JesteÅ› tu: Bossa.pl
CiÄ…g liczb Fibonacciego i jego zastosowanie na rynkach finansowych
Poniższy artykuł jest fragmentem książki "Zastosowanie teorii Carolana i Fischera na rynku
kapitałowym"
autorstwa J. Nowakowskiego i K. Borowskiego wydanej przez wydawnictwo Difin.
Rozdział 3. Ciąg liczb Fibonacciego i jego zastosowanie na rynkach finansowych
3.1 Ciąg liczb Fibonacciego i jego własności
W XIII wieku włoski matematyk Leonardo Fibonacci (1170 - 1240) odkrył ciąg liczb naturalnych
nazwany następnie jego imieniem:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,...
Ciąg rozpoczyna się od dwu jedynek, a każda następna liczba stanowi sumę dwu poprzednich:
gdzie n - należy do naturalnych oraz k0= 1 i k1= 1
Można pokazać, że gdzie Ś jest rozwinięciem dziesiętnym
nieskończonym. Za średniowiecznym włoskim matematykiem Lucą Pacioli przyjęto, że przybliżona z
dokładnością do trzech miejsc po przecinku liczba Ś, jest tzw. złotym podziałem lub też złotym
środkiem. Stąd też w opracowaniach często podaje się, że Ś=1,618.
Inne ważne wielkości to: 1/Ś=0,618, 1/Ś2 = 0,382 i Ś2 = 2,618 będące przybliżeniami odpowiednich
granic ciągów:
Rysunek 20. Zbieżność ciągów Śn (n = -2, -1, 1, 2)
y
ródło: opracowanie własne
3.1.1 Własności ciągu liczb Fibonacciego
Liczby ciągu Fibonacciego posiadają cały szereg zdumiewających własności - na ich temat napisano
wiele książek, także w Internecie stosunkowo duża liczba stron opisuje związki i zależności występujące
między tymi liczbami.
Do najważniejszych własności liczby Fibonacciego można zaliczyć:
1. Złoty podział odcinka stworzony po raz pierwszy przez Euklidesa - patrz Rysunek 21. Zagadnienie
to zostanie szerzej omówione w dalszej części tego rozdziału.
2. Złoty podział prostokąta - Rysunek 23.
3. Spirala logarytmiczna - Rysunek 22 (w dowolnym punkcie ewolucji złotej spirali stosunek długości
łuku do jego przekątnej wynosi 1,618, a przekątna pozostaje w takim stosunku do większego
promienia).
4. Elipsa logarytmiczna - Rysunek 24. Elipsa jest matematycznym opisem owalu. Każdą elipsę można
zdefiniować przy pomocy niewielu parametrów. Skrajną formą elipsy jest parabola opisana przy
pomocy następującego równania: y2 = 4ax. Punkt P jest odległy o tyle samo od stałego punktu Z i
od stałej linii wodzącej ZM. Krzywa jest symetryczna względem osi poziomej.
Rysunek 21. Złoty podział odcinka
Opracowanie własne
Rysunek 22. Spirala logarytmiczna
Opracowanie własne
Rysunek 23. Złoty podział prostokąta (AS = BS).
Dla odcinka AK zachodzi stosunek złotego podziału), tzn.
jeśli |AD|="1 " to: czyli:
Opracowanie własne
Rysunek 24. Przykład paraboli logarytmicznej
y
ródło: opracowanie własne na podstawie: Huntley, The Divine Proportion, Dover, New York 1970.
Między liczbami Ś zachodzi cały szereg zależności, oto wybrane przykłady:
1. Åš2 - Åš=1
2. (1 + Åš)2 = Åš4
3. 1/ Åš2 + 1 / Åš=1
4. Åš - 1/Åš=1
5.
6.
7. Dla sumy n pierwszych liczb ciągu Fibonacciego zachodzi następująca tożsamość:
8. Suma dowolnych dziesięciu kolejnych liczb ciągu Fibonacciego jest podzielna przez 11.
9. Co trzecia liczba ciÄ…gu Fibonacciego jest podzielna przez 2, a co czwarta przez 3, co piÄ…ta przez 5,
itd. Kolejne dzielniki sÄ… liczbami ciÄ…gu Fibonacciego.
10. Różnica kwadratu liczby ciągu Fibonacciego i iloczynu sąsiednich wyrazów jest stałą, której znak
zmienia się w miarę wzrostu indeksu. Jest to cecha wspólna wszystkich ciągów posiadających
własność addytywności, jednak tylko w ciągu Fibonacciego różnica ta jest równa jeden. Zależność
tę można zapisać następująco: . Plus i minus pojawiają się na przemian.
Tą samą prawidłowość można odnalez
ć w elliottowskiej regule zmienności, która głosi, że złożone
fale korekcyjne występują na przemian z korektami płaskimi, a silne fale impulsu przeplatają się ze
słabymi - patrz rozdział 4.
11. Dla każdych czterech kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego: A, B, C, D prawdziwa jest
zależność: C2 - B2 = A× B
3.1.2 Złoty podział jako kanon piękna w sztuce
Jakościowa definicja kanonu estetycznego piękna występującego w naturze, została stworzona przez
Tomasza z Akwinu, który pisał, że "... ludzkie zmysły znajdują przyjemność w kontakcie z przedmiotami
zachowującymi właściwe proporcje". W spostrzeżeniu tym zawarta została relacja między poczuciem
piękna a matematyką. Jak się okaże w dalszej części książki relację tę daje się mierzyć i można odnalez
ć
jÄ… w naturze.
