Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom podstawowy
Listopad 2009
Zadania zamkni´te
Numer Poprawna Liczba
Wskazówki do rozwiązania
zadania odpowiedę punktów
1. D. 1
27- 2$96= (33)- 2$(32)6= 3- 6$312= 3- 6 + 12= 36
2. B. 1
2
3 5
4 45
cosa= 1 -c2m - = =
= 1
7 49 49 7
3. B. 1
x - 2 < 4
-4 < x - 2 < 4
-2 < x < 6
x ! (-2, 6)
4. B. 1
r2= 16, r = 4
L = 2r$4 = 8r
5. D. 1
a3= 125, a = 5, P = 6a2= 6$52= 6$25 = 150
6. C. 1
2
r = $6 3 = 4 3
3
7. D. 1
Wierzcho"ek paraboli: (45). Najmniejsza wartoĘç to druga wspó"rz´dna
,
wierzcho"ka, a wi´c 5.
8. C. 1
Y
4
3
2
1
 6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 X
 1
 2
x ! (-3,-1 , 3,3)
9. C. 1
log 0,1 + log216 =-1 + 4 = 3
10. D. 1
Liczba wszystkich uczniów klasy: 5 + 9 + 10 + 4 + 2 = 30.
Âredni wzrost:
160$5 + 165$9 + 170$10 + 175$4 + 180$2
. 168_cmi
30
Liczba uczniów o wzroĘcie powyŻej 168 cm: 10 + 4 + 2 = 16.
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
11. B. 1
y = mx + 6
- 4 = 2m + 6
2m =- 4 - 6
2m =- 10
m =- 5
12. B. 1
50
= 1,25 = 125%
40
125% - 100% = 25%
13. B. 1
W(x)$M(x) = (x - 4)( x2 - 2x) = x3- 2x2 - 4x2 + 8x = x3- 6x2 + 8x
14. A. 1
PR = (- 1 - 3)2 + [2 - (- 1)]2 = (- 4)2 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5
L = 4$5 = 20
15. D. Wyraz Ęrodkowy jest Ęrednią arytmetyczną wyrazów skrajnych. 1
1 + 5
x + 4 =
2
x + 4 = 3
x = 3 - 4
x =-1
16. C. 1
-1 = 42 + k
-1 = 16 + k
k =-17
a4 1
17. A. 1
a3 = = q
2
a1= 1
1 1
a2= a1$q = 1$ =
2 2
2
18. A. 1
a2= + 52= 144 + 25 = 169
c24m
2
a = 169 = 13
19. C. 1
1
a= $360c= 40c
9
b kÄ…t wpisany
b= 0,5$a= 0,5$40c= 20c
20. B. 1
2
- x + 4 < 0
3
2
- x <- 4
3
- 2x <- 12
x > 6
Zadania otwarte
Numer Liczba
Kryteria oceniania
zadania punktów
21. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Sprowadzenie równania do postaci iloczynowej.
x2(x + 1) + (x + 1) = 0
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
(x2 + 1)( x + 1) = 0
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Sprowadzenie do postaci iloczynowej i wyznaczenie rozwiązania równania.
x =-1
22. Dokonanie istotnego post´pu. 1
SporzÄ…dzenie rysunku.
Y
6
5
4
(2, 4)
3
2
y = x 2
( 1, 1) 1
 6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 X
 1
 2
 3
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
SporzÄ…dzenie rysunku i odczytanie odpowiedzi.
x <-1 lub x > 2.
23. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Zapisanie równania okr´gu w postaci kanonicznej
(x - 2)2 + (y - 1)2= 9
i wyznaczenie wspó"rz´dnych Ęrodka i promienia: (2, 1), r = 3.
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Zapisanie równania w postaci kanonicznej (lub sporządzenie rysunku) i zapisanie równał

prostych: x =-1, x = 5.
24. Dokonanie istotnego post´pu. 1
x - d"ugoĘç ramienia trapezu
Zapisanie zwiÄ…zku mi´dzy d"ugoĘciÄ… ramienia a cosinusem kÄ…ta ostrego i obliczenie d"ugoĘci
ramienia.
