Jednostki:
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Mpa = 10^6 [N/m^2] = 10^6 *(N/10^3 mm^2) =( 10^6
 czyli ETI masakra kołem Mohra
N)/(10^6mm^2)=N/mm^2
Z dedykacją dla dwóch kochanych personów, którzy wspierali mnie bardzo
Atmosfera techniczna: 10 kg/cm^2
aktywnie lecz mentalnie, ponieważ filmy na TVNie oraz odcinki Dextera
10 kg/cm^2 =~ 10 * 10N/(10mm)^2 = N/mm^2 ~ takie ciśnienie
byÅ‚y o wiele ciekawsze... Jð
występuje na 100 metrach
DEFINICJE:
Siły w pręcie rozciąganym
Wytrzymałość materiałów- dział mech.techn., zajmujący się modelem
gamma= g * ro
ciała stałego odkształcalnego, posługuje się uproszczonym modelem
G(x)=Ax gamma
teoretycznym ciał rzeczywistych w postaci continum materialnego
(materii ciągłej).
delta L= Nl/AE
Zadaniem wytrzymałości materiałów jest określenie właściwości
suma wydłużeń (delta L) = 0
materiału na podstawie badań: stanu przemieszczeń, odkształceń,
naprężeń konstrukcji poddanej działaniu obciążeń i ustalenie czy stan ten
Prawo Hooke a:
nie jest niebezpieczny ze względu na możliwość zniszczenia materiału.
sigma=E(moduł Yanga) * epsilon
sigma = N/A
SIA
Y. KLASYFIKACJA SIA

epsilon= delta L/L
N/A = E * delta L/L
delta L=NL/AE, gdzie N-siła,A- pole powierzchni,AE-sztywność rozciągania
Wspornik
ROZCI
GANIE (ÅšCISKANIE)
Zasada de Saint-Venanta
Jeżeli dany układ się obciążających na mały obdszar ciała sprężystego
1) Siły zewnętrzne:
zastąpimy innym układem sytstycznie równoważnym to w odległości od
a. Czynne (obciążenia):
obszaru przewyższającwego jego rozmiary powstają praktycznie
i. Powierzchniowe: skupione (Pi), ciągłe
jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.
ii. Masowe: grawitacji, bezwładności
b. Bierne (reakcji)
K = l0/d0 k-krotność próbki, l0-długość, d0-średnica
2) Siły wewnętrzne: siły wzajemnego oddziaływania ciała na
siebie, siły międzycząsteczkowe
Prostokątna średnica:
Wykorzystujemy sześć równań równowagi. Dla każdej części przekroju
b h = (d^2PI)/4
możemy wyznaczyć wypadlkowe sił zewętrznych.
Właściwości aukscetyczne materiałów pozwalają na anormalne
Pręt pryzmatyczny- prosty (bes obrotów) pręt o stałym przekroju.
zachowanie się materiałów, które podczas rozciągania puchną.
auxetic- anormalne właściwości fizyczne
Składową Wx najczęściej oznaczamy literką N i nazywamy siłą osiową
(normalna- prostopadła do przekroju poprzecznego lub wzdłużną- wzdłuż
Sigma= P/A0 sigma- naprezenia srednie (umowne), A0- umowna wilkość
osi). Składową Wy oznacza Ty  siły poprzeczne (T- tnące) lub śinające
(poczatkowy przekrój)
składową Wz oznaczamy Wz.
epsilon = delta L/l0 epsilon- wydłużenie jednostkowe (względne), L0 
Składowa Mx=Ms (moment skręcający)
początkowa długość próki, gdzie delta L = L- L0
My, Mz=Mg (momenty zginajÄ…ce)
WYKRES ROZCI
GANIA
4 elementarne sposoby obciążania:
-Rozciąganie(ściskanie) Wx=N
-Ścinanie gdy w przekroju występuje tylko Wy,Wz
-Skręcanie gdy w przekroju występuje Mx jako moment skręcający Ms
-Zginanie, gdy w przekroju występuje siła momentu My,Mz
NAPR
ŻENIA
Naprężenia- stosunek siły do powierzchni (pow. tu delta A).