Typowymi przykładami boskiego kanonu piękna są:
1. Liczby rozgałęzień wyrastających z łodygi rośliny.
2. Liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin
3. Budowa muszli niektórych skorupiaków (Nautilius Pompilius).
4. Wzrost populacji królików
5.
5. Struktura atomowa
6. Molekuły DNA
7. Struktura kryształu
8. Orbity planet i galaktyk
9. Układ zwojów w szyszce sosny
10. Proporcje powstajÄ…ce w wirach wodnych
11. Układ spiral tworzonych przez nasion słonecznika
12. Proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany
Rysunek 25. Muszla skorupiaka Nautilius Pompilius
Opracowanie własne
Rysunek 26. Liczba rozgałęzień wyrastających z łodygi
Opracowanie własne
Także starożytni budowniczowie wykorzystywali przy wznoszeniu swoich budowli, proporcje jakie
stwarza ciąg liczb Fibonacciego. Doskonałym przykładem może być tutaj piramida w Gizie czy też
piramidy meksykańskie. Wielka Piramida w Egipcie została zbudowana w proporcjach równych .
Stosunek wysokości do połowy jej podstawy wynosi , podobnie jak iloraz wysokości ściany
bocznej do wysokości piramidy. Natomiast stosunek wysokości ściany bocznej do połowy długości
podstawy jest równy Ś. Wymiary wielkiej piramidy są często wyrażane przy użyciu liczby . Jest to
możliwe, gdyż .
3.2 Ciąg liczb Fibonacciego na giełdzie
Istnieją trzy sposoby wykorzystania ciągu liczb Fibonacciego do analizy papierów wartościowych:
1. metody czasowe - w odniesieniu do upływu czasu - rozdział 3.2.1.
2. metody cenowe - w odniesieniu do zmiany ceny - rozdział 3.2.2
3. metody cenowo - czasowe - w odniesieniu do upływu czasu i zmiany ceny - rozdział 3.2.3
Duża liczba metod analizy technicznej stanowi próbę zmierzenia popytu na dany walor i sporządzenia na
tej podstawie prognozy określającej czy cena wzrośnie czy spadnie oraz przy użyciu pewnych
wskaz
ników, jak długi będzie ten ruch. W tym przypadku stosuje się techniki wykorzystujące proporcje
Fibonacciego w pionie. Metody te nazywamy metodami określającymi wielkość (zasięg) ruchu.
Zaznaczone one zostały na rysunku na osi pionowej - Rysunek 27.
DrugÄ… grupÄ™ stanowiÄ… metody oparte na analizie cykli oraz wykorzystaniu ciÄ…gu liczb Fibonacciego na
osi czasu. Wykorzystuje się je do określenia czasu, w jakim dokona się zmiana trendu. Nazywamy je
metodami określania czasu trwania ruchu cenowego.
Trzecią grupę metod stanowią techniki starające się oszacować jednocześnie potencjalny zakres i czas
trwania ruchu. Metody uniwersalne bardzo często posiadają tę wadę, że dobrze opisują zagadnienie
całościowo, natomiast mało precyzyjnie tłumaczą szczegóły.
Rysunek 27. Podział metod prognozowania zasięgu ruchu i czasu jego trwania.
y
ródło: opracowanie własne
Współczynniki Fibonacciego występują także w okresach orbitalnych planet naszego układu słonecznego.
Odległość księżyców od planety, wokół której krążą (dla systemów planetarnych o więcej niż jednym
księżycu), pozostają w proporcjach opisanych przez odpowiednie potęgi liczby Ś.
Rysunek 28. Wzajemna zależność między odległością Wenus i Ziemi od Słońca:
y
ródło: opracowanie własne na podstawie strony internetowej:
http://www.aeronivest.com z dnia 05.05.2002
Podobna zależność występuje także w przypadku odległości poszczególnych planet od Słońca - Rysunek
28.
Model D. Bradleya oparty jest na relacjach kątowych między planetami (są to tzw. aspekty) a ich
wpływem na zachowanie uczestników rynków kapitałowych, a zwłaszcza akcji notowanych na Wall
Street. Autor metody stworzył formułę matematyczną obliczającą skumulowany potencjał wszystkich
aspektów planetarnych systemu słonecznego z wykorzystaniem wag odległości planet od ich istotnych
aspektów. Moment czasu, w którym planety ustawiają się w ściśle określony sposób charakteryzuje się
większym prawdopodobieństwem wystąpienia zmiany dotychczasowego trendu. Metoda Bradleya
znalazła zastosowanie w dwu programach komputerowych: Quick Harmonic Trader oraz Galactic Trader.
Rysunek 29 przedstawia wykres ceny kontraktu terminowego na dostawÄ™ soji z listopada 1996 r. wraz z
naniesionymi nań liniami:
1. Liniami wsparcia występującymi co 24 centy z uwagi na fakt, że podział kąta pełnego tj. 360 stopni
przez 15, dokonany po raz pierwszy przez Ganna daje w rezultacie taki właśnie wynik. Z zapisków
tego legendarnego gracza wiadomo, że taki podział szczególnie przypadł mu do gustu. Linie
wsparcia na rysunku mają przebieg zbliżony do horyzontalnego.
