Jacek M. Jędrzejewski Kinga Gałązka Edward Lesiak
MATEMATYKA
KROK PO KROKU
Poradnik metodyczny
Klasa I gimnazjum
Projekt okładki
Barbara Zawadzka
Redaktor merytoryczny
Daniela Sasiak
Redaktor techniczny
Małgorzata Niedziałomska
Grafika komputerowa i rysunki
Mieczysław Potocki
Poradnik jest częścią obudowy programu nauczania matematyki w kla-
sach I III gimnazjum pod tytułem MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: 180/99.
Wydanie I
� Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne
RES POLONA Sp. z o.o.
ISBN 83-7071-238-X
WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 A
ódz
, ul. Gdańska 80, tel. [phone], fax [phone]
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: [e-mail]
Spis treści
Wstęp / 5
Komentarz do podręcznika / 7
Figury geometryczne na płaszczyz
nie / 7
Liczby rzeczywiste / 10
Wyrażenia algebraiczne / 15
Równania i nierówności / 16
Związki miarowe w trójkącie / 17
Odpowiedzi do zadań wymagających nietypowego rozwiązania / 19
Ćwiczenia sprawdzające. Rozwiązania zadań / 25
Ocenianie / 37
Funkcje i rodzaje oceny / 37
Gromadzenie informacji, ich przetwarzanie i komunikowanie
wyników / 38
Planowanie procesu dydaktycznego / 43
Diagnozowanie rozwoju ucznia / 44
Budzenie motywacji uczniów do uczenia się / 44
Ewaluacja procesu nauczania uczenia się / 45
Lekcja po lekcji / 47
Mieszkańcy i inwestorzy. Gra dydaktyczna / 50
Nasze pomysły na Twoje lekcje / 55
Zasady pracy w grupie / 57
Zasady dobrego porozumiewania się w grupie / 58
Na Zielonej Planecie. Scenariusz zajęć / 59
Mnożenie wielomianu przez jednomian. Scenariusz zajęć / 71
Matematyczne impresje / 79
Dlaczego impresje? / 79
Tematyka impresji / 80
Etapy pracy / 81
Ocena Matematycznych impresji / 81
WST
P
Poradnik jest częścią kompletu materiałów do nauczania matematyki
w klasie pierwszej gimnazjum MATEMATYKA KROK PO KROKU,
w którego skład wchodzą: program nauczania, rozkład materiału, pod-
ręcznik, ćwiczenia sprawdzające (kartkówki), zbiór zadań. W poradniku
są zawarte między innymi materiały ułatwiające organizację procesu
nauczania uczenia się, przykładowe scenariusze zajęć oraz dodatkowo 
arkusze pomocnicze, które można wykorzystać do pracy w grupie lub na
innych zajęciach z uczniami.
Program nauczania. Został opracowany zgodnie z Podstawą progra-
mową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gim-
nazjów. Zawiera: założenia ogólne, szczegółowe cele kształcenia mate-
matycznego, założenia szczegółowe programu, propozycje metod oceny
osiągnięć uczniów, ogólny układ materiału w gimnazjum, orientacyjny
przydział godzin oraz materiał nauczania z podziałem na poszczególne
klasy. W programie uwzględniono tygodniowo 4 godziny matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciągu 33 tygodni.
Rozkład materiału. Został opracowany tak, że może być podstawą pla-
nowania pracy przez nauczyciela. Zawiera dokładny plan realizacji zajęć
z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zoperacjonali-
zowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie materiału
są zaplanowane krótkie sprawdziany  kartkówki (Teraz Ty) i prace klaso-
we (Godzina szczerości), umożliwiające bieżącą kontrolę przebiegu pro-
cesu nauczania uczenia się i jego ewaluację oraz prace łączące zagadnie-
nia z różnych dziedzin nauki (Impresje matematyczne), tzw. projekty.
Podręcznik. Zawiera wiele różnych elementów, których celem jest
wzbudzenie zainteresowania uczniów. Układ podręcznika Matematyka
krok po kroku umożliwia jego rytmiczną realizację.
5
Ćwiczenia sprawdzające. Są propozycją krótkich sprawdzianów,
które mogą być użyte do samodzielnych prac uczniów w klasie czy też
w domu. Sposoby ich wykorzystania mogą być różne  w zależności od
inwencji nauczyciela.
Zbiór zadań. Jest uzupełnieniem i rozszerzeniem zagadnień zawar-
tych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trudno-
ści, zadania z treścią łączącą matematykę z innymi dziedzinami wiedzy
i życiem codziennym, a także zadania otwarte oraz takie, które mogą być
motywem prac semestralnych (Impresji matematycznych). Rozwiązując
zaproponowane zadania, uczniowie mają szansę na utrwalenie umiejętno-
ści i rozwinięcie swoich zdolności.
6
KOMENTARZ
DO PODR
CZNIKA
Spróbujemy wyjaśnić, dlaczego zaczęliśmy podręcznik od geometrii.
Po pierwsze, wzięliśmy pod uwagę, że nasza kultura jest oparta w znacz-
nej mierze na osiągnięciach egipskich, babilońskich czy też greckich.
Geometria zajmowała wówczas szczególną pozycję wśród różnych dzie-
dzin wiedzy, zwłaszcza w starożytnej Grecji. Liczba była traktowana
przez uczonych greckich jako pewna wielkość lub stosunek dwóch wiel-
kości geometrycznych. Geometria była więc tą dziedziną matematyki,
która rozwinęła się najwcześniej, osiągając w dziele Elementy Euklidesa
wielką, jak na owe czasy, doskonałość.
Po drugie, w geometrii najłatwiej jest pokazać piękno budowy teorii
aksjomatycznej. Językiem geometrii możemy opisać świat, w którym wi-
dzimy modele podstawowych pojęć geometrycznych i doskonale je sobie
wyobrażamy jako twory abstrakcyjne.
Po trzecie, język geometrii jest lepiej przyswajalny przez uczniów niż
język symboli arytmetyki i algebry. Ułatwia komunikację z uczniem, przez
co początek kształcenia w nowym typie szkoły będzie mniej stresujący.
Figury geometryczne na płaszczyx
nie
Wprowadzając pojęcia geometryczne i definicje, poprzedzamy je cza-
sami pewnymi informacjami. Są to twierdzenia lub aksjomaty, które
umożliwiają sformułowanie odpowiedniej definicji. Taką definicję poda-
jemy na przykład w podręczniku na stronie 13.
7
Prosta p rozcina płaszczyznę na dwa obszary. Każdy z tych
obszarów łącznie z tą prostą nazywamy półpłaszczyzną.
Pierwsze z tych zdań jest informacją (aksjomatem, twierdzeniem), drugie
 definicją półpłaszczyzny. Samo drugie zdanie nie mogłoby funkcjono-
wać jako definicja. W ten sposób w jednym miejscu znajduje się opis od-
powiedniej sytuacji i definicja nowego pojęcia.
Definiując odcinek, celowo unikamy pełnej precyzji, gdyż możliwa
byłaby ona tylko wtedy, gdybyśmy rozszerzyli znacznie teorię. W tym
przypadku, aby podać precyzyjną definicję, najpierw powinniśmy okre-
ślić porządek na prostej. Uporządkowanie prostej nie jest sprawą łatwą,
a uczniowie intuicyjnie wiedzą, które punkty leżą między dwoma punkta-
mi prostej.
W geometrii równie ważnym pojęciem jest kąt. Definiujemy go jako
figurę geometryczną, zatem jest to pewien zbiór punktów. Wyróżniamy
wprawdzie ramiona kąta, nie traktujemy jednak kąta jako trójki uporząd-
kowanej  dwa ramiona i obszar kąta. Ramiona kąta są więc częściami
figury, zwanej kątem. Definicja ta jest bardzo przystępna i łatwa do przy-
swojenia przez uczniów. Ma jednak pewną wadę. W ten sposób nie można
zdefiniować kąta zerowego ani kąta pełnego. Kąt zerowy i kąt pełny poja-
wią się jako kąty skierowane. Wtedy jednak kąt skierowany jest pewną
trójką uporządkowaną. Zagadnienia te nie są uwzględnione w obowiązu-
jącej podstawie programowej.
Kątów naprzemianległych i odpowiadających nie definiujemy, lecz
wskazujemy je na odpowiednich rysunkach. Warto zwrócić uwagę na to,
że dla uproszczenia oznaczeń kąty i ich miary oznaczamy czasami tymi
samymi symbolami, używając liter greckich.
Również z pewnym uproszczeniem jest zdefiniowana łamana. Cho-
ciaż odcinek ma dwa końce (bez wskazywania, który jest pierwszy, a któ-
ry drugi), to jednak w definicji łamanej posługujemy się terminami począ-
tek i koniec odcinka w celu łatwiejszego jej sformułowania. Uważamy, że
takie uproszczenie nie powoduje nieporozumień, a unikamy operowania
pojęciem sumy ciągu odcinków spełniających odpowiednie warunki.
Omawiając wielokąty, mówimy o kątach wewnętrznych, kątach ze-
wnętrznych i o przekątnych. Przekątnymi nazywamy odpowiednie odcinki,
niezależnie od tego, czy są one zawarte w danym wielokącie, czy nie. Za-
�ł
n n - 3
�ł śł
tem każdy n-kąt, wklęsły czy wypukły, ma tyle samo przekątnych �ł ( 2 )łł .
�ł
8
Koło i okrąg są następnymi zagadnieniami, w których stosujemy
uproszczenia  promieniem koła (okręgu) nazywamy zarówno liczbę, jak
i odpowiedni odcinek. W tych przypadkach stosunkowo łatwo ustalić,
kiedy chodzi o liczbę określającą długość odcinka, a kiedy o odcinek.
Zwracamy uwagę na to, że koło wyznacza okrąg i odwrotnie. Nie tłuma-
cząc pojęcia wnętrza i brzegu figury, mówimy, że okrąg jest brzegiem
odpowiedniego koła, zaś koło bez okręgu jest jego wnętrzem.
Warto trochę miejsca przeznaczyć na omówienie położenia prostej
i okręgu. A
atwo stwierdzić, że możliwe są trzy położenia:
1� prosta jest rozłączna z okręgiem,
2� prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem,
3� prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
Przypadki te się wykluczają, również analityczne opisy tych przypadków
też się wykluczają. Możemy zatem powiedzieć, że mamy do czynienia
z zamkniętym układem twierdzeń. Założenia są wykluczające się i wy-
czerpują wszystkie możliwości. Również tezy się wykluczają i wyczer-
pują wszystkie możliwości. W takim przypadku wystarczy udowodnić
jedną serię twierdzeń, gdyż twierdzenia odwrotne są też prawdziwe
i nie wymagają dowodu. Nie namawiamy, aby twierdzenia te dowodzić
w klasie. Sygnalizujemy tylko, że nie są potrzebne dowody twierdzeń
odwrotnych.
Mówiąc o prostej stycznej do okręgu, z pre-
medytacją nie definiujemy stycznej do krzywej.
Definicja ta jest bardzo skomplikowana i wy-
maga używania pojęć z matematyki wyższej
(pojęcie granicy ciągu, granicy ciągu punktów
płaszczyzny  topologia przestrzeni Rn) i lepiej
nic na ten temat nie mówić, aby nie wprowa-
dzać w błąd określeniem stycznej jako prostej
mającej dokładnie jeden punkt wspólny z krzy-
wą. W przypadku paraboli takie wyjaśnienie
styczności jest fałszem (patrz rysunek obok).
Realizując zagadnienia związane z położeniem dwóch okręgów (kół),
również omawiamy zamknięty (zupełny) układ twierdzeń. W sformuło-
waniach dotyczących tego zagadnienia celowo używamy terminów okrę-
gi i koła w tych miejscach, w których jest to wygodne. Mówiąc o okrę-
gach stycznych, lepiej stosować termin: okręgi. Gdy koła są rozłączne,
9
to takie sformułowanie jest bardziej czytelne niż
stwierdzenie, że okręgi leżą jeden poza drugim.
Okręgi przedstawione na rysunku obok też leżą
jeden poza drugim.
Warto dodać, co zresztą jest widoczne, że twierdzenia podajemy w więk-
szości bez dowodów i nie odróżniamy ich od aksjomatów. Nie chcemy
bowiem, aby uczniowie czuli się niewolnikami aksjomatycznej teorii;
pragniemy, aby poznali te fakty, które są łatwo zauważalne i naturalne.
Liczby rzeczywiste
Posługując się na co dzień liczbami (rzeczywistymi w teorii, a w prak-
tyce  liczbami wymiernymi), często nie zdajemy sobie sprawy z trudno-
ści w zrozumieniu tych pojęć.
W szkole podstawowej nie można było przedstawić ani aksjomatyki
liczb wymiernych (rzeczywistych), ani żadnego modelu liczb wymier-
nych (rzeczywistych). Nawet w gimnazjum nie można się pokusić o za-
ksjomatyzowanie teorii liczb wymiernych (rzeczywistych). W podręczni-
ku do pierwszej klasy gimnazjum przypominamy podstawowe aksjomaty
teorii liczb rzeczywistych, traktując je jako ogólnie znane własności. Po-
mijamy aksjomat istnienia kresów, gdyż kresy nie są treścią nauczania
w gimnazjum z uwagi na dużą trudność w zrozumieniu tego pojęcia.
W zbiorze R są określone dwa działania (wewnętrzne)  dodawanie (+)
i mnożenie (�). Spełnione są przy tym następujące warunki:
'" a + b = b + a
A. 1
a,b"R
a + (b + c) = (a + b) + c
'"
A. 2
a,b,c"R
(" '" a + 0 = a = 0 + a
A. 3
0"Ra"R
'" ("R a + a = 0 = a + a
A. 4
a"R a "
10
Element a spełniający A. 4 dla elementu a nazywamy elementem (licz-
bą) przeciwnym do a i oznaczamy  a. Wówczas a + ( a) = 0 = ( a) + a.
'" a �" b = b �" a
A. 5
a,b"R
a �" (bc) = (ab) �" c
'"
A. 6
a,b,c"R
(" '" a �" 1 = a = 1 �" a
A. 7
1"Ra"R
'"\{0} (" a �" a2 = 1 = a2 �" a
A. 8
a"R a2 "R
Element a2 , spełniający A. 8 dla elementu a różnego od 0, nazywamy ele-
mentem (liczbą) odwrotnym i oznaczamy lub . Wówczas
a-1 1 a �" a-1 = 1
a
1
lub a �" = 1 dla liczby a różnej od 0.
a
(a + b) �" c = (ac) + (bc)
'"
A. 9
a,b,c"R
Własność tę zapisujemy w skrócie (a + b) � c = ac + bc.