>Definicja naprężeń normalnych w płaszczyz
nie równoległej do osi X:
sigma x= delta Wx/ delta A [N/m^2=Pa] ~ średnie naprężenie normalne
sigma x =(def) lim( AÄ…ð0) delta Wx/ delta A
>Naprężenia styczne w płaszczyz
nieprostopadłej do osi x:
tau xy= lim( AÄ…ð0) delta Wy/ delta A
RH- granica proporcjonalności (największa wartość naprężeń, przy której
tau xz= lim( AÄ…ð0) delta Wz/ delta A
zachodzi jeszcze zależność liniowa między naprężeniem a odkształceniem-
Prawo Hooke a)
E=tg alfa - moduł Yanga, E= 2,1 * 10 ^5 MPa
Praca odkształcenia (?) /epsilon x =1/E[sigma x- ni(sigma y + sigma z)]
L= całka(P) dl [J] / epsilon y=1/E[sigma y- ni(sigma z+ sigma x)]
//HOÄ…ð grecka litera zapisywana jako literka  O przekreÅ›lona z naÅ‚ożonÄ… / epsilon z =1/E[sigma z- ni(sigma x + sigma y)]
na nią przewróconą w poziiomie literką  H
/gamma yz= 1/G *tau yx
HO=L/V=L/AL = caÅ‚ka(sigma) d Epsilon [J/m^3] Ä…ð energia odksztaÅ‚cenia
/ gamma zx= 1/G *tau zx
na jednostkę objętości
/ gamma xy= 1/G *tau xy
Ru= Pu/Au
Gamma- kąt odkształcenia postaciowego
E= tg alfa
Epsilon sp =epsilon- epsilon trwałe
Stałe sprężystości:
L trwałe = L  L sprężyste
G- moduł ścinania
E- moduł Yanga
Rsp  granica sprężystości
G=E/[2(1+ni)]
Rm- wytrzymałość na rozciąganie, maksymalne naprężenia
Macierz...
Próba ściskania( rozciągania)
Ei= fi( sigma x, sigma y sigma z, tau yz, tau zx,tau zy)
Warunek wytrzymałościowy
Naprężenia maksymalne: |sigma max|=|N max|/A<= kr(c)
....
N- siła, k-naprężenie dop, A-kształt próbki
K=E/3(1-2ni) K- moduł odkształcenia objętościowego
Kr(c)= sigma niebeszp./n bezpieczn, sigma- napr.niebezpieczn., n-
współczynnikbezp. N bezp >=1
Sigma śr=(3 E)/[3(1-2ni)] epsilon śr
sigma śr= K* 3 epsilon śr
Materiały izotropowe??
sigma śr= K* OI
Wydłużenie w osi x:
E epsilon śr=(1-2ni)sigma śr
epsilon x= epsilon= delta L/L0>=0
E(epsilon i  epsilon śr) = (1+ni) sigma i  sigma śr[3ni + (1-2w)]
gdzie epsilon- wydłużenie jednostkowe w kierunku wzdłużnym
E(epsilon i  epsilon śr) = (1+ni)(sigma i  sigma śr)
dla rozciÄ…gania delta l= l1  l0>=0
sigma i  sigma śr = (-E)/(2(1+ni))* (epsilon i  epsilon śr)
Epsilon =delta a / a0=delta b/ b0=delta d /d0
gdzie: delta a=a1-a0, delta b=b1-b0, delta d= d1- d0
G=E/2(1+ni)
sigma i- sigma śr = 2G(epsilon i  epsilon śr)
Liczba Poissona: ni=episilon /epsilon
sigma i=3K* epsilon śr + 2G(epsilon i- epsilon śr), gdzie K-moduł
Epsilon =- ni* epsilon
sztywności objętościowej, G- moduł sztywności postaciowej
//OI- grecka litera  O kreślona poprzecznie
PA
ASKI STAN NAPR
ŻENIA. KOA
O MOHRA
OI=deta V/V0  jednostkowy przyrost objętości, delta V=V1-V0
rysunki...