2. Linie cen planet skorelowane wraz długością geocentryczną Saturna. Z uwagi na fakt, że planeta ta
porusza się bardzo wolno przez Zodiak, tworzy ona na wykresie linie ukośne o nieznacznym kącie
nachylenia w stosunku do osi poziomej.
3. Linie ceny planetarnej dla heliocentrycznej długości Marsa. Planeta ta charakteryzuje się znacznie
szybszym ruchem przez Zodiak, w związku z tym na rysunku utworzy ona linie ukośne o nieco
większym nachyleniu do osi poziomej, które będziemy nazywać diagonalnymi.
Linie cen planet z punktu 2 i 3 stanowiÄ… poziomy wsparcia i oporu dla ceny kontraktu na dostawÄ™ soji.
Już pobieżna analiza tego rysunku uwidacznia, z jaką precyzją wyznaczają punkty zatrzymania ruchu
ceny kontraktu.
Linie planet mogą być wykorzystane również do określenia potencjalnych poziomów wsparcia i oporu dla
głównych indeksów giełdowych. Rysunek 30 przedstawia linie planet Uran i Mars wraz z wykresem
indeksu S&P.
Rysunek 29. Wykres ceny trzymiesięcznych kontraktów terminowych na dostawę soji z listopada
1996 r.
y
ródło: opracowanie własne na podstawie strony internetowej:
http://www.galacticinvestor.com/review/Galactic.htm z dnia 30.09.2002 i programu Galactic Trader v.
3.0.
Rysunek 30. Linie planet na wykresie indeksu S&P. Poziomy wsparcia wyznaczone przez planetÄ™
Uran: 857, 875 i 893 i przez planetÄ™ Mars: 861, 883, 901.
y
ródło: opracowanie własne na podstawie programu: Larson Chaos Trader.
Przy pomocy programu Quick Harmonic Trader można określić potencjalny punkty zwrotne rynku, które
mogą okazać się istotnymi szczytami (kilka współwystępujących harmonii o dużym znaczeniu) lub tylko
lokalnymi ekstremami (mała liczba harmonii). Powstają one zazwyczaj wtedy, gdy aspekty planet i cen
znajdują się w harmonii. Rysunek 31 prezentuje przykład takiej analizy - w dniu 11.10.1999 r. indeks
S&P 500 znajdował się w harmonii z aspektami planet Wenus - Jowisz i Mars - Jowisz. Tego dnia został
uformowany znaczący szczyt. Nieco wcześniej harmonia indeksu z aspektem Merkury - Uran
doprowadziła do krótkotrwałego wybicia w górę.
Rysunek 31. Przykład zastosowania programu Quick Harmonic Trader - indeks S&P
y
ródło: opracowanie własne przy wykorzystaniu strony internetowej:
http://www.marketdetective.com/QHT/qhtinfo.htm z dnia 30.06.2001.
Kolejny przykład przestawia sytuację z 19.07.1999 r. kiedy to wystąpiło przecięcie czwartej harmonicznej
aspektu Saturn - Uran z indeksem DJIA. Tego dnia indeks giełdy nowojorskiej zmienił kierunek - data
okazała się być lokalnym ekstremum indeksu.
Rysunek 32. Przykład zastosowania programu Quick Harmonic Trader - indeks DJIA
y
ródło: opracowanie własne przy wykorzystaniu strony internetowej:
http://www.marketdetective.com/QHT/qhtinfo.htm z dnia 30.06.2001.
Rysunek 33 przedstawia tzw. geocentryczne koło planetarne stworzone na dzień 26 marca 1998 r. tj.
jedną sesje po silnym spadku indeksu S&P. W jego środku umieszczona została Ziemia, a na obrzeżach
poszczególne ciała niebieskie naszego Układu Słonecznego, oznaczone odpowiednimi literami np. M -
Merkury, V - Wenus, R -Mars i T - Księżyc itd. Wewnętrzne koło reprezentuje zegar ziemski. Linia
pogrubiona oznacza godzinę 16.15 tj. moment zamknięcia notowań indeksu w Nowym Yorku.
W kole geocentrycznym wykreśla się takie figury jak: trójkąty, kwadraty, pentagony i heksagony.
Wzorem o kluczowym znaczeniu w naszym przykładzie jest tzw. wielki krzyż (prostokąt). W jego
wnętrzu znajduje się: linia zamknięcia sesji w Nowym Jorku, dwie fazy Księżyca oraz planety: Wenus,
Uran, Jupiter i Pluton. Drugi wzór stanowi formacja zwana "Y" (yod). Jedno jej ramię zawiera planety:
Uran, Neptun i Wenus. Drugie - Saturna, Marsa, Merkurego i Słońce.
Kosmologiczna interpretacja położenia planet wskazuje na istotny punkt zwrotny.
Rysunek 33. Wyznaczenie punktów zwrotnych indeksu S&P przy pomocy wpływu planet na
zachowanie inwestorów.
y
ródło: strona internetowa: http://www.marketdetective.com/QHT/qhtinfo.htm z dnia 30.06.2001.
Wpływowi planet na zachowanie inwestorów poświęcono stosunkowo dużo pozycji zwracając uwagę, że
oprócz Księżyca także i one silnie oddziałują na ludzkie emocje.
