Dla zadanej figury pÅ‚askiej o gÄ™stoÅ›ci Á =1 wyznaczyć główne osie i momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci
w punkcie A.
x
A
O2 O3
M D
E
L
O5
O1
H
I
O4
F G
B C
O6 O7
K
J
Podział na obszary:
Prostokąt BCDE + Trójkąt EMA + Trójkąt MDA  Prostokąt FGHI  Koło L + A
uk FJ + A
uk GK
(A
uk FJ , A
uk GK  ćwiartka okręgu)
 BCDE EMA, MDA FGHI L
2
îÅ‚53 Å" 4 1 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
93 Å"8 2 43 Å" 3 Ä„ Å"14
2 2 2
I = + 9 Å"8Å"(9,5) + 2 Å" + Å"5 Å" 4 Å"ëÅ‚ Å"5öÅ‚ śł - + 4 Å" 3Å"(12) - + Ä„ Å"12 Å"(8) +
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
12 36 2 3 12 4
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
FJ , GK
îÅ‚Ä„ Å" 23 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚2 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚14 2 Å" 2 öÅ‚2 Å‚Å‚
+ 2 Å"ïÅ‚ - Å" + Å" + I = 6756,223
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
x
4 4 Ä„ 4 Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
BCDE EMA, MDA FGHI L FJ
îÅ‚Ä„ Å" 23 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚2 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚1+ 2 Å" 2 öÅ‚2 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
83 Å" 9 43 Å" 5 33 Å" 4 Ä„ Å"14
2
I = + 2 Å" - - + Ä„ Å"12 Å"(2) + - Å" + Å" +
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
y ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
12 12 3 4 4 4 Ä„ 4 Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
GK
îÅ‚Ä„ Å" 23 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚2 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚2 2 Å" 2 öÅ‚2 Å‚Å‚
I = 408,256
+ - Å" + Å" - ÷Å‚ śł
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
y
4 4 Ä„ 4 Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
BCDE EMA, MDA FGHI L
Dz = 0 + 0 - [0 + 4 Å"3Å" (-1,5) Å" (-12)] - [0 + Ä„ Å"12 Å"(- 8)(2)]+
FJ
îÅ‚
23 2Ä„ Å" 2 2 Å" 2 2 Å" 2 2Ä„ Å" 2 ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚ ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚
ëÅ‚- öÅ‚ ëÅ‚- öÅ‚ ëÅ‚1+ öÅ‚÷Å‚ Å" ìÅ‚- ëÅ‚14 + öÅ‚÷Å‚Å‚Å‚ +
+ - Å" Å" + Å" ìÅ‚ - ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚
ìÅ‚
2 4 Ä„ Ä„ 4 Ä„ Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
GK
îÅ‚
23 2Ä„ Å" 2 2 Å" 2 2 Å" 2 2Ä„ Å" 2 2 Å" 2 ëÅ‚ 2 Å" 2 öÅ‚
ëÅ‚- öÅ‚ ëÅ‚- öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚14 + öÅ‚÷Å‚Å‚Å‚
+ - Å" Å" + Å" 2 - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷łśł
Å" ìÅ‚- Dz = -93,717
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ïÅ‚
ìÅ‚
2 4 Ä„ Ä„ 4 Ä„ Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Główne momenty bezwładności w punkcie A:
2
I + I I - I
ëÅ‚ öÅ‚
x y x y
ìÅ‚ ÷Å‚
I1 = + + Dz 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
6756,223 + 408,256 6756,223 - 408,256
ëÅ‚ öÅ‚
I1 = + + (-93,717)2 I1 = 6757,606
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
I + I I - I
ëÅ‚ öÅ‚
x y x y
I2 = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ Dz 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
6756,223 + 408,256 6756,223 - 408,256
ëÅ‚ öÅ‚
I2 = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ (-93,717)2 I2 = 406,873
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Sprawdzenie:
I + I = I1 + I2
x y
I Å" I - Dz 2 = I1 Å" I2
x y
Główne osie bezwładności w punkcie A:
Dz
tanÄ…1 =
I - I1
y
- 93,717
tanÄ…1 = Ò! Ä…1 = 0,85°
408,256 - 6757,606
Dz
tanÄ…2 =
I - I2
y
- 93,717
tanÄ…2 = Ò! Ä…2 = -89,15°
408,256 - 406,873
Sprawdzenie:
Ä… + Ä…2 = 90°
1
2
y
1
A
x
O2 O3
M D
E
L
O5
O1
H
I
O4
F G
B C
O6 O7
J K