materialy sem1 A Karpio matematyka uklady rownan

5. Układy równań liniowych
Rozdział ten jest kontynuacją poprzedniego, dotyczy bowiem zastosowania
formalizmu macierzowego do rozwiązywania układów równań liniowych. Równania
liniowe pojawiają się nie tylko jako samoistne zagadnienia, ale często są uproszczoną
wersją problemów bardziej skomplikowanych, jako ich przybli\enie. Taka uproszczo-
na wersja często pozwala zrozumieć podstawowe mechanizmy zjawisk i procesów
opisywanych zale\nościami nieliniowymi. Metody otrzymywania przybli\enia linio-
wego nie będą omawiane w tym rozdziale, wykraczają one poza poruszaną tutaj tema-
tykę. Mo\na jedynie wspomnieć, i\ często wykorzystuje się do tego metody rachunku
ró\niczkowego. Spośród zagadnień, do rozwiązania których stosuje się techniki zapre-
zentowane w tym rozdziale, mo\na wymienić model Leontiewa nakładów i wyników.
5.1. Układy równań; twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Rozwa\my układ m równań liniowych z n niewiadomymi, ma on następującą
postać:
a11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1
a21x1 + a22 x2 +L+ a2nxn = b2
M
am1x1 + am2x2 +L+ amn xn = bm
Współczynniki aij oraz bi , gdzie i = 1,2K,m , j =1,2,K,n , są konkretnymi liczbami
definiującymi układ równań. Oczywiście niektóre z nich mogą być równe zeru.
Wskaznik i numeruje równania (jest ich m), natomiast wskaznik j numeruje niewia-
dome x , których jest n. Zdefiniujmy trzy macierze. Pierwszą jest macierz współczyn-
j
ników, nazywana macierzą układu równań:
a11 a12 L a1n
�ł łł
�ła a22 L a2n śł
21
�ł śł
A = .
�ł śł
M M M M
�ł śł
am2 L amn �ł
�łam1
x1
�ł łł
�łx śł
2
�ł śł
Następnymi są: wektor niewiadomych X = oraz wektor wyrazów wolnych
�ł śł
M
�ł śł
�łxn �ł
b1
�ł łł
�łb śł
2
�ł śł
B = . Je\eli przypomnimy sobie definicję mno\enia macierzy, to powy\szy układ
�ł śł
M
�ł śł
�łbm �ł
równań mo\na zapisać w postaci:
A�" X = B
Macierz po lewej stronie (wynik mno\enia) równa jest macierzy stojącej po prawej
stronie. Równość zachodzi wtedy, gdy:
1
1. Obie macierze są tego samego wymiaru. Aatwo uzasadnić, \e są tego samego wy-
miaru: iloczyn macierzy m� n i macierzy n�1 ma wymiar m�1, a to jest wymiar
wektora wyrazów wolnych.
2. Odpowiednie wyrazy (mające takie same numery wskazników) są sobie równe.
Z warunków tych ponownie otrzymalibyśmy wyjściowy układ zapisany bez pomocy
macierzy.
Równanie A�" X = B pojawiło się ju\ w poprzednim rozdziale. Jego rozwiąza-
nie łatwo jest otrzymać, gdy macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa (ma wyznacznik
ró\ny od zera). Jednak nie zakładamy na razie tak szczególnego przypadku. Zanim
sformułujemy warunki, przy których istnieją rozwiązania musimy wprowadzić pojęcie
rzędu macierzy. Rzędem r(A) macierzy A nazywamy najwy\szy stopień niezerowego
minora macierzy A. Przyjmuje się z definicji, \e rząd macierzy zerowej jest równy ze-
ru.
Jak wiadomo minor jest wyznacznikiem macierzy powstałej z wykreślenia
pewnej liczby wierszy i kolumn. Je\eli mamy do czynienia z macierzą kwadratową
n� n , to jej rząd nie mo\e być większy od n i jest maksymalny wtedy, gdy wyznacz-
nik tej macierzy jest ró\ny od zera, gdy nie jest maksymalny, to r(A)< n . Je\eli nato-
miast macierz ma wymiar m� n , to maksymalny rząd, jaki mo\e mieć taka macierz
jest równy mniejszej z dwóch liczb m i n, a więc r(A)d" min{m,n}. Pamiętajmy jed-
nak, \e wyznacznik zdefiniowany jest tylko dla macierzy kwadratowej, więc w przy-
padku, gdy m `" n minory otrzymujemy wykreślając ró\ne liczby wierszy i kolumn.
