dysleksja
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
MMA-R1A1P-062
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
ARKUSZ II
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 150 minut
MAJ
ROK 2006
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdz
, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron
(zadania 12  21). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
Za rozwiązanie
egzaminatora.
wszystkich zadań
10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
można otrzymać
Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
łącznie
zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.
50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
KOD
PESEL ZDAJ
CEGO ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 12. (5 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n e" 1
2
22
prawdziwy jest wzór: 1�"3�"(1!)2 + 2�" 4�" 2 ! + �"�"�" + n n + 2 n ! = Ą# n +1 !ń# -1.
( ) ( )( ) ( )
Ł# Ś#
Sprawdzam, czy wzór jest prawdziwy dla n =1:
2
L =1�"3�"1! P = 2! -1
( )
L = P
Założenie indukcyjne:
2
2
1�"3�" (1!)2 + 2 �" 4 �" 2! + ... + n(n + 2)(n!)2 = Ą# n +1 !ń# -1 dla n e"1.
( ) ( )
Ł#Ś#
Teza:
2 22
1�"3�" (1!)2 + 2 �" 4 �" 2! + ... + n(n + 2)(n !)2 + (n +1)(n + 3) (n +1) ! = (n + 2) ! -1
( ) [ ] [ ]
Dowód:
Korzystam z założenia indukcyjnego i otrzymuję
22
L = (n +1)! -1+ (n +1)(n + 3) (n +1)! =
[] []
22
= (n +1)! + (n +1)(n + 3) (n +1)! -1.
[] []
Wyłączam z pierwszych dwóch składników wyrażenia wspólny czynnik
2
(n +1)! przed nawias:
[]
22
L = (n +1)! �" 1+ (n +1)(n + 3)
[] [ ]-1= (n +1)! �" n2 + 4n + 4 -1=
[ ]
( )
2 2
= (n +1)! �" n + 2 -1.
[] ( )
Korzystam z równości : (n +1)!(n + 2) = (n + 2)! i otrzymuję
22
L = (n +1)!(n + 2) -1 = (n + 2)! -1 = P .
[] [ ]
wniosek: Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla
każdej liczby naturalnej n e"1.
Nr czynności 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz II
Zadanie 13. (5 pkt)
5n + 6
Dany jest ciąg (an ), gdzie an = dla każdej liczby naturalnej n e" 1.
10(n +1)
a) Zbadaj monotoniczność ciągu (an ).
b) Oblicz lim an .
n"
c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest
warunek a d" an d" b.
a)
Aby określić monotoniczność ciągu obliczam różnicę an+1 - an .
5n +11 5n + 6
an+1 - an = - =
10 n + 2 10 n +1
( ) ( )
5n +11 n +1 -( )( )
5n + 6 n + 2
()( )
==
10 n +1 n + 2
( )( )
5n2 + 5n +11n +11- 5n2 -10n - 6n -12
==
10 n +1 n + 2
( )( )
-1
=
10 n +1 n + 2
( )( )
-1
< 0 dla każdej liczby naturalnej, zatem ciąg jest malejący.
10 n +1 n + 2
( )( )
b)
6
5 +
5n + 6 5n + 6 1
n
lim = lim = lim =
n" n" n"
10
10(n +1) 10n +10 2
10 +
n
c)
Ciąg jest malejący, więc najmniejszą liczbą, która spełnia nierówność an d" b
11
jest pierwszy wyraz tego ciągu, czyli b = , natomiast największą liczbą
20
1
spełniającą nierówność a d" an jest granica tego ciągu, czyli a = .
2
Nr czynności 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 14. (4 pkt)
a) Naszkicuj wykres funkcji y = sin 2x w przedziale < -2Ą ,2Ą > .
sin 2x
b) Naszkicuj wykres funkcji y = w przedziale < -2Ą ,2Ą >
sin 2x
sin 2x
i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność < 0 .
sin 2x
a)
y
6
5
4
3
2
1
x
Ą Ą
-2 -ĄĄ 2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
b)
sin2x
Wyznaczam dziedzinę funkcji y = :
sin2x
kĄ
sin2x `" 0 dla x `" .
2
Przekształcam wzór funkcji:
sin2x 1 dla sin2x > 0
ż#
y ==
�#
sin2x
�#-1 dla sin2x < 0
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz II
ż# 3Ą ĄĄ 3Ą
ś# �# ś# �# ś# �# ś#
1 dla x"�# -2Ą ,- *" -Ą ,- *" 0, *" ,
ś#ź# ś# ź# ś# ź# ś#Ą 2 ź#
�#
22 2
�# �# # �# # �# # �# #
y =
�#
3ĄĄ 3Ą
Ą
ś# �# �# ś# �# ś#
�#
-1 dla x"�# - ,-Ą *" - ,0ś# *" ,Ą *" ,2Ą
ś#ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
�#
22 2
2
�# # �# # �# # �# #
�#
y
5
4
3
2
1
x
-2 -3 /2 -Ą -Ą Ą Ą 3 /2 2
Ą Ą /2 /2 Ą Ą
-1
-2
-3
-4
-5
sin2x
Odp.: Rozwiązaniem nierówności < 0
sin2x
3ĄĄ Ą 3Ą
�#ś# �# �# ś# �# ś#
jest zbiór: - ,-Ą *" - ,0ś# *" ,Ą *" ,2Ą .
ś#ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
22 2
2
�# # �# # �# # �# #
Nr czynności 14.1. 14.2. 14.3. 14.4.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 15. (4 pkt)
Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóz
nienie autobusu zależy od tego,
który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli,
że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóz
nienie zdarza się w 5% jego kursów,
gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego
kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa
razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóz
nienia się
szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.
Wprowadzam następujące oznaczenia zdarzeń:
A - autobus prowadzi kierowca A,
B - autobus prowadzi kierowca B,
C - autobus prowadzi kierowca C,
S - autobus szkolny spóz
nia się,
M - autobus przyjeżdża punktualnie.
Zdarzenia A, B, C spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie
całkowitym, więc:
P S = P S | A �" P A + P S | B �" P B + P S | C �" P C .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
5 5
2
5
A B C
19 4 1 1
1 1
20 5 2 2
20 5
S M S M S M
Obliczam prawdopodobieństwo:
1 2 1 2 1 1 1
P(S) = �" + �" + �" = .
20 5 5 5 2 5 5
Nr czynności 15.1. 15.2. 15.3. 15.4.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz II
Zadanie 16. (3 pkt)
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich
kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa
400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając
go do jednego metra.
CAB = 20 , ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180 .
Do wyznaczenia szukanej odległości stosuję twierdzenie sinusów:
AB
400
= .
sin30 sin 20
Obliczam odległość obiektu A od obiektu B:
200 200
AB =H" H" 584,8
sin 20 0,342
Odp.: Odległość obiektów w linii prostej jest równa 585 metrów.
Nr czynności 16.1. 16.2. 16.3.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
8 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 17. (6 pkt)
Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB
CS
2
i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że = .
SB 5
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus CBD .
D E
C
S
O
B
F
A G
Przyjmuję oznaczenia jak na rysunku.
CS
2
a) Wykorzystując proporcję = wprowadzam oznaczenia:
SB 5
CS = 2x , SB = 5x , stąd BC = 2x + 5x = 7x .
"OSC a" "OEC więc EC = CS = 2x .
DC = 4x - z własności trapezu równoramiennego.
Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu otrzymuję:
AB + CD = 2 �" BC =14x , stąd AB =10x .
Z własności trapezu równoramiennego wynika, że FB = 3x .
Z twierdzenia Pitagorasa dla "FBC otrzymuję:
10
222 22 2
CF + FB = CB , czyli 2r + 3x = 7x , r2 =10x2 , stąd x = r ,
( ) ( ) ( )
10
7 10 4 10
więc BC = r , DC = r .
10 10
Egzamin maturalny z matematyki 9
Arkusz II
b)
Wyznaczam długość przekątnej BD z trójkąta prostokątnego BDG, w którym
7 10
GB = r :
10
222
GB + GD = DB ,
490r2 490r2 + 400r2 890
2
DB =+ 4r2 = , stąd BD = r .
100 100 10
Stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD otrzymuję:
222
DC = BC + DB - 2 �" BC �" DB �" cos CBD ,
222
�#ś# �#ś# �#ś#
4 10 7 10 890 7 10 890
r = r + r - 2 �" r �" r �" cos CBD .
ś#ź# ś#ź# ś#ź#
10 10 10
�# # �# # �# #10 10
61 89
Odp.: cos CBD = .
623
Nr czynności 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
10 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 18. (7 pkt)
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2 m3
istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości
krawędzi tego graniastosłupa.
Wprowadzam następujące oznaczenia:
a  długość krawędzi podstawy, h  wysokość graniastosłupa.
Dla tak wprowadzonych oznaczeń wzory na objętość i pole powierzchni
całkowitej graniastosłupa są następujące:
a2 3 a2 3
V = h , P =+ 3ah .
4 2
a2 3 8 3
Z równania h = 2 wyznaczam niewiadomą h: h = .
4 3a2
Po podstawieniu h do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
otrzymuję funkcję:
a2 38 3 a3 3 +16 3 316
�#ś#
P(a) =+ 3a �" = = a2 + , a " 0," .
( )
ś#ź#
22aa
3a2 2
�# #
a3 - 8
2
Obliczam pochodną funkcji: P (a) = 3 �" , a " 0," .
( )
a2
Dla a = 2 pochodna funkcji przyjmuje wartość 0.
2 2
P (a) d" 0 dla a " 0,2 i P (a) e" 0 dla a " 2," , więc w punkcie a = 2
( )
funkcja P osiąga minimum i jednocześnie wartość najmniejszą, bo funkcja P
w przedziale 0,2 jest malejąca i w przedziale 2," jest rosnąca.
( )
2 3
Dla a = 2 wysokość h = .
3
Odp.: Wymiary graniastosłupa o objętości 2 m3, dla którego pole powierzchni
2 3
całkowitej jest najmniejsze są następujące: a = 2 m , h = m .
3
Nr czynności 18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 18.5. 18.6. 18.7.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 11
Arkusz II
Zadanie 19. (7 pkt)
Nieskończony ciąg geometryczny (an ) jest zdefiniowany wzorem
rekurencyjnym: a1 = 2, an+1 = an �" log2 (k - 2), dla każdej liczby naturalnej n e" 1. Wszystkie
wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których
istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu (an ).
Wyrażenie: log2 k - 2 jest określone, gdy k - 2 > 0 �! k > 2 .
( )
Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że iloraz q = log2 k - 2 .
( )
q `" 0 �! log2 k - 2 `" 0 czyli k `" 3.
( )
Aby istniała suma wszystkich wyrazów danego ciągu geometrycznego, iloraz
ciągu musi spełniać warunek q <1 �! log2 k - 2 <1.
( )
Rozwiązuję nierówność: log2 k - 2 <1,
( )
log2 k - 2 > -1 i log2 k - 2 <1
( ) ( )
1
log2 k - 2 > log2 i log2 k - 2 < log2 2
( ) ( )
2
1
k - 2 > i k - 2 < 2
2
5
k > i k < 4
2
5
Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste należące do przedziału �# ,4ś#.
ś# ź#
2
�# #
Odp.: Suma wszystkich wyrazów danego ciągu o wszystkich wyrazach różnych
5
od zera istnieje dla k "�# ,3ś# *" 3,4 .
( )
ś# ź#
2
�# #
Nr czynności 19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1 2 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
12 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 20. (4 pkt)
-2x2 -3x+2
2
1
�# ś#
Dane są funkcje f (x) = 3x -5x i g(x) = .
ś# ź#
9
�# #
Oblicz, dla których argumentów x wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.
22
Warunki zadania są równoważne nierówności: 3x -5x > 34x +6x-4 .
-2x2 -3x+2
2
1
�# ś#
Rozwiązuję nierówność: 3x -5x >
ś# ź#
9
�# #
2 -2x2-3x+2
3x -5x > 3-2
( )
22
3x -5x > 34x +6x-4
Korzystając z monotoniczności funkcji wykładniczej otrzymuję nierówność
równoważną:
x2 - 5x > 4x2 + 6x - 4
-3x2 -11x + 4 > 0
11-13 1 11+13
"=169 , x1 == , x2 == -4 .
-6 3 -6
1
ś#
Odp.: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: �# -4, .
ś# ź#
3
�# #
Nr czynności 20.1. 20.2. 20.3. 20.4.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 1 1 1
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 13
Arkusz II
Zadanie 21. (5 pkt)
W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja f ma następujące
własności:
 jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
 f jest funkcją nieparzystą,
 f jest funkcją ciągłą
oraz:
2
f (x) < 0 dla x " -3 ,
(-8,
)
2
f (x) > 0 dla x " -1 ,
(-3,
)
2
f (x) < 0 dla x " ,
(-1,0
)
2 2
f (-3) = f (-1) = 0,
f (-8) = 0,
f (-3) = -2,
f (-2) = 0,
f (-1) =1.
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyz
nie naszkicuj wykres funkcji f
w przedziale -8,8 , wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Nr czynności 21.1. 21.2. 21.3.
Wypełnia
Maks. liczba pkt 1 2 2
egzaminator!
Uzyskana liczba pkt
14 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
BRUDNOPIS