Pręty
1.Pręt o nieskończonej długości:
�ą=�ą0=C1em"0�ąC2 e-m"0=C1�ąC2
x=0
�ą=0=C1em""�ąC2 e-m""=C1 em""
x"
Ś =C +C
0 1 2
0=C em*"
1
Ś =0+C => C =0
0 2 2
C =0
1
C =Ś
2 0
Ś(x)=Ś e-mx
0
Ś(x=L)=Ś e-mL
0
Q�ą , x=-�ą"A"d �ą %x=0
dx
d �ą=C emx"m�ąC e-mx"śą-mźą=m[C1 emx-C2 e-mx ]
1 2
dx
d �ą
%x=0=m[C1 e m"0-C e -m"0]=mśąC1-C źą
2 2
dx
Ob"�ą Ob"�ą
Q�ą , x=0=-�ą A"mśąC1-C2źą=-�ą Aśą0-�ą0źą=�ą A"m�ą0=�ą A �ą0= �ą2 A2 �ą0=�ą �ą AOb �ą
ćą
A"�ą A"�ą
ćą ćą
d �ą
Q�ą , x= L=-�ą A %x=L
dx
d �ą
%x=L=m[C1 em"L-C2 e-m" L]
dx
2. Pret o skończonej długości i niezaizolowanym koncu:
�ą=�ą0=C1�ąC2
x=0
d �ą
x=L -�ą A %x=L= A"�ąL"�ąL
dx
�ą0=C1�ąC2
-�ąmśąC1 emL-C2 e-mLźą=�ąLśąC1 emL�ąC2 e-mLźą
�ą0=C1�ąC2
-C1 emL�ąśą�ą0-C -1źą e-mL= PLC1 emL�ąPLśą�ą0-C1źą e-mL
-C1 emL�ą�ą0 e-mL-C1 e-mL=P C1 emL�ą PL�ą0 e-mL- PLC1 e-mL
L
-C1 emL�ąC1 e-mL-P C1 e-mL-P C1 emL= PL�ą0 e-mL-�ą0 e-mL
L L
-C1[emL�ąe-mL]-P C1[e-mL-emL]=�ą0 e-mLśą PL-1źą
L
C1[emL�ąe-mL]�ąPLC1[e-mL-emL]=�ą0 e-mLśą1-P źą
L
�ą0 e-mLśą1-P źą
L
C1=
śąemL�ąe-mLźą�ąPLśąemL-e-mLźą
�ą0e-mL�ą�ą0emL�ą�ą0 P emL-�ą0 PL e-mL-�ą0e-mL�ą�ą0e-mL P �ą0 emL śą1�ąP źą
L L L
C2=�ą0-C1= =
śąemL�ąe-mLźą�ąPLśąemL-e-mLźą śąemL�ąe-mLźą�ąP śąemL-e-mLźą
L
�ąśą xźą=C1 emx=C2 e-mx
�ą0 e-mLśą1-PLźą �ą0 emLśą1�ąP źą
L
�ąśą xźą= �ąemx�ą e-mx=ż
śąemL�ąe-mLźą�ąPLśąemL-e-mLźą śąemL�ąe-mLźą�ąP śąemL-e-mLźą
L
1
ż śą�ą0 e-mL"emx-PL�ą0 e-mLemx�ą�ą0emL e-mx�ą�ą0 emL P e-mxźą
L
śąemL�ąe-mLźą�ąP śąemL-e-mLźą
L
e-mLemx=e-mL�ąmx=em śąx- Lźą
emLe-mx=emL�ąśą-mxźą=e-mśą x-Lźą
1
ż [�ą0śąemśąx-Lźą�ąe-mśąx- Lźąźą-P �ą0śąem śąx-Lźą-e-mśą x- Lźąźą]
L
śąe-mL�ąemLźą�ąP śąemL-e-mLźą
L
ex�ąe-x
cosśąhxźą sin h 0
sin śąhx źą
2
tan śą4x źą= %
cosśą hxźą
ex-e-x sin śąhxźą cosh 1
2
1
ż �ą0[2 cosh śąmśą L-Lźąźą-P "2 sinh śąmśą x-Lźąźą]
L
2 cosh śąmLźą�ąPL 2 sin hśą mLźą
cos hśąmśą x-Lźąźą-P sin h śąmśą x- Lźąźą
L
Qśą xźą=�ą
cosh śąmLźą-P sin h śąmLźą
L
cos hśą mśą L-Lźąźą-PLsin hśą mśą L- Lźąźą
�ąśą x=Lźą=�ą
cosh śąmLźą-PLsin hśą mLźą
1
�ąL=
cosh śąmLźą�ąPLsin hśąmLźą
�ą0 e-mLśą1- PLźą
A"d �ą
�ą�ą, x=0=-�ą %x=0=-�ą Am[C1-C2]=-�ą Am [ ]-ż
dx
emL�ąe-mL�ąP śąemL�ąe-mLźą
L
�ą0 emLśą1-P źą e-mL-P e-mL-emL-emL P
L L L
[ ]=-�ą Am �ą0 =ż
emL�ąe-mL�ąP śą emL�ąe-mLźą śąemL�ąe-mLźą�ąP śą emL-e-mLźą
L L
-śąemL-e-mLźą PLśąemL�ąe-mLźą 2 sin h śąmLźą-PL 2 cosh śąmLźą