Ponadto wiele firm korzysta także z usług astrologów, którzy na podstawie układu planet prognozują
wydarzenia gospodarcze. "Chodzi tu przede wszystkim o wzajemne położenie Jowisza i Saturna. Np.
razem z koniunkcją obydwu planet w Strzelcu w 1983 r. rozwój gospodarczy uległ przyspieszeniu. Od
stycznia do sierpnia następnego roku Jowisz, Saturn, a także Neptun i Mars tworzyły negatywne aspekty,
czego odbiciem był spadek notowań na giełdach. Kiedy w 1985 r. Jowisz znalazł się w pozytywnych
aspektach z Uranem i Plutonem, wzrosły również notowania giełdowe."
Obecnie wykonuje się także horoskopy dla poszczególnych giełd światowych, które mają wychwycić
korelację odmienną w stosunku do światowej.
3.2.1 Metody cenowe
Teoria fal pozwala zaobserwować proporcje zachodzące między falami kolejnych ruchów cen. W
ogólności fale te dzielą się na tzw. fale główne i następujące po nich fale korekty - istotnym jest, aby oba
rodzaje wzrostów i spadków były tego samego rzędu. Proporcje te można opisać jako kolejne potęgi Ś i
jej odwrotności. Na rynku kapitałowym zazwyczaj do obliczeń wykorzystuje się całkowite wykładniki
potęgi liczby Ś z przedziału <-3, 3> - Tabela 3.
Tabela 3. Współczynniki złotego podziału
Potęga n Rodzaj ciągu
Fn - współczynniki złotego podziału
1 1,618
2 2,618 Ciąg zewnętrzny
3 4,236
-1 0,618
-2 0,382 Ciąg wewnętrzny
-3 0,236
y
ródło: Fischer R. "Liczby Fibonacciego na giełdzie", WIG - Press, Warszawa 1996.
Rysunek 34 przedstawia przykłady złotych proporcji rynkowych, będące podstawą analizy cenowej.
Rysunek 34. Proporcje Fibonacciego w formacjach rynkowych. Po lewej stronie przedstawiony został
sposób obliczenia potencjalnego zasięgu ruchu na podstawie fali spadkowej. Po prawej - potencjalny
zasięg korekty następujący po fali wzrostowej.
y
ródło: opracowanie własne
Podstawową trudnością, z jaką spotykają się analitycy techniczni jest problem określenia z góry, który ze
współczynników powinien być w danym przypadku użyty. Przy zastosowaniu tej metody otrzymujemy
szereg punktów, wokół których, prawdopodobieństwo zmiany trendu jest wyższe.
Proporcje Fibonacciego mogą być wykorzystane do wyznaczenia linii odwrotu. Na początku
wyznaczamy linie trendu między dwoma sąsiednimi punktami ekstremum cenowego. Rozpoczynając od
górnego punktu skrajnego wykreślamy 9 linii poziomych przecinających linię trendu na wysokości: 0,0%,
23,6%, 38,2%, 50,0%, 61,8%, 100,0%, 161,8%, 261,8% i 423,6%. Po znaczÄ…cym ruchu cenowym (w
górę lub w dół) ceny najczęściej doznają korekty o część wartości pierwotnego ruchu cenowego. W
czasie korekty cen kolejne poziomy wsparcia i oporu wykształcają się w pobliżu poziomu poziomów
odwrotu Fibonacciego - Rysunek 35. Na wykresie zaznaczone zostały poziomy cenowe, które w
przeszÅ‚oÅ›ci zadziaÅ‚aÅ‚y jako poziomy wsparcia (strzaÅ‚ka Ä™!) i oporu (strzaÅ‚ka “!).
Rysunek 35. Przykład zastosowania linii odwrotu Fibonacciego na wykresie cen akcji spółki
Drosed.
y
ródło: opracowanie własne
Połączenie sygnałów pochodzących z różnych szczytów i dołków cenowych pozwala utworzyć tzw.
zgrupowania sygnałów, w pobliżu których gwałtownie rośnie prawdopodobieństwo zmiany
dotychczasowej tendencji na przeciwnÄ…. Rysunek 36 ilustruje poziomy zniesienia Fibonacciego dla kilku
zwyżek cen akcji TP SA:
A - B - listopad 2001
C - D - grudzień 2001 / styczeń 2002
E - Åš - luty / marzec 2002
G - H - kwiecień / maj 2002
Koncentracja zniesień Fibonacciego bardzo dobrze wyznaczyła:
1. Poziom oporu z maja 2002 roku oznaczony literÄ… H.
2. Wsparcie z końca kwietnia 2002 r - litera G
3. Pasmo wsparć z lipca 2002 r. - litery I i J
Rysunek 36. Koncentracja poziomów wsparcia i oporu na przykładzie akcji Telekomunikacji SA
y
ródło: opracowanie własne
3.2.2 Metody czasowe
Podstawą analizy czasowej jest twierdzenie, że oś czasu podlega złotym podziałom, jeśli za punkty
podziału przyjmie się istotne szczyty i dołki cen lub wartości indeksów giełdowych z przeszłośći -
Rysunek 37. Konsekwencją takiego podejścia jest wyznaczenie potencjalnego dnia zmiany trendu
mającego nastąpić w przyszłości. W literaturze dzien ten nazywany jest dniem docelowym (time goal
day), a ozanczany jako DD.
Pierwsze świadectwa dotyczące występowania na rynku kapitałowym określonych relacji w czasie i
amplitudzie znalez
ć można w pracach wielkiego znawcy teorii Dowa, jakim był R. Rhea. Zauważył on
między innymi, że:
"Przedstawione dane (dotyczące wyłącznie średniej przemysłowej) pokazują, że dziewięć rynków byka i
dziewięć rynków niedz
wiedzia trwało łącznie 13115 dni kalendarzowych. Rynki byka trwały 8143 dni,
natomiast rynki niedz
wiedzia 4972 dni. Stosunek tych liczb wskazuje, że bessa trwała 61,1% okresu
hossy."
Rysunek 37. Wyznaczenie dnia docelowego na bazie odległości między punktami zwrotnymi A i B
oraz współczynnika 1,618.
y
ródło: opracowanie własne
S. Benner przeprowadził badania statystyczne ruchów cenowych w celu znalezienia odpowiedzi na
pytanie o naturę cykli koniunkturalnych w biznesie. W 1875 r. powstało dzieło "Business Prophecies of
the Futures Ups and Downs in Prices". Benner zauważył, że szczyty koniunktury kształtują się na ogół
zgodnie ze schematem 8 - 9 - 10 lat - Tabela 4. Dla recesji Benner stosował schemat 20 - 18 - 16, ale
mniej poważne dołki na rynku kapitałowym podlegają raczej cyklowi: 16 - 18 - 20, tj. analogicznie do
schematu występowania den kryzysów, którym towarzyszyła panika. Stosując schemat 16 - 18 - 20 do
dołków rynkowych stwierdzamy, że pasuje on bardzo dokładnie do wykresu DJIA w latach 1902 - 1987.
Formuła Bennera sprawdzała się całkiem dobrze przez większość ubiegłego stulecia.
Można stwierdzić, że teoria Bennera jest bardzo bliska sekwencji Fibonacciego, bowiem powtarzający się
schemat 8 - 9 - 10 tworzy liczby Fibonacciego do 377 z dokładnością do 1.
Tabela 4. Ilustracja teorii S. Bennera dla szczytów koniunktury przy wykorzystaniu schematu 8 - 9 - 10
lat.
Schemat 8-9-10 Poszczególne sumy Liczby Fibonacciego Różnica
8 = 8 8 0
+9 =
+10 =
+8 = 35 34 +1
+9 =
+10 = 54 55 -1
...+8 = 89 89 0
...+8 = 143 144 -1
...+9 = 233 233 0
...+10 = 378 377 +1
y
ródło: Frost A., Pretcher R. "Teoria fal Elliotta", WIG-Press, Warszawa 1995.
Można zatem przyjąć, że teoria Bennera, oparta na różnych przedziałach czasu dla szczytów i dołków, a
nie stałej periodyczności, mieści się w ramach sekwencji Fibonacciego.
Sam R. Elliott stwierdził, że czynnik czasu potwierdza formację cenową i na tym właśnie polega jego
znaczenie. W analizie fal okresy wynikające z sekwencji Fibonacciego wskazują na możliwe punkty
zwrotne, zwłaszcza jeśli zbiegają się z prognozowanymi poziomami cenowymi i porządkiem fal. W
swojej pracy Nature's Law, R. Elliott przytoczył przykłady okresów wynikających z sekwencji
Fibonacciego, które przedzielały istotne punkty zwrotne rynku - Tabela 5.
Zdaniem M. Czekały aspekt związany z analizą czasu jest raczej wtórny w teorii Elliotta. Główne
twierdzenie w analizie czasu polega na przekonaniu, że również oś czasu podlega złotemu podziałowi,
jeśli za punkty podziału przyjąć istotne szczyty (dołki) cen na akcjogramie.
Tabela 5. Przykłady okresów wynikających z sekwencji Fibonacciego przedstawionych przez R. Elliotta
Okres Długość
1921 - 1929 8 lat
Lipiec 1921 - listopad 1928 89 miesięcy
Wrzesień 1929 - lipiec 1932 34 miesiące
Lipiec 1932 - lipiec 1933 13 miesięcy
Lipiec 1933 - lipiec 1934 13 miesięcy
Lipiec 1934 - marzec 1937 34 miesiÄ…ce
Lipiec 1932 - marzec 1937 5 lat (55 miesięcy)
Marzec 1937 - marzec 1938 13 miesięcy
Marzec 1937 - kwiecień 1942 5 lat
1929 - 1942 13 lat
y
ródło: Frost A., Pretcher R. "Teoria fal Elliotta", WIG-Press, Warszawa 1995.
R. Russel w Dow Theory Letters z 21.11.1973 przedstawił kilka kolejnych przykładów, w których
poszczególne punkty zwrotne na rynku akcji oddzielone są jednostkami czasu należącymi do zbioru liczb
Fibonacciego - Tabela 6.
Tabela 6. Przykłady okresów wynikających z sekwencji Fibonacciego przedstawionych przez R. Russel'a
Okres Długość
Dno (panika) z 1907 - dno (panika) z 1962 55 lat
Szczyt z 1947 - dno (panika) z 1962 13 lat
Dno z 1921 (recesja) - dno z 1942 (recesja) 21 lat
Szczyt ze stycznia 1960 - dołek z paz
dziernika 1962 34 miesiÄ…ce
y
ródło: Frost A., Pretcher R. "Teoria fal Elliotta", WIG-Press, Warszawa 1995.
