1. Sprawdzam wyznaczalność ramy:
t =� 4 p1 =� 3 w =� 2 p2 =� 6
Nw =� 3��t -� 3�� ( p1 +� w -1) Nw =� 3�� 4 -� 3�� (3 +� 2 -1) =� 0
Nz =� p2 - 3 Nz =� 6 - 3 =� 3
Rama jest trzykrotnie niewyznaczalna.
2. Wyznaczam obciążenia od sił:
2.1. Od sił rzeczywistych:
M =� 20 kN
a) słupy
0 Ł� z Ł�1
M(z) =� 0
1Ł� z Ł� 2
M(z) =� M
M(g ) =� 20kNm
b) rygiel
0 Ł� z Ł� 2
M( z) =� M =� 20 kNm
2.2. Od siły x1 :
x1 =� 1
a) słupy
0 Ł� z Ł� 2
M(z) =� x1 �� z
M(0) =� 0
M(4) =� 1��2 =� 2
1
b) rygiel
0 Ł� z Ł� 2
M( z) =� x1 �� 2 =�1��2 =� 2
2.3. Od siły x2 :
x2 =� 1
a) słup lewy
0 Ł� z Ł� 2
M( z ) =� 0
b) rygiel
0 Ł� z Ł� 2
M =� x2 �� z
(z )
M =� 0
(0)
M =� 1�� 2 =� 2
(2)
c) słup prawy
0 Ł� z Ł� 2
M( z) =� x2 ��2 =� 1��2 =� 2
2.3. Od momentu x3 :
x3 =� 1
Na całym obwodzie ramy M =� -�1
( z)
3. Wyznaczam reakcje w podporze A:
Dla ramy trzykrotnie statycznie niewyznaczalnej kanoniczny układ równań na postać:
d�11 �� x1 +� d�12 �� x2 +� d�13 �� x3 +� d�1P =� 0
��
��
��d� �� x1 +� d� �� x2 +� d� �� x3 +� d� =� 0
21 22 23 2P
��d� �� x1 +� d�32 �� x2 +� d�33 �� x3 +� d�3P =� 0
�� 31
Do wyznaczenia poszczególnych elementów równania korzystam z wykresów obciążeń: P, x1, x2 , x3
2
1 �� 1 2 ł� 40
ć�
d�11 =� �� ��2�� 2����ć� �� 2�� +� 2�� 2 ��2ś� =�
(� )�
�� �� �� ��
ę�2��
EI 2 3 3�� EI
Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
1 �� 1 2 ł� 28
ć�
d�12 =� �� ��2�� 2����2 +� 2�� 2 ��ć� �� 2��ś� =�
(� )�
�� �� �� ��
ę�Ł� ł�
EI 2 3 3EI
Ł� ł�
�� ��
1 �� 1
ć�
d�13 =� �� �� 2�� 2���� -�1 +� 2�� 2 �� -�1 =�
(� )� (� )� (� )�ł� -�8
�� ��
ę�2�� ś�
EI 2 EI
Ł� ł�
�� ��
1 �� 1 2 ł� 28
ć�
d�21 =� �� ��2��2���� 2 +� 2�� 2 ��ć� �� 2��ś� =� =� d�12
(� )�
�� �� �� ��
ę�Ł� ł�
EI 2 3 EI
Ł� ł�
�� ��
1 �� 1 2 ł� 32
ć�
d�22 =� �� ��2�� 2����ć� �� 2�� +� 2�� 2 ��2ś� =�
(� )�
�� �� �� ��
ę�Ł� ł� Ł� 3 ł�
EI 2 3�� EI
�� ��
1 �� 1
ć�
d�23 =� �� �� 2�� 2���� -�1 +� 2�� 2 �� -�1 =� -�
(� )� (� )� (� )�ł� 6
�� ��
ę�Ł� ł� ś�
EI 2 EI
�� ��
1 �� 1 ł� 8
ć�
d�31 =� �� �� 2�� 2����(-�1) +� 2�� 2 ��(-�1)ś� =� -� =� d�13
