Wyższa Szkoła Infrastruktury i Zarządzania
Przykładowe zadania egzaminacyjne z matematyki
a Å" n2 - 1
an =
Studia stacjonarne
a
( - 1 n2 + n
)
Wyznacz wartość parametru a tak, aby granicą ciągu była liczba 2
Zadanie 1
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
( lim an = 2 ). Czy dla znalezionej wartości parametru ciąg an jest
{ }
n"
a) f x = 1 + log x2 - 1 , b) f x = x2 - 3x + 2 ,
( ) ( ) rosnÄ…cy?
( )
Zadanie 2
Zadanie 6
Które z poniższych funkcji są równe
Zbadaj zbieżność szeregów
x2 - 1
n2
" "
a) f x = x , g x = x2 , b) f x = x + 1 , c) g x =
( ) ( ) ( ) ( ) n3 " n2 " (n +1)!
a) , b) , c)
x - 1 ìÅ‚ ÷Å‚
" " "ëÅ‚ n + 1öÅ‚ 1 , d) "
íÅ‚ Å‚Å‚
en 2n n 3n 2n n!
n=1 n=1 n=1 n=1
Zadanie 3
Dla jakich wartości parametru m oba miejsca zerowe funkcji
Zadanie 7
f x = x2 + 2m - 4 x + 2m + 1 są większe od -3?
( ) ( )
Oblicz granice funkcji
Zadanie 4
2x x - 1 - 2 2x3 + 5x2 - x + 5
Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:
a) lim b) lim c) lim d)
2n+1
x1 x5 x+"
x - 5 4x3 - 2x - 2
x2 + 5
n + 1
ëÅ‚ öÅ‚
a) an = 4n2 + 5n - 2 - 2n , b) an =
ìÅ‚ ÷Å‚
2x
íÅ‚ Å‚Å‚
n
lim
x1+
1 - x2
1 1
c) an = 2 + 4 + 6+L+2n - ( - 1 ,
2n
( ) )
n 2
Zadanie 8
1 1 1
Uzupełnić wzór funkcji tak, aby była ona ciągła w danym punkcie:
1 + + + L
3 32 3n-1 x2 - 1
d) an =
a) f x = w punkcie x = -1,
( ) 0
1 1 1
x + 1
1+ + + L +
2 22 2n-1
9 - x2
b) f x = w punkcie x = 3
2n ( ) 0
n
ëÅ‚ -1
öÅ‚ 3 - x
e) an =
ìÅ‚ ÷Å‚
n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 9
(n -1)(n + 3)
Oblicz pochodnÄ… funkcji
f) an =
3n2 + 5
Zadanie 5
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
Wyższa Szkoła Infrastruktury i Zarządzania
1 x2 x2 1
a) f x = x + 1 , b) f x = , c) f x = , a) f x = , b) f x = , c) f x = x3 + 3x2 - 2x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x + 1 x2 + 1 x2 - 9 x2 - 2x
2
d) f x = x2 + x + 1 , e) f x = ex , f) f x = x3 + 2x2 + 1 ex ,
( ) ( ) ( )
( )
Zadanie 15
Oblicz iloczyn macierzy:
g) f x = x ln x , h) f x = x ln x - x
( ) ( )
3
îÅ‚ -2 3 4 a b ²
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚Ä… Å‚Å‚
a) ïÅ‚ Å" Å"
ïÅ‚2 5śł , b) ïÅ‚c d śł ïÅ‚Å‚ ´śł
Zadanie 10
ðÅ‚5 -4śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
Oblicz pochodną podanego rzędu następujących funkcji:
1 0 0 a b c 1 0 0 a b c
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a) 2-go, 3-go, 4-go i 5-go rzędu funkcji f x = x3 + x + 1
( )
ïÅ‚0 ïÅ‚x śł ïÅ‚0 ïÅ‚x śł
c) 1 Ä…śł Å" y z , d) 1 0śłÅ" y z
b) 2-go, 3-go i 4-go rzędu funkcji f x = xex
( ) ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł śł śł śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚ ïÅ‚ v wûÅ‚ ïÅ‚ Ä… 1ûÅ‚ ïÅ‚ v wûÅ‚
ðÅ‚u ðÅ‚0 ðÅ‚u
c) 2-go, 3-go i 4-go rzędu funkcji f x = ln x + 1
( ) ( )
a b c 1 0 0 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 11 ïÅ‚x śł ïÅ‚0 ïÅ‚7
