Jacek M. Jędrzejewski Kinga Gałązka Edward Lesiak
MATEMATYKA
KROK PO KROKU
Poradnik metodyczny
Klasa II gimnazjum
Projekt okładki
Barbara Zawadzka
Redaktor merytoryczny
Joanna Gonciarz
Redaktor techniczny
Małgorzata Niedziałomska
Grafika komputerowa i rysunki
Mieczysław Potocki
Poradnik jest częścią obudowy programu nauczania matematyki w kla-
sach I III gimnazjum pod tytułem MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: 219/00.
Wydanie I
© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne
RES POLONA Sp. z o.o.
ISBN 83-7071-253-3
WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 A
ódz
, ul. Gdańska 80, tel. [phone], fax [phone]
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: [e-mail]
Spis treści
Wstęp / 5
Komentarz do podręcznika / 7
Pole figury geometrycznej płaskiej / 7
Liczby rzeczywiste / 10
Wyrażenia algebraiczne / 11
Funkcje / 12
Równania i nierówności / 17
Relacje między figurami geometrycznymi / 20
Lekcja po nowemu / 23
Budowa lekcji / 27
Nasze pomysły na Twoje lekcje / 31
Scenariusz zajęć / 33
Odpowiedzi do zadań / 43
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramkÄ… z ,,! / 43
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań
ramkÄ… z ,,? / 51
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych / 58

Otrzymujecie Państwo poradnik będący jedną z części kompletu ma-
teriałów do nauczania matematyki w klasie drugiej gimnazjum MATE-
MATYKA KROK PO KROKU. W poradniku są zawarte materiały ułatwia-
jące organizację procesu nauczania uczenia się, przykładowy scenariusz
zajęć, odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ramką z ,,! ,
zbiorze zadań ramką z ,,? oraz zadań oznaczonych w ćwiczeniach
sprawdzajÄ…cych.
Komplet do nauczania matematyki w klasie drugiej gimnazjum zawie-
ra: program nauczania, podręcznik, zbiór zadań, ćwiczenia sprawdzające,
rozkład materiału oraz poradnik metodyczny.
Program nauczania. Opracowany został zgodnie z Podstawą progra-
mową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gim-
nazjów. Zawiera: założenia ogólne, szczegółowe cele kształcenia mate-
matycznego, założenia szczegółowe programu, propozycje metod oceny
osiągnięć uczniów, ogólny układ materiału w gimnazjum, orientacyjny
przydział godzin oraz materiał nauczania z podziałem na poszczególne
klasy. W programie uwzględniono tygodniowo 4 godziny matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciÄ…gu 33 tygodni.
Podręcznik. Zawiera wiele różnych elementów, których celem jest
wzbudzenie zainteresowania uczniów. Układ podręcznika Matematyka
krok po kroku umożliwia rytmiczną realizację programu oraz sprzyja sto-
sowaniu aktywnych metod nauczania.
Zbiór zadań. Jest uzupełnieniem i rozszerzeniem zagadnień zawar-
tych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trud-
ności, które umożliwiają utrwalenie zdobytych umiejętności i rozwijanie
zainteresowań uczniów. W zbiorze zawarte są zadania z treścią łączącą
matematykę z innymi dziedzinami wiedzy oraz takie, które wskazują na
5
praktyczne zastosowania matematyki. UstalajÄ…c tematykÄ™ Impresji mate-
matycznych, można bazować na znajdujących się w zbiorze zadaniach
otwartych.
Ćwiczenia sprawdzające. Są propozycją krótkich sprawdzianów,
które mogą być użyte do samodzielnych prac uczniów w klasie czy też
w domu. Sposoby ich wykorzystania zależą od inwencji nauczyciela.
Rozkład materiału. Został opracowany tak, że może być podstawą pla-
nowania pracy przez nauczyciela. W wielu placówkach dyrektorzy zezwo-
lili nauczycielom na bezpośrednie korzystanie z rozkładu bez konieczności
przepisywania go. Rozkład materiału zawiera dokładny plan realizacji
zajęć z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zopera-
cjonalizowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie ma-
teriału jest zaplanowana bieżąca kontrola procesu nauczania uczenia się
(kartkówki Teraz Ty, prace klasowe Godzina szczerości) umożliwiająca
dokonanie ewaluacji procesu dydaktycznego. Proponowane Impresje ma-
tematyczne wskazują na miejsca, gdzie możliwe jest realizowanie ścieżek
międzyprzedmiotowych.
6


W podręczniku dla klasy drugiej poruszamy między innymi trudne za-
gadnienia dotyczące pól figur geometrycznych, czyli teorii miary Jor-
dana oraz zagadnienia zwiÄ…zane z funkcjÄ…. W toku realizacji tych za-
gadnień wiele poważnych niedociągnięć dotyczy głównie stosowania
oznaczeń funkcji, jej wartości, a także równania wykresu funkcji. Z tego
względu w poradniku są analizowane zagadnienia teoretyczne, które
umożliwią ujednolicenie stosowanej terminologii oraz pewniejsze działa-
nia nauczycieli.
Pole figury geometrycznej płaskiej
Ustalmy pewien kwadrat i nazwijmy go kwadratem jednostkowym.
Wprowadz
my na płaszczyz
nie układ współrzędnych, którego jednostką
długości jest długość boku ustalonego kwadratu jednostkowego.
Rozważmy figurę F na płaszczyz
nie z danym układem współrzędnych.
y
Proste o równaniach x = k i y = l,
gdzie k, l przebiegają zbiór liczb
całkowitych, wyznaczają sieć
kwadratową. Boki kwadratów tej
sieci mają długości równe jed-
F
nostce. Obliczamy liczbÄ™ kwa-
dratów jednostkowych tej sieci,
1
które są zawarte w figurze F; ich
x
liczbÄ™ oznaczmy p1.
0
1
7
Obliczamy następnie liczbę kwadratów jednostkowych tej sieci, które
mają przynajmniej jeden punkt wspólny z daną figurą; ich liczbę oznacz-
my P1. Oczywiście
p1 d" P1
Jeśli p1 = P1, to wspólną wartość p1 i P1 nazywamy polem figury F.
Dla figury F nie będącej wielokątem zazwyczaj p1 < P1. Proste o rów-
k l
naniach x = , y = , gdzie k, l przebiegają zbiór liczb całkowitych,
10 10
wyznaczają sieć kwadratową będącą zagęszczeniem pierwszej sieci.
Niech p2 będzie liczbą kwadratów jednostkowych tej sieci zawartych
w figurze F, a P2 liczbą kwadratów jednostkowych mających przynaj-
mniej jeden punkt wspólny z figurą F. Wtedy
p1 d" p2 d" P2 d" P1
" "
Zagęszczając podobnie sieć, otrzymujemy ciągi liczb pn n=1 i Pn n=1
( ) ( )
takie, że
pn d" pn+1 d" P d" P dla n " N
n+1 n
Liczbą kwadratów jednostkowych sieci n-tego kroku zawartych w figu-
rze F jest pn · 10n, natomiast P · 10n jest liczbÄ… kwadratów jednostkowych
n
sieci n-tego kroku mających przynajmniej jeden punkt wspólny z figurą F.
"
pn n=1
Ciąg ( ) jest niemalejący i ograniczony z góry, ma więc granicę, któ-
"
rą oznaczmy p . Ciąg Pn n=1 jest nierosnący i ograniczony z dołu, ma
( )
więc granicę, oznaczmy ją P . Oczywiście
p P
d"
p
Jeśli = P , to figurę F nazywamy figurą geometryczną mierzalną (w sen-
p
sie Jordana), a wspólną wartość i P nazywamy polem (miarą) figury F.
Często pole to (miarę) oznaczamy P lub PF.
Możemy dowieść, że jeśli figury F1 i F2 są mierzalne i nie zachodzą na
siebie, tzn. nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, to suma figur
F1 *" F2 też jest mierzalna oraz
PF1 *" F2 = PF1 + PF2
Własność ta to addytywność miary.
8
Teorię tę przypominamy, aby w razie potrzeby rozwinąć pierwszy temat
Pojęcie pola figury. Jednostki pola.
Wiedząc, że dana figura F jest mierzalna, każdą liczbę pn (n = 1, 2, 3, ...)
nazywamy przybliżeniem z niedomiarem pola figury F, a liczbę
P (n = 1, 2, 3, ...) nazywamy przybliżeniem z nadmiarem pola figury F.
n
Mamy bowiem
pn d" P d" P
n
Nie wszystkie figury geometryczne są mierzalne. Na przykład figurą
niemierzalną jest kwadrat o wierzchołkach w punktach (0, 0), (0, 1), (1, 1),
(1, 0), z którego ,,wyrzucamy wszystkie punkty o obu współrzędnych
wymiernych. Nie istnieje żaden kwadrat zawarty w tym ,,kwadracie sicie .
Najmniejszym kwadratem, zawierającym ów ,,kwadrat sito , jest kwa-
drat o wierzchołkach: (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0).
A
atwo zauważamy, że odcinek możemy zawrzeć w sumie kwadratów,
których suma pól jest dowolnie mała. Wynika stąd, że pole odcinka jest
równe 0. W podręczniku omawiamy konstrukcję dywanu Sierpińskiego.
W tym przypadku również możemy dowieść, że jest to figura geome-
tryczna mierzalna i jej miara jest równa 0.
Korzystając z addytywności funk-
cji pola, dowodzimy wzór określają-
cy pole równoległoboku, co poglądo-
wo możemy przedstawić, używając
talii kart. ProstokÄ…t odpowiadajÄ…cy
bokowi równo ułożonej talii kart ma
takie samo pole, jak równoległobok
utworzony przez bok talii kart prze-
suniętej wzdłuż jednej krawędzi.
Wprowadzenie wzoru na pole trójkąta poprzedzamy obliczeniem pola
trójkąta prostokątnego. Do dowolnego trójkąta prostokątnego dorysowu-
jemy trójkąt przystający tak, aby powstał prostokąt. Pole prostokąta umie-
my obliczyć, zatem pole rozważanego trójkąta jest równe połowie pola
tego prostokÄ…ta.
Przestrzegamy przed metodą dzielenia prostokąta wzdłuż jego przekątnej.
Rozcięcie prostokąta może służyć jedynie do zaobserwowania zależności
pomiędzy polem trójkąta prostokątnego a polem prostokąta. Uzasadnienie
powinniśmy jednak poprowadzić w opisany powyżej sposób.
9
Wzór na pole trapezu tłumaczymy uczniom za pomocą podziału trape-
zu na dwa trójkąty mające tę samą wysokość.
Zanim zajmiemy się rozważaniami dotyczącymi pola koła, proponuje-
my omówienie zagadnienia długości okręgu. W okrąg wpisujemy n-kąty
foremne. Obliczamy obwody wielokątów, ciąg tych obwodów tworzy
ciąg przybliżeń z niedomiarem długości okręgu. Metoda ta jest opisana
w podręczniku na stronie 31 i 32.
W sposób zrozumiały dla wszystkich uczniów tłumaczymy także wzór na
pole koła. Bardziej zainteresowanym uczniom możemy przedstawić kilka
kroków tej metody, tworząc ciąg przybliżeń pola koła i tłumacząc, iż
w granicy otrzymamy odpowiedni wzór.
Liczby rzeczywiste
Rozdział Liczby rzeczywiste jest w znacznej mierze przypomnieniem
i powtórzeniem wiadomości z klasy pierwszej, a rozszerzenie teorii
ma umożliwić uczniom uzyskanie większej wprawy w wykonywaniu
obliczeń.
Zaczynamy od przypomnienia definicji potęgi o wykładniku natural-
nym, własności tych potęg oraz określenia potęgi o wykładniku całkowi-
tym. Własności potęg o wykładnikach całkowitych są analogiczne do włas-
ności potęg o wykładnikach naturalnych. Wskazane byłoby, aby własności
te były uzasadnione przez uczniów. W podręczniku podaliśmy dowody
tylko dla niektórych własności i to z pewnymi ograniczeniami.
Na przykład własność
ak · ap = ak+p
została uzasadniona dla przypadku, gdy k <0 i p <0.
Pozostałe możliwe przypadki nauczyciel może sam uzasadnić, oczywi-
ście w klasie, która jest tym problemem zainteresowana. Zwracamy tu
tylko uwagę na niepełne uzasadnienie tej własności. Temat dotyczący po-
tęg o wykładnikach całkowitych pozwala na wskazanie zastosowania po-
tęg do tworzenia bardzo małych i bardzo dużych jednostek pochodnych.
Temat Pierwiastki rozpoczynamy od przypomnienia wiadomości o pier-
wiastkach drugiego i trzeciego stopnia. Podobnie określamy pierwiastki
stopnia większego od 3. Zwracamy uwagę, iż, tak jak w przypadku pier-
wiastków stopnia trzeciego, pierwiastki stopnia nieparzystego definiujemy
10
dla każdej liczby rzeczywistej, natomiast pierwiastki stopnia parzystego,
z oczywistych powodów, mogą być określone tylko dla liczb nieujemnych.
