Kinga Gałązka Edward Lesiak
MATEMATYKA
KROK PO KROKU
Poradnik metodyczny
Klasa III gimnazjum
Projekt okładki
Barbara Zawadzka
Opracowanie graficzne okładki
Iwona Zielak-Mamińska
Redaktor merytoryczny
Mariusz Bienias
Redaktor techniczny
Małgorzata Niedziałomska
Rysunki
Małgorzata Niedziałomska
Poradnik jest częścią obudowy programu nauczania matematyki w kla-
sach I III gimnazjum pod tytułem MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczenia: DKW-4014-91/99.
Został przygotowany do podręcznika MATEMATYKA KROK PO KROKU,
dopuszczonego do użytku szkolnego przez MEN.
Nr dopuszczcnia: 173/01.
Wydanie I
© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne
RES POLONA Sp. z o.o.
ISBN 83-7071-323-8
WYDAWCA:
Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.
90-613 A
ódz
, ul. Gdańska 80, tel. [phone], fax [phone]
Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: [e-mail]
Spis treści
Wstęp / 5
Komentarz do podręcznika / 7
Liczby rzeczywiste / 7
Przekształcenia geometryczne / 8
Doświadczenia losowe / 10
Wyrażenia algebraiczne / 10
Równania, nierówności, układy równań / 12
Związki miarowe w trójkącie / 13
Figury przestrzenne / 14
Odpowiedzi do zadań / 17
Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramkÄ… z ,,! / 17
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych / 25
Ocenianie raz jeszcze / 37
Sprawdzian 1. Techniczne nowinki / 38
Sprawdzian 2. Do końca roku jeden krok / 42
Sprawdzian 3. Szaleństwo XX wieku / 46
Ścieżki edukacyjne w gimnazjum / 51
Ścieżka edukacyjna  co to takiego? / 51
Rodzaje i budowa ścieżek edukacyjnych / 53
Modele realizacji ścieżek edukacyjnych / 54
O realizacji każdej ze ścieżek na lekcjach matematyki
słów kilka / 57
Wykorzystanie treści ścieżek edukacyjnych / 58
Scenariusze zajęć / 59
Kąty w okręgu / 59
Zaszyfrowana wiadomość / 65
Zbieranie danych statystycznych i ich interpretacja / 71
Metody aktywizujÄ…ce w praktyce / 75
Która metoda jest lepsza? / 75
Przykłady metod aktywizujących / 76
WST
P
A więc stało się. Jesteśmy w klasie trzeciej. Przed nami nowe zadania
związane z zakończeniem nauki w gimnazjum. Przypominamy, że porad-
nik jest częścią kompletu materiałów do nauczania matematyki w gimna-
zjum MATEMATYKA KROK PO KROKU. Pozostałymi częściami skła-
dowymi tego kompletu są: program nauczania, podręcznik, zbiór zadań,
ćwiczenia sprawdzające oraz rozkład materiału.
Program nauczania. Opracowany został zgodnie z Podstawą progra-
mową kształcenia ogólnego dla sześcioletnich szkół podstawowych i gim-
nazjów. Zawiera: założenia ogólne, szczegółowe cele kształcenia mate-
matycznego, założenia szczegółowe programu, propozycje metod oceny
osiągnięć uczniów, ogólny układ materiału w gimnazjum, orientacyjny
przydział godzin oraz materiał nauczania z podziałem na poszczególne
klasy. W programie uwzględniono tygodniowo 4 godziny matematyki
i założono, że systematyczna realizacja programu nauczania jest możliwa
w ciÄ…gu 33 tygodni.
Podręcznik. Zawiera wiele różnych elementów, których celem jest
wzbudzenie zainteresowania uczniów. Układ podręcznika Matematyka
krok po kroku umożliwia rytmiczną realizację programu oraz sprzyja sto-
sowaniu aktywnych metod nauczania.
Zbiór zadań. Jest uzupełnieniem i rozszerzeniem zagadnień zawar-
tych w podręczniku. Znajdują się w nim zadania o różnym stopniu trud-
ności, które umożliwiają utrwalenie zdobytych umiejętności i rozwijanie
zainteresowań uczniów. W zbiorze zawarte są zadania z treścią łączącą
matematykę z innymi dziedzinami wiedzy oraz takie, które wskazują na
praktyczne zastosowania matematyki. UstalajÄ…c tematykÄ™ Impresji mate-
matycznych, można bazować na znajdujących się w zbiorze zadaniach
otwartych.
5
Ćwiczenia sprawdzające. Są propozycją krótkich sprawdzianów,
które mogą być użyte do samodzielnych prac uczniów w klasie czy też
w domu. Sposoby ich wykorzystania zależą od inwencji nauczyciela.
Rozkład materiału. Został opracowany tak, że może być podstawą pla-
nowania pracy przez nauczyciela. W wielu placówkach dyrektorzy zezwo-
lili nauczycielom na bezpośrednie korzystanie z rozkładu bez konieczności
przepisywania go. Rozkład materiału zawiera dokładny plan realizacji
zajęć z uwzględnieniem tematyki i celów określonych w sposób zopera-
cjonalizowany oraz oczekiwane efekty pracy z uczniem. W rozkładzie ma-
teriału jest zaplanowana bieżąca kontrola procesu nauczania uczenia się
(kartkówki Teraz Ty, prace klasowe Godzina szczerości) umożliwiająca
dokonanie ewaluacji procesu dydaktycznego. Proponowane Impresje ma-
tematyczne wskazują na miejsca, gdzie możliwe jest realizowanie ścieżek
międzyprzedmiotowych.
Na podstawie naszych doświadczeń możemy stwierdzić, że propono-
wana koncepcja realizacji programu nauczania przedstawiona w cyklu
Matematyka krok po kroku do nauczania matematyki w gimnazjum
sprawdziła się w klasie pierwszej i drugiej, dlatego też jest kontynuowana
w klasie trzeciej.
Nowością, w porównaniu do klas poprzednich, jest wprowadzenie
w zbiorze zadań i ćwiczeniach sprawdzających zadań wyboru. Związane
jest to z koniecznością przygotowania uczniów do sprawdzianu po gimna-
zjum i zapewnienie im możliwości rozwiązywania większej liczby zadań
typu egzaminacyjnego.
Dziękujemy wszystkim, którzy wybrali nasze podręczniki do naucza-
nia matematyki i życzymy wielu sukcesów w pracy z młodzieżą oraz
w życiu osobistym.
Autorzy
6
KOMENTARZ
DO PODR
CZNIKA
W podręczniku dla klasy trzeciej zachowaliśmy wszystkie elementy
występujące w podręcznikach dla klasy pierwszej i drugiej. Układ pod-
ręcznika zsynchronizowany jest z rozkładem materiału, zbiorem zadań
i ćwiczeniami sprawdzającymi.
Ważną funkcją nauczania jest wyposażenie uczniów w umiejętności
wynikające ze standardów egzaminacyjnych. Dlatego też zwracamy uwa-
gę na pokazanie praktycznych zastosowań matematyki. Znalazło to od-
zwierciedlenie między innymi w zakresie proponowanego do realizacji
materiału dotyczącego związków miarowych w trójkącie. W części za-
sadniczej podane zostały najważniejsze zagadnienia teoretyczne, które
wykorzystane są póz
niej przy rozwiązywaniu zadań z zakresu obliczania
pól i objętości brył.
Liczby rzeczywiste
W rozdziale Liczby rzeczywiste mówimy o podzbiorach zbioru liczb
rzeczywistych oraz własnościach działań w tych zbiorach. Pokazujemy, że
konieczne jest rozszerzanie zbiorów ze względu na wykonalność działań.
Mówiąc o liczbach niewymiernych, należy pamiętać, że mnożenie
liczb niewymiernych nie jest działaniem w zbiorze liczb niewymiernych,
ponieważ o działaniu " mówimy, że jest wykonalne w zbiorze A, jeżeli
dla każdego a " A i każdego b " A wynik działania a " b " A.
Wez
my liczby niewymierne i . Liczba · = 1 = 4 nie
jest liczbą niewymierną, a więc mnożenie nie jest działaniem w zbiorze
liczb niewymiernych, co nie oznacza, że nie możemy mnożyć liczb
7
niewymiernych. Należy zwrócić w tym miejscu uwagę na fakt, że mnoże-
nie nie jest działaniem w zbiorze liczb niewymiernych, ale jest działaniem
w zbiorze liczb rzeczywistych.
W rozdziale tym staraliśmy się zebrać i przypomnieć również najważ-
niejsze wiadomości związane ze stosowaniem liczb rzeczywistych w róż-
nych sytuacjach.
Przekształcenia geometryczne
W klasie III wprowadzamy nowe przekształcenia płaszczyzny: jedno-
kładność i podobieństwo, które nie są przekształceniami izometrycznymi.
Uczniowie nie znają pojęcia wektora, co stwarza pewne niedogodności
przy wprowadzaniu jednokładności. Dlatego najpierw wprowadzamy
twierdzenie Talesa i wnioski z niego wynikajÄ…ce oraz pokazujemy zasto-
sowania w różnych sytuacjach, w tym praktycznych, a następnie wprowa-
dzamy pojęcie jednokładności. Dysponując pojęciem jednokładności, ła-
twiejsze byłoby wprowadzenie i udowodnienie twierdzenia Talesa. My
musimy postąpić odwrotnie.
W klasach o większych możliwościach matematycznych możemy, od-
wołując się do pojęcia wektora znanego uczniom z lekcji fizyki, pokazać
możliwość innego zdefiniowania jednokładności:
A' Punkt A' jest obrazem punktu A w jedno-
kładności o środku w punkcie S i skali k
A
wtedy i tylko wtedy, gdy SA' = k · SA.
S
Przy takiej definicji jednokładności nie musimy oddzielnie wprowa-
dzać określenia dla jednokładności o skali ujemnej i oddzielnie dla jedno-
kładności o skali dodatniej. W tym miejscu należy zauważyć, że w litera-
turze możemy spotkać dwa terminy: jednokładność prosta i jednokład-
ność odwrotna. Jednokładność prosta odnosi się do jednokładności o skali
dodatniej. Figura i jej obraz leżą wtedy po tej samej ,,stronie punktu bę-
dącego środkiem jednokładności. Pojęcie jednokładność odwrotna odnosi
się do jednokładności o skali ujemnej. W tym przypadku figura i jej obraz
leżą po różnych  stronach punktu będącego środkiem jednokładności.
W przypadku jednokładności mówimy, że przekształcenie to nie za-
chowuje odległości pomiędzy punktami i ich obrazami, a więc nie jest
8
przekształceniem izometrycznym. Możemy jednak podkreślić fakt, że
jednokładność o skali k = 1 jest identycznością, a jednokładność o skali
k =  1 jest symetrią środkową. Możemy w tym przypadku pokazać, jak
w zależności od pojęć, którymi dysponujemy, może się zmieniać sposób
definiowania nowych pojęć. Umożliwia to nam podkreślenie, jak ważne
staje się przestrzeganie przyjętych umów.
W oparciu o jednokładność definiujemy podobieństwo figur. Wymie-
niamy podstawowe własności figur podobnych. Możemy zatem przyjąć
wszystkie znane własności figur jednokładnych, poza równoległością od-
cinka i jego obrazu, jako własności figur podobnych. Nieco więcej czasu
przeznaczamy na podobieństwo trójkątów. Cechy podobieństwa formułu-
jemy w postaci twierdzenia prostego i twierdzenia odwrotnego. W kla-
sach o większym stopniu zainteresowania matematyką cechy podobień-
stwa możemy podać w postaci równoważności:
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek
długości odpowiednich boków trójkątów jest stały.
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy miary
odpowiednich kątów są równe.
W literaturze możemy spotkać również cechę podobieństwa, którą po-
dajemy jako wniosek z cytowanych:
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki
długości odpowiednich par boków są równe, a kąty zawarte
pomiędzy tymi bokami mają równe miary.
Zagadnienia związane z podobieństwem wykorzystujemy do interpre-
towania różnych informacji, które możemy odczytać zarówno z planu, jak
i z mapy. Tematyka ta umożliwia wykorzystanie wiadomości interdyscy-
plinarnych. Często w zadaniach występuje pojęcie skali. Zdarzają się sy-
tuacje, w których nadgorliwcy starają się zmuszać autorów do uściślania
zadań, twierdząc, że w takim przypadku nie wiadomo, czy zwiększa się
pole figury czy długości odcinków. Przypominamy, że skala odnosi się do
długości odcinków i tylko tak powinna być interpretowana w zadaniach.
Gdy mówimy o powiększeniu czy pomniejszeniu figury, to oczywiście
interpretujemy zadanie w ten sposób, że zmieniają się w określonym sto-
sunku długości odpowiednich odcinków. Oczywiście zmienia się również
pole figury, ale z własności figur podobnych wynika, że stosunek pól figur
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
9
Doświadczenia Iosowe
Zbieranie danych i ich interpretacja to ważne umiejętności, które zna-
lazły odzwierciedlenie w standardach egzaminacyjnych. W podręczniku
opieramy się na różnych przykładach, z którymi dosyć często się spotyka-
my. Umiejętność zdobywania informacji i wykorzystania ich występuje
w podręczniku we wszystkich rozdziałach. W rozdziale Doświadczenia
losowe zajmujemy się zagadnieniami, które możemy potraktować jako
wstęp do zagadnień probabilistycznych.
W życiu codziennym bardzo często wykorzystywane jest pojęcie war-
tości średniej. Nie zawsze jednak uśrednianie wyników wiąże się z ich
właściwą interpretacją. Należy zwrócić uwagę na to, aby wnioski nie były
zbyt daleko idÄ…ce.
Rozważmy oceny dwóch uczniów, którzy uzyskali je na koniec roku
szkolnego:
Adam  4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
Bartek  4, 2, 5, 5, 3, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 4, 5.
Zwróćmy uwagę, że zarówno Adam, jak i Bartek uzyskali taką samą oce-
nę średnią, czyli 4. Czy oznacza to, że obaj uczniowie uzyskują jednako-
we wyniki z poszczególnych przedmiotów? Otóż takiego wniosku nie
możemy wysunąć. Widzimy, że Bartek z pewnych przedmiotów uzyskuje
bardzo dobre wyniki, a z innych, w których nie czuje się zbyt mocny,
słabe. Prawidłowa interpretacja danych wymaga wielu różnorodnych,
zwiÄ…zanych z nimi dodatkowych informacji.
Omawiając częstość względną doświadczenia losowego, pojawia się
pojęcie częstości teoretycznej, które jest najbliższe intuicyjnemu rozu-
mieniu prawdopodobieństwa. Zagadnienia te nie sprawiają większych
trudności uczniom. Jednak nie rozwijamy zagadnień teoretycznych zwią-
zanych z prawdopodobieństwem. Podstawowe pojęcia, które zostały
wprowadzone, umożliwiają lepsze zrozumienie zagadnień związanych
z doświadczeniami losowymi oraz ich interpretację.
Wyrażenia aIgebraiczne
Umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych jest ważnym
aparatem matematycznym wykorzystywanym w innych przedmiotach
matematyczno przyrodniczych. W klasie III wprowadzamy wyrażenia
10
wymierne. Zagadnienia występujące w tym zakresie umożliwiają wy-
korzystanie, w oparciu o analogię, umiejętności, jakie uczniowie na-
byli przy wykonywaniu działań na liczbach wymiernych. Możemy tu
pokazać, jak uogólniamy zagadnienia wykorzystywane przy operacjach
liczbowych.
Ważną umiejętnością jest określanie dziedziny wyrażenia wymierne-
go. Określanie dziedziny w sposób sformalizowany może sprawiać
uczniom trudności. Dlatego też proponujemy stosowanie, dość popular-
nego niegdyś, podawania zastrzeżeń, np. określenie dziedziny wyrażenia
+
w formie x `" y jest dla uczniów o wiele prostsze niż określenie
-
w postaci = " '" " '" `" .
( )
{}
Wykonując działania na wyrażeniach wymiernych, odwołujemy się
do analogii z wykonywaniem działań na liczbach wymiernych. Staramy
się jednak wyrabiać w uczniach nawyk określania dziedziny wyrażeń,
na których operacje te są wykonywane. Istotne jest również zwrócenie
uwagi na fakt, że nie określając dziedziny, w której rozważamy wyra-
żenia, nie możemy mówić o równości wyrażeń, np. nie określając dzie-
Å" ( + )
Å" ( + )
dziny, w której rozpatrujemy wyrażenia i , nie może-
-
-
Å" ( + )
my uznać ich za równe. Wyrażenie
jest określone w zbiorze
-
Å" ( + )
R  { 2, 2}, a wyrażenie
w zbiorze R  { 2}. Jeżeli zbiorem,
-
w którym rozważamy te wyrażenia, jest zbiór R  { 2, 2}, to wówczas
Å" ( + )
Å" ( + )
możemy napisać, że = .
-
-
W rozdziale tym pokazujemy również przykład funkcji danej wzorem
1
f(x) = określonej dla x `" 0. Przypominamy przy okazji omawiania tej

