WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 1
Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi
1. Kratownice płaskie
1.1. Odpowiedz
do zadania 1/1
Rysunek 1.1 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej.
Siła normalna w pręcie oznaczonym literą R wynosi
N =-90,03 kN .
R
54,0 kN
36,0 kN
R
36,0 kN
A
43,88 kN
10,13 kN
[m]
8,0 8,0 8,0 8,0
Rys. 1.1. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej
1.2. Odpowiedz
do zadania 1/2
Rysunek 1.2 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej.
Siła normalna w pręcie oznaczonym literą R wynosi
N =26,33 kN .
R
A 57,0 kN
57,0 kN
R
47,0 kN
[m]
41,36 kN
5,643 kN
7,0 7,0 7,0 7,0
Rys. 1.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej
1.3. Odpowiedz
do zadania 1/3
Rysunek 1.3 przedstawia odciętą część kratownicy płaskiej. Do wyznaczenia siły normalnej w pręcie
oznaczonym literą R nie są potrzebne reakcje podporowe. Siła ta wynosi
N =205,0kN .
R
1.4. Odpowiedz
do zadania 1/4
Rysunek 1.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej.
Wartość sinusa kąta nachylenia krzyżulca wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
3,0
3,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 2
NR R
70,0 kN
A
90,0 kN
[m]
3,0
Rys. 1.3. Odcięta część kratownicy płaskiej
Ä…
65,0 kN
65,0 kN Ä…
105,0 kN
[m]
88,04 kN
16,96 kN
7,0 7,0 7,0 7,0
Rys. 1.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej
20,0 kN/m
25,0 kN
C
A
D
B
[m]
68,75 kN 76,25 kN
6,0 2,0 2,0
25,0
T(x) [kN]
3,438 2,563
51,25
M(x) [kNm]
3,438 2,563
Rys. 2.1. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
.
sinśą·Ä…źą=0,4961
Siła normalna w pręcie oznaczonym literą R wynosi
N =34,19 kN .
R
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
2,0
4,0
68,75
0,0
0,0
50,0
118,2
52,50
R
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 3
2. Belki
2.1. Odpowiedz
do zadania 2/1
Rysunek 2.1 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia także wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.2. Odpowiedz
do zadania 2/2
Rysunek 2.2 a) przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce złożonej.
Rysunek 2.2 b) przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
a)
8,0 kN/m
9,0 kNm
25,0 kN
B C
B B D
A
12,5 kN
12,5 kN
[m]
3,5 kN
37,5 kN
2,0 1,0
2,0
b)
8,0 kN/m
9,0 kNm
25,0 kN
C
D
A
B
37,5 kN
[m]
3,5 kN
2,0 2,0 1,0
25,0
0,4375 1,563
T(x) [kN]
12,5
M(x) [kNm]
0,4375 1,563
Rys. 2.2. Belka złożona. a) prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych, b) wykresy siły poprzecznej oraz
momentu zginajÄ…cego
2.3. Odpowiedz
do zadania 2/3
Rysunek 2.3 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.4. Odpowiedz
do zadania 2/4
Rysunek 2.4 a) przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce złożonej.
Rysunek 2.4 b) przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
12,5 kN
12,5 kN
3,5
25,0
9,766
0,0
9,0
0,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 4
20,0 kN/m
30,0 kN
D
A
B C
[m]
67,5 kN
42,5 kN
4,0 2,0 2,0
3,375 0,625
12,5
T(x) [kN]
42,5
M(x) [kNm]
3,375 0,625
Rys. 2.3. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
a)
15,0 kN/m
30,0 kNm
97,5 kNm
C
B B
A D
10,0 kN
10,0 kN
B
10,0 kN
55,0 kN
10,0 kN [m]
3,0 1,0
10,0 kN
3,0
15,0 kN/m
b)
30,0 kNm
97,5 kNm
C
A D
B
[m]
10,0 kN
55,0 kN
3,0 3,0 1,0
10,0
0,0
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
30,0
Rys. 2.4. Belka złożona. a) prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych, b) wykresy siły poprzecznej oraz
momentu zginajÄ…cego
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
67,5
0,0
0,0
85,0
110,0
113,9
55,0
97,5
0,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 5
24,0 kN/m
20,0 kNm
A C
D
B
56,50 kN
87,50 kN
[m]
2,0 6,0 2,0
56,50
0,0
T(x) [kN]
2,354 3,646
M(x) [kNm]
20,0
2,354 3,646
Rys. 2.5. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
a)
16,0 kN/m
20,0 kNm
12,0 kN
B C
D
B B
A
10,0 kN
10,0 kN
[m]
34,0 kN
10,0 kN
2,0 1,0
2,0
b)
16,0 kN/m
20,0 kNm
12,0 kN
C
D
A
B
34,0 kN
[m]
10,0 kN
2,0 2,0 1,0
12,0
10,0
T(x) [kN]
0,625 1,375
M(x) [kNm]
0,625 1,375
Rys. 2.6. Belka złożona. a) prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych, b) wykresy siły poprzecznej oraz
momentu zginajÄ…cego
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
87,50
0,0
113,0
179,5
10,0 kN
10,0 kN
22,0
20,0
12,0
0,0
3,125
0,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 6
2.5. Odpowiedz
do zadania 2/5
Rysunek 2.5 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.6. Odpowiedz
do zadania 2/6
Rysunek 2.6 a) przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce złożonej.
Rysunek 2.6 b) przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.7. Odpowiedz
do zadania 2/7
Rysunek 2.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
36,0 kN
18,0 kN/m
D
A
B C
[m]
45,0 kN
63,0 kN
2,0 4,0 2,0
45,0
T(x) [kN]
2,5 1,5
63,0
M(x) [kNm]
2,5 1,5
Rys. 2.7. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
2.8. Odpowiedz
do zadania 2/8
Rysunek 2.8 a) przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce złożonej.
