id2100109 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
T
transpozycja
macierzy jest macierz otrzymana poprzez zamian
wierszy na kolumny (lub kolumn na wiersze) z zachowaniem kolejno
T
Macierz nazywamy te .
..........................................................................................
2 0
éð Å‚ð
2 5 6
éð Å‚ð
Ä™ð5 T
1. Dla macierzy =ð 6Å›ð transpozycj jest macierz: =ð
Ä™ð0 6 8Å›ð .
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
Ä™ð6 8Å›ð
ëð ûð
-ð1 0 0 -ð 1 4 -ð 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð T Ä™ð
2. Dla macierzy =ð 4 5 0Å›ð transpozycj =ð 0 5 0Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð 2 0 1Å›ð Ä™ð 0 0 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð
1-ð 5 2 +ð 3
éð Å‚ð
Ä™ð
3 0 -ð 2Å›ð
Ä™ð Å›ð
3. Dla macierzy =ð transpozycj
Ä™ð-ð 2 2 4 +ð Å›ð
Ä™ð1+ð -ð 2Å›ð
ëð ûð
éð Å‚ð
1 -ð 3 -ð 2 1 +ð
Ä™ð Å›ð
T
=ð 5 0 2 Å›ð .
Ä™ð
Ä™ð2 +ð 3 -ð 2 4 +ð -ð 2Å›ð
ëð ûð
............................................................................................
transponowanie po raz kolejny macierzy transponowanej
powoduje powr
T
T
(ð )ð =ð
macierz
Macierze, kt ulegaj
symetryczna
. Spe
T
=ð
Przyk jednostkowa, bowiem IT =ð I .
..........................................................................................
T
2 -ð 3 2 -ð 3 2 -ð 3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
1. Macierz
Ä™ð-ð 3 1Å›ð jest macierz gdy Ä™ð-ð 3 1Å›ð =ð Ä™ð-ð 3 1Å›ð .
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
-ð 1 2 -ð 0
éð Å‚ð
Ä™ð2
2. Macierz -ð 5 3 Å›ð jest macierz
Ä™ð Å›ð
Ä™ð 0 3 5 +ð 2 Å›ð
ëð ûð
T
-ð 1 2 -ð 0 -ð 1 2 -ð 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð2 -ð 5 3 Å›ð =ð Ä™ð2 -ð 5 3 Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 0 3 5 +ð 2 Å›ð Ä™ð 0 3 5 +ð 2 Å›ð
ëð ûð ëð ûð
............................................................................................
mno
polega na pomno
przez liczb
macierzy przez t
×ð[ð ]ð=ð [ð ×ð ]ð.
.......................................................................................
-ð1 2 0
éð Å‚ð
1. Obliczy -ð 2 ×ð .
Ä™ð
3 1 -ð 2Å›ð
ëð ûð
Rozwi
-ð1 2 0 -ð 2 ×ð (ð-ð1)ð -ð 2 ×ð 2 -ð 2 ×ð 0 2 -ð 4 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
-ð 2 ×ð =ð .
Ä™ð
3 1 -ð 2Å›ð Ä™ð -ð 2 ×ð 3 -ð 2 ×ð1 -ð 2 ×ð(ð-ð 2)ðÅ›ð =ð Ä™ð-ð 6 -ð 2 4Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
0 2 -ð 3
éð Å‚ð
Ä™ð-ð
2. Obliczy 3×ð 2 -ð1 5 +ð Å›ð .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð 4 1 -ð 3Å›ð
ëð ûð
Rozwi
0 2 -ð 3 3×ð 0 3×ð(ð2 -ð 3 )ð 3×ð 0 6 -ð 9 3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð-ð Ä™ð3×ð Ä™ð-ð
3×ð 2 -ð1 5 +ð Å›ð =ð (ð-ð 2)ð 3×ð(ð-ð1)ð 3×ð(ð5 +ð )ðÅ›ð =ð 6 -ð 3 15 +ð 3 Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 4 1 -ð 3Å›ð Ä™ð 3×ð 4 3×ð1 3×ð(ð-ð 3)ðÅ›ð Ä™ð 12 3 -ð 9Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
.........................................................................................
dodawanie
mo
macierzy
wymiar. Dodaje si
[ð ]ð +ð[ð ]ð =ð [ð +ð ]ð .
Dodawanie macierzy jest przemienne oraz Natomiast dodanie do macierzy
macierzy zerowej odpowiedniego wymiaru nie zmieni wyniku (m
macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania macierzy).
+ = + (przemienno
( + ) + = + ( + ) (
+ = ( jest tu macierz )
T T
( + )T = +
..........................................................................................
-ð 3 2
éð Å‚ð
-ð1 0 5 2 5 -ð 4
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
Dla macierzy =ð , =ð 0 -ð 4Å›ð , =ð
Ä™ð Ä™ð-ð 2 1 0Å›ð obliczy
Å›ð
4 2 -ð 3Å›ð Ä™ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð 1 2Å›ð
ëð ûð
a) +
b) +
T
c) +3
T
d) 2 -ð3
Rozwi
a) Dzia + jest niewykonalne, poniewa i maja r
(dodajemy macierze o takich samych wymiarach).
-ð1 0 5 2 5 -ð 4 -ð1 +ð 2 0 +ð 5 5 -ð 4 1 5 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
b) +ð =ð +ð =ð =ð
Ä™ð
4 2 -ð 3Å›ð Ä™ð-ð 2 1 0Å›ð Ä™ð 4 -ð 2 2 +ð1 -ð 3 +ð 0Å›ð Ä™ð2 3 -ð 3Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
-ð 3 2 -ð 3 2 2 -ð 2
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
T
2 5 -ð 4
éð Å‚ð
T Ä™ð Ä™ð
c) +ð 3 =ð 0 -ð 4Å›ð +ð 3Ä™ð =ð 0 -ð 4Å›ð +ð 3Ä™ð 5 1Å›ð =ð
Ä™ð Å›ð Å›ð Å›ð
ëð-ð 2 1 0Å›ð Ä™ð 1 2Å›ð Ä™ð 4 0Å›ð
ûð
Ä™ð 1 2Å›ð Ä™ð Ä™ð-ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
-ð 3 2 3×ð 2 3×ð(ð-ð 2)ð -ð 3 2 6 -ð 6 -ð 3 +ð 6 2 -ð 6
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Ä™ð Ä™ð Ä™ð
=ð 0 -ð 4Å›ð +ð 3×ð5 3×ð1Å›ð =ð 0 -ð 4Å›ð +ð 15 3Å›ð =ð 0 +ð15 -ð 4 +ð 3Å›ð =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 1 2Å›ð Ä™ð3×ð(ð-ð 4)ð 3×ð 0Å›ð Ä™ð 1 2Å›ð Ä™ð-ð12 0Å›ð Ä™ð 1 -ð12 2 +ð 0Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
3 -ð 4
éð Å‚ð
Ä™ð
=ð 15 -ð1Å›ð .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð 11 2Å›ð
ëð ûð
T
-ð 3 2
éð Å‚ð
-ð1 0 5 -ð 2 0 10 -ð 3 0 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
T
d) 2 -ð3 = 2Ä™ð -ð 3Ä™ð 0 -ð 4Å›ð =ð -ð 3Ä™ð =ð
Ä™ð
Å›ð
4 2 -ð 3Å›ð Ä™ð 8 4 -ð 6Å›ð ëð 2 -ð 4 2Å›ð
ëð ûð ëð ûð ûð
Ä™ð 1 2Å›ð
ëð ûð
-ð 2 0 10 -ð 9 0 3 -ð 2 -ð (ð-ð 9)ð 0 -ð 0 10 -ð 3 7 0 7
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
=ð -ð =ð =ð
Ä™ð
8 4 -ð 6Å›ð Ä™ð 6 -ð12 6Å›ð Ä™ð 8 -ð 6 4 -ð (ð-ð12)ð -ð 6 -ð 6Å›ð Ä™ð2 16 -ð12Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
..........................................................................................
Macierze, kt
T
=ð -ð
macierz
nazywamy macierzami (lub ).
sko
symetryczna
..........................................................................................
0 -ð 2 2 5
éð Å‚ð
Ä™ð
2 0 1 4Å›ð
Ä™ð Å›ð
Macierz jest przyk , bowiem
Ä™ð-ð 2 -ð1 0 -ð 3Å›ð
Ä™ð-ð 5 -ð 4 3 0Å›ð
ëð ûð
T
0 -ð 2 2 5 0 2 -ð 2 -ð 5 0 -ð 2 2 5
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
2 0 1 4Å›ð Ä™ð-ð 2 0 -ð1 -ð 4Å›ð Ä™ð 2 0 1 4Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Å›ð
=ð =ð -ðÄ™ð .
Ä™ð-ð 2 -ð1 0 -ð 3Å›ð Ä™ð 2 1 0 3Å›ð Ä™ð-ð 2 -ð 1 0 -ð 3Å›ð
Ä™ð-ð 5 -ð 4 3 0Å›ð Ä™ð
5 4 -ð 3 0Å›ð Ä™ð-ð 5 -ð 4 3 0Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
..........................................................................................
mno
Je ma wymiar ´ð , a macierz ma wymiar x , to ich =
macierzy
b x , przy czym elementy macierzy wyznaczane s :
=ð +ð +ð +ð +ð .
1 1 2 2 3 3
Powy a
=ð .
åð
=ð1
Mno i ma wi wtedy sens, gdy macierz ma tyle kolumn
co macierzy wierszy. Potocznie mo macierze mno
mno z kolumn schemat:
j ta kolumna
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
éð
Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Å›ð
Ä™ð Å›ð
i ty wiersz
Ä™ð
Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð
ûð
ëð ûð
Mno macierzy , ale jest Pomno
przez macierz jednostkow zmieni wyniku (m
wtedy, jednostkowa jest elementem neutralnym mno enia macierzy).
( ) = ( ) (
( ) = + oraz ( ) = + (rozdzielno
I = oraz I =
T T
( )T =
..........................................................................................
-ð1 2
éð Å‚ð
-ð 4 3
éð Å‚ð
Ä™ð
Obliczy 0 4Å›ð ×ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
5 2Å›ð
ëð ûð
Ä™ð-ð 2 3Å›ð
ëð ûð
Rozwi
Pierwsza z macierzy w podanym iloczynie ma wymiar 3x2, za
-ð1 2
éð Å‚ð
-ð 4 3
éð Å‚ð
Ä™ð
kwadratowa stopnia drugiego. Iloczyn 0 4Å›ð ×ð wi (pierwsza
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
5 2Å›ð
ëð ûð
Ä™ð-ð 2 3Å›ð
ëð ûð
macierz ma dwie kolumny, a druga macierz ma dwa wiersze). Wynik b
macierz
-ð1 2 -ð1×ð(ð-ð 4)ð+ð 2 ×ð 5 -ð1×ð 3 +ð 2 ×ð 2 4 +ð 10 -ð 3 +ð 4 16 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
-ð 4 3
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Ä™ð0 Ä™ð20
0 4Å›ð ×ð =ð 0 ×ð(ð-ð 4)ð+ð 4 ×ð 5 0 ×ð 3 +ð 4 ×ð 2Å›ð =ð +ð 20 0 +ð 8Å›ð =ð 8Å›ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
5 2Å›ð Ä™ð
ëð ûð
Ä™ð-ð 2 3Å›ð Ä™ð-ð 2 ×ð(ð-ð 4)ð+ð 3×ð 5 -ð 2 ×ð 3 +ð 3×ð 2Å›ð Ä™ð 8 +ð 15 -ð 6 +ð 6Å›ð Ä™ð23 0Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
..........................................................................................
-ð 3 2
éð Å‚ð
-ð1 0 5 2 5 -ð 4
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
Dla macierzy =ð , =ð 0 -ð 4Å›ð , =ð
Ä™ð Ä™ð-ð 2 1 0Å›ð
Å›ð
4 2 -ð 3Å›ð Ä™ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð 1 2Å›ð
ëð ûð
obliczy a) b) c)
Rozwi
a)
-ð 3 2
éð Å‚ð
-ð1 0 5 -ð1×ð(ð-ð 3)ð+ð 0 ×ð 0 +ð 5×ð1 -ð1×ð 2 +ð 0 ×ð(ð-ð 4)ð+ð 5×ð 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
=ð ×ð 0 -ð 4Å›ð =ð =ð
Ä™ð Ä™ð
Å›ð
4 2 -ð 3Å›ð2 3 Ä™ð 4 ×ð(ð-ð 3)ð+ð 2 ×ð 0 -ð 3×ð1 4 ×ð 2 +ð 2 ×ð(ð-ð 4)ð-ð 3×ð 2Å›ð2 2
ëð ûð ûð
Ä™ð 1 2Å›ð3 2 ëð
ëð ûð
3 +ð 5 -ð 2 +ð 10 8 8
éð Å‚ð éð Å‚ð
=ð
Ä™ð-ð12 -ð 3 8 -ð 8 -ð 6Å›ð =ð Ä™ð-ð15 -ð 6Å›ð
ëð ûð ëð ûð
b) iloczyn nie istnieje, bowiem macierz ma 3 kolumny, a macierz ma 2
wiersze
c)
-ð 3 2 -ð 3×ð 2 +ð 2 ×ð(ð-ð 2)ð -ð 3×ð 5 +ð 2 ×ð1 -ð 3×ð(ð-ð 4)ð+ð 2 ×ð 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
2 5 -ð 4
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð
=ð 0 -ð 4Å›ð ×ð
Ä™ð-ð 2 1 0Å›ð2 =ð Ä™ð 0 ×ð 2 -ð 4 ×ð(ð-ð 2)ð 0 ×ð5 -ð 4 ×ð1 0 ×ð(ð-ð 4)ð-ð 4 ×ð 0Å›ð =ð
Ä™ð Å›ð Å›ð
ûð
3
Ä™ð 1 2Å›ð3 2 ëð Ä™ð 1×ð 2 +ð 2 ×ð(ð-ð 2)ð 1×ð 5 +ð 2 ×ð1 1×ð(ð-ð 4)ð+ð 2 ×ð 0Å›ð3 3
ëð ûð ëð ûð
-ð 6 -ð 4 -ð15 +ð 2 12 -ð10 -ð13 12
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð
=ð 8 -ð 4 0Å›ð =ð 8 -ð 4 0Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 1 -ð 4 5 +ð 2 -ð 4Å›ð Ä™ð -ð 3 7 -ð 4Å›ð
ëð ûð ëð ûð
............................................................................................