Rozwiązując zadania związane z problemami życia codziennego, w któ-
rych majÄ… zastosowanie pierwiastki, zwracamy uwagÄ™ na stosowanie od-
powiednich przybliżeń.
W wielu zastosowaniach (teoretycznych) ważne jest, aby liczba w swo-
im zapisie nie miała pierwiastków w mianowniku. W tym celu zajmujemy
się problemem usuwania niewymierności z mianownika. Omawiamy naj-
prostsze sposoby usuwania niewymierności z mianownika, bowiem
uczniowie nie znają jeszcze wzorów skróconego mnożenia. Przy tej oka-
zji konieczne jest przekształcanie pewnych wyrażeń zawierających pier-
wiastki. Postępujemy tu w sposób analogiczny do rozszerzania ułamków,
mnożąc licznik i mianownik przez odpowiedni pierwiastek. Staramy się
wpoić uczniom zasadę, iż dobrze jest przedstawiać dane liczby w naj-
prostszej postaci. Należy zatem dokonać mnożeń i redukcji wyrazów po-
dobnych (pierwiastki traktujemy jako zmienne w wyrażeniach algebraicz-
nych i tak z nimi postępujemy). Staramy się, aby własności te omawiać,
rozwiązując różnorodne zadania zawierające treści z życia codziennego.
Wyrażenia algebraiczne
Rozdział Wyrażenia algebraiczne zaczynamy od wprowadzenia wzo-
rów skróconego mnożenia. Omawiamy odpowiednie wzory na kwadrat
sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów. Formułujemy wzory w posta-
ci tradycyjnej oraz stosujemy zapis schematyczny.
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+ = + + 2
· ·
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚  ÷Å‚
= +  2 · ·
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+
·  = 
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Taka forma zapisu schematycznego jest według nas przydatna dla uczniów.
Użycie symboli graficznych, w przeciwieństwie do liter, powoduje, że
uczniowie mają mniej wewnętrznych oporów przy zastępowaniu ich bar-
dziej skomplikowanymi wyrażeniami algebraicznymi.
11
Wzory skróconego mnożenia podajemy w wersji tradycyjnej jak i ,,od-
wróconej :
( )2
a2 + 2ab + b2 = a + b
( )2
a2 - 2ab + b2 = a - b
( ) ( )
a2 - b2 = a - b Å" a + b
Oprócz zapisów symbolicznych wzorów skróconego mnożenia podajemy
zawsze ich słowne sformułowania. Jest to ważne dla uczniów, bowiem
uczą się w ten sposób formułowania myśli i wypowiadania ich w popraw-
nej formie. Szczególną uwagę należy zwrócić na różnicę kwadratów,
gdyż wzór ten jest przydatny do usuwania niewymierności z mianownika.
Proponujemy też, aby w trakcie nauki stosować wersje wzorów sprzy-
jające uogólnieniom:
( )2
a + b = a2 + b2 + 2ab
( - b = a2 + b2 - 2ab
)2
a
Istotnymi zagadnieniami w rozdziale Wyrażenia algebraiczne są za-
gadnienia dotyczące wyłączania wspólnego czynnika poza nawias i meto-
dy grupowania wyrazów. Wykorzystujemy je do rozwiązywania równań
i nierówności. Dlatego tematy te, z pozoru występujące bez istotnego po-
wodu, są ważne dla dalszego kształcenia uczniów.
Jak zawsze staramy się, aby zadania proponowane przez nas były róż-
norodne, urozmaicone i łączyły wiele różnych umiejętności.
Funkcje
Znając teorię mnogości i rozumiejąc pojęcie pary uporządkowanej, mo-
żemy zdefiniować iloczyn kartezjański zbiorów A i B jako zbiór wszystkich
par uporządkowanych, których pierwszym elementem pary jest element
zbioru A, a drugim elementem pary jest element zbioru B. Mamy więc
A × B = ( ) " A '" b " B}
{ a,b : a
Ponieważ para (a, b) jest równa parze (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c
i b = d, więc
A × B `" B × A, gdy A `" B
12
Relacją między elementami zbioru A i elementami zbioru B nazywamy
każdy podzbiór iloczynu kartezjaÅ„skiego A×B. W szczególnoÅ›ci relacjÄ…
jest zbiór pusty. Zbiór A×B jest też relacjÄ…, jest to relacja peÅ‚na  każdy
element zbioru A jest w relacji z każdym elementem zbioru B.
Ważnymi typami relacji są relacje: równoważności, równości i porządku,
o których wspominamy w klasie trzeciej.
Teraz przypomnijmy podstawowe wiadomości o relacji ! zawartej
w zbiorze A×B. Dla każdej relacji ! zawartej w zbiorze A × B można
utworzyć zbiór !-1 określony następująco:
!-1 = ( ) ( ) " !
{ b, a : a, b }
Zbiór ten jest relacją między elementami zbioru B a elementami zbioru A,
jest zatem relacjÄ… w zbiorze B×A. RelacjÄ™ tÄ™ nazywamy relacjÄ… odwrotnÄ…
do relacji ! . Wiadomości te wystarczą do zrozumienia dalszych rozwa-
żań dotyczących funkcji.
RelacjÄ™ f ‚" X×Y, gdzie X i Y sÄ… niepustymi zbiorami, nazywamy funk-
cją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli dla każdego
elementu x zbioru X istnieje dokładnie jeden element y zbioru Y taki, że
(x, y) " f
Zapisując tę definicję, stwierdzamy, że:
RelacjÄ™ f ‚" X×Y, gdzie X i Y sÄ… pewnymi niepustymi zbiorami, nazy-
wamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y, jeśli:
(x, y) " f
()
'" ("

x"X y"Y
'" (" '" x, y1 " f '" x, y2 " f Ò! y1 = y2
( ) ( )
()
[]
x"X y1"Y y2"Y
Funkcję taką oznaczamy symbolem f : X Y. Zbiór X nazywamy dzie-
dziną funkcji f (czasem też  zbiorem argumentów), zbiór Y nazywamy
przeciwdziedzinÄ… funkcji f.
Dla elementu x " X istnieje dokładnie jeden element y " Y taki, że
(x, y) " f
Ten jedyny element y pozostajÄ…cy w relacji z elementem x nazywamy
wartością funkcji f w punkcie x lub wartością funkcji f dla argumentu x
i oznaczamy symbolem f(x), co możemy zapisać
y = f (x)
13
Funkcję można określić za pomocą opisu słownego, wzoru (analitycz-
nego), wykresu oraz tabelki, grafu lub zbioru par uporzÄ…dkowanych two-
rzÄ…cych funkcjÄ™, tzn. par (x, f(x)), gdzie x " X, w przypadku gdy dziedzi-
ną jest zbiór skończony złożony z niewielkiej liczby elementów.
Opis słowny jest regułą, przepisem, prawem, według którego dla każdego
argumentu wybieramy dokładnie jeden element, który nazywamy warto-
ścią funkcji dla danego argumentu.
W przypadku funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej szczególnie
użyteczny jest wzór analityczny. Na przykład wzór
f (x) =3x2  7x +13
określa funkcję f : R R, która każdej liczbie rzeczywistej x przypisuje
wartość 3x2  7x + 13. Wartość tę oznaczamy jako f (x). Często w takim
przypadku nie jest podana dziedzina funkcji. Przyjmujemy wtedy, że
dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których
wyrażenie definiujące daną funkcję jest określone. Zbiór ten nazywamy
czasem dziedziną naturalną funkcji. Na przykład wzory
( ) ( )
f x = 1 - x2 i g x = x2 - 1
określają dwie funkcje. Dziedziną funkcji f jest przedział )# 1, 1*#, nato-
miast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Może się zdarzyć i tak, że celowo zmniejszamy dziedzinę naturalną
rozważanej funkcji, na przykład funkcja g : )# 1, 1*# R dana wzorem
( )
g x = x2 - 1 ma dziedzinÄ™ )# 1, 1*#, natomiast jej dziedzinÄ… naturalnÄ…
jest zbiór liczb rzeczywistych.
Gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym, którego elementy
możemy wypisać, stosujemy tabelkę, graf lub zbiór par uporządkowanych
tworzących funkcję. Przedstawiona tabelka, graf i zbiór par określają tę
samÄ… funkcjÄ™.
0 0
x 0 1 2 3
1 1
f (x) 0 1 0 1
2 2
3 3
{(0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 1)}
14
Funkcję tę można określić słownie następująco: każdej liczbie należącej
do zbioru {0, 1, 2, 3} przyporzÄ…dkowujemy resztÄ™ z dzielenia danej liczby
przez 2.
W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych przyjmujemy zawsze,
że przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Czasami war-
to się zająć zbiorem wartości danej funkcji. Jest on podzbiorem przeciw-
dziedziny, ale nie zawsze musi się z nią pokrywać.
Wykresem funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej f : X R,
gdzie X jest dziedziną funkcji f, jest zbiór
( )
"
(x, y) X × R : y = f x '" x " X
{}
Zauważmy, że wykres określiliśmy za pomocą relacji podobnie jak funkcję.
Faktycznie jest więc funkcją rozumianą jako relacja.
Wprowadzając pojęcie funkcji, używamy często określenia przyporząd-
kowanie.
Dla każdego argumentu x należącego do dziedziny funkcji f istnieje
dokładnie jeden element y ze zbioru Y, który jest wartością danej funk-
cji dla tego argumentu.
Tak więc
( )
x f x
możemy rozumieć jako przyporządkowanie.
Proponujemy jednak jak najrzadziej używać wyrazu przyporządkowanie.
Lepiej ,,ducha  funkcji oddają wyrazy: reguła, przepis, gdyż znaczenia
tych wyrazów doskonale pasują do pojęcia funkcji.
Do oznaczenia funkcji stosujemy najczęściej litery f, g, h. Natomiast
symbole f(x), g(y), h(u) oznaczają odpowiednio: wartość funkcji f w punk-
cie x, wartość funkcji g w punkcie y, wartość funkcji h w punkcie u. Ważne
jest, aby wyraz
nie odróżniać funkcję od wartości funkcji dla danego argu-
mentu (patrz ramka w podręczniku na stronie 109).
Uwaga: Nie wolno utożsamiać wzoru
określającego funkcję z funkcją.
Realizując zagadnienia przedstawione w rozdziale 4., warto omówić
zarówno te zależności (relacje), które są funkcjami, jak i te, które funkcjami
nie są. Warto też omówić przyporządkowanie jednoznaczne, pojęcie bliskie
pojęciu funkcji, ale różniące się od funkcji brakiem następującego warunku:
każdy element pierwszego zbioru ma swój odpowiednik w drugim zbiorze.
15
Następnie omawiamy zbiór wartości funkcji, podkreślając jego znacze-
nie w odróżnieniu od przeciwdziedziny, którą się nie zajmujemy. Kolej-
nym zagadnieniem są sposoby określania funkcji. Podajemy różne przy-
kłady i zachęcamy uczniów do podawania własnych przykładów funkcji
określonych różnymi sposobami.
Chcąc narysować wykres funkcji, posługujemy się często tabelką czę-
ściową. Tabelkę sporządzamy tak, aby podać wartości rozważanej funkcji
dla kilku charakterystycznych argumentów. W tym celu możemy się po-
służyć również grafem. Graf częściowy sporządzamy dla kilku argumen-
tów. Nie może być więc traktowany jako pełne określenie funkcji. Służy
wyłącznie do uprzystępnienia uczniom pewnych własności.
RozwiÄ…zujÄ…c problemy zwiÄ…zane z wykresem funkcji, definiujemy miej-
sca zerowe. Staramy się wyznaczyć je na podstawie wykresu, a następnie
tłumaczymy na przykładach takie pojęcia, jak: funkcja rosnąca, malejąca,
stała.
Funkcję liniową definiujemy w zbiorze R, podając jej wzór. Wykresem
tej funkcji jest prosta, której równanie ma postać
y = ax + b
gdzie a i b są pewnymi stałymi liczbami.
Zwróćmy uwagę na znaczenie poszczególnych symboli:
f  nazwa funkcji
f(x )  wartość funkcji f w punkcie x
y = f (x )  równanie wykresu funkcji f
f(x ) =ax + b  wzór definiujący funkcję f
y = ax + b  równanie prostej będącej wykresem
funkcji liniowej f określonej
wzorem f(x ) =ax + b
Omawiając wykres funkcji liniowej, wprowadzamy pojęcia funkcji rosną-
cej i funkcji malejącej. Zwracamy uwagę na warunek równoległości wy-
kresów funkcji liniowych. Ćwiczymy znajdowanie równania prostej prze-
chodzącej przez dwa dane punkty. Wykorzystujemy w tym celu własności
funkcji liniowych i wartości funkcji w danych punktach (nie posługujemy
się układami równań). W rozważaniach dotyczących miejsc zerowych
funkcji liniowych nawiązujemy do równań oraz możliwości odczytania
miejsc zerowych z wykresu funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej.
16
Powtórzenie wiadomości o funkcjach powinno zawierać pewne ele-
menty statystyki, w tym zbieranie i porzÄ…dkowanie danych. Nie zapomi-
najmy, że funkcje (w tym funkcje liniowe) służą do opisu wielu sytuacji
znanych nam z życia, nie należy więc pomijać zadań tekstowych.