Podane własności uzupełniamy aksjomatami porządku:
(" a < b �! ~ b < a
[( ) ( )]
A. 10
a,b"R
()
a < b i b < c �! a < c
'" []
A. 11
a,b,c"R
'" (a < b lub a = b lub b < a)
A. 12
a,b"R
()
'" a < b �! a + c < b + c
A. 13
a,b,c"R
'" '" 0 < ab
A. 14
a>0 b>0
Zauważmy, że ten układ aksjomatów nie określa zbioru liczb rzeczywi-
stych; zbiór liczb wymiernych też spełnia ten układ warunków. Brakuje tu
aksjomatu zwanego aksjomatem ciągłości zbioru R.
11
W trakcie realizacji materiału przypominamy kolejno zbiory N, C, W;
wyróżniamy wśród nich liczby dodatnie, ujemne i stosujemy (w ograniczo-
nym zakresie) zapis mnogościowy. Zero zaliczamy do zbioru liczb natural-
nych. Czasami nie jest to wygodne, ale z uwagi na utożsamianie liczb natu-
ralnych z liczebnością zbiorów skończonych należy zero traktować jako
liczbę naturalną oznaczającą moc zbioru pustego. W procesie lekcyjnym
nie musimy dokładnie omawiać zagadnień dotyczących zbioru pustego.
Trochę uwagi warto poświęcić sposobom zapisywania liczb w dzie-
siątkowym układzie pozycyjnym czy też w innych systemach pozycyj-
nych oraz w systemie rzymskim.
Istotną sprawą w teorii liczb wymiernych (i rzeczywistych) jest przed-
stawianie liczby na osi liczbowej oraz odwrotnie  określanie liczby od-
powiadającej punktowi na osi liczbowej. Rozpatrujemy te zagadnienia
tylko dla liczb wymiernych. Możliwości zaznaczania na osi liczbowej
punktów odpowiadających liczbom niewymiernym pojawią się dopiero
po opracowaniu twierdzenia Pitagorasa.
Przypominamy w tej części algorytm dzielenia liczb naturalnych. Sto-
sujemy go, przedstawiając liczbę wymierną w postaci rozwinięcia dzie-
siętnego (ułamka dziesiętnego). Omawiamy przy tej okazji okresowość
takiego rozwinięcia i stwierdzamy, że każda liczba wymierna ma rozwi-
nięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe oraz odwrotnie.
Przedstawienia liczby o nieskończonym, ale okresowym rozwinięciu dzie-
siętnym w postaci ułamka nieskracalnego jest skomplikowane (wymaga
rozwinięcia teorii szeregów zbieżnych) i nie zmuszamy uczniów do opa-
nowania tej metody. Tu jednak przemycamy aksjomat kresu górnego. Treś-
cią tego aksjomatu jest, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywi-
stych ograniczony z góry ma kres górny. Jest to aksjomat bardzo istotny,
gdyż gwarantuje istnienie liczb mających nieskończone i nieokresowe
rozwinięcie dziesiętne. Uczniom o liczbach takich mówimy, nie wprowa-
dzamy jednak ani pojęcia kresu górnego, ani aksjomatu istnienia kresu.
Nie posługując się teorią zbieżności szeregów, możemy uczniom za-
proponować zamianę ułamków okresowych na ułamki zwykłe, korzysta-
jąc z umiejętności rozwiązywania równań. Zamieńmy na przykład na uła-
mek nieskracalny 0,(48). Wprowadzamy oznaczenie x = 0,48484848...,
następnie obie strony równania mnożymy przez 100. Otrzymamy wów-
czas 100x = 48,484848..., skąd po odjęciu stronami obu równań mamy:
16
48 16
99x = 48, czyli x = , a w wyniku , czyli 0, (48) = 33 .
33
99
12
Dodawanie i mnożenie są podstawowymi działaniami w zbiorze R.
Odejmowania i dzielenia nie traktujemy jako podstawowych działań, gdyż:
1� odejmowanie można zastąpić dodawaniem (liczby przeciwnej),
2� dzielenie można zastąpić mnożeniem przez liczbę odwrotną (dla
liczby różnej od zera); poza tym dzielenie nie jest działaniem
w zbiorze R (nie można dzielić przez zero).
Zauważmy, że
a  b = a + ( b)
oraz
1
a :b = a �" dla b `" 0
b
W podręczniku podajemy definicję wartości bezwzględnej, natomiast
pojęcie odległości wykorzystujemy do jej interpretacji na osi liczbowej 
nie może ona stanowić podstawy definicji rozważanego pojęcia.
Potęgę o wykładniku naturalnym określamy w standardowy sposób.
Niektóre własności mają uzasadnienie. Podajemy w podręczniku dowody
dla wykładników naturalnych większych od 1, natomiast dla wykładni-
ków 0 lub 1 sprawdzamy poprawność wzorów bezpośrednio z definicji.
Próbujemy w ten sposób pokazać uczniom, że reguły matematyczne nale-
ży uzasadniać. Nie zawsze jest to łatwe i dlatego na tym poziomie naucza-
nia z wielu dowodów należy zrezygnować. W czasie realizacji tych za-
gadnień wyraz
nie zaznaczamy, że nie definiuje się (z różnych powodów)
potęgi 00. Nie rozważając teorii granic, nie jesteśmy w stanie dokładnie
wyjaśnić, z jakiego powodu jest to niewskazane. Podkreślamy, że ten
symbol nic nie oznacza. Cały temat jest trudny i wymaga dużej uwagi tak
ze strony nauczyciela, jak i uczniów.
Pierwiastki to kolejny bardzo trudny temat. Ponieważ kwadrat każdej
liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc w naturalny sposób po-
jawia się ograniczenie dziedziny pierwiastka kwadratowego do zbioru
liczb nieujemnych (analogicznie dla pierwiastków stopni parzystych). Nie
ma powodu, aby ograniczać w sztuczny sposób dziedzinę pierwiastka
trzeciego stopnia i ogólnie  stopnia nieparzystego. Uczniowie łatwiej
3
zrozumieją, że skoro (-2)3 = -8 - 8 = -2 , niż ograniczenie dzie-
, to
dziny wszystkich pierwiastków do liczb nieujemnych. Korzystając z nie-
których kalkulatorów, a także programów komputerowych, można obli-
3 5
czyć na przykład - 64 czy też - 243 . Powstaje pytanie: dlaczego
13
więc nie można ich zdefiniować? Otóż zdefiniowanie pierwiastka stopnia
trzeciego dla liczb ujemnych jest możliwe. Zysk z takiego podejścia jest
większy niż niewygoda spowodowana koniecznością sprawdzania, czy
pierwiastek jest stopnia parzystego, czy nieparzystego.
Omawiając liczby niewymierne, proponujemy sprawdzić kilka razy
przy użyciu różnych kalkulatorów, jaka wartość wyświetlana jest
2
w  okienku kalkulatora. Kalkulatory o różnej dokładności obliczeń będą
przedstawiały różne liczby. Im dokładniejszy kalkulator, tym więcej cyfr
po przecinku się pojawi. Trudniej jest przekonać uczniów, że rozwinięcie
to jest nieskończone i nieokresowe. Ostatni przykład na stronie 109 pod-
ręcznika pokazuje, że można udowodnić, że istnieją liczby o rozwinięciu
dziesiętnym nieskończonym nieokresowym. Liczby takie nie są wymier-
ne. Nieco póz
niej będzie można uzasadnić, że również nie jest liczbą
2
wymierną. Robimy to jednak tylko w tych klasach, które będą tym zagad-
nieniem zainteresowane.
Istotną sprawą jest ustalenie zasad dotyczących kolejności wykonywa-
nia działań. Działania wewnętrzne (a takie rozważamy w przypadkach ,,+ ,
,,� , ,,  , ,,: ) w odpowiednich zbiorach definiujemy jako operację dwuar-
gumentową (funkcję dwóch zmiennych). Zapis a � b � c jest więc skrótem,
który możemy przyjąć bez nieporozumień; z A. 6 wynika, że niezależnie
od tego, w którym miejscu postawimy nawias, otrzymamy taki sam wynik.
Nie wolno nie stosować nawiasów w zapisie 6 : 3 � 2, gdyż (6 : 3) � 2 = 4,
natomiast 6 : (3 � 2) = 1. Matematyka wymaga precyzji i nie można stoso-
wać niestandardowych metod obliczeń. Opuszczanie nawiasów w takich
przypadkach jest szkodliwe dla rozumienia matematyki i wprowadza spo-
1
re zamieszanie, na przykład w wielu przypadkach zapis 4: 2
trakto-
2
wany jest jako , dlaczego jednak nie może to być ? Przestrzega-
4 2 8 2
my przed takim postępowaniem.
Procenty były rozważane w szkole podstawowej, w pierwszej klasie
gimnazjum przypominamy ich podstawowe własności. Przy tej okazji
omawiamy graficzne sposoby przedstawiania danych wielkości. Diagra-
my kołowe, słupkowe i punktowe stanowią ilustrację pewnych zdarzeń.
Zaczynamy rozważać średnią arytmetyczną kilku liczb oraz częstość zda-
rzenia i częstość względną zdarzenia.
14
Wyrażenia aIgebraiczne
Bardzo trudne pojęcie wyrażenia algebraicznego pojawia się w pod-
ręczniku bez dokładnej definicji. Proponujemy podać kilka przykładów
i ocenić, które zapisy stanowią wyrażenia algebraiczne, a które nie są taki-
mi wyrażeniami. Ogólność pojęcia wyrażenia algebraicznego uniemożli-
wia na tym etapie kształcenia podanie ogólnej i precyzyjnej definicji.
Napisaliśmy tylko, jak się tworzy takie wyrażenia.
Ważnym pojęciem jest zmienna (zmienne) wyrażenia algebraicznego
oraz wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego. Istotną sprawą jest
umiejętność doprowadzania wyrażeń algebraicznych do prostszej postaci
lub do postaci wygodniejszej w danym przypadku, a także umiejętność
podstawiania i obliczania wartości liczbowej.
Nie wprowadzamy pojęcia dziedziny naturalnej wyrażenia algebraicz-
nego, gdyż w przypadku wyrażeń z wieloma zmiennymi jest to niezmier-
nie trudne. Proponujemy jednak zawsze wskazanie i zapisanie, dla jakich
wartości zmiennych dane wyrażenie nie jest określone; robimy to w for-
mie zastrzeżeń.
Ważnym zagadnieniem jest symboliczne zapisywanie wyrażenia opi-
sanego słowami, jak również odczytywanie wyrażenia zapisanego sym-
bolicznie.
Jednomiany jako najprostsze z wyrażeń algebraicznych stanowią
pierwszą grupę wyrażeń algebraicznych, którymi się zajmujemy bliżej.
Staramy się przedstawiać jednomiany w postaci uporządkowanej, wtedy
łatwiejsze się staje tworzenie jednomianu przeciwnego do danego oraz
wyszukiwanie jednomianów podobnych.
Unikamy i konsekwentnie nie stosujemy nazwy suma algebraiczna.
Sumując jednomiany, otrzymujemy wielomiany, w przypadku sumy wy-
rażeń innego typu nie mamy klasycznej sumy, więc i nazwa jest  według
nas  zbędna. Możemy jednak zawsze mówić o składnikach wyrażenia
algebraicznego.
Omawiając wielomiany, koncentrujemy się na wielomianach przeciw-
nych, dodawaniu oraz odejmowaniu i mnożeniu wielomianów. Dodając
wielomiany jednej zmiennej, wskazujemy na analogie z dodawaniem
liczb. Warto zwrócić uwagę na zadanie ze strony 152 wyróżnione ramką
z wykrzyknikiem.
15
Realizując mnożenie wielomianów, w pierwszym kroku mnożymy wie-
lomian przez jednomian, a następnie dopiero mnożymy wielomian przez
wielomian. Staramy się wyrobić w uczniach nawyk porządkowania otrzy-
manego wyniku, tzn. wykonywania redukcji wyrazów podobnych.
Równania i nierównoS
ci
Uczniowie poznali równania już w szkole podstawowej. Usiłujemy
podać jakąś wersję definicji równania, nie chcemy jednak kłaść na nią
nacisku. Zależy nam na tym, aby uczniowie umieli odróżniać równanie od
wyrażenia algebraicznego, aby potrafili wskazać niewiadomą (lub nie-
wiadome) równania oraz jego prawą i lewą stronę.
Ważnym pojęciem jest rozwiązanie równania (czasem zwane pier-
wiastkiem równania). Zagadnienie to jest łatwe w odniesieniu do równań
z jedną niewiadomą. Gdy rozważamy równanie z dwiema niewiadomymi,
musimy zwrócić uwagę na to, że nie dwie liczby są rozwiązaniami, ale
para liczb stanowi jedno rozwiązanie. Na przykład dla równania x  2y = 0
para (2, 1) jest jego rozwiązaniem (w miejsce x wstawiamy liczbę 2,
w miejsce y liczbę 1). Również pary (4, 2) i ( 2,  1) są rozwiązaniami tego
równania. W tym przypadku trudność w zrozumieniu tego zagadnienia
spotęgowana jest tym, że równanie to nie ma jednego rozwiązania, ale nie-
skończenie wiele; możemy więc podać tylko kilka takich rozwiązań.
W czasie pierwszych lekcji dotyczących równań proponujemy odga-
dywanie rozwiązań i sprawdzenie, czy lewa strona jest równa prawej stro-
nie. Mówiąc o rozwiązaniu równania, nie możemy pominąć problemu
znalezienia nie tylko jednego rozwiązania, ale wszystkich rozwiązań da-
nego równania. Tworzymy w ten sposób zbiór rozwiązań równania.
Najogólniejszą metodą rozwiązywania równań jest metoda analizy sta-
rożytnych. Zakładając, że liczba x0 jest rozwiązaniem równania, korzysta-
jąc z własności działań, wyznaczamy jej postać, a następnie sprawdzamy,
czy istotnie ta liczba jest rozwiązaniem równania (czyli wykonujemy
sprawdzenie). W ten sposób dowodzimy dwa twierdzenia. Na przykład:
Jeżeli liczba x0 jest rozwiązaniem równania
2(x  7) + 3  3(x  2) =  2x + 5, to x0 = 10.
oraz
Jeżeli x0 = 10, to x0 jest rozwiązaniem równania
2(x  7) + 3  3(x  2) =  2x + 5.
16
W przypadku tej metody sprawdzenie jest integralną częścią rozwiązania
równania.
Metoda analizy starożytnych pozwala na uzasadnienie prawdziwości
operacji stosowanych w rozwiązywaniu równań metodą równań równo-
ważnych. W przypadku tej metody sprawdzenie nie jest integralną częścią
rozwiązania równania, może jedynie służyć do upewnienia się, czy nie
został popełniony błąd. Nie wolno zatem wymagać sprawdzenia przy roz-
wiązywaniu równań, gdy stosujemy metodę równań równoważnych.
Uczniom proponujemy metodę równań równoważnych. Nie wymaga
ona sprawdzania, ale nie pozwala na inne niż omawiane w podręczniku
operacje. W związku z tym nie wolno na przykład podnosić do kwadratu
obu stron równania.