funkcji sposoby odczytywania własności funkcji na podstawie jej wykresu.
11
Równania, nierówności, układy równań
W części tej na wstępie przypominamy najważniejsze zagadnienia
związane z równaniami i nierównościami. Są one niezbędne w toku dal-
szych rozważań, gdy zaczynamy omawiać równania i układy równań
z dwiema niewiadomymi.
Mówiąc o równaniach liniowych z dwiema niewiadomymi, podajemy
ich interpretację geometryczną w układzie współrzędnych. Występuje tu
połączenie zagadnień związanych z funkcją liniową i równaniami. Umoż-
liwia to swobodne operowanie równaniami prostych. Istotne jest w tym
miejscu zwrócenie uwagi na fakt, że każdej funkcji liniowej odpowiada
określone równanie prostej. Fakt odwrotny nie jest prawdziwy, np. prostej
o równaniu x = 3, która jest równoległa do osi rzędnych, nie odpowiada
żadna funkcja liniowa.
Interpretacji geometrycznej układu równań liniowych nie łączymy
z metodami rozwiązywania układów równań, chociaż pokazujemy, że na
podstawie wykresów równań tworzących układ możemy określić liczbę
rozwiązań układu oraz odczytać jego rozwiązanie. Sposób taki w niektó-
rych sytuacjach daje zadowalajÄ…ce efekty, zwiÄ…zany jest jednak z koniecz-
nością bardzo dokładnego wykonywania rysunków. W przypadku gdy
rozwiązaniem układu nie są liczby całkowite, mogą wystąpić trudności
z określeniem jednostki umożliwiającej dokładne odczytanie rozwiąza-
nia. Na podstawie interpretacji geometrycznej układu równań, możemy
mówić o przybliżonym rozwiązaniu układu.
Bardzo ważne jest, w świetle obowiązujących standardów egzamina-
cyjnych, umiejętne stosowanie równań, nierówności i układów równań do
rozwiązywania problemów z różnych dziedzin. Wykorzystując równania,
nierówności i układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych, należy
zwrócić uwagę na konieczność sprawdzenia, czy otrzymane liczby speł-
niajÄ… warunki zadania. Rozpatrzmy zadanie:
Tomek ma w swoim zbiorze znaczki polskie i zagraniczne. Razem
123 znaczki. Paweł ma tyle samo co Tomek znaczków zagranicznych
i trzy razy więcej znaczków polskich. W sumie ma 140 znaczków.
Ile polskich znaczków ma Tomek?
Oznaczając przez x liczbę znaczków polskich Tomka, a przez y liczbę
jego znaczków zagranicznych, otrzymujemy układ równań:
+ = 1
Å„Å‚
òÅ‚ , którego rozwiÄ…zaniem jest para liczb x = 8,5 i y = 114,5.
+ = 1
ół
12
Jednak otrzymane liczby nie spełniają warunków zadania, gdyż nie są
to liczby naturalne.
Związki miarowe w trójkącie
Własności trójkątów związane z wysokością, środkową i bokami trój-
kąta zostały omówione w klasach I i II. W klasie III zajmujemy się pew-
nymi zależnościami, jakie można określić pomiędzy bokami trójkąta
i odpowiednimi dla tych boków kątami.
Posługujemy się pojęciami sin , cos , tg oraz ctg , gdzie jest
miarÄ… kÄ…ta ostrego. Stosujemy nazwy funkcji trygonometrycznych, cho-
ciaż zdajemy sobie sprawę z tego, że w przypadku określenia zależności
pomiędzy bokami i odpowiednimi kątami w trójkącie prostokątnym trud-
no jest mówić o funkcjach, ponieważ nie rozpatrujemy wielu istotnych
zagadnień związanych z funkcjami. Nie zajmujemy się dziedziną funkcji,
nie określamy przedziałów monotoniczności, nie określamy zbioru warto-
ści funkcji. Zagadnienia w proponowanym przez nas ujęciu należy po-
traktować jako wprowadzenie i rozszerzenie zakresu pojęciowego języka
matematyki.
Istotną sprawą jest jednak przybliżenie tych zagadnień tak, aby ucznio-
wie zrozumieli je. Może pomóc w uzyskaniu tego efektu rozpatrzenie na-
stępującej sytuacji.
Rysujemy trójkąt prostokątny.
A

Obliczamy stosunki długości boków: ,



, , . Wówczas = , = ,
b = 3





= i = . Po obliczeniu okreÅ›-


B C
a = 4
lonych stosunków rysujemy trójkąt po-
dobny do trójkąta ABC w skali 2.
Ponownie obliczamy stosunki długości odpowiednich boków. Rów-


nież w tym przypadku otrzymujemy = , = , = i = .



Powtarzamy procedurę, prosząc uczniów, aby każdy sam określił ska-
lę podobieństwa, w jakiej narysuje trójkąt podobny do trójkąta ABC.
13
= 5
c


Po obliczeniu ilorazów: , , , okazuje się, że niezależnie od długo-

ści boków otrzymujemy te same liczby. Uczniowie powinni wyciągnąć
wniosek, że niezależnie od długości boków trójkąta prostokątnego przy
tych samych miarach odpowiednich kątów określone stosunki długości
jego boków są niezmienne. Nie jesteśmy jednak w stanie odpowiedzieć na
pytanie: Czy stosunki zmienią się, jeżeli zmieni się miara kąta?
Opisaną powyżej procedurę powtarzamy dla innego trójkąta prostokąt-
nego. Wskazane jest, aby długość przynajmniej jednego z boków wyraża-
ła się liczbą niewymierną. Po obliczeniu odpowiednich ilorazów okaże
się, że dla danego trójkąta ilorazy te znów są stałe. Możemy zatem sfor-
mułować następujący wniosek: Wartości obliczonych ilorazów nie zależą
od długości boków trójkąta, natomiast zależą od miary kąta.
Przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych zalecamy stoso-
wanie kalkulatorów, gdyż wykorzystanie tablic funkcji trygonometrycz-
nych, ze względu na brak znajomości podstawowych własności tych
funkcji, jest utrudnione. Stosując w obliczeniach kalkulatory, wdrażamy
jednocześnie uczniów do stosowania rachunków na przybliżeniach, co
odpowiada wymaganiom zawartym w standardach egzaminacyjnych.
W części tej omawiamy również podstawowe tożsamości trygonome-
tryczne, nie rozwijając zbytnio tych zagadnień.
Pokazujemy też zastosowania funkcji trygonometrycznych w pewnych
sytuacjach praktycznych. Przykłady stosowania funkcji trygonometrycz-
nych do wyznaczania różnych elementów figur znajdują się również
w ostatniej części podręcznika. Dlatego w rozkładzie materiału uwzględ-
niliśmy dla części poświęconej funkcjom trygonometrycznym mniejszą
liczbę godzin na realizację niż przewidzieliśmy w programie nauczania,
wykorzystując wygospodarowane godziny w części, w której omawiamy
figury przestrzenne.
Figury przestrzenne
Wyobraz
nia przestrzenna jest bardzo ważna w życiu człowieka, uła-
twia bowiem funkcjonowanie w otaczającej nas rzeczywistości. Dlatego
ogromnie istotne jest bardzo częste odwoływanie się do doświadczeń
uczniów i ich obserwacji. Równie istotna jest umiejętność dostrzegania
figur matematycznych w otaczajÄ…cej nas przestrzeni.
14
Omawianie zagadnień związanych z figurami przestrzennymi rozpo-
czynamy od rozpatrzenia wzajemnego położenia w przestrzeni prostych,
płaszczyzn oraz prostej i płaszczyzny. Trudności, na jakie napotykają
uczniowie przy realizacji zagadnień z geometrii przestrzennej, najczęściej
związane są z brakiem umiejętności przedstawiania figur przestrzennych
na płaszczyz
nie. Dlatego też zdecydowaliśmy się na podanie podstawo-
wych wiadomości dotyczących rzutu równoległego. Przy realizacji za-
gadnień związanych z rzutem równoległym wskazane byłoby wsparcie
procesu dydaktycznego odpowiednimi demonstracjami. Możemy bazo-
wać na cieniach figur i pokazywać, jak zmieniają się rzuty równoległe
figur w zależności od ustawienia względem rzutni, jak i kierunku rzutu.
Umożliwia to lepsze zrozumienie zagadnień i swobodniejsze przedsta-
wianie figur przestrzennych na płaszczyz
nie.
Omawiając wielościany, szczególną uwagę zwracamy na graniastosłupy
(w zasadzie zajmujemy się graniastosłupami prostymi) i ostrosłupy. W celu
rozwijania wyobraz
ni przestrzennej należy wykonywać z uczniami ćwicze-
nia polegające na projektowaniu różnych siatek graniastosłupów i ostro-
słupów, a następnie na wykonywaniu modeli tych brył. Przy rozwiązywa-
niu zadań na obliczanie pola powierzchni oraz objętości graniastosłupów
i ostrosłupów stosujemy funkcje trygonometryczne. W ten sposób prak-
tycznie utrwalamy umiejętności uczniów nabyte wcześniej.
Równie ważne są zagadnienia związane z bryłami obrotowymi. Oma-
wiamy zagadnienia związane z polem powierzchni i objętością walca,
stożka i kuli. W klasach o większym stopniu zainteresowania matematyką
możemy pozwolić sobie na zdefiniowanie pojęcia kuli i sfery:
Kulą o środku w punkcie S i promieniu R nazywamy zbiór
wszystkich punktów X przestrzeni, dla których d" R.
Możemy w tym przypadku pokusić się również o zapis symboliczny
K(S, R) = {X : d" R}.
W analogiczny sposób możemy określić sferę:
Sferą o środku w punkcie S i promieniu R nazywamy zbiór
wszystkich punktów X przestrzeni, dla których = R.
Możemy podać też zapis symboliczny S(S, R) = {X : = R}.
W przypadku brył obrotowych dobrymi ćwiczeniami rozwijającymi
wyobraz
nię przestrzenną jest określanie lub szkicowanie figur na podsta-
wie ich przekroju osiowego.
15
16
ODPOWIEDZI DO ZADAC

Odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku
ramkÄ… z ,,!
Przygotowaliśmy odpowiedzi do zadań wyróżnionych w podręczniku ram-
ką z wykrzyknikiem. Zadania te są przeznaczone dla uczniów szczególnie
zainteresowanych matematykÄ… i wymagajÄ… nietypowego rozwiÄ…zania.
s. 11. Otrzymane róz
nice sÄ… kolejnymi liczbami nieparzystymi.
s. 16. Liczbę taką możemy wskazać w zbiorze liczb całkowitych ujemnych.
Jest niÄ…  1.
s. 20. Obliczenia takie możemy wykonać, korzystając z tarczy zegara. Na przy-
kład, jeżeli od godziny 4.00 upłynie 11 godzin, to będzie godzina 15.00.
Na tarczy zegara widnieje wówczas liczba 3; 9 + 5 = 2; 7  10 = 9.
s. 24. Dla liczb będących wielokrotnościami liczby 5 reszta z dzielenia przez 5
jest równa 0. W pozostałych przypadkach reszta jest równa 1.

a) 8; b) 80; c) 800; d) n  .


1
1 1
1 = Å"
= Å" = Å"
s. 29. ; ; .
( ) ( )


s. 34. KonstrukcjÄ™ odcinka wykonujemy w oparciu o twierdzenie Talesa.
17
s. 36. Oś obrotu nóg deski do prasowania możemy traktować jako wierzchołek
kąta. Stosunek długości odpowiednich części nóg deski do prasowania
jest stały. Z twierdzenia Talesa wynika zatem, że odcinki łączące odpo-
wiednie końce nóg deski są równoległe.
s. 41. Przez wierzchołki trójkąta ABC prowadzimy półproste SA, SB i SC.
Punkty przecięcia prostej zawierającej odcinek A''C'' z półprostymi SA
i SC wyznaczają odpowiednio wierzchołki A' i C' trójkąta A'B'C'. Sy-
metralna odcinka C'C'' jest poszukiwanÄ… prostÄ….
s. 46. Pole otrzymanego sześciokąta jest równe:

1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a) ; b) ; c) ; d)
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1
pola sześciokąta ABCDEF.
s. 51.
s. 55. Odległość pomiędzy tymi miejscowościami jest równa 150 km. Skala
otrzymanej przez Marka mapy jest równa 1 : 2 500 000.
s. 57. W trapezie ABCD prowadzi-
my przekÄ…tnÄ… AC. Przez
punkt E będący środkiem
przekÄ…tnej AC prowadzimy
prostą równoległą do podstaw
trapezu, która ma z bokami
18
trapezu AD i BC punkty wspólne F i G. Należy wykazać, że punkty F i G
są środkami boków trapezu.
Rozważamy trójkąty AEF i ACD. Ponieważ FAE = DAC , AFE =
= ADC oraz AEF = ACD , więc AEF ~ ACD. Z podobieństwa

trójkątów oraz z założenia, że AE = EC , mamy = = = 2,

1 1
czyli AF = · AD . Ponieważ AF = · AD , wiÄ™c punkt F jest Å›rodkiem

odcinka AD. Analogicznie, rozpatrując trójkąty ABC i EGC, wykazuje-
my, że punkt G jest środkiem odcinka BC.
1
Z podobieÅ„stwa trójkÄ…tów AEF i ACD wynika, że FE = · DC , nato-

1
miast z podobieÅ„stwa trójkÄ…tów ABC i EGC, otrzymujemy EG = · AB .

+
1 1
Zatem FG = FE + EG = · DC + · AB = . WykazaliÅ›my


więc, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do pod-
staw i jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw trapezu.
m
s. 62. Średnia prędkość przejazdu wyniosła 22,5 .

Uwaga: patrz przykład na stronie 88 w podręczniku.
s. 68. W rzucie jedną kostką możemy otrzymać 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Rzuca-
jąc druga kostką, do każdej z wyrzuconych liczby oczek możemy ,,dorzu-
cić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Tak więc w rzucie dwiema kostkami wszyst-
kich możliwych zdarzeÅ„ elementarnych jest 6 · 6 = 62 = 36. Ogólnie, przy
rzucie n kostkami do gry wszystkich zdarzeń elementarnych jest 6n.

s. 71. Prawdopodobieństwo, że odrzuconą kartą jest as, jest równe , nato-


miast prawdopodobieństwo, że odrzuconą kartą nie jest as, jest równe .

