6
NAGRZEWANIE INDUKCYJNE
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
6.1.1. Rys historyczny
Nagrzewanie indukcyjne jest to nagrzewanie elektryczne polegające na generacji ciepła przy
przepływie prądów wirowych wywołanych zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej w
elementach sprzężonych magnetycznie.
W 36 lat po sformułowaniu przez Faradaya praw indukcji, S. Ferranti zaproponował
konstrukcję pieca elektrycznego, w czym prawa te okazały się pomocne (1887 r.). Idea
Ferrantiego polegała na potraktowaniu wtórnego uzwojenia transformatora jako wsadu
poddawanego topieniu po umieszczeniu go w rynnie ceramicznej. Uzwojenie pierwotne
układu tego rodzaju, czyli tzw. wzbudnik, było podzielone i umieszczone pod i nad rynną z
metalem. Rozwiązanie Ferrantiego zostało ulepszone przez A. Colby'ego (1890 r.) oraz F.
Kjellina (1899), którego często uważa się za twórcę pierwszego pieca indukcyjnego
nazywanego piecem Kjellina (rys. 6.1). W roku 1918 W. Rohn buduje indukcyjny piec
próżniowy. Wszystkie te piece należały do kategorii rdzeniowych, tzn. zapewniających
sprzężenie magnetyczne wzbudnika ze wsadem za pośrednictwem rdzenia, tak jak w trans-
formatorach. Wiadomo, że efekt przenoszenia energii ze wzbudnika do wsadu zwiększa się
przy wzroście częstotliwości, co umożliwia zmniejszenie wymiarów rdzenia lub całkowitą z
niego rezygnacjÄ™. MajÄ…c to na uwadze, E. Northrup patentuje w 1916 r. pierwszy piec
bezrdzeniowy. Jego pełną teorię opracował W. Esmarch 10 lat póz
niej.
Jednocześnie z pracami dotyczącymi wykorzystania zjawiska indukcji elektromagnetycznej do
topienia, rozwijano badania nad nagrzewaniem wsadów bez zmiany ich stanu skupienia.
Pierwsze zastosowania przemysłowe z tego zakresu dotyczyły nagrzewania w procesie
wytwarzania obręczy kół i są przypisywane Deweyowi (1889 r.). W roku 1926 V.P. Wołogdin
wprowadza tę technikę do hartowania powierzchniowego wsadów prądami wielkiej
częstotliwości wykorzystując zjawisko naskórkowości. W roku 1932
13
6. Nagrzewanie indukcyjne
_____________________________________________________________________________________________________
Rys. 6.1. Piec indukcyjny Kjellina (1899 r.)
l  wzbudnik, 2  ciekły metal, 3  rdzeń, 4  pierścieniowa rynna ceramiczna, 5  pokrywa
- stosujÄ…c patenty F. Denneena i W. Dunna - rozwiÄ…zano zagadnienie hartowania powie-
rzchniowego prądami średniej częstotliwości łożysk wałów korbowych [92]. Największy
jednak rozwój techniki nagrzewania indukcyjnego w procesach topienia, obróbki cieplnej
powierzchniowej, objętościowej (skrośnej) oraz w wielu innych dziedzinach przypada na lata
po n wojnie" światowej. Nowymi impulsami w tym dziale elektrotermii stały się wynalazki z
zakresu energoelektroniki, a zwłaszcza tyrystory i tranzystory dużej mocy stosowane do
budowy wysokosprawnych z
ródeł energii o częstotliwościach dostosowanych do wymagań
procesu technologicznego.
6.1.2. Podstawy teoretyczne metody
6.1.2.1. Równania Maxwella i Helmholtza
Określenie efektu grzejnego w ośrodku nagrzewanym metodą indukcyjną, bez względu na to
czy chodzi o topienie czy o podwyższenie temperatury bez zmiany stanu skupienia, wymaga
znajomości rozkładu z
ródeł ciepła, geometrii układu, cieplnych warunków granicznych oraz
parametrów fizycznych wszystkich materiałów należących do rozważanego układu. Problem
ten można rozwiąże na podstawie analizy równania lub układu równań Fouriera - Kirchhoffa.
Występujący w tym równaniu składnik określający rozkład z
ródeł ciepła daje się wyznaczyć z
równań Maxwella. Nie jest to zadanie łatwe jeśli się zważy, że w zakresach temperatur z jakimi
ma się do czynienia, zmianie ulegają zarówno parametry cieplne jak i elektryczne elementów
układu, co wymaga sprzężenia pól elektromagnetycznych z temperaturowymi i w konsekwen-
cji często rezygnacji z metod analitycznych rozwiązania zagadnienia. W przypadku topienia
indukcyjnego dodatkowo występuje pole sił elektromagnetycznych i przepływu metalu, co
jeszcze bardziej komplikuje procedury poszukiwania rozwiązań liczbowych, które nie rzadko
ogranicza
14
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
się do zakresu umożliwiającego uzyskanie tylko niektórych informacji potrzebnych do
zaprojektowania urządzeń do nagrzewania indukcyjnego i opracowania technologii. Z tego
względu, przy rozwiązywaniu zagadnień z jakimi spotykają się konstruktorzy i technolodzy
korzystający z techniki nagrzewania indukcyjnego, niezwykle cenna jest głęboka wiedza
empiryczna, która musi być jednak poparta niezbędnymi wiadomościami teoretycznymi.
Wynika to z ogromnej różnorodności układów grzejnych, z
ródeł zasilania, technologii,
wymagających rozwiązań indywidualnych o nie zawsze dostępnych lub znanych
pierwowzorach.
Przedstawione w dalszym ciągu równania Maxwella mają charakter ogólny i nie
ograniczają się do jakiegoś konkretnego układu. Uzyskanie szczegółowych rezultatów wymaga
przede wszystkim zdefiniowania geometrii układu, warunków granicznych, parametrów
materiałów i z
ródła energii, a następnie przekształcenia równań Maxwella do postaci
odpowiadającej konkretnemu przypadkowi. Przyjęcie - często daleko idących - założeń
upraszczających w procedurach obliczania układów rzeczywistych jest raczej regułą niż
wyjątkiem. Stąd też ogromna liczba prac teoretycznych poświęconych tej tematyce, m.in.
[185], [594].
Pole elektromagnetyczne w ośrodku nieruchomym jest jednoznacznie określone
pięcioma wielkościami wektorowymi: natężeniem pola elektrycznego E, indukcją elektryczną
D, gęstością prądu J, natężeniem pola magnetycznego H, oraz indukcją magnetyczną B, które
w ogólnym przypadku są funkcjami trzech zmiennych przestrzennych i czasu. Wielkości te
związane są równaniami Maxwella
"D
rot = J + (6.1)
"Ä
"B
rotE = - (6.2)
"Ä
divD = Á (6.3)
divB = 0 (6.4)
Pierwsze równanie Maxwella (6.1) jest uogólnioną i rozszerzoną na prądy przesunięcia
postacią różniczkową prawa Biota - Savarta. Jego prawa strona reprezentuje gęstości prądu
całkowitego, będącego sumą gęstości prądu przewodzenia i prądu przesunięcia. Drugie
równanie Maxwella (6.2) to różniczkowa i wektorowa postać prawa indukcji
elektromagnetycznej Faradaya. Jego sens fizyczny polega na tym, że zmienne w czasie pole
magnetyczne wytwarza pole elektryczne wirowe.
Zależności (6.3) i (6.4) wyrażają z
ródłowość pola elektrycznego i bezz
ródłowość pola
magnetycznego, przy czym p jest gęstością ładunku przestrzennego.
Jeśli możliwe jest przyjęcie jednorodności, izotropowości i liniowości ośrodka, to
B = µH (6.5)
D = µE (6.6)
15
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
przy czym właściwości ośrodka charakteryzuje: konduktywność ł , przenikalność magne-
tyczna µ oraz przenikalność elektryczna µ . Prawo Ohma w zapisie wektorowym ma dla ta-
kiego ośrodka postać
J = Å‚E (6.7)
Powyższych siedem zależności umożliwia wyznaczenie równań pola elektromagnetycznego
[51].
Przy zaÅ‚ożeniu, że Å‚adunek przestrzenny Á = 0 , parametry pola: µ = const , Å‚ = const sÄ…
jednorodne zaÅ› µ = var , czyli jest niejednorodne
2
îÅ‚ grad µ "H " H
Å‚Å‚
2
" H + grad = µÅ‚ + µµ (6.8)
ïÅ‚H µ śł
2
"Ä
"Ä
ðÅ‚ ûÅ‚
JeÅ›li zaÅ‚ożyć, że Á = 0 , Å‚ = const , µ = const , natomiast µ = var , można wyznaczyć równania
określające natężenie pola elektrycznego
2
grad µ "E " E
îÅ‚E Å‚Å‚
2
" E + grad = µÅ‚ + µµ (6.9)
ïÅ‚ śł 2
µ "Ä
ðÅ‚ ûÅ‚ "Ä
Gdy natężenia pola są sinusoidalnie zmienne w czasie, występuje stan quasi - ustalony i
wówczas
'"
jÈH jÉÄ jÉÄ
H = Hm sin( ÉÄ + ÈH )= Hme e = H e (6.10)
m
'"
jÈE jÉÄ jÉÄ
E = Em sin( ÉÄ + ÈE )= Eme e = E e (6.11)
m
zaś zależności (6.8) i (6.9) przyjmują postać
îÅ‚ grad µ Å‚Å‚
"2 H + grad = (jɵł - É2 µµ )H (6.12)
m ïÅ‚H µ śł m
m
ðÅ‚ ûÅ‚
grad µ
îÅ‚E Å‚Å‚
"2 E + grad = (jɵł - É2 µµ )E (6.13)
m m m
ïÅ‚ śł
µ
ðÅ‚ ûÅ‚
JeÅ›li Å›rodowisko jest jednorodne ( grad µ = 0, grad µ = 0 ), to otrzymane zwiÄ…zki
2
"2 H = (jɵł - É2 µµ )H = “ H (6.14)
m m m
2
"2 E = (jɵł - É2 µµ )E = “ E (6.15)
m m m
sÄ… równaniami Helmholtza zaÅ› “ jest tamownoÅ›ciÄ… jednostkowÄ….