W czasie omawiania równań podaliśmy sposób ich tworzenia. Nie de-
finiowaliśmy równania i również mówiąc o nierówności, też nie proponu-
jemy definicji. Koncentrujemy się na pojęciu rozwiązania nierówności
i na operacjach nie zmieniających zbioru rozwiązań danej nierówności.
W klasie pierwszej gimnazjum zajmujemy się nierównościami z jedną
niewiadomą. Zbiory rozwiązań są więc zawarte w zbiorze R. Często są
one przedziałami (niekoniecznie ograniczonymi), wprowadzamy zatem,
przy okazji nierówności z wartością bezwzględną, pojęcie przedziału, aby
w zwartej formie można było przedstawić zbiór rozwiązań nierówności.
Związki miarowe w trójkącie
Własności trójkąta stanowią treść całego rozdziału. Są one bazą reali-
zacji tematów geometrycznych w klasach następnych.
Bardzo ważną własnością jest nierówność trójkąta stwierdzająca, kie-
dy odcinki o danych długościach mogą stanowić boki trójkąta. Jest ona
konsekwencją zależności związanych ze współliniowością trzech punk-
tów. Zauważmy, że najdłuższy bok trójkąta musi mieć długość mniejszą
od sumy długości pozostałych boków.
Ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa 180�, więc dość istotne
jest zagadnienie klasyfikacji trójkątów ze względu na miary ich kątów.
W czasie realizacji tematów związanych z kątami w trójkącie warto pod-
kreślić własność (zwykle traktowaną jako mało istotną, ale ważną dla
ogólnego spojrzenia na teorię trójkąta), że naprzeciwko najdłuższego
boku trójkąta leży kąt o największej mierze.
17
W czasie lekcji dotyczących wysokości trójkąta warto zwrócić uwagę na
fakt, że wysokości nie muszą się przecinać (są one odcinkami), ale proste
je zawierające mają jeden punkt wspólny. Warto narysować różne trójkąty
i zaobserwować, jak zmienia się położenie punktu wspólnego prostych
zawierających wysokości trójkąta w zależności od narysowanego trójkąta.
Omawiając środkowe, wskazane jest wycięcie trójkąta, wyznaczenie
punktu przecięcia środkowych oraz doświadczalne sprawdzenie, że punkt
ten jest środkiem ciężkości trójkąta.
Dwusieczne kątów trójkąta też się przecinają w jednym punkcie. Leży
on zawsze wewnątrz trójkąta i jego odległość od każdego z boków jest
taka sama. W tym przypadku nie mówimy o okręgu wpisanym w trójkąt,
ponieważ zagadnienie to będzie występowało w toku dalszej nauki. Jed-
nak w klasach o wyższym poziomie zainteresowań matematycznych
można to zagadnienie omówić.
Symetralne boków trójkąta również się przecinają w jednym punkcie;
nie musi on leżeć wewnątrz danego trójkąta. Także w tym przypadku nie
mówimy o okręgu opisanym na trójkącie, tylko o odległości punktu prze-
cięcia od wierzchołków trójkąta. Zagadnienia dotyczące figur opisanych
na wielokątach będą występowały w toku dalszej nauki. W klasach uzdol-
nionych matematycznie można jednak powiązać te zagadnienia z okrę-
giem opisanym na trójkącie.
Jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii euklidesowej jest
twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie to nie jest łatwe do odkrycia i nie
każdemu uczniowi jawi się jako oczywiste. Dlatego warto podać uzasad-
nienie tego twierdzenia. Nie mówimy o pełnym dowodzie, gdyż nasz do-
wód jest oparty na własnościach pola figur, ale rysunek taki, jak przedsta-
wiony w podręczniku, jest dość przejrzysty i uczniowie będą przekonani
o słuszności twierdzenia Pitagorasa.
Historyjka o Egipcjanach (strona 203 w podręczniku), wyznaczają-
cych kąt prosty, powinna zwrócić uwagę na twierdzenie odwrotne do twier-
dzenia Pitagorasa.
Tematy dotyczące twierdzenia Pitagorasa możemy zakończyć, kon-
struując odcinki mające długości wyrażające się liczbami niewymiernymi
, itd.
2 3
18
ODPOWIEDZI DO ZADAC

WYMAGAJ
CYCH
NIETYPOWEGO ROZWI
ZANIA
Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań zawartych w podręczniku, które
wymagają poszukiwania rozwiązań nietypowych (sprytnych). Zadania te
są przeznaczone dla uczniów szczególnie zainteresowanych matematyką.
Zostały one wyróżnione ramką z wykrzyknikiem.
s. 12. B = ( 4a, 2a).
s. 15. Wskazówka: Należy rozpatrzyć różne możliwości.
s. 18. Nie, żaden z odcinków łączących dwa jej punkty nie jest zawarty w tej
figurze.
s. 21. Czworokąt ABDC jest trapezem równoramiennym. Punkt P należy, jako
punkt przecięcia przekątnych, do osi symetrii tego czworokąta.
s. 23. x = 80�.
s. 26. p r.
s. 32. Trzy różne łamane zamknięte takie, jak przedstawiają rysunki.
19
s. 34. Długość łamanej MPRSTKLUWYZH jest równa 27.
s. 36. Trójkąt AEF jest równoramienny. Oznaczamy FAE = AFE = =,
wówczas FEA = 180�  2=, czyli AEW = 2=. Również trójkąt AWK
jest równoramienny. Oznaczając WAK = WKA = >, otrzymujemy
AWK = 180�  2>, stąd AWE =2>. Z własności trójkąta mamy
2= +2> + 90� = 180�, czyli 2= + 2> = 90�, co oznacza, że = + > = 45�.
Ponieważ FAK = = + 90� + >, więc FAK = 135�.
s. 41. Obwód figury obliczymy, korzystając ze wzoru L =10+4(n  1), gdzie n
oznacza liczbę elementów zużytych do zbudowania figury według zasady
pokazanej na rysunku.
s. 43. 6 cięciw; sześciokąt foremny.
s. 47. Punkty te leżą na okręgu o(Z, r), gdzie Z jest
środkiem koła, na którego planie zbudowano
mury obronne, r  odległością punktu A od Z.
s. 50. 8 punktów.
s. 52. Oznaczmy = = RPS , > = O1PR , C = O2PS . Wtedy O2SP = C,
O1RP = > oraz 180�  (> + C) = 180�  (90�  >)  (90�  C). Obliczając,
otrzymamy > + C = 90�, czyli = = 90�.
s. 57.
s. 61. Tak.
4
s. 63. .
9
s. 67. 0.
83
s. 69. .
58
20
11
s. 70. .
70
s. 72. 122 221.
s. 76. 99.
s. 80. 1 234 321.
s. 83. a = 0, b =0.
s. 85. a = b.
s. 91. 9 999 800 001.
s. 96. Tysiąc dwoma zerami.
s. 97. 874.
s. 100. Zauważmy, że (10n + k)2 =100n2 +20nk + k2. Zatem kwadrat liczby
całkowitej ma liczbę jedności będącą liczbą jedności kwadratu jednej
z liczb: 0, 1, 2 ... 9. Ponieważ żadna z liczb: 3, 13 ... 93 nie jest kwadra-
tem liczby naturalnej, więc i rozważana liczba też nie może być kwadra-
tem żadnej liczby całkowitej.
s. 101. 1.
s. 105. 2.
s. 112. a5.
1
s. 116. Nieprawdą jest, że m2 to 25 cm2.
4
s. 123. 750 złotych.
s. 126. 0,011875.
s. 130. 1,2 g napoju.
s. 140. S10 =(1+2... +9+10)2 =552 = 3025.
s. 141. a) x � a + y � b; b) (x +2) � c; c) (n  1) � d; d) y � (10s) +4s.
2
2
�ł łł
1
s. 143. �ł śł .
( )
2a
�ł �ł
s. 147. Błąd tkwi w drugiej równości, gdyż x2y2 `" xy , bo x <0.
s. 150. 5n 1 razy.
s. 152.  8x2  2x.
21
n(n + 1)
s. 155. .
2
s. 158. Każda osoba wita się z n  1 osób, czyli n � (n  1), ale liczba uścisków
�"
n (n - 1)
jest liczona podwójnie. Zatem liczba uścisków jest równa .
2
2x4 + x3 + x2 +5x  4.
s. 161. S3 d" S2 d" S1, gdyż
ab(a  b)2 e" 0
a3b  2a2b2 + ab3 e" 0
a3b +2a2b2 + ab3 e" 4a2b2
4a2b2
ab e"
a + b
( )2
Skąd wynika, że
2ab
ab e" ; ponadto
a + b
2
a2 b2 a + b
ab
+ + = , czyli
ab d"
( )
4 4 2
a + b
ab d" .
2
s. 164. Nie istnieje, bo x `" 0.
s. 165. Bezpośrednie sprawdzenie wskazuje, że liczby: 1, 2 i 3 są rozwiązania-
mi równania. 0 i 4 nie są rozwiązaniami; dla x > 4 3x(4  x) < 0, nato-
miast 9x >0.
s. 167. Nie są to równania równoważne, gdyż  1 jest rozwiązaniem równania
drugiego, a nie jest rozwiązaniem równania pierwszego.
s. 171. Rozwiązaniem rozważanego równania jest liczba nieparzysta, gdyż
1
1999 1999
3x = + 1 91999 , czyli x = .
(5 )+ (5 + 1)+ 3�" 91998
3
Pierwszy składnik jest liczbą parzystą, natomiast drugi  nieparzystą.
s. 172. Błąd tkwi w operacji dzielenia przez x  4.
s. 175. Siostra ma 8 lat, brat  12 lat.
18
s. 183. Rozwiązaniem nierówności są liczby x > . Wśród nich najmniejszą
11
liczbą naturalną jest 2.
s. 184. Nie, gdyż x = 4.
22
s. 187. Rozwiązanie:
Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b różnych od zera
(a  b)2 e" 0
a2  2ab + b2 e" 0
a2 + b2 e" 2ab.
Dla liczb dodatnich a, b mamy zatem
a2 + b2
,
e" 2
ab
czyli
a b
+
e" 2.
b a
Analogicznie, zauważamy, że
b c a c
+ +
e" 2 i e" 2 .
c c a
b
Z nierówności tych wynika, że
a b b c a c
+ + + + +
e" 6
b a c b c a
a + b a + c b + c
+ +e" 6 .
c b a
Ponieważ a + b =1 c, a + c =1 b oraz b + c =1 a, więc
1 - c 1 - b 1 - a
+ +
e" 6
c b a
1 1 1
- 1 + - 1 + - 1 e" 6
,
c b a
skąd wynika, że
1 1 1
+ +
e" 9 .
a b c
s. 192. Tak, na przykład trójkąt wyznaczony przez biegun północny, dwa połu-
dniki różniące się o 90� i równoleżnik.
s. 196. Obie środkowe wychodzące z wierzchołków kątów ostrych mają tę wła-
sność.
s. 211.
d
2 2 - 2 < 2 d2 = 42 + 42 = 32, d = 4 2 > 5
W obu przypadkach tak. Położenie desek przedstawia pierwszy rysu-
nek, a rysunek drugi ilustruje możliwość manewru kajakiem.
23
ĆWICZENIA SPRAWDZAJ
CE
ROZWI
ZANIA ZADAC

Przygotowaliśmy rozwiązania zadań przeznaczonych dla uczniów szcze-
gólnie zainteresowanych matematyką, które w Ćwiczeniach sprawdzają-
cych dla klasy pierwszej gimnazjum są oznaczone symbolem .
Zadania te wymagają rozwiązań odbiegających od schematów i ich anali-
za oraz rozwiązania na pewno ułatwią pracę nauczycielom. Spełniamy
w ten sposób oczekiwania wielu nauczycieli. Pomijamy zadania przygo-
towne dla grupy B, jeżeli ich rozwiązania nie różnią się od rozwiązań
zadań z grupy A.
Podstawowe figury geometryczne. Kąty
Grupa A
Długość odcinka XY jest równa:
1
1 , jeżeli jednostką jest odcinek AB,
3
4, jeżeli jednostką jest odcinek MN,
2
, jeżeli jednostką jest odcinek KL.
3
Zaznacz, który odcinek na rysunku to
odcinek XY.
Odpowiedz
: Na rysunku oznaczyliś-
5
my odpowiednie odcinki.
25
Grupa B
Długość odcinka XY jest równa:
1
1 , jeżeli jednostką jest odcinek AB,
2
3
, jeżeli jednostką jest odcinek MN,
4
3, jeżeli jednostką jest odcinek KL.
Zaznacz, który odcinek na rysunku to
odcinek XY.
Odpowiedz
: Na rysunku oznaczy-
5
liśmy odpowiednie odcinki.
Dwusieczna. Kąty. Położenie prostych
Grupa A
Podziel na połowy odcinek AB, posługu-
jąc się tylko linijką.
Wybieramy punkt K tak, aby proste
5
KA i KB przecięły prostą b odpowiednio
w punktach E i L. Prowadzimy proste
LA i EB, które przecinają się w punkcie
G. Prosta poprowadzona przez punkty K
a b
i G dzieli odcinek AB na połowy.
Łamana. WieIokąt
Grupa A
Przez Małe Miasteczko przepływa rzeka, w której rozwidleniu znajdują się dwie
wyspy. Zbudowano na niej mosty tak, jak na rysunku. Czy można przejść kolej-
no przez wszystkie mosty w ten sposób, żeby każdy przekroczyć tylko raz i wró-
cić w to samo miejsce? Jeśli tak, to narysuj drogę, jaką należałoby pokonać.
26
Nie można przejść po każdym z mostów jeden raz i wrócić w to samo miej-
5
sce. Aby znalez
ć się po tej samej stronie rzeki, musiałaby być parzysta liczba
mostów łączących wyspy z lądem stałym.
Okrąg i koło. Kąty w koIe
Grupa A
Okrąg podzielono promieniami na cztery
części w stosunku 2 : 8 : 3 : 5. Punkty po-
działu okręgu połączono kolejno cięciwami.
Oblicz miary kątów tak powstałego czworo-
kąta.
Okrąg dzielimy na 2 + 8 + 3 + 5 = 18
5
równych części. Obliczamy miary kątów
środkowych opartych na odpowiednich łu-
kach, a następnie miary kątów przy podsta-
wie w trójkątach równoramiennych. Kąty
czworokąta mają więc następujące miary:
110�, 80�, 70� i 100�.
Liczby wymierne
Czy liczba 0,(9) jest liczbą pierwszą, czy złożoną?
Liczba 0,(9) = 1 i nie jest to ani liczba pierwsza, ani złożona.
5
Działania w zbiorze Iiczb wymiernych
Grupa A
Czy to możliwe, aby y � x = 0 i y : x = 1?
Z równości y : x = 1 wynika, że x `" 0 i y = x. Wtedy również y `" 0. Zatem
5
y � x `" 0, nie może więc być spełniony warunek y � x =0.