Kolejne potencjalne punkty zwrotne w przyszłości otrzymujemy poprzez dodanie do dat punktów
historycznych odpowiednich wielkości ciągu Fibonacciego. H. Bolton zauważył, że "permutacje czasu
biegną w nieskończoność" i że "dany okres może przebiegać od szczytu do szczytu, od szczytu do dołka,
od dołka do dołka bądz
od dołka do szczytu". Podobną koncepcję wysunął W. White w swojej pracy na
temat teorii Elliotta, w której starał się wyznaczyć kolejny punkt zwrotny rynku akcji na rok 1970. W
uzasadnieniu wskazał on następującą sekwencję:
1949+21=1970;
1957+13=1970;
1962+8=1970;
1965+5=1970.
Okazało się, że w maju 1970 r miało miejsce dno indeksu Dow Jones.
Można skonstatować, że powyższe obserwacje dały podwaliny do powstania takiego instrumentu analizy
technicznej, jakim są strefy czasowe Fibonacciego, w której daty kolejnych dni docelowych obliczamy
ze wzoru:
C = A + Åš
n n
gdzie:
A - data dnia zwrotnego tj. dnia zmiany tendencji rynkowej
F - n-ta liczba ciÄ…gu Fibonacciego
n
C - data n-tego dnia docelowego (DD)n
n
Dzień A powinien być tzw. dniem charakterystycznym - ekstremum podstawowym. Poczynając od niego
należy prowadzić proste równoległe do osi ceny w odległościach odpowiadającym kolejnym liczbom
ciągu Fibonacciego - otrzymujemy wtedy ciąg dni docelowych. W pobliżu narysowanych linii poszukuje
się istotnych zmian cen tj. punktów zwrotnych. Im większa jest wartość n liczby ciągu Fibonacciego, tym
otrzymywany sygnał zmiany trendu w dniu docelowym DD jest silniejszy. Kluczowym elementem
n
powodzenia jest poprawne wybranie ekstremów podstawowych. Przykład zastosowania stref czasowych
Fibonacciego został przedstawiony poniżej (Rysunek 38).
Rysunek 38. Zastosowanie stref czasowych Fibonacciego na przykładzie akcjogramu Kredyt
Banku. Jako punkt początkowy wybrane zostało dno ceny akcji banku z grudnia 1995 r.
y
ródło: opracowanie własne
Niektórzy autorzy zamiast daty stosują numer sesji. Na tak skonstruowanych wykresach widoczny jest
brak przesunięcia akcjogramu w lewo spowodowany mniejszą liczbą sesji w pierwszym okresie notowań
na GPW.
Problem równości fal impulsu w czasie, a także proporcji Fibonacciego zachodzących między ujęciami
czasowymi tych fal zostały zauważone przez R. Pretchera i A. Frosta. Autorzy szacowali starali się
przewidzieć potencjalny punkt zwrotny DJIA na podstawie:
1. Szczytu z paz
dziernika 1974 (21 lat lub 233 miesiące do punktu zwrotnego maj / sierpień 1995)
2. Dołka z sierpnia 1982 (13 lat lub 144 miesiące do punktu zwrotnego maj / sierpień 1995)
3. Szczytu z paz
dziernika i grudniowego dołka z 1987 (8 lat lub 89 miesięcy do punktu zwrotnego
maj / sierpień 1995)
4. Dołka ze stycznia 1991 (5 lat lub 55 miesięcy do punktu zwrotnego maj / sierpień 1995)
Wg nich współczynniki Fibonacciego dotyczące czasu występują znacznie rzadziej, ale na podstawie
wieloletniego analizowania indeksów rynkowych stwierdzili, że amplituda praktycznie każdej fali
(mierzona w skali arytmetycznej lub w procentach) pozostaje stała względem amplitudy fali sąsiedniej,
fali tego samego ruchu biegnÄ…cej w podobnym kierunku i / lub swojej podfali w stosunku
odpowiadającym jednemu ze współczynników Fibonacciego.
Poczynione przez nich spostrzeżenia były bardzo bliskie sformułowaniu pojęcia spirali czasowej
występującej na rynku kapitałowym. Niemniej nie rozwinęli oni tego pomysłu w takim zakresie w jakim
uczynił to R. Fischer i C. Carolan. Można więc powiedzieć, że obie metody czasowe wywodzą się
bezpośrednio z teorii Elliotta - problem ten zostanie omówiony w dalszych rozdziałach.