Warunki rozwiązalności układu równań podaje poni\sze twierdzenie. Zanim je
jednak sformułujemy zdefiniujemy macierz uzupełnioną U macierzy układu równań A.
Jest to macierz, która powstaje przez dopisanie do macierzy A kolumny wyrazów wol-
nych:
a11 a12 L a1n b1
�ł łł
�ł
a21 a22 L a2n b2 śł
�ł śł
U =
�ł śł
M M M M M
�ł
am1 am2 L amn bm śł
�ł �ł
Twierdzenie (Kroneckera Capelliego)
Warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązalności układu równań linio-
wych A�" X = B jest równość rzędów macierzy układu A i macierzy uzupełnionej U:
r = r(A) = r(U )
Je\eli rząd r jest równy liczbie niewiadomych n, to układ ma dokładnie jedno rozwią-
zanie, gdy rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wie-
le rozwiązań zale\nych od n - r parametrów.
Przypadkiem, w którym układ ma dokładnie jedno rozwiązanie zajmiemy się
nieco pózniej, a tymczasem skomentujemy krótko pozostałe mo\liwości. Układ dwóch
równań z dwiema niewiadomymi opisuje dwie proste na płaszczyznie. Ich wzajemne
poło\enie decyduje o tym, czy rozwiązanie istnieje, czy nie istnieje, i czy jest tylko
jedno. Je\eli proste nie pokrywają się i nie są równoległe, to istnieje jednoznacznie
określone rozwiązanie (rząd r jest równy ilości niewiadomych). Je\eli proste są rów-
2
noległe, to rozwiązania nie ma odpowiada to sytuacji, o której nie ma mowy w
twierdzeniu: r(A)< r(U ). Wreszcie trzecia mo\liwość występuje wtedy, gdy proste
pokrywają się. Wówczas r(A) = r(U )= 1 < 2 (2 jest liczbą niewiadomych) i jedno z
równań mo\emy odrzucić pozostanie jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Je-
\eli jedną z niewiadomych wyznaczymy z tego równania, to druga będzie parametrem,
w miejsce którego mo\emy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste otrzymując w ten
sposób nieskończenie wiele rozwiązań.
Podobną analizę mo\emy przeprowadzić dla układu trzech równań z trzema
niewiadomymi. Równania opisują płaszczyzny w przestrzeni i ich wzajemne poło\enie
decyduje o rozwiązalności układu. Je\eli przecinają się w jednym punkcie, to układ
ma jednoznacznie rozwiązanie ( r(A) = r(U ) = 3). Je\eli dwie z trzech płaszczyzn są
równoległe lub wszystkie trzy są do siebie równoległe, to układ nie ma rozwiązań
( r(A)< r(U )). Kiedy dwie płaszczyzny pokrywają się i trzecia przecina je
( r(A) = r(U ) = 2 < 3 ) , to ich częścią wspólną jest prosta, której ka\dy punkt jest roz-
wiązaniem układu. Podczas rozwiązywania takiego układu jedno z identycznych rów-
nań po prostu odrzucamy, pozostaną dwa równania z trzema niewiadomymi. Mamy
wówczas nieskończenie wiele rozwiązań zale\nych od jednego parametru (mo\emy
nadawać mu dowolne wartości), którym jest jedna z niewiadomych. Pozostał trzeci
przypadek wszystkie płaszczyzny pokrywają się ( r(A) = r(U )= 1 < 3. Wtedy odrzu-
camy dwa równania, pozostanie jedno z trzema niewiadomymi, z których dwie będą
odgrywały rolę parametrów.
Punkt przecięcia
się trzech płasz-
czyzn
Rys. 8.1. 1 Rysunek pokazuje sytuację, w której trzy równania z trzema niewidomymi
mają jedno rozwiązanie, wtedy r(A) = r(U )= 3.
3
Prosta będąca prze-
cięciem się trzech
płaszczyzn
Rys. 8.1. 2. Je\eli dwie z trzech płaszczyzn pokrywają się i są przecinane przez trze-
cią płaszczyznę, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań tworzących prostą. Od-
powiada to sytuacji, gdy r(A) = r(U ) = 2 < 3 .
Rys. 8.1. 3. Je\eli trzy płaszczyzny pokrywają się, to układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań. Są nimi wszystkie punkty płaszczyzny i wtedy r(A) = r(U )= 1 < 3.
4
Rys. 8.1. 4 Je\eli dwie z trzech płaszczyzn są równoległe (ale nie pokrywają się), to
układ równań nie ma rozwiązań, wówczas r(A) < r(U ).
W przypadku więcej ni\ trzech równań interpretacja jest bardzo podobna, ale
mamy wówczas do czynienia ze zbiorami w większej liczbie wymiarów ni\ trzy. Nie-
stety, nasza wyobraznia wówczas zawodzi i nie mo\emy narysować takich zbiorów.
Chocia\ interpretacja rozwiązalności, lub braku rozwiązań, jest analogiczna do omó-
wionych wy\ej przypadków dwu i trzywymiarowych. Bez względu na ilość równań i
niewiadomych w przypadku układów równań u\ywa się następującej terminologii:
je\eli układ ma jednoznaczne rozwiązanie, to mówimy, \e jest oznaczony, je\eli roz-
wiązań jest nieskończenie wiele, to jest nieoznaczony, natomiast w przypadku braku
rozwiązań układ nazywamy sprzecznym.
Przykład
Rozwią\my układ równań:
2x
ńł - y + z = 1
�ł3x + y - 2z = 0
�ł
�ł- 4x + 2y - 2z = -2
ół
Aby zapisać go w postaci macierzowej wprowadzamy macierz układu:
2
�ł -1 1
łł
�ł
A = 3 1 - 2śł
�ł śł
�ł- 4 2 - 2�ł
śł
�ł
oraz macierz uzupełnioną:
2
�ł -1 1 1
łł
�ł śł
U = 3 1 - 2 0
�ł śł
�ł- 4 2 - 2 - 2�ł
śł
�ł
Rząd macierzy U nie mo\e być większy od 3, jest to mniejsza z dwóch liczb tworzą-
cych wymiar macierzy: 3 i 4. Obliczamy więc minory 3�3 , które powstają z wykre-
ślenia jednej kolumny. Okazuje się, \e wszystkie są równe zeru, co świadczy o tym, \e
rząd macierzy U jest mniejszy od 3. Zauwa\my, \e po wykreśleniu ostatniej kolumny
otrzymujemy minor będący wyznacznikiem macierzy A. Z jego zerowania się wynika,
\e rząd tej ostatniej macierzy jest te\ mniejszy od 3. W następnym kroku tworzymy
minory poprzez wykreślanie z macierzy A jednego wiersza i jednej kolumny. W roz-
wa\anym przypadku minorem ró\nym od zera jest na przykład:
"
�ł -1 1
łł
det�ł" 1 - 2śł = 2 -1 =1
�ł śł
�ł
�ł" " " śł
�ł
Zauwa\my, \e jest to równocześnie minor macierzy U powstały z wykreślenia ostat-
niego wiersza oraz pierwszej i ostatniej kolumny. Świadczy to o tym, \e rzędy obu
macierzy (A i U) są jednakowe i równe 2. Z twierdzenia Kroneckera Capelliego wy-
nika, \e układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zale\ą od jednego parametru
(jeden jest ró\nicą pomiędzy liczbą niewiadomych i znalezionym rzędem).
5
Poniewa\ do znalezionego wy\ej minora nie wchodzą współczynniki trzeciego
równania, więc mo\emy je odrzucić i pozostaną dwa równania z trzema niewiadomy-
mi:
2x
ńł - y + z = 1
�ł3x + y - 2z = 0
ół
Współczynniki w znalezionym minorze stoją przy niewiadomych y i z. Przenosimy
więc wyrazy zawierające x na prawą stronę (zmienna x jest parametrem, od którego
zale\y rozwiązanie) i otrzymujemy układ:
ńł- y + z = 1- 2x
�ł
y - 2z = -3x
ół
Nie przejmując się prawą stroną rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema nie-
wiadomymi y i z. W pierwszym kroku pierwsze równanie zastępujemy równaniem
powstałym z dodania obu równań stronami:
ńł - z = 1- 5x
�ły - 2z = -3x
ół
Z pierwszego równania wyznaczamy z i po podstawieniu do drugiego równania, znaj-
dujemy y, w rezultacie otrzymujemy:
z =
ńł -1+ 5x
�ły = -2 + 7x
ół
Mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań sparametryzowanych zmienną x, za którą
mo\emy podstawiać dowolne liczby rzeczywiste. Przykładami rozwiązań mogą być
trójki (0,-2,-1) , (1,5,4), (- 2,-16,-11), które otrzymaliśmy podstawiając do powy\-
szej pary równań w miejsce zmiennej x odpowiednio 0, 1 i 2.
W rozwa\anym przypadku równanie pierwsze i trzecie opisuje tę samą płasz-
czyznę. Wystarczy bowiem trzecie równanie podzielić przez 2, aby otrzymać pierw-
sze. Z tego powodu rząd macierzy układu nie był maksymalny, ale był równy 2 i dla-
tego mogliśmy odrzucić trzecie równanie, chocia\ równie dobrze mo\na było pozbyć
się równania pierwszego.