Grupa B
Czy to możliwe, aby 2y � 2x = 0 i 3y : 3x = 1?
Z równości 3y : 3x = 1 wynika warunek x `" 0 i y = x. Wtedy również y `" 0.
5
Zatem y � x `" 0, nie może więc być spełniony warunek 2y � 2x = 0.
27
Potęga. Mnożenie i dzieIenie potęg o tych samych podstawach
Grupa A
Dorosłe ufoalki, żyjące na planecie Fikcja, rodzą w ciągu jednej godziny 10 ufo-
alkiątek. Każdy ufoalek żyje tylko 5 godzin, a zaczyna się rozmnażać w drugiej
godzinie życia. Oblicz, ilu potomków miał ufoalek, który żyje już 4 godziny.
Ufoalek, który żyje już 4 godziny, miał 1330 potomków.
5
Grupa B
Dorosłe ufoalki, żyjące na planecie Bujna Wyobraz
nia, rodzą w ciągu jednej
godziny 10 ufoalkiątek. Każdy ufoalek żyje tylko 7 godzin, a zaczyna się roz-
mnażać w drugiej godzinie życia. Oblicz, ilu potomków miał ufoalek, który żyje
już 5 godzin.
Ufoalek, który żyje już 5 godzin, miał 3640 potomków.
5
Potęga iIoczynu, iIorazu i potęgi
Grupa A
1
Wykładnikiem potęgi może być liczba ujemna. Wówczas na przykład 2-2 = 22 .
Dla potęg o wykładnikach całkowitych prawdziwe są wszystkie poznane włas-
ności potęg. Oblicz
2
20 - 4
�ł
-2 1
: : 8łł .
(4 �" 42) �ł śł
( )
2
�ł �ł
Korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym i własności potęg, otrzy-
mujemy:
2
20 - 4
20 2
�ł
1
-2 1 0 4
: : 8łł = : = 1 : 22 =
.
(4 �" 42) �ł śł (4 ) (2 : 23)
( )
4
2
�ł �ł
Grupa B
1
=
Wykładnikiem potęgi może być liczba ujemna. Wówczas na przykład 2-2 .
22
Dla potęg o wykładnikach całkowitych prawdziwe są wszystkie poznane włas-
ności potęg. Oblicz:
28
2
20 - 4
�ł
-2 1
: : 27łł .
(9 �" 92) �ł śł
( )
3
�ł �ł
Korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym i własności potęg,
5
otrzymujemy:
2
20 -4
20 2
�ł
1
-2 1 0 4
: : 27łł = : : 33 = 1 : 32 =
(9 �" 92) �ł śł (9 ) (3 ) .
( )
3 9
�ł �ł
Pierwiastki. PrzybIiżenia
Grupa A
Pierwiastek możemy zapisać w postaci potęgi o wykładniku wymiernym, na
1 1
3
przykład 4 = 42, 8 = 83 . Zapisz dane wyrażenie w postaci jednej potęgi:
1
-
3 4
3 �" 27 �" 81
-1 3
.
1
�" 30 �" 3
( )
( )
3
Potęgi i pierwiastki zapisujemy w postaci potęg o podstawie 3 i korzystamy
5
z własności potęgowania.
1
1 1 1
- 1 5
-1+1
3 4
3 �" 27 �" 81
32 �" 3-1 �" 31 32 32 - 2
== = = =
32 3-2
3 3 5
-1 3
1+0+
1
2
�" 30 �" 3
3 �" 30 �" 32 3 32
( ) ( )
3
Grupa B
Pierwiastek możemy zapisać w postaci potęgi o wykładniku wymiernym, na
1 1
3
przykład 4 = 42, 8 = 83 . Zapisz dane wyrażenie w postaci jednej potęgi:
1
-
3 4
2 �" 8 �" 16
-1 3
.
1
�" 20 �" 2
( ) ( )
2
Potęgi i pierwiastki zapisujemy w postaci potęg o podstawie 2 i korzystamy
5
z własności potęgowania.
1
1 1 1
- 1 5
-1+1
3 4
2 �" 8 �" 16
22 �" 2-1 �" 21 22 22 - 2
== = = =
22 2-2
3 3 5
-1 3
1+0+
1
2
�" 20 �" 2
2 �" 20 �" 22 2 22
( ) ( )
2
29
Procenty
Grupa A
Sprzedawca podwyższył cenę pewnego artykułu o 10%, a następnie jeszcze o 5%.
O ile procent powinien obniżyć cenę tego artykułu, aby była ona równa cenie
sprzed podwyżek?
x  cena artykułu przed podwyżką
5
x + 10% � x = 1,1x  cena artykułu po pierwszej podwyżce
1,1x + 5% � 1,1x = 1,155x  cena artykułu po drugiej podwyżce
y  różnica cen
Aby obliczyć różnicę cen, układamy równanie:
1,155x  y � 1,155x = x
1,155x(1  y) = x
1 - y =1
1,155
1000
y = 1 -
1155
155 155
y =�"100% H" 13,4%
1155 1155
Sprzedawca powinien obniżyć cenę o około 13,4%.
Grupa B
Sprzedawca podwyższył cenę pewnego artykułu o 5%, a następnie jeszcze o 10%.
O ile procent powinien obniżyć cenę tego artykułu, aby była ona równa cenie
sprzed podwyżek?
x  cena artykułu przed podwyżką
5
x + 5% � x = 1,05x  cena artykułu po pierwszej podwyżce
1,05x + 10% � 1,05x = 1,155x  cena artykułu po drugiej podwyżce
y  różnica cen
Aby obliczyć różnicę cen, układamy równanie:
1,155x  y � 1,155x = x
1,155x(1  y) = x
1 - y =1
1,155
1000
y = 1 -
1155
155 155
y =�"100% H" 13,4%
1155 1155
Sprzedawca powinien obniżyć cenę o około 13,4%.
30
Wyrażenia aIgebraiczne
Grupa A
x2 - x
Czy wyrażenie jest równe wyrażeniu x  1? Odpowiedz
uzasadnij.
x
x2 - x
Wyrażenia te nie są równe, gdyż dziedziną wyrażenia jest zbiór
5
x
R\{0}, natomiast dziedziną wyrażenia x  1 jest zbiór R.
Grupa B
x3 - x2
Czy wyrażenie jest równe wyrażeniu x  1? Odpowiedz
uzasadnij.
x2
x3 - x2
Wyrażenia te nie są równe, gdyż dziedziną wyrażenia jest zbiór
5
x2
R\{0}, natomiast dziedziną wyrażenia x  1 jest zbiór R.
WieIomiany
Grupa A
Dla jakich wartości x i y wartość wielomianu x + y  2 jest większa od 4?
Układamy nierówność x + y  2 > 4, a następnie określamy warunek, jaki
5
powinna spełniać zmienna y w zależności od x. Otrzymujemy y >  x + 6. Dla
każdej pary (x, y), gdy y >  x + 6 wartość wielomianu x + y  2 jest większa od 4.
Na przykład (8,  1), bo  1 >  8 + 6.
Grupa B
Dla jakich wartości x i y wartość wielomianu x + y  2 jest mniejsza od 5?
Układamy nierówność x + y  2 < 5, a następnie określamy warunek, jaki
5
powinna spełniać zmienna y w zależności od x. Otrzymujemy y <  x + 7. Dla
każdej pary (x, y), gdy y <  x + 7, wartość wielomianu x + y  2 jest większa od 5.
Na przykład (7,  2), bo  2 <  7 + 7.
31
Mnożenie wieIomianów
Grupa A
Zaproponuj interpretację geometryczną
iloczynu (a + b) (b + c) (a + c).
Należy narysować prostopadłościan,
5
którego długości krawędzi są równe a + b,
b + c i a + c, następnie dokonać podziału
na odpowiednie prostopadłościany.
Grupa B
Zaproponuj interpretację geometryczną iloczynu (a + b) (a + c) (a + d).
Postępujemy analogicznie jak w rozwiązaniu zadania w grupie A.
Równania równoważne
Grupa A
Podaj przykład równania, którego rozwiązaniami są liczby  4 i 2.
W rozwiązaniu zadania możemy wykorzystać własność iloczynu, wówczas
5
równanie (x + 4) (x  2) = 0 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami są
liczby  4 i 2. Możemy również wykorzystać własności wartości bezwzględnej,
wówczas równanie x + 1 = 3 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami
są liczby  4 i 2.
Grupa B
Podaj przykład równania, którego rozwiązaniami są liczby 2 i  3.
W rozwiązaniu zadania możemy wykorzystać własność iloczynu, wówczas
5
równanie (x  2) (x + 3) = 0 jest przykładem równania, którego rozwiązaniami są
liczby 2 i  3. Możemy również wykorzystać własności wartości bezwzględnej,
1
wówczas równanie x + = 2,5 jest przykładem równania, którego rozwiąza-
2
niami są liczby 2 i  3.
32
Rozwiązywanie równań
Grupa A
Znajdz
wszystkie liczby naturalne będące rozwiązaniem danego równania.
1 1
3x - + = 0
(x )(x )
2 3
Korzystając z własności iloczynu, otrzymujemy:
5
1 1
3x = 0 lub x - = 0 lub x + = 0
2 3
1 1
skąd x = 0 lub x = lub x = -
2 3
Spośród liczb będących rozwiązaniami równania tylko liczba x = 0 jest liczbą
naturalną, tak więc równanie spełnia tylko jedna liczba naturalna i jest nią 0.
Grupa B
Znajdz
wszystkie liczby naturalne będące rozwiązaniem danego równania.
1 1
4 x - 1 + - = 0
( )
(x )(x )
2 3
Korzystając z własności iloczynu, otrzymujemy:
5
1 1
x  1 = 0 lub x + = 0 lub x - = 0
2 3
1 1
skąd x = 1 lub x = - lub x =
2 3
Spośród liczb będących rozwiązaniami równania tylko liczba x = 1 jest liczbą
naturalną, tak więc równanie spełnia tylko jedna liczba naturalna i jest nią 1.
Rozwiązywanie równań  zadania tekstowe
Grupa A
Znajdz
liczby całkowite spełniające dane równanie 3x  2 = 5.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, równanie 3x  2 = 5 mo-
5
żemy zapisać:
2 2
3x  2 = 5, gdy x e" lub  (3x  2) = 5, gdy x <
3 3
3x =7 lub  3x =3
7
x =
lub x = 1
3
33
Spośród otrzymanych rozwiązań liczbą całkowitą jest  1 i jest to jedyna liczba
całkowita będąca rozwiązaniem równania 3x  2 =5.
Grupa B
Znajdz
liczby całkowite spełniające równanie 7x + 2 = 9.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, równanie 7x + 2 = 9 mo-
5
żemy zapisać:
2 2
7x + 2 = 9, gdy x e" - <
lub  (7x + 2) = 9, gdy x -
7 7
7x =7 lub  7x =11
x = -11
x =1 lub
7
Spośród otrzymanych rozwiązań liczbą całkowitą jest 1 i jest to jedyna liczba
całkowita będąca rozwiązaniem równania 7x +2 =9.
NierównoS
ci
Grupa A
Podaj przykład nierówności, do której zbioru rozwiązań należy liczba 1, nato-
miast liczby 0 i 3 nie należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.
Przykładem nierówności, do której zbioru rozwiązań należy liczba 1, a nie
5
należą liczby 0 i 3, jest nierówność x(x  3) <0.
Grupa B
Podaj przykład nierówności, do której zbioru rozwiązań należą liczby 3 i 6, nato-
miast liczba 4 nie należy do zbioru rozwiązań tej nierówności.
Przykładem nierówności, do której zbioru rozwiązań należą liczby 3 i 6,
5
a nie należy liczba 4, jest nierówność (x  3,5)(x  5,5) >0.
Rozwiązywanie nierównoS
ci
Grupa A
Znajdz
taką liczbę a, dla której zbiór rozwiązań nierówności 5x  7d" ax jest
zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.
Przekształcamy nierówność 5x  7d" ax. Otrzymujemy wówczas kolejno:
5
5x  ax d"7 (5  a)x d"7
34
Aby zbiorem rozwiązań nierówności 5x  7d" ax był zbiór wszystkich liczb rze-
czywistych, również zbiorem rozwiązań nierówności (5  a)x d"7 musi być
zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a to oznacza, że a =5.
Grupa B
Znajdz
taką liczbę a, dla której zbiór rozwiązań nierówności ax d" 4x  1 nie ma
żadnego elementu.
Przekształcamy nierówność ax d" 4x  1. Otrzymujemy wówczas kolejno:
5
ax  4x d"  1 (a 4)x d"  1
Aby do zbioru rozwiązań nierówności ax d" 4x  1 nie należał żaden element,
również zbiór rozwiązań nierówności (a 4)x d"  1 musi być zbiorem pustym,
a to oznacza, że a = 4. Otrzymujemy wówczas 0 d"  1.
WłasnoS
ci trójkąta. Rodzaje trójkątów
Grupa A
W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 4, wybrano pięć punktów.
Wykaż, że wśród tych punktów istnieją dwa, których odległość jest nie większa
niż 2.
Rysujemy trójkąt równoboczny i przez środki boków
5
prowadzimy odpowiednio równoległe. Otrzymaliśmy cztery
trójkąty równoboczne, których długość boku jest rów-
na 2, natomiast wysokość ma długość mniejszą niż 2. Trzy
punkty możemy umieścić tak, że odległość pomiędzy każ-
dymi dwoma z nich jest równa 4. Jakkolwiek wybierzemy
teraz dwa pozostałe punkty, to zawsze wskażemy takie dwa
punkty, których odległość jest nie większa od 2.
Grupa B
W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 6, wybrano pięć punktów.
Wykaż, że wśród tych punktów istnieją dwa, których odległość jest nie większa
niż 3.
Rozwiązanie zadania analogiczne jak dla grupy A. Zadanie to można uogól-
5
nić: W trójkącie równobocznym, którego bok ma długość a, wybrano pięć punk-
tów. Wykaż, że wśród tych punktów istnieją dwa, których odległość jest nie
a
większa niż .
2
35
Odcinki w trójkącie
Grupa A
Czy wysokość trójkąta, którego boki mają długości 3 dm, 7 dm i 5 dm, może
mieć długość 13 dm?
Wysokość trójkąta nie może mieć długości 13 dm, gdyż musi być ona mniej-
5
sza od sumy długości każdych dwóch boków trójkąta.
Grupa B
Czy wysokość trójkąta, którego boki mają długości 8 dm, 10 dm i 5 dm, może
mieć długość 13 dm?
Wysokość trójkąta nie może mieć długości 13 dm, gdyż musi być ona mniej-
5
sza od sumy długości każdych dwóch boków trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie do niego odwrotne
Podaj długość odcinka OD.
Długości odcinków OK, OA, OD, OC są wyrażone liczbami odpowiadający-
5
mi kolejnym potęgom liczby 2, a więc odpowiednio są one równe: 2, 4, 8, 16.