Tak więc prawdopodobieństwo wylosowania asa przy jednej odrzuconej
1
karcie jest równe · + · = .
1 1
s. 74. Ewelina musi wyjąć 6 rękawiczek.
s. 79. Z założenia a = b + c wynika, że a  b  c = b + c  b  c = 0, zatem nie
Å" - -
( )
można wykonać dzielenia przez a  b  c, a tym samym `" b.
- -
19
 + 1 1 1 1 1
= + = + +
s. 82. Dla x `"  1 i x `" 1, mamy .
+ 1 - 1
- 1 - 1 - 1 - 1
s. 86. Wyrażenie rozpatrujemy dla x `" 0. Wówczas:
1 1 1 1
= 1, = , = 1.

1 1 1
Å" Å" Å"

1 1
Å" Å"

1
Å"

1
W zależności od liczby ,,pięter ułamka otrzymujemy 1 lub .

s. 89. Iloczyn ogniskowych obiektywu i okularu f1 · f2 musi speÅ‚niać warunek:
a) f1 · f2 = 15; b) f1 · f2 = 10; c) f1 · f2 = 7,5.
W przypadku powiększenia 100 000 razy powinien być spełniony waru-
nek f1 · f2 = 0,015.
1 Å" Å"
s. 93. a) R = ;
1 Å" + Å" + 1 Å"
1 Å" Å" Å"
b) R = ;
1 Å" Å" + 1 Å" Å" + 1 Å" Å" + Å" Å"
1 Å" Å" Å" Å" Å" 1
c) R = ;
1 Å" Å" Å" Å" + 1 Å" Å" Å" Å" Å" 1 + + Å" Å" Å" Å" 1
1 Å" Å" Å" 1 Å"
d) R = .
1 Å" Å" Å" Å" 1 + + Å" Å" Å" 1 Å"
s. 98. x3 + x2 d"  3x  3
x3 + x2 + 3x + 3 d" 0
x2(x + 1) + 3(x + 1) d" 0
(x + 1) (x2 + 3) d" 0 Ô! x + 1 d" 0, bo x2 + 3 > 0 dla x " R
x d"  1.
s. 103. Prosta o równaniu x = 3.
20
 + =
Å„Å‚
s. 112. Układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy m `"  2. Musi
òÅ‚
- =
ół
być spełniony warunek  2m  4 `" 0.
- =
Å„Å‚
s. 115. Warunkiem koniecznym, aby układ był układem nie-
òÅ‚
+ =
ół
oznaczonym, jest, by był spełniony warunek 6 + 2m = 0, czyli m =  3.
Nie jest to jednak warunek wystarczajÄ…cy. PodstawiajÄ…c m =  3, otrzy-
+ =
Å„Å‚
mujemy układ równań , który jest równoważny układowi
òÅ‚
+ =
ół
+ = 1
Å„Å‚
, a ten układ jest układem równań sprzecznych. Oznacza
òÅ‚
+ =
ół
- =
Å„Å‚
to, że nie istnieje taka liczba m, aby układ równań
miał
òÅ‚
+ =
ół
nieskończenie wiele rozwiązań.
s. 119. Współczynniki kierunkowe prostych muszą być równe. Prostą o równa-
niu y + kx = 5 możemy zapisać y =  kx + 5, czyli k =  3.
s. 123. W układzie współrzędnych rysujemy proste odpowiadające równaniom
2x  4y = 10 i  x + y = 2, czyli
4y = 2x  10 i y = x + 2
- 1
y = .

Zaznaczamy
półpłaszczyz-
ny odpowia-
dajÄ…ce nie-
równościom
- 1
y <

i y > x + 2.
Współrzędne punktów, należących do wspólnej części zaznaczonych
półpłaszczyzn, spełniają dany układ nierówności.
1
s. 129. cos 30° `" .

21

s. 136. Z określenia funkcji sin ą, mamy sin = = cos .

Ponieważ = 90°  , wiÄ™c sin = cos (90°  ).

W naszym przypadku sin = cos (90°  ) = .


s. 143. Z zależnoÅ›ci tg · ctg = 1 wynika, że ctg = . Aby wyznaczyć

wartości sin i cos , budujemy układ równań:

Å„Å‚

Å„Å‚
=
= Å"
ôÅ‚
ôÅ‚

òÅ‚
, skÄ…d òÅ‚

ôÅ‚
+ = 1
ôÅ‚ .
+ = 1
ół
ół
1
Rozpatrując drugie równanie układu, otrzymujemy

· cos2 = 1
1
1
cos2 =


cos = (uwzględniamy wartość dodatnią ze względu na to, że jest

kątem ostrym). Wykorzystując pierwsze równanie układu, otrzymujemy

sin = ·


sin = .

s. 145. Pole trójkąta obliczamy, korzystając ze
1
wzoru P = · c · h. Z okreÅ›lenia funk-

cji trygonometrycznych wynika, że

= sin

h = b · sin .
Podstawiając do wzoru na pole trójkąta wyznaczoną wartość h, otrzy-
1
mujemy P = · b · c · sin .

s. 149. Nie, gdyż punkty wspólne patyczków wyznaczają różne płaszczyzny.
s. 153. Gdy człowiek zbliża się do latarni, długość jego cienia zmniejsza się,
natomiast gdy się oddala od latarni, długość cienia wydłuża się.
22
s. 158. = + = 1 = .
1
P1
4
P2
20
6
6
1

20
s. 164. Z wierzchołka graniastosłupa wychodzi n  2 przekątnych, gdzie n jest
liczbą boków wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa.
s. 168. Przekątne ścian bocznych wraz z przekątna podstawy tworzą trójkąt
równoboczny. = 60°.
s. 173. Sześcian
s. 178. Ilość wylanej wody jest równa objętości zanurzonego ciała.
s. 182.
s. 188. Zaznaczony przekrój jest trapezem.
23
s. 192. Liczby zapisane na ścianach klocków są kolejnymi potęgami liczby zapi-
sanej na podstawie. Na podstawie trzeciego klocka zapisana jest liczba 2.

s. 195. a) ; b) 1
; c) ; d) ; e) .
1 1 1 1
Objętość czworościanu, którego krawędz
ma długość 2a, jest 8 razy
większa od objętości czworościanu, którego krawędz
ma długość a.
Objętość czworościanu, którego krawędz
ma długość 3a, jest 27 razy
większa od objętości czworościanu, którego krawędz
ma długość a.
Objętość czworościanu, którego krawędz
ma dÅ‚ugość n · a, jest n3 razy
większa od objętości czworościanu, którego krawędz
ma długość a.
s. 200. Kolejne bryły mają objętości 4a3, 7a3, 10a3, 13a3, ... Ich pola po-
wierzchni są odpowiednio równe 18a2, 30a2, 42a2, 54a2, ...
s. 204. Przekrój bryły obrotowej mającej kształt doniczki i zawierający oś obro-
tu jest trapezem. Przekrój tej bryły płaszczyzną prostopadłą do osi obro-
tu jest kołem.
s. 210. a) 8 razy; b) 27 razy; c) 64 razy; d) n3 razy; e) a3 razy.
s. 215. Nie, gdyż tworząca musiałaby mieć długość równą promieniowi.
s. 219. Prostą prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej przez te punkty.
s. 223. Oznaczmy przez a długość krawędzi
danego sześcianu. Największy kwa-
dratowy otwór, jaki można wyciąć
w danym sześcianie, ma bok, którego

dÅ‚ugość jest równa a H" 1,06 · a.

Tak więc przez dany sześcian można
przesunąć sześcian, którego długość
krawÄ™dzi jest równa 1,06 · a, a wiÄ™c
nieco większy od danego.
24
Odpowiedzi do zadań w ćwiczeniach sprawdzających
oznaczonych
s. 6. Wypisujemy zbiór liczb dwucyfrowych, w których suma cyfr jest równa
13: {49, 58, 67, 76, 85, 94}, następnie skreślamy liczby parzyste. Pozo-
staje zbiór {49, 67, 85}. Z otrzymanego zbioru skreślamy liczby podziel-
ne przez 7. Pozostają liczby 67 i 85, które spełniają warunki zadania.
s. 8. Wypisujemy zbiór liczb dwucyfrowych, w których suma cyfr jest równa
11: {29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92}, następnie skreślamy liczby nieparzy-
ste. Pozostaje zbiór {38, 56, 74, 92}. Z otrzymanego zbioru skreślamy
liczby podzielne przez 4. Pozostają liczby 38 i 74, które spełniają warunki
zadania.
s. 10.
s. 12.
s. 14. Punkt A' = (x', y') jest obrazem punktu A = (x, y) w jednokładności o środ-
ku w punkcie (0, 0) i skali k wtedy i tylko wtedy, gdy x' = k · x i y' = k · y.
MuszÄ… być zatem speÅ‚nione jednoczeÅ›nie warunki 2 · (a + b + 1) = 2a + 4b
i 2 · (a + b) = a + b + 2. RozwiÄ…zujemy ukÅ‚ad równaÅ„
Å" + + 1 = +
Å„Å‚ ()
òÅ‚
Å" + = + +
( )
ół
25
 + + = +
Å„Å‚
òÅ‚
+ = + +
ół
=
Å„Å‚
òÅ‚
+ =
ół
= 1
Å„Å‚
òÅ‚
= 1
ół
Para liczb a = 1 i b = 1 spełnia warunki zadania. Punktami, które są jed-
nokładne w skali k = 2 względem punktu (0, 0) są punkty A = (3, 2)
i A' = (6, 4).
s. 16. Punkt A' = (x', y') jest obrazem punktu A = (x, y) w jednokładności o środ-
ku w punkcie (0, 0) i skali k wtedy i tylko wtedy, gdy x' = k · x i y' = k · y.
MuszÄ… być zatem speÅ‚nione jednoczeÅ›nie warunki 2 · (a + b + 1) = 3a + 3b
i 2 · (2a  b) = a  2b + 3. RozwiÄ…zujemy ukÅ‚ad równaÅ„
Å" + + 1 = +
Å„Å‚ ()
òÅ‚
Å" - = - +
( )
ół
+ + = +
Å„Å‚
òÅ‚
- = - +
ół
+ =
Å„Å‚
òÅ‚
=
ół
= 1
Å„Å‚
òÅ‚
= 1
ół
Para liczb a = 1 i b = 1 spełnia warunki zadania. Punktami, które są jed-
nokładne w skali k = 2 względem punktu (0, 0) są punkty A = (3, 1)
i A' = (6, 2).
s. 18. Korzystając z twierdzenia Talesa, dzielimy odcinek długości a na trzy czę-
ści, których długości są proporcjonalne do długości boków trójkąta MUR.
Na prostej k odmierzamy odcinek M'U', którego długość jest równa r'.
Konstruujemy kąt o wierzchołku U' taki, że jego miara jest równa . Na
otrzymanym ramieniu kąta odkładamy odcinek U'R', którego długość jest
równa m'. A
ączymy punkty R' i M'. Otrzymany trójkąt M'U'R' jest podob-
ny do trójkąta MUR. Poprawność konstrukcji wynika z cech podobień-
stwa trójkątów.
26
s. 20. Korzystając z twierdzenia Talesa, dzielimy odcinek długości a na trzy czę-
ści, których długości są proporcjonalne do długości boków trójkąta MUR.
Na prostej k odmierzamy odcinek M'U', którego długość jest równa r'.
Konstruujemy kąt o wierzchołku U' taki, że jego miara jest równa . Na
otrzymanym ramieniu kąta odkładamy odcinek U'R', którego długość jest
równa m'. A
ączymy punkty R' i M'. Otrzymany trójkąt M'U'R' jest podob-
ny do trójkąta MUR. Poprawność konstrukcji wynika z cech podobień-
stwa trójkątów.
27
s. 22. Gra nie jest sprawiedliwa.
Prawdopodobieństwo wyrzu-
cenia jedynki przez Pawła
1
jest równe , a prawdopodo-

bieństwo wyrzucenia jedynki
1
przez Gawła jest równe .

Gra jest sprawiedliwa, gdy
kostka Pawła kostka Gawła
obaj uczestnicy majÄ… takÄ…
samÄ… szansÄ™ jej wygrania.
s. 24. Prawdopodobieństwo otrzy-
mania parzystej liczby oczek
1
przez Pawła jest równe .

Prawdopodobieństwo otrzy-
mania przez Gawła niepa-
rzystej liczby oczek jest

równe .

Gra nie jest sprawiedliwa. kostka Pawła kostka Gawła

( )
( - 1 )Å" +
s. 26. Wyrażenia te nie są równe, gdyż dziedziną wyrażenia

( )
( - )Å" -
+
jest zbiór R  { 5, 4, 5}, natomiast dziedziną wyrażenia jest zbiór
-
R  { 5}.

( )
( - 1 )Å" -
s. 28. Wyrażenia te nie są równe, gdyż dziedziną wyrażenia

( )
( - )Å" +
-
jest zbiór R  { 5,  4, 5}, natomiast dziedziną wyrażenia jest zbiór
+
R  { 5}.
s. 30. Podane wyrażenie możemy rozważać, gdy x `" 0. Zapisujemy wyrażenie
1 1 1 1
= = =
w prostszej postaci . Odwrotnością wyrażenia jest 2.
1 1
+Å"

1
1 1

28
s. 32. Podane wyrażenie możemy rozważać, gdy x `" 0. Zapisujemy wyrażenie
1 1 1
= = =
w prostszej postaci . Odwrotnością wyrażenia
1 1 1
Å"



1 1
+

1
jest .

s. 34. Oznaczmy przez k liczbę kominów. Wówczas spełnione muszą być wa-
runki 7 d" k d" 10 i 14 d" 3k d" 24. Przekształcając ostatnią nierówność,

otrzymujemy 4 d" k d" 8. Oznacza to, że kominów może być 7 lub 8.

s. 36. Oznaczmy przez k liczbę kominów. Wówczas spełnione muszą być wa-
runki 6 d" k d" 9 i 13 d" 3k d" 21. Przekształcając ostatnią nierówność, otrzy-
1
mujemy 4 d" k d" 7. Oznacza to, że kominów może być 5, 6 lub 7.

+ + = 1
Å„Å‚
ôÅ‚
s. 38. - + =
òÅ‚
ôÅ‚ + - = .
ół
Z równania (2) i (3) otrzymujemy
2x = 2
x = 1.
+ + 1 =
Å„Å‚
PodstawiajÄ…c do równania (1) i (2) x = 1, mamy òÅ‚ , skÄ…d
1 - + =
ół
2 + 2x = 8
2z = 6
z = 3.
Podstawiając do dowolnego równania wartości x = 1 i z = 3, otrzymujemy
y = 2. RozwiÄ…zaniem sÄ… liczby: x = 1, y = 2 i z = 3.
+ + = 1
Å„Å‚
ôÅ‚
s. 40. - + =
òÅ‚
ôÅ‚ + - = .
ół
Z równania (2) i (3) otrzymujemy
2z = 2
z = 1.
29
 + + 1 =
Å„Å‚
PodstawiajÄ…c do równania (1) i (2) z = 1, mamy òÅ‚ , skÄ…d
1 - + =
ół
2x + 2 = 8
2x = 6
x = 3.
Podstawiając do dowolnego równania wartości x = 3 i z = 1, otrzymujemy
y = 2. RozwiÄ…zaniem sÄ… liczby: x = 3, y = 2 i z = 1.
+ =
Å„Å‚
s. 42. Odejmując stronami równania układu , otrzymujemy
òÅ‚
+ =
ół
ax  3x = 2, skÄ…d x · (a  3) = 2. Dla a = 3 otrzymujemy sprzeczność, gdyż
wówczas lewa strona równania przyjmuje wartość 0, a po prawej stronie
równania jest 3.
s. 44. Układ równań jest nieoznaczony, jeżeli odpowiednie współczynniki są
proporcjonalne. W tym przypadku a = 6.
s. 46. Dla kąta ostrego sin `" 0. Dzielimy obie strony równania przez sin
i otrzymujemy cos = sin , skÄ…d = 45°.
s. 48. Dla kąta ostrego cos `" 0. Dzielimy obie strony równania przez cos
i otrzymujemy sin = cos , skÄ…d = 45°.
Å" ° - Å" °
Å" -
s. 50. =
( )

Å" ° - Å" ° = Å" -
( )
Å" ° - Å" ° = -
Å" ° - Å" ° - = -
Å" ° - ° - = -
( )
- 1 - = -
( )
 x =  6
x = 6.
Å" ° - Å" °
Å" -
s. 52. =
( )

Å" ° - Å" ° = Å" -
( )
30
 Å" ° - Å" ° = -
Å" ° - Å" ° - = -
Å" Å" ° - ° - = -
( )
ëÅ‚ öÅ‚

ìÅ‚
Å" Å" - 1 - ÷Å‚ = -
íÅ‚ Å‚Å‚

 x =  6
x = 6.
s. 54. W każdej figurze możemy wskazać odcinek, który jest równoległy do rzutni.
Przyjmijmy, że odcinkiem tym jest średnica okręgu. Rzuty równoległe
cięciw rysujemy, korzystając w tym przypadku z własności: rzutami rów-
noległymi odcinków równoległych są odcinki równoległe, których długo-
ści ulegają skróceniu w tym samym stosunku.
s. 56. W każdej figurze możemy wskazać odcinek, który jest równoległy do rzutni.
Przyjmijmy, że odcinkiem tym jest średnica okręgu. Rzuty równoległe
cięciw rysujemy, korzystając w tym przypadku z własności: rzutami rów-
noległymi odcinków równoległych są odcinki równoległe, których długo-
ści ulegają skróceniu w tym samym stosunku.
31
s. 58. Na przykład
s. 60. Na przykład
s. 62.
s. 64.
s. 66. Niech a oznacza długość krawędzi sześcianu. Ze wzoru na długość prze-
kątnej sześcianu, mamy
- =
Å" - 1 =
( )

a =
- 1
32
 Å" + 1
( )
a =

Å" + 1
a = .
( )
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, otrzymujemy

V = Å" + 1 .
( )
[]
Liczba
Å" + 1
( ) jest liczbą niewymierną, a więc nie jest liczbą całko-
witÄ….
s. 68. Niech a oznacza długość krawędzi sześcianu. Ze wzoru na długość prze-
kątnej sześcianu, mamy
- =
Å" - 1 =
( )

a =
- 1
Å" + 1
( )
a =

+ 1
a = .
( )
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, otrzymujemy V = + 1 .
( )
Liczba + 1
( ) jest liczbą niewymierną, a więc nie jest liczbą całko-
witÄ….
s. 70. Niech a oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego. Objętość
1
obliczymy, korzystajÄ…c ze wzoru V = a3 · . Wyznaczamy dÅ‚ugość
1
krawędzi czworościanu foremnego. Ściany czworościanu foremnego są
Å"
trójkątami równobocznymi. Wysokość jest zatem równa h = . Ko-
s

rzystajÄ…c z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Å" Å"
1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
144 + Å" =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚

33

144 + =
1

 = 144
1

= 144
1
h
a = 12 .
h
s
1 h
s
V = · · 1
( )
1
1
V = · · 123 · 3
1
V = 432 .
s. 72. Niech a oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego. Objętość
1
obliczymy, korzystajÄ…c ze wzoru V = a3 · . Wyznaczamy dÅ‚ugość
1
krawędzi czworościanu foremnego. Ściany czworościanu foremnego są
Å"
trójkątami równobocznymi. Wysokość jest zatem równa h = . Ko-
s

rzystajÄ…c z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Å" Å"
1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
36 + Å" =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚


36 + =
1

 = 36
1

= 36
1
h
a = 3 .
h
s
1
h
s
V = · ·
( )
1
1
V = · · 33 · 6
1
1
V = .

34


ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
s. 74. Z równoÅ›ci · y2 · x = · · h wyliczamy wysokość h.
íÅ‚ Å‚Å‚


· y2x = · · h

h = a2 · x
Aby objętość walca się nie zmieniła, jego wysokość należy zwiększyć a2
razy.
s. 76. Z równoÅ›ci · y2 · x = · (y · a)2 · h wyliczamy wysokość h.
· y2 · x = · y2 · a2 · h

h =

Aby objętość walca się nie zmieniła, jego wysokość należy zmniejszyć a2
razy.
s. 78.
P h
p
Liczby wpisywane są według schematu ,
V
gdzie pole podstawy stożka Pp,
wysokość stożka h, objętość V.
s. 80.
P h
p
Liczby wpisywane są według schematu ,
V
gdzie pole podstawy stożka Pp,
wysokość stożka h, objętość V.
35
s. 82. Niech r oznacza promień kuli. Wówczas

4 · r2 = · r3


· r3  4 · r2 = 0

1

4 · r2 · - 1
= 0
( )

1
r = 0 lub r  1 = 0

1
r = 1

r = 3.
Promień kuli jest równy 3.
s. 84. Niech r oznacza promień pomarańczy. Wówczas

4 · r2 = · r3


· r3  4 · r2 = 0

1

4 · r2 · - 1
= 0
( )

1
r = 0 lub r  1 = 0

1
r = 1

r = 3.
Promień pomarańczy jest równy 3.
36
OCENIANIE RAZ JESZCZE
Zbliżają się egzaminy po gimnazjum,
czas pomyśleć o sprawdzianach typu
egzaminacyjnego. Jeśli uczniowie praco-
wali z podręcznikami i zbiorami zadań
z serii Matematyka krok po kroku, nie
będą mieli większych problemów ze
sprawdzianami. Wiele zadań układaliśmy
pod kątem standardów egzaminacyjnych.
Wystarczy powtórzyć i utrwalić przero-
biony materiał. Czas na powtórzenia wygospodarowujemy w ciągu całego
roku szkolnego, np. omawiajÄ…c figury przestrzenne, przypominamy wiado-
mości na temat figur płaskich. Możemy dodatkowe godziny wygospodaro-
wać, rezygnując z części czasu przeznaczonego na impresje matematyczne.
W ćwiczeniach sprawdzających oraz zbiorze zadań wprowadziliśmy
zadania zamknięte. Układając prace klasowe, postarajcie się umieścić kil-
ka zadań tego typu. Mogą to być zadania klasyczne lub już nowego typu,
układane do konkretnego standardu.
Podajemy przykłady sprawdzianów, które można wykorzystać, podsu-
mowując pewne partie materiału. Każdy ze sprawdzianów uczniowie
mogą napisać w ciągu 45 minut. Sprawdziany zawierają po 10 zadań
zamkniętych, punktowanych w skali od 0 1 oraz po 4 zadania otwarte.
W zadaniach zamkniętych należy zaznaczyć jedną prawidłową odpo-
wiedz
, do zadań otwartych należy podać pełne rozwiązanie. Pierwszy
sprawdzian można przeprowadzić po zrealizowaniu rozdziałów: Liczby
rzeczywiste, Przekształcenia geometryczne, Doświadczenia losowe. Dru-
gi sprawdzian jest podsumowaniem rozdziałów: Wyrażenia algebraiczne,
Równania, nierówności, układy równań, Związki miarowe w trójkącie
i Figury przestrzenne. Trzeci sprawdzian jest sprawdzianem całorocz-
nym. Z każdego sprawdzianu można uzyskać maksymalnie 20 punktów.
37
SPRAWDZIAN 1
TECHNiCZNE NOWiNKi
Zadanie 1. (1 punkt)
Największym samolotem transportowym jest A 300-600 ST, zwany ,,Be-
luga . Masa samego samolotu wynosi 87 ton, a po zatankowaniu paliwa
i zabraniu ładunku sięga 155 ton. Ile waży ładunek i paliwo, które może
zabrać ,,Beluga ?
A. 68 · 105 kg B. 6,8 · 104 kg C. 87 · 103 kg D. 0,68 · 103 kg
Zadanie 2. (1 punkt)
2
Ostatnią, 18 grupę układu okresowego pierwiastków stano-
Hel
10
wią gazy szlachetne. Dawniej uważano, że nie tworzą one
Neon
żadnych związków, jednak w 1962 roku otrzymano wiele
18
związków chemicznych niektórych gazów, np. fluorki kryp-
Argon
tonu i ksenonu. Korzystając z rysunku, odpowiedz, które 36
Krypton
z tych gazów to gazy szlachetne.
54
Ksenon
A. argon, krypton, ksenon i radon B. hel i radon
86
C. neon i argon D. hel i neon
Radon
Zadanie 3. (1 punkt)
Pewna japońska firma wyprodukowała przenośny telewizor wyposażony
w ekran o przekątnej 2,5 cala. Podaj długość tej przekątnej w centymetrach.
1 cal = 2,54 cm A. 6,35 cm B. 8 cm C. 6,25 cm D. 4,9 cm
Zadanie 4. (1 punkt)
W 2000 roku rozpoczęto budowę nowoczesnego teleskopu. Budowę fi-
nansuje kilka państw, w tym również Polska. Polska jest zobowiązana
pokryć 10% kosztów przedsięwzięcia, czyli ok. 2 mln dolarów. Ile dola-
rów będzie kosztowała budowa teleskopu?
A. 200 mln dolarów B. 2000 mln dolarów
C. 20 mln dolarów D. 10 mln dolarów
38
Zadanie 5. (1 punkt)
Jeśli chcesz robić zdjęcia lotnicze, możesz do tego
celu wykorzystać latawiec typu Delta. Latawiec
ten może bez trudu wynieść w powietrze niewielki
aparat fotograficzny. Na jakiej wysokości znajduje
siÄ™ latawiec przedstawiony na rysunku?
A. 102 m B. 10 m
C. 200 m D. 100 m
100 m
Zadanie 6. (1 punkt)
Na rysunku przedstawiony jest la-
tawiec typu Delta. Latawiec ma
kształt figury:
A. symetrycznej środkowo
B. symetrycznej osiowo
C. symetrycznej osiowo i środkowo
D. która nie ma osi symetrii
Zadanie 7. (1 punkt)
Podobno co 5 płyta CD znajdująca się na naszym rynku pochodzi z nagrań
pirackich. Dostałeś 10 płyt CD. Spośród otrzymanych płyt wybrałeś jed-
ną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to płyta piracka?
1 1
A. B. C. 1 D.
1 1
Zadanie 8. (1 punkt)
Nowoczesne mosty to najczęściej mosty wiszące. Utrzymywane są przez
stalowe liny rozpięte między masztami nośnymi po obu stronach rzeki.
Wskaż miarę kąta, jaki tworzy lina l z masztem w.
A. 40°
B. 90°
l
w
C. 60°
D. 50°
39
Zadanie 9. (1 punkt)
Sztuczny satelita, aby utrzymać się na orbicie wokółziemskiej, musi poru-
km
szać się z prędkością ok. 28 800 . Wskaż, ile kilometrów pokona sate-

lita w ciÄ…gu sekundy.
A. 6 km B. 4 km C. 8 km D. 12 km
Zadanie 10. (1 punkt)
Badania poziomu aktywności Słońca prowadzi się dziś w specjalnych ob-
serwatoriach heliofizycznych oraz w przestrzeni kosmicznej. Dawniej
pomiary te polegały na zliczaniu plam słonecznych, a parametr określają-
cy stopień zaplamienia tarczy słonecznej nazywamy dziś liczbą Wolfa. Na
podstawie rysunku określ, w którym roku poziom aktywności słonecznej
był największy.
A. 1810 r. B. 1980 r. C. 1960 r. D. 1900 r.
Zadanie 11. (2 punkty)
Współczesna astronomia
nie może się obyć bez
teleskopów przybliżają-
cych obrazy odległych
obiektów. Nam natomiast
nadal wystarcza tradycyj-
na lupa. Ile razy większy
wydaje siÄ™ patrzÄ…cemu
przedmiot przedstawiony
na rysunku?
40
Zadanie 12. (3 punkty)
W tabeli podany jest procent użytkowników Internetu w wybranych re-
gionach świata. Przedstaw te dane na diagramie słupkowym.
Obszar Użytkownicy Internetu w %
USA 54
Europa Wschodnia 4
Ameryka A
acińska 3
Azja Wschodnia 2
Kraje arabskie 1
Zadanie 13. (2 punkty)
Na świecie pracują obecnie 434 jądrowe
bloki energetyczne. W Polsce jednak nadal
dominuje energetyka cieplna bazujÄ…ca na
m
węglu kamiennym i brunatnym. Oblicz, jaką
wysokość ma chłodnia kominowa przedsta-
wiona na rysunku.
Zadanie 14. (3 punkty)
Jedną z największych imprez w 2000 r. była wystawa światowa w Hano-
werze. Na wystawie tej zaprezentowano najnowsze osiągnięcia nauki
i techniki. Oblicz wartość wyrażenia
+ - + :
( )( )

+ 1 Å"1
-1
1
:
( )

a dowiesz się, ile państw miało swoje pawilony na tej wystawie.
Klucz do odpowiedzi
Zadanie 1. B; zadanie 2. D; zadanie 3. A; zadanie 4. C; zadanie 5. D;
zadanie 6. B; zadanie 7. A; zadanie 8. D; zadanie 9. C; zadanie 10. C;
zadanie 11. 1,5 raza; zadanie 13. 50 m; zadanie 14. 155.
41
SPRAWDZIAN 2
DO KOC
CA ROKU JEDEN KROK
Zadanie 1. (1 punkt)
Podaj, ile m3 ziemi usunięto podczas
1 km
budowy tunelu, którego schemat przed-
stawia rysunek. Przyjmij, że 3.
A. 300 000 B. 30 000
C. 1 200 000 D. 400
Zadanie 2. (1 punkt)
Wykres przedstawia krzywÄ… toru lotu pew-
nego wróbla. Zaznacz wyrażenie, którym
można opisać tę krzywą, dla x > 0.
A. y = 4x  4 B. y = 4x

C. y = x + 4 D. y =

Zadanie 3. (1 punkt)
+
Podaj, w jakim przypadku wyrażenie ma sens liczbowy.
-
A. x `"  4 B. x = 2 C. x `" 2 D. x `" 0
Zadanie 4. (1 punkt)
Zależność ciśnienia gazu od jego objętości przy stałej masie określa wzór
1 1
=
. Wyznacz z tego wzoru V1.