8.2. Wzory Cramera
Rozpatrzmy szczegółowo przypadek, gdy liczba równań jest taka sama, jak
liczba niewiadomych ( m = n ). Macierz A jest wówczas kwadratowa. Mo\e oczywiście
być zarówno osobliwa ( r < n ), jak i nieosobliwa ( r = n ). Je\eli jest nieosobliwa, to z
dyskusji o związku pomiędzy rzędem macierzy i jej wymiarem wynika, \e
r(A) = r(U ) = n i układ ma jednoznaczne rozwiązanie (patrz twierdzenie Kroneckera
Capelliego). Mo\emy je otrzymać mno\ąc obie strony równania A�" X = B (lewo-
stronnie) przez A-1 - była o tym mowa w poprzednim rozdziale. Rozwiązanie ma
wówczas postać: X = A-1B . Jednak z przyczyn praktycznych (mniej rachunków) zapi-
suje się je w nieco innej postaci. Wprowadzmy wyznaczniki A1, A2,K, An , w których
odpowiednio zamiast pierwszej kolumny (w A1) stoi kolumna wyrazów wolnych, za-
miast drugiej (w A2) stoi kolumna wyrazów wolnych itd. Mamy więc:
6
b1 a12 L a1n a11 b1 L a1n
�ł łł �ł łł
�łb a22 L a2n śł �ła b2 L a2n śł
2 21
�ł śł �ł śł
A1 = det , A2 = det , .....,
�ł śł �ł śł
M M M M M M M M
�łb an2 L ann śł �ła bn L ann śł
�ł n �ł �ł n1 �ł
a11 a22 L b1
�ł łł
�ła a22 L b2 śł
21
�ł śł
An = det
�ł śł
M M M M
�ła an2 L bn śł
�ł n1 �ł
Rozwiązanie układu zadane jest wówczas wzorami Cramera:
A1 A2 An
x1 = , x2 = , K, xn =
det A det A det A
W rozwa\anym przypadku mamy do czynienia z układem oznaczonym. Wie-
lowymiarowe płaszczyzny (w przypadku n > 3 nazywa się je hiperpłaszczyznami),
opisywane poszczególnymi równaniami układu, przecinają się w dokładnie jednym
punkcie o współrzędnych zadanych wzorami Cramera.
Je\eli wyznacznik układu det A = 0 i chocia\ jeden z wyznaczników
A1, A2,K, An jest ró\ny od zera, to układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań
( r(A)< r(U )) . Wreszcie trzecia mo\liwość związana jest z sytuacją, gdy wszystkie
wyznaczniki A1, A2,K, An są równe zeru. Badając relację pomiędzy rzędem macierzy
A i macierzy U rozstrzygamy, czy układ jest sprzeczny ( r(A) `" r(U )), czy nieoznaczo-
ny ( r(A) = r(U )). W drugim przypadku jego rozwiązanie otrzymujemy metodą zapre-
zentowaną w poprzednim podrozdziale, gdy r = r(A) < n . Rozwiązań jest wówczas
nieskończenie wiele i zale\ą one od n - r parametrów.
Rozwa\my teraz przypadek układu jednorodnego, czyli takiego, w którym ma-
cierz wyrazów wolnych jest równa zeru ( b1 = b2 = K = bn = 0 ). Wtedy ka\dy z wy-
znaczników A1, A2,K, An jest równy zeru zawiera bowiem kolumnę zło\oną z sa-
mych zer. Je\eli wyznacznik układu det A = 0 , to mamy do czynienia z układem nie-
oznaczonym i jego dyskusja była ju\ przeprowadzona. Pozostaje przypadek det A `" 0 .
Wtedy układ jest oznaczony i ma jednoznaczne rozwiązanie. Ze wzorów Cramera wy-
nika, \e jest to rozwiązanie zerowe: x1 = x2 = K = xn = 0 .
Zauwa\my, \e układ jednorodny zawsze ma rozwiązania (bez względu na to,
czy niewiadomych jest tyle samo co równań, czy nie). Jest to konsekwencja prostego
faktu geometrycznego. Równania jednorodne opisują hiperpłaszczyzny przechodzące
przez początek układu współrzędnych, a więc przynajmniej jeden punkt, o wszystkich
współrzędnych zerowych, spełnia układ.