Rozwiązanie zadania dla grupy B jest analogiczne.
36
OCENIANIE
Funkcje i rodzaje oceny
Ocena  sąd wartoS
ciujący, każda wypowiedx
mająca
postać  to jest wartoS
ciowe lub  to nie jest wartoS
ciowe ,
która wyraża dodatnie lub ujemne ustosunkowanie się do
przedmiotu ocenianego (stanu rzeczy, zdarzenia, innej
osoby itp.).
Nowa encyklopedia powszechna PWN, 1996 r.
W procesie nauczania uczenia się bardzo ważną rolę odgrywa ocenia-
nie. Ocena w praktyce szkolnej to nie tylko wystawianie stopnia według
ustalonej skali ocen, ale także każde wyrażenie opinii przez nauczyciela,
kolegów lub też ucznia o wykonanym zadaniu.
W praktyce szkolnej możemy wyróżnić dwie główne funkcje oceny:
" klasyfikacyjną, która umożliwia:
 określenie poziomu opanowanej wiedzy i zdobytych umiejętności
w dłuższym okresie,
 zróżnicowanie i selekcję uczniów w związku z wyborem dalszej
drogi kształcenia,
 porównanie efektywności programów nauczania realizowanych
w różnych klasach,
 porównanie osiągnięć uczniów (także z określonymi standardami),
" diagnostyczną, która jest pomocna przy:
 opisie rozwoju umiejętności ucznia,
 określaniu indywidualnych uzdolnień i zainteresowań ucznia,
 określaniu efektywności stosowanych metod nauczania,
37
 przekazywaniu informacji zwrotnej o przebiegu procesu naucza-
nia uczenia się zarówno dla ucznia, jak i dla rodziców,
 uświadomieniu rodzicom i uczniom, że są współodpowiedzialni za
proces uczenia się.
Mając na uwadze funkcje oceny, możemy mówić o ocenianiu sumują-
cym i ocenianiu wspomagającym. Celem oceniania sumującego jest doko-
nanie selekcji uczniów oraz śledzenie ilościowych i jakościowych zmian
w funkcjonowaniu systemu szkolnego. Ma ono charakter okresowy, a do-
minującymi metodami są sprawdziany pisemne opracowane na bazie obo-
wiązujących standardów. Ocenianie wspomagające jest nakierowane na
badanie rozwoju ucznia i ma charakter ciągły. Stosujemy w tym przypad-
ku różnorodne metody, na przykład różne formy prac pisemnych, rozmo-
wę, obserwację.
Na podstawie omówionych funkcji oceny i rodzajów oceny możemy
określić, że we współczesnej szkole ocenianie powinno:
 być procesem gromadzenia informacji,
 wpływać na ustalenie sposobów zbierania informacji, ich przetwa-
rzania i komunikowania wyników,
 być integralnym składnikiem procesu nauczania uczenia się uwzględ-
nionym przy planowaniu procesu dydaktycznego,
 diagnozować rozwój ucznia na poszczególnych etapach kształcenia,
 podnosić motywację uczniów do uczenia się,
 ułatwić ewaluację procesu nauczania uczenia się.
Gromadzenie informacji, ich przetwarzanie
i komunikowanie wyników
Gromadzenie informacji jest uzależnione od funkcji, jaką ma spełniać
ocena. Inne informacje są potrzebne, gdy ocena ma spełniać funkcję kla-
syfikacyjną, a inne, gdy ocena ma spełniać funkcję diagnostyczną. Przy
funkcji klasyfikacyjnej zebrane informacje powinny ułatwić wystawienie
oceny semestralnej oraz oceny rocznej. Kryteria wystawiania ocen po-
winny być więc ściśle powiązane z określonymi standardami. Powinny
być również dostosowane do szkolnego systemu oceniania. Dążąc do
zobiektywizowania oceny, należałoby ustalić na podstawie standardów
zakresy wymagań dla poszczególnych ocen. Wymagania te powinny
uwzględniać jakość wykonanej pracy, a nie ilość. Duża grupa uczniów
38
na podstawie nabytej wiedzy i umiejętności rozwiązuje zadania podob-
nych typów do omówionych lub rozwiązanych w czasie zajęć, natomiast
nie potrafi korzystać ze zdobytej wiedzy w nowych sytuacjach. Kryteria
oceny powinny być więc tak skonstruowane, aby uczeń, który umie ko-
rzystać ze swojej wiedzy w nowych sytuacjach, był wyżej oceniany niż
uczeń, który potrafi działać tylko w sytuacjach typowych lub opiera się na
wypracowanych algorytmach. Jednym z najbardziej rozpowszechnionych
w tej chwili sposobów wystawiania stopnia za wykonaną pracę pisemną
jest procentowe uzależnienie stopnia od uzyskanego wyniku. W tym przy-
padku o ocenie decyduje ilość wykonanej pracy, a w mniejszym zakresie
jej jakość.
Ocena klasyfikacyjna określa poziom wiedzy i umiejętności ucznia,
natomiast niewiele można na jej podstawie powiedzieć o rozwoju ucznia
w różnych obszarach aktywności szkolnej. Aby zdefiniować rozwój
ucznia, należy w większym zakresie wykorzystać funkcję diagnostyczną
oceny. Wymaga to stosowania innych narzędzi gromadzenia informacji.
Jedną z takich form jest arkusz obserwacji ucznia. Szczególnie przydatny
jest przy dokonywaniu oceny umiejętności kluczowych.
Umiejętności kluczowe, opracowane przez uczestników programu
Kreator, uwzględniają umiejętności, które są wymagane od osób poszu-
kujących pracy. W dotychczasowej praktyce szkolnej umiejętności te
były oceniane w niewielkim zakresie, ale nie dokonywano analizy, jak się
one rozwijały w odniesieniu do poszczególnych uczniów w procesie dy-
daktycznym.
W programie Kreator sformułowano następujące umiejętności klu-
czowe:
 planowanie, organizowanie i ocenianie własnego uczenia się,
 skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
 efektywne współdziałanie w zespole,
 rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
 sprawne posługiwanie się komputerem.
Na przykładzie umiejętności kluczowej efektywne współdziałanie w ze-
spole pokażemy sposób gromadzenia informacji na arkuszu obserwacji
ucznia i ich interpretację.
Konstruując arkusz obserwacji ucznia, określamy obszary aktywności,
które będą podlegały ocenie. Wybieramy kilka takich obszarów, które
naszym zdaniem są najistotniejsze. W arkuszu obserwacji pozostawiamy
miejsce na ewentualne dopisanie tych obszarów, które umożliwią dokład-
39
Arkusz obserwacji ucznia
.........................................................................................
(Imię i nazwisko klasa)
Spełnianie różnych funkcji
w zespole
Współdziałanie w zespole w celu
osiągnięcia zaplanowanego efektu
Komunikowanie się w zespole
Prezentacja wyników pracy zespołu
Efekt końcowy pracy zespołu
Uwagi
niejsze zdiagnozowanie umiejętności ucznia. Przewidujemy też miejsce
na dodatkowe uwagi. Należy dokładnie przemyśleć, jaki rodzaj skali zo-
stanie zastosowany do prowadzenia obserwacji oraz w jakim okresie i jak
często będziemy notować nasze spostrzeżenia. Proponujemy zastosowa-
nie skali ciągłej, która umożliwi zarówno porównywanie umiejętności
poszczególnych uczniów, jak również określenie postępów w zakresie
obszarów przypisanych danej umiejętności. Przewidujemy, że propono-
wany arkusz obserwacji ucznia będzie obowiązywał przez cały cykl
kształcenia, a więc w klasach I III. Pierwsze spostrzeżenia nauczyciel
wpisuje przy okazji zorganizowania pracy w grupie, następne spostrzeże-
nia, stosując różnorodne symbole, przed końcem każdego semestru.
40
Stosując skalę ciągłą, nasze spostrzeżenia notujemy w ten sposób, że
większa swoboda działania w określonym obszarze odpowiada symbolo-
wi umieszczonemu bliżej prawego końca skali. Na przykładach pokaże-
my interpretację naszych spostrzeżeń.
A

B

C

Na podstawie dokonanej obserwacji nauczyciel może w przedstawio-
nym przypadku stwierdzić, że najlepiej zaprezentował się uczeń B, nato-
miast najsłabiej uczeń C.
Widzimy więc, że taka konstrukcja arkusza obserwacji nie musi być po-
wiązana ze stopniem szkolnym. Umożliwia to porównanie umiejętności
poszczególnych uczniów, bez konieczności stawiania konkretnego stop-
nia. Mamy takie sytuacje, że uczniowie o różniących się umiejętnościach
spełniają kryterium tej samej oceny. Często zdarza się, że nauczyciele
stwierdzają na przykład: Zbyszek umie na słabą czwórkę, a natomiast
Ewa  na mocną.
Prowadzona obserwacja w całym cyklu kształcenia umożliwia scha-
rakteryzowanie ucznia w różnych obszarach aktywności. I znów na przy-
kładzie przedstawimy sposób zinterpretowania zapisanych spostrzeżeń.
A


B



C


Na podstawie poczynionych spostrzeżeń możemy stwierdzić, że uczeń A
rozwijał się równomierne. Pomimo słabszej oceny umiejętności na począt-
ku cyklu kształcenia, w porównaniu z uczniem B, jego ocena końcowa jest
41
wyższa. Najniższą ocenę na początku cyklu kształcenia otrzymał uczeń C,
którego rozwój przebiegał nierównomiernie. Znaczne przyśpieszenie roz-
woju nastąpiło po dokonaniu czwartej oceny, a więc na przełomie klasy II
i III. W efekcie jego ocena na zakończenie cyklu kształcenia jest wyższa
niż ocena ucznia B, który pomimo najlepszej oceny na początku cyklu
kształcenia, na jego zakończenie został oceniony najniżej. Obserwujemy
systematyczne postępy tego ucznia, ale przebiegające w sposób bardzo
powolny.
Proponowany arkusz obserwacji możemy wykorzystać do oceny pracy
zespołu w czasie lekcji, jak również do oceny poszczególnych członków
grupy. Wówczas jednak należy zastosować inną zasadę notowania obser-
wacji. Najczęściej korzystamy wtedy ze skali dyskretnej.
Arkusz obserwacji pracy w grupie
.........................................................................................
Grupa (uczeń) klasa
Spełnianie różnych funkcji w zespole
Współdziałanie w zespole w celu osiągnięcia
zaplanowanego efektu
Komunikowanie się w zespole
Prezentacja wyników pracy zespołu
Jedną z możliwych do zastosowania jest skala następująca:
W  Uczeń potrafi samodzielnie działać w zakresie przydzielonych za-
dań, potrafi również wspomóc innych uczestników zespołu.
D  Uczeń wykonuje pracę samodzielnie w prostszych sytuacjach, w trud-
niejszych potrafi wykonać zadanie po uzyskaniu wsparcia od uczest-
ników zespołu.
42
P  Uczeń wymaga ciągłego wspierania w działaniu przez innych uczest-
ników zespołu, w małym zakresie działa samodzielnie.
Uczeń, w którego ocenie przeważa W i nie występuje ocena P, może
otrzymać ocenę bardzo dobrą. Gdy uczeń ten wykaże się ciekawymi i ory-
ginalnymi rozwiązaniami, może otrzymać ocenę celującą. Uczeń, w któ-
rego ocenie przeważa D, może otrzymać ocenę dobrą. Natomiast uczeń,
w którego ocenie przeważa P, może otrzymać ocenę dostateczną. W oce-
nianiu istotną sprawę odgrywa znajomość kryteriów oceniania. Należy
więc przed przystąpieniem do pracy szczegółowo je omówić.
Zastrzeżenia może budzić zastosowanie ,,krótkiej skali oceniania.
Większość nauczycieli ma przekonanie, że dłuższa skala ocen jest bar-
dziej obiektywna. Przekonanie takie jest błędne, albowiem długa skala
ocen lepiej różnicuje uczniów, ale nie prowadzi do zwiększenia obiekty-
wizmu oceny.
PIanowanie procesu dydaktycznego
Planując proces dydaktyczny, należy pamiętać o roli, jaką spełnia oce-
na pracy ucznia. Powinniśmy więc dokładnie zaplanować sposób, w jaki
będziemy dokonywali oceny uczniów, jak często będziemy to robić oraz
jaki zakres materiału będzie oceniany. Dla każdego sprawdzianu powinny
być określone cele i do nich dostosowane odpowiednie zadania. Planując
sprawdzian, powinniśmy ustalić kryteria oceny, które powinny wynikać
ze szkolnego systemu oceniania. Planując pracę, powinniśmy uwzględnić
różne sposoby zbierania informacji. Sprawdziany okresowe pozwalają na
dokonanie oceny, w jakiej korelacji są umiejętności uczniów z określony-
mi wymaganiami w standardach. Ocena taka daje nam mało informacji
o samodzielnym działaniu ucznia w różnych sytuacjach. O wiele więcej
informacji uzyskamy, obserwując ucznia w czasie pracy na lekcji. Planu-
jąc więc swoją pracę, należy uwzględnić uzyskiwanie informacji z róż-
nych z
ródeł i zadbać o ich zrównoważenie.
Zebrane w procesie oceniania informacje umożliwiają:
 określenie potrzeb klasy,
 określenie indywidualnych potrzeb uczniów,
 ocenę stosowanych metod i form pracy,
 porównanie osiągnięć uczniów ze standardami,
 ocenę realizowanego programu nauczania.
43
Diagnozowanie rozwoju ucznia
Diagnozowanie rozwoju ucznia w procesie dydaktycznym wiąże się
nierozerwalnie z procesem oceniania. Chcąc w sposób prawidłowy zdiag-
nozować rozwój ucznia, powinniśmy pamiętać, aby w czasie przeprowa-
dzanych obserwacji zwrócić uwagę na:
 sposób, w jaki uczniowie rozumieją pojęcia, stosowane procedury
i algorytmy,
 jakie treści nie sprawiają uczniom trudności, a które są szczególnie
dla nich trudne,
 jakie trudności występują przy rozwiązywaniu zadań, problemów
i różnych ćwiczeń,
 co przeszkadza w przyswajaniu nowych pojęć,
 co powoduje trudności w stosowaniu zdobytej wiedzy w nowych sy-
tuacjach.
Interesujące nas informacje uzyskamy przez obserwację, rozmowy
z uczniami, w których będą wyjaśniać stosowane przez siebie procedury
oraz określą występujące trudności, prace pisemne skoncentrowane wo-
kół określonego zagadnienia, sprawdziany uwzględniające niewielki za-
kres materiału.
Dokładna analiza zebranych informacji pozwoli na określenie tempa
rozwoju uczniów, ich zainteresowań oraz umożliwi ukierunkowanie
uczniów przed wyborem dalszej nauki na nowym etapie kształcenia.