Warto również wspomnieć, że wykres funkcji zależy od jej dziedziny, co
można sprawdzić, wykorzystując komputer. Zarówno w przypadku funk-
x2 - 1
cji określonej wzorem f x = , jak i funkcji określonej wzorem
( )
x - 1
g(x) =x + 1 na monitorze ekranu jako wykres pojawia się prosta o równa-
niu y = x + 1, chociaż do wykresu funkcji f nie należy punkt o współrzęd-
nych (1, 2). Programy komputerowe są w większości tak ułożone, że wy-
x2 - 1
kres funkcji f określonej wzorem f x = wykonują tak, jak wykres
( )
x - 1
Å„Å‚ - 1
x2
dla x `" 1
ôÅ‚
x2 - 1
x - 1
funkcji f1 x = , ponieważ lim = 2 .
( )
òÅ‚
x - 1
x1
ôÅ‚
2 dla x = 1
ół
Równania i nierówności
Równaniami zajmowaliśmy się już w klasie pierwszej. W klasie dru-
giej będziemy się zajmować rozwiązywaniem równań liniowych, równań
sprowadzających się do równoważnych im równań liniowych oraz rów-
nań wyższych stopni, których lewą stronę można przedstawić w postaci
iloczynu czynników liniowych zaś prawą stroną jest 0. Na początku przy-
pominamy i utrwalamy wiadomości związane z rozwiązaniem równania,
zbiorem rozwiązań równania oraz równaniami równoważnymi.
Równanie liniowe (z jedną niewiadomą) definiujemy jako równanie,
którego prawa i lewa strona odpowiadają wzorom funkcji liniowych.
Równaniem liniowym nie jest równanie:
x2 + x = x2  1
chociaż jest równoważne równaniu liniowemu.
Omawiamy równania sprzeczne i tożsamościowe, ograniczając te ostat-
nie do równań liniowych z jedną niewiadomą. W podręczniku nie zajmu-
jemy się rozwiązywalnością równania liniowego w przypadku ogólnym.
W klasie o większym stopniu zainteresowania matematyką możemy do-
prowadzić do utworzenia algorytmu rozwiązywania równań liniowych.
17
Algorytm rozwiązywania równań liniowych
ZAPISZ RÓWNANIE
W POSTACI
ax + b = 0
Czy TAK
a = 0?
TAK
Czy
b = 0?
NIE
NIE
ROZWI
ZANIEM
RÓWNANIE RÓWNANIE
JEST LICZBA
SPRZECZNE
TOŻSAMOŚCIOWE
b
-
a
STOP STOP STOP
Przy niemal każdej okazji podkreślamy związek równania liniowego
z funkcjÄ… liniowÄ…. Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiÄ…zaniem od-
powiedniego równania liniowego i odwrotnie.
Rozwiazując równania wyższych stopni, zaczynamy stosować wzory
skróconego mnożenia oraz metodę wyłączania wspólnego czynnika poza
nawias.
Temat Nierówności liniowe realizujemy analogicznie do zagadnień zwią-
zanych z równaniami liniowymi. Zwracamy przy tym uwagę na związek
nierówności liniowej:
ax + b d" 0
z określeniem, dla jakich argumentów funkcja liniowa f dana wzorem
f (x) =ax + b
ma wartości niedodatnie. Zbiory rozwiązań nierówności liniowych przed-
stawiamy w postaci odpowiednich przedziałów na osi liczbowej.
18
Zbiorem rozwiązań nierówności x  1 > 0 jest zbiór (1, ").
Rozwiązania nie należy zapisywać w postaci
x " (1, "). Jest to bowiem inny zapis
nierówności x >1.
Odrębnymi zagadnieniami w rozdziale są: proporcja, proporcjonal-
ność i proporcjonalność odwrotna. O proporcji mówimy w odniesieniu do
czterech wielkości. Wprowadzamy mnożenie ,,na krzyż . Proporcje sto-
sujemy najczęściej do rozwiązywania zadań.
Proporcjonalność jest funkcją liniową, której wyraz wolny jest równy 0.
Wprowadzając pojęcie proporcjonalności, naszym zdaniem, początkowo
należy się ograniczyć do dodatniego współczynnika proporcjonalności.
Póz
niej należałoby wyjaśnić uczniom, jak traktować proporcjonalność
wyrażoną wzorem:
f (x) =ax, gdy a <0
W tym przypadku, gdy argument rośnie dwukrotnie, wartość funkcji ma-
leje dwukrotnie, co jest zgodne z zasadą proporcjonalności, ale kłóci się
z intuicyjnym odbiorem proporcjonalności przez uczniów. Dla proporcjo-
1
nalności określonej wzorem f (x) =  3x obliczamy wartości f ( 1) i f -
( ).
2
1
Wówczas f ( 1) = 3, ale dla argumentu dwa razy większego, czyli - ,
2
1 3
otrzymujemy f - =
, czyli wartość dwa razy mniejszą.
( )
2 2
W zadaniach proporcjonalność stosujemy najczęściej do opisu sytuacji
i problemów z życia codziennego.
Również proporcjonalność odwrotna jest opisana funkcją f postaci:
a
f x =
( )
x
gdzie a jest pewnÄ… ustalonÄ… liczbÄ…, x " R\{0}.
Wiele problemów z naszego najbliższego otoczenia może być opisanych
za pomocą proporcjonalności odwrotnej i na te zastosowania proporcjo-
nalności zwracamy największą uwagę.
19
Relacje między figurami geometrycznymi
Rozdział ten można podzielić na dwie części. Pierwsza zawiera infor-
macje o symetrii osiowej i symetrii środkowej, druga odnosi się do przy-
stawania figur geometrycznych. SymetriÄ™ osiowÄ… wprowadzamy przez
pewne uproszczenia zwiÄ…zane z lustrzanym odbiciem przedmiotu. W de-
finicji symetrii osiowej nie wykorzystujemy pojęcia wektorów, ponieważ
nie jest uwzględnione w podstawie programowej, a nie chcieliśmy wpro-
wadzać zbyt dużych rozszerzeń. Nie odwołujemy się również do tego, że
symetria osiowa jest przekształceniem płaszczyzny w płaszczyznę. Dla-
tego przyjęliśmy równoważny warunek definicyjny, znacznie prostszy
i łatwiejszy do zrozumienia intuicyjnego przez uczniów.
NawiÄ…zujÄ…c w symetrii osiowej do odbicia lustrzanego, stwarzamy
okazję do przeprowadzenia różnorodnych doświadczeń z lusterkami.
W czasie doświadczeń należy uwzględniać różną liczbę lusterek oraz
ustawiać je pod różnymi kątami. Ćwiczenia takie umożliwiają uczniom
odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.
Wprowadzając definicję symetrii środkowej, postąpiliśmy analogicz-
nie jak przy wprowadzaniu pojęcia symetrii osiowej.
Omawiając własności symetrii osiowej, podajemy informacje o obrazach
różnych podstawowych figur w tej symetrii. Nie omijamy izometryczno-
ści symetrii. Zwracamy uwagę na wykorzystanie symetrii osiowej w przy-
rodzie i jej praktyczne zastosowania. Ponieważ uczniowie znają już poję-
cie funkcji, wskazane byłoby zwrócenie uwagi na fakt, że przekształcenia
geometryczne są również funkcjami.
Pokazujemy na przykładzie powinowactwa osiowego przekształcenie
nieizometryczne.
B'
B
Punkt A' jest obrazem
punktu A w powino-
A'
wactwie osiowym
A
o skali k = 2.
20
Można podjąć próby określania innych rodzajów przekształceń zarówno
izometrycznych, jak i nieizometrycznych oraz odnieść się do perspekty-
wy stosowanej w malarstwie.
OmawiajÄ…c oÅ› symetrii, staramy siÄ™, aby uczniowie potrafili rozstrzy-
gnąć, czy dana figura ma oś symetrii, a w przypadku gdy ma  wskazać ją.
Chcemy, aby uczniowie nauczyli się tworzyć wzory powstałe przez syme-
tryczne odbicie wzoru podstawowego.
Z osią symetrii odcinka wiążemy zagadnienia symetralnej odcinka
oraz okręgu opisanego na trójkącie. Warto zauważyć, że w przypadku,
gdy trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie
jest jednocześnie środkiem przeciwprostokątnej, a jego promień jest rów-
ny połowie długości przeciwprostokątnej. Podkreślamy tę własność jako
bardzo ważną w rozwiązywaniu różnego typu zadań, w tym zadań kon-
strukcyjnych.
Konstrukcja dwusiecznej kąta jest jednocześnie konstrukcją osi syme-
trii danego kąta. Zauważając, że trzy dwusieczne kątów trójkąta przecina-
ją się w jednym punkcie i korzystając z własności dwusiecznej, możemy
stwierdzić, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta jest środ-
kiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Uczniom bardziej niż przeciętnie
zainteresowanym matematyką możemy postawić problem możliwości
opisania oraz wpisania okręgu w dany czworokąt (patrz zadanie wyróż-
nione w podręczniku ramką z wykrzyknikiem na stronie 191).
Zagadnienia, które omawiane były przy symetrii osiowej, powtarzamy
przy symetrii środkowej. Stwierdzamy więc, że symetria środkowa jest
izometriÄ…, znajdujemy obrazy podstawowych figur geometrycznych w sy-
metrii środkowej. Staramy się, aby uczniowie dostrzegali również figury
mające środek symetrii oraz potrafili skonstruować figury środkowosy-
metryczne. Przy tej okazji można rozważać problem, czy istnieją figury,
które mają wiele środków symetrii (np. prosta, powtarzalne wzory).
Uczniowie łatwo zauważają, że figura mająca
osie symetrii nie musi mieć środka symetrii,
uważają natomiast, że figura mająca środek
symetrii musi mieć osie symetrii. Dlatego na-
leży im pokazać jako przykład figurę przed-
stawioną na rysunku, która ma środek syme-
trii, a nie ma osi symetrii.
21
Podajemy także wzory na współrzędne obrazu danego punktu w syme-
trii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Wielokąty foremne mają oś symetrii, a 2n-kąty foremne środek syme-
trii. Nic dziwnego, że omawiając zagadnienia związane z symetrią, pro-
ponujemy rozważyć wielokąty foremne. Warto zauważyć, że dla danego
2n-kąta foremnego środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego
pokrywają się. Przy tej okazji można opowiedzieć o wielokątach gwiaz
-
dzistych. Wiele własności wielokątów foremnych i wielokątów gwiaz
dzi-
stych uczniowie mogą sami zauważyć i udowodnić. Mamy tu więc wiele
miejsca na stosowanie aktywnych metod nauczania.
Realizując tematy związane z symetrią środkową i osiową, stosujemy
w zadaniach oba rodzaje symetrii, znajdując obrazy punktów i innych
figur. Stosowanie w przykładach obu rodzajów symetrii stanowi wpro-
wadzenie do składania przekształceń i możliwości określenia (w przy-
szłości) przesunięcia oraz obrotu. Składanie przekształceń geometrycz-
nych jest łatwiejsze do zrozumienia przez uczniów od składania funkcji
liczbowych.
W temacie Przystawanie figur wprawdzie definiujemy przystawanie
figur, ale dokładniejsze omówienie tego pojęcia jest niemożliwe z powo-
du braku określenia przesunięcia i obrotu. Dlatego proponujemy od razu
omówienie cech przystawania trójkątów, gdyż z trójkątów można utwo-
rzyć każdy wielokąt, a zagadnienia takie były realizowane również w szko-
le podstawowej.
Warto poświęcić trochę czasu na lekcji, aby uczniowie przećwiczyli
różne cechy przystawania trójkątów zarówno w zadaniach analitycznych,
jak i konstrukcyjnych.
22

Tradycyjny model lekcji zna każdy nauczyciel. Jednak nowoczesne
zajęcia edukacyjne z uczniami powinny być tak organizowane, aby dzieci
zdobywały wiedzę w sposób aktywny, stając się twórcami i animato-
rami procesu uczenia się. Rozszerzanie wiedzy i umiejętności powinno
się odbywać przez przeżywanie i doświadczanie. Lekcja musi być zatem
tak zorganizowana, aby każdy uczeń mógł pracować we własnym tempie
i na miarę własnych możliwości. Jest to oczywiście bardzo trudne zadanie
dla nauczyciela, gdyż na takiej lekcji powinien się znalez
ć również czas
na poszukiwanie informacji w różnych z
ródłach, dyskusje z innymi
uczniami. Nauczyciel nie powinien wskazywać rozwiązania problemu,
ale powinien być:
 organizatorem pracy,
 konsultantem,
 doradcÄ… pomagajÄ…cym znalez
ć różne jego rozwiązania.
Na lekcji staramy się stwarzać możliwości wyposażania ucznia w pe-
wien zasób informacji i umiejętności ważnych do funkcjonowania w de-
mokratycznym społeczeństwie oraz niezbędnych w przyszłej pracy zawo-
dowej. Umiejętności te, preferowane przez autorów Podstawy programowej
kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gimnazjów,
to między innymi:
 efektywne współdziałanie w zespole,
 rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
 skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
 planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się.