(� )�
�� ��
ę�2��
EI 2 EI
Ł� ł�
�� ��
1 �� 1
ć�
d�32 =� �� �� 2�� 2���� -�1 +� 2�� 2 �� -�1 =� -� =� d�23
(� )� (� )� (� )�ł� 6
�� ��
ę�Ł� ł� ś�
EI 2 EI
�� ��
1 6
d�33 =� �� ��2�� 2��(-�1) �� -�1 +� 2��(-�1) ��(-�1)ł� =�
(� )� (� )� (� )�
�� ��
EI EI
1 �� 3 ł� 140
d�1P =� �� 20��1 ��ć� �� 2�� +� 2�� 20 �� 2ś� =�
(� )� (� )�
�� ��
ę�2��
EI 4 EI
Ł� ł�
�� ��
1 �� 2 ł� 280
d�2P =� �� 2�� 20 ��ć� �� 2�� +� 1�� 20 ��2ś� =�
(� )� (� )�
�� ��
ę�
EI 3 3EI
Ł� ł�
�� ��
1
d�3P =� �� ��2�� 20��1 �� -�1 +� 2�� 20 �� -�1 ł� =�
(� )� (� )� (� )� (� )��� -�80
��
EI EI
40 28 8 140
��
��3�� EI �� x1 +� �� x2 -� �� x3 +� =� 0 ��3EI
3EI EI EI
��
�� 28 32 6 280
�� x1 +� �� x2 -� �� x3 +� =� 0 ��3EI
��
EI 3�� EI EI 3EI
��
�� 8 6 6 80
��-� �� x1 -� �� x2 +� �� x3 -� =� 0 ��EI
EI EI EI EI
��
40�� x1 +� 28�� x2 -� 24�� x3 =� -�420
��
��84�� x1 +� 32�� x2 -�18�� x3 =� -�840
��
��
��-�24�� x1 -�18�� x2 +�18�� x3 =� 240
3
 40 28 -24
W =� 84 32 -18 =� 13312
-24 -18 18
-420 28 -24
Wx =� -840 32 -18 =� 162406
1
240 -18 18
40 -420 -24
Wx =� 84 -840 -18 =� 0
2
-24 240 18
40 28 -420
Wx =� 84 32 -840 =� 39936
3
-24 -18 240
Wx 162406
1
x1 =� =� =� 12,2 kN
W 13312
Wx
2
x2 =� =� 0
W
Wx 39936
3
x3 =� =� =� 3 kNm
W 13312
RA x =� x1 =� 11,875 kN
RA y =� x2 =� 0
M =� x3 =� 12,5 kNm
A
4
4. Wyznaczam reakcje w podporze B:
W podporze B reakcje są takie same jak w podporze A, ponieważ rama jest symetryczna.
RB x =�12, 2 kN
RB y =� 0
M =� 3 kNm
B
5. Wyznaczam momenty gnące:
a) słupy
0 Ł� z Ł� 1
M(z) =� M -� RA x �� z
A
M(0) =� 3 kNm
M(1) =� 3-�12, 2��1 =� -�9, 2 kNm
1Ł� z Ł� 2
M(z) =� M -� RA x �� z +� M
A
M(1) =� 3-�12, 2��1+� M =� 10,8 kNm
M(2) =� 3-�12,2�� 2 +� 20 =� -�1,4 kNm
b) rygiel
0 Ł� z Ł� 2
M( z) =� M -� RA x ��2 +� M =� -�1, 4 kNm
A
6. Wyznaczam siły tnące:
a) słupy
0 Ł� z Ł� 2
T(z ) =� RA x =� 12, 2 kN
5
b) rygiel
0 Ł� z Ł� 2
T( z) =� 0
7. Wyznaczam siły normalne:
a) słupy
N =� 0
b) rygiel
N =� -�RA x =� -�12, 2 kN
Wykresy rozwiązanej ramy:
Reakcje:
6
Moment gnący:
7
Normalne:
8
Tnące:
9