Budzenie motywacji uczniów do uczenia się
W procesie dydaktycznym istotne jest skorzystanie z motywacyjnej
roli oceny. Należy eksponować to, co uczeń już umie, a nie ograniczać się
do stwierdzenia, czego uczeń nie potrafi.
Tworzenie pozytywnego obrazu ucznia sprzyja podejmowaniu nowych
wyzwań. Uczniowie łatwiej radzą sobie wówczas z niepowodzeniami,
starając się przez zwiększenie wysiłku je pokonać. Pozytywny obraz po-
winien powstawać nie tylko w wyniku oceny dokonywanej przez nauczy-
ciela, ale w większym stopniu przez samoocenę ucznia.
Uczniowie, zresztą podobnie jak i dorośli, bardzo często  dokonując
samooceny  zaniżają swoje oceny. Równie niebezpieczne jest zawyżanie
oceny, dlatego też należy uczniów wdrażać do dokonywania samooceny
44
w procesie nauczania uczenia się. Porównywanie oceny nauczyciela i sa-
mooceny ucznia umożliwi obiektywizowanie jej w miarę upływu czasu.
Pragnąc wykorzystać ocenę jako element motywowania ucznia do pra-
cy, powinniśmy pamiętać, aby wskazać to, co jest zrobione dobrze, a co
z
le. W tym drugim przypadku powinniśmy podać sposoby usunięcia bra-
ków tak, aby efekty pracy były lepsze.
EwaIuacja procesu nauczania uczenia się
EwaIuacja (fr. �valuation)
 okreS
lenie wartoS
ci.
Słownik wyrazów obcych PWN, 1995 r.
Z definicji słowa ,,ewaluacja wynika konieczność powiązania ewalu-
acji z procesem zbierania, analizą, interpretacją, wartościowaniem da-
nych dotyczących określonej działalności. Prof. B. Niemierko zdefinio-
wał pojęcie ewaluacji dydaktycznej jako systematyczne zbieranie infor-
macji o warunkach, przebiegu i wynikach działań dydaktycznych w celu
ulepszenia tych działań lub podjęcie decyzji o ich prowadzeniu.
Jednym z elementów umożliwiających ewaluację jest proces ocenia-
nia, w którym nauczyciel uzyska informacje pozwalające ocenić efektyw-
ność pracy, uwzględniając: program nauczania, standardy, możliwości kla-
sy, stosowane metody i formy pracy oraz wykorzystywane środki dydak-
tyczne. W procesie oceniania powinniśmy uzyskać informację, jakie ele-
menty są efektywne, a które należy zmienić, planując kolejne etapy pracy.
Analizę taką możemy przeprowadzić po dokonaniu oceny sumującej.
Bogactwo informacji pozwala wtedy na porównanie stosowanego stylu
uczenia i osiągnięć uczniów ze standardami oraz efektami pracy innych
nauczycieli.
45
LEKCJA PO LEKCJI
Lekcje matematyki nie muszą być nudne. Przynajmniej od czasu do
czasu można je urozmaicić. Czasem trzeba pozwolić działać uczniom.
Można zorganizować na przykład zajęcia w parach (można wykorzystać
jako karty pracy Ćwiczenia sprawdzające) lub w większych grupach.
Doskonałą okazją do pracy w grupach są lekcje powtórzeniowe, któ-
rych celem jest utrwalenie i usystematyzowanie przerobionego materiału.
Praca w grupach umożliwia kształtowanie umiejętności kluczowych
uczniów, uwzględnionych w podstawie programowej takich, jak:
 efektywne współdziałanie w grupie,
 skuteczne komunikowanie się w różnych sytuacjach,
 rozwiązywanie problemów w twórczy sposób,
 organizowanie, planowanie i ocenianie procesu uczenia się.
Dostosowując przygotowany przez nas rozkład materiału do potrzeb
swojej klasy, nauczyciel może zasygnalizować w rubryce Uwagi o reali-
zacji, że na danej lekcji uczniowie będą pracowali w grupach i wpisać na
przykład ,,Na Zielonej Planecie (temat zajęć), praca w grupach: 45 min.
Jeśli nauczyciel przygotowuje konspekt zajęć, może umieścić w nim do-
datkowo cele i umiejętności związane z pracą w grupie. W rozkładzie
W czasie zajęć uczniowie mogą pracować stale w tych samych
grupach.
Można uczniów dobierać w sposób losowy, na przykład uczniowie
losują numer grupy, w której będą pracować.
Można członków grupy dobierać według okreS
lonego klucza:
według wzrostu, koloru oczu czy daty urodzenia.
Uczniowie mogą również sami
proponować skład grup.
47
materiału nie podaliśmy propozycji dotyczących sposobu pracy na lek-
cjach, nie chcąc ograniczać inwencji nauczyciela. Aby jednak zachęcić do
organizowania pracy w grupie, w dalszej części poradnika proponujemy
dwa scenariusze takich zajęć. Scenariusze te można wykorzystać bez
zmian lub zmodyfikować, w zależności do potrzeb i poziomu klasy.
Urozmaiceniem lekcji z punktu widzenia
ucznia nie jest na pewno
niespodziewany sprawdzian!
Praca w grupach to nie jedyny sposób na urozmaicenie zajęć. W klasie
pierwszej gimnazjum realizację materiału rozpoczynamy od geometrii. Są
to z reguły zagadnienia dobrze uczniom znane, powtórzeniowe. Są więc
warunki do przygotowania niebanalnych lekcji.
Na lekcji poświęconej na przykład wielokątom można wykorzystać
karty dydaktyczne (rozpoznawanie wielokątów). Omawiając zagadnienia
związane z okręgiem i kołem, warto zorganizować wycieczkę do muzeum
sztuki ludowej i poszukać motywów okręgów i kół w twórczości ludowej
(ścieżka edukacyjna  edukacja regionalna). Następnie uczniowie mogą
samodzielnie zaprojektować takie motywy zdobnicze. Jeśli nie mamy
możliwości pójścia do muzeum, poprośmy uczniów o przyniesienie wy-
tworów sztuki ludowej na zajęcia.
Na lekcjach związanych z obliczaniem długości odcinka (skala) lub
poświęconych położeniu prostych na płaszczyz
nie możemy korzystać
z planu i mapy. Film poświęcony różnym stylom w architekturze (lub kie-
runkom w malarstwie) da uczniom pogląd na stosowanie motywów geo-
metrycznych w sztuce i zmianę ich roli na przestrzeni wieków.
Z kolei tematyka związana z liczbami rzeczywistymi zachęca do ćwi-
czenia umiejętności czytania tekstów matematycznych, prezentowania sa-
modzielnie zdobytych wiadomości (referat), wykorzystania takich pomocy
jak termometr (liczby ujemne), domino liczbowe (zapisywanie liczb na róż-
ne sposoby), integracji wiedzy z różnych dziedzin (czy można porówny-
wać wielkości zapisane w km/h z wielkościami zapisanymi na przykład
w N). Można też zastosować na lekcjach dramę (Alicja w Krainie Cza-
rów), burzę mózgów (świat bez liczb ujemnych), linię czasu (najsłynniej-
sze wynalazki naszych czasów  porównywanie liczb) i inne metody akty-
wizujące proces nauczania.
48
JeS
li uczniowie zaczynają się nudzić lub za oknem
pada deszcz i lada chwila ktoS
zaS
nie, opowiedz
anegdotę albo matematyczny dowcip.
Warto mieć taką niespodziankę
w zanadrzu!
Potęgi to wdzięczne pole do włączenia zagadnień ekologicznych (edu-
kacja ekologiczna) i astronomicznych do pracy (zapisywanie liczb z uży-
ciem potęg liczby 10, mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podsta-
wach). Dajmy też możliwość naszym uczniom zdobywania informacji
z różnych z
ródeł (encyklopedie, prasa codzienna, Internet). Nauka o licz-
bach to niemal cała historia matematyki  opowiedzmy o niej, ukażmy
piękno i niezwykłość odkryć matematycznych.
Nie bój się stosować na lekcjach
aktywizujących metod nauczania.
Nawet jeS
li będzie trochę gwaru i Adam rozsypie piasek, chcąc
policzyć, ileż to ziarenek piasku się mieS
ci w cm3, to i tak
uczenie przez przeżywanie i doS
wiadczenie
da lepsze efekty niż bierne
słuchanie.
Wykonując obliczenia z żądaną dokładnością, nie zapomnijmy o tym,
aby uczniowie samodzielnie projektowali działania, korzystając z nowych
technologii informacji i przetwarzania danych (kalkulator, komputer).
Przy okazji przybliżeń pokażmy uczniom pułapki związane ze zbyt
małym lub zbyt dużym rzędem przybliżeń (gra ,,Czy rakieta doleci na
Księżyc ).
Procenty to zagadnienia trudne i ...nudne. Postarajmy się, by uczniowie
je polubili. Można w tym celu zorganizować na przykład grę dydaktyczną
,,Mieszkańcy i inwestorzy .
49
Mieszkańcy i inwestorzy
Gra dydaktyczna
Dzielimy uczniów na dwie grupy  jedni to inwestorzy,
drudzy mieszkańcy. W pewnym mieS
cie (dzielnicy, osie-
dlu) inwestorzy chcą wybudować na przykład fabrykę kwa-
su siarkowego. Przedstawiają korzyS
ci dla mieszkańców,
natomiast mieszkańcy usiłują udowodnić, że inwestycja ta
przyniesie więcej szkód dla miasteczka (na przykład eko-
logicznych) niż korzyS
ci.
Niezależny ekspert (nauczyciel lub wybrana grupa
uczniów) ma rozstrzygnąć, kto: mieszkańcy czy inwesto-
rzy w bardziej przekonujący sposób przedstawili swoje
argumenty i ma zadecydować, czy fabryka zostanie wybu-
dowana w tym mieS
cie (dzielnicy, osiedlu).
Obie grupy  inwestorzy i mieszkańcy powinny naj-
pierw zebrać odpowiednie dane (na przykład przez roz-
mowy z autentycznymi mieszkańcami miasta, informacje
zamieszczone w prasie, pomiary i obliczenia w terenie),
opracować je i przedstawić w jak najatrakcyjniejszej for-
mie. Na debatę można zaprosić ekspertów z urzędu mia-
sta, władz gminnych, ochrony S
rodowiska itp.
50
Rozpoczynając realizację zagadnień związanych z wyrażeniami alge-
braicznymi, równaniami i nierównościami, warto pokazać kilka przykła-
dów (m.in. z fizyki) na to, że czasami obliczanie wartości wyrażeń przy
niewłaściwych danych może prowadzić do absurdu (na przykład gdy
otrzymamy, że prędkość ciała wyraża się liczbą ujemną). Kształcimy
w ten sposób nawyk sprawdzania i weryfikowania wyników.
Możemy doskonalić też umiejętności związane z niewerbalnym sposo-
bem porozumiewania się (lekcje bez słów) i rozwiązywaniem nietypo-
wych problemów w określonym czasie (konkursy, rozwiązywanie zadań
tekstowych i konkursowych).
Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem równań i nierów-
ności to możliwość wykorzystania wiedzy i umiejętności matematycznych
do opisu konkretnych zagadnień z otaczającej nas rzeczywistości. Jest to
też dobra okazja do kształcenia umiejętności planowania i organizowania
własnej pracy (na przykład rozwiązywanie zadań wielopoziomowych).
Zadania wielopoziomowe i otwarte to nie pułapka na nauczy-
ciela, ale możliwoS
ć porozmawiania z uczniami, dania im
okazji do zaprezentowania swojej wiedzy i zaintere-
sowań. JeS
li nie zawsze w porę wiemy,
czy uczeń ma rację, nie bójmy się
do tego przyznać.
Związki miarowe w trójkącie to dział, który można rozpocząć od cie-
kawostek związanych z trójkątem bermudzkim. Zainteresuje to szczegól-
nie chłopców, a więc im można powierzyć przygotowanie pierwszej lekcji
(przy okazji będą oni mieli możliwość ćwiczenia umiejętności korzysta-
nia z nietypowych z
ródeł informacji). W niektórych miastach odbywają
się festiwale i sesje poświęcone zjawiskom niezwykłym i paranormal-
nym. Istnieją też stowarzyszenia skupiające ludzi o takich zainteresowa-
niach. Może warto kogoś z nich zaprosić na lekcję.
Jedna z lekcji rozpoczynających lub podsumowujących może być oparta
na motywach Trójkątnej bajki Danuty Wawiłow. Ten wiersz może być
podstawą lekcji zwłaszcza w klasach, w których uczniowie lubią rysować
i mają wyobraz
nię geometryczną.
51
JeS
li w okolicy szkoły wyląduje
UFO, nie przegap okazji.
Zielony stworek będzie znakomitą
atrakcją dla uczniów, choćby
był to przebrany Tomek
Malinowski z Ia.
Razem z nauczycielem historii można zorganizować ,,Dzień z życia
pitagorejczyka . Uczniowie mogą się przebrać w stroje z epoki, a my
spróbujmy tak nauczać, jak się to działo za czasów Pitagorasa. Jeśli się
nam uda namówić do udziału w zabawie wszystkich nauczycieli uczących
w tym dniu w danej klasie, tym lepiej, uczniowie mogą wtedy się poczuć
naprawdę miłośnikami wiedzy z innej epoki.
Jako podsumowanie wiadomości i umiejętności związanych z trójką-
tem proponujemy rozwiązywanie zadań w grupach (na przykład w formie
turnieju). Zadania wcześniej przygotowuje grupa dla grupy (treści zadań
powinny grupy w zasadzie wcześniej skonsultować z nauczycielem).
Można w sposób szczególny nagrodzić grupę, która przygotowała najcie-
kawsze zadania. Jeśli treść zadań nie była wcześniej uzgodniona z na-
uczycielem, grupa, która ułoży niezrozumiałe bądz
zbyt trudne zadanie,
otrzymuje punkty karne.
Uczniowie lubią być nagradzani. Nagrodą nie zawsze musi być
stopień (ocena cyfrowa)  może to być informacja w szkolnych
mediach (gazetce, pochwała ogłoszona przez radiowęzeł itd.).
Można też ufundować dla najlepszego ucznia bądx
grupy
torebkę cukierków lub zdobyć jakiS
reklamowany
produkt  szkoły często otrzymują
tego typu wyroby.
Jednym słowem, lekcje matematyki mogą być bardzo interesujące i dla
nas, i dla uczniów. A jeśli już nie mamy pomysłu, jak zaciekawić ucznia,
wykorzystajmy historyjki zamieszczone w podręczniku. Można je rozwi-
nąć i odpowiednio obudować. Pomocny w tworzeniu nieszablonowych
zajęć będzie też przygotowany do programu i podręcznika zbiór zadań.
52
Znajduje się w nim bowiem wiele interesujących zadań o różnym stopniu
trudności. Jeśli uczniowie będą rozwiązywać zadanie wielopoziomowe,
to z pewnością 45 minut minie błyskawicznie. W ten sposób na każdą
lekcję jest pewien pomysł.
Do szybkiego powtórzenia można wykorzystać Ćwiczenia sprawdza-
jące, organizując na przykład pracę parami  jeden uczeń sprawdza dru-
giemu poprawność rozwiązań. Kartkówki te będą też dobrym pomysłem
na pracę domową lub lekcję podsumowującą.
Typowe sprawdziany, które przeprowadzimy, nie będą udręką dla
ucznia, bowiem zadania są ciekawe i uczniowie chętnie je rozwiązują.
Fragmenty lekcji, w czasie których uczniowie korzystają z kart zawartych
w Ćwiczeniach sprawdzających, nazwaliśmy Teraz Ty, aby zaznaczyć, że
to czas na samodzielną pracę ucznia, że teraz on będzie mógł sprawdzić
sam siebie i w ten sposób się uczyć odpowiedzialności za proces własnego
uczenia się.
Staraj się, aby Twoje lekcje były lekcjami dla ucznia, a nie dla
dyrektora, który akurat może przechodzić korytarzem i usłyszy
gwar w klasie (a u pana X to zawsze panuje idealny
spokój!). Dyrektor to nie potwór, który
chce Cię pożreć. On też był
kiedyS
uczniem.
53
NASZE POMYSA
Y
NA TWOJE LEKCJE
Zajęcia w pierwszej klasie gimnazjum umożliwiają poznanie uczniów,
zintegrowanie grupy, wyrobienie w uczniach nawyku samodzielnej pracy.
Stwarzają też warunki do pokazania zalet pracy zespołowej, szczególnie
w czasie rozwiązywania nietypowych problemów. W klasie pierwszej
sporo realizowanych zagadnień to tematy powtórzeniowe, znane uczniom
ze szkoły podstawowej. Dlatego warto lekcje powtórzeniowe wzbogacać
problemami nietypowymi, wymagającymi poszukiwania różnych dróg
rozwiązania, rozwijającymi wyobraz
nię matematyczną. Dobrym pomy-
słem jest praca w grupach  wspólne dążenie do celu spaja zespół, wyra-
bia umiejętność właściwego komunikowania się, planowania i organizo-
wania pracy.
Przygotowanie takiej lekcji jest, niestety, pracochłonne, wymaga też
doświadczenia w rozplanowaniu czasu pracy uczniów. Wysiłek jednak
jest opłacalny, efekty są niemal od razu widoczne. Jeśli jednak taka lekcja
nie bardzo się uda, nie należy się zrażać, gdyż nawet mały kamyczek
z czasem może wywołać lawinę.
Przedstawione scenariusze zajęć: Na Zielonej Planecie oraz Mnożenie
wielomianu przez jednomian są dostosowane do tematyki wynikającej
z rozkładu materiału dla klasy I gimnazjum, przygotowanego do progra-
mu Matematyka krok po kroku. Tworząc zasady pracy w grupie, częścio-
wo oparliśmy się na przemyśleniach zawartych w programie Kreator, któ-
rego uczestnicy pracują pod kierunkiem ekspertów Unii Europejskiej.
55
Jak zacząć?
Krok 1. Zapoznaj uczniów z Zasadami pracy w grupie
i z Zasadami dobrego porozumiewania się w grupie.
Możesz poprosić też o to wychowawcę klasy.
Krok 2. Ustal z uczniami, w jak licznych grupach
będą zwykle pracować i czy będą to grupy stałe,
czy zmienne. Najefektywniej pracują grupy
4 5-osobowe. Liczba grup nie może jednak być
zbyt duża, bo utrudnia prezentację wyników
(prezentacja trwa zbyt długo, co jest męczące
dla uczniów). Zwracaj uwagę, aby uczniowie
na kolejnych lekcjach pełnili różne role w grupie
i aby każdy przynajmniej raz był liderem grupy.
Krok 3. Zaplanuj pracę w grupach tak, aby
stanowiła ona fragment lekcji. Podsumowując
lekcję, nie zapomnij się podzielić wrażeniami
na temat pracy grup. Daj też szansę
wypowiedzenia się uczniom.
Krok 4. Skorzystaj z gotowego
scenariusza.
Krok 5. Teraz już możesz
samodzielnie tworzyć lekcje,
na których uczniowie będą
pracować w grupach.
Pamiętaj o refleksji
i ewaluacji.
56
Zasady pracy w grupie
1
Musicie wspólnie dążyć do celu.
Każdy niech się stara pracować
intensywnie, na miarę swoich
możliwoS
ci  musi jednak mieć
2
na uwadze interesy grupy.
Wybierzcie spoS
ród siebie
LIDERA, SEKRETARZA
i SPRAWOZDAWCĘ.
3
Lider kieruje pracą grupy, organizuje ją. Dba o to, aby
wszyscy pracowali i aby każdy miał udział w rozwiązywaniu
zadania. Lider pilnuje, aby grupa pracowała nad tematem,
a nie poS
więcała uwagę sprawom ubocznym, nieistotnym
dla osiągnięcia celu. Lider nie narzuca swoich pogIądów,
ale dba o to, aby wszyscy mogli się wypowiedzieć  ustala,
kto w danej chwili mówi. Upewnia się, czy wszyscy zrozu-
mieli postawione przed grupą zadanie.
4
Sekretarz pilnuje, aby
nie umknęły ciekawe
pomysły zgłaszane
5
w czasie pracy nad
Sprawozdawca wyławia w trakcie zadaniem. Zapisuje
pracy ważne ustalenia, uzgadnia
końcowe rozwiązanie.
z grupą rezultaty pracy i przedstawia
publicznie wynik pracy zespołu.
Przed przystąpieniem
6
do pracy uzgodnijcie
plan działania.
7
Po wykonanej pracy dokonajcie samooceny i porozma-
wiajcie o przyczynach sukcesów bądx
niepowodzeń.
57
Zasady dobrego porozumiewania się
w grupie
Każdy ma prawo
mieć swoje zdanie.
Każdy ma prawo się wypowiedzieć.
Nie oceniaj
wypowiedzi Nie uogólniaj 
innych. zajmij się konkretami.
Mów do członków grupy.
Nie przeszkadzaj.
Pytaj, aby wyjaS
nić
wątpliwoS
ci.
Powstrzymaj się
Słuchaj aktywnie.
od dobrych rad.
Mów na temat.
Pamiętaj, że to lider
kieruje pracą grupy.
Wysłuchaj tego, co ma
do powiedzenia każdy
z członków Twojej grupy.
Oddzielaj sprawy ważne
od nieistotnych.
Odpowiedz na pytanie
 wytłumacz, wysuń
argumenty, przekonaj.
W dyskusji mają prawo brać
udział wszyscy, decyzje
podejmuje grupa wspólnie.
58
NA ZIELONEJ PLANECIE
SCENARIUSZ ZAJĘĆ
DLA KLASY I GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział:
Figury geometryczne
na płaszczyx
nie
Numer i temat zajęć
(według rozkładu materiału):
8. Łamana. DługoS
ć odcinka,
długoS
ć łamanej
Czas: 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
przypomni sobie wiadomości dotyczące łamanej i jej rodzajów,
będzie doskonalił umiejętność obliczania długości odcinka i długo-
ści łamanej (w tym zamiany jednostek i posługiwania się skalą),
będzie doskonalił umiejętność pracy w grupie, komunikowania się
i rozwiązywania nietypowych problemów w twórczy sposób,
dokona samooceny i oceny pracy grupy.
Sposoby pracy:
praca w grupach,
dyskusja i refleksja.
Materiały do zajęć:
instrukcja do pracy grupy,
artykuły papiernicze,
kartoniki z numerami grup,
kapelusz z losami,
plansza.
Uwagi:
Przed lekcją należy przygotować miejsce pracy tak, aby uczniowie
mogli pracować w pięciu grupach  na stolikach trzeba ustawić kar-
toniki z numerami grup.
Trzeba przygotować losy z numerami grup i kapelusz do losowania.
Do tablicy należy przymocować magnesami planszę, którą grupy
będą wypełniały.
Materiały papiernicze można położyć na oddzielnym stoliku 
uczniowie będą z nich korzystali w miarę potrzeby.
Stopień trudności zadań należy dostosować do możliwości klasy.
Jeśli uczniowie pierwszy raz pracują w grupach, należy omówić
z nimi zasady pracy w grupie.
Po lekcji Kąty naprzemianległe i odpowiadające nauczyciel zadaje
jako pracę domową proponowaną w rozkładzie materiału pracę
Teraz Ty. Nauczyciel może kartki z rozwiązaniami zebrać po prze-
prowadzonej lekcji (lub przed lekcją) i sprawdzić poprawność roz-
wiązań w domu.
60
Przebieg zajęć:
1. Każdy uczeń losuje karteczkę z numerem grupy i siada przy odpo-
wiednim stoliku.
2. Grupy organizują swoją pracę: wybierają lidera, sekretarza i prezen-
tera.
3. Aby zainteresować uczniów zajęciami, nauczyciel wygłasza tekst
Nauczyciel mówi.
4. Uczniowie otrzymują Instrukcję do pracy grupy i pracują nad zada-
niami.
5. Uczniowie wspólnie ustalają hasło.
6. Dyskusja nad tym, które zadania sprawiały kłopot i dlaczego, w jaki
sposób grupa pracowała nad problemami, jak komunikowali się
członkowie grupy itp.). Samoocena, ocena pracy grup i refleksja.
7. Jako pracę domową można zadać jedno z zadań w podręczniku lub
zbiorze zadań. Jeśli nauczyciel uzna, że uczniowie wykazali się dobrą
znajomością zagadnień związanych z tematem lekcji, można Zada-
nie dla prawdziwego turysty zaproponować tylko chętnym uczniom.
Uwaga! Wszystkie grupy mają do rozwiązania takie same zadania, nato-
miast ze swoich diagramów odczytują inne litery. W ten sposób cała klasa
uzyskuje hasło: TO BARDZO A
ADNA PLANETA. Nauczyciel przygo-
towuje przed lekcją diagramy dla każdej grupy, wpisując odpowiednie li-
tery. Podajemy wypełnione diagramy dla wszystkich grup.
Grupa I
Zadanie 1 Zadanie 2
120 58 38
7 15 4
O W A
AT K
Zadanie 3 Zadanie 4
200 300 600 NIE TAK
LB M G A
61
Grupa II
Zadanie 1 Zadanie 2
120 58 38
7 15 4
D N O
G R A
Zadanie 3 Zadanie 4
200 300 600 NIE TAK
SZ A A
O
Grupa III
Zadanie 1 Zadanie 2
120 58 38
7 15 4
A L A
T A
O
Zadanie 3 Zadanie 4
200 300 600 NIE TAK
OD A O N
62
Grupa IV
Zadanie 1 Zadanie 2
120 58 38
7 15 4
W
P A
D A R
Zadanie 3 Zadanie 4
200 300 600 NIE TAK
IL E W A
Grupa V
Zadanie 1 Zadanie 2
120 58 38
7 15 4
E L A
I N O
Zadanie 3 Zadanie 4
200 300 600 NIE TAK
ET A L A
63
Nauczyciel mówi
Wyobraz
cie sobie, że jesteście przybyszami
z Uranusa. Wylądowaliście na nieznanej Zielo-
nej Planecie. Spotykają was na niej różne przy-
gody  poznacie tubylców, zwiedzicie labiryn-
ty, może uda się wam znalez
ć skarb. Żebyście
mogli powrócić na Uranusa, musicie poznać
hasło, które uruchomi wasz kosmiczny pojazd.
Hasło otrzymacie, wpisując do pól na plan-
szy umieszczonej na tablicy odpowiednie litery.
Otrzymacie teraz Instrukcję do pracy grupy.
Postępujcie zgodnie z instrukcją.
Czas pracy 30 minut.
64
Instrukcja do pracy grupy
Rozwiążcie zadania. Otrzymanym liczbom odpowiadają litery. Wpiszcie
te litery do odpowiednich pól na planszy, umieszczonej na tablicy.
Zadanie 1
Oto plan dobrze strzeżonego labiryntu.
Musicie wejść do labiryntu w miejscu zaznaczonym na rysunku strzałką,
przejść przez wszystkie pomieszczenia (omijając pomieszczenia, w któ-
rych siedzą strażnicy) i wyjść z labiryntu w miejscu oznaczonym na pla-
nie gwiazdką. Przez każde pomieszczenie można przejść tylko raz. Moż-
na się poruszać po liniach oznaczonych na rysunku cienką kreską.
Zaznaczcie drogę, jaką musicie przebyć. Jaką długość ma ta droga?
tu siedzą strażnicy
1
120 58 38
65
Zadanie 2
W labiryncie znalez
liście bardzo starą księgę, napisaną przez niejakiego
Marcina Króla. W księdze tej zapisano, jakie jednostki długości stosowa-
no dawniej na Zielonej Planecie. Przeczytajcie zapis widniejący w księ-
dze i obliczcie, jaką przybliżoną długość miała mila zwyczajna (w km).
7
1 piędz
to około 23,16 cm.
Z czterech cali piędz
się składa,
Piędz
potrójna daje stopę,
15
Krok powstaje ze stóp pięciu,
Na stadium kroków sto i ćwierć setki,
Ośmioro stadiów rzymską da milę,
Dwa razy większa mila zwyczajna.
4
Zadanie 3
W czasie swojej wędrówki odwiedziliście czarownika, mieszkającego
w chacie stojącej na skraju lasu. Teraz chcecie się udać do Wioski Kroko-
dyli. Spotykacie tubylca i rozmawiacie z nim. Korzystając z wypowiedzi
tubylca, obliczcie, jak daleko jest (w metrach) do Wioski Krokodyli.
200 300 600
66
Zadanie 4
W Wiosce Krokodyli zainteresowaliście się dziwnymi rysunkami widnie-
jącymi na skałach.
2 4
1 3
W ten sposób mieszkańcy przedstawiają gwiazdozbiory widniejące na tu-
tejszym niebie. Który z tych gwiazdozbiorów jest narysowany za pomocą
łamanej otwartej zwyczajnej składającej się z 6 odcinków? Jeśli 1 lub 2,
to rozwiążcie zadanie a, jeśli 3 lub 4, to rozwiążcie zadanie b.
Zadanie a
Ulubionym zajęciem mieszkańców Zielonej Planety jest rysowanie figur
jednobieżnych, tzn. takich, które można narysować jednym pociągnię-
ciem ołówka, nie odrywając go od kartki i nie prowadząc go nigdy po linii
już wcześniej nakreślonej. Takie figury przedstawia rysunek.
Czy figura oznaczona numerem 3 jest łamaną?
1 2 3
NIE TAK
R K
67
Zadanie b
Poznany na planecie czarownik podarował wam mapę, na której zazna-
czono, gdzie jest ukryty skarb. Tym skarbem jest ponadczasowa płyta,
na której jest zapisana historia Zielonej Planety. Chcecie zdobyć skarb,
ale naczelnik wioski, w pobliżu
której jest ukryta płyta, pozwolił
wam się oddalić od starej chaty,
w której mieszkacie, nie więcej
niż o 3 muzu.