5.3. Operacje elementarne i ich zastosowania
Podczas rozwiązywania układów równań liniowych, bez zastosowania algebry
macierzy, mo\na było wykonywać na nich pewne operacje, które nie zmieniały roz-
wiązań. Jeszcze w szkole uczono nas, \e obie strony równania mo\na mno\yć przez te
same liczby (ró\ne od zera), mo\na równania dodawać lub odejmować stronami itp.
7
Wszystko to słu\y znalezieniu rozwiązania poprzez maksymalne uproszczenie układu
równań. Okazuje się, \e szereg operacji powy\szego typu mo\na wykonywać na ma-
cierzy rozszerzonej układu, nie wypisując samych równań. Pozwala to nie tylko znaj-
dować rozwiązania, ale na przykład stwierdzić, jaki jest rząd macierzy układu, co jak
wiadomo ma decydujące znaczenie dla istnienia rozwiązań i odpowiedzi na pytanie od
ilu parametrów zale\ą rozwiązania. Mo\na równie\ wspomniane przekształcenia za-
stosować do wyznaczania macierzy odwrotnej (jeśli istnieje). Dalsze rozwa\ania ogra-
niczymy do działań na wierszach (chocia\ mo\na i na kolumnach) i wymienimy tzw.
operacje elementarne, do których zaliczamy:
1. mno\enie wiersza przez liczbę ró\ną od zera,
2. dodawanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy,
3. zamianę wiersza lub kilu wierszy miejscami.
Zauwa\my, \e podobne działania mo\na było wykonywać na wierszach (lub
kolumnach) wyznacznika. Jednak tym razem operacje elementarne stosują się do ma-
cierzy, a nie wyznaczników. Podamy teraz ich zastosowania w postaci konkretnych
przykładów.
Przykład (znajdowanie rzędu macierzy)
Rząd macierzy zdefiniowaliśmy jako najwy\szy stopień minora ró\nego od ze-
ra. W przypadku macierzy kwadratowej w pierwszym kroku nale\y sprawdzić, czy jej
wyznacznik jest ró\ny od zera. jeśli tak, to odpowiedz mamy gotową. Jeśli jest równy
zeru, to mo\emy skorzystać z operacji elementarnych. Celem stosowania operacji
elementarnych jest wyzerowanie jak największej liczby elementów macierzy, wyrazy
niezerowe, które pozostaną określają rząd macierzy. Rozwa\my konkretny przykład
macierzy 3� 4:
1 2 1 2
�ł łł
�ł1 2 2 4śł
�ł śł
�ł śł
�ł1 2 3 6�ł
Wiemy, \e rząd tej macierzy nie mo\e być większy od 3 (mniejszej z dwóch liczb:
ilość wierszy, ilość kolumn). Aby stwierdzić, \e jest równy właśnie tyle, musimy zna-
lezć minor trzeciego stopnia ró\ny od zera, są trzy takie minory. Je\eli oka\e się, \e
wszystkie są równe zeru, to szukamy minorów drugiego stopnia, a tych jest ju\ znacz-
nie więcej. Sytuacja byłaby jeszcze gorsza, gdybyśmy mieli do czynienia z macierzą
wy\szego wymiaru ni\ właśnie rozwa\ana. Dlatego wygodnie jest od razu wykonywać
przekształcenia elementarne, starając się wygenerować jak największą liczbę zer.