Efektywne współdziałanie w zespole to jedna z najważniejszych
umiejętności, która będzie przydatna młodemu człowiekowi w dorosłym
życiu. W czasie lekcji uczeń powinien się zatem nauczyć współpracy
z innymi, polegającej na wspólnym dążeniu do celu, pełnieniu różnych ról
23
w grupie i ponoszeniu związanej z tym odpowiedzialności. Efekty pracy
zespołu są uzależnione nie tylko od możliwości intelektualnych uczniów,
ale również od organizacji pracy. Aby grupa funkcjonowała aktywnie, są
potrzebni: lider  kierujący pracą, sekretarz  notujący pomysły członków
grupy, prezenter  przedstawiający wyniki pracy zespołu.
Przed rozpoczęciem zajęć nauczyciel musi ustalić odpowiednie zasady,
które będą ukierunkowywały zachowanie uczestników (patrz Zasady pra-
cy w grupie i Zasady dobrego porozumiewania siÄ™ w grupie w Matematy-
ce krok po kroku. Poradnik metodyczny. Klasa I gimnazjum). Nauczyciel
powinien też się zastanowić nad właściwą motywacją uczniów do pracy,
nad zapewnieniem im poczucia bezpieczeństwa (aby na przykład prezen-
tacja nie przerodziła się w wyśmiewanie cudzych pomysłów), nad orga-
nizacją przestrzeni sali lekcyjnej (aby każdy miał dostęp do z
ródeł infor-
macji).
Uczniowie pracujący w grupie stawiają sobie różne pytania:
" Co uzyskam w wyniku współpracy z innymi osobami?
" Czy moje potrzeby intelektualne zostanÄ… zaspokojone w czasie pra-
cy grupowej?
" Czy wystarczająco często mam okazję do zabierania głosu?
" Czy pozostali uczestnicy słuchają tego, co mówię?
" Czy grupa jest dla mnie tak ważna, że jestem gotowy(-a) do aktyw-
nego zaangażowania się w jej pracę?
Aby uniknąć wielu ,,pułapek , które mogą się pojawić przy pierwszych
próbach organizowania zajęć wykorzystujących pracę w grupach, pro-
ponujemy skorzystać
z gotowych scenariu-
szy, a następnie pró-
bować je modyfiko-
wać i wreszcie, po
dojściu do wprawy,
przygotowywać swo-
je materiały.
Efektywne współdziałanie w zespole
Umiejętność rozwiązywania problemów w twórczy sposób po-
trzebna jest każdemu z nas. Należy zatem na tę umiejętność zwrócić
szczególną uwagę, przygotowując lekcje nowego typu. Takie zajęcia po-
winny stworzyć uczniom możliwości stawiania hipotez, opierania się na
24
analogiach, wykorzystywania wiedzy z różnych dziedzin, analizowania
i matematyzowania sytuacji z życia codziennego. Aktywna postawa ucznia
wobec trudnych i nietypo-
wych problemów stwarza
niebezpieczeństwo popeł-
niania błędów, ale także
możliwość ich weryfiko-
wania. W ten sposób uczeń
nabiera pewności siebie
oraz odważniej podejmuje
próby formułowania nawet
Rozwiązywanie problemów w twórczy sposób
nietypowych wniosków.
Skutecznie komunikować się w różnych sytuacjach uczymy dzieci
od najmłodszych klas szkoły podstawowej. Mamy nadzieję, że gimnazja-
lista jest już wdrożony do stosowania różnych metod komunikowania się.
W gimnazjum zwracamy zatem baczniejszą uwagę na umiejętność właści-
wego interpretowania komunikatów przekazywanych w różny sposób (np.
za pomocą języka ciała, obrazu) i umiejętność świadomego przekazywania
właściwie skonstruowanych komunikatów.
Pracując przez dłuższy czas z tymi samymi grupami uczniów, nale-
ży zwrócić uwagę, czy komunikacja w grupach ulega poprawie, czy
uczniowie prezentują swoje potrzeby i poglądy w sposób coraz bardziej
otwarty. Konieczność rea-
lizacji ścieżek edukacyj-
nych zmusza nas do po-
szukiwania niekonwencjo-
nalnych metod pracy. Za-
tem lekcje uwzględniające
opisane aspekty w znacz-
nym stopniu ułatwią inte-
grację wiedzy z różnych
Skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach
dziedzin nauki.
Planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się to jed-
na z najtrudniejszych umiejętności, jaką zdobywa uczeń. Aby młody czło-
wiek stał się odpowiedzialny za własne uczenie się, musi się zastanowić
25
czego, po co i jak siÄ™
uczyć oraz gdzie może
wykorzystać swoje umie-
jętności. Ważne jest, aby
uczniowie uświadomili so-
bie zakres posiadanej wie-
dzy, cele i sposoby uczenia
się, swoje mocne i słabe
strony.
Planowanie i organizowanie własnego uczenia się
Dzieci powinny zatem się nauczyć:
 autorefleksji, czyli umiejętności analizowania swoich dokonań w pro-
cesie uczenia siÄ™,
 oceniania własnej pracy,
 ustalania wpływów otoczenia na osiąganie sukcesów lub ponoszenie
porażek.
Analizę wyników własnej pracy dzieci powinny wykorzystać do opra-
cowania właściwej strategii uczenia się, wiedzę naukową postrzegać zaś
jako podstawÄ™ inspirujÄ…cÄ… do tworzenia indywidualnych technik i metod
pracy w samodoskonaleniu się. Lepsze poznanie samego siebie, świadome
rozpoznanie własnych zdolności pomoże uczniom w samorealizacji.
Przyzwyczajając uczniów do oceniania własnej pracy, należy pamię-
tać, że każdy człowiek pragnie potwierdzenia i wzmocnienia poczucia
własnej wartości. Stawiajmy zatem uczniom cele, które mogą osiągać,
wspierajmy ich rozwój i umiejętnie kierujmy procesem samooceny.
Uczenie się jest jak jazda samochodem w górach.
26
Budowa lekcji
Zgodnie z wymogami współczesnego kształcenia, nauczyciel powi-
nien być organizatorem działań dydaktycznych, stwarzającym uczniom
warunki do aktywnego zdobywania wiedzy. W związku z tym zajęcia po-
winny być tak przygotowane, aby umożliwić uczniom utrwalenie posia-
danej wiedzy, zastosowanie jej w nowych sytuacjach, zdobycie nowych
wiadomości i umiejętności. Jedną z propozycji jest model zajęć opraco-
wany przez uczestników programu Kreator, działającego pod patronatem
MEN, przy wsparciu ekspertów Unii Europejskiej. W modelu zajęć
uwzględniono pięć etapów lekcji:
 zaangażowanie,
 badanie,
 przekształcanie,
 prezentacja,
 refleksja.
Taki model lekcji pozwala na dostosowanie czasu zajęć do możliwości
uczniów danej klasy. Na rozwiązanie problemu należy zatem przeznaczyć
tyle jednostek lekcyjnych, ile wymaga tempo pracy dostosowane do aktual-
nych możliwości i potrzeb dzieci (stąd między innymi w proponowanym
przez nas Rozkładzie materiału nauczania znalazła się rubryka  Uwagi
o realizacji).
Praca nauczyciela polega głównie na precyzyjnym formułowaniu pro-
blemu, który mają rozwiązać uczniowie, przygotowaniu odpowiednich
materiałów, motywowaniu uczniów do działania, na przykład przez okreś-
lenie korzyści wynikających z celów, które muszą osiągnąć. Nauczyciel
pomaga też uczniom w ocenie wykonanej pracy oraz jej efektów.
Celem pierwszego etapu lekcji, nazwanego zaangażowaniem, jest za-
chęcenie uczniów do pracy, rozbudzenie w nich ciekawości twórczej i po-
znawczej. Należy jasno for-
mułować zadania, które
muszą rozwiązać ucznio-
wie, a następnie umożliwić
dzieciom stworzenie odpo-
wiednich struktur organiza-
cyjnych (np. grupa), okre-
ślić czas pracy na poszcze-
gólnych etapach lekcji.
Zaangażowanie
27
Na tym etapie lekcji można wykorzystać ciekawostki historyczne, aneg-
doty, nietypowe zadania znajdujące się w podręczniku na początku każde-
go tematu.
Pierwszy etap zajęć możemy rozpocząć już na innej lekcji. Proponuje-
my wprowadzenie do tematu opracować wspólnie z nauczycielem, na przy-
kład języka polskiego w ramach ścieżki ,,Edukacja czytelnicza i medial-
na . Na lekcji języka polskiego można się zająć zagadnieniami związanymi
z filmem ,,Gwiezdne wojny , a na lekcji matematyki obliczeniem odle-
głości między planetami, na których lądowali bohaterowie filmu (ćwicze-
nie umiejętności wykonywania działań na potęgach i pierwiastkach).
Znakomitym bodz
cem do pracy będzie dla ucznia nagroda.
Może to być ocena stopniowa, ale dobrym pomysłem
jest też zwolnienie ucznia z wykonania pracy domowej,
powierzenie mu funkcji reżysera najbliższej klasowej
inscenizacji lub nagrodzenie go... batonikiem.
Badanie polega na samodzielnej analizie przez uczniów otrzymanego
zadania. Dzieci dyskutują, próbują wykorzystać wcześniej zdobyte wiado-
mości i umiejętności, sta-
wiajÄ… hipotezy, sprawdzajÄ…
je, zbierajÄ… potrzebne infor-
macje. OpracowujÄ… strate-
gię działania, łączą wiado-
mości z różnych dziedzin,
matematyzujÄ…c postawiony
problem. Na tym etapie lek-
cji nauczyciel staje siÄ™ ob-
Badanie
serwatorem i słuchaczem.
Uczeń nie jest chodzącym komputerem,
mającym pamięć 60 MB.
Dbajmy więc o to, aby na lekcji mógł korzystać
z encyklopedii, wszelkiego rodzaju tablic, podręcznika.
28
Trzeci etap lekcji jest
poświęcony przekształca-
niu  uczniowie realizujÄ…
plan ustalony na etapie ba-
dania. PorzÄ…dkujÄ… posiada-
nÄ… wiedzÄ™, nabywajÄ… nowe
umiejętności i wykorzystu-
jÄ… je do rozwiÄ…zywania
problemów w twórczy spo- Przekształcanie
sób. Nauczyciel może być
konsultantem i inspiratorem, niepodsuwającym gotowych rozwiązań, ale
stawiającym pytania otwarte. Wynik pracy uczniów zależy od ich zaanga-
żowania, umiejętności współpracy, pomysłowości, kreatywności.
Trwałość nabytej przez ucznia wiedzy zależy od zrozumienia proble-
mu i aktywności w czasie jego rozwiązywania.
Należy pamiętać, że sposób dochodzenia
do rozwiązania zadania jest równie ważny
jak samo rozwiązanie, a może nawet ważniejszy.
W czasie prezentacji przedstawiciele grup (prezenterzy) relacjonujÄ…
wyniki pracy. Następuje porównanie rozwiązań i otrzymanych wyników.
W tym momencie warto zwrócić uwagę na precyzję i jasność formułowa-
nych wypowiedzi, umiejętność i atrakcyjność przekazania informacji,
a więc na sposób komunikowania się uczniów. Uczniowie mogą zadawać
pytania prezenterom i na-
uczycielowi, dyskutować,
wspólnie wyciągać wnio-
ski, dokonać syntezy zdo-
bytych wiadomości i umie-
jętności. Można też uzgod-
nić wspólne stanowisko
całej klasy (lub kilku grup)
na dany temat.
Prezentacja
Prezenterzy nie muszą efektów pracy przedstawiać
wszystkim uczniom, ale na przykład tylko innej grupie.
29
Refleksja to ostatni
etap pracy ucznia na lekcji.
Po zakończeniu zajęć każ-
dy z uczestników powinien
w milczeniu zastanowić się
przez chwilÄ™ nad zdobyty-
mi doświadczeniami.
Refleksja
Ten etap lekcji powinien być ukierunkowany przez nauczyciela, stawia-
jÄ…cego odpowiednie pytania:
" Czego się dowiedziałeś(-aś)?
" Czemu służyły przyjęte metody pracy?
" Jakie były Twoje odczucia?
" Jak układała się Twoja współpraca z innymi?
" Jaki był Twój wkład w rozwiązanie problemu?
" Czy zdarzyło się coś ważnego dla Ciebie w czasie lekcji?
" Czy udało się rozwiązać problem?
Ważnym elementem refleksji jest samoocena pracy uczniów i ocena
ich dokonań przez nauczyciela. Rola nauczyciela na tym etapie jest bar-
dzo ważna. Powinien on w umiejętny sposób dodawać odwagi uczniom,
aby podzielili się swoimi doświadczeniami i spostrzeżeniami, pomóc
w zrozumieniu zdobytych doświadczeń i zachęcać do wykorzystania ich
w codziennym życiu. Prowadzący musi zaplanować na ten etap zajęć wy-
starczająco dużo czasu.
Refleksja to nie strata czasu, choć początkowo może to tak wyglądać.
Poczekaj cierpliwie przynajmniej rok na efekty swojej pracy.
Niestety, praca nauczyciela po zajęciach się nie kończy. Nauczyciel
powinien dokonać ewaluacji własnej pracy, odpowiadając na pytania:
" Czy jestem zadowolony(-a) z przeprowadzonej lekcji?
" Co było dla uczniów najciekawsze w czasie lekcji?
" Czego się sam(-a) nauczyłem(-am)?
" Czy zaplanowałem(-am) właściwie czas pracy?
30
" Co było dla mnie najważniejsze?
" Co było dla mnie najtrudniejsze?
" Jak oceniam swojÄ… pracÄ™?
" Co mogę ulepszyć?
Ewaluacja
Nasze pomysły na Twoje lekcje
Rozpoczynając zajęcia z uczniami w klasie drugiej gimnazjum, zakła-
damy, że znają zasady pracy w grupie, umieją skutecznie się komuniko-
wać oraz próbują planować i oceniać proces uczenia się. Dlatego tempo
pracy na lekcjach może być większe niż w klasie pierwszej.
Zajęcia planujemy tak, aby wykorzystać zainteresowania i możliwości
uczniów. Należy pamiętać też o egzaminie czekającym uczniów po klasie
trzeciej gimnazjum. Mamy więc na uwadze zadania wynikające ze stan-
dardów egzaminacyjnych, jak również realizacji ścieżek edukacyjnych.
Staramy się tak opracować lekcję, aby uczeń mógł stosować zintegrowaną
wiedzę do rozwiązywania problemów.
Przedstawiony scenariusz proponujemy wykorzystać na lekcjach pod-
sumowujących rozdział Liczby rzeczywiste. Zajęcia tego typu można
przygotować wspólnie z nauczycielami innych przedmiotów, na przykład
języka polskiego. Można też poprosić uczniów o przygotowanie materia-
łów umożliwiających przeprowadzenie pierwszego etapu lekcji, czyli
zaangażowania. W scenariuszu uwzględniliśmy wszystkie etapy lekcji,
które omówiliśmy w poradniku.
Twoja lekcja jest jak monodram.
No tak, tylko ja jeden jestem autorem,
scenarzystą, reżyserem i aktorem.
31
SCENARIUSZ ZAJ
Ć
DLA KLASY II GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział
Liczby rzeczywiste
Numer i temat zajęć
(według rozkładu materiału)
29. Zaprawa przed sprawdzianem
30. Treningu nigdy za wiele
Czas: 2 × 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
" będzie doskonalił umiejętności związane z wykonywaniem działań
na liczbach rzeczywistych,
" będzie formułował i sprawdzał hipotezy, analizował sytuacje pro-
blemowe, tworzył i realizował plan rozwiązania, stosował zinte-
growaną wiedzę do rozwiązywania problemów,
" będzie wykorzystywał umiejętności właściwego komunikowania
się (ścieżka czytelnicza i medialna) do prezentacji wyników pracy,
" będzie odczytywał informacje przedstawione w formie tekstu, wy-
kresu, rysunku,
" dokona samooceny.
Sposoby pracy:
" indywidualna praca uczniów,
" praca w grupach,
" dyskusja i refleksja.
Materiały do zajęć:
" artykuły papiernicze,
" kalkulatory,
" encyklopedie, tablice astronomiczne,
" kartki z Opowiadaniem Panady,
" karty z danymi pomocniczymi,
" Karta pytań,
" Arkusz samooceny.
Uwagi:
" W czasie lekcji uczniowie będą pracowali zarówno indywidualnie,
jak i w grupach. Należy mieć to na uwadze, organizując miejsca
pracy dla uczniów.
" Jeśli dysponujemy większą liczbą encyklopedii lub tablic astrono-
micznych, możemy poprosić uczniów o samodzielne wyszukanie
potrzebnych danych.
" Opowiadanie Panady możemy modyfikować w zależności od
umiejętności klasy. Podobnie regulujemy czas pracy uczniów.
" Uczniowie mogą korzystać z kalkulatorów, jednak sugerujemy też
wykorzystanie w obliczeniach własności działań na potęgach.
34
Przebieg zajęć:
1. Zaangażowanie
Nauczyciel informuje uczniów, że przeczytał bardzo ciekawe opowia-
danie Ziemianina Panady i chciałby, aby zapoznali się z tym tekstem
również jego uczniowie. Ponieważ wyprawę do Dimi polecają ostatnio
wszystkie biura podróży, to warto zorientować się, jak tam jest naprawdę.
Uczniowie otrzymujÄ… kartki z Opowiadaniem Panady i karty z danymi
pomocniczymi.
2. Badanie
Uczniowie czytajÄ… tekst opowiadania, ewentualnie sporzÄ…dzajÄ… notatki.
Wykorzystują dane pomocnicze do określania nieznanych wielkości.
W razie potrzeby korzystajÄ… z encyklopedii, tablic astronomicznych.
3. Przekształcanie
Nauczyciel dzieli dzieci na grupy. Uczniowie organizujÄ… swojÄ… pracÄ™
w grupach, wybierają lidera, sekretarza i prezentera. Każda grupa musi
odpowiedzieć na pytania zawarte w Karcie pytań i przygotować pre-
zentację wyników w atrakcyjnej formie, może to być na przykład pla-
kat, scenka.
4. Prezentacja
Grupy prezentują swoje przemyślenia, porównują wyniki. Dyskutują
o poprawności rozwiązań.
5. Refleksja
Każdy z uczestników zastanawia się przez chwilę nad zdobytymi w cza-
sie zajęć doświadczeniami. Teraz uczniowie mówią o tym, jaki był cel
zajęć, jakie umiejętności zdobyli, jakie utrwalili, czemu służyły przyjęte
metody pracy, jakie odczucia towarzyszyły im w trakcie pracy, czy
zdarzyło się coś, co ich szczególnie poruszyło, czy łatwo (trudno) było
rozwiązać postawione przed grupą zadania i dlaczego.
Uczniowie dokonują samooceny, wypełniając specjalne arkusze rozda-
ne przez nauczyciela. Również nauczyciel ocenia pracę uczniów,
ewentualnie wystawia oceny stopniowe.
W ramach pracy domowej nauczyciel poleca dokończenie opowiada-
nia Panady. Dopisując tekst, uczniowie mogą się posłużyć niewyko-
rzystanymi danymi pomocniczymi. Muszą też ułożyć matematyczne
pytania do dopisanej części opowiadania.
35

Do Dimi, leżącej na Księżycu, zostałem zaproszony przez mojego przy-
jaciela w 120 roku panowania króla Gi-Mi. Niestety, nie od razu mogłem
wyruszyć w drogę. Przedłużała się budowa podziemnego labiryntu, który
zamówił u mnie Władca Podziemi. Ziemia pięciokrotnie okrążyła Słońce,
nim ukończyłem budowę labiryntu. Na przygotowaniach do drogi upłynął
mi jeszcze jeden ziemski rok. Wreszcie wsiadłem do Podniebnego Ptaka
i wystartowałem. Rakieta wlokła się niemiłosiernie. A na dodatek Księżyc
był w swojej odległości maksymalnej od Ziemi. Podróż trwała więc o pięć
dni dłużej, niż gdyby Księżyc był w odległości minimalnej od Ziemi.
Dobrze, że przespałem prawie całą podróż, bo inaczej okropnie bym
się nudził. Podniebny Ptak łomotał, klekotał, ale na ogół sprawował się
dobrze. Dopiero nad samym Księżycem zepsuł się pokładowy komputer
i ostatnie dwie godziny spadaliśmy swobodnie na Srebrny Glob. Okazało
się, że zboczyliśmy z wyznaczonej trasy i wlecieliśmy do krateru Newto-
na. Gdy rakieta uderzyła o jego dno, przeszedłem na sterowanie ręczne.
Z trudem wydostaliśmy się z krateru i dobrnęliśmy do lądowiska. Gdy
opuściłem uszkodzoną rakietę, bolało mnie całe moje osiemdziesięcio-
kilogramowe ciało. Myślałem, że nie zrobię kroku, ale okazało się, że
mogę nawet biegać.
Na Księżycu powitał mnie mój przyjaciel Mi-Mi i od razu zawiózł do
Diamentowej Strefy. Nie myślcie sobie, że to pięciogwiazdkowa restaura-
cja, w której podają księżycowe specjały. Diamentowa Strefa to po prostu
kopalnia diamentów. Założył ją już w pierwszym roku panowania król
Fi-Mi, poprzedni władca Dimi. Pracuje tam 1000 robotników, z których
każdy wydobywa 102 diamentów dziennie. Przeciętny diament waży tu
2 karaty. Największy diament, jaki znaleziono do tej pory, ważył po oszli-
fowaniu 6,4 · 103 karatów. Podzielono go na 100 mniejszych jednako-
wych brylantów, które zdobią obecnie koronę króla Gi-Mi.
W kopalni pracowałem dwa dimińskie lata. Co prawda marnie płacili, ale
codziennie 10 2 wszystkich wydobytych przeze mnie diamentów stawało
się moją własnością.
W Dimi właściwie było nudno. Jedyną atrakcją były wyścigi wokół
największego księżycowego krateru. Z powodu małego przyciągania
można było rozwijać duże prędkości. Nasze pojazdy pędziły ze średnią
prędkością 600 km/h.
36

Każdy król w Dimi panuje 200 lat. Rok zerowy to pierwszy rok
panowania pierwszego króla w Dimi. Gi-Mi to setny z kolei król
Dimi.
Rok w Dimi to 100 ziemskich dni.
Mieszkańcy Dimi pracują w ciągu roku tylko 60 dni.
Waga diamentów wydobywanych w Diamentowej Strefie jest po-
dana według jednostki masy stosowanej na Ziemi. Karat to 0,2 g.
37

Księżyc
Ziemia
Ks
38
27 dni
O
a
r
c
bi
y
ż
t
a
Ä™
i

Masa Księżyca okoÅ‚o 7 · 1022 kg
Średnia gęstość około 3 g/cm3
Powierzchnia Księżyca okoÅ‚o 237 · 106 km2
Przyśpieszenie grawitacyjne około 162 cm/s2
Wiek Księżyca okoÅ‚o 4 · 109 lat
Temperatura na powierzchni Księżyca od  160°C w nocy
do +120°C w dzieÅ„
Największy krater Mare Orientale 965 km średnicy
Najgłębszy krater Newton około 8000 m
Pierwiastki występujące w skałach Księżyca
Tlen 40%
Krzem 20%
Inne
Żelazo
Wapń
15%
10%
39

W którym roku panowania króla Gi-Mi Panada przybył do Dimi?
Ile ważył Panada na Księżycu?
Ile dni trwał lot Podniebnego Ptaka?
Na jakiej wysokości nad powierzchnią Księżyca zepsuł się
pokładowy komputer?
Ile dziennie diamentów jest wydobywanych w Diamentowej
Strefie?
Ile diamentów wydobyto od początku istnienia kopalni?
Ile waży każdy brylant zdobiący koronę króla Gi-Mi?
Ile diamentów miał Panada, gdy zakończył pracę w kopalni?
Ile ważyły wszystkie diamenty Panady?
Jak długo pojazd prowadzony przez Panadę wykonywał jedno
okrążenie wokół największego księżycowego krateru?
40

Odpowiedz na pytania, wpisując: tak, nie, niezupełnie.
Czy przeczytany tekst był dla Ciebie
całkowicie zrozumiały?
Czy czas przeznaczony na wykonanie
zadania był dla Ciebie wystarczający?
Czy jesteś zadowolony(-a) ze współpracy
z kolegami i koleżankami w grupie?
Czy uważasz, że pracowałeś(-aś),
najlepiej jak potrafisz?
Czy przestrzegałeś(-aś) zasad dobrego
porozumiewania siÄ™ w grupie?
Czy w czasie lekcji dowiedziałeś(-aś) się
czegoś szczególnie interesującego?
Czy potrafiłbyś(-abyś) teraz samodzielnie
wykonać wszystkie potrzebne obliczenia,
rozwiÄ…zujÄ…c zadania podobne do tych,
które wystąpiły na lekcji?
41
42

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramkÄ… z ,,!
Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ram-
ką z wykrzyknikiem. Zadania te są przeznaczone dla uczniów szczególnie
zainteresowanych matematykÄ… i wymagajÄ… nietypowego rozwiÄ…zania.
s. 11. x = 2, y = 9
s. 16. PK1 a2 PK2 a2 PK3 a2 PKn a2
= , = , = , =
4 8 16
2n+1
PK
1
s. 17. = 2
PK
a2 3 a2 3
1 1
P1 = Å" P = Å" =
s. 21.
4 4 4
42
a2 3
1 a
P2 = Å" P1 =
4
43
a2 3
1
a
P3 = Å" P2 =
4
44
a2 3
1
Pn = Å" Pn-1 =
4
4n+1
s. 25. Można utworzyć 26 równoległoboków. Największe pole ma kwadrat i jest
ono równe 4.
