materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl Oblicz:
log 9 1 log 1 log 10
2
Oblicz:
RozwiÄ…zanie:
log2 1 log3 1 log5 5
Na podstawie wzorów: loga 1 = 0, loga a = 1.
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów: loga 1 = 0, loga a = 1. log 9 1 = 0
2
log 1 = 0
log2 1 = 0
log 10 = 1
log3 1 = 0
log5 5 = 1 Na podstawie definicji logarytmu:
9
log 9 1 = 0 do jakiej potęgi daje 1? Odp. 0
Na podstawie definicji logarytmu:
2
2
log 1 = 0 10 do jakiej potęgi daje 1? Odp. 0
log2 1 = 0 2 do jakiej potęgi daje 1? Odp. 0
log 10 = 1 10 do jakiej potęgi daje 10? Odp. 1
log3 1 = 0 3 do jakiej potęgi daje 1? Odp. 0
log5 5 = 1 5 do jakiej potęgi daje 5? Odp. 1
Oblicz:
log2 4 log2 8 log2 16
Oblicz:
RozwiÄ…zanie:
3
log7 1 log 3 log12 12
4
4
Na podstawie wzoru: loga ak = k.
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów: loga 1 = 0, loga a = 1. log2 4 = log2 22 = 2
log2 8 = log2 23 = 3
log7 1 = 0
3
log2 16 = log2 24 = 4
log 3 = 1
4
4
log12 12 = 1 Na podstawie definicji logarytmu:
log2 4 = 2 2 do jakiej potęgi daje 4? Odp. 2
Na podstawie definicji logarytmu:
log2 8 = 3 2 do jakiej potęgi daje 8? Odp. 3
log7 1 = 0 7 do jakiej potęgi daje 1? Odp. 0
3 3 3
log2 16 = 4 2 do jakiej potęgi daje 16? Odp. 4
log 3 = 1 do jakiej potęgi daje ? Odp. 1
4 4 4
4
log12 12 = 1 12 do jakiej potęgi daje 12? Odp. 1
Oblicz:
log3 9 log3 81 log3 243
 matematyka.pisz.pl  1  matematyka.pisz.pl 
1
RozwiÄ…zanie: log4 16 = log4 16-1 = log4(42)-1 = log4 4-2 = -2
Na podstawie wzoru: loga ak = k.
1
log4 256 = log4 256-1 = log4(44)-1 = log4 4-4 = -4
log3 9 = log3 32 = 2
Na podstawie definicji logarytmu:
log3 81 = log3 34 = 4
1
log2 1 = -1 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -1
2 2
log3 243 = log3 35 = 5
1
log2 1 = -2 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -2
4 4
Na podstawie definicji logarytmu:
1 1
log2 16 = -4 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -4
log3 9 = 2 3 do jakiej potęgi daje 9? Odp. 2 16
log3 81 = 4 3 do jakiej potęgi daje 81? Odp. 4
Oblicz:
log3 243 = 5 3 do jakiej potęgi daje 243? Odp. 5 2 log9 3 6 log8 2 - 2 log 1 4
2
RozwiÄ…zanie:
1
Na podstawie wzoru loga xk = k loga x, loga ak = k i a-x = .
ax
Oblicz:
1
log2 1 log2 1 log2 16
2 4
2 log9 3 = log9 32 = log9 9 = 1
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów na potęgi i wzoru loga ak = k.
6 log8 2 = log8 26 = log8 64 = 2
4
log2 1 = log2 2-1 = -1
2 1 1 1
-2 log 1 4 = log 1 4-2 = log 1 = log 1 = log 1 = 4
42 16 2
2 2 2 2 2
log2 1 = log2 4-1 = log2(22)-1 = log2 2-2 = -2
4
1
log2 16 = log2 16-1 = log2(24)-1 = log2 2-4 = -4
Oblicz:
1
Na podstawie definicji logarytmu: 8 log16 2 2 log49 7 4 log 1
3
9
1
RozwiÄ…zanie:
log2 1 = -1 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -1
2 2
Na podstawie wzorów: loga xk = k loga x i loga ak = k
1
log2 1 = -2 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -2
4 4
8 log16 2 = log16 28 = log16 256 = log16 162 = 2
1 1
log2 16 = -4 2 do jakiej potęgi daje ? Odp. -4
16
2 log49 7 = log49 72 = log49 49 = 1
4 2
1 1 1 1
Oblicz:
4 log 1 = log 1 = log 1 = log 1 = 2
3 3 81 9
9 9 9 9
1 1
log4 1 log4 16 log4 256
4
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów na potęgi i wzoru loga ak = k.
Oblicz:
5 5
log4 1 = log4 4-1 = -1 5log 3 72 log7 6 25log 3
4
 matematyka.pisz.pl  2  matematyka.pisz.pl 
RozwiÄ…zanie:
a
Na podstawie wzoru (ax)y = ax·y i alog x = x.
log8 2 + log8 32 = log8(2 · 32) = log8 64 = 2
5
5log 3 = 3
7
72 log7 6 = (7log 6)2 = 62 = 36
log 2 + log 5 = log(2 · 5) = log 10 = 1
log 3 2
5
5 5
25log 3 = 52 = 52 log5 3 = 5log 3 = 32 = 9
Oblicz:
log15 3 + log15 5 log 4 + log 25 log4 8 + log4 32
Oblicz:
RozwiÄ…zanie:
4 3
4log 5 23 log2 7 9log 6
Na podstawie wzorów: loga x + loga y = loga(x · y), loga a = 1 i loga ak = k.
RozwiÄ…zanie:
log15 3 + log15 5 = log15(3 · 5) = log15 15 = 1
a
Na podstawie wzoru (ax)y = ax·y i alog x = x.
4
4log 5 = 5
log 4 + log 25 = log(4 · 25) = log 100 = 2
2
23 log2 7 = (2log 7)3 = 73 = 343
log 6 2 log4 8 + log4 32 = log4(8 · 32) = log4 256 = log4 44 = 4
3
3 3
9log 6 = 32 = 32 log3 6 = 3log 6 = 62 = 36
Oblicz:
Oblicz:
log3 6 - log3 2 log4 32 - log4 2 log 30 - log 3
log 5
2
2 4
8log 9 42+log 7 1
2
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów: loga x - loga y = loga x i loga a = 1
y
1
a
Na podstawie wzoru (ax)y = ax·y, a-x = i alog x = x.
ax
log3 6 - log3 2 = log3 6 = log3 3 = 1
2
3
2 2 2
8log 9 = (23)log 9 = 23 log2 9 = 2log 9 = 93 = 729
log4 32 - log4 2 = log4 32 = log4 16 = 2
2
4 4
42+log 7 = 42 · 4log 7 = 16 · 7 = 112
log 5 -1
1 2 1
2 2
= (2-1)log 5 = 2- log2 5 = 2log 5 = 5-1 = 30
2 5
log 30 - log 3 = log = log 10 = 1
3
Oblicz:
Oblicz:
log6 3 + log6 2 log8 2 + log8 32 log 2 + log 5
log5 100 - log5 4 log11 363 - log11 3 log 7000 - log 7
RozwiÄ…zanie: RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów: loga x + loga y = loga(x · y) i loga a = 1 Na podstawie wzorów: loga x - loga y = loga x i loga ak = k
y
log6 3 + log6 2 = log6(3 · 2) = log6 6 = 1 log5 100 - log5 4 = log5 100 = log5 25 = 2
4
 matematyka.pisz.pl  3  matematyka.pisz.pl 
log11 363 - log11 3 = log11 363 = log11 121 = 2
log3 6 + log3 15 - log3 10 = log3(6 · 15) - log3 10 = log3 90 = log3 9 = 2
3
10
7000
log 7000 - log 7 = log = log 1000 = log 103 = 3
7
Oblicz:
" " "
3
log2 2 2 log3 9 3 log 1000 10
RozwiÄ…zanie:
Oblicz:
Na podstawie wzorów:
"
2 log6 3 + log6 4 2 log3 6 - log3 4 6 log7 2 - 3 log7 4 1
n
n
loga(x · y) = loga x + loga y, loga ak = k, a = a
RozwiÄ…zanie: " "
1
1 1
2
log2 2 2 = log2 2 + log2 2 = 1 + log2 2 = 1 + = 1
Na podstawie wzorów: 2 2
k loga x = loga xk, loga x + loga y = loga(x · y) i loga x - loga y = loga x
y
" "
1
1 1
2
log3 9 3 = log3 9 + log3 3 = 2 + log3 3 = 2 + = 2
2 2
2 log6 3 + log6 4 = log6 32 + log6 4 = log6(9 · 4) = log6 36 = 2
" "
1
3 3
1 1
3
log 1000 10 = log 1000 + log 10 = log 103 + log 10 = 3 + = 3
2 log3 6 - log3 4 = log3 62 - log3 4 = log3 36 = log3 9 = 2
3 3
4
6 log7 2 - 3 log7 4 = log7 26 - log7 43 = log7 26 = log7 64 = log7 1 = 0
43 64
Inny sposób:

"
1 1
1
2 2
log2 2 2 = log2 2 · 2 = log2 21 = 1
2
Inny sposób:

"
1 1 1
1
2 2 2
log3 9 3 = log3 9 · 3 = log3 32 · 3 = log3 32 = 2
2
6 log7 2 - 3 log7 4 = 6 log7 2 - 3 log7 22 = 6 log7 2 - 6 log7 2 = 0

"
1 1
3
1
3 3
log 1000 10 = log 103 · 10 = log 103 = 3
3
Oblicz:
Oblicz:
" " "
log8 32 + 4 log8 2 log 25 + 2 log 2 log3 6 + log3 15 - log3 10
4
log5 25 5 log3 9 27 log 100 100
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
Na podstawie wzorów:
"
1
n
k loga x = loga xk, loga x - loga y = loga x i loga x + loga y = loga(x · y)
n
loga(x · y) = loga x + loga y, loga xk = k loga x, loga ak = k, a = a
y
" "
1
1
2
log5 25 5 = log5 25 + log5 5 = 2 + log5 5 = 2 + = 21
log8 32 + 4 log8 2 = log8 32 + log8 24 = log8 32 + log8 16 =
2 2
= log8(32 · 16) = log8 512 = log8 83 = 3
" "
1
1
2
log3 9 27 = log3 9 + log3 27 = 2 + log3 27 = 2 + log3 27 =
2
1 1 1 3 1
log 25 + 2 log 2 = log 25 + log 22 = log 25 + log 4 = log 100 = 2 = 2 + log3 33 = 2 + · 3 log 3 = 2 + · 3 · 1 = 2 + = 3
2 2 2 2 2
 matematyka.pisz.pl  4  matematyka.pisz.pl 
Oblicz:
" " "
3
10
log3 39 log5 "5 log
3
10000
5
" "
1
4 4
4
log 100 100 = log 100 + log 100 = log 102 + log 100 =
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
1 1 1 1
"
= 2 + log 100 = 2 + · 2 = 2 + = 2 1
n
4 4 2 2
n
loga x = loga x - loga y, loga ak = k, loga xk = k loga x, a = a
y
"
"
3
1
3
1
3
log3 39 = log3 9 - log3 3 = log3 9 - 1 = log3 9 - 1 =
3
Inny sposób:

"
1 1 1 2 1
1
= · 2 - 1 = - 1 = -
2 2
log5 25 5 = log5 52 · 5 = log5 52 = 2
3 3 3
2

"
1 1 3 1
1
2 2 2 2
log3 9 27 = log3 32 · 27 = log3 32 · (33) = log3 32 · 3 = log3 33 = 3
"
" "
2
1 1
3
1 1 3 2 1
2 3
log5 "5 = log5 5 - log5 5 = log5 5 - log5 5 = - = - =
3

2 3 6 6 6
" 5
1 1 2
4
4 4 4
log 100 100 = log 102 · 100 = log 102 · (102) = log 102 · 10 =
1
1 "
"
2 1
= log 102 = 2
10 1 1
2 2
log = log 10 - log 10000 = log 10 - log 104 = - 4 = -3
10000 2 2
Oblicz:
" " "
3
3 10
log2 22 log3 27 log
100
Inny sposób:
RozwiÄ…zanie:
1
" 1 2
3
Na podstawie wzorów: 2 1
3
3 3
-1 1
"
1 3
log3 39 = log3 9 = log3 (32) = log3 3 = log3 3 = log3 3- 3 -
=
n
3 3 3 3
n
loga x = loga x - loga y, loga ak = k, a = a
y
" 1
1 1 3 2 1
"
" 2
- - 1
1
2 3 6 6 6
1 1 log5 "5 = log5 5 = log5 5 = log5 5 = log5 5 =
3 1
2
6
log2 22 = log2 2 - log2 2 = log2 2 - 1 = - 1 = -
5
3
5
2 2
" 1
1 1
2
10 10 -4 1
2 2
log = log = log 10 = log 10-3 = -3
10000 104 2
"
"
1
3 1 1
2
log3 27 = log3 3 - log3 27 = log3 3 - 3 = - 3 = -2
2 2
Oblicz:
" " " "
"
3 1
3
10 1 2 3 100 10
3 " "
log = log 10 - log 100 = log 10 - 2 = - 2 = -1 log2 2 2 log3 3 "3 log
3 3 4
100 3 3
4 1000
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
Inny sposób:
loga(x · y) = loga x + loga y, loga x = loga x - loga y, loga xk = k loga x, loga ak = k,
y
"
" 1 1
1 1 n
2 n
-1 1
a = a
2
log2 22 = log2 2 = log2 2 = log2 2- 2 -
=
2 2
"
" 1 " " " "
1 1 3 3
2
3 -3 1
2 2 "
log2 2 2 = log2 2 2 - log2 4 = log2 2 + log2 2 - log2 4 =
log3 27 = log3 3 = log3 3 = log3 3-2 = -2
3
33 2
4
" 1
3
1 2
1 1
3
10 10 -2 2
1 1
3 3
log = log = log 10 = log 10-1 = -1 2 3
= 1 + log2 2 - log2 4 = 1 + - log2 4 =
100 102 3
2 3
1 1 1 2 3 2 9 4 5
= 1 - · 2 = 1 - = - = - =
2 3 2 3 2 3 6 6 6
 matematyka.pisz.pl  5  matematyka.pisz.pl 
Oblicz:
"
1
log16 2 log 1 log2"2 2
3
27

"
" " " "
3 3
3
RozwiÄ…zanie:
log3 3 "3 = log3 3 - log3 3 3 = log3 3 - log3 3 + log3 3 =
3
1
Na podstawie wzorów: loga b = , loga(x · y) = loga x + loga y
logb a
1 1
1 1 3 6 2 5
2 3
= log3 3 - 1 - log3 3 = - 1 - = - - = -
2 3 6 6 6 6
1 1
log16 2 = =
log2 16 4
"
" " " "
4 4
100 10
"
log = log 100 10 - log 1000 = log 100 + log 10 - log 1000 =
4
1000
1 1
1
1 1
log 1 = =
1 1
2 4 3 1
= 2 + log 10 - log 1000 = 2 + - log 1000 = 27
log 1 3
2 4
27
3
1 1 5 3 10 3 7
= 2 - · 3 = - = - = = 13
2 4 2 4 4 4 4 4
"
1 1 1 1
log2"2 2 = " = " = =
2 + 1 3
log"2 2 2 log"2 2 + log"2 2
Oblicz:
Inny sposób:
"
1
4
log8 2 log81 3 log1000 10 1
4
log16 2 = log16 16 = log16 16 =
4