-�ą Am�ą0 =�ą Am �ą0 =ż
2 cosh śąmLźą�ąPL 2 cosh śąmLźą
emL�ąe-mL�ą PLśąemL�ąe-mLźą
sin h śąmLźą
cos hśąmLźąśą -P źą
L
tan h śąmLźą�ąP
cosh śąmLźą
L
�ą Am �ą0 =�ą Am�ą0
sin h śąmLźą 1�ąP "tan hśą mLźą
L
cosh śąmLźą�ąśą1�ą PL źą
cosh śąmLźą
3.Pręt o skończonej długośći izolowany na końcu
x=0 Ś=Ś =C +C
0 1 2
Q�ą , x= L=0 -�ą Am d �ą %x= L =0=-�ą AmśąC1 emL-C2 e-mLźą=0
x=L
dx
C =Ś-C
2 1
C e mL - (Ś )e-mL=0
1 0 -C
1
C1śąemL�ąemLźą-�ą0 emL=0
�ą0 e-mL
C1=
emL�ąe-mL
�ą0 e-mL �ą0 emL�ą�ą0 e-mL-�ą0 e-mL
C2=�ą0 =
emL�ąe-mL emL�ąe-mL
�ą0 e-mL �ą0 emL
�ąśą xźą= emx�ą e-mx
emL�ąe-mL emL�ąemL
�ą0 �ą0 em śąx-Lźą x�ąe-m śąx-Lźą 2 cos h[mśąL-xźą]
�ąśą xźą= [e-mL"emx"emL"e-mx]= =�ą0 =ż
2 cos hśąmLźą
emL�ąe-mL emL�ąe-mL
2 cos h[mśą x- Lźą]
�ą0
2 cos hśąmLźą
cos h[mśą L-Lźą]
�ąL=�ą0 =�ą0 1
cosh śąmLźą cosh śąmLźą
�ą0 emL �ą0 emL
d �ą
Q�ą , x=0=-�ą A %x=0=-�ą Am śąC1-C2źą=-�ą Am[ - ]=ż
dx
emL�ąe-mL emL�ąe-mL
-śąemL-e-mLźą 2 sin h śąmLźą
-�ą Am�ą0 =�ą Am �ą0 =�ą Am�ą0 tan h śąmLźą
2 cos hśąmLźą
emL�ąe-mL
4. Pręt zanurzony w dwóch kąpielach
x=0 Ś=Ś =C +C
0 1 2
x=L Ś=Ś =C emL+C e-mL
L 1 2
C =Ś
2 0-C
1
Ś =C emL+(Ś )e-mL
L 1 0-C
1
�ąL=C1 emL�ą�ą0 e-mL-C1e-mL
�ąL-�ą0e-mL=C1śąemL-e-mLźą
�ąL-�ą0 e-mL �ą0 emL-�ą0 e-mL-�ąL�ą�ą0e-mL �ą0 emL-�ąL
C2=�ą0-C1=�ą0- = =
emL-e-mL emL-emL emL-e-mL
�ąL-�ą0 emL �ą0 emL-�ąL
�ą= emx�ą e-mx
emL-e-mL emL-e-mL
1
�ą= [�ąLemx-�ą0e-mL emx�ą�ą0 emLe-mx-�ąL e-mx]
emL-e-mL
1
�ą= [�ąLśą emx-emxźą�ą�ą0śąemśąx-Lźą-e-mśą x- Lźąźą]
emL-e-mL
�ąL2 sin hśąmxźą�ą�ą0 2 sin hśąmśą L- xźąźą �ąLsin hśąmx źą�ą�ą0 sin h śąmśą L-xźąźą
�ą= =
2sin hśąmLźą sin hśąmLźą
�ąL-�ą0 e-mL �ą0 emL-�ąL
d �ą
Q�ą , x=0=-�ą A %x=0=-�ą AmśąC1-C2źą=-�ą Am[ - ]=ż
dx
emL-e-mL emL-e-mL
2�ąL-�ą0śąemL-e-mLźą �ą02 coshśą mLźą-2�ąL �ą0cos hśąmLźą-�ąL
-�ą Am[ ]=-�ą Am =-�ą Am
2sin hśąmLźą sin hśąmLźą
emL-e-mL
�ąL-�ą0 e-mL �ą0 emL-�ąL
d �ą
Q�ą , x= L=-�ą A %x=L=-�ą AmśąC1 emL-C2 e-mLźą=-�ą Am[ emL- e-mL]=ż
dx
emL-e-mL emL-e-mL
�ąL emL-�ą0-�ą0-�ąLemL
-�ą Am[ ]=ż
emL-e-mL
�ąLśąemL-e-mLźą-2�ą0 2�ą0-2�ąLcos hśąmLźą �ą0-�ąLcos hśąmLźą-�ąL
-�ą Am[ ]=-�ą Am =-�ą Am
2 sin hśąmLźą sin hśą mLźą
emL-e-mL
Q=Q�ą , x=0�ą%Q�ą, x= L%
Wymienniki ciepła:
-przeponowe(powierzchniowe) tzw.rekuperatory-przenikanie ciepła zachodzi między
czynnikami oddzielonymi przegrodą stałą.
dEu
E =
d-E
w
d �ą
2
[śąi1d-i1wźą�ą g śą z1d-z1wźą�ąw2 w1w ] w2 -w2 dEu
1d 2d 2w
Qstat- N �ąm1 �ąm2[śąi2d-i2wźą�ąg śą z2d-z2wźą�ą ]=
2 2 d �ą
Założenia:
z H" z
1d 1w
w H" w
1d 1w
z H" z
2d 2w
z H" z
2d 2w
m=A*w*Ć -strumień
dEu
=0 -zmiana energii w czasie=0, tzn.,że energia układu się nie zmienia zw.stan ustalony.
d �ą
Qstrat=0
N=0
m1śąi1d-i1wźą-m2śąi2d-i2wźą=0
m1śąi1d-i1wźą=m2śąi2d-i2wźą
Q=m1śąi1d-i1wźą-wydajność wymiennikaciepła
Q=m2śąi2d-i2wźą-moc cieplna wymiennika ciepła
-bezprzeponowe(mieszalniki)
w1d w2 w2 dEu
2d 2w
Qstrat-N �ąm1[i1d�ągz1d�ą ]�ąm2[i2d�ągz2d�ą ]-mw[iw�ągzw�ą ]=
2 2 2 d �ą
Qstrat=0
N=0
w2
w2 w2
1d 2d 2d
i1dk" gz1d�ą i2dk" gz2d�ą i1wk" gzw�ą
2 2 2
dEu
=0 - stan ustalony
d �ą
bilans substancji:
m1�ąm2=mw
m1i1�ąm2 i2d-mwiw=0
m1i1d�ąm2i2d=śą m1�ąm2źąiw
przykłady:
*skraplacz mieszalnikowy (skraplanie wytrysku wody do pary)
*zraszacz (skruber)-gaz ogrzewany lub chłodzony zraszającym płynem
-z akumulacyjnym wypełnieniem
a) *ruchomy
*nieruchomy
b)z wwnętrznymi z
ródłami ciepła-haktor
Q
qv=
[ ]-objętościowa wydajność z
ródła ciepła
V
c)nieruchome wypełnienie oraz brak jest z
ródeł ciepła wewnętrznego-regenerator q =0
v
Ze względu na przepływ czynników dzielimy je na:
-równoległoprądowe(2 czynniki)
*współprądowe
*przeciwprądowe
-krzywoprądowe
-o złożonym przepływie czynników (mieszanym)
-o dowolnych kierunkach prądu T=const (2 zmienne fazy)
skraplacz(gazpłynna),
warnik zw.parowaczem(płynnagaz)
-wyparta
T=const "! (skraplacz)
T=const "! (parowacz)
Jednowymiarowe ustalone przewodzenie ciepła:
Założenia:
- przepływ ciepła jest jednowymiarowy (wzdłuż jednej tylko, wyróżnionej osi/wymiaru),
- przewodność cieplna ciała nie zależy od temperatury ani od czasu ( = idem), a ponadto ciało jest
izotropowe.
- przewodzenie ciepła jest ustalone.
Przewodzenie ciepła w przegrodzie (ściance) płaskiej jednowarstwowej;
A=idem, &!=idem, Q=idem
dt
Q=-�ą
dx
dt W
q=-�ą [ ]
dx
m2
q"x=-�ą T �ąC
T śą xźą=-q x�ąC -rozkład teperatury
�ą
T2
�ą
q dx= -�ą dT
+" +"
0 T1
T
�ą
2
q x=-�ą dT
+" +"
0 T
1
2
q"x %�ą=-�ąT %T
0 T
1
qśą�ą-0źą=-�ąśąT -T źą
1 2
q"�ą=�ąśąT -T źą
1 2
T -T
m2"K
1 2
q= [ ]
�ą W -gęstość strumienia ciepła przewodzonego
�ą
Dla przegrody płaskiej wielowarstwowej:
T -T T -T T -T
1 2 2 3 3 4
q= q= q=
�ą1 �ą2 �ą3
�ą1 �ą2 �ą3
�ą1 �ą2 �ą3
T -T =q T -T =q T -T =q
1 2
�ą1 2 3 �ą2 3 4 �ą3
T -T
1 4
�ą1 �ą2 �ą3
q=
T -T =qśą �ą �ą źą �ą1 �ą2 �ą3
1 4
�ą1 �ą2 �ą3 �ą �ą
�ą1 �ą2 �ą3
Przewodzenie ciepła dla przegrody cylindrycznej jednowarstwowej:
Założenia:
- przepływ ciepła jest jednowymiarowy (wzdłuż jednej tylko,
wyróżnionej osi/wymiaru),
-przewodność cieplna ciała nie zależy od temperatury ani od
czasu ( = idem), a ponadto ciało jest izotropowe,
-przewodzenie ciepła jest ustalone,
powierzchnie izotermiczne są powierzchniami walcowymi
współosiowymi z osią ścianek.
dT
Q=-2Ćą rL �ą
dr
Q W
=qL [ ]
L m
r T
z 2
qL dr =-2Ćą �ą dT
+" +"
r
rw T
1
z
qL ln r %r =-2Ćą�ąśąT -T źą
rw 2 1
qLśąlnr -lnr źą=2 Ćą�ąśąT -T źą
1 2
z w
rz
qL ln =2 Ćą�ą śąT -T źą
1 2
rw
T -T
1 2
qL=
rz
ln
rw
2 Ćą�ą
Dla przegrody cylindrycznej wielowarstwowej:
T -T T -T T -T
1 2 2 3 3 4
qL= = =
r2 r3 r4
ln ln ln
r1 r2 r3
2Ćą�ą1 2 Ćą�ą2 2Ćą �ą3
r2 r3 r4
qL"ln qL"ln qL"ln
r1 r2 r3
T -T = T -T = T -T =
1 2
2 Ćą�ą1 2 3 2 Ćą�ą2 3 4 2Ćą �ą3
r2 r3 r4
ln ln ln
r1 r2 r3
T -T =q "śą �ą �ą źą
1 4 L
2 Ćą�ą1 2 Ćą�ą2 2 Ćą�ą3
T -T T -T
1 4 1 4
qL= =
r2 r3 r4 dw�ą2�ą1 dw�ą2�ą2�ą�ą2
ln ln ln ln
r1 r2 r3 ln dw dw�ą2�ą1
�ą �ą �ą
2 Ćą�ą1 2Ćą �ą2 2Ćą �ą3 2Ćą�ą1 2 Ćą�ą2
Dla przegrody sferycznej jednowarstwowej:
Q"dr
=-4Ćą�ądT
r2
rz T2
dr
Q =-4 Ćą�ą dT
+" +"
rz
rw T1
z 2
Q"śą-1 źą%r =-4 Ćą�ą"T %T
r T1
w
r
1 1
Q[- -śą- źą]=4Ćą �ąśąT -T źą
2 1
rz rw
1 1
Q[ - ]=4 Ćą�ąśąT -T źą
1 2
rw rz
T -T
1 2
Q=
1 1
-
rw rz
4Ćą �ą
Dla przegrody sferycznej wielowarstwowej:
T -T T -T T -T
1 2 2 3 3 4
Q= = =
1 1 1 1 1 1
- - -
r1 r2 r2 r3 r3 r4
4 Ćą�ą1 4 Ćą�ą2 4Ćą�ą3
1 1 1 1 1 1
- - -
r1 r2 r2 r3 r3 r4
T -T =Q" T -T =Q" T -T =Q"
1 2
4Ćą �ą1 2 3 4Ćą �ą2 3 4 4 Ćą�ą3
1 1 1 1 1 1
- - -
r1 r2 r2 r3 r3 r4
T -T =Q" �ą �ą
1 4
4Ćą�ą1 4Ćą�ą2 4Ćą�ą3
T -T
1 4
Q=
1 1 1 1 1 1
- - -
r4 r2 r2 r3 r3 r4
�ą �ą
4Ćą�ą1 4Ćą�ą2 4Ćą�ą3