1 Å"
A. V1 = B. V1 =
1 Å"
C. V1 = p2 · V2 · p1 D. V1 = p2 + p1 · V2
42
20 m
Zadanie 5. (1 punkt)
Wskaż wyrażenie, które określa, jaką kwotę (w zł) będziesz mógł wypła-
cić po roku oszczędzania w ,,Banku Wspaniałym .
Wpłacam do  Banku Wspaniałego x zł.
A. 115%x B. x · 15%x
Oprocentowanie w tym banku w skali
C. 15%x D. 85%x
rocznej wynosi 15%.
Zadanie 6. (1 punkt)
Z tej samej stacji o różnych porach
P1
wyruszajÄ… dwa pociÄ…gi. Wykresy ich
ruchu przedstawiono na rysunku. Któ-
P2
ry z pociągów poruszał się z większą
prędkością?
A. P1
B. P2
C. nie można tego sprawdzić
D. pociągi poruszają się z tą samą prędkością
Zadanie 7. (1 punkt)
Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 10. Różnica cyfry dziesiątek
i cyfry jedności jest równa 2. Zaznacz układ równań, który da ci możliwość
wyznaczenia cyfry jedności x danej liczby i cyfry dziesiątek y tej liczby.
+ = 1 - = 1 + = 1 1 + = 1
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
A. òÅ‚ B. òÅ‚ C. òÅ‚ D. òÅ‚
- = + + - = - =
ół ół ół ół
Zadanie 8. (1 punkt)
Sinus kąta, jaki tworzy złamany
pień drzewa z poziomem, jest
d
równy:

h
A. B.



C. D.

w
43
Zadanie 9. (1 punkt)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest graniastosłup.
A. B.C. D.
Zadanie 10. (1 punkt)
Świeca w kształcie ostrosłupa ma taką samą wysokość i podstawę jak
świeca w kształcie graniastosłupa. Ile razy więcej wosku zużyto na wyko-
nanie świecy w kształcie graniastosłupa?
A. 3 B. 9 C. 13 D. 27
Zadanie 11. (2 punkty)
Na rysunku przedstawiono słoje przyro-
stu rocznego drzewa. Oblicz pole zazna-
czonej figury.
Zadanie 12. (2 punkty)
Oblicz, na jakÄ… wy-
sokość sięga ramię
dz
wigu przedstawio-
nego na rysunku.
44
2 cm
3 cm
Zadanie 13. (3 punkty)
Ile skóry potrzeba na wykonanie piłki o średnicy 20 cm? Na szwy i odpa-
dy dolicz 10% powierzchni. Przyjmij, że 3.
Zadanie 14. (3 punkty)
Rozwiąż równanie (x  4)2  (x  1) (x + 1) = 1.
Klucz do odpowiedzi
Zadanie 1. A; zadanie 2. D; zadanie 3. C; zadanie 4. B; zadanie 5. A;
zadanie 6. D; zadanie 7. C; zadanie 8. B; zadanie 9. D; zadanie 10. A;
zadanie 11. cm2; zadanie 12. 10 m; zadanie 13. 1320 cm2;
zadanie 14. x = 2.
45
SPRAWDZIAN 3
SZALEC
STWO XX WiEKU
Jednym z najlepiej znanych wyna-
lazków lat siedemdziesiątych XX wie-
ku jest telefonia komórkowa. Ciągle
toczą się spory o to, czy używanie tele-
fonów komórkowych jest szkodliwe
dla zdrowia. Telefony te emitujÄ… pro-
mieniowanie elektromagnetyczne o częstotliwości od 800 do 2000 MHz.
Jeśli ktoś trzyma telefon przy uchu przez kilka minut, fale emitowane
przez aparat mogÄ… podnieść temperaturÄ™ tkanki mózgowej o 0,1°C.
Zadanie 1. (1 punkt)
Pani Adela posiada telefon komórkowy w sieci ,,Plum-Plum . Jaka jest
częstotliwość promieniowania emitowanego przez ten telefon?
A. 300 MHz B. 3000 MHz C. 600 MHz D. 1400 MHz
Zadanie 2. (1 punkt)
W którym roku zaczęła działać pierwsza sieć telefonii komórkowej?
A. 1872 r. B. 1990 r. C. 1979 r. D. 2000 r.
Zadanie 3. (1 punkt)
Pan Arnold rozmawiał przez telefon komórkowy 8 minut. O ile stopni
wzrosła temperatura jego tkanki mózgowej?
A. 0,1°C B. 0,8°C C. 8°C D. 8,1°C
Zadanie 4. (1 punkt)
W pewnym miasteczku co roku przeprowadzano sondaż w grupie 50
osób, pytając, kto ma telefon komórkowy. Wyniki sondażu pokazano na
diagramie. Jaki procent osób objętych sondażem w 1998 r. posiadało tele-
fon komórkowy?
46
A. 9% B. 20% C. 12% D. 36%
Zadanie 5. (1 punkt)
Pierwsze telefony komórkowe miały za-
sięg do 1 km. Który z chłopców mógł
porozmawiać z Julkiem (J) przez jeden
z pierwszych telefonów komórkowych?
A. Edek (E) B. Alek (A)
C. WÅ‚odek (W) D. Karol (K)
Zadanie 6. (1 punkt)
Aparat komórkowy Franciszka jest w kształcie prostopadłościanu o wy-
miarach 15 cm, 8 cm i 2 cm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
A. 120 cm3 B. 2400 cm3 C. 240 cm3 D. 16 cm3
Zadanie 7. (1 punkt)
Gdyby Franciszek chciał uszyć pokrowiec na swój telefon, to z której
z narysowanych siatek mógłby skorzystać?
B.
A.
C.
D.
47
Zadanie 8. (1 punkt)
W niektórych przypadkach aparat telefonu komórkowego może służyć
jako kalkulator. Korzystając z kalkulatora, podaj wartość wyrażenia

- 1
Å"
( )

- Å"

1 Å"
A. 3 B.  4 C.  3 D. 0
Zadanie 9. (1 punkt)
Za 3 telefony komórkowe i 2 czekolady trzeba zapłacić 124 zł. Za 1 tele-
fon i 3 czekolady trzeba zapłacić 46 zł. Ile kosztuje telefon komórkowy?
A. 24 zł B. 120 zł C. 40 zł D. 2 zł
Zadanie 10. (1 punkt)
Tadeusz ma telefon komórkowy pracujący w sieci ,,Ble-Ble . Wczoraj
o godz. 14.00 zadzwonił do mamy i rozmawiał z nią 6 minut. Dzisiaj wy-
słał bratu wiadomość składającą się z 184 znaków. Ile zapłaci za rozmowę
i wysłaną wiadomość?
Lubisz rozmawiać?
Lubisz rozmawiać?
Lubisz rozmawiać?
Lubisz rozmawiać?
Lubisz rozmawiać?
A. 10,20 zł
Zrób to taniej w sieci  Ble-Ble
Zrób to taniej w sieci  Ble-Ble
Zrób to taniej w sieci  Ble-Ble
Zrób to taniej w sieci  Ble-Ble
Zrób to taniej w sieci  Ble-Ble
B. 10,70 zł
Usługa Cena
Usługa Cena
Usługa Cena
Usługa Cena
Usługa Cena
C. 8,80 zł
wysłanie SMS-a (do 160 znaków) .......... 0,50 zł
minuta rozmowy (godz. 8.00 - 16.00) ...... 1,70 zł
D. 11,20 zł
minuta rozmowy (godz. 16.00 - 8.00) ...... 1,30 zł
Zadanie 11. (2 punkty)
Oblicz w jakiej odległości od abonenta A znajduje
się stacja bazowa P sieci telefonii komórkowej
,,Ble-Ble .
48
Zadanie 12. (3 punkty)
Oblicz, na jakiej wysokości umiesz-
czono przekaz
nik sieci ,,Ble-Ble .
1 m
Zadanie 13. (2 punkty)
Wiemy, że jedna ze stacji bazowych (nadawczo-odbiorczych) sieci ,,Ble-Ble
obsługuje abonentów telefonii komórkowej na obszarze o powierzchni
48 km2. Przyjmując, że obszar ten jest kołem, oblicz jego promień. Przyj-
mij 3.
Zadanie 14. (3 punkty)
Bogdan przeprowadził ankietę w grupie pięciu kolegów. Wyniki przedsta-
wił w następujący sposób:
telefon
komórkowy
telefon
stacjonarny
brak telefonu
a) Jak myślisz, o co pytał Bogdan w ankiecie?
b) Graf narysowany przez Bogdana przedstawia pewną funkcję. Wymień
elementy dziedziny tej funkcji.
c) Ile elementów należy do zbioru wartości tej funkcji?
Klucz do odpowiedzi
Zadanie 1. D; zadanie 2. C; zadanie 3. A; zadanie 4. D; zadanie 5. C;
zadanie 6. C; zadanie 7. A; zadanie 8. C; zadanie 9. C; zadanie 10. D;
zadanie 11. 2 ; zadanie 12. 10 m; zadanie 13. 4 km.
49
50
ŚCIEŻKI EDUKACYJNE
W GIMNAZJUM
Ścieżki edukacyjne  co to takiego?
Od kilku lat borykamy się z problemem ścieżek edukacyjnych. Refor-
ma edukacji spowodowała bowiem, że musimy poszukiwać nowych roz-
wiązań dydaktycznych. Wielu nauczycieli opracowało system wplatania
treści ścieżek do lekcji. Ale nauczyciele rozpoczynający pracę zapewne
nie bardzo orientują się w tym zagadnieniu. A więc najpierw o tym, co to
są ścieżki edukacyjne.
Aby dobrze funkcjonować w otaczającej nas rzeczywistości, należy
posiadać wiedzę i umiejętności z wielu dziedzin. I to umiejętności zinte-
growane, umożliwiające szybką analizę zachodzących zjawisk, a co za
tym idzie  błyskawiczne podejmowanie decyzji. Dobrym porównaniem
jest tu jazda samochodem  dojeżdżając do skrzyżowania nie tylko spo-
glądamy na znaki drogowe, ale analizujemy również panującą na nim sy-
tuację i w zależności od oceny dostosowujemy do niej nasze postępowanie.
W nauczaniu przedmiotowym często mamy do czynienia z wiedzą
czysto teoretycznÄ… i poszufladkowanÄ…, stosowanÄ… tylko w sytuacjach
specyficznych dla danej edukacji, nie próbującą wyjaśnić zjawisk z inne-
go punktu widzenia. W wielu jeszcze wypadkach, niestety, niespójną.
Chcemy przyzwyczajać ucznia do kompleksowego spojrzenia na świat,
staramy się pokazywać praktyczne wykorzystanie wiedzy i umiejętno-
ści w konkretnych sytuacjach. Pociąga to jednak za sobą konieczność
łączenia wiedzy z kilku dziedzin nauki. Pomysłem na taką integrację są
ścieżki edukacyjne. Podają one konkretne treści, wokół których można
budować zajęcia z danej edukacji lub zajęcia wykorzystujące umiejętno-
ści z kilku edukacji.
51
Treści ścieżek zawierają hasła, któ-
re zwykle były realizowane w szko-
łach na poszczególnych przedmio-
tach. Na przykład za edukację związa-
nÄ… ze zdrowiem byli odpowiedzialni
nauczyciele biologii, za edukacjÄ™ czy-
telniczą  poloniści. Teraz każdy z na-
uczycieli, planując pracę uczniów, po-
winien brać pod uwagę treści ścieżek
i realizować je na swoim przedmiocie
w mniejszym lub większym stopniu,
w zależności od potrzeb i możliwości.
Dobrze zaplanowana w szkole realizacja ścieżek umożliwia ujednolicenie
tych samych pojęć występujących w różnych podręcznikach. Zmusza na-
uczycieli do współpracy, czego efektem powinno być odciążenie mło-
dzieży od uczenia się tych samych pojęć dla potrzeb kilku przedmiotów
i wykorzystanie posiadanych umiejętności niezależnie od edukacji.
Realizacja zagadnień związanych z daną ścieżką lub z kilkoma ścież-
kami edukacyjnymi daje możliwość prowadzenia przez uczniów prac
badawczych, prezentacji swoich zainteresowań, odejścia od szablono-
wego sposobu uczenia, poprzez wprowadzenie aktywizujÄ…cych metod
nauczania.
Każda ze ścieżek edukacyjnych przeznaczonych do realizacji w gim-
nazjum zawiera kilka haseł, z którymi powinien się zapoznać gimnazja-
lista. Jeśli przynajmniej część z nich zostanie zrealizowana, absolwent
gimnazjum potrafi zadbać o swoje zdrowie, dostrzegać zagrożenia środo-
wiska przyrodniczego występujące w miejscu zamieszkania, określić
wkład Polski w rozwój kultury europejskiej, odczuwać przynależność do
regionu, z którego pochodzi, przygotować się do prawidłowego współ-
działania w różnych sytuacjach. Będzie przygotowany do korzystania
z różnych z
ródeł informacji. Umiejętności, wynikające z realizacji ście-
żek edukacyjnych, dają więc możliwość młodemu człowiekowi dobrego
funkcjonowania w nowoczesnym europejskim kraju.
52
Rodzaje i budowa ścieżek edukacyjnych
Do realizacji w gimnazjum wytyczono treści siedmiu ścieżek eduka-
cyjnych: edukacji ekologicznej, europejskiej, regionalnej, filozoficznej,
prozdrowotnej, czytelniczej i medialnej oraz obrony cywilnej.
Każda ścieżka edukacyjna zawiera: cele edukacyjne, zadania szkoły,
treści oraz osiągnięcia.
W celach edukacyjnych zawarte są ogólne zamierzenia towarzyszące
utworzeniu danej ścieżki. Cele te realizowane są w ciągu całego trzeciego
etapu edukacji. Niektóre z nich to pogłębienie i rozszerzenie celów reali-
zowanych w szkole podstawowej, np. rozwijanie wiedzy o kulturze włas-
nego regionu i jej zwiÄ…zkach z kulturÄ… narodowÄ….
W zadaniach szkoły wskazano, w jaki sposób szkoła powinna pomóc
uczniowi w realizacji celów ścieżki, np. wprowadzenie w świat tradycji
regionu i należących do niej wartości.
Treści ścieżki to konkretne tematy, które mogą posłużyć w całości lub
częściowo jako inspiracje do zajęć z uczniami, np. rola regionu i jego
zwiÄ…zki z innymi regionami Polski.
W osiągnięciach zapisano, zdobycie jakich umiejętności powinno być
wynikiem realizacji danej ścieżki, np. prezentowanie własnego regionu
i jego walorów oraz cech wyróżniających.
53
 ModeIe reaIizacji ścieżek edukacyjnych
Sensowna realizacja treści
ścieżek edukacyjnych może
sprawić wielu nauczycielom
duże trudności. Niektórzy starają
się ominąć ten problem, tworząc
osobne przedmioty, na których
uczniowie zdobywajÄ… potrzebne
umiejętności. Wiadomości po-
trzebne do osiągnięcia celów
ścieżki obrona cywilna zwykle
realizowane sÄ… w czasie oddziel-
nych godzin lekcyjnych, gdyż prowadzenie takich zajęć wymaga facho-
wego przygotowania. Natomiast próba tworzenia oddzielnych edukacji
do realizacji innych ścieżek może doprowadzić do tego, że nagle uczeń
będzie miał o 7 przedmiotów więcej, a przecież nie to było celem autorów
Podstawy programowej.
Ścieżki edukacyjne powinny być realizowane na wszystkich eduka-
cjach i najlepiej, aby model ich wykorzystania opracowywany był wspól-
nie przez nauczycieli uczÄ…cych w danej klasie. W takim przypadku wy-
chowawca może być koordynatorem wspólnych działań. Zapewni to cią-
głość realizacji zagadnień, zapobiegnie powielaniu treści. Kompleksowe
planowanie bloków tematycznych umożliwi szybsze realizowanie celów
oraz tworzenie atrakcyjniejszych zajęć dla uczniów. Zajęcia takie mogą
być jednodniowe, kilkudniowe lub nawet dłuższe (realizowane w czasie
trwania ,,zielonej szkoły ). Uczeń przekona się o możliwości praktyczne-
go wykorzystania wiedzy i umiejętności zdobytych w szkole. Będzie rów-
nież twórcą i pomysłodawcą stawiającym zadania i rozwiązującym ćwi-
czenia. Najprościej planować tematy lekcji z wykorzystaniem ścieżek
edukacyjnych na początku roku szkolnego. Wtedy wychowawca może
zaprosić wszystkich nauczycieli uczących w jego klasie na wspólne spot-
kanie i przedstawić propozycję  tytuły bloków tematycznych, pomysły
na sposób realizacji danych zagadnień, posiadane materiały  do wyko-
rzystania w ciągu danego roku szkolnego. Treści powinny być zgodne
z zagadnieniami wynikającymi z programu szkoły, planami zespołów sa-
mokształceniowych. Nie powinno być ich również zbyt dużo, aby spokoj-
nie można było je zrealizować.
54
W czasie wspólnej dyskusji, dzielenia się pomysłami i doświadczenia-
mi na pewno zostanie wypracowana tematyka, którą warto uwzględnić
w danej klasie. W ten sposób na każdym przedmiocie nauczania zostaną
zrealizowane wyznaczone treści. Wychowawca będzie mógł więc zadbać
o to, aby jak najwięcej celów osiągnął uczeń w czasie trzech lat nauki
w gimnazjum. Będzie jednocześnie miał rozeznanie, jakie treści były
w jego klasie realizowane i w jakim zakresie.
Poradnik wychowawcy
Planując spotkanie dotyczące ścieżek edukacyjnych z osobami
uczącymi w twojej klasie, pamiętaj o tym, aby:
" przygotować argumenty, które przekonają sceptyków, że warto
działać wspólnie,
" przygotować propozycje tematów do wykorzystania i form ich
realizacji,
" pokazać gotowe materiały do wykorzystania na wszystkich lek-
cjach,
" przypomnieć, że obowiązek realizacji ścieżek spoczywa na
wszystkich nauczycielach, a więc i na nauczycielach, np. wycho-
wania fizycznego, chemii i matematyki,
" pokazać nauczycielom przykłady prac projektowych stworzo-
nych przez uczniów w czasie realizacji bloków tematycznych.
Jeśli nauczyciele, mimo twoich argumentów, będą mieli nadal
obawy typu: nie zdążę zrealizować programu, mam tak mało go-
dzin, zaproponuj, aby tematykę związaną z daną ścieżką zrealizo-
wać, np. w czasie walentynek, dnia wiosny itp.
Planując bloki tematyczne, można postąpić na dwa sposoby: albo do-
pasować temat do treści danej ścieżki, albo wybrać zagadnienie i oriento-
wać się, treści jakich ścieżek można wykorzystać. Na przykład budujemy
zajęcia do ścieżki edukacja regionalna. Proponujemy temat Sztuka ludo-
wa naszego regionu. Załóżmy, że w naszym regionie twórcy ludowi zaj-
mujÄ… siÄ™ garncarstwem. Wtedy:
 w ramach lekcji języka polskiego uczniowie przeprowadzą wywiad
z twórcami ludowymi działającymi w naszym regionie,
55
 na lekcji informatyki uczniowie opracują graficznie zebrane wiadomości,
 na matematyce przy okazji omawiania zagadnień związanych z syme-
trią poznają wyroby twórców ludowych,
 na chemii omówią procesy zachodzące w czasie wypalania gliny,
 na geografii zastanowią się, jakie czynniki umożliwiły tworzenie na na-
szym terenie wyrobów glinianych,
 na lekcji historii dowiedzą się, od jak dawna prowadzi się wyrób glinia-
nych naczyń,
 na plastyce uczniowie sami spróbują uformować, a następnie wypalić
gliniane naczynie,
 na godzinę wychowawczą uczniowie przyniosą gliniane naczynia uży-
wane w ich domach i opowiedzą, do czego służą,
 na lekcji wychowania fizycznego można zorganizować wycieczkę do
miejsc, w których wydobywa się glinę,
 na lekcji biologii można porozmawiać, dlaczego doniczki gliniane są
lepsze od plastikowych,
 na lekcji fizyki uczniowie mogą omówić fizyczne właściwości gliny
i możliwości jej wykorzystania.
Wyobraz
my sobie teraz, że nasi ucznio-
wie postanowili się zająć tematyką związa-
ną z wodą. Zagadnienia oscylujące wokół
problemu woda można tak zaplanować,
aby wykorzystać treści różnych ścieżek
edukacyjnych. Na przykład na zajęcia z ję-
zyka polskiego uczniowie poszukajÄ… wier-
szy zwiÄ…zanych z wodÄ… (edukacja czytel-
nicza i medialna), na lekcji biologii za-
stanowiÄ… siÄ™ nad znaczeniem wody dla
organizmu ludzkiego (edukacja prozdrowotna), na geografii poznajÄ… cieki
oraz naturalne i sztuczne zbiorniki wodne najbliższej okolicy (edukacja
regionalna) oraz omówią przyczyny zanieczyszczenia wody (edukacja
ekologiczna), na godzinie wychowawczej przeanalizują słynny aforyzm:
Wszystko płynie (edukacja filozoficzna).
Jak widać z powyższych przykładów, wykorzystanie treści ścieżek
edukacyjnych może się odbywać w trakcie realizacji programów naucza-
nia z poszczególnych przedmiotów. Problemem może być jedynie zdoby-
cie potrzebnych materiałów, których jest, niestety, jeszcze bardzo mało.
56
O reaIizacji każdej ze ścieżek na Iekcjach matematyki
słów kiIka
Jedną z najważniejszych ścieżek edukacyjnych jest edukacja czytel-
nicza i medialna. Treści tej ścieżki są realizowane w mniejszym bądz

