SYSTEMY BINARNE
Przykłady liczenia w systemach binarnych 16 10 8 2
Co to sÄ… systemy liczbowe
Systemy liczbowe sÄ… sposobami nazywania oraz zapisywania liczb.
Rozróżniamy systemy pozycyjne oraz systemy niepozycyjne (addytywne).
Systemy liczbowe pozycyjne przedstawiają każdą liczbę jako kombinację ciągu
cyfr. Wielkość liczby zależy od pozycji poszczególnych cyfr wchodzących w jej
skład. W ramach systemów pozycyjnych wyróżniamy następujące popularne
systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dziesiętny oraz szesnastkowy. Do
systemów liczbowych addytywnych wchodzą systemy alfabetyczny, rzymski i
hieroglificzny, w których wartość przyporządkowana danej liczbie zależy od
sumy wartości znaków cyfrowych wchodzących w jej skład.
Systemem liczbowym stosowanym przez całą ludzkość na codzień jest system
dziesiętny, czyli system pozycyjny, którego podstawa równa się 10. W
technologiach cyfrowych korzysta się praktycznie wyłącznie z systemów
dwójkowych, o podstawie 2, oraz heksadecymalnych o podstawie 16. W
systemie heksadecymalnym cyfry oznaczajÄ…ce liczby od 10 do 15 zapisywane
są w postaci kolejnych liter alfabetu począwszy od A, na F skończywszy.
Informacja o tym, w jakim systemie została zapisana dana liczba umieszczana
jest zazwyczaj w nawiasie umieszczonym w dolnym indeksie danej liczby.
Dawniej stosowano systemy liczbowe niepozycyjne.
Rodzaje systemów liczbowych
" jedynkowy system liczbowy
" dwójkowy system liczbowy
" siódemkowy system liczbowy
" ósemkowy system liczbowy
" dziesiętny system liczbowy
" dwunastkowy system liczbowy
" szesnastkowy system liczbowy
" sześć dziesiątkowy system liczbowy
System szesnastkowy
System szesnastkowy-jest systemem liczbowym w
którym za podstawę przyjmuje się kolejne potęgi szesnastu. Do
zapisu wszystkich liczb tego systemu wymaganych jest szesnaście
cyfr. Oprócz cyfr pochodzących z systemu dziesiętnego zawartego w
przedziale od 0 do 9, używanych jest sześć pierwszych liter alfabetu
łacińskiego: A, B, C, D, E oraz F.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
A-10 Przykład
B-11
C-12
D-13
E-14
F-15
0 0000
1 0001
Przykłady liczenia
2 0010
Szesnastkowy na dwójkowy
3 0011
A7B2(16)-1010011110110010(2)
4 0100
5 0101 8FB4(16)-1000111110110100(2)
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
System ósemkowy
W systemie ósemkowym występuje osiem cyfr:0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby
zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest
mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą
systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie
liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144,
gdyż:
1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.
Przykłady
Przykłady liczenia
Ósemkowy na dwójkowy
377 274 20 4(8)-011111111 010111100 010000 100(2)
1101(8)-001 001 000 001
8421 to liczby które warto zapamiętać. Po
podstawieniu ich do szablonu systemu dwójkowego
Å‚atwo obliczymy wynik.
System dwójkowy
System dwójkowy(binarny)-Do zapisu liczb w systemie
dwójkowym używamy zaledwie dwóch liczb: 0, 1
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi
cyfr z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.
Dwójkowy na dziesiętny
1-1
2-10
3-11
4-100
5-101
6-110
7-111
8-1000
9-1001
10-1010
Np. 1100101 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 + 1*26 = 1+ 0+ 4+ 0+ 0+ 32+ 64 = 101
System dziesiętny
System dziesiętny-Jest to podstawowy system
prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie.
Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje siÄ™ 10 cyfr: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby
10. Jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi
pozycja na której ona stoi, więc cyfrę stojącą na pierwszej
pozycji mnożymy razy 100 . Cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 101.
Itd. Można pokazać to na przykładzie 10 na 2. Aby to zrobić
wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo
aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę tez dzielimy) i przy każdym
dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia
( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako
ciÄ…g cyfr.
Przykłady
1644(10) dzielimy na 2 aż zostanie 1
822 411 205 102 51 25 12 6 3 1 zapisujemy resztÄ™
0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
Zapisujemy to w kolejności odwrotnej: 1001100100
Tak więc 1644(10) w sys. dziesiętnym jest równe 1001100100(2) w
systemie dwójkowym.
Koniec