16
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
Jeśli środowisko jest przewodzące, a pole wolnozmienne (quasi-stacjonarne) tzn. takie,
że można pominąć prÄ…dy przesuniÄ™cia ( Å‚ >> ɵ ) to równania (6.12) i (6.13) sprowadzajÄ… siÄ™
do związków
2
" H = jɵłH (6.16)
m m
"2 E = jɵłE (6.17)
m m
Identyczną postać mają równania pola dla wartości skutecznych E oraz H .
Jeśli w rozważanym układzie występują środowiska o różnych właściwościach
materiałowych, to na ich granicy muszą być spełnione następujące warunki:
 dla składowych normalnych wektora indukcji magnetycznej
B2n = B1n (6.18)
 dla składowych stycznych wektora natężenie pola elektrycznego
E2s = E1s (6.19)
 dla składowych stycznych wektora natężenia pola magnetycznego
H = H1s (6.20)
2s
 dla składowych normalnych wektora natężenia pola elektrycznego
µ2 E2n = µ1E1n (6.21)
Równania Helmholtza uzupełnione warunkami granicznymi stanowią podstawę do wy-
znaczenia natężenia pola magnetycznego i elektrycznego w stanie quasi-ustalonym i w
konsekwencji także mocy wydzielanej w indukcyjnym układzie grzejnym.
6.1.2.2. Moc w polu elektromagnetycznym
Bilans mocy pola elektromagnetycznego jest określony twierdzeniem Poyntinga, które wyraża
się następująco: moc przenikająca przez powierzchnię F do obszaru o objętości V jest
zużywana na zmianę energii pola elektromagnetycznego oraz jest wydzielana w postaci ciepła
w środowisku przewodzącym. Matematycznym zapisem tego twierdzenia dla ośrodka
nieruchomego, izotropowego, liniowego i pozbawionego ładunków, jest równanie
"Wem 2
- ExH )dF = + dV (6.22)
+"( +"Å‚E
"Ä
F
17
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
Iloczyn
ExH = S (6.23)
t.zn. że wektor Poyntinga jest liczbowo równy energii przechodzącej w jednostce czasu przez
pole o powierzchni jednostkowej prostopadłej do kierunku wektora S, czyli jest to gęstość
powierzchniowa mocy pola elektromagnetycznego.
Jeśli wektory E i H są sinusoidalnie zmienne w czasie, to wektor Poyntinga daje się
wyrazić w postaci zespolonej jako iloczyn wartości amplitudy zespolonej natężenia pola
elektrycznego i sprzężonej amplitudy zespolonej natężenia pola magnetycznego
1
"
S = ( E × H ) (6.24)
m m
2
Część rzeczywista Re( S ) wyraża powierzchniową gęstość mocy czynnej, a część urojona
Im( S ) - powierzchniową gęstość mocy biernej związaną z obszarem V o powierzchni ograni-
czajÄ…cej F.
S = = P + jQ (6.25)
+"SdF
F
Moc czynna zamieniana na ciepło
1
2 2
P = dV = - Å‚EmdV (6.26)
+"Å‚E +"
2
VV
a po uwzględnieniu prawa Ohma
J = Å‚E lub Jm = Å‚Em (6.27)
1 1
2 2
P = J dV = J dV = pV dV (6.28)
m
+" +" +"
2Å‚ Å‚
V V V
gdzie pV - gęstość objętościowa mocy wydzielanej w ośrodku, np. w nagrzewanym wsadzie -
jest określona wzorem
1
2
pV = J (6.29)
2
i jest poszukiwaną wielkością wchodzącą do równania Fouriera-Kirchhoffa, którego rozwią-
zanie umożliwia znalezienie pola temperatury
18
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
6.1.2.3. Ogólna charakterystyka metod obliczeń i analizy pól
elektromagnetycznych w indukcyjnych układach grzejnych
Wybór metody obliczeń i analizy (badań) parametrów elektromagnetycznych zależy od
geometrii i właściwości układu, celu badań (nie zawsze chodzi o rozkład natężeń pól i mocy),
będących do dyspozycji środków technicznych i obliczeniowych oraz kwalifikacji osoby lub
zespołu podejmującego zadanie. Jeśli chodzi o cele badań, to można wyodrębnić trzy ich
kategorie: wstępne obliczenia urządzenia lub procesu technologicznego, pełne obliczenia
projektowanego lub eksploatowanego urządzenia przy optymalizacji jego parametrów
eksploatacyjnych, badania urządzeń określonego typu w celu wyjaśnienia przebiegu procesów
elektromagnetycznych i dopasowania ich do zmienionych warunków eksploatacyjnych (np.
inny materiał wsadu, inna częstotliwość, zmodyfikowany wzbudnik itp.) [594]. Najbardziej
efektywną metodą osiągania tych celów jest korzystanie z zaawansowanych komputerowych
lub zautomatyzowanych systemów projektowania [385],[651], [669].
Wyodrębnioną grupę metod obliczeń i analizy stanowią te, które stosuje się w
systemach sterowania mikroprocesorowego urządzeniami indukcyjnymi. Muszą to być metody
na tyle proste, by wyniki obliczeń można było otrzymywać w czasie rzeczywistym lub
wyprzedzajÄ…cym proces w warunkach ograniczonych mocy obliczeniowych. Klasyfikacja
najbardziej rozpowszechnionych metod jest przedstawiona na rys. 6.2.