większym zakresie w czasie niemal każdej lekcji, ponieważ uczeń komu-
nikuje się w różny sposób: czyta krótkie teksty (np. polecenia do zadań),
wyszukuje potrzebne informacje z różnych z
ródeł. Lekcje matematyki
można tak zaplanować, aby wykorzystać również inne treści ścieżki. Pro-
simy uczniów o odszukanie w bibliotece szkolnej bądz
w Internecie infor-
macji np. o Talesie. SporzÄ…dzenie odpowiedniej notatki i zamieszczenie
bibliografii powoduje, że dzieci uczą się sporządzania opisów bibliogra-
ficznych i bibliografii załącznikowej do własnych opracowań, a to jest jed-
no z osiągnięć, które chcemy uzyskać, realizując tematykę ścieżki eduka-
cji czytelniczej i medialnej. Gdy uczniowie poznajÄ… nowe symbole mate-
matyczne, uczą się je stosować i rozpoznawać w tekstach, to nic innego
jak temat z cyklu Pojęcia komunikacji medialnej: znak, symbol, kod, ję-
zyk, denotacja, konotacja.
Denotacja  zakres nazwy, zbiór
wszystkich desygnatów nazwy.
Słownik języka polskiego PWN, 1992 r.
Konotacja  cechy współoznaczane łącznie
przez daną nazwę; zespół cech, których posiada-
nie sprawia, że odpowiednie przedmioty należą
do tej samej klasy, sÄ… desygnatami danej nazwy.
Słownik języka polskiego PWN, 1992 r.
Zagadnienia zwiÄ…zane z edukacjÄ… ekologicznÄ… omawiamy np. przy
okazji tematyki dotyczącej potęg. Podajemy ilości ścieków powstających
w wyniku działalności człowieka w ciągu doby (zapisujemy dane w po-
staci notacji wykładniczej), analizujemy przyczyny powstawania tak
dużej ilości ścieków, zastanawiamy się nad sposobami ich zmniejszenia.
57
Lekcje poświęcone gromadzeniu i interpretowaniu danych, to dobry
moment do porównywania np. emisji gazów w ciągu kilku ostatnich lat.
Realizujemy w ten sposób treść Przyczyny i skutki niepożądanych zmian
w litosferze, hydrosferze, atmosferze oraz biosferze.
WÄ…tki dotyczÄ…ce edukacji
europejskiej wykorzystamy,
prosząc uczniów o określe-
nie relacji pomiędzy waluta-
mi kilku państw europejskich
(tematy dotyczÄ…ce przybli-
żeń). Ćwicząc umiejętność
wykonywania działań na licz-
bach rzeczywistych, możemy
wspólnie z uczniami zapla-
nować całodniowy jadłospis
uwzględniający ograniczenia cenowe kupowanych produktów, ich war-
tość odżywczą i kaloryczną, nawiązując w ten sposób do treści Żywność
i żywienie ścieżki edukacja prozdrowotna.
Z edukacjÄ… filozoficznÄ… na lekcjach matematyki nie mamy najmniej-
szego problemu, ponieważ prawie każdy sławny matematyk był filozo-
fem. Zatem rozwinięcie treści Filozofia a nauki szczegółowe jest dla nas
aktualne nie tylko przy okazji omawiania twierdzenia Pitagorasa.
Przekształcenia geometryczne (np. symetria osiowa i środkowa) umo-
żliwiają nam poznanie głównych zabytków architektury w regionie, a to
nic innego jak problematyka związana ze ścieżką edukacja regionalna.
Wykorzystanie treści ścieżek edukacyjnych
W tym rozdziale podajemy przykłady scenariuszy lekcji matematyki,
wykorzystujących treści ścieżki edukacja czytelnicza i medialna. W opi-
sie celów zajęć znajdą się więc oprócz celów typowo matematycznych
również cele wynikające z realizacji zagadnień związanych z daną ścież-
ką edukacyjną. Proponowane zajęcia można zaplanować wraz z nauczy-
cielami innych edukacji jako cykl jednodniowy lub kilkudniowy.
Lekcję Kąty w okręgu umieszczamy w cyklu lekcji powtórzeniowych.
Może zatem ona się odbyć pod koniec roku szkolnego lub w momencie,
w którym nauczyciel przystąpi do powtarzania wiadomości z geometrii.
58
K
TY W OKR
GU
SCENARIUSZ ZAJ
Ć
DLA KLASY III GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Temat przewidziany do realizacji
jako powtórzeniowy
59
Czas: 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
P' przypomni sobie i będzie doskonalił umiejętności związane z kąta-
mi w okręgu,
P' pozna własności dotyczące kąta dopisanego do okręgu,
P' będzie posługiwał się analogiami, stawiał hipotezy i je weryfikował,
P' przeprowadzi prosty dowód matematyczny,
P' zapozna się z możliwościami praktycznego wykorzystania wiedzy
matematycznej,
P' będzie sprawnie i szybko czytał, wybierając i zapisując informacje,
P' posłuży się słowem, gestem i ruchem jako formą wypowiedzi.
Sposoby pracy:
P' praca w grupach,
P' inscenizacja,
P' samoocena,
P' refleksja.
Materiały do zajęć:
P' Instrukcje do pracy grupy  kroki 1 3,
P' Projektujemy widowniÄ™  krok 4,
P' magnetofon, kasety magnetofonowe,
P' tekst sceny balkonowej  fragment dramatu W. Szekspira Romeo
i Julia,
P' Arkusz refleksji,
P' cyrkle, linijki.
Uwagi:
P' Na kilka dni przed lekcją wyznaczamy dwie osoby, które odegrają
role Romea i Julii. Wręczamy im tekst  fragment sceny balkonowej.
Prosimy, aby przygotowali na lekcję inscenizację tej sceny. Jeśli
nauka tekstu będzie sprawiała dzieciom kłopot, mogą korzystać
w czasie przedstawienia z kartki. Dobrze jednak by było, gdyby
uczniowie przygotowali odpowiednie stroje i dekoracje. Jeśli ode-
granie przez uczniów sceny balkonowej wydaje nam się z różnych
względów niewłaściwe, możemy poprosić uczniów o przygotowa-
nie inscenizacji fragmentu książki, którą aktualnie omawiają na lek-
cjach języka polskiego. Warto wtedy na lekcję zaprosić nauczycie-
la języka polskiego lub nawet część lekcji przeznaczoną na przed-
stawienie przygotować z nim wspólnie. Należy również zapewnić
60
inscenizacji odpowiednią oprawę plastyczną. Aktorów prosimy
o dyskrecję, przedstawienie ma być dla innych niespodzianką.
P' Zajęcia powinny się odbywać w sali, z której usuniemy zbędne
ławki, co pomoże uczniom w drugiej części lekcji szybko przygo-
tować ,,widownię . Uczniowie będą pracować w grupach, zatem
stolików zostawiamy tylko tyle, ile ma być grup.
P' Prosimy, aby uczniowie na lekcję przynieśli cyrkle i linijki. Dla
zapominalskich możemy przygotować na stoliku nauczyciela kilka
cyrkli i linijek.
P' W klasie słabszej możemy zrezygnować z prób udowodnienia od-
krytego przez uczniów twierdzenia. Możemy też nie wprowadzać
pojęcia kąt dopisany do okręgu, ograniczając się tylko do stwier-
dzenia, że na lekcji powtarzamy i utrwalamy zdobyte wiadomości
o kątach środkowych i wpisanych w okrąg.
Przebieg zajęć:
1. Dzielimy uczniów na grupy; każda z grup zajmuje miejsce przy
osobnym stoliku.
2. Prosimy uczniów, aby przypomnieli wiadomości zdobyte w klasie I
i II dotyczące kątów w okręgu. Uczniowie podają twierdzenia doty-
czące kątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
3. Rozdajemy uczniom InstrukcjÄ™ do pracy grupy  krok 1 3. Ucznio-
wie pracujÄ… nad zadaniami.
4. Omawiamy otrzymane wyniki, jedna z grup przedstawia szczegóło-
we rozwiązania. Uczniowie powinni sformułować i ewentualnie
uzasadnić następujące twierdzenia:
Kąt wpisany i dopisany oparte na tym samym łuku mają równe miary.
Kąt dopisany ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy oparty
na tym samym Å‚uku.
5. Teraz przystępujemy do zastosowań zdobytych wiadomości 
uczniowie wspólnie projektują widownię  krok 4.
6. Uczniowie siadają na krzesłach ustawionych na widowni. Informu-
jemy młodzież, że skoro mamy scenę i widownię, to powinno się
odbyć przedstawienie. Zapowiadamy tytuł sztuki i wybrani wcześ-
niej uczniowie przedstawiajÄ… fragmenty sceny balkonowej.
7. Rozmawiamy z uczniami o ważnych, ich zdaniem, momentach w cza-
sie lekcji, o tym, czego siÄ™ nauczyli. Uczniowie dokonujÄ… samooceny.
8. Uczniowie wypełniają Arkusze refleksji. Omówimy je na początku
następnych zajęć.
61
iNSTRUKCJA DO PRACY GRUPY
W czasie zajęć będziecie wykorzystywać poznane twierdzenia doty-
czące kątów w okręgu, poznacie też nowe twierdzenia, analogiczne do już
wam znanych.
Wykonujcie wszystkie polecenia po kolei.
KROK 1
Kroczek 1
Narysujcie okrąg i zaznaczcie w nim cięciwę nie będącą średnicą.
Kroczek 2
Przez jeden z końców cięciwy poprowadz
cie styczną do okręgu.
Kroczek 3
Zaznaczcie kąty wypukłe, jakie styczna do okręgu tworzy z cięciwą.
Każdy z tych kątów nazywamy kątem dopisanym do okręgu.
Kątem dopisanym do okręgu nazywamy kąt o jednym ramieniu zawie-
rającym cięciwę i drugim stycznym do okręgu w jednym końcu cięciwy.
62
KROK 2
Kroczek 1
Uzupełnijcie zdanie, korzystając z rysunku.
Kąt dopisany do okręgu tworzy ze średnicą kąt prosty.
KÄ…t wpisany oparty na tym samym Å‚uku co kÄ…t dopisany ma miarÄ™ .
Kroczek 2
Uzupełnijcie zdanie, korzystając z rysunku.
C
KÄ…t wpisany oparty na Å‚uku AB ma mia-
1
B
rÄ™ 45° i stanowi dÅ‚ugoÅ›ci okrÄ™gu.

