Kod uzupełnień do dwóch
1
Kod uzupełnień do dwóch
Kod uzupełnień do dwóch (w skrócie U2 lub ZU2) jest obecnie najpopularniejszym sposobem zapisu liczb
całkowitych oraz ułamkowych przedstawionych w formacie stałoprzecinkowym na bitach. Jego popularność wynika
z faktu, że operacje dodawania i odejmowania są w nim wykonywane tak samo jak dla liczb binarnych bez znaku. Z
tego też powodu oszczędza się na kodach rozkazów procesora.
Nazwa kodu wzięła się ze sposobu obliczania liczb przeciwnych. Dla jednobitowej liczby wartość przeciwną
obliczamy odejmując daną liczbę od 2 (uzupełniamy jej wartość do dwóch). Analogicznie, dla liczb n-bitowych
wartości przeciwne uzyskujemy odejmując liczbę od dwukrotnej wagi najstarszego bitu (2�2n 1 = 2n). W analogiczny
sposób można stworzyć np. kod uzupełnień do jedności.
Zaletą tego kodu jest również istnienie tylko jednego zera. Przedział kodowanych liczb nie będzie zatem
symetryczny. W U2 na n bitach da się zapisać liczby z zakresu:
Dla 8 bitów (bajta) są to liczby od  128 do 127. Liczba  2n 1 nie posiada swojego przeciwieństwa w n-bitowej
reprezentacji kodu U2.
Zapis liczb
W dwójkowym systemie liczbowym najstarszy bit liczby n-cyfrowej ma wagę 2n 1. Jedyną różnicą, jaką wprowadza
tu kod U2, jest zmiana wagi tego bitu na przeciwną ( 2n 1). Bit ten jest nazywany bitem znaku, ponieważ świadczy
o znaku całej liczby  jeśli jest ustawiony (=1) cała liczba jest ujemna, jeśli jest skasowany (=0)  liczba jest
dodatnia lub równa 0.
Zwiększając obszar zajmowany przez liczbę w kodzie U2 (np. z jednego bajta na dwa), dodawany obszar wypełnia
się bitem znaku.
Kod U2 może być połączony z kodem stałopozycyjnym w celu umożliwienia zapisu liczb niecałkowitych.
Wymagana jest wtedy umowa co do miejsca położenia przecinka oddzielającego część całkowitą od ułamkowej
(może on również leżeć poza cyframi znaczącymi liczby). Liczby takie można traktować jako liczby całkowite przy
dodawaniu i odejmowaniu. Przy mnożeniu i dzieleniu wymagane są korekty, jeśli wynik ma mieć w tym samym
miejscu przecinek.
Zapis dwójkowy liczb zmiennoprzecinkowych na ogół nie używa wcale kodu U2, bądz
używa go tylko dla
wykładnika.
Przykłady
11101101U2 = 1 �" -(27) + 1 �" 26 + 1 �" 25 + 0 �" 24 + 1 �" 23 + 1 �" 22 + 0
�" 21 + 1 �" 20 = -1910
Liczba przeciwna
Aby zamienić liczbę w U2 na przeciwną, należy wykonać dwa kroki:
" dokonać inwersji bitów, czyli pozamieniać 0 na 1 i odwrotnie;
" zwiększyć wynik o 1.
Można też posłużyć się metodą podaną na wstępie, ale powyższa metoda jest prostsza i działa również na
procesorach, które nie mają operacji odejmowania.
Kod uzupełnień do dwóch
2
Przykład
Dana jest liczba:
01001010U2 = 0 �" -(27) + 1 �" 26 + 0 �" 25 + 0 �" 24 + 1 �" 23 + 0 �" 22 + 1
�" 21 + 0 �" 20 = 7410
Dokonujemy inwersji:
10110101
Zwiększamy o 1:
10110110U2 = 1 �" -(27) + 0 �" 26 + 1 �" 25 + 1 �" 24 + 0 �" 23 + 1 �" 22 + 1
�" 21 + 0 �" 20 = -7410
Dodawanie i odejmowanie liczb
Dodawanie i odejmowanie w U2 odbywa się standardową metodą  traktujemy liczby jako zwykłe liczby binarne
(dodatnie), dodajemy je lub odejmujemy, a wynik otrzymujemy w zapisie U2. Dodawanie i odejmowanie odbywa
się łącznie z bitem znaku, a przeniesienia i pożyczki poza najstarszy bit (bit znaku) ignorujemy. Jeśli jednak
przepełnienie (lub pożyczka) nie będzie występować jednocześnie na bit znaku i poza niego, wówczas możemy być
pewni przekroczenia zakresu wyniku.
Przykład
Uwaga: przecinek oznacza odddzielenie części całkowitej od ułamkowej, kropka znaku liczby od wartości w U2
Rezerwujemy odpowiednią ilość "bitów" uzupełniając z lewej strony bitem znaku, a z prawej zerami zgodnie z
zasadą zapisu w U2.
Dodawanie
1.10100,010
+1.11000,011
------------
1.01100,101
Kod uzupełnień do dwóch
3
Odejmowanie
Odejmowanie jest realizowane, podobnie jak dodawanie
1.10100,010
-1.11000,011
------------
1.11011,111
Odejmowanie może być zamienione na dodanie liczby przeciwnej, dlatego w niektórych procesorach zrealizowano
tylko operację tworzenia liczby przeciwnej i dodawanie. Przykład odejmowania przez zamianę liczby na liczbę
przeciwną.
przeciwna do 1.11000,011 = 0.00111,101
1.10100,010
+0.00111,101
------------
1.11011,111
Mnożenie liczb
I wariant metody Bootha
Algorytm słowny:
1. Badamy kolejne pary bitów mnożnika.
2. Jeżeli badana para jest kombinacją 10 to od iloczynu częściowego odejmujemy mnożną, wynik przesuwamy o
jedno miejsce w prawo.
3. Jeżeli jest to para 01 to dodajemy mnożną do iloczynu częściowego, przesuwamy wynik o jedno miejsce w
prawo
4. Jeżeli są to pary 00 lub 11 to nie wykonujemy żadnego działania, tylko przesuwamy o jedno miejsce w prawo.
5. Gdy w skład pary wchodzi bit znaku to nie wykonujemy przesunięcia.
Przykład
Uwaga: część całkowita w zapisie binarnym została pominięta - zapis jest postaci bit_znaku.bity_ułamka
Analizuję bity liczby B (od prawej do lewej strony), dodaję i odejmuję liczbę A.
Kod uzupełnień do dwóch
4
0.0000 (iloczyn częściowy)
-1.1011 (jest 10, odejmuje)
------
0.0101
0.00101 -> (i przesuwa)
+1.1011 (jest 01, dodaje)
-------
1.11011
1.111011 -> (i przesuwa)
1.1111011 -> (jest 00, tylko przesuwa)
-1.1011 (jest 1.0, ale jest bit znaku, to nie przesuwa )
---------
0.0100011
Wynik otrzymujemy w kodzie znak-moduł (ZM).
Sprawdzenie
II wariant metody Bootha
Algorytm słowny:
1. Oznaczamy i inicjujemy: A - mnożna, iloczyn częściowy = 0
2. Przesuwamy mnożną o jedno miejsce w prawo (wykonujemy działanie )
3. Badamy ostatni bit mnożnika:
1. jeśli jest równy 1 to dodaj mnożną do iloczynu częściowego
2. jeśli równy 0 to nie wykonuj żadnego działania (dodaj 0)
4. Przesuwamy mnożnik o jedno miejsce w prawo, czyli przechodzimy do badania kolejnego bitu mnożnika.
5. Przesuwamy iloczyn częściowy o jedno miejsce w prawo, powtarzamy 3 ostatnie punkty do momentu aż
napotkamy bit znaku
6. Jeśli bit znaku jest równy 1 to odejmujemy mnożną od iloczynu częściowego, jeśli jest równy 0 to nie
wykonujemy żadnego działania.
7. Uzyskany iloczyn częściowy przesuwamy o jedno miejsce w lewo (działanie A�"2).
Przykład
Uwaga: część całkowita w zapisie binarnym została pominięta - zapis jest postaci bit_znaku.bity_ułamka
Analizuję bity liczby B (mnożnika) od prawej do lewej strony, dodaję i odejmuję liczbę A (mnożną).
- przesuwamy mnożną o jedno miejsce w prawo
Kod uzupełnień do dwóch
5
0.0000
+0.0011 (analizuję 1)
------
0.0011
0.00011 ->
+0.0011 (analizuję 1)
-------
0.01001
0.001001 ->
0.0001001 -> (analizuję 0)
+0.0011 (analizuję 1)
---------
0.0100001
0.00100001 ->
-0.0011 (analizuję 1 - bit znaku)
----------
1.11110001
1.1110001 <-
Wynik otrzymujemy w kodzie uzupełnień do dwóch.
Sprawdzenie
Dzielenie liczb
Metoda porównawcza
Algorytm słowny:
1. Jeżeli przesunięta reszta częściowa jest większa lub równa od dzielnika, to kolejny bit ilorazu qi = 1, odejmujemy
dzielnik od tej reszty.
2. Jeżeli przesunięta reszta częściowa jest mniejsza od dzielnika, to kolejny bit ilorazu qi = 0.
3. Dokonujemy przesunięcia otrzymanego wyniku o jedno miejsce w lewo i przechodzimy do punktu pierwszego.
Przykład
Uwaga: część całkowita w zapisie binarnym została pominięta - zapis jest postaci bity_ułamka
Uwaga 2: dzielenie odbywa się w kodzie znak-moduł z pominięciem bitu znaku (operujemy na modułach liczb), w
przeciwieństwie do pozostałych metod
(dzielna)
(dzielnik)
RC = A = 0011001 (RC e" B, więc q1 = 1)
011001 <-
-0101
------
000101
RC = 00101 <- (RC < B, więc q2 = 0)
RC = 0101 <- (RC e" B, więc q3 = 1)
-0101
----
RC = 0000 (kolejna reszta częściowa = 0)
Kod uzupełnień do dwóch
6
Otrzymany wynik, złożony z kolejnych bitów od q1 do q3 jest modułem liczby wynikowej, postaci q1q2q3.
Bit znaku (z) tej liczby określamy na podstawie bitów znaku dzielnej (a) i dzielnika (b) przy pomocy operacji
logicznej XOR: z = a XOR b. Tak więc przy różnych bitach znaku daje ona wynik 1, przy takich samych daje 0.
Wynik otrzymujemy w kodzie znak-moduł i jest on równy 1.101.
Sprawdzenie
Metoda nierestytucyjna
Algorytm słowny:
1. Założenie: moduł dzielnej musi być mniejszy od modułu dzielnika (|A| < |B|) w kodzie ZM
2. Metoda polega na badaniu znaku dzielnika i kolejnej reszty częściowej (pierwsza reszta częściowa jest równa
dzielnej).
1. jeżeli znaki te są zgodne to odejmujemy dzielnik od przesuniętej w lewo kolejnej reszty częśiowej, kolejny bit
ilorazu qi = 1
2. jeżeli znaki są różne to dodajemy dzielnik do przesuniętej w lewo kolejnej reszty częściowej, kolejny bit
ilorazu qi = 0
3. Powtarzamy poprzedni punkt aż do momentu, gdy kolejna resta częściowa będzie równa 0
4. Do otrzymanego wyniku dodajemy poprawkę równą -1 + 2-n, gdzie n jest liczbą bitów pseudoilorazu.
Przykład
Uwaga: część całkowita w zapisie binarnym została pominięta - zapis jest postaci bit_znaku.bity_ułamka
(dzielna)
(dzielnik)
1.1110001 (znaki różne, 1 oraz 0, więc q0 = 0)
1.110001 <-
+0.011
--------
0.001001 (znaki zgodne, 0 oraz 0, więc q1 = 1)
0.01001 <-
-0.011
-------
1.11101 (znaki różne, więc q2 = 0)
1.1101 <-
+0.011
------
0.0011 (znaki zgodne, więc q3 = 1)
0.011 <-
-0.011
-----
0.000 (kolejna reszta częściowa = 0)
Otrzymany wynik, złożony z kolejnych bitów od q0 do q3 jest pseudoilorazem (PQ), gdzie q0 jest jego bitem
znakowym, a kolejne są kolejnymi bitami liczby postaci q0q1q2q3. Tak więc PQ = 0.101
Do pseudoilorazu dodajemy poprawkę
Kod uzupełnień do dwóch
7
0.101 (pseudoiloraz)
+1.0001 (poprawka)
------
1.1011
Wynik otrzymujemy w kodzie uzupełnień do dwóch.
Sprawdzenie
Zobacz też
" Kod znak-moduł
" Kod uzupełnień do jedności
" Symulator algorytmu Booth'a [1]
Przypisy
[1] http:/ / www. ecs. umass. edu/ ece/ koren/ arith/ simulator/ Booth/
Article Sources and Contributors
8
Article Sources and Contributors
Kod uzupełnień do dwóch Source: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19419508 Contributors: Bartozza, CiaPan, Gtworek, Konradzik, Lukasz Lukomski, ManiAkF, Marniak, Mik,
Mlepicki, PDD, Roo72, Stok, Tilia, Wojciech mula, Wumarex, Zbyszekprasak, Zergu, Zerro, Zolv, 31 anonimowe edycje
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/