Rys. 6.2. Klasyfikacja podstawowych metod obliczeń i analizy indukcyjnych układów grzejnych
19
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
Charakter i objętość niniejszej książki nie pozwalają na ich szczegółową charakterystykę.
Niektóre z nich będą stosowane przy omawianiu zasad nagrzewania indukcyjnego, natomiast
w celu nabycia umiejętności posługiwania się nimi. Czytelnik powinien sięgnąć do literatury
specjalistycznej. Z nowych książek należy wymienić pozycje [527], [594], [651], a także
wartościowe starsze pozycje [185], [405], [558], [618], [663], [682], które powinny być
uzupełnione specjalistycznymi pracami z zakresu matematyki (np. [570]), techniki
modelowania (np. [116]) oraz elektrodynamiki (np. [578], [700]).
6.1.2.4. Indukcyjne układy grzejne
Indukcyjnym układem grzejnym nazywany będzie model strukturalny członu podstawowego
rzeczywistego indukcyjnego urządzenia grzejnego wraz z nagrzewanym wsadem (ośrodkiem).
Modele strukturalne, czyli układy zastępcze o parametrach geometrycznych oraz fizycznych
zbliżonych do charakteryzujących obiekty rzeczywiste konstruuje się wychodząc z różnych
przesłanek. Najczęściej wszelkiego rodzaju uproszczenia wynikają z dążenia do ułatwienia czy
wręcz umożliwienia opisu matematycznego interesujących zjawisk, czyli sformułowania takich
modeli matematycznych, które pozwoliłyby na uzyskanie informacji poszukiwanych np. przez
konstruktora lub technologa. W nielicznych istniejÄ…cych systemach klasyfikacyjnych
indukcyjnych układów grzejnych występuje zawsze przesłanka  metody obliczeniowej". Otóż
układy te klasyfikuje się bądz
według bardzo ogólnie rozumianych kryteriów konstrukcyjnych
(konfiguracja, rodzaj materiałów, częstotliwość zmian pola elektromagnetycznego), z
przyporządkowaniem właściwej metody obliczeniowej, bądz
według kryteriów metod
obliczeniowych, z przyporządkowaniem każdej metodzie układów o określonych cechach
konstrukcyjnych [527].
Jeśli założyć, że indukcyjny układ grzejny tworzą trzy elementy będące modelami:
 wzbudnika, czyli odpowiednio ukształtowanego przewodnika lub zespołu przewodników,
stanowiÄ…cego z
ródło pola elektromagnetycznego;
 poddawanego nagrzewaniu wsadu;
 ewentualnego wyposażenia, które służy polepszeniu sprzężenia magnetycznego wzbudnika
ze wsadem;
to większość takich układów daje się sklasyfikować na podstawie czterech grup kryteriów
konstrukcyjnych. Dotyczą one konfiguracji układu, pola elektromagnetycznego, wzbudnika i
wsadu (rys. 6.3).
Kryterium klasyfikacji układu prowadzi do wyodrębnienia sześciu podstawowych
typów układów przedstawionych na rys. 6.4.
Sprzężenie magnetyczne między wzbudnikiem i wsadem można polepszyć stosując
różnego rodzaju magnetowody. Są one stosowane zwłaszcza przy małych częstotliwościach i
trasujÄ… drogÄ™ strumienia magnetycznego. Boczniki magnetyczne to rdzenie otwarte
umieszczone w stosunku do wzbudnika i wsadu w sposób zmniejszający strumień
rozproszenia. Koncentratory służą do kierowania strumienia magnetycznego na określony
fragment powierzchni wsadu przy jego lokalnym nagrzewaniu. Schematy trzech układów z
magnetowodami sÄ… pokazane na rys. 6.4b, d, f.
20
6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________________________________
Rys. 6.3. Klasyfikacja podstawowych indukcyjnych układów grzejnych uwzględniająca kryteria konstrukcyjne
21
6. Nagrzewanie indukcyjne
_________________________________________________________________________________
Rys. 6.4. Podstawowe konfiguracje indukcyjnych układów grzejnych: a) wsad we wnętrzu wzbudnika;
b) wsad we wnętrzu wzbudnika z bocznikami magnetycznymi; c) wsad na zewnątrz wzbudnika;
d) wsad na zewnątrz wzbudnika z rdzeniem zamkniętym; e) wsad poza wzbudnikiem; f) wsad poza
wzbudnikiem, z rdzeniem ze szczelinÄ…
l - wzbudnik, 2 - wsad, 3 - magnetowód
Kryterium częstotliwości ma oczywisty związek ze wszystkimi elementami składowymi
układu, a sprawa podziału częstotliwości jest w większym stopniu związana z techniką
generacji pól aniżeli z metodami obliczeniowymi.
Ze wzbudnikiem sÄ… zwiÄ…zane cztery kryteria konstrukcyjne. Pierwsze z nich - kryterium
względnej grubości ścianki wzbudnika nawiązuje do zależności strat mocy czynnych we
wzbudniku od ilorazu grubości ścianki liczonej od strony wsadu g1 i głębokości wnikania
prÄ…du we wzbudnik ´1 (zjawisko naskórkowoÅ›ci). Iloraz tych wielkoÅ›ci nie powinien być
mniejszy niż okreÅ›lona wartość graniczna (g1 / ´1 )gr ponieważ powoduje to gwaÅ‚towny
wzrost strat mocy (p. 6.1.3.1). Pozostałe trzy kryteria są związane z przekrojem przewodnika, z
którego wzbudnik jest wykonywany (przy profilach rurowych stosuje się chłodzenie cieczą), z
kształtem, dostosowanym do nagrzewanego wsadu lub jego fragmentu oraz z liczbą warstw we
wzbudniku.
Kryteria odnoszące się do wsadu mają największy wpływ na wybór metody obliczeniowej.
Dotyczą one jego kształtu, rodzaju oraz właściwości wsadu, z których największe problemy
sprawia przenikalność magnetyczna, bardzo często zależna zarówno od natężenia pola
magnetycznego, jak i temperatury. Stąd też modele matematyczne procesów nagrzewania
ferromagnetyków są złożone, zwłaszcza wówczas, gdy zagadnień tych nie daje się sprowadzić
do jednowymiarowych i jednorodnych.
22
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
____________________________________________________________________________
Rys. 6.5. Przykłady indukcyjnych układów grzejnych: a) i b) z polem podłużnym; c) z polem poprzecznym
l - wzbudnik, 2 - wsad, 3  magnetowód
Rozgraniczenie wsadów na dwie kategorie ze względu na tzw. grubość względną wiąże się
także z gÅ‚Ä™bokoÅ›ciÄ… wnikania pola ´2 i gruboÅ›ciÄ… wsadu g2 liczonÄ… od powierzchni, przez
którą wnika energia pola elektromagnetycznego. Jeśli wielkości te są porównywalne, moc
czynna generowana we wsadzie bardzo silnie zależy od ich ilorazu. Gdy głębokość wnikania
jest znacznie mniejsza od tej grubości, moc wydzielana we wsadzie ma z nią pomijalnie mały
związek. Usytuowanie powierzchni wsadu względem linii pola magnetycznego rozstrzyga w
dużym stopniu o postaci warunków granicznych. To kryterium jest często podstawą
wyodrębnienia nagrzewania w polu podłużnym i w polu poprzecznym. W wielu układach
modelowych (geometrycznie prostych) pole podłużne charakteryzuje się tym, że wektor
natężenia pola magnetycznego ma kierunek styczny do powierzchni wsadu i jego osi
równoległej do osi wzbudnika. Przypadek ten zachodzi np. gdy układ rzeczywisty może być
zastąpiony modelem strukturalnym o wymiarze liniowym nieskończenie wielkim w kierunku
linii pola magnetycznego (rys. 6.5a, b). Jeżeli wektor natężenia pola magnetycznego ma
kierunek prostopadły do powierzchni wsadu i jego osi, to pole magnetyczne, które
charakteryzuje ten wektor nazywa się polem poprzecznym (rys. 6.5c). Pola w układach, w
których kierunek linii pola nie jest ani równoległy, ani styczny do powierzchni wsadu są
znacznie trudniejsze do analizy.
6.1.2.5. Wsady płaskie w podłużnym polu elektromagnetycznym
W niniejszym punkcie zostaną rozpatrzone trzy przypadki, a mianowicie: padanie fali płaskiej
spolaryzowanej liniowo na półprzestrzeń przewodzącą, jednostronne padanie
23
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
takiej fali na płytę przewodzącą i dwustronne padanie na płytę przewodzącą [652]. We
wszystkich trzech przypadkach chodzi o zagadnienia jednowymiarowe z wsadem jedno-
rodnym. Fala płaska jest falą charakteryzującą się tym, że jej powierzchnia falowa (miejsce
geometryczne punktów ośrodka, w których - w rozpatrywanej chwili czasu - faza fali ma tę
samą wartość) jest płaszczyzną. Fala elektromagnetyczna płaska jest falą poprzeczną, czyli
falą, której wektory E i H są prostopadle do kierunku propagacji. Przyjęcie założenia o
liniowej polaryzacji fali oznacza uznanie wektorów E za równoległe w całym obszarze pola.
To samo dotyczy wektorów H.
Fala płaska spolaryzowana liniowo jest najprostszym przypadkiem fal elektro-
magnetycznych, ale w analizie wielu zagadnień praktycznych założenie to jest dopuszczalne, a
ponadto ma tę zaletę, że gwarantuje pożądaną prostotę obliczeń.
Przyjmując, że kierunek przekazywania energii do odbiornika oraz energii traconej we
wzbudniku jest zgodny z kierunkiem osi x prostokątnego prawoskrętnego układu
współrzędnych (rys. 6.6), oraz, że wektory E i H są sinusoidalnie zmienne w czasie (fala
harmoniczna) możemy zapisać
Em = jE (6.30)
my
Hm = k H (6.31)
mz
W rzeczywistości wektory E nie są równoległe w obszarze między z
ródłem (wzbudnikiem) i
odbiornikiem (wsadem), ponieważ oprócz składowej Ey istnieje składowa Ex skierowana od
z
ródła do odbiornika. Natężenie pola magnetycznego ma tylko jedną składową, a wobec tego
oprócz mocy przekazywanej z przestrzeni między z
ródłem i odbiornikiem do wsadu i
wzbudnika ma miejsce transport mocy w kierunku -y, czyli w kierunku zgodnym z
przepływem prądu w z
ródle promieniowania fali.
Wychodząc z równania (6.16) oraz uwzględniając przyjęte założenia, zgodnie z
którymi
"2 H "2 H
m m
= = 0 (6.32)
"y2 "z2
czyli
2
"2 H d H
m m
"2 H = = (6.33)
m
"x dx2
otrzymuje siÄ™
2
d H
m
= jɵłH (6.34)
m
dx2
przy czym H = H ( x )k .
m mz
24
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
______________________________________________________________________
Rys. 6.6. Padanie fali płaskiej spolaryzowanej liniowo na półprzestrzeń przewodzącą (wsad)
H - amplituda natężenia pola magnetycznego (o stałej wartości w obszarze miedzy wzbudnikiem i
m
wsadem); - amplituda natężenia pola elektrycznego (w rzeczywistości jest to amplituda składowej
E
m
stycznej wektora natężenia pola elektrycznego); H , E2m0 , J2m0  wartości amplitud natężenia pola
2m0
magnetycznego, elektrycznego i gęstości prądu na powierzchni wsadu (tzn. dla x = 0 );
); l1
H1m0 , E1m0 , J1m0 - jw. lecz na powierzchni wzbudnika (przy H1m0 = H2m0 - wysokość
fragmentu wzbudnika "l1 = l1 / n (n - liczba izolowanych od siebie elementów wzbudnika)
Upraszczając przez pominięcie w oznaczeniach składowych wektorów pola indeksy y i z oraz
przyjmując, że
2
jɵł = “ (6.35)
otrzymuje siÄ™
2
d H
m
- “ H = 0 (6.36)
m
dx2
25
6. Nagrzewanie indukcyjne
_______________________________________________________________________________________________________
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
H = [C exp(- “x)+ D exp(“x)]k (6.37)
m
przy czym C i D są stałymi wyznaczanymi z warunków brzegowych. Z kolei wykorzystując
równania Maxwella (6.1) i pomijajÄ…c prÄ…dy przesuniÄ™cia ( µ"E / "Ä = "D / "Ä = 0 ), po
uwzględnieniu prawa Ohma (6.7), otrzymuje się
1
E = rot H (6.38)
m M
Å‚
Zgodnie z definicjÄ…
"H
ëÅ‚ "H öÅ‚ "H "H
ëÅ‚ öÅ‚
my
mz mx mz
ìÅ‚ - ÷Å‚
rot H = " × H =
m m
ìÅ‚ ÷Å‚i + ìÅ‚ "z - ÷Å‚ j +
"y "z "x
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(6.39)
"H
ëÅ‚ öÅ‚
"H
my
mx
ìÅ‚ - ÷Å‚
+
ìÅ‚ ÷Å‚k
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
W rozważanym układzie wektor H nie jest funkcją współrzędnych y, z, ponadto składowe
m
H = H = 0 , a więc
mx my
"H
m
rot H = - j (6.40)
m
"x
Podstawiając wyrażenie (6.40) do (6.38) otrzymuje się zależność
1 "H
m
E = j (6.41)
m
Å‚ "x
Biorąc pod uwagę zależność (6.37) oraz (6.31), otrzymuje się wyrażenie
"H
m
= -“[C exp(- “x)- D exp(“x)] (6.42)
"x
które po podstawieniu do (6.41) przyjmuje postać
“
E = [C exp(- “x)- D exp(“x)]j (6.43)
m
Å‚
lub po uwzględnieniu (6.30)
“
E = [C exp(- “x)- D exp(“x)] (6.44)
m
Å‚
Pierwszy składnik wzorów (6.37) i (6.44) odpowiada fali padającej, drugi - odbitej.
26
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
____________________________________________________________________________
Padanie fali płaskiej na półprzestrzeń przewodzącą jest przypadkiem, w którym nie
następuje odbicie fali od powierzchni wsadu przeciwległej do tej, przez która fala wnika. We
wzorach (6.37) i (6.44) falę odbitą charakteryzuje drugi ich składnik. Wprowadzając
oznaczenie indeksem 2 wszystkich wielkości związanych ze wsadem1, w przypadku
D2 = 0 otrzymuje się zależności
H = C exp(- “ x)k (6.45)
2m 2
“
2
E = C exp(- “ x)j (6.46)
2m 2
Å‚2
Wyznaczenie stałej całkowania wymaga określenia warunku brzegowego. Zakładając, że na
powierzchni wsadu (x=0) amplituda natężenia pola magnetycznego jest równa
H ( x = 0) = H = k H , z (6.45) otrzymuje siÄ™ C = H . Wobec tego
2m 2m0 2m0 2 2mo
H = H exp(- “ x) = H exp(- “ x)k (6.47)
2m 2m0 2 2m0 2
“
2
E = H exp(- “ x)j (6.48)
2m 2
Å‚2 2m0
Współczynnik “ zgodnie z (6.35)
2
2jɵ2ł2 ɵ2ł2 1 + j
“ = jɵł = = (1 + j) = (6.49)
2
2 2 ´2
Zależność ta zawiera jedną z najważniejszych wielkości charakteryzujących nagrzewanie
indukcyjne, a mianowicie głębokość wnikania pola elektromagnetycznego. Przy wyrażeniu jej
w metrach
2 1
´2 = = 503,29 (6.50)
ɵ2Å‚2 fµ2r Å‚2
gdzie: µ2 = µ0 µ2r = 4Ä„ Å"10-7 µ2r ,É = 2Ä„f ( µ2r -przenikalność magnetyczna wzglÄ™dna).
Ponieważ
ëÅ‚ 1 1 öÅ‚ Ä„ Ä„
öÅ‚
1 + j = 2ìÅ‚ + j ÷Å‚ = 2ëÅ‚cos + jsin (6.51)
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
2 2 íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
W celu ujednolicenia oznaczeń, wielkości związane ze z
ródłem promieniowania (wzbudnikiem) będą miały
indeks l, ze wsadem - 2, wielkości zaś związane z obszarem propagacji między z
ródłem i odbiornikiem (zwykle
powietrze) - indeksem 3. Indeksy są pomijane w rozważaniach ogólnych oraz w przypadkach, gdy wprowadzane
wielkości dotyczą więcej niż jednego środowiska.
27
 6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________________
a dla x=0 z (6.10)
jÉÄ jÈH jÉÄ
H e k = H e e k (6.52)
2m0 2m0
to przyjmujÄ…c, że H jest wielkoÅ›ciÄ… rzeczywistÄ…, czyli, że jego faza poczÄ…tkowaÈH = 0 ,
2m0
otrzymuje się następujące wyrażenia na wektory pola elektromagnetycznego:
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x x
ìÅ‚
H = H2m0 expìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷łśł
jìÅ‚ÉÄ k (6.53)
2m
´2 ÷Å‚expïÅ‚ ´2 ÷Å‚ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 x x Ä„
ìÅ‚ ÷łśł
E = H2m0 expìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚ - + j (6.54)
jìÅ‚ÉÄ
2m
÷Å‚
Å‚2´2 ´2 ÷Å‚expïÅ‚ ´2 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Gęstość prądu indukowanego w półprzestrzeni przewodzącej, zgodnie z prawem Ohma
J = Å‚2 E
2m 2m
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 x x
ìÅ‚
J = H expìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷łśł
jìÅ‚ÉÄ j (6.55)
2m
´2 2m0 íÅ‚ ´2 ÷Å‚expïÅ‚ íÅ‚ ´2 ÷Å‚ûÅ‚
Å‚Å‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
Z trzech ostatnich zależności wynika, że natężenie pola elektrycznego i gęstość prądu
indukowanego wyprzedzają natężenia pola magnetycznego o Ą / 4 , zaś amplitudy wszystkich
trzech wektorów maleją wykładniczo w funkcji odległości od powierzchni, przez którą energia
pola wnika, czyli:
ëÅ‚ öÅ‚
x
ìÅ‚
H expìÅ‚- ÷Å‚
= H (6.56)
2m0
´2 ÷Å‚ 2m
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 x
ìÅ‚
H expìÅ‚- ÷Å‚
= E2m (6.57)
Å‚2´2 2m0 íÅ‚ ´2 ÷Å‚
Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 x
ìÅ‚
H expìÅ‚- ÷Å‚
= J2m (6.58)
Å‚2 2m0 íÅ‚ ´2 ÷Å‚
Å‚Å‚
W odlegÅ‚oÅ›ci x = ´2 od powierzchni wnikania fali do odbiornika (wsadu) amplitudy
H2m ,E2m ,J2m maleją e-razy. Oznacza to, że głębokość wnikania fali harmonicznej można
zdefiniować jako taką odległość od powierzchni wnikania, w której zarówno amplitudy jak i
wartości skuteczne natężenia pola magnetycznego, elektrycznego oraz gęstości prądu maleją
do 0,368 wartości maksymalnej występującej na powierzchni wnikania fali (rys. 6.7).
Tłumienie fali jest spowodowane wywołaniem w odbiorniku (wsadzie) prądów wirowych,
które generują własne pole magnetyczne, skierowane przeciwnie do H i osłabiają pole
2m
pierwotne. Osłabienie to jest tym większe, im dalej od powierzchni.
28
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
____________________________________________________________________________
Rys. 6.7. Rozkład podstawowych wielkości elektromagnetycznych w półprzestrzeni przewodzącej przy padaniu
na jej .powierzchnię fali płaskiej w odniesieniu do wartości maksymalnych (tzn. dla x = 0); obszar
zakreskowany oznacza, że identyczną moc grzejną jak w układzie rzeczywistym można uzyskać przy
przepÅ‚ywie prÄ…du o staÅ‚ej gÄ™stoÅ›ci J2m = H2m / 2 w warstwie o gruboÅ›ci ´2 ;
H2m i E2m - amplitudy natężenia pola magnetycznego i elektrycznego, J2m - amplituda gęstości
prÄ…du, p2V - gÄ™stość objÄ™toÅ›ciowa mocy czynnej, x/´2 - współrzÄ™dna wzglÄ™dna (odniesiona do
gÅ‚Ä™bokoÅ›ci wnikania ´2 )
Częstotliwość tych prądów we wsadzie jest oczywiście taka sama jak częstotliwość fali
wnikającej, inna jest natomiast jej długość. Przy częstotliwości zmian fali f = 50 Hz jej długość
w powietrzu 3 = 6000 km natomiast po wniknięciu do metalu zmniejsza się do wartości
2 = 2Ä„´2 , co wynika z zależnoÅ›ci (6.53). Na przykÅ‚ad dla Cu w temperaturze 20°C, przy f =