Kąt dopisany do tego okręgu, oparty
na tym samym Å‚uku ma miarÄ™ .
A
Kroczek 3
Spróbujcie uogólnić własność zaobserwowaną w kroczkach 1 i 2. Uzasad-
nijcie tę własność.
KROK 3
Sformułujcie twierdzenie dotyczące kąta dopisanego do okręgu i odpo-
wiadającego mu kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
63
PROJEKTUJEMY WiDOWNi

KROK 4
Kroczek 1
Przyjmuje się, że najlepszy kąt,
Scena
pod którym widać scenę, ma mia-
rÄ™ 53°. Zaprojektujcie widowniÄ™,
wykorzystując własności kąta do-
pisanego, tak aby z każdego jej
miejsca można było obserwować
scenÄ™ pod kÄ…tem 53°.
Kroczek 2
A teraz wyobraz
cie sobie, że wasza klasa to sala teatralna. Wyznaczcie
scenę i ustawcie tak krzesła, aby każdy z siedzących widział scenę pod
kÄ…tem najlepszego widzenia.
ARKUSZ REFLEKSJi
Napisz o swoich odczuciach w czasie lekcji. Czy zdarzyło się coś ważne-
go dla ciebie, czy podobały ci się zajęcia? A może masz jakieś uwagi?
64
ZASZYFROWANA WIADOMOŚĆ
SCENARIUSZ ZAJ
Ć
DLA KLASY III GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział
Równania, nierówności,
układy równań
Numer i temat zajęć
71. Praktyczne wykorzystanie
układów równań
65
Czas: 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
P' będzie doskonalił umiejętność rozwiązywania układów równań,
P' będzie rozpoznawał i nazywał rodzaje układów równań,
P' wykorzysta graficzną interpretację układu równań do określania
liczby jego rozwiązań i znalezienia tych rozwiązań,
P' będzie analizował komunikaty informacyjne, odczytywał znaki
i symbole w nich zawarte,
P' będzie projektował komunikat medialny.
Sposoby pracy:
P' praca w grupach,
P' wspólna rozmowa.
Materiały do zajęć:
P' karta Zadanie dla grupy,
P' arkusz Zadania do rozwiÄ…zania,
P' tekst Pilna wiadomość.
Uwagi:
P' Zadania dla grup są tak dobrane, aby ich rozwiązanie nie zajęło
więcej niż 15 minut. Niektóre z zadań można rozwiązać w pamięci,
niektórych można wcale nie rozwiązywać (zad. 6).
P' Zajęcia można przeprowadzić jako podsumowujące rozważania na
temat układów równań.
Przebieg zajęć:
1. Informujemy uczniów, że otrzymaliśmy pilną zaszyfrowaną wiado-
mość. Prosimy uczniów o pomoc w jej rozszyfrowaniu.
2. Dzielimy młodzież na grupy i wręczamy liderom grup Zadania dla
grupy, Zadania do rozwiązania i tekst Pilna wiadomość.
3. Uczniowie rozwiązują zadania, rozszyfrowują wiadomość.
4. Następuje prezentacja prac grup. Pytamy uczniów:
 rozwiązanie którego zadania sprawiło kłopot i dlaczego,
 czy lekcja pomogła w usystematyzowaniu wiadomości o układach
równań,
 jakie umiejętności wykorzystali w czasie pracy,
66
 czy rozwiązali wszystkie zadania, czy odgadli znaczenie niektó-
rych liczb,
 którego z zdań nie potrzeba było rozwiązywać, a tylko wystarczy-
ło uważnie je przeczytać,
 czy analiza komunikatu informacyjnego sprawiła kłopot i czy były
problemy z zamianą znaków na litery.
5. Oceniamy pracę uczniów. W ramach pracy domowej polecamy, aby
uczniowie ułożyli komunikat, który mógłby być zamieszczony w pra-
sie bÄ…dz
podany w radiu lub telewizji. Komunikat ma zawierać za-
szyfrowaną wiadomość i być napisany z użyciem specyficznego ro-
dzaju języka używanego przez media. Odszyfrować wiadomość bę-
dzie mogła tylko osoba posiadająca klucz do użytego w informacji
kodu. Klucz należy również podać. Może on być skonstruowany
podobnie jak ten z lekcji. Można przy tym wykorzystać zadania
z podręcznika lub zbioru zadań.
67
ZADANiE DLA GRUPY
Zadaniem grupy jest rozszyfrowanie wiadomości, tzn. podanie miejsca,
dnia i godziny spotkania oraz imienia nadawcy.
Kluczem do rozwiązania jest hasło składające się z dziewięciu liter. Lite-
ry te znajdziecie, rozwiÄ…zujÄ…c zadania zapisane na arkuszu Zadania do
rozwiązania. Każdą ze znalezionych liter wpiszcie do tabeli pod liczbą
odpowiadającą numerowi zadania. Odczytajcie hasło i rozszyfrujcie wia-
domość.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ZADANiA DO ROZWi
ZANiA
Zadanie 1.
Przystojny Fred i Mały Alan podzielą wydobyte złoto równo pomiędzy sie-
bie. Mały Alan wez
mie złoto znajdujące się na prawej szalce wagi (rysu-
nek 3), a Fred na lewej. Ile sześciennych sztabek złota powinni jeszcze
położyć na prawej szalce, aby podział był sprawiedliwy? Znalezioną licz-
bÄ™ wyraz
cie słowami i do tabeli wpiszcie pierwszą literę wyrazu.
Rys. 1 Rys. 2
Rys. 3
68
Zadanie 2.
Urszula twierdzi, że jeżeli w kratkę wpisze liczbę 6, to układ równań
Å„Å‚
+
òÅ‚
ół = +
będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie. Natomiast Paulina jest przeko-
nana, że taki układ nie będzie miał rozwiązania. Wpiszcie do tabeli pierw-
szą literę imienia dziewczynki, która ma słuszność.
Zadanie 3.
Żona i mąż w ubiegłym roku ważyli łącznie 130 kg. W ciągu roku żona
utyła 6 kg, a mąż schudł 6 kg. Teraz mąż waży tylko 10 kg więcej od żony.
Czyja waga, męża czy żony, wyraża się liczbą podzielna przez 6? Wpisz-
cie pierwszą literę wyrazu żona lub pierwszą literę wyrazu mąż do tabeli.
Zadanie 4.
Mucha porusza się po prostej o równaniu y =  x  2, a pająk po prostej
o równaniu y = x  6. Podajcie pierwszą współrzędną punktu, w którym
pająk i mucha mogą się spotkać. Zapiszcie otrzymaną liczbę słownie
i wpiszcie do tabeli jej drugÄ… literÄ™.
Zadanie 5.
Dodajcie stronami układ równań
Å„Å‚ - =
òÅ‚ + =
ół
Po prawej stronie otrzymanego równania uzyskaliście pewną liczbę. Wy-
raz
cie słowami tę liczbę i wpiszcie do tabeli trzecią literę otrzymanego
wyrazu.
Zadanie 6.
Za sokoła i konia pewien sułtan zapłacił 400 dukatów. Po jakimś czasie
zwierzęta znudziły mu się, więc sprzedał je za łączną kwotę 330 dukatów.
Przy czym sokoła sprzedał o 10% taniej niż kupił, a konia sprzedał za 80%
początkowej ceny. Które zwierzę kupił sułtan za 300 dukatów: konia czy
sokoła? Wpiszcie do tabeli drugą literę nazwy zwierzęcia.
69
Zadanie 7.
Narciarz jadący po stoku góry zakreślił
ślad taki, jak na rysunku. Jakiego układu
równań jest to wykres? Wpiszcie do ta-
beli pierwszą literę nazwy tego układu.
Zadanie 8.
Benedykt zapisał następujące równanie x  4y = 6, a Grzegorz pomnożył
obie strony tego równania przez 3. Zygmunt z obu tych równań utworzył
układ. Jaki to rodzaj układu? Wpisz do tabeli pierwszą literę nazwy tego
układu.
Zadanie 9.
Czy to prawda, że bilet ulgowy kosztuje 5 zł? Wpisz do tabeli drugą literę
odpowiedniego wyrazu: tak lub nie.
PiLNA WiADOMOŚĆ
Musimy się koniecznie spotkać. Czekam UI marca o godzinie JN
w kawiarni 864589.
198
70
ZBIERANIE
DANYCH STATYSTYCZNYCH
I ICH INTERPRETACJA
SCENARIUSZ ZAJ
Ć
DLA KLASY III GIMNAZJUM
MATEMATYKA
Program MATEMATYKA
KROK PO KROKU
DKW-4014-91/99
Dział
Doświadczenia losowe
Numer i temat zajęć
33. 34. Zbieranie danych
statystycznych i ich interpretacja
71
Czas: 45 minut.
Cele. W czasie zajęć uczeń:
P' będzie odczytywał i interpretował dane przedstawione graficznie,
P' będzie przedstawiał dane liczbowe w postaci diagramu i tabeli,
P' będzie doskonalił umiejętność współpracy z partnerem,
P' będzie posługiwał się przybliżeniami,
P' zdobędzie wiadomości dotyczące wybranych województw w Polsce.
Sposoby pracy:
P' praca w parach,
P' prezentacja.
Materiały do zajęć:
P' karta pracy Kilka słów o kilku województwach,
P' mapa administracyjna Polski.
Uwagi:
P' Mapę z podziałem administracyjnym kraju wieszamy na stojaku
w klasie.
Przebieg zajęć:
1. Informujemy uczniów, że na lekcji będą pracować w parach. Efekty
pracy każdej pary zostaną ocenione przez nauczyciela. Uczniowie
pracujący wspólnie otrzymają takie same oceny.
2. Rozdajemy każdej z par kartę pracy Kilka słów o kilku wojewódz-
twach.
3. Uczniowie pracują 25 minut nad zadaniem. Po upływie tego czasu
wyznaczeni przez nas uczniowie prezentujÄ… efekty pracy.
4. Ich wystąpienie oceniają uczniowie wspólnie z nami.
5. Od pozostałych par zbieramy karty pracy, które ocenimy w domu.
6. W czasie dyskusji podsumowującej lekcję wspólnie zastanawiamy się:
 czy graficzna prezentacja danych ułatwia ich interpretację,
 w jaki sposób i gdzie można szybko znalez
ć potrzebne dane licz-
bowe o którymś z województw,
 czy posiadamy jeszcze jakieś inne niż te, które były zaprezentowa-
ne na lekcji, wiadomości o województwach.
7. W ramach pracy domowej prosimy zebrać dane o dowolnym woje-
wództwie (ale innym niż omówione na lekcji) oraz zaprezentowanie
ich w postaci graficznej.
72
KARTA PRACY
KILKA SA
ÓW O KILKU WOJEWÓDZTWACH
KUJAWSKO-POMORSKIE
Powierzchnia  17 970 km2
Liczba ludności  2098 tys.
Bydgoszcz
Liczba powiatów  19
Liczba gmin  144
MAZOWIECKIE
Powierzchnia  35 715 km2
Liczba ludności  5065 tys.
Warszawa
Liczba powiatów  38
Liczba gmin  325
LUBELSKIE
Powierzchnia  25 115 km2
Liczba ludności  2242 tys.
Lublin
Liczba powiatów  20
Liczba gmin  213
ÅšL
SKIE
Katowice Powierzchnia  12 309 km2
Liczba ludności  4894 tys.
Liczba powiatów  17
Liczba gmin  166
PODKARPACKIE
Powierzchnia  17 890 km2
Rzeszów
Liczba ludności  2117 tys.
Liczba powiatów  20
Liczba gmin  160
73
Korzystając z przedstawionych na karcie pracy informacji, rozwiąż po-
niższe zadania.
1. SporzÄ…dz
diagram przedstawiający gęstość zaludnienia w wybra-
nych województwach.
2. Posługując się mapą, znajdz
stolicę każdego z wybranych woje-
wództw.
3. Ile razy powierzchnia województwa podkarpackiego jest mniejsza
od powierzchni województwa mazowieckiego?
4. Oblicz średnią liczbę powiatów w województwach.
5. Opisz herb stolicy wybranego województwa.
6. Odszukaj na mapie województwo lubuskie i powiedz, z jakimi woje-
wództwami graniczy. Które z tych województw ma największą po-
wierzchniÄ™?
7. Narysuj tabelę i wypełnij ją danymi przedstawiającymi liczbę gmin
w poszczególnych województwach.
Gdańsk
WARMIC
SKO-
POMORSKIE -MAZURSKIE
ZACHODNIO-
POMORSKIE
Olsztyn
PODLASKIE
Szczecin
Bydgoszcz
Białystok
KUJAWSKO-
-POMORSKIE
MAZOWIECKIE
LUBUSKIE
Poznań
Warszawa
WIELKOPOLSKIE
Zielona Góra
A
ódz