Wracając do przykładu podzielmy drugą i czwartą kolumnę przez 2, wówczas otrzy-
mujemy:
1 2 1 2 1 1 1 1
�ł łł �ł łł
�ł1 2 2 4śł E" �ł1 1 2 2śł
�ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł1 2 3 6�ł �ł 1 3 3�ł
�ł1
gdzie symbol E" oznacza, \e obie macierze są sobie równowa\ne w sensie operacji
elementarnych. Następnie do kolumny pierwszej dodajemy drugą pomno\oną przez
1, a do trzeciej natomiast dodajemy czwartą równie\ pomno\oną przez 1:
8
1 1 1 1 1-1 1 1-1 1 0 1 0 1
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł1 1 2 2śł E" �ł1-1 1 2 - 2 2śł = �ł0 1 0 2śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł
�ł1 1 3 3�ł �ł 1 3 - 3 3�ł �ł 1 0 3�ł
�ł1-1 �ł0
W kolejnym kroku do czwartej kolumny dodajemy drugą pomno\oną przez 1:
0 1 0 1 0 1 0 1-1 0 1 0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 1 0 2śł E" �ł0 1 0 2 -1śł = �ł0 1 0 1śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł
�ł0 1 0 3�ł �ł 1 0 3 -1�ł �ł 1 0 2�ł
�ł0 �ł0
Je\eli teraz zamienimy drugą kolumnę z trzecią, to otrzymamy:
0 1 0 0 0 0 1 0
�ł łł �ł łł
�ł0 1 0 1śł E" �ł0 0 1 1śł
�ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł0 1 0 2�ł �ł 0 1 2�ł
�ł0
Mo\na w tym miejscu zaprzestać dalszych przekształceń, ale dodajmy do drugiego i
trzeciego wiersza pierwszy wiersz pomno\ony przez 1:
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 0 1 1śł E" �ł0 0 1-1 1śł = �ł0 0 0 1śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł
�ł0 0 1 2�ł �ł 0 1-1 2�ł �ł 0 0 2�ł
�ł0 �ł0
Je\eli dodatkowo dodamy do ostatniego wiersza przedostatni pomno\ony przez 2, to
uzyskamy ostateczną postać macierzy, której nie mo\na ju\ bardziej uprościć:
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 0 0 1śł E" �ł0 0 0 1 śł �ł0 0 0 1śł
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł śł śł
�ł0 0 0 2�ł �ł 0 0 2 - 2�ł �ł 0 0 0�ł
�ł0 �ł0
Zawiera ona podmacierz jednostkową 2� 2 (w prawym górnym rogu), której wy-
znacznik jest oczywiście ró\ny od zera. Uzyskany wynik oznacza, \e rząd wyjściowej
macierzy jest równy 2.
Przykład (znajdowanie macierzy odwrotnej)
Je\eli mamy do czynienia z macierzą kwadratową i nieosobliwą, to istnieje ma-
cierz odwrotna do niej. Wyznaczenie jej ze wzoru mo\e okazać się bardzo praco-
chłonne, dlatego lepiej jest wykorzystać operacje elementarne. W tym celu, je\eli de-
cydujemy się na operacje wykonywane tylko na wierszach, dopisujemy do zadanej
macierzy macierz jednostkową w następujący sposób (równie dobrze mo\na dopisać ją
z lewej strony):
1 2 2 1 0 0
�ł łł łł
�ł1 2 4 śł0 1 0śł
�ł śł śł
�ł -1�ł0 0 1�ł
śł
�ł1 1 śł
Gdybyśmy zamierzali wykonywać operacje na kolumnach, to macierz jednostkową
dopisalibyśmy u góry lub u dołu.
Celem stosowania przekształceń elementarnych jest doprowadzenie do sytuacji,
w której macierz jednostkowa zajmie miejsce zadanej macierzy. Wówczas macierz po
prawej stronie będzie szukaną macierzą odwrotną.
9
W pierwszej kolejności mno\ymy pierwszy wiersz przez 1 i dodajemy do
drugiego i trzeciego wiersza:
1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
�ł łł łł �ł łł łł
�ł1-1 2 - 2 4 - 2 śł �ł0 0 2 śł
�ł śł-1 1 0śł E" �ł śł-1 1 0śł
śł śł
�ł śł śł śł śł
�ł1-1 1- 2 -1- 2�ł-1 0 1�ł �ł -1 - 3�ł-1 0 1�ł
�ł0
Tym razem drugi wiersz pomno\ony przez -1 dodajemy do pierwszego:
1 2 0 2 -1 0 1 2 0 2 -1 0
�ł łł łł �ł łł łł
�ł0 0 2śł �ł0
-1 1 0śł = 0 2śł -1 1 0śł
�ł śł śł �ł śł śł
3 3 5 3
�ł -1 0�ł-1- 1�ł �ł0 -1 0�ł- 1�ł
śł śł �ł śł śł
�ł0 2 2 2 2
Następnie do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomno\ony przez 2:
1 2
�ł - 2 0 2 - 5 -1+ 3 2 1 0 0 3 2 2
łł łł �ł łł-
łł
�ł0 0 2śł �ł0
-1 1 0śł = 0 2śł -1 1 0śł
�ł śł śł �ł śł śł
5 3 5 3
�ł -1 0�ł - 1�ł �ł0 -1 0�ł- 1�ł
śł śł �ł śł śł
�ł0 2 2 2 2
W ostatnim kroku dzielimy drugi wiersz przez 2, natomiast trzeci mno\ymy przez 1 i
zamieniamy je miejscami:
1 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 2
�ł łł-
łł �ł łł-
łł
�ł0 0 1śł- 1 1 0 śł �ł0 1 0śł 5 - 3 -1śł
=
2 2 2 2
�ł śł śł �ł śł śł
5 3 1 1
�ł śł - -1�ł �ł0 0 1�ł- 0 śł
śł �ł śł
�ł0 1 0�ł 2 2 2 2 �ł
W ten sposób otrzymaliśmy macierz odwrotną:
-1
1 2 2
�ł łł �ł- 3 2 2
łł
�ł1 2 4 śł �ł
5 3
= - -1śł
2 2
�ł śł �ł śł
�ł -1�ł �ł 1 1 0 śł
�ł1 1 śł �ł- 2 2 �ł
Przykład (rozwiązywanie układu równań liniowych)
Zastosowanie operacji elementarnych do rozwiązywania równań liniowych po-
lega na zaadoptowaniu poprzedniego przykładu poprzez dopisanie do macierzy układu
kolumny wyrazów wolnych. Ograniczmy się na razie do przypadku, gdy mamy do
czynienia z taką samą ilością równań i niewiadomych oraz niech będzie to układ ozna-
czony. Rozwa\my przykład konkretnego układu:
2x + y - z = 1
ńł
�ł
x + 0y + z = 0
�ł
�ł
x + y + z = 2
ół
Z przyczyn praktycznych, tam gdzie nie ma niewiadomej, zapisaliśmy ją ze współ-
czynnikiem równym zeru, co ułatwia znalezienie macierzy układu. Aatwo sprawdzić,
\e jest to układ oznaczony. Zapiszmy więc macierz układu i kolumnę wyrazów wol-
nych:
10
2 1 -1 1
�ł łł łł
�ł1 0 1 śł0śł
�ł śł śł
�ł
�ł1 1 1 śł �ł
�ł2śł
Operacje elementarne wykonujemy tylko na wierszach. Drugi wiersz dodajemy do
pierwszego, a po pomno\eniu przez 1 równie\ do trzeciego:
2 +1 1 -1+1 1 3 1 0 1
�ł łł łł �ł łł łł
�ł śł0śł �ł1
1 0 1 = 0 1śł0śł
�ł śł śł �ł śł śł
�ł śł śł
�ł1-1 1 1-1 śł �ł �ł0 1 0�ł2�ł
�ł2śł �ł
Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomno\ony przez 1:
3 0 0 1- 2 3 0 0
�ł łł łł �ł łł-1
łł
�ł1 0 1śł 0 śł �ł1 0 1śł 0 śł
=
�ł śł śł �ł śł śł
�ł śł śł
�ł0 1 0�ł 2 śł �ł 1 0�ł 2 śł
�ł �ł0 �ł
Pierwszy wiersz dzielimy przez 3, a następnie mno\ymy go przez 1 i dodajemy do
drugiego wiersza:
1 1
1 0 0 1 0 0
�ł łł- łł �ł łł- łł
3 3
�ł1-1 0 1śł 1 śł �ł0 0 1śł 1 śł
=
3 3
�ł śł śł �ł śł śł
�ł 0 1 0�ł 2 śł
śł śł �ł
�ł �ł �ł0 1 0�ł 2 śł
�ł
Pozostaje ju\ tylko zamienić miejscami drugi i trzeci wiersz:
1
1 0 0
�ł łł- łł
3
�ł0 1 0śł 2 śł
�ł śł śł
1
�ł śł śł
�ł0 0 1�ł 3 �ł
Kolumna dopisana do macierzy jednostkowej jest rozwiązaniem układu równań, ma-
my bowiem:
1
1 0 0 x x
�ł łł �ł łł �ł łł �ł- łł
3
�ł0 1 0śł �ł �ł �ł śł
�" yśł = yśł = 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł z�ł z�ł 1 śł
�ł0 0 1�ł �ł śł �ł śł �ł 3 �ł
�ł �ł �ł
Metodę operacji elementarnych zastosujemy jeszcze do rozwiązywania ukła-
dów, w których liczba równań jest mniejsza od ilości niewiadomych. Rozwa\my
układ:
2x
ńł - 3y + 5z = 0
�ł
x + 3y + z =1
ół
Zapiszmy więc macierz układu z dopisaną kolumną wyrazów wolnych:
2
�ł - 3 5 0
łł łł
�ł1 3 1śł1śł
�ł �ł �ł
Wykorzystamy operacje elementarne do wyzerowania mo\liwie wielu wyrazów ma-
cierzy układu. W pierwszym kroku dodajemy drugi wiersz do pierwszego:
11
2 +1
�ł - 3 + 3 5 +1 1 3 0 6 1
łł łł �ł łł łł
=
�ł śł1śł �ł1 3 1śł1śł
1 3 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Następnie pierwszy wiersz dzielimy przez trzy, a po pomno\eniu go przez 1 dodaje-
my do drugiego wiersza:
1 1
1 0 2 1 0 2
�ł łł łł �ł łł łł
3 3
=
�ł1-1 3 1- 2śł1- 1śł �ł0 3 -1śł 2śł
�ł �ł 3�ł �ł �ł 3�ł
Je\eli podzielimy drugi wiersz przez 3, to otrzymamy:
1
1 0 2
�ł łł łł
2
�ł0 1 - 1śł śł
2
�ł 3�ł 9 �ł
Takiej macierzy uzupełnionej odpowiada następujący układ równań:
1
ńł
x + 2z =
�ł
3
�ł
1 2
�ł - z =
y
ół 3 9
przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą z otrzymujemy rozwiązanie zale\ne od
jednego parametru (właśnie z):
1
ńł
x = - 2z
�ł
3
�ł
2 1
�ł
y = + z
ół 9 3
Dwa ostatnie przykłady są szczególnym przypadkiem wykorzystania tzw. me-
tody eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań. Przyjrzyjmy się drugiemu z
nich. Dokonując operacji elementarnych na macierzy układu z dopisaną kolumną wy-
razów wolnych sprowadziliśmy ją do postaci:
1 0 " łł
" łł
�ł
�ł
0 1 " śł" śł
�ł �ł �ł
w której kropki " oznaczają dowolne liczby. Je\eli powy\szą postać ponownie prze-
tłumaczymy na układ równań, to jego rozwiązanie otrzymamy przenosząc wyrazy
związane z kropkami na prawą stronę, a po lewej stronie zostaną zmienne związane z
jedynkami.
W ogólnym przypadku, gdy liczba niewiadomych jest większa od liczby rów-
nań ( n > m ), metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu układu do postaci:
1 0 L 0 " " łł
" łł
�ł
�ł
0 1 L 0 " " śł" śł
�ł śł śł
�ł śł śł
M M O 0 M M M
�ł
0 0 L 1 " " śł" śł
�ł �ł �ł
Rozwiązanie otrzymujemy wówczas niemal natychmiast. Zmienne związane z jedyn-
kami, czyli x1, x2,K, xm , będą zale\ały od wyrazów wolnych (reprezentowanych krop-
12
kami w dopisanej kolumnie) oraz dowolnych parametrów, którymi będą zmienne
xm+1,K, xn związane z kropkami stojącymi w macierzy układu. Zauwa\my, \e w przy-
padku, gdy m = n w macierzy układu nie pojawiają się kropki i wówczas otrzymamy
jednoznaczne rozwiązanie zadane kolumną wyrazów wolnych.
Pozostaje jeszcze rozwa\yć sytuację, gdy liczba równań przewy\sza liczbę
niewiadomych ( n < m ). Mogą wówczas zaistnieć dwa przypadki. Je\eli po dokona-
nych przekształceniach otrzymamy następującą postać:
1 0 L 0 " łł
�ł łł
�ł0 1 L 0śł" śł
�ł śł śł
�ł śł
M M L 1 " śł
�ł0 0 L 0śł0śł
�ł śł śł
�łM M L MśłMśł
�ł śł śł
�ł0 0 L 0�ł0�ł
w której całe wiersze zło\one są z samych, to mo\emy je całkowicie odrzucić. Ozna-
cza to bowiem, \e równania związane z tymi wierszami są zale\ne od pozostałych
równań i niczego nie wnoszą do układu. Dalej postępujemy zgodnie z poprzednio
omówioną procedurą. Je\eli natomiast w macierzy układu pojawiają się zerowe wier-
sze, a chocia\ w jednym z nich, w kolumnie wyrazów wolnych, pojawi się wyraz ró\-
ny od zera, wówczas świadczy to o tym, \e układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.
Wreszcie jeszcze jedna mo\liwość jaka mo\e się zdarzyć jest taka, \e w jednej z ko-
lumn będą stały same zera. Wtedy zmienna związana z tą kolumna nie pojawia się w
układzie równań mo\e więc być traktowana jako parametr.
13

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
materialy sem1 A Karpio matematyka studia ns
materialy sem1 A Karpio matematyka pochodne
uklady rownan (1)
Wyklad 2 3 MACIERZE WYZNACZNIK UKLADY ROWNAN
uklady rownan liniowych
MN MiBM zaoczne wyklad 1 uklady rownan
Układy równań zadania
Macierze i układy równań przykłady
uklady rownan
C 02 Uklady równan
uklady rownan
4 uklady rownan liniowych
układy równań sprawozdanie7
t5 uklady rownan liniowych

więcej podobnych podstron