Rysunek 2.8 b) przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.9. Odpowiedz
do zadania 2/9
Rysunek 2.9 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
2.10. Odpowiedz
do zadania 2/10
Rysunek 2.10 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej. Ten
sam rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
27,0
0,0
0,0
90,0
126,0
146,3
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 7
a)
27,0 kNm
12,0 kN/m
81,0 kNm
C
B B
A
D
B
27,0 kN
27,0 kN
[m]
9,0 kN
27,0 kN
3,0 1,0
3,0
b)
12,0 kN/m
27,0 kNm
81,0 kNm
C
A D
B
[m]
9,0 kN
27,0 kN
3,0 3,0 1,0
27,0
0,0
T(x) [kN]
2,25 0,75
M(x) [kNm]
27,0
2,25 0,75
Rys. 2.8. Belka złożona. a) prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych, b) wykresy siły poprzecznej oraz
momentu zginajÄ…cego
17,0 kN/m
20,0 kN
B
A
C
[m]
10,33 kN
60,67 kN
6,0 2,0
20,0
T(x) [kN]
2,70 3,30
M(x) [kNm]
2,70 3,30
Rys. 2.9. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
27,0 kN
27,0 kN
9,0
81,0
30,38
0,0
10,33
40,67
40,0
18,60
0,0
0,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 8
15,0 kN
21,0 kN/m
B
A
C
[m]
26,5 kN
35,75 kN
4,5 1,5
15,0
T(x) [kN]
1,518 2,982
M(x) [kNm]
1,518 2,982
Rys. 2.10. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
3. Ramy
3.1. Odpowiedz
do zadania 3/1
Rysunek 3.1 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych ramie ortogonalnej,
rysunek 3.2 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.3 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.4 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.5 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
18,0 kN/m
24,0 kNm
16,0 kN
D
C
C
B
8,0 kN
8,0 kN
8,0 kN
3,0
C
8,0 kN
8,0 kN
16,0 kN
A
23,0 kNm [m]
146,0 kN
3,0
Rys. 3.1. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
26,5
20,75
22,5
0,0
0,0
18,75
5,0
20,0 kN/m
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 9
0,0
46,0
N [kN]
146,0
Rys. 3.2. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
2,556 3,0
0,4444
[m]
8,0
T [kN]
Rys. 3.3. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
0,4444
2,556 3,0
[m]
57,0
M [kNm]
23,0
Rys. 3.4. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
46,0
16,0
57,0
24,0
0,0
1,778
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 10
16,0 kN 16,0 kN
B B
57,0 kNm
16,0 kN
57,0 kNm
Rys. 3.5. Węzeł B
3.2. Odpowiedz
do zadania 3/2
Rysunek 3.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.7 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.8 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.9 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.10 przedstawia węzły B i C będące w równowadze.
19,0 kNm
B C
D
17,31 kN
A 45,0 kN
[m]
82,69 kN
8,0
Rys. 3.6. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
45,0
17,31
N [kN]
82,69
Rys. 3.7. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
46,0 kN
46,0 kN
3,0
15,0 kN/m
20,0 kN/m
2,0
17,37
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 11
17,31
45,0
0,0
T [kN]
Rys. 3.8. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
225,0 67,5
0,0
M [kNm]
0,0
Rys. 3.9. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
B B
45,0 kN
225,0 kNm
45,0 kN
225,0 kNm
19,0 kNm 19,0 kNm
45,0 kN
C C
86,52 kNm
45,0 kN
67,5 kNm
17,31 kN
Rys. 3.10. Węzły B i C
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
45,0
225,0
86,52
17,31 kN
17,31 kN
17,31 kN
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 12
3.3. Odpowiedz
do zadania 3/3
Rysunek 3.11 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.12 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.13 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.14 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.15 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
60,0 kNm
30,0 kN
20,0 kN 20,0 kN
C C
D
B
20,0 kN
15,0 kN
15,0 kN
15,0 kN
4,0
20,0 kN 20,0 kN
C
15,0 kN
15,0 kN
76,0 kN
A
157,0 kNm
[m]
45,0 kN
3,0
Rys. 3.11. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
20,0
N [kN]
Rys. 3.12. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
15,0
20,0
T [kN]
[m]
76,0
Rys. 3.13. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
4,0
24,0 kN/m
45,0
0,8333
3,167
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 13
3,0 4,0
45,0
36,67
M [kNm]
[m]
157,0
Rys. 3.14. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
30,0 kN 30,0 kN
B B
20,0 kN
45,0 kNm
20,0 kN
45,0 kNm
45,0 kN
Rys. 3.15. Węzeł B
3.4. Odpowiedz
do zadania 3/4
Rysunek 3.16 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.17 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.18 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.19 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.20 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
19,0 kNm
35,0 kN
C
D
B
92,8 kN
A
100,0 kN
[m]
57,8 kN
5,0 2,0
Rys. 3.16. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
45,0
0,8333
60,0
3,167
15,0 kN
4,0
25,0 kN/m
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 14
0,0
N [kN]
Rys. 3.17. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
5,0 2,0
35,0
[m]
0,0
57,8
T [kN]
100,0
Rys. 3.18. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
5,0 2,0
[m]
200,0
M [kNm]
0,0
Rys. 3.19. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
19,0 kNm
19,0 kNm
219,0 kNm
B B
200,0 kNm
57,8 kN
Rys. 3.20. Węzeł B
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
57,8
219,0
0,0
70,0
57,8 kN
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 15
3.5. Odpowiedz
do zadania 3/5
Rysunek 3.21 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.22 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.23 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.24 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.25 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
14,0 kN
150,0 kNm
A
96,0 kN
21,0 kN
C C C
B D
E
14,0 kN
14,0 kN
[m]
35,0 kN
3,0 3,0 2,0
Rys. 3.21. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
N [kN]
0,0
Rys. 3.22. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
96,0
T [kN]
21,0
0,0
14,0
Rys. 3.23. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
4,0
24,0 kN/m
14,0 kN
14,0 kN
14,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 16
150,0
M [kNm]
42,0
[m]
3,0 3,0 2,0
Rys. 3.24. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
14,0 kN
42,0 kNm
B B
42,0 kNm
Rys. 3.25. Węzeł B
3.6. Odpowiedz
do zadania 3/6
Rysunek 3.26 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.27 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.28 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.29 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.30 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
34,0 kNm
26,0 kN/m
25,0 kN
C
D
B
24,75 kN
25,0 kN
A [m]
79,25 kN
4,0 2,0
Rys. 3.26. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
42,0
0,0
0,0
42,0
14,0 kN
3,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 17
0,0
N [kN]
Rys. 3.27. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
3,048 2,0
0,9519
[m]
0,0
T [kN]
Rys. 3.28. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
3,048 2,0
0,9519
[m]
75,0
34,0
M [kNm]
0,0
Rys. 3.29. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
25,0 kN 25,0 kN
B B
75,0 kNm
25,0 kN
75,0 kNm
Rys. 3.30. Węzeł B
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
79,25
79,25
24,75
25,0
75,0
45,78
79,25 kN
79,25 kN
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 18
3.7. Odpowiedz
do zadania 3/7
Rysunek 3.31 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.32 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.33 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.34 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.35 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
30,0 kNm
20,0 kN 20,0 kN
C C
D
B
20,0 kN
7,5 kN
7,5 kN
7,5 kN
4,0
20,0 kN 20,0 kN
C
7,5 kN
44,0 kN
A 7,5 kN
70,5 kNm
[m]
7,5 kN
3,0
Rys. 3.31. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
20,0
N [kN]
Rys. 3.32. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
7,5
20,0
T [kN]
[m]
44,0
Rys. 3.33. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
4,0
24,0 kN/m
7,5
1,25
2,75
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 19
3,0 4,0
22,5
10,0
M [kNm]
[m]
70,5
Rys. 3.34. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
20,0 kN
B B
22,5 kNm
20,0 kN
22,5 kNm
Rys. 3.35. Węzeł B
3.8. Odpowiedz
do zadania 3/8
Rysunek 3.36 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej,
rysunek 3.37 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.38 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.39 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.40 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
18,0 kN
36,0 kN
C
B
D
30,0 kN
[m]
24,0 kN A
12,0 kN
2,0 5,0
Rys. 3.36. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie ortogonalnej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
30,0
22,5
0,0
1,25
2,75
7,5 kN
7,5 kN
4,0
15,0 kN/m
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 20
36,0
N [kN]
Rys. 3.37. Wykres siły normalnej w ramie ortogonalnej
2,0 5,0
12,0
36,0
18,0
T [kN]
[m]
24,0
Rys. 3.38. Wykres siły poprzecznej w ramie ortogonalnej
2,0 5,0
24,0
M [kNm]
19,2
[m]
0,0
Rys. 3.39. Wykres momentu zginajÄ…cego w ramie ortogonalnej
3.9. Odpowiedz
do zadania 3/9
Rysunek 3.41 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej, rysu-
nek 3.42 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.43 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.44 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.45 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
12,0
2,4
1,6
36,0
24,0
0,0
2,4
1,6
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 21
24,0 kNm
B
B
36,0 kN
36,0 kN
24,0 kNm
Rys. 3.40. Węzeł B
5,0
101,6 kN
30,62 kN
A
17,0 kN
B
C
47,62 kN
[m]
Rys. 3.41. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej
101,6
N[kN]
81,60
Rys. 3.42. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
12,0 kN
12,0 kN
2,0
10,0 kN/m
3,0
-
5
,
8
3
1
-
1
4
,
0
k
N
/
m
3
8
,
2
8
3
8
,
0
4
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 22
T[kN]
Rys. 3.43. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej
0,0
M[kNm]
61,24
[m]
Rys. 3.44. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej
81,60 kN
61,24 kNm
30,62 kN
17,0 kN 17,0 kN
B B
61,24 kNm
Rys. 3.45. Węzeł B
3.10. Odpowiedz
do zadania 3/10
Rysunek 3.46 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej, rysu-
nek 3.47 przedstawia wykres siły normalnej, rysunek 3.48 wykres siły poprzecznej, rysunek 3.49 wykres
momentu zginającego natomiast rysunek 3.50 przedstawia węzeł B będący w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
30,62
0
5
,
5
4
3
,
7
9
0
0
5
,
4
2
2
,
0
4
1
4
2
,
1
6
0
0
,
3
,
5
7
9
2
0
0
,
0
2
,
0
4
1
N
k
0
5
,
5
4
8
2
,
8
3
k
N
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 23
16,0 kN/m
67,2 kN
C
B
48,0 kN
67,2 kN
[m]
A
3,0 2,0
Rys. 3.46. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej
67,2
N[kN]
Rys. 3.47. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej
48,0
T[kN]
Rys. 3.48. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
2,5
8
2
,
3
5
5
1
,
6
2
6
,
1
4
8
4
3
,
0
2
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 24
M[kNm]
Rys. 3.49. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej
96,0 kNm
67,2 kN
B B
96,0 kNm
Rys. 3.50. Węzeł B
4. Charakterystyki geometryczne przekroju
4.1. Odpowiedz
do zadania 4/1
Rysunek 4.1 przedstawia wszystkie wymiary blachownicy dwuteowej wyrażone w centymetrach.
Główne momenty bezwładności przekroju wynoszą
,
J =578,7cm4
Ygl
.
J =16620 cm4
Zgl
2,0 32,0 2,0
Y=Ygl
sc
[cm]
Z=Zgl
Rys. 4.1. Wymiary przekroju dwuteowego w centymetrach
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
0,0
96,0
48,0 kN
1,0
12,0
9
6
,
0
0
,
0
6
,
1
4
8
k
N
N
k
5
3
,
2
8
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 25
4.2. Odpowiedz
do zadania 4/2
Rysunek 4.2 przedstawia wszystkie wymiary blachownicy skrzynkowej wyrażone w centymetrach.
Główne momenty bezwładności przekroju wynoszą
,
J =5361cm4
Ygl
.
J =33440 cm4
Zgl
2,2 36,0 2,2
sc
Y=Ygl
[cm]
Z=Zgl
Rys. 4.2. Wymiary przekroju skrzynkowego w centymetrach
12,0
Y=Ygl
sc
1,2
[cm]
Z=Zgl
Rys. 4.3. Wymiary przekroju teowego w centymetrach
4.3. Odpowiedz
do zadania 4/3
Rysunek 4.3 przedstawia wszystkie wymiary blachownicy teowej wyrażone w centymetrach. Rysunek
ten przedstawia także położenie głównych osi bezwładności. Główne momenty bezwładności przekroju
wynoszÄ…
,
J =5361cm4
Ygl
.
J =437,5 cm4
Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
1,2
15,0
1,2
3,0
12,96
38,0
28,04
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 26
4.4. Odpowiedz
do zadania 4/4
Osiowe momenty bezwładności przekroju względem osi Y oraz Z zadanego układu współrzędnych
wynoszÄ…
10,0Å"7,03
J = ƒÄ…3,52Å"10,0Å"7,0
Y
12
6,0Å"3,03ƒÄ…3,0 Å"1Å"6,0Å"3,0 ,
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…6,11ƒÄ…7,972Å"4,79=1368 cm4
7,0Å"10,03
J = ƒÄ…3,02Å"10,0Å"7,0
Z
12
3,0Å"6,03ƒÄ…4,0 Å"1Å"6,0Å"3,0 .
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…17,2ƒÄ…6,042Å"4,79=1243 cm4
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika nierównoramiennego 60x40x5 wynosi
L
J =5,979 cm4 .
Y0Z0
Dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju wynosi
J =0,0ƒÄ…3,0Å"3,5Å"10,0Å"7,0-
YZ
6,02Å"3,02 1
.
- ƒÄ…4,0Å"3,0Å" Å"6,0Å"3,0 ƒÄ…
śą źą
72 2
ƒÄ…5,979ƒÄ…6,04Å"7,97Å"4,79=859,1 cm4
4.5. Odpowiedz
do zadnia 4/5
Osiowe momenty bezwładności przekroju względem osi Y oraz Z zadanego układu współrzędnych
wynoszÄ…
15,0Å"10,03
J = ƒÄ…5,02Å"10,0Å"15,0ƒÄ…
Y
12
9,0Å"6,03ƒÄ…6,0 Å"1Å"6,0Å"9,0 ƒÄ… ,
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…114,3ƒÄ…12,032Å"22,7=7373cm4
10,0Å"15,03
J = ƒÄ…7,52Å"10,0Å"15,0ƒÄ…
Z
12
6,0Å"9,03ƒÄ…9,0 Å"1Å"6,0Å"9,0 ƒÄ… .
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…323,0ƒÄ…11,02Å"22,7=12010 cm4
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika nierównoramiennego 120x80x12 wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 27
L
J =110,4 cm4 .
Y0Z0
Dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju wynosi
J =0,0ƒÄ…7,5Å"5,0Å"10,0Å"15,0-
YZ
6,02Å"9,02 1
.
- - ƒÄ…9,0Å"6,0Å" Å"6,0Å"9,0 ƒÄ…
śą źą
72 2
ƒÄ…110,4ƒÄ…11,0Å"12,03Å"22,7=7322cm4
4.6. Odpowiedz
do zadania 4/6
Osiowe momenty bezwładności przekroju względem osi Y oraz Z zadanego układu współrzędnych
wynoszÄ…
14,0Å"8,03
J = ƒÄ…4,02Å"14,0Å"8,0ƒÄ…
Y
12
9,0Å"6,03ƒÄ…4,0 Å"1Å"6,0Å"9,0 ƒÄ… ,
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…7,59ƒÄ…8,882Å"6,89=2454 cm4
8,0Å"14,03
J = ƒÄ…7,02Å"14,0Å"8,0ƒÄ…
Z
12
6,0Å"9,03ƒÄ…9,0 Å"1Å"6,0Å"9,0 ƒÄ… .
2
-
śą źą
36 2
ƒÄ…44,9ƒÄ…8,852Å"6,89=5593 cm4
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika nierównoramiennego 80x40x6 wynosi
L
J =-10,33 cm4 .
Y0Z0
Dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju wynosi
J =0,0ƒÄ…4,0Å"7,0Å"14,0Å"8,0-
YZ
6,02Å"9,02 1
- ƒÄ…9,0Å"4,0Å" Å"6,0Å"9,0 - .
śą źą
72 2
-10,33ƒÄ…8,88Å"8,85Å"6,89=2655cm4
4.7. Odpowiedz
do zadania 4/7
Aby główne moment bezwładności przekroju były sobie równe odległość pomiędzy środkami cięż-
kości dwuteowników musi wynosić
a=32,13 cm .
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 28
4.8. Odpowiedz
do zadania 4/8
Aby główne momenty bezwładności przekroju były sobie równe odległość pomiędzy ściankami ceow-
ników powinna wynosić
a=17,24 cm .
4.9. Odpowiedz
do zadania 4/9
Moment bezwładności przekroju względem osi środkowej Y0 wynosi
.
J =267000-20,02Å"628,3=15680 cm4
Y0
Moment bezwładności przekroju względem osi Y2 wynosi
.
J =15680ƒÄ…25,02Å"628,3=408 400 cm4
Y2
4.10. Odpowiedz
do zadania 4/10
Moment bezwładności przekroju względem osi środkowej Z0 wynosi
.
J =64170-25,02Å"100,0=1670 cm4
Z0
Moment bezwładności przekroju względem osi Z2 wynosi
.
J =1670ƒÄ…20,02Å"100,0=41670 cm4
Z2
5. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w punkcie przekroju pręta
5.1. Odpowiedz
do zadania 5/1
Rysunek 5.1 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej.
Siła normalna w pręcie oznaczonym literą R wyznaczona metodą Rittera wynosi
N =49,16kN .
R
Naprężenie normalne w pręcie wynosi
49,16 kN
ÈÄ…X = =1,092 =10,92 MPa
.
45,0
cm2
Całkowite wydłużenie pręta wynosi
49,16Å"8,0
­Ä… L= =0,000426 m=0,426 mm
.
205Å"106Å"45,0Å"10-4
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 29
26,0 kN
26,0 kN
R
64,0 kN
[m]
45,56 kN
18,44 kN
8,0 8,0 8,0 8,0
Rys. 5.1. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w kratownicy płaskiej
5.2. Odpowiedz
do zadania 5/2
Rysunek 5.2 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych, które działają w przekroju
ą - ą. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych przedstawia
rysunek 5.3.
24,0 kNm
32,0 kN
20,0 kN X
Z=Z0=Zgl
[m]
1,0
Rys. 5.2. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
12,08 MPa
X
X
32,79 MPa
32,79 MPa
12,08 MPa
Z
Z
Rys. 5.3. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w punkcie A
5.3. Odpowiedz
na zadanie 5/3
Rysunek 5.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych, które działają w przekroju
ą - ą. Graficzne interpretacje stanu naprężenie w układzie ZX oraz w układzie osi głównych przedstawia
rysunek 5.5.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
3,0
12,08 MPa
o
18,19
12,08 MPa
3
,
9
X
l
g
7
0
M
P
a
a
P
M
6
7
,
6
3
a
P
M
6
7
,
6
3
3
,
9
7
0
M
P
a
Z
l
g
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 30
22,0 kNm
8,0 kN
19,0 kN
X
Z=Z0=Zgl
[m]
1,0
Rys. 5.4. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
1,862 MPa
X
X
33,39 MPa
33,39 MPa
3,1810
1,862 MPa
Z
Z
Rys. 5.5. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w punkcie A
5.4. Odpowiedz
do zadania 5/4
Rysunek 5.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych, które działają w przekroju
ą - ą. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych przedstawia
rysunek 5.7.
15,0 kN
15,0 kN
X
19,0 kN/m
216,0 kNm
[m]
Z=Z0=Zgl
3,0 1,5
Rys. 5.6. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
1,862 MPa
1,862 MPa
3,0
57,0 kN
a
P
M
5
3
0
1
,
0
X
g
l
3
3
,
4
9
M
P
a
3
3
,
4
9
M
P
a
a
P
M
Z
g
l
5
3
0
1
,
0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 31
17,46 MPa
X
X
161,7 MPa
161,7 MPa
6,0940
17,46 MPa
Z
Z
Rys. 5.7. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w punkcie A
5.5. Odpowiedz
do zadania 5/5
Rysunek 5.8 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych, które działają w przekroju
ą - ą. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych przedstawia
rysunek 5.9.
3,0 1,5
8,0 kN/m
24,0 kN
11,0 kN
X
105,0 kNm
Z=Z0=Zgl
[m]
11,0 kN
Rys. 5.8. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
4,962 MPa
X
X
89,21 MPa
89,21 MPa
3,1730
4,962 MPa
Z
Z
Rys. 5.9. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w punkcie A
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
17,46 MPa
17,46 MPa
3,0
4,962 MPa
4,962 MPa
1
,
8
6
4
M
P
X
l
g
a
a
P
M
6
,
3
6
1
a
P
M
6
,
3
6
1
1
,
8
6
4
M
Z
l
g
P
a
a
P
M
1
5
7
2
,
0
X
l
g
a
P
M
9
4
,
9
8
a
P
M
9
4
,
9
8
a
P
M
1
5
7
2
,
0
Z
l
g
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 32
5.6. Odpowiedz
do zadania 5/6
Rysunek 5.10 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych, które działają w przek-
roju ą - ą. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych
przedstawia rysunek 5.11.
X
128,0 kNm
44,0 kN
Z=Z0=Zgl
[m]
Rys. 5.10. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
X
X
12,48 MPa
Z 12,930 Z
12,48 MPa
Rys. 5.11. Graficzne interpretacje stanu naprężenia w punkcie A
5.7. Odpowiedz
do zadania 5/7
Rysunek 5.12 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą.
Graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A przedstawia rysunek 5.13 a) natomiast w punkcie
B rysunek 5.13 b). Naprężenia zredukowane według hipotez Hubera i Treski w punkcie A wynoszą
,
ÈÄ…H śąAźą= 73,042ƒÄ…3Å"11,222=75,58 MPa
ćą
red
.
ÈÄ…T śą Aźą= 73,042ƒÄ…4Å"11,222=76,41MPa
ćą
red
Naprężenia zredukowane według powyższych hipotez w punkcie B wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
20,0 kN
1,0
51,51 MPa
12,48 MPa
12,48 MPa
51,51 MPa
5
4
X
l
g
,
3
7
M
P
a
a
P
M
4
6
8
,
2
a
P
M
4
6
8
,
2
Z
l
g
5
4
,
3
7
M
P
a
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 33
15,0 kN
98,0 kNm
34,0 kN
X
15,0 kN
17,0 kN/m
Z=Z0=Zgl [m]
2,0 1,0
Rys. 5.12. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą
a) b)
11,22 MPa 2,172 MPa
X X
73,04 MPa 127,3 MPa
73,04 MPa 127,3 MPa
11,22 MPa 2,172 MPa
Z Y
Rys. 5.13. Graficzne interpretacje stanów naprężenia, a) w punkcie A, b) w punkcie B
,
ÈÄ…H śąBźą=
śą-127,3 ƒÄ…3Å"-2,172 =127,4 MPa
źą2 śą źą2
ćą
red
.
ÈÄ…T śą Bźą=
śą-127,3 ƒÄ…4Å"-2,172 =127,4 MPa
źą2 śą źą2
ćą
red
5.8. Odpowiedz
do zadania 5/8
Rysunek 5.14 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju ą - ą. Rysu-
nek 5.15 przedstawia graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A. Odkształcenia liniowe oraz
niezerowe odkształcenia postaciowe odpowiadające stanowi naprężenia w punkcie A wynoszą
,
Ä…X =-293,6Å"10-6
,
Ä…Y=Ä…Z=88,08Å"10-6
.
Ä…XZ=30,76Å"10-6
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
2,0
2,172 MPa
11,22 MPa
11,22 MPa
2,172 MPa
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 34
70,0 kNm
19,0 kN
X
32,0 kN
Z=Z0=Zgl [m]
1,0
Rys. 5.14. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju
4,851 MPa
X
60,19 MPa
60,19 MPa
4,851 MPa
Z
Rys. 5.15. Graficzna interpretacja stanu naprężenia w punkcie A
5.9. Odpowiedz
do zadania 5/9
Rysunek 5.16 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce swobodnie
podpartej. Ten sam rysunek przedstawia także wykres siły poprzecznej. Ekstremalna bezwzględna wartość
tej siły wynosi
T =36,0 kN .
EXT
Naprężenie styczne w spoinie ciągłej o grubości 3 mm wynosi
ÉÄ…sp=20,60 MPa .
Naprężenie styczne w spoinie przerywanej o grubości 4 mm wynosi
ÉÄ…sp=38,63 MPa .
5.10. Odpowiedz
do zadania 5/10
Rysunek 5.17 przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce drewnianej.
Maksymalna wartość momentu zginającego wynosi
M =55,13 kNm .
EXT
Rysunek 5.18 przedstawia wykres naprężenia normalnego à w najbardziej obciążonym przekroju belki
X
drewnianej.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
4,851 MPa
4,851 MPa
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 35
8,0 kN/m
16,0 kN
B
A
C
[m]
28,0 kN
52,0 kN
8,0 2,0
16,0
T(x) [kN]
3,5 4,5
Rys. 5.16. Wykres siły poprzecznej w belce swobodnie podpartej
9,0 kN/m
31,5 kN
31,5 kN [m]
0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5
7,0
T(x) [kN]
3,5 3,5
M(x) [kNm]
3,5 3,5
Rys. 5.17. Wykresy sił przekrojowych w belce drewnianej
Ekstremalna wartość siły poprzecznej wynosi
T =31,5 kN .
EXT
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
28,0
36,0
31,5
31,5
55,13
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 36
15,0
[MPa]
17,39
4,830
Y=Ygl
sc
55,13 kNm
4,830
17,39
ÃX
[cm]
Z=Zgl
Rys. 5.18. Wykres naprężenia normalnego à w najbardziej obciążonym przekroju
X
Główny moment bezwładności przekroju pełnego wynosi
15,0Å"36,03=58320 cm4
J =
Ygl
12
Naprężenie styczne w środku ciężkości przekroju pełnego wynosiłoby
31,5Å"18,0Å"15,0Å"9,0 kN
ÉÄ…XZ= =0,0875 =0,875 MPa
.
15,0Å"58320
cm2
Siła rozwarstwiająca przypadająca na jeden klocek wynosi
R=0,0875Å"100,0Å"15,0=131,3 kN .
Naprężenie styczne w pojedynczym klocku przy założeniu ich równomiernego rozkładu wynosi
131,3 kN
ÉÄ…kl= =0,4377 =4,377 MPa
.
15,0Å"20,0
cm2
5.11. Odpowiedz
do zadania 5/11
W zadaniu zakładamy, że siła normalna rozkłada się równomiernie na każdą ze śrub. Siłę rozciągającą
przenoszą razem cztery śruby, liczba płaszczyzn ścinania wynosi 8. Pole powierzchni pojedynczej śruby
wynosi
ĆąÅ"2,02
.
Asr= =3,142 cm2
4
Wartość naprężenia stycznego w pojedynczej śrubie wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
13,0
10,0
13,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 37
a)
5,0 2,0 6,0 2,0 5,0
[cm]
b)
5,0 2,0 6,0 2,0 5,0
[cm]
Rys. 5.19. Powierzchnia netto a) rozciąganego pręta, b) nakładek
260,0 kN 215
ÉÄ…sr= =10,34 =103,4 MPa"Ä… =124,1 MPa
.
8Å"3,142
3
cm2
ćą
Rysunek 5.19 przedstawia przekrój netto pręta oraz nakładek. Pole powierzchni netto pręta wynosi
.
A =2,0Å"5,0ƒÄ…2,0Å"6,0ƒÄ…2,0Å"5,0=32,0 cm2
p
Wartość naprężenia normalnego ÃX w prÄ™cie wynosi
260,0 kN
ÈąśąXpźą= =8,125 =81,25 MPa"Ä… R=215 MPa
.
32,0
cm2
Pole powierzchni netto nakładek wynosi
.
An=2Å"śą1,0Å"5,0ƒÄ…1,0Å"6,0ƒÄ…1,0Å"5,0źą=32,0 cm2
Wartość naprężenia normalnego ÃX w nakÅ‚adkach wynosi
260,0 kN
nźą
ÈąśąX = =8,125 =81,25 MPa"Ä…R=215 MPa
.
32,0
cm2
5.12. Odpowiedz
do zadania 5/12
Pole powierzchni czterech spoin pachwinowych łączących pręt z nakładkami (uwzględniamy spoinę
od miejsca połączenia prętów do końca nakładek) wynosi
.
Asp=4Å"40,0Å"0,3=48,0 cm2
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
2,0
1,0
2,0
1,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 38
12,0 kN/m
24,0 kN
B
A
C
42,0 kN [m]
78,0 kN
8,0 2,0
24,0
T(x) [kN]
3,5 4,5
M(x) [kNm]
3,5 4,5
Rys. 6.1. Wykres siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
Naprężenie styczne w spoinie wynosi więc
360,0 kN
ÉÄ…sp= =7,50 =75,0 MPa"Ä…R=215 MPa
.
48,0
cm2
Pole powierzchni pręta wynosi
.
A =20,0Å"2,0=40,0 cm2
p
Naprężenie normalne à w prÄ™cie wynosi wiÄ™c
X
360,0 kN
ÈąśąXpźą= =9,0 =90,0 MPa"Ä…R=215 MPa
.
40,0
cm2
Pole powierzchni nakładek wynosi
.
An=2Å"16,0Å"1,0=32,0 cm2
Naprężenie normalne ÃX w nakÅ‚adkach wynosi wiÄ™c
360,0 kN
nźą
ÈąśąX = =11,25 =112,5 MPa"Ä…R=215 MPa
.
32,0
cm2
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
42,0
54,0
73,50
0,0
0,0
48,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 39
6. Zginanie ukośne
6.1. Odpowiedz
do zadania 6/1
Rysunek 6.1 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej, ten sam
rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego. Rysunek 6.2 przedstawia wykres
naprężenia normalnego ÃX w przekroju belki.
20,00
7350 kNcm
sc
48,110
Rys. 6.2. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju belki
X
6.2. Odpowiedz
do zadania 6/2
Rysunek 6.3 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych w belce prostej, ten sam
rysunek przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego. Rysunek 6.4 przedstawia wykres
naprężenia normalnego ÃX w przekroju belki.
56,0 kNm
20,0 kN/m
[m]
87,0kN
73,0kN
8,0
T(x) [kN]
4,35 3,65
M(x) [kNm]
4,35 3,65
Rys. 6.3. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
87,0
73,0
0,0
56,0
189,2
7
,
2
3
4
Y
=
Y
g
l
7
,
2
3
4
Ã
X
]
a
P
M
[
Z=
Z
g
l
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 40
21,630
10,00 sc
18920 kNcm
Rys. 6.4. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju belki
X
7. Mimośrodowe działanie siły normalnej
7.1. Odpowiedz
do zadania 7/1
Rysunek 7.1 przedstawia poÅ‚ożenie osi obojÄ™tnej oraz wykres naprężenia normalnego à w przekroju
X
pręta.
A
5,333
sc
Z=Zgl
[cm]
B
Y=Ygl
Rys. 7.1. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta
X
7.2. Odpowiedz
do zadania 7/2
Rysunek 7.2 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości -40,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenie osi obojętnej oraz wykres naprę-
żenia normalnego ÃX.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
2,999
1
5
3
,
4
[
M
P
a
]
Y
=
l
Y
g
Ã
X
1
Z
5
l
Z=
3
g
,
4
]
a
P
M
[
1
6
,
8
4
4
4
9
,
6
0
,
0
2
7
,
4
3
X
Ã
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 41
A
280,0 kNcm
Z=Zgl
1,156
N = -40,0 kN
B
[cm]
Y=Ygl
Rys. 7.2. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
7.3. Odpowiedz
do zadania 7/3
Rysunek 7.3 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości -40,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenia osi obojętnej oraz wykres naprę-
żenia normalnego ÃX .
A
Z=Zgl
4060 kNcm
1,175
N = -40,0 kN
[cm]
Y=Ygl
B
Rys. 7.3. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
8240 kNcm
1,456
9800 kNcm
0,2822
]
a
P
M
[
4
9
,
9
8
0
,
0
3
4
8
,
4
8
4
,
9
4
X
Ã
c
s
]
a
P
M
[
4
,
7
7
1
0
,
0
6
2
2
,
3
sc
Ã
X
9
,
3
8
1
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 42
7.4. Odpowiedz
do zadania 7/4
Rysunek 7.4 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości -30,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenie osi obojętnej oraz wykres naprę-
żenia normalnego ÃX.
B
240,0 kNcm
sc
Z=Zgl
1,114
N = -30,0 kN
A
[cm]
Y=Ygl
Rys. 7.4. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
7.5. Odpowiedz
do zadania 7/5
Rysunek 7.5 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości 30,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenie osi obojętnej oraz wykres napręże-
nia normalnego à .
X
7.6. Odpowiedz
do zadania 7/6
Rysunek 7.6 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości -25,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenie osi obojętnej oraz wykres napręże-
nia normalnego ÃX.