e) y z 1 ąśł , f)
ïÅ‚3 5 1śł Å" ïÅ‚ 5śł ,
Znajdz
równanie stycznej do wykresu funkcji w podanym punkcie ïÅ‚ śłÅ" ïÅ‚ śł śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚u v wûÅ‚ ïÅ‚ 0 1ûÅ‚ ðÅ‚0 2ûÅ‚
ðÅ‚0
a) f x = x w x0 = 1, x0 = 2 , x0 = 4 ,
( )
x1 x2
îÅ‚ Å‚Å‚
1
a1 a2
b) f (x) = w x0 = -1, x0 = 0 , x0 = 1 îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y
g) y2 śł Å"
1 + x
1 ïÅ‚b b2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
z2 ðÅ‚ 1 ûÅ‚
ðÅ‚z1 ûÅ‚
Zadanie 12
Zadanie 16
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres:
Oblicz potęgę macierzy:
x2 x + 1 x4
3
a) f x = , b) f x = , c) f x = - + x2 + 1,
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
34 4
x - 1 x2 + x + 1 2
a 0 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 ïÅ‚2
x - 1 a)
ïÅ‚0 bśł b) ïÅ‚1 1śł c) ïÅ‚ 1 2śł d) ïÅ‚ 1 0śł
śł śł
d) f x =
( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
x2 + 3x - 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚ ðÅ‚3 2 1ûÅ‚
Zadanie 17
Zadanie 13
Oblicz wyznaczniki:
Zbadaj monotoniczność funkcji:
0 a b c 0 5 0 2
5 - 2x
1 3 5
a) f x = x3 + 3x2 - 2x , b) f x =
( ) ( )
2
3 5 1 x 0 0 8 3 4 5
x
( - 1
)
a) , b) -2 -1 0 , c) , d)
-1 -2 1 0 y 0 7 2 1 4
-1 4 6
Zadanie 14
1 0 0 z 0 4 0 1
Wyznacz ekstrema funkcji:
Wyższa Szkoła Infrastruktury i Zarządzania
2
îÅ‚ -1 1 2 2 -1 1 2
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 18
a) X Å" = Å" X =
ïÅ‚1 2 śł ïÅ‚1 3śł b) ïÅ‚1 2 śł ïÅ‚1 3śł
Znajdz
macierze odwrotne:
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 0 1 ² 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a b
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 ïÅ‚0
a) ïÅ‚ śł , b) 1 Ä…śł , c) 0 Ä…śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚c d ûÅ‚
ïÅ‚ śł śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚ ïÅ‚ 0 1ûÅ‚
ðÅ‚Å‚
Zadanie 19
Rozwiąż następujące układy dwóch równań liniowych:
2x
Å„Å‚ - 3 y = 3 2x + 5y = 5 6 x - 4y = 5
Å„Å‚ Å„Å‚
a) òÅ‚ , b) , c)
òÅ‚ òÅ‚
x + 2y = 5 x - 2y = 9
ół ół ół9x - 6 y = 2
Zadanie 20
Rozwiąż następujące układy trzech równań liniowych:
x + 2y + 3z = 14 2x - y + z = 1 3x + 12 y + 5z - 43 = 0
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a) ôÅ‚3x + y + 2z = 11 , b) + y - 2z = 0 , c) - 3 y - 10z -76 = 0
òÅ‚ òÅ‚3x òÅ‚5x
ôÅ‚2x + 3y + z = 11 ôÅ‚ ôÅ‚4x - 17 y + 2z - 23 = 0
x - 3y - z = 2
ół ół ół
Zadanie 21
Rozwiązać następujące układy równań jednorodnych:
2x
Å„Å‚ - 4y = 0
4x
Å„Å‚ - 6 y = 0 2x + 3y = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
a) òÅ‚ , b) , c) - 10 y = 0 ,
òÅ‚ òÅ‚5x
ół6 x - 9 y = 0 ół3x - 5 y = 0 ôÅ‚ 3x + 5y = 0
ół
4x
Å„Å‚ - 6 y + 10z = 0
d)
òÅ‚
ół6 x - 9 y - 15z = 0
Zadanie 22
Jaką postać ma macierz wymiaru 3x3, która spełnia równanie: AT = A.
Zadanie 23
Rozwiąż równania macierzowe: