Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I
Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki. Zasady te są omawiane na szkoleniach
kandydatów na egzaminatorów, w zakresie egzaminu maturalnego z matematyki, organizowanych przez wszystkie Okręgowe Komisje
Egzaminacyjne w naszym kraju.
" Praca podlega ocenie kryterialnej zgodnie ze schematem oceniania. Za każdy etap rozwiązania należy przyznać odpowiednie punkty, jeśli
wynika to z czynności opisanych w schemacie oceniania. Nie stosujemy przy tym cząstek punktów.
" Jeżeli uczeń zastosował inną metodę rozwiązania zadania od tej, która jest opisana w schemacie oceniania i rozwiązanie jest w pełni
poprawne, należy przyznać maksymalną liczbę punktów.
" Jeżeli uczeń zastosował metodę poprawną, ale różną od opisanej w schemacie oceniania i w rozwiązaniu popełnił błędy, to należy zbudować
schemat oceniania odpowiadający zastosowanej metodzie rozwiązania i według niego ocenić rozwiązanie.
" Błędy, które nie mają wpływu na tok rozwiązania (na przykład: błędy w opisie, błędy towarzyszące poprawnemu rozwiązaniu) nie powodują
zmniejszenia liczby przyznanych punktów.
" Jeżeli w rozwiązaniu uczeń popełni błąd i będzie konsekwentnie używał błędnego wyniku do dalszych obliczeń, i:
- nie spowoduje to drastycznego obniżenia stopnia trudności zadania,
- wykonane przez ucznia czynności są zgodne lub równoważne tym, które należałoby wykonać przy rozwiązaniu bezbłędnym,
to za niepoprawnie wykonaną czynność nie otrzymuje punktów, natomiast pozostałe czynności powinny być wypunktowane tak, jakby błąd
nie wystąpił.
" Nie należy przyznawać punktów za odpowiedz
, jeżeli:
- rozwiązanie zadania lub odpowiedniej jego części jest błędne,
- rozwiązanie nie pozwala poprawiającemu stwierdzić poprawności rozumowania (pojawia się sam wynik),
i odpowiedz
jest różna od podanej w schemacie oceniania.
Strona 1 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
Wynik danego etapu
dany etap
1.1 Dokończenie szkicowania wykresu funkcji f , w tym:
" (1p), za naszkicowanie asymptoty o równaniu y =1,
2
1
" (1p), za dorysowanie odpowiedniej gałęzi hiperboli y =1+ .
x
1.2 Odczytanie z wykresu i zapisanie zbioru wartości funkcji f .
np. D-1 = - 4;")
1
1.
(6 p.)
1.3 Obliczenie wartości funkcji, w tym:
2
" (1p), za podstawienie do odpowiedniego wzoru,
2
f (- 2) =(- 2) + 4(- 2)= 2 - 4 2
" (1p), za obliczenie wartości funkcji.
f (x) e" 0Ô!
1.4 Odczytanie z wykresu i zapisanie zbioru argumentów, dla których funkcja
1
przyjmuje wartości nieujemne.
x "(- ";- 4 *" 0;")
2.1 Wybór metody  pogrupowanie niewiadomych na jednej stronie, a liczb na drugiej
x 5 -2x e" 3 - 5
1
stronie nierówności.
3 - 5
2.
2.2 Rozwiązanie nierówności. x e" 1
5 - 2
(4 p.)
2.3 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej postaci. 1
x e" 5 +1
2.4 Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność. Szukaną liczbą jest 4. 1
3. 3.1 Zapisanie przychodu po zmianie ceny telefonu oraz liczby klientów.
1
7 3
ëÅ‚
nöÅ‚Å"ëÅ‚ cöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(3 p.)
5 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Strona 2 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
Wynik danego etapu
dany etap
3.2 Obliczenie różnicy po i przed zmianą ceny telefonu oraz liczby klientów.
21 1
ëÅ‚
n Å" cöÅ‚ - (n Å" c)=ëÅ‚ n Å"cöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
20 20
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3.3 Zapisanie procentowej wielkości przyrostu przychodu.
Przychód zwiększyłby się o 5% . 1
W (x) : (x + 3) = 2x2 -13x + 45
4.1 Wykonanie dzielenia wielomianu W przez dwumian (x + 3).
1
4.2 Wyznaczenie pierwiastków trójmianu (2x2 -13x + 45) (w tym 1p, za poprawne
4.
3 2
" = 49, x2 = 5, x3 =
obliczenie wyróżnika).
(4 p.)