7.7. Odpowiedz
do zadania 7/7
Rysunek 7.7 przedstawia przekrój pręta wspornikowego wraz z prawidłowymi wartościami oraz
zwrotami momentów zginających działających w nim. Siła normalna o wartości -30,0 kN jest przyłożona
w środku ciężkości przekroju. Rysunek ten przedstawia także położenie osi obojętnej oraz wykres napręże-
nia normalnego ÃX.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
5960 kNcm
1,782
6
7
,
6
5
[
M
P
a
]
3
,
1
2
0
5
,
0
6
Ã
1
,
X
4
0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 43
B
195,0 kNcm
Z=Zgl
sc
0,8969
N = 30,0 kN
[cm]
A
Y=Ygl
Rys. 7.5. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
A
187,5 kNcm
Z=Zgl
sc
0,3460
[cm]
N = -25,0 kN
B
Y=Ygl
Rys. 7.6. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
7.8. Odpowiedz
do zadania 7/8
Rysunek 7.8 a) przedstawia położenie środka ciężkości przekroju oraz współrzędne odcinkowe osi
obojętnych będących konturem rdzenia przekroju natomiast rysunek 7.8 b) przedstawia rdzeń przekroju.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
6005 kNcm
1,396
11860 kNcm
1,727
8
1
,
6
9
[
M
P
a
]
0
,
0
3
,
7
0
4
8
9
,
1
0
Ã
X
1
,
4
4
1
]
a
P
M
0
[
,
0
4
7
8
,
X
2
Ã
3
,
8
3
1
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 44
B
210,0 kNcm
Z=Zgl
sc
0,5811
[cm]
N = -30,0 kN
A
Y=Ygl
Rys. 7.7. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju prÄ™ta wspornikowego
X
a) b)
10,0 10,0
10,0 10,0
1 1
2 2
3 3
Y=Ygl
Y=Ygl
2 3 2 3
1 1 1 1
2 2
3,035
1,214
3 3
Z=Zgl Z=Zgl
[cm]
[cm]
6,0 8,0 6,0 6,0 8,0 6,0
Rys. 7.8. Rdzeń przekroju
7.9. Odpowiedz
do zadania 7/9
Rysunek 7.9 a) przedstawia siłę normalną działającą na mimośrodzie. Siła ta działa poza rdzeniem
przekroju. Rysunek 7.9 b) przedstawia wykres naprężenia normalnego ÃX w przekroju betonowej Å›ciany
zbiornika na wodÄ™.
7.10. Odpowiedz
do zadania 7/10
Rysunek 7.10 a) przedstawia siłę normalną działającą na mimośrodzie. Siła ta działa w rdzeniu przek-
roju. Rysunek 7.10 b) przedstawia wykres naprężenia normalnego à w przekroju betonowej Å›ciany
X
zbiornika na wodÄ™.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
8880 kNcm
1,559
11,6
12,0
11,6
12,0
2,652
2,378
10,4
10,0
10,4
10,0
[
M
P
a
]
1
1
0
0
,
1
,
8
0
1
7
,
3
9
,
5
7
1
Ã
X
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 45
a)
0,4271 0,8229
X
437,5 kN
Z=Zgl
[m]
2,5
b)
2,5
Z=Zgl
1,281
[m]
Rys. 7.9. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju betonowej Å›ciany zbiornika na wodÄ™
X
a)
0,1245
X
Z=Zgl
2,6
[m]
b)
2,6
Z=Zgl
[m]
Rys. 7.10. Wykres naprężenia normalnego à w przekroju betonowej Å›ciany zbiornika na wodÄ™
X
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
683,1 kPa
481,0 kN
131,8 kPa
238,2 kPa
0
,
1
l
g
Y
=
Y
0
,
1
l
g
Y
=
Y
0
,
1
l
g
Y
=
Y
0
,
1
l
g
Y
=
Y
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 46
8. Skręcanie
8.1. Odpowiedz
do zadnia 8/1
Rysunek 8.1 przedstawia wypadkowe naprężenie styczne ÄX oraz skÅ‚adowe naprężenia styczne ÄXY
i ÄXZ dziaÅ‚ajÄ…ce w punkcie A. Naprężenia skÅ‚adowe majÄ… wartoÅ›ci
ÉÄ…XY =34,82 MPa ,
ÉÄ…XZ=-60,30 MPa .
Y=Ygl
sc
300 300
34,82 MPa
O
[cm]
Z=Zgl
Rys. 8.1. Naprężenia styczne działające w punkcie A
8.2. Odpowiedz
do zadania 8/2
Rysunek 8.2 przedstawia wypadkowe naprężenie styczne ÄX oraz skÅ‚adowe naprężenia styczne ÄXY
i Ä dziaÅ‚ajÄ…ce w punkcie A. Naprężenia skÅ‚adowe majÄ… wartoÅ›ci
XZ
,
ÉÄ…XY =-34,63 MPa
.
ÉÄ…XZ=-49,46 MPa
8.3. Odpowiedz
do zadania 8/3
Rysunek 8.3 przedstawia stałe na grubości ścianki naprężenia styczne w przekroju o profilu zamknię-
tym.
8.4. Odpowiedz
do zadania 8/4
Rysunek 8.4 przedstawia wykresy naprężeń stycznych na poszczególnych ściankach przekroju o profi-
lu otwartym.
8.5. Odpowiedz
do zadania 8/5
Rysunek 8.5 a) przedstawia rozkład maksymalnego naprężenia stycznego w przekroju o profilu
otwartym natomiast rysunek 8.5 b) w przekroju o profilu zamkniętym.
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
60,30 MPa
5
6
6
9
,
0
,
6
k
3
N
M
m
P
a
8
,
0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 47
60,38 MPa
O
34,63 MPa
Y=Ygl 350
sc
[cm]
Z=Zgl
Rys. 8.2. Naprężenia styczne działające w punkcie A
5,0 5,0
[cm]
Rys. 8.3. Rozkład naprężeń stycznych w ściankach przekroju o profilu zamkniętym
1
2
3
a) b) c)
137,9 MPa 165,5 MPa
137,9 MPa 165,5 MPa
Rys. 8.4. Rozkład naprężeń stycznych. a) prostokąt numer 1, b) prostokąt numer 2, c) prostokąt numer 3
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
0
35
49,46 MPa
10,0
10,0
206,9 MPa
206,9 MPa
5
6
,
0
k
N
m
0
,
0
1
8
,
0
1
a
0
m
0
P
,
N
0
M
k
M
0
,
0
,
P
0
0
0
a
2
1
1
a
0
P
0
,
M
0
0
M
,
0
P
0
a
1
3
,
5
k
N
m
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 48
a) b)
2,0 kNm
2,0 kNm
Rys. 8.5. Rozkład maksymalnego naprężenia stycznego. a) w przekroju o profilu otwartym, b) w przekroju o profilu
zamkniętym
9. Ugięcia w belkach
9.1. Odpowiedz
do zadania 9/1 - wersja I
Rysunek 9.1 przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej. Jako
porównawczą sztywność na zginanie E"J0 przyjęto sztywność na zginanie w przedziale AB. Rysunek 9.2
przedstawia obciążenie wtórne belki fikcyjnej. Rysunek 9.3 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty
wtórnych reakcji w belce fikcyjnej. Wartość ugięcia w punkcie C wynosi
-85,33 -85,33
wC= = =-0,03469 m=-3,469 cm
.