43
DC
b
s. 28. P1 + P3 = P1 + P4, stÄ…d
h= +
P3 = P4
E
P = P1 + P2 + P3 + P4
1 1 a
P3 = Å" ah - Å" ah1 = Å" h - h1 a
( )
2 22
AB
1 1 b
P4 = Å" bh - Å" bh2 = Å" - h2
(h )
2 22
ab a
îÅ‚
Å"
P3 P4 = h - h1 Å" Å" h - h2 = Å" h - h2 śł Å" Å" h - h1 śł = P1 Å" P2
( ) ( ) ( )Å‚Å‚ îÅ‚ b ( )Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
22 2 2 ûÅ‚
Zatem
P3 = P4 = P1 Å" P2 P = P1 + P2 + 2 P1P2
s. 33. LF = d · Ä„, gdyż
d =2r1 +2r2
F
LF 1
AB
d
= Ä„ Å" 2r1 + 2r2 = Å" Ä„
( )
2 22
s. 36. Długość przeciwprostokątnej jest równa a 2 . Zatem
2
ëÅ‚ a 2 öÅ‚
1 1 1 1
Ä„
PF = Å" ìÅ‚ ÷Å‚ - Å" Ä„a2 - Å" a2 = Å" a2
( )
2 íÅ‚ 2 Å‚Å‚ 4 2 2
s. 41. r + 1 = r2 + r - 1
( )2 ( )2
r2 + 2r +1 = r2 + r2  2r + 1
r  1
r
r2  4r = 0
r(r  4) = 0
1
r = 0 lub r = 4
Promień większego koła jest równy 4, zatem pole wyróżnionej figury jest
równe 4Ą.
44
r +
1
s. 44. Pole czworokÄ…ta AFDE jest
p s
równe polu pięciokąta ABCDE.
E
Pola trójkątów BDF i DBC są
równe.
D
A
C
B
F
ps
s. 47. Musi być spełniona nierówność 11k > kk.
Ponieważ 11 · 4 < 44, wiÄ™c tym bardziej dla k > 4 mamy 11k < kk.
k
Tak więc dla k " {2, 3} spełniona jest nierówność .
k10k + k > kk
1
s. 53. Można uÅ‚ożyć obok siebie czÄ…steczek H2, czyli okoÅ‚o 3,6 · 106
2,74 Å" 10-7
czÄ…steczek.
s. 56. Możemy zapisać, że
4
1-1 Å" 3-1 + 3-1 Å" 5-1 + 5-1 Å" 7-1 + 7-1 Å" 9-1 = 2-1 Å" - 9-1
=
1
( )
9
s. 59. Na polu zielonym znajduje się iloczyn wyrażeń z pól żółtych.
2 3
1 1
Å"
W miejsce ,,? należy wpisać 1, gdyż Å" x5 = 1 dla x `" 0.
( ) ( )
x x
n m n Å" m
m
s. 63. an = an = a
1
s. 67. = 1
1
1 1
+= 2
1 1 + 2
1 1 1
+ + = 3
1 1 + 2 2 + 3
1 1 1 1
n
+ ++ & + =
1 1 + 2 2 + 3 n - 1 + n
45
1 1
s. 70. 2 = 1 + 3 = 1 +
1 1
2 + 1 +
1 1
2 + 2 +
1
2 + &
1 +
2 + &
1
5 = 2 +
1
4 +
1
4 +
4 + &
s. 74. Najkrótszy bok trójkÄ…ta prostokÄ…tnego, którego kÄ…ty ostre majÄ… miary 30°
i 60°, ma dÅ‚ugość równÄ… poÅ‚owie dÅ‚ugoÅ›ci przeciwprostokÄ…tnej.
1 1
Zatem AB = i AE =
2 4
1
KorzystajÄ…c z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy DE = Å" 3
4
Podobnie obliczamy długości pozostałych boków łamanej. Otrzymujemy:
42 + 37 3
3 3 3 9 3
3 9
L = + + + + =
4 8 16 32 64 64
s. 78. Podnosząc każdą ze stron do kwadratu, otrzymujemy:
2
8 + 18 = 8 + 2 Å" 8 Å" 18 + 18 = 26 + 2 144 = 26 + 24 = 50
( )
2
50 = 50
( )
Oznacza to, że 8 + 18 = 50
s. 83. Każdą stronę równości podnosimy dwukrotnie do kwadratu, otrzymując:
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚ 2
12 - 3 = 12 - 3 = 12 - 2 Å" 12 Å" 3 + 3 =
( )
ïÅ‚ śł
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
= 15 - 2 Å" 36 = 15 - 12 = 3
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚ 2
3 = 3 = 3
( )
ïÅ‚ śł
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Poprawny wynik uzyskamy również, stosując jednokrotne podnoszenie
do kwadratu.
46
Otrzymamy wówczas:
2
12 - 3 = 12 - 3 = 2 3 - 3 = 3
( )
2
3 = 3
( )
s. 87. - 2 Å" 1 + 2 = 1 - 2 = -1 = 1
1
(- )2-1
( ) ( )
1 - 2 Å" 1 + 2 Å" 2 - 3 Å" 2 + 3 = 1 Å" 1 = 1
(- ) (- ) (- )3-1
( ) ( ) ( ) ( )
Ogólnie
1 - 2 Å" 1 + 2 Å" & Å" n - 1 - n Å" n - 1 + n = (- 1)n-1
() () () ()
dla n " N oraz n > 1
s. 89. 20000012  19999992 = (2000001  1999999) · (2000001 + 1999999) =
= 2 · 4000000 = 8000000
2 2
2
a + b a2 + 2ab + b2a2 - 2ab + b2 a - b
ab
s. 93. - ( )
= - ab
==
( ) ( )
2 4 42
gdzie a i b sÄ… liczbami rzeczywistymi o tych samych znakach.
s. 97. Niech x oznacza szukaną liczbę. Wówczas
2(x +1) + x(x + 1) = 12
(x + 1) · (x + 2) = 12
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równy 12, gdy liczbami
tymi sÄ… 3 i 4, zatem rozwiÄ…zaniem jest liczba 2.
s. 100. Sposób I
221 Å" 3332 + 221 Å" 4442 - 221 Å" 3332 - 221 Å" 4402
=
221
221 Å" 333 - 330 Å" 333 + 330 + 444 - 440 Å" 444 + 440
( ) ( ) ( ) ( )
[]
= =
221
221 Å" 3 Å" 663 + 4 Å" 884 221 Å" 221 Å" 3 Å" 3 + 4 Å" 4
( ) ( )
== = 25 = 5
221 221
47
Sposób II
221 Å" 3332 + 221 Å" 4442 - 221 Å" 3332 - 221 Å" 4402
=
221
221 Å" 1112 Å" 32 + 42 - 221 Å" 1102 Å" 32 + 42 221 Å" 25 Å" 1112 - 1102
( ) ( ) ( )
== =
221 221
221 Å" 25 Å" (111 - 110) Å" (111 + 110)
221 Å" 25 Å" 1 Å" 221
== = 5
221 221
s. 102. x - 1 - 1 = 3
( )2
(x
[ - 1) - 1 Å" (x - 1) + 1 = 3
] []
x
( - 2 Å" x = 3
)
Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 3, gdy liczbami tymi są 1 i 3,
zatem x = 2.
s. 107. Każdej liczbie naturalnej został przyporządkowany jej pierwiastek kwa-
dratowy.
s. 110. Tak. Dziedziną tej funkcji jest zbiór {3, 7, 9}, a zbiorem wartości {7, 9}.
s. 113. Nie, gdyż (x) = f g(x) = (x - 1)2
[ ]
natomiast x = g f x = x2 - 1
( ) ( )
[ ]
Zatem 0 = 0 - 1 = 1, ale 0 = 02 - 1 = -1
( ) ( )2 ( )
s. 118. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 1.
Wykresem funkcji jest prosta o równaniu y = x + 1 z wyłączeniem punk-
tu o współrzędnych (1, 2).
s. 123. Nie, prosta prostopadła do osi x nie jest wykresem żadnej funkcji.
s. 128. Tak, proste te są prostopadłe i przecinają się w początku układu współ-
rzędnych. Prosta o równaniu y = 2x jest prostopadła do prostej o rów-
1 1
naniu y = x . Prosta o równaniu y = - Å" x jest prostopadÅ‚a do pro-
a
2
stej o równaniu y = ax, gdy a `" 0.
Ogólnie, dwie proste o równaniach y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są prosto-
padÅ‚e wtedy i tylko wtedy, gdy a1 · a2 =  1.
s. 132. Dwusieczne kątów wyznaczone przez dane proste są zawarte w pro-
stych o równaniach x = 2 i y =  1.
48
s. 136. Nie, dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 0,
natomiast dziedziną funkcji g jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
s. 141. Nie, nie można.
s. 147. Równanie można przekształcić w równoważne mu równanie
x49 Å" x2 + 1 Å" x4 + 1 Å" x6 + 1 Å" & Å" x100 + 1 = 0
( ) ( ) ( ) ( )
Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 0, ponieważ każda z liczb wy-
stępujących w nawiasach jest dodatnia dla dowolnej liczby rzeczywistej.
s. 150. Równaniem odpowiadającym treści zadania jest 5x +6xy = 70,
gdzie x oznacza liczbę stołów, a y liczbę krzeseł przy każdym stole.
Jedynym rozwiązaniem tego równania utworzonym z liczb naturalnych
sÄ… liczby: x = 2 i y = 5. W pokoju sÄ… zatem 2 koty.
s. 154. Spełnione muszą być warunki: 1  x e" 0 i 5 + x e" 0, czyli x d" 1 i x e"  5.
Dla x ")# 5, 1*# nierówność 1  2x + x2 d" 5+x jest równoważna danej.
Przekształcając ją, otrzymujemy:
x2  3x  4 d" 0
(x +1) · (x  4) d" 0
stÄ…d x +1d" 0 i x  4e" 0 lub x +1e" 0 i x  4d" 0
x d"  1 i x e" 4lub x e"  1 i x d" 4
Stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań danej nierówności jest przedział
)# 1, 1*#.
s. 159. Nierówność x3 < x < x2 możemy rozpatrywać jako układ dwóch nie-
równości x3 < x i x < x2.
Zbiór rozwiązań nierówności x3 < x jest sumą przedziałów ( ",  1)
i (0, 1), natomiast zbiór rozwiązań nierówności x < x2 jest sumą przedzia-
łów ( ", 0) i (1, "). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności x3 < x < x2
jest przedział ( ",  1).
s. 166. Do skonstruowania spirali został wykorzystany złoty podział odcinka.
s. 170. Dla x, y " N i x < 10 jedynym rozwiązaniem równania są liczby: x = 3
i y = 4.
1 1
s. 171. Zauważmy, że 5 Å" = 2,5 0,4 Å" 6 = 2,5
2
4
1
- 15 Å" = 2,5 5 Å" ? = 2,5
( )
(- )
6
5
.
W miejsce ,,? należy wpisać
2
49
3
s. 175. Z proporcji x : y : z = 1 : 2 : 3 wynika, że y =2x i z = y . Wiedząc, że
2
x + y =6 i y =2x, otrzymujemy x = 2, y = 4, zatem z =6.
s. 178. Na prostej s wybieramy dwa różne punkty A i B. Rysujemy dwa okręgi:
jeden o środku w punkcie A i promieniu AP , drugi o środku w punkcie B
i promieniu BP . Punkty przecięcia okręgów są punktami symetrycz-
nymi względem prostej s. Punkt R jest punktem symetrycznym do punk-
tu P względem prostej s.
s
s
P
P
B
B
R
R
A
A
s. 182. Tak.
s. 184. Tak. Punktem tym jest początek układu współrzędnych.
s. 188. Okrąg można opisać na czworokącie, którego suma miar przeciwle-
gÅ‚ych kÄ…tów jest równa 180°. OkrÄ…g można opisać tylko na takim wielo-
kącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie.
s. 191. Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły, którego sumy długości
przeciwległych boków są równe.
s. 195. Figura F pokrywa się z figurą F", jeżeli proste k i l się pokrywają.
Figura F" jest obrazem figury F w symetrii środkowej, jeżeli proste k i l są
prostopadłe. Środkiem symetrii jest wówczas punkt przecięcia prostych.
s. 198. Nie. Istnieją figury, które mają środek
symetrii, ale nie majÄ… osi symetrii.
50
s. 200. Gdy n = 2, wielokÄ…tem tym jest kwa-
drat. Rysujemy okrąg, a prostopadłe
średnice wyznaczają wierzchołki kwa-
dratu. Prowadząc symetralne boków
kwadratu, wyznaczamy na okręgu
punkty, które wraz z wierzchołkami
kwadratu wyznaczają nam wierzchoł-
ki ośmiokąta foremnego. Postępując
podobnie, uzyskujemy wierzchołki
wielokątów foremnych, których licz-
bę boków określa wzór 2n.
s. 203. Przekształcenie to jest powinowactwem osiowym względem prostej p.
s. 207. Wysokość trójkąta równobocznego należy po-
dzielić na trzy przystające odcinki.
s. 210. x' =2p  x, y' =2q  y
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w zbiorze zadań
ramkÄ… z ,,?
s. 11. Pole każdego trójkąta prostokątnego
jest równe połowie pola kwadratu,
którego przekątna jest odpowiednim
bokiem trójkąta.
1 9
P1 = Å" 3Å" 3 =
2 2
1 16
b = 4
P2 = Å" 4 Å" 4 =
2 2
1 25
P3 = Å" 5Å" 5 =
2 2
51
a
= 3
c
= 5
9 16 25
, czyli P1 + P2 = P3
Zauważmy, że + =
2 2 2
Ogólnie, jeśli długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ozna-
czymy a, b, natomiast długość przeciwprostokątnej c, to
1 1 1
P1 = a2 P2 = b2 P3 = c2
2 2 2
Wiedząc, że trójkąt jest prostokątny, mamy
a2 + b2 = c2
a2 + b2 c2
=
2 2
a2 b2 c2
+ = , czyli P1 + P2 = P3
2 2 2
s. 12. Środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach. Jeżeli P
oznacza pole podstawowego trójkąta, to pole powstałego trójkąta jest
równe:
3 4 10
1 1 1
a) Å" P b) Å" P c) Å" P
( ) ( ) ( )
2 2 2
n
1
d) Å" P, gdzie n oznacza liczbÄ™ powtórzeÅ„ konstrukcji Å›rodkowej
( )
2
trójkąta.
s. 20. Niech r1 oznacza promień konstruowanego koła.
Wówczas P = Ąr2 oraz P1 = Ąr12
Jeśli P1 = nP, to
Ä„r12 = n · Ä„r2
r12 = n · r2
r1 = n r, gdzie n " N i n e" 2
Należy skonstruować koło, którego promień jest równy r n .
ëÅ‚
1 1
s. 22. zad. 108. 11Ä„ - Ä„ + & +öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚
4n-2 Å‚Å‚
s. 22. zad. 111. Niech r1 oznacza promień konstruowanego okręgu.
Wówczas L =2Ąr oraz L1 =2Ąr1
Jeśli L1 = nL, to
2Ä„r1 = n · 2Ä„r
r1 = n · r
Należy skonstruować okrÄ…g, którego promieÅ„ jest równy n · r.
52
s. 26. 53 = 125 > 100 > 102
10 10
3 2
530 = > = 1020
(5 ) (10 )
Liczba 530 ma nie mniej niż 21 cyfr.
s. 27. Cyfrą jedności potęgi liczby 9 o wykładniku nieparzystym jest 9, nato-
miast o wykładniku parzystym (różnym od 0) cyfra 1.
s. 30. 2-1 Å" 4-1 + 4-1 Å" 6-1 + & + 2n Å" 2n + 2 =
( )-1 ( )-1 (nn+ 1)
4
s. 40. Stosunek długości boku kwadratu do długości jego przekątnej jest stały
i wynosi 1 : 2 .
n + 1
1
1 ëÅ‚ öÅ‚
s. 41. Zauważmy, że an + 1 = an Å" dla n " N+, wtedy an =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 íÅ‚ 2 Å‚Å‚
12 13
6
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ 1 öÅ‚ 2
1 1 1
Zatem a11 == = a12 ==
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( )
6 64 128
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
s. 44. PF = Ä„r12  Ä„r22
2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 5
Ä„ - r22 = Ä„
ïÅ‚ śł
( )
2 36
ðÅ‚ ûÅ‚
1 5
- r22 =
4 36
9 - 36r22 = 5
4 - 36r22 = 0
2 + 6r22 Å" 2 - 6r22 = 0, skÄ…d
( ) ( )
1
r2 = , gdyż promień nie może być liczbą ujemną
3
2
s. 50. a + b + c + d = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
()
Ogólnie
a + b + c +& + p + r = a2 + b2 + c2 +& + p2 +r2 + 2ab + 2ac +& +2pr
()2
2
k k k i
ëÅ‚ öÅ‚
2
albo
ìÅ‚ ÷Å‚
+ 2
i i
"a = "ai ""a aj
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚i =1 Å‚Å‚
i =1 i =1 j =1
53
s. 52. a - b - c - d = a2 + b2 + c2 + d2 - 2ab - 2ac - 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
()2
Ogólnie
a
( - b - c -& - p-r = a2 + b2 +& + p2 +r2 - 2ab -& - 2ar + 2bc +& + 2pr
)2
s. 61. a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
10 Å" 11
= (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 · 11 = = 55
2
b) 1 + 2 + 3 + ... + 18 + 19 + 20 =
20 Å" 21
(1 + 20) + (2 + 19) + ... + (9 + 12) + (10 + 11) = 10 · 21 = = 210
2
Ogólnie
n n + 1
( )
1 + 2 + 3 + ... + n =
2
s. 63. a + b = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
( )4
a
( - b = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
)4
a + b = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
( )5
a
( - b = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5
)5
a + b = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
( )6
a
( - b = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6
)6
n
öÅ‚
ìÅ‚0÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚ ìÅ‚2÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚n÷Å‚
(a + b)n = ëÅ‚ nöÅ‚ Å" an + ëÅ‚ nöÅ‚ Å" an-1b + ëÅ‚ nöÅ‚ Å" an-2b2 +& + ëÅ‚ n-1÷Å‚ Å" abn-1 + ëÅ‚nöÅ‚ Å" bn
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚0÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚ ìÅ‚2÷Å‚
(a - b)n = ëÅ‚nöÅ‚ Å" an - ëÅ‚ nöÅ‚ Å" an-1b + ëÅ‚ nöÅ‚ Å" an-2b2 +& +
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
öÅ‚
+ - 1 Å" Å" abn-1 + - 1 Å" Å" bn
ìÅ‚ ìÅ‚
( )n-1 ëÅ‚ n-1÷Å‚ ( )n ëÅ‚ nöÅ‚
n÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚nöÅ‚
gdzie jest symbolem Newtona.
ìÅ‚k÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
nöÅ‚ n!
ëÅ‚
Dla liczb naturalnych n, k takich, że n e" k = . Wartości
ìÅ‚
k÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ k! Å" n - k !
( )
symboli Newtona są równe odpowiednim liczbom występującym w trój-
kącie Pascala. Należy zwrócić uwagę na fakt, że suma wykładników po-
tęg a i b jest równa n.
54
s. 76. Ponieważ f x0 = 0 i g x0 = 0
( ) ( )
wiÄ™c h x0 = a Å" f x0 + b Å" g x0 = a Å" 0 + b Å" 0 = 0
( ) ( ) ( )
a to znaczy, że x0 jest miejscem zerowym funkcji h.
s. 81. Wyznaczamy wzory określające funkcje f, g i h:
3 1 1
f x = x + 5 g x = - x + 1 h x = x + 3
( ) ( ) ( )
2 2 2
f x + g x
( ) ( )
1
= x + 3 = h x
( )
2 2
s. 83. a) Niech funkcja liniowa f spełniająca warunek f( x) = f(x) będzie okreś-
lona wzorem f (x) = ax + b dla x " R.
JeÅ›li  f ( x) = [a · ( x) +b] =ax  b, to
ax  b = ax + b
2b =0
b =0
Ponadto, gdy funkcja f określona jest wzorem f(x) =ax,
to  f ( x) = [a · ( x)] = ax = f(x).
Jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi ten warunek są funkcje
określone wzorem f(x) =ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
b) Niech funkcja liniowa spełniająca dany warunek będzie określona
wzorem f(x) =ax + b.
Wtedy f(0) + f(1) = f(0 + 1) = f(1), czyli
a · b + b + a · 1+b = a · 1+b
b =0
Jeśli funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) =ax,
to dla dowolnych x1, x2 mamy
f x1 + x2 = a Å" x1 + x2 = ax1 + ax2 = f x1 + f x2 .
( ) ( ) ( ) ( )
Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem f(x) =ax, gdzie a jest dowolną liczbą rze-
czywistÄ….
c) Jeśli funkcja f określona wzorem f (x) =ax + b spełnia dla dowolnej
liczby rzeczywistej k warunek f (kx) = k · f (x),
to w szczególnoÅ›ci f (2x) =2 · f (x), czyli
a · (2x) +b =2· (ax + b)
2ax + b =2ax +2b
b =0
55
Jeśli zatem funkcja liniowa f dana jest wzorem f (x) =ax, gdzie a jest
dowolnÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ…,
to f (kx) =a · (kx) =k · (ax) =k · f (x), gdzie k jest dowolnÄ… liczbÄ…
rzeczywistÄ….
Zatem jedynymi funkcjami liniowymi spełniającymi dany warunek są
funkcje określone wzorem f(x) =ax, gdzie a jest dowolną liczbą rze-
czywistÄ….
d) Niech funkcja liniowa f dana wzorem f(x) =ax + b spełnia następują-
cy warunek: f ( x) = f(x).
JeÅ›li f( x) =a · ( x) +b = ax + b dla dowolnego x " R, to
 ax + b = ax + b
2ax =0
w szczególnoÅ›ci 2a · 1=0
a =0
Jeśli funkcja liniowa f jest dana wzorem f(x) =b,
to f( x) =b = f(x) dla dowolnego x " R, czyli jedynymi funkcjami
liniowymi spełniającymi dany warunek są funkcje stałe.
s. 87. Niech funkcje liniowe f i g będą określone wzorami:
f (x) =ax + b g(x) =a1x + b1
Wówczas h(x) = f g(x) = a Å" a1x + b1 + b = aa1 Å" x + ab1 + b
( ) ( )
Funkcja h jest funkcjÄ… liniowÄ… o współczynniku kierunkowym a · a1.
s. 92. a) m = 2 b) m = 9 c) nie istnieje takie m d) m = 1
s. 97. a) 8 b) 8 c) 8
Zadanie pokazuje, jak można w różny sposób sformułować to samo za-
gadnienie. Wskazane byłoby, aby uczniowie samodzielnie układali zada-
nia tego typu.
s. 100. x - 1 - 3 < 0
x - 1 < 3
 3 < x  1<3
 2 < x <4
Zbiorem rozwiązań jest przedział ( 2, 4).
22
x - 1 - 9 < 0 Ô! x - 1 - 32 < 0 Ô! x - 1 - 3 < 0
4 4
x - 1 - 92 < 0 Ô! x - 1 - 34 < 0 Ô! x - 1 - 3 < 0
100 100
x - 1 - 3100 < 0 Ô! x - 1 - 3100 < 0 Ô! x - 1 - 3 < 0
Zbiorem rozwiązań jest przedział ( 2, 4).
56
s. 102. Iloczyn jest liczbą ujemną, jeżeli wśród czynników jest nieparzysta
liczba czynników ujemnych. W tym przypadku musi być zatem
( 3) · ( 2) · ( 1) · 0, a ten iloczyn jest równy 0.
Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych nie może być liczbą ujemną.
Wskazane byłoby przy okazji tego zadania uogólnienie zagadnienia
i przedyskutowanie różnych sytuacji.
2 3 1 30
s. 110. a) 4 godziny b) 3 godziny c) 2 godziny d) godziny
7 4 2 6 +n
s. 116. Doświadczenia przeprowadzane z lusterkami umożliwią dokonania
wielu ciekawych spostrzeżeń. Zastosowanie kolorowych skrawków pa-
pieru ułatwi odkrycie zasady konstruowania kalejdoskopu.
s. 119. zad. 659. Na przykład pięciokąt.
s. 119. zad. 663. Wielokąt ten ma co najmniej 4 wierzchołki.
a) 4 wierzchołki b) 6 wierzchołków c) 12 wierzchołków
s. 122. Otrzymane punkty są wierzchołkami ośmiokąta.
s. 124. Suma miar kÄ…tów przeciwlegÅ‚ych jest równa 180°.
s. 130. Trójkąty równoboczne zbudowane na
przeciwległych bokach dowolnego
równoległoboku są symetryczne wzglę-
dem punktu przecięcia przekątnych.
s. 134. W 1801 roku C. Gauss dowiódł, że za pomocą cyrkla i linijki można wy-
konać konstrukcjÄ™ wielokÄ…ta o liczbie boków równej m =2n · p1 · ... · pk,
gdzie p1, p2, ... , pk sÄ… liczbami pierwszymi Gaussa, czyli liczbami postaci
r
p = 22 + 1, gdzie r jest liczbÄ… naturalnÄ…. Liczbami pierwszymi Gaussa
są, na przykład: 3, 5, 17, 257, 65337.
s. 135. W przypadku wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków nie otrzy-
mamy wielokÄ…ta gwiaz
dzistego.
57
s. 138. Tak. Wszystkie trzy okręgi mają równe promienie.
s. 141. zad. 786. Powstały dwie pary p
trójkątów przystających.
G
"ABO a" "FEO
E
C
A
"CDO a" "GHO
0
F
B H
D
s. 141. zad. 788. W zadaniach tego typu ćwiczymy wyobraz
niÄ™ dzieci. Wska-
zane byłoby wykorzystanie wielokątów foremnych o różnej liczbie bo-
ków i układanie wielokątów z trójkątów równoramiennych. Uczniowie
mogliby określić różnicę w postępowaniu w różnych sytuacjach.
s. 142. Należy rozpatrywać wielokąty foremne. Otrzymane liczby tworzą ciąg
liczbowy, którego wyrazy dążą do 1.
n
1 1 1 1
s. 145. zad. 807. a) b) c) d)
( )
8 16 2
210
s. 145. zad. 809. a) 2 boki b) 2 boki c) 3 boki d) 3 boki
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych
s. 6. i 8. Oznaczmy długość odcinka AA
= a. Z własności trójkąta prostokąt-
nego, w którym kÄ…ty ostre majÄ… miary 30° i 60°, wynika, że
1 a 3
A
Ó = a i ÓA =
2 2
a 3 + 1
( ), gdyż AR = A
Ó
a 3
a
ÓR = ÓA + AR = + =
2 2 2
PUPAA
= P1 = a2
2
2
ëÅ‚
a 3 + 1 3 + 1
ìÅ‚ ( )öÅ‚ = a2( )
÷Å‚
PMRÓZ = P2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
58
4 Å" - 2 3
P1 (4 )
a2 4 4
== = == 4 - 2 3
2
P2 16 - 12
3 + 1 + 2 3 4 + 2 3
a2 3 + 1
( )
4
s. 10. Przez jeden z wierzchołków, np. C,
C
D
prowadzimy prostą k, która nie zawie-
ra przekÄ…tnej czworokÄ…ta. Przez
punkt B prowadzimy prostą p równo-
ległą do prostej k. Punkt wspólny pro-
F
stej k i boku AB oznaczamy E. A
Na prostej p wybieramy dowolny
E
punkt F. A
Ä…czymy punkt F z punktami
k
B
E i C. Otrzymany pięciokąt AEFCD
p
ma pole równe polu czworokąta
ABCD, gdyż P,CEF = P,CEB.
AE
s. 12. Przez wierzchołki C i E prowadzimy
przekÄ…tnÄ…. Przez punkt D prowadzi-
my prostą równoległą do CE.
D
Rysujemy prostÄ… zawierajÄ…cÄ… bok BC
B
pięciokąta. Punkt wspólny tej prostej
i prostej p wyznacza wierzchołek
czworokÄ…ta F.
C
CzworokÄ…t ABFE ma takie samo pole
jak pięciokąt ABCDE, gdyż
F
P,CFE = P,EBC.
p
E
s. 14. Promień mniejszego półkola jest rów-
A B
ny wysokości trójkąta równoramien-
r
nego DEC, w którym CD = 3 cm,
CD
DE = CE = 2 cm.
KorzystajÄ…c z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
r = 22 - (1,5)2 = 4 - 2,25 = 1,75 H" 1,32
Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:
1 1
P = Ä„ Å" 22 - Ä„ Å" 1,32 H" 3,54
( )2
2 2
Pole zaznaczonej figury ma około 3,54 cm2.
59
s. 16. Promień mniejszego półkola jest rów-
ny wysokości trójkąta równoramien-
N M
nego NEM, w którym NM = 5 cm,
r
NE = ME = 3 cm.
K E L
KorzystajÄ…c z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
r = 32 - ( )2 - 6,25 = 2,75 H" 1,66
2,5 = 9
Pole zaznaczonej figury jest zatem równe:
1 1
P = Ä„ Å" 32 - Ä„ Å" H" 3,13
(1,66)2
2 2
Pole zaznaczonej figury ma około 3,13 cm2.
s. 18. i 20. Nie. Druga potęga liczby naturalnej w rzędzie jedności może mieć
jedną z następujących cyfr: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
4
s. 22. a b = a2b
1
1
1 1 1 2 1
2
ëÅ‚ öÅ‚ 4
2 4
4
a b = Å" b2 ÷Å‚ = a2 Å" b4 = a4 Å" b = b = a2b
ìÅ‚a Å‚Å‚ (a )
íÅ‚
4
s. 24. b a = b2a
1
1
1 1 1 2 1
2
ëÅ‚ öÅ‚ 4
4
4
b a = Å" a2 ÷Å‚ = b2 Å" a4 = b4 Å" a = b2a = b2a
ìÅ‚b Å‚Å‚ ( )
íÅ‚
2
s. 26. 3333333 + 1 = 3333333 + 1 + 2 3333333 = 3333334 + 2 3333333
( )
2
Liczba 3333333 + 1 jest liczbą niewymierną, gdyż liczba 3333333
( )
jest liczbÄ… wymiernÄ….
2
s. 28. 7777777 - 1 = 7777777 + 1 - 2 7777777 = 7777778 - 2 7777777
( )
2
Liczba 7777777 - 1 jest liczbą niewymierną, gdyż liczba 7777777
( )
jest liczbÄ… wymiernÄ….
s. 30. Z trójkąta Pascala odczytujemy współczynniki odpowiadające potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc
a
( - b = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
)4
60
s. 32. Z trójkąta Pascala odczytujemy współczynniki odpowiadające potędze
o wykładniku 4. Są to liczby: 1, 4, 6, 4, 1. Tak więc
(- a + b = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
)4
3 2
s. 34. x4 + x = x Å" + 1 = x Å" x + 1 Å" - x + 1
( )
(x ) (x )
s. 36. a + a4 = a Å" 1 + a3 = a Å" 1 + a Å" 1 - a + a2
( )
( ) ()
s. 38. - 5n3 + 4n = n Å" n4 - 5n2 + 4 = n Å" n4 - n2 - 4n2 + 4 =
n5
() ( )
= n Å" n2 Å" n2 - 1 - 4 Å" n2 - 1 = n Å" n2 - 1 Å" n2 - 4 =
( ) ( ) ( ) ( )
[]
= n - 2 Å" n - 1 Å" n Å" n + 1 Å" n + 2
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
s. 40. p5 - 5p3 + 4p = p Å" - 5p2 + 4 = p Å" - p2 - 4p2 + 4 =
(p ) (p )
= p Å" p2 Å" p2 - 1 - 4 Å" p2 - 1 = p Å" p2 - 1 Å" p2 - 4 =
( ) ( ) ( ) ( )
[]
= p - 2 Å" p - 1 Å" p Å" p + 1 Å" p + 2
( ) ( ) ( ) ( )
s. 42. Rysunek przedstawia
b
graf funkcji h.
a
d
s. 44. Rysunek przedstawia
b
graf funkcji h.
a
c
d
s. 46. Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:
2
h x = x2 - 1 - 1 = x4 - 2x2 + 1 - 1 = x4 - 2x2
( )
( )
s. 48. Tak. Wzór określający tę funkcję ma postać:
2
h x = x2 + 1 + 1 = x4 + 2x2 + 1 + 1 = x4 + 2x2 + 2
( )
( )
61
s. 50. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział )#0, 1*#, możemy doko-
nać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem
h(x) =  2(x + 1) =  2x  2.
s. 52. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział )#0, 1*#, możemy doko-
nać złożenia funkcji. Wówczas funkcja h jest określona wzorem
h(x) = 2(x  1) = 2x  2.
s. 54. Iloczyn współczynników kierunkowych funkcji liniowych, których
wykresy są prostopadłe, jest równy  1. Zatem funkcja g ma postać
1
g x = - x + b. Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 1),
( )
2
musi być spełniony warunek
1
- Å"1 + b = 1, zatem
2
1
- + b = 1
2
3
b =
2
1 3
Funkcję g określa wzór g x = - x + .
( )
2 2
s. 56. Iloczyn współczynników kierunkowych funkcji liniowych, których
wykresy są prostopadłe, jest równy  1. Zatem funkcja g ma postać
1
g x = - x + b. Aby wykres tej funkcji przechodził przez punkt (1, 0),
( )
2
musi być spełniony warunek
1
0
- Å"1 + b = , zatem
2
1
0
- + b =
2
1
b =
2
1 1
Funkcję g określa wzór g x = - x + .
( )
2 2
s. 58. x4 + x2 Å" x6 + x2 Å" & Å" x102 + x2 = 0
( ) ( ) ( )
x98 Å" x2 + 1 Å" x4 + 1 Å" & Å" x100 + 1 = 0
( ) ( ) ( )
Równanie spełnia tylko liczba 0, gdyż dla każdego x " R i n " N+,
x2n +1 >0.
62
s. 60. x5 + x3 Å" x7 + x3 Å" & Å" x101 + x3 = 0
( ) ( ) ( )
2 4 98
x144 Å" + 1 Å" + 1 Å" & Å" + 1 = 0
(x ) (x ) (x )
Równanie spełnia tylko liczba 0, gdyż dla każdego x " R i n " N+,
x2n +1>0.
s. 62. Oznaczmy:
x  liczba monet dwudziestogroszowych
140  x  liczba monet pięćdziesięciogroszowych
0,2 · x  wartość monet dwudziestogroszowych
0,5 · (140  x)  wartość monet pięćdziesiÄ™ciogroszowych
0,2 · x + 0,5 · (140  x) =25
0,2 · x +70 0,5· x =25
 0,3 · x =  45
x = 150
Jeśli monet dwudziestogroszowych jest 150, to monet pięćdziesięciogro-
szowych powinno być  10. Liczba monet nie może być wyrażona liczbą
ujemną. 25 złotych nie da się rozmienić na monety dwudziestogroszowe
i pięćdziesięciogroszowe tak, aby razem było ich 140.
s. 64. Oznaczmy:
x  liczba monet pięćdziesięciogroszowych
100  x  liczba monet dwudziestogroszowych
0,5 · x  wartość monet pięćdziesiÄ™ciogroszowych
0,2 · (100  x)  wartość monet dwudziestogroszowych
0,5 · x + 0,2 · (100  x) =25
0,5 · x +20 0,2· x =25
0,3 · x =5
x =162
3
Liczba monet musi być wyrażona liczbą naturalną. 25 złotych nie można
rozmienić na monety dwudziestogroszowe i pięćdziesięciogroszowe tak,
aby było ich razem 100.
s. 66. Przekształcając nierówność 4 a2 - 3 e" -12, otrzymujemy:
( )
a2  3e"  3
a2 e" 0
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a " R.
63
s. 68. Przekształcając nierówność 3 3a2 - 4 e" -12, otrzymujemy:
( )
3a2  4e"  4
3a2 e" 0
a2 e" 0
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego a " R.
s. 70. Z proporcji x : y : 5 = 2 : 4 : 6 wynika, że
y
4
= , więc
5 6
6y =20
20
y =
6
10
y =
3
x 2 1 5
RozpatrujÄ…c proporcjÄ™ = , otrzymujemy x = y, czyli x = .
y
4 2 3
s. 72. Z proporcji x : y : 4 = 1 : 5 : 3 wynika, że
y
5
= , więc
4 3
3y =20
20
y =
3
x 1 1 4
RozpatrujÄ…c proporcjÄ™ = , otrzymujemy x = y, czyli x = .
y
5 5 3
Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA2. Wyznaczamy punkt A1
s. 74.
będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej k. Na-
stępnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A1A2. Proste k i p są
szukanymi prostymi.
C
A B
kp
64
s. 76. Rysujemy prostą k prostopadłą do odcinka AA2. Wyznaczamy punkt A1
będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej k. Na-
stępnie rysujemy prostą p będącą symetralną odcinka A1A2. Proste k i p są
szukanymi prostymi.
C
p
A B
k
s. 78. i 80. Wyznaczamy środek mniejszego okręgu. Przez punkt wyznaczony
przez jeden z końców średnicy tego okręgu prowadzimy styczną do
niego. Punkty przecięcia stycznej z większym okręgiem wyznaczają
dwa wierzchołki trójkąta: A i B. Trzeci wierzchołek C wyznaczamy,
rysujÄ…c symetralnÄ… odcinka AB.
C
O
r
AB
Trójkątem spełniającym warunki zadania jest trójkąt równoboczny.
Zadanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy szerokość powstałego
pierścienia jest równa promieniowi mniejszego okręgu.
65
s. 82. i 84. Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promie-
niu r jest równa r. Zatem pole PW jest równe:
r2 3 3r2 3
PW = 6 Å" =
4 2
Długość boku sześciokąta foremnego opisanego na okręgu o pro-
2r 3
mieniu r jest równa . Zatem pole PO jest równe:
3
2
ëÅ‚ öÅ‚
2r 3
ìÅ‚ ÷Å‚
Å" 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3
PO = 6 Å" = 2r2 3
4
3r2 3 r2 3
Różnica pól PO - PW = 2r2 3 - =
2 2
PO 2r2 3 4
Stosunek pól ==
PW 3r2 3 3
2
s. 86. i 88. Przyprostokątne trójkąta o polu 18 mają długości 4 i 9. Długość jego
przeciwprostokątnej jest równa 97 . Obydwa trójkąty są przysta-
jÄ…ce.
66
Pola wszystkich narysowanych figur są równe. Ćwiczenia umożliwiające tworze-
nie figur o różnych kształtach, ale równych polach proponujemy przeprowadzić
w celu uświadomienia uczniom nieprawdziwości twierdzenia:
Figury o równych polach są przystające,
które jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia:
Figury przystające mają równe pola.
67
68
69