2
W (x) = (x + 3)Å"(x - 5)Å"(2x - 3)
4.3 Zapisanie wielomianu w żądanej postaci. 1
5.1 Zapisanie dowolnej liczby całkowitej c , która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
c = 4d + 1, d "C
1
5.
5.2 Obliczenie kwadratu liczby c . 2
1
c2 =16d + 8d + 1
(3 p.)
5.3 Zapisanie kwadratu liczby c w odpowiedniej postaci i uzyskanie tezy. 2 2
c2 = 4(4d + 2d)+ 1 i (4d + 2d)"C 1
a1 + 2r = 15
Å„Å‚
6.
6.1 Zapisanie układu równań z niewiadomymi a1 , r .
1
òÅ‚
(7 p.)
+14r = -9
óła1
a1 = 19, r = -2
6.2 Rozwiązanie układu. 1
an = -2n + 21
6.3 Zapisanie wzoru ogólnego na n - ty wyrazu danego ciągu. 1
Strona 3 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
Wynik danego etapu
dany etap
6.4 Wyznaczenie wzoru sumy n początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu,
w tym:
" (1p), za wstawienie odpowiednich wartości do wzoru sumy, 2
Sn = (20 - n)Å" n
" (1p), za zapisanie sumy n początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
w postaci iloczynowej.
6.5 Zapisanie, że dla n = 10 suma Sn osiąga wartość największą.
1
S10 = 100
6.6 Obliczenie największej wartości sumy. 1
2 2
SA = (x + 3) + (y - 6) ,
7.1 Obliczenie odległości SA oraz SB. 1
2 2
SB = (x - 9) + (y - 2)
7.
7.2 Rozwiązanie równania SA = SB , w tym:
x2 + 6x + 9 + y2 -12y + 36 =
(3 p.)
= x2 -18x + 81+ y2 - 4y + 4
" (1p), za wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia,
2
" (1p), za doprowadzenie równania do postaci typu Ax + By + C = 0 3x - y - 5 = 0
8.1 Obliczenie liczby odcinków, których oba końce należą do zbioru A,
w tym:
4 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ + ìÅ‚
÷Å‚ ÷Å‚
" (1p), za obliczenie liczby odcinków niezerowych zawartych w każdej prostej, ìÅ‚2÷Å‚ ìÅ‚2÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
8.
2
4 Å" 3
(4 p.)
" (1p), za obliczenie liczby odcinków, których każdy koniec leży
Jest 6 + 3 +12 = 21 takich odcinków.
na innej prostej oraz zapisanie odpowiedzi do podpunktu a.
Strona 4 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
Wynik danego etapu
dany etap
8.2 Obliczenie liczby trójkątów, których wszystkie wierzchołki należą do zbioru A, w
4
ëÅ‚ öÅ‚
tym:
ìÅ‚ Å" 3
ìÅ‚2÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" (1p), za obliczenie liczby trójkątów, których podstawa zawiera
2
siÄ™ w prostej k ,
3
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ Å" 4
ìÅ‚2÷Å‚
÷Å‚
" (1p), za obliczenie liczby trójkątów, których podstawa zawiera
íÅ‚ Å‚Å‚
siÄ™ w prostej l oraz zapisanie odpowiedzi do podpunktu b.
Jest 6 Å" 3 + 3Å" 4 = 30 takich trójkÄ…tów.
9.1 Zauważenie, że SC = CA .
1
SC
9.2 Ułożenie równania z niewiadomą SC . = tg15o
1
SC + 60
9.
SC = tg15o Å"(SC + 60)
9.3 Wyznaczenie niewiadomej SC z powyższego równania, w tym:
(6 p.)
SC Å"(1- tg15o)= 60 Å" tg15o
" (1p), za poprawną metodę rozwiązania równania, 2
" (1p), za wyznaczenie SC . 60 Å" tg15o
SC =
(1- tg15o)
SC H" 21,956
9.4 Podstawienie tg15o =0,2679 i obliczenie przybliżonej wartości SC .
1
Wieża ma 21,96m .
9.5 Podanie wysokości wieży z żądaną dokładnością. 1
10.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednim podziałem przyprostokątnej. 1
10.
AD AC
10.2 Zapisanie równania. (np. przyprostokątne AC, AB ; CD - dwusieczna kąta
=
1
(4 p.)
ACB ). DB CB
Strona 5 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny I  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
Wynik danego etapu
dany etap
CB = 3 AC , czyli AC = 5
10.3 Rozwiązanie równania. (obliczenie długości przyprostokątnej AC ) 1
AB = 10 2
10.4 Obliczenie długości przyprostokątnej AB . 1
11.1 Sporządzenie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta nachylenia ściany
1
bocznej do płaszczyzny podstawy.
3
11.2 Obliczenie kosinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. 1
cos Ä… =
3
1
cos Ä… >
11.3 Oszacowanie obliczonej wartości kosinusa kąta nachylenia ściany bocznej do
11.
2
1
płaszczyzny podstawy.
(6 p.)
cos Ä… > cos 60o
Ponieważ funkcja kosinus maleje
Ä„
ëÅ‚0; öÅ‚
11.4 Skorzystanie z monotoniczności funkcji kosinus. 1
w przedziale , zatem Ä… < 60o .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
a 2
11.5 Wyznaczenie długości wysokości danego ostrosłupa. 1
H =
2
a3 2
11.6 Wyznaczenie objętości danego ostrosłupa. 1
V =
6
Strona 6 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Uwaga:
Zasady oceniania rozwiązań zadań egzaminacyjnych z matematyki zostały opisane na stronie 1 schematu oceniania Arkusza I .
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
12.1 Zapisanie warunku istnienia dwóch różnych pierwiastków równania. 1
p2 > 4 p
12.2 Przekształcenie danego wyrażenia do postaci pozwalającej zastosować wzory 1
2
2(x1 + x2 ) + x1 Å" x2
Viete a.
12. 12.3 Wykorzystanie wzorów Viete a  zbudowanie równania z niewiadomą p. 1
2 p2 + p -1 = 0
(5 p.)
12.4 Rozwiązanie równania. 1 1
p1 = -1, p2 =
2
Dla p = -1 dane wyrażenie osiąga 1
12.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej warunek z p. 12.1.
wartość 1.
13.1 Przekształcenie wielomianu T do postaci umożliwiającej porównanie 1
T (x) = x3 - x2(c + 4)+ 4x(c + 1)- 4c
współczynników.
c + 4 = 1 Ò! c = -3 1
13.2 Wyznaczenie wartości współczynnika c .
13.
a = 4(c + 1) Ò! a = -8 1
(4 p.)
13.3 Wyznaczenie wartości współczynników a,b.
b = -4c Ò! b =12
1
13.4 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności T (x) d"0. x "(- ";- 3 *"{2}
14.1 Wybór dwóch dowolnych argumentów z danego przedziału i ustalenie relacji
1
14. Np. x1 < x2 < 0
między nimi.
Strona 7 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
(4 p.) 14.2 Zbudowanie różnicy wartości funkcji f dla wybranych argumentów.
(x2 - x1)Å"(x2 + x1)
f (x1)- f (x2 )=
2
1
(x1 Å" x2 )
14.3 Określenie znaku różnicy wartości funkcji.
Ponieważ (x2 - x1)> 0 , (x2 + x1)< 0 ,
2
1
(x1 Å" x2 ) > 0 zatem f (x1)- f (x2 )< 0
14.4 Zinterpretowanie otrzymanego wyniku i uzyskanie tezy.
Z założenia x1 < x2 < 0 wynika, że
1
f (x1)< f (x2 ) zatem w przedziale
(- ";0) dana funkcja jest rosnÄ…ca
1
15.1 Zapisanie rozwinięcia dwumianu.
1+ 5x +10x2 +10x3 + 5x4 + x5
15.
1
15.2 Podstawienie x = - 3 i wykonanie potęgowania. 1- 5 3 + 30 - 30 3 + 45 - 9 3
(3 p.)
1
15.3 Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie rozwinięcia w żądanej postaci.
76 - 44 3
16.1 Zapisanie równania wynikającego z danych w zadaniu. 2
1
a1 Å" q14 = 4
16.2 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższego równania.
2
(a1 Å" q7 ) = -2 lub (a1 Å" q7 ) = 2
16.3 Przekształcenie iloczynu piętnastu początkowych kolejnych wyrazów danego
15
1
a1 Å" q1+2+3+...+14
ciÄ…gu do postaci:
16.
16.4 Zapisanie powyższego iloczynu w postaci:
15
1
a1 Å" q7 Å" 15
(6 p.)
16.5 Przekształcenie powyższego iloczynu do postaci pozwalającej podstawić dane
(a1 Å" q7 )15 = 215 lub (a1 Å" q7 ) = (-2)15
z p.16.2 i zapisanie ostatecznej odpowiedzi.
1
Iloczyn piętnastu początkowych
kolejnych wyrazów danego ciągu jest
15
równy 215 lub(- 2) .
Strona 8 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
17.1 Zapisanie założenia o liczbie logarytmowanej oraz rozwiązanie powstałej
x - 2
> 0 Ò! x "(- ";0)*" (2;")
nierówności. Uwaga. Jeżeli uczeń tylko zapisze założenie, to za czynność 17.1
1
x
otrzymuje 1p. wówczas, gdy w p. 17.5 rozwiąże tę nierówność.
x - 2
log3 ëÅ‚ öÅ‚ < 0
17.2 Wykorzystanie monotonicznoÅ›ci funkcji wykÅ‚adniczej. ìÅ‚ ÷Å‚
1
x
íÅ‚ Å‚Å‚
17.
x - 2 1
(5 p.)
< 1
17.3 Wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.
x
1
17.4 Rozwiązanie nierówności wymiernej. x > 0
Zbiorem rozwiązań danej nierówności 1
17.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej poczynione założenia.
jest przedział (2;").
4 1
sin( "ACB) =
18.1 Obliczenie sinusa kÄ…ta ACB .
5
3 2
cos( "ACB)= lub
18.
5
18.2 Obliczenie kosinusa kÄ…ta ACB .
(4 p.)
3
cos( "ACB)= -
5
1
AB = 41 lub AB = 137
18.3 Wykorzystanie tw. kosinusów i obliczenie długości boku AB .
2
19. 1
19.1 Zapisanie równania wynikającego z danych treści zadania. Np. Ąr(r + l) = 3Ąr
(3 p.)
19.2 Wyznaczenie z powyższego równania jednej ze zmiennych. l = 2r 1
Strona 9 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
1
Np. Szukany kÄ…t ma miarÄ™ 60o , bo
19.3 Zapisanie szukanej miary kąta rozwarcia tego stożka.
przekrój osiowy tego stożka jest
trójkątem równobocznym.
4 4
cosÄ… = lub cosÄ… = -
20.1 Obliczenie kosinusa kÄ…ta Ä… , nachylenia prostej l do osi OX . 2
5 5
3 3
tgÄ… = lub tgÄ… = -
4 4
20.2 Obliczenie tangensa kÄ…ta Ä… , nachylenia prostej l do osi OX i zapisanie
1
Współczynnik kierunkowy prostej l
odpowiedzi do podpunktu a.
3 3
öÅ‚
równa siÄ™ lub ëÅ‚- ÷Å‚
.
ìÅ‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
20.
x2 - 2x
20.3 Wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji f . f '(x) = i x `" 1
2
(9 p.)
(x -1)
3 3
(1) x2 - 2x - 3 = 0 ,
20.4 Rozwiązanie równań f '(x) = oraz f '(x) = - , w tym:
4 4
"1 = 16 , x1 = 3 , x2 = -1,
4
- po (1p) za doprowadzenie każdego z równań do postaci równania
(2) 7x2 -14x + 3 = 0 , "2 = 112 ,
kwadratowego i obliczenie wyróżnika,
7 - 2 7 7 + 2 7
- po (1p) za podanie liczby rozwiązań różnych od 1 w każdym z równań.
x3 = , x4 =
7 7
1
20.5 Sformułowanie odpowiedzi do podpunktu b. Istnieją 4 takie styczne.
Strona 10 z 11
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
21.1 Zapisanie równości kątów naprzemianległych wewnętrznych.
(E oznacza punkt wspólny przedłużenia AC i prostej równoległej do CD
1
"BCD = "CBE
i przechodzÄ…cej przez p. B)
21.
21.2 Zapisanie równości kątów odpowiadających. "ACD = "CEB 1
(4 p.)
1
21.3 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższych równości kątów. Trójkąt BCE jest równoramienny.
AC AD AC AD
= Ô! =
21.4 Zastosowanie stosunku długości odpowiednich odcinków i uzyskanie tezy.
1
CE AB CB DB
22.1 Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do opisania 1
P(A )" B) = P(A) + P(B) - P(A *" B)
prawdopodobieństwa iloczynu dwóch zdarzeń.
P(A *" B) d"1 1
22.2 Zapisanie własności prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń.
22.
(3 p.)
P(A )" B) 0,8 + 0,5 -1
1
22.3 Oszacowanie szukanego prawdopodobieństwa warunkowego i uzyskanie
P(A B) = e"
żądanej nierówności. P(B) 0,5
Przygotowano w OKE Wrocław
Strona 11 z 11