OI = (V1-V0)/V0 = V1/V0  1= (a1b1l1)/(a0b0l0)-1 = (a0 +delta a)/a0 - (b0
+delta b)/b0 -(l0 +delta l)/l0 -1 = (1+ epsilon y)- (1+ epsilon z) - (1+ epsilon
Naprężenia w kierunku normalnym:
x)  1 = 1+ epsilon x +epsilon y + epsilon z +epsilon y epsilon z+ epsilon z
Sigma fi A - sigma x A cos fi cos fi + tau xy A cos fi sin fi + tau yx A sin fi cos
epsilon x+ epsilon x epsilon y + epsilon x epsilony epsilonz  1=
fi  sigma y sin fi sin fi = 0/A
epsilon x +epsilon y +epsilon z
sigma fi=sigma x cos^2 fi- 2 tau xy sin fi cos fi + sigma y sin^2 fi
>>sin 2 fi=2sin fi cos fi
OI= epsilon x +epsilon y +epsilon z Ä…ð współczynnik rozszerzalnoÅ›ci
>>1=cos^2fi + sin^2fi
objętościowej
>>cos 2 fi= cos^2fi - sin^2fi
1+cos2fi= 2 cos^2fi
OI=epsilon (- ni epsilon) + (- ni epsilon)
sin^2fi=(1-cos 2fi)/2
OI=epsilon(1-2ni)
Sigma fi= (sigma x +sigma y)/2 +(sigma x -sigma y)/2 *cos2fi  tau xysin2fi
Dla materiaÅ‚u nieÅ›ciÅ›liwego: OI = 0-> 1-2ni ->ni = ½
Dla materiałów Å›ciÅ›liwych: epsilon =0 Ä…ð ni =0 np.korek
Naprężenia w kierunku stycznym:
0<=ni<=1/2 kałczuk, guma stąd 0,3
tau fi=(sigma x  sigma y)/2*sin 2 fi + tau xy cos 2 fi
PRAWO HOOKE A W TRÓJOSIOWYM STANIE NAPR
ŻENIA
D sigma x/d fi = 0 + (sigmax+sigmay)(-sin 2fi)*2  tau xy cos 2 fi*2 = 0
//warunek konieczny istnienia funkcji sigma fi
Sigma = E epsilon  wzdłużne
tau fi =(sigmax-sigmay)/2 *(sin 2fi) + tau xy cos 2 fi=0 Ä…ð tg 2 fi=(-2tau
Epsilon = - ni epsilon(x,y,z)  poprzeczne
xy)/(sigma x  sigma y)
Epsilon= epsilon /-ni tau fi =0
Epsilon x = 1/E sigma x 2 fi 0 = arctg [(-2tau xy)/(sigma x- sigma y)]
Epsilon y = 1/E sigma y 2fi = 2 fi 0 + k Pi
Epsilon z = 1/E sigma z
Warunek ekstr.naprężenia normalnego jest równoważny war.równiania
Epsilon x=1/E sigma x  epsilon y  epsilon z się napr.stycznych. Dwa kolejne pierwiastki równania określają wzajemnie
Epsilon x =1/E sigma x- ni 1/Esigma y - ni 1/Esigma z prostopadłe przekroje, w których naprężenia styczne sa rowne tau fi=0 a
naprezenia normalne sigma fi osiągają wartości ekstremalne. Przekroje te
nazywamy głównymi, a naprężenia działające w tych przekrojach
n.głównymi.