EÅ"J0 2460
8,0 kN/m
16,0 kN
B
A
C
28,0 kN
52,0 kN
[m]
8,0 2,0
2460 kNm2 1230 kNm2
16,0
T(x) [kN]
3,5 4,5
M(x) [kNm]
3,5 4,5
Rys. 9.1. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce prostej
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
199,1 MPa
199,1 MPa
10,20 MPa
10,20 MPa
28,0
36,0
32,0
0,0
0,0
49,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 49
64,0
EÅ"J0
32,0
EÅ"J0
A
B C
64,0
EÅ"J0
4,0 4,0
[m]
8,0 2,0
Rys. 9.2. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej
32,0
EÅ"J0
A
B
85,33
128,0
EÅ"J0
EÅ"J0
64,0
EÅ"J0
4,0 4,0
64,0
EÅ"J0 85,33
EÅ"J0
B
C
85,33
EÅ"J0 21,33
EÅ"J0 [m]
8,0 2,0
Rys. 9.3. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej
9.2. Odpowiedz
do zadania 9/1 - wersja II
Jako porównawczą sztywność na zginanie E"J0 przyjęto sztywność na zginanie w przedziale BC.
Rysunek 9.4 przedstawia obciążenie wtórne belki fikcyjnej. Rysunek 9.5 przedstawia prawidłowe wartości
i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej. Wartość ugięcia w punkcie C wynosi
-42,67 -42,67
wC= = =-0,03469 m=-3,469 cm
.
EÅ"J 1230
0
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 50
32,0
EÅ"J0
16,0
EÅ"J0
A
B C
32,0
EÅ"J0
4,0 4,0
[m]
8,0 2,0
Rys. 9.4. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej
16,0
EÅ"J0
A
B
42,67
64,0
EÅ"J0
EÅ"J0
32,0
EÅ"J0
4,0 4,0
32,0
42,67
EÅ"J0
EÅ"J0
B
C
42,67
EÅ"J0
10,67
EÅ"J0 [m]
8,0 2,0
Rys. 9.5. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej
9.3. Odpowiedz
do zadania 9/2 - wersja I
Rysunek 9.6 przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej. Jako
porównawczą sztywność na zginanie E"J0 przyjęto sztywność na zginanie w przedziale AB. Rysunek 9.7
przedstawia obciążenie wtórne belki fikcyjnej. Rysunek 9.8 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty
wtórnych reakcji w belce fikcyjnej. Wartość kąta obrotu przekroju w punkcie C wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 51
4,5 kN/m
7,5 kNm
5,25 kNm
C
A
B
5,0 kN
8,5 kN
3,0 1,5
[m]
512,5 kNm2 615,0 kNm2
T [kN]
1,889 1,111
5,0
M [kNm]
1,889 1,111
Rys. 9.6. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej
6,25
5,25
EÅ"J0
EÅ"J0
B
A C
5,063
EÅ"J0
1,5 1,5
[m]
3,0 1,5
Rys. 9.7. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej
6,443 6,443
ËÄ…C= = =0,01257rad
.
EÅ"J0 512,5
9.4. Odpowiedz
do zadania 9/2 - wersja II
Jako porównawczą sztywność na zginanie E"J0 przyjęto sztywność na zginanie w przedziale BC.
Rysunek 9.9 przedstawia obciążenie wtórne belki fikcyjnej. Rysunek 9.10 przedstawia prawidłowe wartości
i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej. Wartość kąta obrotu w punkcie C wynosi
7,725 7,725
ËÄ…C= = =0,01256 rad
.
EÅ"J 615,0
0
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
8,5
7,5
5,25
2,778
0,0
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 52
6,25
5,25
EÅ"J0
EÅ"J0
B
A C
6,443
4,010
EÅ"J0
EÅ"J0
5,063
EÅ"J0
1,5 1,5
[m]
3,0 1,5
Rys. 9.8. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej
7,50
6,300
EÅ"J0
EÅ"J0
B
A C
6,076
EÅ"J0
1,5 1,5
[m]
3,0 1,5
Rys. 9.9. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej
7,50
6,300
EÅ"J0
EÅ"J0
B
A C
7,725
4,80
EÅ"J0
EÅ"J0
6,076
EÅ"J0
1,5 1,5
[m]
3,0 1,5
Rys. 9.10. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej
10. Wyznaczanie siły krytycznej prętów ściskanych osiowo
10.1. Odpowiedz
do zadania 10/1
Pole powierzchni oraz główne momenty bezwładności dla pręta ściskanego osiowo wynoszą odpo-
wiednio
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 53
,
A=156,2cm2
J =J =19620 cm4 ,
Y Ygl
J =J =11400 cm4
Z Zgl
Smukłość graniczna wynosi
ÁÄ…GR=99,35 .
Największa smukłość pręta występuje w płaszczyz
nie XZ i ma ona wartość
ÁÄ…=ÁÄ…Y=107,0 .
Smukłość ta jest większa niż smukłość graniczna. Pręt pracuje więc w zakresie sprężystym. Naprężenie
krytyczne wynosi
ÈÄ…KR=176,7 MPa .
Ostatecznie siła krytyczna wynosi
P =2760 kN
.
KR
10.2. Odpowiedz
do zadania 10/2
Pole powierzchni oraz główne momenty bezwładności dla pręta ściskanego osiowo wynoszą odpo-
wiednio
,
A=64,4cm2
J =J =2237cm4 ,
Y Ygl
J =J =3820cm4 .
Z Zgl
Smukłość graniczna wynosi
ÁÄ…GR=99,35 .
Największa smukłość pręta występuje w płaszczyz
nie XY i ma ona wartość
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo
WM Zbiór zadań z Wytrzymałości materiałów - odpowiedzi 54
ÁÄ…=ÁÄ…Z =38,95 .
Smukłość ta jest mniejsza niż smukłość graniczna. Pręt pracuje więc w zakresie sprężysto-plastycznym.
Naprężenie krytyczne wynosi
ÈÄ…KR=223,2 MPa .
Ostatecznie siła krytyczna wynosi
P =1437kN
.
KR
Dr inż. Janusz Dębiński Budownictwo