Czy zdobędziecie płytę?
NIE TAK
68
Zadanie dla prawdziwego turysty
W czasie podróży po Zielonej Planecie znalez
liście się na
pustyni. Chcecie dojechać na wielbłądzie z Oazy Czerwonej
do Oazy Pomarańczowej. Oazy te znajdują się w odległości
230 km od siebie. Kłopot w tym, że woda jest tylko w oazach
i nigdzie indziej na pustyni jej nie ma. Wielbłąd może unieść
tylko bukłak wody, która wystarczy na przebycie 150 km.
Postanawiacie więc po drodze założyć stacje, w których bę-
dziecie gromadzić wodę. Jaka jest minimalna liczba bukła-
ków wody, której potrzeba na przebycie pustyni?
Zakładamy, że wody na stacjach nie ubywa na przykład
wskutek parowania.
69
I II
Nr grupy
Nr zadania 1 2 3 4 1 2 3 4
Litera
III IV V
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
70
Plansza
MNOŻENIE WIELOMIANU
PRZEZ JEDNOMIAN
SCENARIUSZ ZAJĘĆ
DLA KLASY I GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział:
Wyrażenia algebraiczne
Numer i temat zajęć
(według rozkładu materiału):
69. Mnożenie wielomianu
przez jednomian
Czas: 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
sprawdza stopień opanowania umiejętności dotyczących dodawania
i odejmowania wielomianów,
ocenia efektywność stosowanych przez siebie metod pracy,
poznaje sposób mnożenia wielomianu przez jednomian; ćwiczy
umiejętność stosowania prawa rozdzielności mnożenia względem
dodawania,
czyta ze zrozumieniem tekst matematyczny,
doskonali umiejętność komunikowania się  stawiania właściwych
pytań i formułowania precyzyjnych odpowiedzi.
Sposoby pracy:
praca w parach,
praca całą klasą,
dyskusja i refleksja.
Materiały do zajęć:
Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej gimna-
zjum,
Matematyka krok po kroku. Ćwiczenia sprawdzające,
kostki domina matematycznego i karty poprawnego ustawienia ko-
stek domina.
Uwagi:
W czasie lekcji uczniowie będą pracowali w parach. Należy dopil-
nować, aby każda para dysponowała co najmniej jednym podręczni-
kiem.
Przed lekcją trzeba przygotować odpowiednie karty z Ćwiczeń
sprawdzających. Warto też przed lekcją na zamykanej tablicy zapi-
sać rozwiązania wszystkich zadań z kartkówki Wielomiany. Tablicę
trzeba zamknąć przed wejściem uczniów do klasy. Jeśli w pomie-
szczeniu nie ma odpowiedniej tablicy, rozwiązania zadań można
umieścić na planszy i w odpowiednim momencie przyczepić do ta-
blicy lub zapisać je na folii i skorzystać z grafoskopu.
72
 Trzeba przygotować tyle kompletów domina matematycznego i kart
poprawnego ustawienia, aby każda para uczniów dysponowała jed-
nym kompletem.
Nauczyciel może ocenić parę uczniów stopniem bądz
w inny, wy-
brany przez siebie, sposób.
Jeśli uczniowie wykonają pracę szybciej niż zaproponowano w kon-
spekcie, można dodatkowo poprosić ich o rozwiązanie odpowied-
nich zadań ze zbioru, zamieszczonych na stronach 107 i 108.
Przebieg zajęć:
1. Czynności organizacyjne  3 minuty (uczniowie siedzą parami).
2. Nauczyciel mówi, że uczniowie będą pracowali w parach i para, któ-
ra uzyska największą liczbę punktów, w nagrodę poprowadzi na-
stępną lekcję matematyki. Jeśli kilka par uczniów uzyska taką samą
liczbę punktów, para, która poprowadzi następną lekcję, zostanie
wylosowana (jeśli par tych będzie niewiele, mogą one przygotowy-
wać kolejne lekcje).
3. Nauczyciel rozdaje karty Wielomiany z Ćwiczeń sprawdzających,
uczniowie piszą kartkówkę  10 minut. Zadania rozwiązują w pa-
rach. Teraz uczniowie, korzystając z rozwiązań zapisanych na tabli-
cy i ewentualnie  z pomocy nauczyciela, sprawdzają poprawność
odpowiedzi. Za każde poprawnie rozwiązane zadanie przyznają
sobie 1 punkt, za złe rozwiązanie lub błąd w rozwiązaniu  0 punk-
tów. Wspólnie omawiają rozwiązania  zastanawiają się nad popeł-
nionymi błędami, korygują błędy  5 minut.
4. Nauczyciel mówi, że na lekcji uczniowie powinni samodzielnie zdo-
być umiejętność mnożenia wielomianu przez jednomian. W tym
celu mogą przeczytać tekst w podręczniku (strony: 154 i 155), po-
rozmawiać w parach o tym, co przeczytali, przeanalizować podane
przykłady, ewentualnie rozwiązać któreś z zadań znajdujących się
w podręczniku  10 minut.
5. Nauczyciel rozdaje kostki domina matematycznego (każda para
uczniów otrzymuje jeden komplet). Należy ułożyć kostki tak, jak
gdyby były to kostki znanego wszystkim domina, rozpoczynając od
zacienionej kostki. Uczniowie mogą zaglądać do podręcznika, wy-
konywać obliczenia itp. Nie mogą korzystać z pomocy nauczyciela
 10 minut.
73
6. Każda para uczniów otrzymuje kartę z poprawnym ustawieniem ko-
stek domina. Uczniowie sprawdzają poprawność ułożenia. Za każde
poprawne połączenie kostek przyznają sobie 1 punkt  2 minuty.
To są dwie pary poprawnie ułożonych kostek domina.
7. Uczniowie podsumowują liczbę punktów zdobytych w czasie lekcji,
następuje wybór pary, która zdobyła najwięcej punktów. Pytania,
dyskusja i refleksja  5 minut.
8. Można ewentualnie jako pracę domową zadać któreś z zadań z pod-
ręcznika, na przykład zadania 2 i 3, strona 156.
74
Poprawne ułożenie kostek domina
4(x  1) +
3(x  2y  1)
3x  6y  3 x2y  xy2 xy(x  y)
+ [ 2(2x  2)]
3(1 + 2y)
0
3x - 3 �" 2
( )
x2y + xy (x +1)xy 6y +3
1
2
- x
(xy )
2
3 2x - 2 3
()
iloczyn
2x(3x2 +
1
1
- x2y2 liczby 2
- 6 - x
+ x  2)
2
(y )
3
i x  3y
iloczyn
w wyrażeniu
jednomianu
2x2  4x +6x3
3x3y
wyłącz wspól-
i wielomianu
ny czynnik
x3y + xy2
poza nawias
sumę jedno-
mianów xy
1 3x2y2 �
x + xy
y(x  1) +y
yx
oraz 2x po-
2
� (x4 + x2y)
mnóż przez
0,5
75
Domino matematyczne
x2y  xy2
3x  6y  3
xy(x  y)
3(1 + 2y)
y(x  1) +y
3x2y2 (x4 + x2y)
w wyrażeniu
6y +3
(x +1)xy
2x2  4x +6x3
wyłącz wspól-
ny czynnik
poza nawias
1
x + xy
4(x  1) +
2
3(x  2y  1)
+[ 2(2x  2)]
76
sumę jedno-
mianów xy
yx
oraz 2x po-
3(2x - 2 3)
mnóż przez 0,5
2x(3x2 + x  2)
1
- 6 y - x
( )
3
x2y + xy
iloczyn
jednomianu
3x3y
i wielomianu
x3y + xy2
1
- x xy2
( )
2
0
3x )
( - 3 �" 2
iloczyn
1
liczby 2
- x2y2
2
i x  3y
77
MATEMATYCZNE IMPRESJE
DIaczego impresje?
Impresja (łac. impressio  wgniecenie) 
przelotne wrażenie, subiektywne odczucie,
przeżycie; utwór artystyczny o charakterze
nastrojowo-subiektywnym; fragment opisu.
Słownik wyrazów obcych PWN, 1995 r.
Ucząc w szkole nowego typu, chcemy uczyć inaczej. Nie zawsze to
nam się udaje, gdyż trudno z dnia na dzień zmienić metody nauczania.
Jedną z propozycji, która może pomóc w tworzeniu współodpowiedzial-
ności uczniów za proces uczenia, są prace, zwane kursowymi, semestral-
nymi albo projektami. Nazwaliśmy je impresjami matematycznymi  mają
to być zatem prace zawierające nie tylko suchą wiedzę, ale i komentarze
uczniów. Prace, które będą odzwierciedlały ich zainteresowania, umiejęt-
ności i ... marzenia.
Chcemy, aby te prace wskazały na możliwości wykorzystania matema-
tyki w różnych gałęziach wiedzy, aby przybliżyły uczniom postacie znane
z historii matematyki, aby umożliwiły tworzenie ścieżek edukacyjnych na
różnych poziomach wiedzy i umiejętności.
Pragniemy też, aby uczniowie rozwiązywali problemy matematyczne,
korzystając z wiadomości zdobytych na innych lekcjach (przedmiotach).
Dążymy do tego, aby w sposobie przygotowania i prezentacji pracy odbi-
jała się osobowość ucznia, aby od wyszukiwania i katalogowania pew-
nych faktów przechodził do prac badawczych, do stawiania i weryfikowa-
nia hipotez.
Metoda projektów od niedawna jest stosowana w naszych szkołach, ale
już teraz ma wielu entuzjastów. Podobnie jak dziewiętnastowieczny impre-
sjonizm, stawia na subiektywizm i przeciwstawia się tradycjonalizmowi.
79
Tematyka impresji
Tworząc Matematyczne impresje, uczniowie będą pracowali samo-
dzielnie bądz
w grupach przez dłuższy okres. Będą samodzielnie poszuki-
wać rozwiązań, wykorzystując wiedzę i umiejętności z różnych dziedzin.
Prace te mogą być realizowane przez kilka tygodni, miesięcy, a nawet
przez cały rok. W klasie pierwszej gimnazjum proponujemy, aby ucznio-
wie wykonali od dwóch do czterech prac w ciągu roku. Tematy prac nie
mogą być zbyt trudne, aby uczniów nie zniechęcić. Dlatego najlepiej za-
cząć od znanych już uczniom sposobów realizacji takich prac (choćby
z lekcji przyrody), podając zagadnienia, które można opracować bez
większego wysiłku. Dobrym pomysłem będzie rozwijanie motywów za-
proponowanych w podręczniku (historyjki, ciekawostki) bądz
bezpośred-
nio w tematach lekcji. W klasie drugiej będzie można przejść do bardziej
skomplikowanych zadań.
Proponowane zagadnienia
1. Elementy Euklidesa  dzieło, które wyznaczyło
kierunki rozwoju geometrii
2. OdległoS
ć na płaszczyx
nie
3. Być albo nie być, czyli czy można żyć bez liczb
niewymiernych
4. Może kiedyS
stosowano wygodniejsze jednostki
długoS
ci?
5. Mam 10 000 zł, a po roku chcę mieć więcej  czy
wpłacić gotówkę do banku, czy kupić akcje, a może ...
6. Kto i dlaczego jada w naszej szkole czekoladę?
Zagadnienia, które proponujemy naszym uczniom, muszą być tak zre-
dagowane, aby nawet uczeń niezbyt zainteresowany matematyką mógł
nad nimi popracować. Unikajmy jednak typowej formy referatu, czyli
przepisanych z różnych książek mniej lub bardziej dobranych sformuło-
wań. Niech uczeń na przykład napisze opowiadanie, przygotuje komiks,
poda przykłady z życia (tematy 1 4). Oczywiście uczeń ambitniejszy
może się odwołać do przykładów naukowych i popracować głębiej nad
80
zagadnieniem. Tematy 5 6 to już tematy badawcze, przeznaczone dla
uczniów bardziej dociekliwych, którzy będą mieli ochotę przeprowadzać
wywiady, analizować diagramy itp.
Etapy pracy
1. Najpierw nauczyciel podaje wytypowane do realizacji zagadnienia,
sposób oceny prac, terminarz prac, a uczeń (bądz
grupa uczniów) wy-
biera któreś z zagadnień i samodzielnie formułuje temat pracy.
2. Uczeń się zastanawia nad formą realizacji pracy; ustala, czy to będzie
praca teoretyczna, czy na przykład wykonanie modelu. Powinien też
przemyśleć sposób przyszłej prezentacji pracy: dokument pisemny, ilu-
strowany zdjęciami, filmem, programem komputerowym itp.
3. Następuje faza planowania i zbierania danych. Na tym etapie uczeń
może korzystać z rad nauczyciela, który pomaga w wyszukaniu od-
powiedniej literatury, w kontaktach z fachowcami z różnych dziedzin
(w przypadku prac interdyscyplinarnych), doradza i krytycznie śledzi
poszczególne etapy pracy.
4. Uczeń (bądz
grupa uczniów) prezentuje pracę (oprócz dokumentacji
pisemnej można przedstawić inscenizację, model, wywiad nagrany na
taśmę, folder itp.), a nauczyciel i pozostali uczniowie oceniają ją. Moż-
na też poprosić ucznia o samoocenę.
Uwaga! Często uczniowie w trakcie opracowywania tematu natrafiają na
zagadnienie, które ich szczególnie zainteresuje  może ono być wtedy te-
matem następnego projektu.
Ocena Matematycznych impresji
Sposób oceniania powinien być przedstawiony uczniom przed rozpo-
częciem pracy. Warto opracować pisemnie kryteria oceny lub arkusz oce-
ny. W ocenianiu powinni uczestniczyć też uczniowie, w szczególnych
wypadkach nauczyciele innych przedmiotów (na przykład nauczyciel pla-
styki w przypadku wykonania przez ucznia plakatu), rodzice itp. Samo-
ocena pracy powinna być dokonywana na każdym etapie jej realizacji.
81
Matematyczne impresje
Arkusz oceny
.........................................................................................
(Imię i nazwisko klasa)
.........................................................................................
(Temat)
Sformułowanie tematu
Planowanie
Sposoby zbierania informacji
Umiejętność wykorzystania informacji
Atrakcyjność formy pracy
Terminowość
Sposób i atrakcyjność prezentacji
Samoocena
Jeżeli pracę wykonywała grupa uczniów, można do arkusza oceny do-
dać ocenę umiejętności pracy w grupie (sposób pracy, zaangażowanie
członków grupy, wykorzystanie umiejętności każdego z członków grupy).
Oceniając planowanie, można zwrócić uwagę na dwa ważne aspekty:
umiejętność planowania i realizację planu.
Pamiętajmy, że zagadnienia przeznaczone
do realizacji nie mogą być zbyt trudne
i pracochłonne  możemy być wtedy
rozczarowani efektami prac.
82