X= x(t) Założenia:
sigma fi= sigma (2 fi) -Płaskie przekroje poiprzeczne pozostają po zgięciu płaskimi i
y=y(t) oprostopadłymi do zgiętej osi belki (hipoteza Kirhoffa)
tau fi= tau (2 fi)
-Włókna podłużne doznają jednoosiowego rozciągania lub ściskania (w
Sigma fi  [(sigma x +sigma y)/2] = [(sigma x- sigma y)/s *cos 2 fi  tau xy przekrojach poprzecznych powstają jedynie naprężenia normalne, a w
sin 2fi]^2 podłużnych naprężenia normalne są równe 0)
tau fi ^2=[(sigma x- sigma y)/2 sin 2 fi + tau xy cos 2 fi)^2] sigma (y) = E epsilon(y)
(sigma fi  [sigma x + sigma y]/2) + tau fi^2 = [(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau sigma (y) = E/ro y prawo liniowego rozkładu naprężeń normalnych
xy^2
- zgięta oś belki leży w płaszczyz
nie pary sił zginających
Anal.równanie okręgu: (x-xs)^2 + y^2 = r^2 suma Fxi = 0
xs=(sigma x + sigma y)/2 caÅ‚ka sigma(y) dA = 0 Ä…ð E/ro caÅ‚ka y dA=0, gdzi ydA=Sz Ä…ð Sz =0
ys=0 o ś obojętna zginania przechodszi przez środek ciężkości przekroju
poprzecznego pręta
R^2=[(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau xy^2
Suma Myi = 0 wynika z założenia 3
R=pierw([(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau xy^2)
caÅ‚ka( z sigma(y)) dA=0 Ä…ð E/ro caÅ‚ka po A (y z ) dA=0  osie y i z sÄ…
osiamui głównymi, główne centralne osie bezwładności
ODKSZTAA
CENIA
Suma Mzi = 0 wynika z założenia 3
P=[u,v,w]
caÅ‚ka po A( z sigma(y)) dA=M Ä…ð E/ro caÅ‚ka po A (y^2 ) dA=M Ä…ð Iz=caÅ‚ka
po A (y^2)dA moment bezwł
P(x,y,z)=[u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z)]
Eiz/ro =M Ä…ð 1/ro =M/Eiz
Rysunek
Eiz- sztywność pręta zginanego wzgl osi z
d fi/dx = Ms/(GI0)
...
Sigma (y)= M/(Eiz) *Ey
SKR
CANIE PR
TÓW O PRZEKROJACH OKR
GA
YCH
sigma(y) = Mz/Iz * y zginanie w płaszczyz
nie głównej przekroju
poprzecznego
Założenia:
-tworzące przyjmują kształt lini śróbowych
Wzory:
-przekroje poprzeczne pozostają płaskie i okrągłe, a odległość między nimi
nie ulega zmianie
-przekrój prostokąt:
Iz=(bh^3)/12
Tau xy = G gamma xy
W0=Iz/y max = (bh^2)/6
tau ro= G gamma ro
tau ro= G (d fi/d x) ro
Przekrój koło:
G=E/(2[1+ni])
Iz=(Pi R^4)/4 = (Pi d^4)/64
W0=(Pi d^3)/32=~ 0,1d^3
Ms= całka od A (ro tau ro) dA= G d fi/dx całka(ro^2) dA
Io= całka(ro^2) dA
Warunek wytrzymałościowy:
I0= (Pi r^4)/2= (Pi d^4/32)
|sigma ro|maxD fi/d x = Ms/GI0, gdzi GI0- sztywność pręta skręcanego o przekroju
Równanie różniczkowe lini ugięcia belki:
ciągłym
tau ro = G Ms/GI0 ro= Ms/I0 * ro
tau max= tau ro (ro=ro max) = Ms/I0 ro max
tau max = Ms/W0 W0=I0/ ro max
Wskaz
nik wytrzymałościowy:
> gdy r=d/2
I0[m^4]= Pi r^4/2 lub Pi d^4/32
W0[m^3]=Pi r^3/2 lub Pi d^3/16
>gdy dI0=[PI(D^4-d^4)/32]
W0=Pi/(16D) * (D^4-d^4)
lub
W0=Pi/16(D^3-d/D * d^3)
ZGINANIE TEÅ» BELKI
Teoria zginania:
Czyste zginanie- siłe wewnętrzne działające w przestrzeni wewnętrznej
pręta sprowadzają sie do pary leżącej w płaszczyz
nie osiu pręta, a siła
poprzeczna (tnąca) jest równa P (??).
Przyjmujemy, że włókna po stronie wklęsłej belki skracają się, a po stronie
wypukłej wydłużają się. Warstwą odkształeń zerowych nazywamy
warstwą obojętną. Jej ślad w przekroju poprezcznym- oś obojętna
zginania.
Wzór Żurawskiego:
Metoda Clepsha: