Politechnika Białostocka
Wydział Elektryczny
Katedra Automatyki i Elektroniki
ĆWICZENIE Nr 2
Badanie właściwości liniowych, ciągłych układów
dynamicznych
Instrukcja pomocnicza do laboratorium z przedmiotu
 Teoria Sterowania
Opracował: dr inż. Mirosław Świercz
Białystok, marzec 1998
CZ
ŚĆ I.
FUNKCJE PAKIETU MATLAB PRZEZNACZONE DO ANALIZY
LINIOWYCH, CI
GA
YCH UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH
Operacje na modelu układu dynamicznego.
append - A
ączenie dwóch podsystemów dynamicznych.
blkbuild - Budowa macierzy stanu układu na podstawie schematu blokowego.
cloop - Macierze stanu układu zamkniętego.
conv - Funkcja splotu (mnożenie) dwóch wielomianów.
feedback - Połączenie dwóch układów pętlą sprzężenia zwrotnego.
ord2 - Generacja macierzy A,B,C,D układu dynamicznego drugiego rz ędu.
pade - Aproksymacja opóz
nienia metodÄ… Pade.
parallel - Równoległe połączenie dwóch układów dynamicznych.
series - Szeregowe połączenie dwóch układów dynamicznych.
Konwersja postaci modelu układu dynamicznego.
poly - Zapis w postaci współczynników wielomianu charakterystycznego.
residue - Rozkład funkcji wymiernej na postać ułamkow ą (metodą residuów).
ss2tf - Konwersja macierzy stanu do transmitancji operatorowej.
ss2zp - Konwersja równań stanu do postaci iloczynowej (zer i biegunów).
tf2ss - Konwersja z postaci transmitancyjnej na równania stanu.
tf2zp - Konwersja transmitancji do postaci iloczynów zer i biegunów.
zp2tf - Konwersja z postaci iloczynów zer-biegunów do transmitancji.
zp2ss - Konwersja z postaci iloczynów zer i biegunów do macierzy stanu.
Właściwości modelu układu dynamicznego.
ctrb - Macierz sterowalności układu.
damp - Współczynnik tłumienia i pulsacja drga ń własnych układu.
dcgain - Wartość wzmocnienia układu w stanie ustalo nym.
eig - Wartości własne i wektory własne.
esort - Sortowanie wartości własnych według części rzeczywistej.
obsv - Macierz obserwowalności układu.
printsys - Informacja o układzie w postaci sformatowanej.
roots - Pierwiastki wielomianu.
Odpowiedzi czasowe układu dynamicznego.
impulse - Odpowiedz
impulsowa układu.
initial - Odpowiedz
swobodna układu ciągłego z zadanego stanu początkowego.
lsim - Odpowiedz
układu ciągłego na dowolne wymuszenia.
step - Odpowiedz
skokowa układu liniowego.
stepfun - Funkcja skoku jednostkowego.
2
Analiza częstotliwościowa układu.
bode - Charakterystyki Bodego (odpowied z
częstotliwościowa).
freqs - Odpowiedz
częstotliwościowa układu wyznaczona z na podstawie
transformaty Laplace a.
margin - Zapasy modułu i fazy.
nichols - Wykres Nicholsa.
ngrid - Rysuje linie siatki na wykresie Nicholsa.
nyquist - Charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista).
Linie pierwiastkowe.
pzmap - Mapa zer i biegunów.
rlocfind - Interaktywne wyznaczanie wzmocnienia na linia ch pierwiastkowych.
rlocus - Linie pierwiastkowe (metoda Evansa).
sgrid - Rysuje siatkę stałych wartośći pulsacji i tłumienia układu, wn, z.
======= ******* =======
Operacje na modelu układu dynamicznego.
append - A
ączenie dwóch podsystemów dynamicznych.
APPEND A
ączenie dwóch podsystemów dynamicznych zadanych równaniami stanu.
[A,B,C,D] = APPEND(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) tworzy układ dynamiczny
poprzez agregację (dołączenie) dwóch podsystemów zadanych równaniami stanu.
Postać równań stanu połączonego układu wyraża się jak następuje:
x1 A1 0 x1 B1 0 u1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= +
ïÅ‚x śł ïÅ‚
0 A2 śł ïÅ‚x2 śł ïÅ‚ 0 B2 śł ïÅ‚u2 śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
y1 C1 0 x1 D1 0 u1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= +
ïÅ‚y śł ïÅ‚
0 C2 śł ïÅ‚x2 śł ïÅ‚ 0 D2 śł ïÅ‚u2 śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
blkbuild - Budowa macierzy stanu układu na podstawie schematu blokowego.
BLKBUILD Umożliwia budowę blokowo-diagonalnej struktury macierzy stanu układu na
podstawie jego schematu blokowego. Plik ten nie jest funkcjÄ…, lecz tzw.
skryptem; konieczne jest zatem określenie wielkości wejściowych przed
wywołaniem tego skryptu.
WEJÅšCIA:
nblocks - jest liczbą bloków występujących w schemacie.
ni, di - sÄ… wielomianami licznika i mianownika transmitancji i-tego bloku
ai, bi, ci, di - są macierzami stanu i-tego bloku, jeśli użytkownik wybierze tę
formę reprezentacji układu.
WYJÅšCIA:
3
a, b, c, d - jest zbiorem wynikowych macierzy stanu, sterowań i wyjść układu.
Macierze są budowane poprzez wielokrotne wywoływanie funkcji APPEND z
parametrami reprezentujÄ…cymi macierze opisujÄ…ce kolejne bloki.
Uwaga. Jeśli dla i-tego bloku podano zarówno parametry ni, di, jak i ai, bi, ci, di -
funkcja generuje komunikat błędu.
cloop - Macierze stanu układu zamkniętego.
CLOOP Wyznaczenie macierzy układu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
[Ac,Bc,Cc,Dc] = CLOOP(A,B,C,D,SIGN) tworzy macierze modelu w przestrzeni
stanu układu zamkniętego, otrzymanego poprzez połączenie pętlą jednostkowego
sprzężenia zwrotnego wszystkich wyjść układu otwartego z wszystkimi wejściami.
Jeśli SIGN = 1, będzie to dodatnie sprzężenie zwrotne; jeśli zaś SIGN = -1,
sprzężenie zwrotne ujemne. W każdym przypadku wynikowy układ ma te same
wejścia i wyjścia, co oryginalny układ otwarty.
[Ac,Bc,Cc,Dc] = CLOOP(A,B,C,D,OUTPUTS,INPUTS) tworzy macierze układu
zamkniętego, który powstał przez połączenie konkretnych wyjść układu otwartego z
jego konkretnymi wejściami. Wektory OUTPUTS i INPUTS zawierają indeksy
wyjść i wejść układu otwartego, które należy połączyć. Zakłada się dodatni znak
sprzężenia zwrotnego. Jeśli znak ma być ujemny, należy użyć ujemnych indeksów
wejść w wektorze INPUTS.
[NUMc,DENc] = CLOOP(NUM,DEN,SIGN) tworzy układ zamknięty o jednym
wejściu i jednym wyjściu (SISO), który powstaje z objęcia jednostkową pętlą
sprzężenia zwrotnego (ze znakiem SIGN) układu otwartego danego transmitancją
G(s) = NUM(s)/DEN(s)
conv - Funkcja splotu (mnożenie) dwóch wielomianów.
CONV Funkcja splotu i mnożenie dwóch wielomianów.
C = CONV(A, B) oblicza splot wektorów A i B. Powstały w wyniku wektor C ma
długość LENGTH(A)+LENGTH(B)-1. Jeśli A i B zawierają współczynniki dwóch
wielomianów, splot jest równoważny z mnożeniem tych wielomianów.
feedback - Połączenie dwóch układów pętlą sprzężenia zwrotnego.
FEEDBACK Połączenie dwóch układów pętlą sprzężenia zwrotnego, tak, że pierwszy układ
znajduje się w torze głównym, zaś drugi - w pętli sprzężenia.
[A,B,C,D] = FEEDBACK(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,SIGN) tworzy macierze
opisu stanowego układu zastępczego, powstałego z połączenia pętlą sprzężenia
zwrotnego układów 1 i 2. W typowym przypadku układ 1 jest obiektem, zaś układ 2 -
kompensatorem. Jeśli SIGN=1 jest to sprzężenie dodatnie, jeśli zaś SIGN=-1,
sprzężenie ujemne. w obydwu przypadkach układ zastępczy ma te same wejścia i
wyjścia co układ o indeksie 1.
[A,B,C,D] = FEEDBACK(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,INPUTS1,OUTPUTS1)
tworzy układ zamknięty poprzez połączenie pętlą sprzężenia wszystkich wyjść
układu 2 z wejściami układu 1 określonymi w wektorze INPUTS1 oraz połączenie
wyjść układu 1 o indeksach podanych w wektorze OUTPUTS1 z wszystkimi
wejściami układu 2. Zakłada się dodatni znak sprzężenia zwrotnego; jeśli jest
wymagany znak ujemny, należy użyć ujemnych wartości elementów wektora
INPUTS1.
4
[NUM,DEN] = FEEDBACK(NUM1,DEN1,NUM2,DEN2,SIGN) tworzy zamknięty
układ SISO opisany za pomocą transmitancji operatorowej otrzymanej z objęcia
sprzężeniem zwrotnym ze znakiem SIGN układów o transmitancjach 1 i 2.
ord2 - Generacja macierzy A,B,C,D układu dynamicznego drugiego rz ędu.
ORD2 Generacja modelu ciągłego układu dynamicznego drugiego rzędu.
[A,B,C,D] = ORD2(Wn, Z) zwraca macierze A,B,C,D, reprezentujące liniowy układ
dynamiczny o pulsacji drgań własnych Wn i współczynniku tłumienia Z.
[NUM,DEN] = ORD2(Wn,Z) zwraca wektory współczynników wielomianów
licznika i mianownika transmitancji operatorowej takiego układu.
pade - Aproksymacja opóz
nienia metodÄ… Pade.
PADE Parametry aproksymacji opóz
nienia za pomocą metody Pade n-tego rzędu:
2
num - Ts + (-Ts)2 / 2!+ (-Ts)3 / 3!+
=
den 2 + Ts + (Ts)2 / 2!+ (Ts)3 / 3!+
[NUM,DEN]=PADE(T,n) zwraca parametry transmitancji zastępczej aproksymacji
opóz
nienia transportowego za pomocą metody Pade n-tego rzędu. Wektory NUM i
DEN zawierają współczynniki wielomianów według malejących potęg zmiennej s.
[A,B,C,D]=PADE(T,n) tworzy model aproksymacji Pade n-tego rzędu opóz
nienia
transportowego w przestrzeni zmiennych stanu.
Funkcja wywołana bez argumentów lewostronnych, PADE(T,n) wykreśla na ekranie
odpowiedz
skokową aproksymacji opóz
nienia metodą Pade n-tego rzędu.
parallel - Równoległe połączenie dwóch układów dynamicznych.
PARALLEL Równoległe połączenie dwóch układów dynamicznych.
[A,B,C,D] = PARALLEL(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) tworzy model w przestrzeni
stanu układu powstałego jako połączenie równoległe dwóch innych modeli
stanowych. Wejścia obydwu układów są połączone równolegle, zaś wyjście układu
wynikowego jest sumą wyjść poszczególnych modeli składowych, tzn. Y = Y1 + Y2.
[A,B,C,D] = PARALLEL(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,IN1,IN2,OUT1,OUT2)
tworzy równoległe połączenie dwóch układów, tak, że ich wejścia o indeksach
określonych w wektorach IN1 i IN2 są połączone równolegle, zaś wyjścia o
indeksach podanych w wektorach OUT1 i OUT2 sÄ… sumowane. Indeks 1 w
parametrach funkcji dotyczy układu pierwszego, indeks 2 - drugiego.
[NUM,DEN] = PARALLEL(NUM1,DEN1,NUM2,DEN2) tworzy równoległe
połączenie dwóch układów zadanych przez swe transmitancje operatorowe
series - Szeregowe połączenie dwóch układów dynamicznych.
SERIES Szeregowe połączenie dwóch układów dynamicznych.
[A,B,C,D] = SERIES(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) tworzy macierze opisu
stanowego układu, będącego szeregowym połączeniem układu 1 i 2. Wszystkie
wyjścia układu 1 są połączone z wejściami układu 2, tak więc u2 = y1. Układ
wynikowy posiada wejścia układu 1 oraz wyjścia układu 2.
[A,B,C,D] = SERIES(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,OUTPUTS1,INPUTS2) tworzy
połączenie dwóch układów, takie, że wyjścia układu 1 o indeksach podanych w
wektorze OUTPUTS1 są połączone z wejściami układu 2, o indeksach podanych w
wektorze INPUTS2. Wektory OUTPUTS1 i INPUTS2 zawierajÄ… indeksy liczone
niezależnie, odpowiednio dla układu 1 i 2.
5
[NUM,DEN] = SERIES(NUM1,DEN1,NUM2,DEN2) tworzy model transmitancyjny
układu SISO, który powstaje jako szeregowe połączenie dwóch bloków transmitancji
(danych poprzez ich współczynniki wielomianów) układów SISO.
Konwersja postaci modelu układu dynamicznego.
poly - Zapis w postaci współczynników wielomianu charakterystycznego.
POLY Wielomian charakterystyczny układu.
Jeśli A jest macierzą kwadratową o wymiarach N na N, POLY(A) zwraca wektor
wierszowy, zawierający N+1 elementów, które są współczynnikami wielomianu
charakterystycznego, DET(lambda*EYE(A) - A).
Jeśli V jest wektorem, POLY(V) zwraca wektor współczynników wielomianu,
którego pierwiastkami są elementy wektora V. W przypadku wektorów, ROOTS i
POLY są względem siebie funkcjami odwrotnymi, z dokładnością do
porządkowania, skalowania elementów i błędów zaokrągleń.
residue - Rozkład funkcji wymiernej na postać ułamkow ą (metodą residuów).
RESIDUE Rozwinięcie funkcji wymiernej do postaci sumy ułamków (metodą residuów).
[R,P,K] = RESIDUE(B,A) znajduje residua, bieguny oraz część wielomianową, które
powstają z rozwinięcia ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, B(s) i A(s). Jeśli
wielomian A(s) nie ma zer wielokrotnych,
B(s) R(1) R(2) R(n)
= + + + + K(s)
A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)
Wektory B i A zawierają współczynniki wielomianów licznika i mianownika,
według malejących potęg zmiennej s. Wartości residuów są zwracane w postaci
wektora kolumnowego R, zaś położenia biegunów w postaci kolumnowego wektora
P. Współczynniki wielomianu, powstałego z podzielenia B(s) przez A(s) (przy
założeniu, że stopień B jest nie mniejszy, niż stopień A) są zwracane jako wartości
elementów wektora K. W przypadku, gdy length(B) < length(A), wektor K jest pusty,
zaś w przeciwnym przypadku length(K) = length(B)-length(A)+1. Liczba biegunów
wynosi: n = length(A)-1 = length(R) = length(P).
Jeśli P(j) = ... = P(j+m-1) jest biegunem o krotności m, rozwinięcie na ułamki
zawiera wyrazy postaci:
R( j) R( j) R( j)
+ + +
s - P( j) (s - P( j))2 (s - P( j))m
[B,A] = RESIDUE(R,P,K), z trzema parametrami wejściowymi i dwoma
wyjściowymi przekształca rozwiniętą postać ułamkową na postać, będącą ilorazem
wielomianów B(s) i A(s).
Uwaga:
Numerycznie, rozwinięcie do postaci sumy ułamków jest problemem z
le
uwarunkowanym. Jeśli wielomian mianownika jest bliski wielomianowi o
pierwiastkach wielokrotnych, niewielkie zmiany wartości (wynikające np. z błędów
zaokrągleń) mogą spowodować dowolnie duże zmiany wartości biegunów i
residuów. Dlatego też zaleca się reprezentację układu dynamicznego w postaci
macierzy stanu lub zer i biegunów.
ss2tf - Konwersja macierzy stanu do transmitancji operatorowej.
6
SS2TF Konwersja z postaci równań stanu do opisu za pomocą transmitancji
operatorowej.
[NUM,DEN] = SS2TF(A,B,C,D,iu) wyznacza transmitancjÄ™ operatorowÄ…:
NUM (s)
H(s) = = C (sI - A)-1 B + D
DEN (s)
układu opisanego równaniami stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
i pobudzanego na wejściu o numerze iu. Wektor DEN zawiera współczynniki
wielomianu mianownika uporządkowane według malejących potęg zmiennej s.
Współczynniki wielomianów licznika (układ może mieć wiele wyjść) są zwracane w
postaci macierzy NUM, która zawiera liczbę wierszy równą liczbie wyjść układu.
ss2zp - Konwersja równań stanu do postaci iloczynowej (zer i biegunów).
SS2ZP Konwersja z postaci równań stanu do postaci iloczynu zer i biegunów
transmitancji.
[Z,P,K] = SS2ZP(A,B,C,D,IU) wyznacza postać iloczynową transmitancji układu:
(s - z1)(s - z2 ) (s - zn )
H(s) = C (sI - A)-1 B + D = k
(s - p1)(s - p2 ) (s - pn )
układu opisanego za pomocą równań stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
i pobudzanego z pojedynczego wejścia o numerze IU. Wektor P zawiera położenia
biegunów transmitancji układu. Zera licznika są zwracane w kolumnach macierzy Z;
liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wyjść układu. Wzmocnienia każdego z
liczników transmitancji są zwracane jako kolejne elementy wektora wzmocnień K.
tf2ss - Konwersja z postaci transmitancyjnej na równania stanu.
TF2SS Konwersja transmitancji operatorowej do postaci równań (macierzy) stanu.
[A,B,C,D] = TF2SS(NUM,DEN) wyznacza reprezentację układu w postaci równań
stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
na podstawie jego transmitancji operatorowej (macierzowej):
NUM (s)
H(s) = = C (sI - A)-1 B + D
DEN (s)
przy pobudzeniu układu z pojedynczego wejścia. Wektor DEN musi zawierać
współczynniki wielomianu mianownika, podane według malejących potęg zmiennej
s. Macierz NUM zawiera współczynniki wielomianów liczników transmitancji;
macierz ta zawiera tyle wierszy, ile jest wyjść układu. Macierze A,B,C,D są
zwracane w postaci kanonicznej. Działanie funkcji jest również poprawne dla
układów dyskretnych, jakkolwiek wielomiany liczników należy uzupełnić zerami, tak
aby ich długość była równa długości wielomianu mianownika transmitancji.
tf2zp - Konwersja transmitancji do postaci iloczynów zer i biegunów.
7
TF2ZP Konwersja transmitancji przedstawionej w postaci ilorazu wielomianów do
postaci iloczynów zer i biegunów.
[Z,p,k] = TF2ZP(NUM,DEN) znajduje wartości zer, biegunów i wzmocnienie
postaci iloczynowej transmitancji:
(s - z1)(s - z2 ) (s - zn )
H(s) = C (sI - A)-1 B + D = k
(s - p1)(s - p2 ) (s - pn )
układu o jednym wejściu i wielu wyjściach (SIMO) określonego poprzez
transmitancjÄ™ operatorowÄ… postaci:
NUM(s)
H(s) =
DEN (s)
Wektor DEN zawiera współczynniki wielomianu mianownika według malejących
potęg zmiennej s. Macierz NUM zawiera współczynniki wielomianów
występujących w licznikach transmitancji poszczególnych torów układu; liczba
wierszy macierzy NUM jest równa liczbie wyjść układu. Położenie zer jest zwracane
w kolejnych kolumnach macierzy Z; liczba kolumn jest równa liczbie wierszy
macierzy NUM. Położenie biegunów jest zwracane w wektorze kolumnowym P, zaś
wzmocnienia każdego z liczników transmitancji - w wektorze K.
zp2tf - Konwersja z postaci iloczynów zer-biegunów do transmitancji.
ZP2TF Konwersja postaci iloczynów zer i biegunów do postaci ilorazu wielomianów.
[NUM,DEN] = ZP2TF(Z,P,K) zwraca współczynniki wielomianów licznika i
mianownika transmitancji operatorowej:
NUM(s)
H(s) =
DEN (s)
Parametrami wejściowymi są: wektor Z zawierający położenie zer transmitancji oraz
wektor P zawierający położenie biegunów oraz skalarna wartość wzmocnienia K.
Wektory NUM i DEN zwracane przez funkcję zawierają współczynniki
wielomianów według malejących potęg zmiennej s.
zp2ss - Konwersja z postaci iloczynów zer i biegunów do macierzy stanu.
ZP2SS Konwersja z postaci iloczynowej transmitancji operatorowej do macierzy
stanu.
[A,B,C,D] = ZP2SS(Z,P,K) wyznacza macierze opisu obiektu w przestrzeni
zmiennych stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
Parametrami wejściowymi są: wektor P zawierający położenie biegunów, macierz Z
o liczbie kolumn równej liczbie wyjść układu (każda kolumna zawiera wartości zer
transmitancji pomiędzy wejściem a kolejnym wyjściem) oraz wektor wzmocnień K
każdego z torów. Macierze A,B,C,D są zwracane w postaci blokowo-diagonalnej.
Właściwości modelu układu dynamicznego.
ctrb - Macierz sterowalności układu.
CTRB tworzenie macierzy sterowalności układu.
8
CTRB(A,B) zwraca macierz sterowalności układu liniowego, obliczoną na podstawie
macierzy stanu A i macierzy sterowań B:
Co = [B AB A^2B A^3B...]
damp - Współczynnik tłumienia i pulsacja drga ń własnych układu.
DAMP Pulsacja drgań własnych i współczynnik tłumienia ciągłego, liniowego układu
dynamicznego.
[Wn,Z] = DAMP(A) zwraca wektory Wn i Z zawierające wartości pulsacji drgań
własnych i współczynników tłumienia macierzy A. Macierz A może być podana w
jednej z następujących form:
1) Jeśli A jest macierzą kwadratową, zakłada się, że reprezentuje ona macierz stanu
układu dynamicznego;
2) Jeśli A jest wektorem wierszowym, zakłada się, że reprezentuje współczynniki
wielomianu charakterystycznego układu (mianownika transmitancji
operatorowej);
3) Jeśli A jest wektorem kolumnowym, zakłada się, że zawiera wartości biegunów
transmitancji układu.
Funkcja DAMP wywołana bez argumentów lewostronnych wyświetla na ekranie w
postaci tablicy wartości własne wraz z pulsacjami drgań własnych oraz wartościami
współczynników tłumienia.
dcgain - Wartość wzmocnienia układu w stanie ustalonym.
DCGAIN Wartość wzmocnienia układu ciągłego w stanie ustalonym.
K = DCGAIN(A,B,C,D) wyznacza wartość wzmocnienia w stanie ustalonym (dla
zerowej pulsacji) układu dynamicznego danego równaniami stanu z macierzami
(A,B,C,D).
K = DCGAIN(NUM,DEN) wyznacza wartość wzmocnienia w stanie ustalonym
układu zdefiniowanego za pomocą transmitancji operatorowej G(s) =
NUM(s)/DEN(s), gdzie wektory NUM i DEN zawierają współczynniki wielomianów
licznika i mianownika według malejących potęg zmiennej s.
eig - Wartości własne i wektory własne.
EIG Wartości własne i wektory własne.
EIG(X) zwraca wektor zawierający wartości własne macierzy kwadratowej X.
[V,D] = EIG(X) tworzy macierz diagonalną D zawierającą wartości własne oraz
macierz V, której kolumny zawierają wektory własne odpowiadające wartościom
własnym z macierzy D; tak więc X*V = V*D.
[V,D] = EIG(X,'nobalance') dokonuje obliczeń według specjalnego algorytmu, który
daje często dokładniejsze wyniki w przypadku układów o dużych różnicach wartości
własnych.
esort - Sortowanie wartości własnych według części rzeczywistej.
ESORT Porządkuje zespolone wartości własne według malejących wartości ich części
rzeczywistej.
S=ESORT(P) porządkuje zespolone wartości własne podane w wektorze
wejściowym P według malejących wartości ich części rzeczywistej. Niestabilne
wartości własne są więc zwracane w pierwszych elementach wektora S.
9
[S,NDX] = ESORT(P) zwraca również wektor indeksowy NDX zawierający
pierwotne (tj. odpowiadajÄ…ce ich pozycjom w wektorze P) indeksy kolejnych
wartości zwracanych w wektorze S.
obsv - Macierz obserwowalności układu.
OBSV tworzy macierz obserwowalności układu dynamicznego.
OBSV(A,C) zwraca macierz obserwowalności, utworzoną na podstawie macierzy
stanu i wyjść układu dynamicznego:
Ob = [C; CA; CA^2, CA^3. ...]
printsys - Informacja o układzie w postaci sformatowanej.
PRINTSYS Wyprowadza informacjÄ™ o macierzach systemu w postaci sformatowanej.
PRINTSYS jest wykorzystywany do wyświetlania w postaci sformatowanej macierzy
stanu układu dynamicznego, wraz z nazwami zmiennych stanu i wyjść, jak również
transmitancji układy jako ilorazu dwóch wielomianów.
PRINTSYS(A,B,C,D,ULABELS,YLABELS,XLABELS) wyprowadza na ekran
wartości macierzy stanu układu wraz z nazwami (etykietami) sterowań, zmiennych
stanu i wyjść podanymi w postaci tekstowej w odpowiednich macierzach:
ULABELS, YLABELS i XLABELS. Macierze ULABELS, YLABELS i XLABELS
zawierajÄ… odpowiednie etykiety oddzielone spacjami, np. macierz tekstowa
YLABELS=['Phi Theta Psi']
definiuje 'Phi' jako nazwę pierwszego wyjścia, 'Theta' jako nazwę drugiego, zaś 'Psi'
jako etykietę trzeciego wyjścia.
PRINTSYS(A,B,C,D) wyprowadza macierze układu z etykietami liczbowymi, np.
 x1 ,  x2 , itd.
PRINTSYS(NUM,DEN,'s') lub PRINTSYS(NUM,DEN,'z') drukuje transmitancjÄ™
układu jako iloraz wielomianów zmiennej s lub z.
roots - Pierwiastki wielomianu.
ROOTS Obliczanie pierwiastków wielomianu (np. wielomianu charakterystycznego
układu).
ROOTS(C) oblicza pierwiastki wielomianu, którego współczynniki (w kolejności
malejących potęg zmiennej niezależnej) zawarte są w wektorze C. Jeśli więc wektor
C zawiera N+1 elementów, reprezentuje wielomian:
C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1).
Odpowiedzi czasowe układu dynamicznego.
impulse - Odpowiedz
impulsowa układu.
IMPULSE Odpowiedz
impulsowa ciągłego, liniowego układu dynamicznego.
IMPULSE(A,B,C,D,IU) wykreśla na ekranie odpowiedz
układu liniowego danego
równaniami stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
na impuls Diraca przyłożony do wejścia o numerze IU. Wektor wartości chwil czasu,
dla których wyznacza się odpowiedz
impulsową, jest określany automatycznie.
10
IMPULSE(NUM,DEN) rysuje odpowiedz
impulsową układu danego za pomocą
transmitancji operatorowej G(s) = NUM(s)/DEN(s), gdzie wektory NUM i DEN
zawierają współczynniki wielomianów licznika i mianownika według malejących
potęg zmiennej s.
IMPULSE(A,B,C,D,IU,T) lub IMPULSE(NUM,DEN,T) oblicza wartości
odpowiedzi impulsowej dla chwil czasowych podanych przez użytkownika w
wektorze T; przyrosty czasu pomiędzy kolejnymi elementami tego wektora muszą
być jednakowe. Wywołanie funkcji z argumentami lewostronnymi:
[Y,X,T] = IMPULSE(A,B,C,D,...)
[Y,X,T] = IMPULSE(NUM,DEN,...)
zwraca wartości wyjść (macierz Y) i zmiennych stanu układu (macierz X) w każdej
chwili czasu. Odpowiedz
nie jest wówczas rysowana na ekranie komputera. Macierz
Y zawiera tyle kolumn, ile jest wyjść układu, zaś liczba jej wierszy jest równa
length(T). Macierz X posiada liczbę kolumn równą liczbie zmiennych stanu.
initial - Odpowiedz
swobodna układu ciągłego z zadanego stanu początkowego.
INITIAL Odpowiedz
swobodna liniowego, ciągłego układu dynamicznego startującego z
zadanego stanu poczÄ…tkowego.
INITIAL(A,B,C,D,X0) rysuje wykres odpowiedzi czasowych układu liniowego,
który startuje z zadanego stanu początkowego X0
x = A x + B u
y = C x + D u
Wartości sterowania u są tożsamościowo równe zeru. Wektor chwila czasu jest
dobierany automatycznie na podstawie położenia zer i biegunów transmitancji
układu.
INITIAL(A,B,C,D,X0,T) drukuje odpowiedzi układu wyznaczone dla chwil czasu
podanych w elementach wektora T (przyrosty czasu pomiędzy kolejnymi chwilami
muszą być jednakowe). Wywołanie funkcji z argumentami lewostronnymi
(parametrami wyjściowymi):
[Y,X,T] = INITIAL(A,B,C,D,X0,...)
zwraca wartości wyjść i zmiennych stanu układu (Y i X), wyznaczone w kolejnych
chwilach czasu podanych w wektorze T. Odpowiedz
nie jest wówczas rysowana na
ekranie komputera. Macierz Y zawiera tyle kolumn, ile jest wyjść układu, zaś liczba
jej wierszy jest równa length(T). Macierz X posiada liczbę kolumn równą liczbie
zmiennych stanu.
lsim - Odpowiedz
układu ciągłego na dowolne wymuszenia.
LSIM Symulacja odpowiedzi ciągłego, liniowego układu dynamicznego na dowolne
wymuszenia.
LSIM(A,B,C,D,U,T) wykreśla odpowiedz
układu liniowego opisanego równaniami
stanu :
x = A x + B u
y = C x + D u
na dowolne wymuszenia, dane w postaci wartości elementów macierzy U. Macierz U
musi posiadać tyle kolumn, ile jest wejść układu. Każdy wiersz macierzy U
odpowiada kolejnej chwili czasu; musi więc ona zawierać LENGTH(T) wierszy.
Przyrosty czasu pomiędzy kolejnymi chwilami (tj. różnice pomiędzy kolejnymi
elementami wektora T) muszą być jednakowe. Jeśli układ startuje z niezerowego
11
warunku początkowego, należy wywołać funkcję z dodatkowym parametrem:
LSIM(A,B,C,D,U,T,X0).
LSIM(NUM,DEN,U,T) wykreśla odpowiedz
czasową dla układu opisanego za
pomocÄ… transmitancji operatorowej G(s) = NUM(s)/DEN(s), gdzie wektory NUM i
DEN zawierają współczynniki wielomianów licznika i mianownika według
malejących potęg zmiennej s. Funkcja wywołana z parametrami wyjściowymi:
[Y,X] = LSIM(A,B,C,D,U,T)
[Y,X] = LSIM(NUM,DEN,U,T)
zwraca wartości wyjść i zmiennych stanu Y oraz X. Odpowiedz
nie jest wówczas
rysowana na ekranie komputera. Macierz Y zawiera tyle kolumn, ile jest wyjść
układu, zaś liczba jej wierszy jest równa length(T). Macierz X posiada liczbę kolumn
równą liczbie zmiennych stanu.
step - Odpowiedz
skokowa układu liniowego.
STEP Odpowiedz
skokowa ciągłego, liniowego układu dynamicznego.
STEP(A,B,C,D,IU) wykreśla odpowiedz
układu opisanego równaniami stanu:
x = A x + B u
y = C x + D u
na pobudzenie skokowe przyłożone do wejścia o numerze IU. Wektor chwil
czasowych, dla których jest wyznaczana odpowiedz
, jest dobierany automatycznie.
Wywołanie funkcji w postaci STEP(A,B,C,D,IU,T) pozwala użytkownikowi na
bezpośrednie podanie wartości chwil czasowych za pomocą wektora T (różnice
pomiędzy kolejnymi elementami tego wektora T muszą być jednakowe).
[Y,X] = STEP(A,B,C,D,IU,T) lub [Y.X,T] = STEP(A,B,C,D,IU) zwracają wartości
wyjść i zmiennych stanu w elementach macierzy Y i X. Odpowiedz
nie jest wówczas
rysowana na ekranie komputera. Macierz Y zawiera tyle kolumn, ile jest wyjść
układu, zaś liczba jej wierszy jest równa length(T). Macierz X posiada liczbę kolumn
równą liczbie zmiennych stanu.
[Y,X] = STEP(NUM,DEN,T) lub [Y,X,T] = STEP(NUM,DEN) wyznacza
odpowiedz
skokową dla układu o zadanej transmitancji operatorowej G(s) =
NUM(s)/DEN(s) gdzie wektory NUM i DEN zawierają współczynniki wielomianów
licznika i mianownika według malejących potęg zmiennej s.
stepfun - Funkcja skoku jednostkowego.
STEPFUN Funkcja skoku jednostkowego.
STEPFUN(T,T0), gdzie T jest wektorem o wartościach monotonicznie rosnących,
zwraca wektor o tej samej długości, co T, zawierający zera tam, gdzie T < T0 oraz
jedynki tam, gdzie T >= T0.
Analiza częstotliwościowa układu.
bode - Charakterystyki Bodego (odpowied z
częstotliwościowa).
BODE Charakterystyki Bodego (odpowiedz
częstotliwościowa) ciągłego w czasie
układu liniowego.
BODE(A,B,C,D,IU) rysuje charakterystyki Bodego otrzymane pomiędzy wszystkimi
wyjściami a wejściem u numerze IU dla ciągłego w czasie układu liniowego
określonego za pomocą macierzy stanu (A,B,C,D). Inaczej mówiąc, wynikiem
12
działania funkcji są odpowiedzi częstotliwościowe układu pobudzonego na wejściu o
numerze IU. Zakres częstotliwości i liczba punktów charakterystyk są dobierane
automatycznie.
BODE(NUM,DEN) tworzy charakterystyki częstotliwościowe układu danego za
pomocÄ… transmitancji operatorowej G(s) = NUM(s)/DEN(s), gdzie wektory NUM i
DEN zawierają współczynniki wielomianów licznika i mianownika uporządkowane
według malejących potęg s.
BODE(A,B,C,D,IU,W) lub BODE(NUM,DEN,W) wykorzystujÄ… dodatkowo zadany
przez użytkownika wektor W, który musi zawierać pulsacje (w radianach na
sekundę), dla których są obliczane wartości odpowiedzi częstotliwościowej. Do
generacji wartoÅ›ci pulsacji É, typowych dla skali logarytmicznej, warto wykorzystać
funkcjÄ™ LOGSPACE.
Funkcja BODE wywołana z argumentami lewostronnymi:
[MAG,PHASE,W] = BODE(A,B,C,D,...)
[MAG,PHASE,W] = BODE(NUM,DEN,...)
zwraca wektor pulsacji W oraz macierze MAG i PHASE (w stopniach), których
liczba kolumn jest równa liczbie wyjść układu, zaś liczba wierszy wynosi length(W).
Nie jest wówczas wykonywany rysunek charakterystyk Bodego.
freqs - Odpowiedz
częstotliwościowa układu wyznaczona z na podstawie
transformaty Laplace a.
FREQS wyznacza odpowiedz
częstotliwościową układu na podstawie transformaty
operatorowej Laplace a.
H = FREQS(B,A,W) zwraca zespolony wektor H wartości odpowiedzi
częstotliwościowej filtru danego transmitancją operatorową B/A:
B(s) b(1) snb-1 + b(2) snb- 2 + +b(nb)
H(s) = =
A(s) a(1) sna-1 + a(2) sna- 2 + +a(na)
gdzie wektory A i B zawierają współczynniki wielomianów licznika i mianownika
(według malejących potęg zmiennej s). Odpowiedz
częstotliwościowa jest obliczana
dla zbioru pulsacji określonych za pomocą wektora W. Amplituda i faza odpowiedzi
są wykreślane na ekranie jeśli funkcja FREQS(B,A,W) zostanie wywołana bez
parametrów wyjściowych (argumentów lewostronnych).
[H,W] = FREQS(B,A) automatycznie określa zbiór 200 wartości pulsacji W, dla
których oblicza wartości odpowiedzi częstotliwościowej. Wywołanie
FREQS(B,A,N) powoduje wyznaczenie odpowiedzi dla N wartości pulsacji.
margin - Zapasy modułu i fazy.
MARGIN Wyznaczenie zapasów modułu, fazy oraz pulsacji odcięcia modułu i fazy.
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(A,B,C,D) zwraca wartość zapasu modułu Gm,
zapasu fazy Pm, i odpowiadające im wartości pulsacji odcięcia modułu i fazy Wcg i
Wcp, dla układu dynamicznego opisanego równaniami stanu (A,B,C,D).
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(NUM,DEN) zwraca wartości zapasów i pulsacji
odcięcia dla układu dynamicznego zadanego za pomocą transmitancji operatorowej
G(s) = NUM/DEN.
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(MAG,PHASE,W) zwraca wartości zapasów i
pulsacji odcięcia dla układu dynamicznego określonego za pomocą zbioru wartości
amplitud MAG i przesunięć fazowych PHASE charakterystyk Bodego, uzyskanych
dla pulsacji podanych w wektorze W. W tym przypadku dokonywana jest
13
interpolacja pomiędzy punktami o współrzędnych zawartych w odpowiednich
wektorach: (MAG, W) oraz (PHASE, W). Działanie funkcji jest poprawne zarówno
dla układów ciągłych, jak i dyskretnych.
Funkcja MARGIN(A,B,C,D) wywołana bez parametrów wyjściowych (argumentów
lewostronnych) rysuje na ekranie charakterystyki Bodego z odpowiednimi zapasami
zaznaczonymi liniami pionowymi. Zapas modułu, Gm, jest określony jako 1/G gdzie
G jest wartością wzmocnienia układu dla pulsacji, przy której przesunięcie fazowe
wynosi -180°. 20*log10(Gm) daje wartość zapasu moduÅ‚u w decybelach (dB).
nichols - Wykres Nicholsa.
NICHOLS Wykres kołowy Nicholsa odpowiedzi częstotliwościowej ciągłego, liniowego
układu dynamicznego.
NICHOLS(A,B,C,D,IU) tworzy na ekranie wykres kołowy Nicholsa odpowiedzi
częstotliwościowych układu liniowego opisanego równaniami stanu z macierzami
(A,B,C,D), który jest pobudzany na wejściu o indeksie IU. Zakres pulsacji i liczba
punktów są określane automatycznie, stosownie do własności dynamicznych układu.
NICHOLS(NUM,DEN) tworzy wykres Nicholsa dla układu opisanego transmitancją
operatorowÄ… G(s) = NUM(s)/DEN(s), gdzie wektory NUM i DEN zawierajÄ…
współczynniki wielomianów licznika i mianownika uporządkowane według
malejących potęg zmiennej s.
NICHOLS(A,B,C,D,IU,W) lub NICHOLS(NUM,DEN,W) wykorzystujÄ… podane
przez użytkownika w wektorze W wartości pulsacji, wyrażone w radianach na sek.
Funkcja wywołana z argumentami lewostronnymi
[MAG,PHASE,W] = NICHOLS(A,B,C,D,...)
[MAG,PHASE,W] = NICHOLS(NUM,DEN,...)
zwraca wektor wartości pulsacji W i odpowiadające im macierze MAG i PHASE (w
stopniach), które posiadają liczbę kolumn równą liczbie wyjść układu oraz liczbę
wierszy równą length(W). Nie jest wówczas tworzony żaden wykres w oknie
graficznym. Do narysowania siatki należy użyć funkcji NGRID.
ngrid - Rysuje linie siatki na wykresie Nicholsa.
NGRID Rysuje linie siatki na wykresie Nicholsa, wykonanym za pomocÄ… funkcji
NICHOLS.
NGRID generuje linie siatki w przedziale modułu od -40 dB do +40 dB oraz
przesuniÄ™cia fazowego od -360° do 0°. Linie te Å‚Ä…czÄ… wartoÅ›ci staÅ‚ego wzmocnienia i
stałej fazy układu zamkniętego, tzn. mag(H/(1+H)) = const. oraz angle(H/(1+H)) =
const. Funkcja NGRID rysuje te linie na istniejÄ…cym wykresie Nicholsa, utworzonym
za pomocÄ… funkcji NICHOLS lub DNICHOLS.
NGRID('new') czyści okno graficzne i ustawia tryb zachowania wykresu (HOLD
ON), tak więc kolejny wykres Nicholsa może zostać narysowany na tle istniejącej
siatki, poprzez sekwencję wywołań funkcji:
ngrid('new')
nichols(num,den); lub nichols(a,b,c,d,iu);
nyquist - Charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista).
NYQUIST Charakterystyka amplitudowo-fazowa ciągłego, liniowego układu
dynamicznego (wykres Nyquista).
14
NYQUIST(A,B,C,D,IU) rysuje charakterystyki amplitudowo-fazowe dla wszystkich
wyjść układu dynamicznego, opisanego równaniami stanu z macierzami (A,B,C,D) i
pobudzanego z wejścia o numerze IU.
-1
x = A x + B u G(s) = C (sI - A) B + D
y = C x + D u Re( ) = real(G( j )); Im( ) = imag(G( j ))
Zakres pulsacji i liczba punktów są dobierane w sposób automatyczny.
NYQUIST(NUM,DEN) tworzy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej układu
danego za pomocÄ… transmitancji operatorowej G(s) = NUM(s)/DEN(s) gdzie NUM i
DEN zawierają współczynniki wielomianów według malejących potęg zmiennej s.
NYQUIST(A,B,C,D,IU,W) lub NYQUIST(NUM,DEN,W) wyznacza punkty
charakterystyki częstotliwościowej dla podanych przez użytkownika w wektorze W
wartości pulsacji (wyrażonych w radianach na sek). Wywołanie funkcji NYQUIST z
argumentami lewostronnymi
[RE,IM,W] = NYQUIST(A,B,C,D,...)
[RE,IM,W] = NYQUIST(NUM,DEN,...)
zwraca wektor pulsacji W oraz macierze RE i IM, które posiadają liczbę kolumn
równą liczbie wyjść układu oraz liczbę wierszy równą length(W). Nie jest wówczas
tworzony wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej na ekranie komputera.
Linie pierwiastkowe.
pzmap - Mapa zer i biegunów.
PZMAP Rysuje mapę zer i biegunów ciągłego, liniowego układu dynamicznego.
PZMAP(A,B,C,D) - oblicza wartości własne i zera transmitancji ciągłego liniowego
układu dynamicznego opisanego za pomocą macierzy stanu: (A, B, C, D) oraz rysuje
ich położenie na płaszczyz
nie zespolonej. Położenie biegunów jest zaznaczane
symbolem  x , zaÅ› zer - symbolem  o .
PZMAP(NUM,DEN) oblicza wartości zer i biegunów transmitancji układu o jednym
wejściu i jednym wyjściu (SISO) określoną przez G(s) = NUM(s)/DEN(s), gdzie
wektory NUM i DEN zawierają wartości współczynników licznika i mianownika
transmitancji, według malejących potęg zmiennej s.
PZMAP(P,Z) rysuje położenie biegunów, P, i zer, Z, na płaszczyz
nie zespolonej. P i
Z muszą być wektorami kolumnowymi. Funkcja PZMAP wywołana jak poniżej:
[P,Z] = PZMAP(NUM,DEN) lub [P,Z] = PZMAP(A,B,C,D)
zwraca położenie zer i biegunów w postaci wektorów kolumnowych P i Z. Na
ekranie nie jest wówczas wykonywany wykres położenia zer i biegunów.
Funkcje SGRID lub ZGRID mogą zostać następnie użyte do narysowania linii
stałego współczynnika tłumienia lub częstotliwości drgań własnych układu.
rlocfind - Interaktywne wyznaczanie wzmocnienia na liniach pierwiastkowych.
RLOCFIND Znajduje wzmocnienie układu dla danego zestawu biegunów układu
zamkniętego na liniach pierwiastkowych.
[K,POLES] = RLOCFIND(A,B,C,D) ustawia kursor (w kształcie  krzyżyka ) w
oknie graficznym, który może być następnie użyty do wskazania położenia bieguna
na istniejącej linii pierwiastkowej. Wartość wzmocnienia układu otwartego jest
zwracana jako zmienna K, zaś odpowiadające mu wartości biegunów ukł.
zamkniętego jako zmienna POLES. Przed użyciem tej funkcji należy narysować linie
15
pierwiastkowe układu SISO danego równaniami stanu (A,B,C,D). Funkcja
RLOCFIND działa zarówno dla układów ciągłych i dyskretnych SISO, natomiast jej
wywołanie dla układu MIMO spowoduje sygnalizację błędu.
[K,POLES] = RLOCFIND(NUM,DEN) jest wykorzystywana do wskazania punktu
na liniach pierwiastkowych dla układu liniowego opisanego za pomocą transmitancji
operatorowej G = NUM/DEN, gdzie NUM i DEN sÄ… wielomianami zmiennej s lub z,
zapisanymi w kolejności malejących potęg.
Funkcję można wywołać z dodatkowym argumentem - wektorem P, zawierającym
żądane wartości biegunów układu zamkniętego:
[K,POLES] = RLOCFIND(A,B,C,D,P)
[K,POLES] = RLOCFIND(NUM,DEN,P)
Funkcja zwraca wówczas wektor K wzmocnień oraz macierz wszystkich biegunów
układu zamkniętego, POLES. Wektor K zawiera wzmocnienia odpowiadające
zadanym w wektorze P biegunom układu zamkniętego. Liczba kolumn macierzy
POLES jest równa liczbie elementów wektora P; i-ta kolumna macierzy zawiera
bieguny układu zamkniętego odpowiadające wartości wzmocnienia K(i); tak więc
liczba wierszy macierzy POLES wynosi (LENGTH(DEN)-1) lub LENGTH(A).
rlocus - Linie pierwiastkowe (metoda Evansa).
RLOCUS oblicza i wykreśla linie pierwiastkowe metodą Evansa.
RLOCUS(NUM,DEN) oblicza i wykreśla linie pierwiastkowe układu, dane przez:
NUM(s)
H(s) = 1 + K = 0
DEN (s)
dla zbioru wartości wzmocnienia K, obliczanych adaptacyjnie, tak aby otrzymać
gładkie krzywe wykresu linii pierwiastkowych. Alternatywnie, wektor wzmocnień K
może być zadany bezpośrednio jako dodatkowy argument funkcji
RLOCUS(NUM,DEN,K). Wektory NUM i DEN muszą zawierać współczynniki
wielomianów licznika i mianownika w kolejności malejących potęg zmiennej
operatorowej s lub z. Wywołanie funkcji z argumentami lewostronnymi:
R = RLOCUS(NUM,DEN,K) lub [R,K] = RLOCUS(NUM,DEN)
zwraca macierz R o wymiarach LENGTH(K) wierszy i (LENGTH(DEN(-1) kolumn,
zawierającą położenie biegunów układu zamkniętego (są one w ogólności liczbami
zespolonymi). Każdy wiersz macierzy odpowiada wartości wzmocnienia zadanej w
wektorze K. Jeśli w wywołaniu funkcji zostanie podany drugi argument lewostronny
(K), będzie on zawierać wartości wzmocnień układu otwartego.
RLOCUS(A,B,C,D), R = RLOCUS(A,B,C,D,K), lub [R,K] = RLOCUS(A,B,C,D)
znajdują linie pierwiastkowe równoważnego układu SISO danego układem równań
stanu z macierzami (A,B,C,D).
dx
= A x + B u; u = -K y
dt
y = C x + D u
sgrid - Rysuje siatkę stałych wartośći pulsacji i tłumienia układu, wn, z.
SGRID Rysuje linie siatki na płaszczyz
nie zmiennej s dla utworzonego wcześniej
obrazu linii pierwiastkowych lub mapy zer i biegunów.
SGRID tworzy linie siatki dla utworzonej uprzednio mapy zer lub biegunów lub linii
pierwiastkowych. Linie reprezentujÄ… staÅ‚Ä… wartość współczynnika tÅ‚umienia ¾ lub
pulsacji drgaÅ„ wÅ‚asnych ukÅ‚adu Én.
16
SGRID('new') czyści okno graficzne i rysuje siatkę; na niej mogą być następnie
narysowane linie pierwiastkowe lub mapa biegunów i zer. Sytuacji tej odpowiada
poniższa sekwencja komend:
sgrid('new'); hold on
rlocus(num,den) lub pzmap(num,den)
SGRID(Z,Wn) rysuje linie stałego współczynnika tłumienia i pulsacji drgań
własnych dla wartości tych parametrów danych odpowiednio za pomocą wektorów Z
i Wn.
CZ
ŚĆ II. ZADANIA DO WYKONANIA W TRAKCIE ĆWICZENIA
1. Wprowadz
macierze opisujące w przestrzeni stanu układ dynamiczny SISO drugiego
rzędu. Za pomocą funkcji dokonujących konwersji postaci modelu znajdz
transmitancjÄ™
operatorową układu. Przedstaw transmitancję w alternatywnych postaciach: iloczynowej
(zer-biegunów), sumy ułamków prostych.
2. Wyznacz (narysuj wykresy czasowe) odpowiedzi skokowej i impulsowej układu. Wyznacz
(za pomocą odpowiedniej funkcji) wzmocnienie układu w stanie ustalonym i porównaj
jego wartość z odczytaną z wykresu odpowiedzi skokowej układu.
3. Zbadaj sterowalność i obserwowalność układu. Wykorzystaj w tym celu funkcje tworzące
odpowiednie macierze sterowalności i obserwowalności oraz funkcję  rank , która
wyznacza rzÄ…d macierzy.
4. Zgodnie z wyborem prowadzącego ćwiczenia, wprowadz
(bezpośrednio w postaci
macierzy stanu lub w pośredniej formie - transmitancji operatorowej) opis układu, którego
portret fazowy odpowiada jednej z poniższych postaci:
a) węzła stabilnego lub węzła niestabilnego,
b) ogniska stabilnego lub ogniska niestabilnego,
c) siodła,
d) środka.
Wykreślić portret fazowy układu, wykorzystując w tym celu funkcję  initial oraz funkcję
 plot(x1, x2) .
5. Wprowadz
model transmitancyjny układu SISO trzeciego rzędu. Zgodnie z poleceniem
prowadzącego ćwiczenia, wykorzystaj jedną z podanych niżej postaci transmitancji i
zestawu wartości parametrów:
1 2
G1(s) = ; G2 (s) =
s(T1s + 1) (T2s + 1) (T1s + 1) (T2s + 1) (T3s + 1)
T1 1.0 2.0 4.0 0.6 0.5 0.8 0.4
T2 0.5 0.8 1.0 0.2 0.5 0.8 0.2
T3 0.2 0.1 1.0 0.1 0.2 0.2 0.2
6. Narysuj charakterystyki Bodego badanego układu. Określ zapasy modułu i fazy układu.
Wyznacz macierz stanu lub transmitancję układu zamkniętego, odpowiadającego granicy
stabilności układu z punktu 5. Narysuj (na jednym wykresie) odpowiedz
skokową układu
17
zamkniętego, który powstał z objęcia pętlą sprzężenia zwrotnego układu z punktu 5 oraz
układu na granicy stabilności.
7. Narysuj (na jednym wykresie) charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego z
punktu 5 ze wzmocnieniem jednostkowym oraz wzmocnieniem odpowiadajÄ…cym granicy
stabilności. Sprawdz
położenie charakterystyki względem punktu (-1, j0).
8. Narysuj linie pierwiastkowe układu z punktu 5. Wyznacz w sposób interakcyjny granicę
stabilności układu. Porównaj ją z wartościami uzyskanymi w punktach 5 i 6.
18