1 1
=
x
2
x = 2_cmi
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Obliczenie obwodu trapezu.
L = 6 + 2 + 4 + 2 = 14_cmi
25. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Obliczenie wyrazu a .
n
a = S - S = n (n - 2) - (n - 1)(n - 3) = n2 - 2n - n2 + 3n + n - 3 = 2n - 3
n n n - 1
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Wyznaczenie pierwszego wyrazu i róŻnicy.
a1= 2$1 - 3 =- 1
r = a2 - a1= 1 + 1 = 2
www. operon. pl
3
+ 2
x
=
y
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
26. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Opuszczenie znaku wartoĘci bezwzgl´dnej.
x - 1 + x - -x + 1 =- x + 1 + x + x - 1
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Opuszczenie znaku wartoĘci bezwzgl´dnej i dokonanie redukcji wyrazów podobnych.
Zapisanie wyraŻenia w najprostszej postaci: x.
27. Dokonanie istotnego post´pu. 1
Zapisanie odpowiedniego równania.
x  wiek Julki
x + 2 = 2 (x - 8)
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie równania. 1
U"oŻenie i rozwiązanie równania: x = 18
28. Dokonanie istotnego post´pu. 1
ZauwaŻenie, Że prostokąt jest kwadratem i obliczenie d"ugoĘci jego przekątnej: a 2, gdzie
a  d"ugoĘç boku kwadratu.
Bezb"´dne rozwiÄ…zanie zadania. 1
Wyznaczenie d"ugoĘci przekątnej oraz obliczenie stosunku kwadratów.
2
Ä… 2
j
= 2
a2
29. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Wykorzystanie zaleÅ»noĘci mi´dzy wyrazami ciÄ…gu geometrycznego oraz arytmetycznego.
x2= 4y
5 + y
x + 1 =
2
Dokonanie istotnego post´pu. 1
UzaleŻnienie jednej z niewiadomych od drugiej.
y = 2x - 3
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Otrzymanie równania kwadratowego
x2 - 8x + 12 = 0
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… usterki. 1
Obliczenie niewiadomej: x = 2 lub x = 6.
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
Wybranie odpowiedniej liczby:
x = 2
30. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Zapisanie zaleŻnoĘci wynikających z treĘci zadania.
180 = vt
180 = (t - 1)(v + 30)
Dokonanie istotnego post´pu. 1
Otrzymanie równania z jedną niewiadomą.
180 v + 30 180
+ =
v
v + 30 v + 30
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Otrzymanie równania kwadratowego.
v2 + 30v - 5400 = 0
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… usterki. 1
km
Obliczenie pr´dkoĘci: v = 60 .
h
www. operon. pl
4
Matematyka. Poziom podstawowy
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
km
v = 60
h
31. Dokonanie niewielkiego post´pu. 1
Zapisanie uk"adów równał
, umoŻliwiających wyznaczenie wzorów odpowiednich prostych.
AC:4 =- 2a + b i -3 = 5a + b
BD: -2 =- 2a + b i 4= a + b
Pokonanie zasadniczych trudnoĘci zadania. 1
Wyznaczenie równał
przekątnych i zapisanie uk"adu równał
, prowadzÄ…cego do
wyznaczenia wspó"rz´dnych punktu przeci´cia prostych.
(y =- x + 2
y = 2x + 2
Rozwiązanie zadania do koł
ca  w rozwiÄ…zaniu wyst´pujÄ… usterki. 1
Znalezienie wspó"rz´dnych punktu przeci´cia: _0, 2i
RozwiÄ…zanie bezb"´dne. 1
_0, 2i
W kluczu sÄ… prezentowane przyk"adowe prawid"owe odpowiedzi. NaleÅ»y równieÅ» uznaç odpowiedzi ucznia, jeĘli sÄ… inaczej sfor-
mu"owane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w kluczu, ale poprawne.
www. operon. pl
5