RozwiÄ…zanie: 1

1 3 1 1 1
3
1 log 1 = log 1 = log 1 =
3 27 27 3
27 27 27
Na podstawie wzoru loga b =
logb a
Oblicz:
1 1
log8 2 = =
log4 8 log9 27 log"2 8
log2 8 3
RozwiÄ…zanie:
logc b
Na podstawie wzoru loga b =
1 1
logc a
log81 3 = =
log3 81 4
log2 8 3
1
log4 8 = = = 1
2
log2 4 2
1 1
log1000 10 = =
log 1000 3
log3 27 3
1
log9 27 = = = 1
2
log3 9 2
Inny sposób:
"
1
3
1
3
log8 2 = log8 8 = log8 8 =
3
log2 8 3
2
log"2 8 = " = = 3 · = 6
"
1 1
1
4
1
log2 2
4
log81 3 = log81 81 = log81 81 = 2
4
"
1
4
1 Inny sposób:
3
log1000 10 = log1000 1000 = log1000 1000 =
3
1
1 1
2
log4 8 = log4(2 · 4) = log4 2 + log4 4 = log4 4 + 1 = + 1 = 1
2 2
 matematyka.pisz.pl  6  matematyka.pisz.pl 
1
1
2
log9 27 = log9(3 · 9) = log9 3 + log9 9 = log9 9 + 1 = + 1 = 11
2 2
" "
log"2 8 = log"2 23 = 3 log"2 2 = 3 · 2 = 6 3 3
"
log7 7 7 log7 7 + log7 7
3
log 1 7 7 = = =
1
49
log7 49 log7 49-1
Oblicz:
1
1 1
3
1 + 1
1 + log7 7
3 3 4 1 2
log25 125 log100 100000 log 1 16
= = = = · - = -4 = -
4
3 2 6 3
- log7 49 -2 -2
RozwiÄ…zanie:
logc b
Inny sposób:
Na podstawie wzoru loga b =
logc a
1
1 1
3
log8 16 = log8(2 · 8) = log8 2 + log8 8 = log8 8 + 1 = + 1 = 1
3 3
log5 125 3
log25 125 = = = 11 1 2
2 log27 9 = log27 27 = log27 27 - log27 3 = 1 - =
log5 25 2
3 3 3
log 100000 5
Zapisz w prostszej postaci.
1
log100 100000 = = = 2
2
log 100 2
2 log 3 log 5 + log 3 log 8 - log 2
RozwiÄ…zanie:
log4 16 2
log 1 16 = = = -2
WykorzystujÄ™ wzory:
4
log4 1 -1
4
loga xk = k loga x, loga x + loga y = loga(x · y), loga x - loga y = loga x
y
Inny sposób:
2 log 3 = log 32 = log 9
1 1
log25 125 = log25(5 · 25) = log25 5 + log25 25 = + 1 = 1
2 2
log 5 + log 3 = log(5 · 3) = log 15
1
log100 100000 = log100(10 · 10000) = log100 10 + log100 10000 = + 2 = 21
2 2
8
log 8 - log 2 = log = log 4
2
log 1 16 = log 1 42 = 2 log 1 4 = 2 · (-1) = -2
4 4 4
Zapisz w prostszej postaci.
Oblicz:
"
3
log8 16 log27 9 log 1 7 7
3 log 2 - log 4 log 5 + log 2 4 log 2 + 2 log 3
49
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
logc b
Na podstawie wzorów: loga b = , loga(x · y) = loga x + loga y
WykorzystujÄ™ wzory:
logc a
loga xk = k loga x, loga x + loga y = loga(x · y), loga x - loga y = loga x
y
log2 16
4 1
log8 16 = = = 1
8
3 3
3 log 2 - log 4 = log 23 - log 4 = log 8 - log 4 = log = log 2
log2 8
4
log 5 + log 2 = log(5 · 2) = log 10 = 1
log3 9
2
log27 9 = =
3
4 log 2 + 2 log 3 = log 24 + log 32 = log 16 + log 9 = log(16 · 9) = log 144
log3 27
 matematyka.pisz.pl  7  matematyka.pisz.pl 
Zapisz w prostszej postaci.
1
3 log7 2 log 5 · log5 10 2 log4 1 - log4 18
3
RozwiÄ…zanie:
WykorzystujÄ™ wzory:
a
k loga x = loga xk, alog x = x, loga x - loga y = loga x
y
3 log7 2 = log7 23 = log7 8
log 5 · log5 10 = log5 10log 5 = log5 5 = 1
2 1
1 1
2 log4 1 - log4 18 = log4 1 - log4 18 = log4 1 - log4 18 =
3 3 9

1 18 1
= log4 1 : = log4 1 · = log4 2 =
9 18 9 1 2
Zapisz w prostszej postaci.
3 log3 2 + log3 5 log6 2 + log6 30 - log6 10 log2 7 - log2 3 + log2 6
RozwiÄ…zanie:
WykorzystujÄ™ wzory:
a
k loga x = loga xk, alog x = x, loga x + loga y = loga(x · y),
loga x - loga y = loga x
y
3 log3 2 + log3 5 = log3 23 + log3 5 = log3 8 + log3 5 =
= log3(8 · 5) = log3 40
log6 2 + log6 30 - log6 10 = log6(2 · 30) - log6 10 = log6 60 = log6 6 = 1
10

log2 7 - log2 3 + log2 6 = log2 7 + log2 6 = log2 7 · 6 = log2 14
3 3
 matematyka.pisz.pl  8  matematyka.pisz.pl