Rynki funkcjonują w kilku ramach czasowych jednocześnie. Rynek może dawać sygnały kupna na
wykresie dziennym, a równocześnie sygnały sprzedaży w ujęciu tygodniowym i vice versa. W takim
przypadku nadrzędne znaczenie mają sygnały napływające z wykresu o większej ramie czasowej, a
więc należy badać najpierw układy roczne, kwartalne, tygodniowe, dzienne, godzinowe i minutowe. Jeśli
posługujemy się dwiema ramami czasowymi to powinny one być połączone współczynnikiem 5: krótsza
powinna wynosić 1/5 dłuższej, np. układ tygodniowy (dłuższa) i dzienny (krótsza). W układzie
sporządzonym w szerszej ramie czasowej widoczne będą większe siły, które odpowiednio rozpoznane
można wykorzystać w węższej. Nieco odmienna zasada obowiązuje w przypadku oscylatorów - dla
rozwiania wątpliwości powinniśmy stosować węższe okienko czasowe. Bardzo ciekawą koncepcję
połączenia różnych ram czasowych ze współczynnikami Fibonacciego zaprezentował R. Krausz. Otóż
poziom równowagi (CPR) cen w tygodniu n+1 uzyskujemy jako średnią arytmetyczną najwyższej (CH),
najniższej (CL) i ceny zamknięcia (CC) w n - tym tygodniu wg następującego wzoru:
Jeśli przez CDLoznaczymy różnicę między ceną najwyższą a najniższą w n-tym tygodniu (CDL= CH- CL),
wtedy odpowiednie przedziały wsparcia (CPW)i oporu (CPO), otrzymane przy zastosowaniu proporcji
Fibonacciego wynoszÄ…:
Zmiana horyzontu czasowego pozwala nam na zastosowanie tego systemu w różnych ujęciach
czasowych.
3.2.3 Metody cenowo - czasowe
Jest to połączenie analizy cenowej i czasowej. Otrzymane w ten sposób punkty - dni odwrotu oznaczane
jako DD, charakteryzują się wyższym prawdopodobieństwem odwrócenia trendu, niż w każdej z
powyższych dwu metod. Warunkiem powstania punktu DD jest otrzymanie takiej samej prognozy
zarówno przy użyciu analizy czasowej, jaki i cenowej. Podstawowym narzędziem tej metody są spirale
cenowe, którym z uwagi na ich rangę został poświęcony osobny rozdział.
Inną metodą łączącą analizę czasową i cenową są łuki Fibonacciego. Dla wykreślenia łuków
Fibonacciego łączymy przy pomocy linii trendu dwa punkty cyklu cenowego, z których jeden jest
lokalnym minimum a drugi lokalnym maksimum cenowym. Następnie biorąc za podstawę drugi z
punktów skrajnych wykreślamy 3 łuki w taki sposób by przecinały one linie trendu na wysokości 38,2%,
50,0% i 61,8% długości tej linii. Lokalizacja poziomów wsparcia i oporu występuje w momencie
osiągnięcia przez ceny poziomu łuków. Przecięcia łuków przez linię kursu potwierdzają zmianę
poprzedniego trendu wyższego rzędu.
Rysunek 39 ilustruje sposób wykorzystania i interpretacji łuków Fibonacciego. Rysując w pierwszym
kroku trend od punku A do punktu B, otrzymujemy w konsekwencji trzy Å‚uki Fibonacciego. Po spadku
cen waloru z punktu B do C, możemy zaobserwować korektę wzrostową do punktu D. Jak widać odbicie
cen zatrzymuje się na jednym z łuków Fibonacciego. Na łuku środkowym dochodziło kilkakrotnie do
krótkoterminowych wzrostów cen akcji. Po przekroczeniu punktu Ś wygenerowany został sygnał
długoterminowy sprzedaży i odwrócenia trendu. Warto podkreślić również fakt, że wzrost cen akcji
spółki w pierwszych miesiącach 1997 r. zatrzymał się w pobliżu drugiego łuku Fibonacciego - niestety tę
informację otrzymujemy dopiero po ukształtowaniu się właściwego szczytu cenowego w punkcie B.
Stanowi ona jednak potwierdzenie istotności tak narysowanych łuków Fibonacciego.
Rysunek 39. Zastosowanie łuków Fibonacciego na akcjogramie spółki Dębica
y
ródło: opracowanie własne
Następnym sposobem wykorzystywanym przez analizę czasową i cenową są wachlarze Fibonacciego. W
pierwszej kolejności wyznaczamy linię trendu pomiędzy dwoma sąsiadującymi ekstremami cenowymi.
Następnie przez drugi z otrzymanych punktów prowadzimy "niewidzialną" prostą pionową. Wreszcie z
pierwszego punktu wyprowadzamy trzy linie trendu w ten sposób aby przecięły one "niewidzialną" linię
pionową na wysokości poziomów Fibonacciego 38,2%, 50,0% i 61,8%. Otrzymane proste stanowią
kolejne poziomy wsparcia lub oporu.
Rysunek 40 prezentuje wachlarze Fibonacciego widoczne na wykresie cen akcji Dębicy. Po trendzie
spadkowym od punktu A do punktu B, korekcyjna fala wzrostowa natrafiała na opór w punktach C i E.
Fala korekty wzrostu z odcinka BC zatrzymuje się w punkcie D, który w tym przypadku staje się
poziomem wsparcia.
W. D. Gann (1878 - 1955) był twórcą technik będących połączeniem kątów geometrycznych z danymi
cenowymi i szeregami czasowymi - zagadnienie to zostanie szerzej omówione w dalszej części pracy.