A
ÓDZKIE
DOLNOÅšL
SKIE
Lublin
Kielce
Wrocław
LUBELSKIE
OPOLSKIE
ÅšWI
TO-
ÅšL
SKIE
KRZYSKIE
Opole
PODKARPACKIE
Kraków
Katowice
MAA
OPOLSKIE
Rzeszów
74
METODY AKTYWIZUJ
CE
W PRAKTYCE
Która metoda jest Iepsza?
Planując lekcję, która będzie atrakcyjna dla
ucznia, musimy brać pod uwagę możliwości
dzieci, wymagania programowe i bazÄ™ material-
ną szkoły, tzn. dostępność pomocy naukowych,
możliwości lokalowe, dostęp do nowoczesnych
z
ródeł informacji. Niestety, nie wszystkie lekcje
udaje nam się przeprowadzić w sposób pasjonu-
jący i mobilizujący ucznia. Aby zdobyć umiejętności matematyczne, trze-
ba wykonać wiele ćwiczeń i szablonowych zadań, co nie zawsze jest cie-
kawe i porywające. Postarajmy się więc, aby przynajmniej raz w tygodniu
przygotować materiały na takie zajęcia, które zmuszą naszych uczniów do
samodzielnej pracy, wymagającej zaangażowania wszystkich uczniów.
Mogą nam w tym pomóc, np. propozycje scenariuszy zajęć umieszczone
w naszych poradnikach metodycznych dla nauczyciela lub inne materiały
dostarczające gotowych pomysłów na konkretne lekcje. Jeśli pokusimy
się o samodzielne opracowanie scenariusza zajęć, możemy oprzeć się na
jednej z aktywizujących metod nauczania, przedstawionych poniżej.
Metoda  świadome i konsekwentnie
stosowany sposób postępowania dla
osiągnięcia określonego celu; zespół
celowych czynności i środków.
Słownik języka polskiego PWN, 1992 r.
75
Metoda nauczania decyduje w znacznym stopniu o ilości i jakości
przyswajanej wiedzy. Właściwy jej wybór jest więc bardzo ważny i wy-
maga dużej wprawy. Istnieje wiele klasyfikacji metod nauczania. Dla na-
uczyciela nie ważna jest jednak nazwa danej metody, ale efekty, jakie ona
przynosi. Jeśli chcemy, aby w naszej pracy dominował model uczenia się,
a nie nauczania, spróbujmy przyjrzeć się metodom aktywnym. Metody te
mogą być stosowane począwszy od nauczania zintegrowanego do klas
maturalnych. Stosowanie tych metod pomaga w samodzielnym zdobywa-
niu przez ucznia wiedzy i umiejętności. Nauczyciel jest tylko organizato-
rem i doradcą. Stosowanie aktywnych metod pozwala na zwiększenie
skuteczności uczenia się, integracji i korelacji umiejętności, rozwoju
twórczego myślenia i kreatywności ucznia, lepszej motywacji ucznia do
pracy. Umożliwia również rozwój umiejętności współpracy w grupie, ko-
munikowania się, planowania i organizowania własnej pracy. Uczeń bie-
rze większą odpowiedzialność za efekty swojej pracy, jest w większym
stopniu zainteresowany jej wynikami, potrafi prezentować swoje dokona-
nia i przeprowadzić samoocenę.
Stosowanie metod aktywnych,
Stosowanie metod aktywizujÄ…cych,
to nauczanie polegajÄ…ce na wzajem- to uczenie siÄ™ prowadzÄ…ce do
trwałych zmian w działaniu i my-
nym oddziaływaniu nauczyciela i ucznia
w celu spowodowania zmian w sposo- śleniu, do zdobywania nowych
doświadczeń.
bie działania i uczenia.
Przykłady metod aktywizujących
Burza mózgów. Metoda ta będzie
przydatna w momencie, gdy uczniowie
wspólnie będą rozwiązywać jakiś pro-
blem. W pierwszej fazie pozwalamy
uczniom podawać różne, nawet najbar-
dziej niewiarygodne rozwiÄ…zania dane-
go problemu. Dopiero następnie ocenia-
my i analizujemy zgłoszone pomysły
i wreszcie wybrane rozwiązania stosujemy w praktyce. Metodę możemy
stosować, pracując z całą klasą lub gdy uczniowie pracują w grupach (wte-
dy lider każdego z zespołów zbiera pomysły uczestników swojej grupy).
76
Ważne jest przy tym, aby:
" pomysł każdego z uczniów (nawet ten najbardziej niewiarygodny)
był brany pod uwagę,
" nie krytykować i nie wyśmiewać pomysłów innych,
" zgłaszać pomysł w czasie wyznaczonym przez nauczyciela i na jego
znak,
" każdy pomysł został zapisany.
W praktyce możemy tę metodę zastosować, np. wprowadzając doda-
wanie dwóch wyrażeń wymiernych.
Etapy lekcji mogą wyglądać następująco.
Krok 1
Przedstawiamy problem, który
Dziś zastanawiamy się, w jaki sposób
chcemy wspólnie rozwiązać.
dodać dwa wyrażenia wymierne.
Krok 2
+ -
Zapisujemy problem na tabli-
+
- 1
- 1
cy lub na kartonie.
Krok 3
W ciągu najbliższych 10 minut może-
Określamy zasady pracy.
cie podawać nawet najbardziej zwa-
riowane pomysły na rozwiązanie tego
problemu. Każdy z pomysłów zapiszę
na tablicy.
Krok 4
Uczniowie zgłaszają pomysły,
" skrócić wyrażenie
nauczyciel zapisuje te pomy- " rozłożyć na czynniki
sły na tablicy.
" pomnożyć oba wyrażenia przez 2
" rozłożyć mianownik pierwszego
wyrażenia na czynniki
" sprowadzić do wspólnego mianow-
nika
" dodać liczniki
77
Krok 5
Następuje wybór najbardziej Przedyskutujcie teraz w parach przed-
przydatnego i możliwego do stawione pomysły i wybierzcie najlep-
zrealizowania pomysłu. szy z nich.
Uczniowie dzielÄ… siÄ™ swoimi przemy-
śleniami i wspólnie orzekają, że naj-
prościej będzie postąpić podobnie jak
przy dodawaniu ułamków, a więc spro-
wadzić wyrażenia do wspólnego mia-
nownika i dodać liczniki.
Krok 6
Stosowanie wybranego roz-
( + ) + ( - )( + 1)
+ -
+ =
=
wiÄ…zania w praktyce.
-1
( - 1)( + 1)
-1
+ + + - -
=
=
( - 1)( + 1)
+ ( + 1)

=
= =

(
( - 1 + 1 - 1)( + 1) - 1
)( )
Metoda aktywnego opisu. Metoda aktywnego
opisu, to metoda polegajÄ…ca na lepszym zapamiÄ™-
tywaniu cech i własności przedmiotów, zjawisk,
osób, liczb, figur itp. za pomocą wizualizacji pro-
blemu, analogii i systemu skojarzeń. Można stoso-
wać ją, pracując z całą klasą bądz
w grupach.
Metodę aktywnego opisu można wykorzystać,
omawiając np. budowę stożka.
78
Krok 1
Polecamy, aby kilku uczniów Proszę, abyście narysowali na tablicy
narysowało na tablicy figury, dwa różne stożki.
o których mówimy na lekcji.
Krok 2
Na zasadzie analogii i skoja- Budowa stożka przypomina budowę
rzeń z budową znanych figur, walca, ale również budowę ostrosłupa.
uczniowie określają elementy Posługując się analogią, spróbujmy
narysowanych na tablicy figur wyodrębnić elementy figur narysowa-
i zaznaczajÄ… je na rysunku. nych na tablicy. ProszÄ™, aby osoby,
które mają pomysły, jak mogą nazy-
wać się elementy stożka, podchodziły
do tablicy i wskazywały te elementy
oraz zapisywały ich nazwy.
Krok 3
Wspólna rozmowa o tym, czy Wszyscy uczniowie dobrze zaznaczy-
dokonany opis jest właściwy. li elementy stożków. Na jednym ry-
Naniesienie ewentualnych po- sunku brak tylko zaznaczonego wierz-
prawek i uzupełnień. chołka. Proszę, aby Adam wskazał,
gdzie ten wierzchołek się znajduje.
79
Pytania do ekspertów. Metoda ta po-
zwala na wykorzystanie różnych technik in-
formacyjnych oraz umiejętne przekazanie
zdobytych informacji. Wykorzystujemy jÄ…
w celu wyćwiczenia umiejętności uczenia
się od innych. Grupę ekspertów wybieramy
na kilka dni przed planowanÄ… lekcjÄ…. Prze-
kazujemy im problem, nad którym muszą
pracować w domu. Możemy dołączyć pyta-
nia pomocnicze. Eksperci majÄ… za zadanie
zebrać materiał na zadany temat, wykorzystując różne z
ródła informacji.
Każdy z ekspertów musi być tak przygotowany, aby odpowiedzieć na py-
tania, które zadadzą mu koledzy w czasie lekcji. Powinien również zgro-
madzić takie wiadomości, aby zaciekawić kolegów danym problemem.
Zadaniem eksperta będzie przekazanie zdobytej wiedzy kolegom.
Lekcję z wykorzystaniem metody pytań do ekspertów możemy prowa-
dzić, np. wprowadzając pojęcie tangensa kąta ostrego w trójkącie prosto-
kÄ…tnym.
Krok 1
Wybieramy grupę Poznaliście już jedną z funkcji trygonometrycz-
ekspertów i przed- nych  funkcję sinus. Oprócz tej funkcji znamy
stawiamy temat, również inne funkcje trygonometryczne, np. funk-
nad którym grupa cję cosinus, którą poznacie na następnej lekcji.
ta ma pracować. Chcemy, abyście spróbowali samodzielnie zdobyć
Określamy czas informacje na temat jeszcze innej funkcji  funkcji
wykonania pracy. tangens. Postarajcie się wykorzystać w tym celu
różne z
ródła informacji. Zdobyta wiedza musi być
jednak na tyle rzetelna i solidna, abyście wystąpili
w charakterze ekspertów, których zadaniem bę-
dzie przekazanie swojej wiedzy kolegom. Jest was
pięcioro. W czasie lekcji każdy zostanie przydzie-
lony do innej grupy, a więc każdy musi dyspono-
wać pełną wiedzą na dany temat. Waszym zada-
niem będzie również zainteresowanie innych
funkcją tangens, a więc przygotujcie ciekawostki
na jej temat, przykłady wykorzystania w praktyce.
80
Krok 2
Przekazujemy Aby ułatwić zadanie, przedstawiam listę pytań, na
ekspertom pytania które musicie znać odpowiedz
. Nie ograniczajcie
pomocnicze. siÄ™ jednak tylko do odpowiedzi na dane pytania.
Wzbogaćcie swoje wystąpienia, możecie nawet
przygotować materiały w formie graficznej.
Nauczyciel przekazuje ekspertom listę pytań, na
której mogą się znalez
ć następujące problemy:
 co nazywamy tangensem kąta ostrego w trójką-
cie prostokÄ…tnym,
 jak obliczyć tangens 60°,
 jak obliczyć długość drugiej przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego, w którym dany jest tan-
gens jednego z kątów ostrych i przyprostokątna
leżąca naprzeciw tego kąta.
Krok 3
W oznaczonym Przedstawiam ekspertów, którzy wiedzą wszystko
dniu dzielimy kla- o funkcji tangens. Zadaniem każdej grupy będzie
sę na grupy. Do dowiedzieć się jak najwięcej o tej funkcji, gdyż
każdej grupy przy- w drugiej części lekcji będziecie już bez pomocy
dzielamy eksperta, eksperta musieli rozwiązać kilka zadań na ocenę.
którego zadaniem
będzie zapoznanie
uczniów z tema-
tem podanym na
początku zajęć.
Krok 4
Ekspert przekazuje Ekspert odpowiada na pytania, przedstawia cieka-
swojÄ… wiedzÄ™ gru- wostki i zastosowania funkcji tangens.
pie, która jest pod
jego opiekÄ….
81
Krok 5
Uczniowie rozwią- Każda z grup rozwiązuje zadania. Eksperci przy-
zujÄ… zadania. glÄ…dajÄ… siÄ™ pracy swoich grup. Ale nie wolno im
podpowiadać. Ich celem jest zaobserwowanie, ja-
kie umiejętności udało się im przekazać, a na jakie
zwrócili zbyt małą uwagę. Można wykorzystać
zadania z podręcznika lub zbioru zadań.
Krok 6
Następuje przed- Ekspert otrzymuje taką ocenę, jak grupa, z którą
stawienie prawi- pracował. Każda z grup wypowiada się również
dłowych wyników na temat umiejętności eksperta.
i ocena pracy
uczniów.
Odgrywanie ról. Korzystając z tej
metody uczniowie na lekcjach mate-
matyki mogą odgrywać role, wcielając
się w postacie z przeszłości, poznając
wcześniej realia danej epoki oraz spoj-
rzenie ówczesnych ludzi na świat. Mło-
dzież może oczywiście odgrywać role
również współczesne, a nawet z przy-
szłości. Konwencja przez nas przyjmo-
wana zależna jest od potrzeb i możli-
wości uczniów.
Metodę tę możemy w klasie III zastosować przy okazji omawiania
twierdzenia Talesa. Prosimy jednego z uczniów, aby odegrał rolę Talesa.
Innego z uczniów wyznaczmy do roli współczesnego Talesowi uczonego
 sceptycznie nastawionego do osiągnięć Talesa. Jeszcze inny uczeń bę-
dzie uczonym dwudziestopierwszowiecznym, który przedstawi zastoso-
wania najważniejszych twierdzeń firmowanych nazwiskiem Talesa. Każ-
dy z uczniów powinien się w domu zapoznać z historią życia i dokonania-
mi wielkiego uczonego. Młodzież ma za zadanie przygotować w domu
kilka scen, tak skonstruowanych, aby oglÄ…dajÄ…cy je uczniowie jak najwiÄ™-
cej dowiedzieli się o życiu i osiągnięciach matematycznych Talesa.
Uczniowie mogą się przebrać w stroje z epoki, w której żył i tworzył Tales.
82
Można też wprowadzić narratora, który będzie informował widzów, gdzie
i kiedy dzieją się poszczególne sceny oraz kim są występujące postacie.
Jeśli uważamy, że nasza klasa nie poradzi sobie z tym zadaniem, może-
my sami przygotować odpowiedni scenariusz i tylko poprosić uczniów
o odegranie ról.
Film. W metodzie tej do opisu sy-
tuacji wykorzystuje siÄ™ klatki filmo-
we, które odpowiednio poukładane
utworzÄ… rozwiÄ…zanie problemu. DziÄ™-
ki filmowi ważne informacje można
przekazywać w formie wizualnej,
zaangażować do pracy wszystkich
uczniów, spowodować, aby ucznio-
wie uporzÄ…dkowali swojÄ… wiedzÄ™
i wykorzystali jÄ… do poznania nowego obszaru matematyki. Do tworzenia
filmu można wykorzystać fotografie lub ,,klatki zawierające rysunki
wykonane przez nauczyciela. PracujÄ…cy tÄ… metodÄ… uczniowie nabywajÄ…
umiejętności skutecznego porozumiewania się, koncentracji, wyszukiwa-
nia informacji oraz kojarzenia faktów. Metodę filmu możemy wykorzy-
stać omawiając, np. zagadnienia związane z dzieleniem wyrażeń wymier-
nych. Uczniowie mogą pracować w parach, w grupach bądz
indywidualnie.
Krok 1
Wręczamy uczniom koperty, informując ich, że zawierają one klatki fil-
mowe. Zadaniem uczniów jest takie ułożenie klatek filmowych, aby po-
wstał film, obrazujący, w jaki sposób podzieliliśmy dwa wyrażenia wy-
mierne. Niewykorzystane klatki filmowe mogą posłużyć uczniom do
stworzenia własnych obrazów. Mogą również zaopatrzyć film w napisy,
które zastąpią ścieżkę dz
więkową.
Uwaga! W klasie zdolniejszej, każda grupa może otrzymać inne obrazki,
tzn. obrazki pokazujące sposób dzielenia innych wyrażeń.
Krok 2
Uczniowie pracują nad zadaniem, układają obrazki w odpowiedniej kolej-
ności.
83
Krok 3
Następuje prezentacja wykonanych filmów. Uczniowie oceniają prace
oraz wybierają filmy, na których najlepiej zaprezentowano dzielenie da-
nego wyrażenia. Staramy się teraz uogólnić problem i porozmawiać
o tym, w jaki sposób podzielić dwa dowolne wyrażenia wymierne.
Krok 4
Każda z grup tworzy swój film, a następnie miesza wykonane kadry fil-
mowe. Następnie wręcza je sąsiedniej grupie, która musi ułożyć kadry
w odpowiedniej kolejności.
+ + + -
:
Å"
+ + +
-
-
( )
( + 1) ( + 1) ( - )( + )
Å" Å"
+ +
( + 1) ( + 1)
( + 1) ( - )( + ) ( -
)

Å" Å"
+ 1 1
( + 1)
( - )
x3  3x
1
84
Matematyczne domino
1
V = Pp·h

Matematyczne domino może być wykorzystane
w czasie lekcji powtórzeniowych. Proponujemy
grę opartą na wiadomościach z geometrii.
Gra ta może być także inspiracją do stworzenia
podobnej gry wykorzystującej wiedzę z różnych
działów matematyki. Domino może być przepro-
wadzone w oparciu o różne zasady, np. ułożenie
najdłuższego łańcucha w określonym czasie lub
ułożenie w najkrótszym czasie łańcucha złożone-
go ze wszystkich części domina.
Gra polega na skojarzeniu odpowiednich elemen-
tów domina. Wolne pola można wykorzystać,
uzupełniając je odpowiednimi rysunkami lub też
pozostawić je puste tak jak to jest w tradycyjnym
dominie.

P = 4 r2
P =

sin 60°
3
85
a
a

V
=
P
·
h
p



ctg 45°
tg 45°
tg

= 1,5
1
1

V = Pp · h


sin 60°
a
a
V = P · h
p
86
3
tg = 1,5

P =

ctg 45°

tg 45°
87
P
= 4

r
2
1