
Energia promieniowania
�0 2 �0
1 1
w = wE + wB = (E + c2 B2 ) = (c2 B2 + c2 B2 ) = � B2 = B2
0
2 2 �0�0 �0
28
X. RÓWNIANIA MAXWELLA
Indukowane pole magnetyczne - w kondensatorze (cylindrycznym) powstaje tam pole
magnetyczne wytworzone przez zmieniające się pole elektryczne.
P
r r
dĆE
0
+"Bdl = �0� dt
E
S
prawo Ampera po modyfikacji ma
i
postać
r r
dĆE
i
0
+"Bdl = �0� dt + �0I
r
Pole magnetyczne jest wytwarzane
S'
przez przepływ prądu i/lub przez
zmieniające się pole elektryczne.
Prąd przesunięcia
r r
+"Bdl = �0 (IP + I)
Równania Maxwella
E  natę\
ęnie pola elektrycznego
r
r q
B  indukcja magnetyczna
Eds =
+"
�0
� - gęstość ładunku
r
r
�0  przenikalność dielektryczna
Bds = 0
+"
�0  przenikalność magnetyczna
r r
"ŚB
J  gęstość prądu
Edl = -
+"
I  natę\
enie prądu
"t
Ip  prąd przesunięcia
r r
"ŚE
ds  element powierzchni
Bdl = �0�ł I + �0 �ł = �0 (I + IP )
�ł �ł
+"
dl  element przewodnika
"t
�ł łł
ŚB  strumień pola magnetycznego
r r r
�
divE = " " E =
ŚE  strumień pola elektrycznego
�
0
" - operator Nabla
"
"
"
r r r
divB = " " B = 0
r r
r r
" " "
r
" = i + j + k
r r r
"B
"x "y "z
rotE = " � E = -
"t
r r r
r
r
ŚE = E " S = = Eds
r r r r
E
�ł �ł
"E +"dŚ +"
r r r
r
�ł �ł
rotB = " � B = �0 �ł J + �
0
�ł ŚB = B " S = = Bds
B
"t +"dŚ +"
�ł łł
Fale elektromagnetyczne  prędkość w pró\
ni
1
c =
�0�0
Wektor Poyntinga
Szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię płaskiej fali
elektromagnetycznej mo\
na opisać wektorem S zwanym wektorem Poyntinga.
r r r
1
S = E � B
�0
W układzie SI jest on wyra\
ony w W/m2, kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia energii.
Wektory E i B - chwilowe wartości pola elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.
29