Rysunek 40. Przykład zastosowania wachlarzy Fibonacciego na akcjogramie spółki Dębica
y
ródło: opracowanie własne
3.2.4 Dynamiczne zastosowanie ciÄ…gu liczb Fibonacciego
Dokonując wyboru istotnych punktów zwrotnych jakie miały miejsce w przeszłości, jesteśmy w stanie
otrzymać prawdopodobne zmiany trendu w przyszłości, zarówno na osi pionowej (cenowej) jak i
poziomej (czasowej). Poniżej przedstawiony został proces rozwijania proporcji Fibonacciego na osi
pionowej i poziomej dla wybranego odcinka AB.
Rysunek 41. Proporcje Fibonacciego na osi pionowej
y
ródło: opracowanie własne
Rysunek 42. Proporcje Fibonacciego na osi poziomej
y
ródło: opracowanie własne
Wybierając także inne punktu otrzymujemy koncentrację poziomów Fibonacciego zarówno na osi
pionowej jak i poziomej w pobliżu istotnych cen i dat - Rysunek 43 i Rysunek 44
Rysunek 43. Zgrupowanie poziomów Fibonacciego na osi pionowej w pobliżu istotnych cen.
y
ródło: opracowanie własne
Rysunek 44. Zgrupowanie poziomów Fibonacciego na osi poziomej w pobliżu istotnych dat.
y
ródło: opracowanie własne
Problem polega jednak na tym, że duże zagęszczenie poziomów Fibonacciego prowadzi bardzo szybko
do pogorszenia czytelności wykresu.
W celu przezwyciężenia tych trudności w programie Nature' s Pulse i Fibonacci Trader stworzona została
możliwość dynamicznego stosowania ciągu Fibonacciego tylko dla wybranych szczytów i dołków, co
pozwala uzyskać przejrzysty obraz sytuacji.
Użytkownik programu Nature's Pulse zaznacza istotne, jego zdaniem, punkty zwrotne, które mają służyć
do przeprowadzenia stosownej analizy. Program odnosi liczby Fibonacciego do wszystkich możliwych
kombinacji wybranych dołków i szczytów. Rysunek 45 przedstawia wybrane szczyty i dołki (strzałki na
dół i w górę) na akcjogramie Pekao SA oraz liczbę linii Fibonacciego zgrupowanych w danym przedziale
cenowym (skok ceny wynosił 10 PLN). Informację tę odczytujemy na dodatkowej, poziomej osi
umieszczonej na wykresie.
Rysunek 45. Wykres zgrupowań poziomów Fibonacciego w ujęciu dynamicznym - obliczenia
wykonane w programie Nature's Pulse i przekonwertowane do programu Metastock.
y
ródło: opracowanie własne
Nieco inne ujęcie prezentuje program Fibonacci Trader gdzie poszczególne zgrupowania poziomów
Fibonacciego wyświetlane są bezpośrednio w pobliżu aktualnej ceny. W programie tym waga wybranych
punktów zwrotnych w przeszłości może ulegać zwiększeniu lub zmniejszeniu przy obliczaniu zgrupowań
linii Fibonacciego. Ujęcie dynamiczne może być również wykorzystane do prognozowania momentów
zwrotnych w czasie. Przy wykorzystaniu tych samych punktów zwrotnych co poprzednio (Rysunek 45)
przeprowadzono taką analizę na osi czasowej (Rysunek 47). Wybrane punkty zwrotne zaznaczone zostały
strzałkami. Słupki u dołu wykresu reprezentują liczbę wskazań przypadającą w pobliżu obliczonej daty.
Słupki A, B, C i D, w których doszło do koncentracji wskazań, okazały się istotnymi punktami
zwrotnymi. Na tej podstawie można wyliczyć również inne potencjalne punkty zwrotne w przyszłości.
Rysunek 46 przedstawia przykład wykorzystania programu Fibonacci Trader, gdzie do obliczeń
zastosowane zostało bardzo wąskie okno czasowe obejmujące jedynie 5 sesji. Środek linii w okienku o
numerze n otrzymujemy w wyniku podzielenia cen: najwyższej, najniższej i zamknięcia z okresu
poprzedniego (tj. o indeksie n-1) przez liczbę 3. Pozostałe linie narysowane dla okna cenowego o indeksie
n uzyskujemy w wyniku pomnożenia różnicy ceny najwyższej i najniższej z okienka o indeksie n, przez
wybrane współczynniki Fibonacciego. Linie te stanowią silne poziomy wsparcia i oporu w krótkim
horyzoncie czasowym.
Ujęcie dynamiczne może być również wykorzystane do prognozowania momentów zwrotnych w czasie.
Przy wykorzystaniu tych samych punktów zwrotnych co poprzednio (Rysunek 45) przeprowadzono taką
analizę na osi czasowej (Rysunek 47). Wybrane punkty zwrotne zaznaczone zostały strzałkami. Słupki u
dołu wykresu reprezentują liczbę wskazań przypadającą w pobliżu obliczonej daty. Słupki A, B, C i D, w
których doszło do koncentracji wskazań, okazały się istotnymi punktami zwrotnymi. Na tej podstawie
można wyliczyć również inne potencjalne punkty zwrotne w przyszłości.
Rysunek 46. Zgrupowanie poziomów Fibonacciego w ujęciu dynamicznym - obliczenia wykonane w
programie Fibonacci Trader.
y
ródło: opracowanie własne
Rysunek 47. Dynamiczne ujęcie liczb Fibonacciego dla wyznaczenia punktów zwrotnych w czasie.
y
ródło: opracowanie własne