50 Hz, 1 H" 6,3 cm.
Amplitudy E2m ,H2m ,J2m dla x = 2 sÄ… równe exp(- 2 / ´2 ) = exp(- 2Ä„)= 0,00187, czyli
0,187% wartości maksymalnej. Przy x = 2 / 2 wartości tych amplitud stanowią tylko 4,3%
wartości maksymalnych, a więc wsad, którego grubość g =>> 2 / 2 może być uznany za
półprzestrzeń przewodzącą, ponieważ bardziej odległe od powierzchni obszary nie mają
praktycznego wpływu na zjawiska elektromagnetyczne. Mają one jednak bardzo istotny wpływ
na procesy cieplne.
Niezbędną do obliczenia rozkładu H2m( x ),E2m( x) i J2m( x) wartość natężenia pola
magnetycznego na powierzchni wsadu H obliczyć można ze wzoru
2m0
H = I1m1 / l1 = H1m0 (6.59)
2m0
w którym I1m1 jest amplitudą prądu we wzbudniku o wysokości l1 (rys. 6.6).
29
 6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
Praktycznie taką samą wartość natężenia pola magnetycznego można uzyskać przy mniejszych
wartościach prądu aniżeli I1m1 dzieląc jednolity wzbudnik o wysokości l1 na n izolowanych od
siebie elementów (przewodów) o wysokości "l1 = l1 / n . Prąd w takim elemencie
I1m1 / n = I1m , stÄ…d
nI1m
H1m0 = = wl I1m = 2I1wl (6.60)
l1
przy czym: wl - gęstość zwojów we wzbudniku, I1- wartość skuteczna prądu w pojedynczym
przewodzie o wysokości "l1 .
Rozkład gęstości objętościowej mocy czynnej we wsadzie oblicza się z zależności (6.29) i
6.58) pamiętając, że J = 2J2
2m
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2x ɵ2 2 ëÅ‚ öÅ‚
2x
2 2
ìÅ‚
p2V = J2 = H2m0 expìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚
= H2m0 expìÅ‚- ÷Å‚
=
Å‚2 Å‚2´2 ´2 ÷Å‚ 2 ´2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(6.61)
ëÅ‚ öÅ‚
2x
2
ìÅ‚
= ɵ2H expìÅ‚- ÷Å‚
20
´2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
przy czym H20 jest wartością skuteczną natężenia pola magnetycznego na powierzchni wsadu,
równą wartości skutecznej natężenia tegoż pola w przestrzeni między wzbudnikiem i wsadem.
Całkowita moc czynna wydzielająca się w nieskończenie długim prostopadłościanie o
podstawie l m x l m zlokalizowanym na powierzchni, przez którą wnika fala do półprzestrzeni
jest wyrażona wzorem
" "
ëÅ‚ öÅ‚
1 2x 1 1
2 2 2
ìÅ‚
P2 = p2V dx = H expìÅ‚ - ÷Å‚
= H = H (6.62)
+" 2 +"
Å‚2´2 2m0 íÅ‚ ´2 ÷Å‚dx 2Å‚2´2 2m0 Å‚2´2 20
Å‚Å‚
x=0 x=0
Moc wydzielajÄ…ca siÄ™ w warstwie przypowierzchniowej o gruboÅ›ci x = ´2 równa jest
0,8647P2, czyli 86,47% mocy caÅ‚kowitej. W warstwie o gruboÅ›ci 2´2 wydziela siÄ™ 98,16%P2, a
gruboÅ›ci 3´2 aż 99,75%P2, czyli praktycznie caÅ‚a moc [652].
Natężenie prądu indukowanego w elemencie półprzestrzeni o wysokości l (rys. 6.6)
"
l2 J
2m0
I2m1 = l2 J dx = l2H = ´2 = J ´2l2 (6.63)
2m 2m0 20
+"
2
x=0
Oznacza to, że rzeczywisty wykładniczy rozkład prądu we wsadzie może być zastąpiony
prÄ…dem równoważnym o staÅ‚ej gÄ™stoÅ›ci w warstwie o gruboÅ›ci ´2 .
Impedancję jednostkową przewodnika masywnego (np. wsadu) w postaci półprzestrzeni
(wyrażoną w &!) określa się odnosząc ją do jednostkowej długości "y = l m
30
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
_______________________________________________________________________________________________________
oraz jednostkowej wysokości przewodnika l2 = 1 m. Grubość jest przy tym nieskończenie
wielka (rys. 6.6). Taką samą wartość impedancji jednostkowej ma przylegający do powierzchni
wnikania fragment półprzestrzeni o wymiarach ´2 ×l ×"y , przy zaÅ‚ożeniu, że dla 0 d" x < ´2
2
wartość E2m( x ) = idem = E2m0 , a co za tym idzie I ( x ) = idem = I :( l2´2 ). Zgodnie z
2m 2m1
tym, oraz uwzględniając zależność (6.63), otrzymuje się
U "yE2m0 E2m0 1+ j 1 1
2m1
Z = = = = = + j = R21 + jX (6.64)
21 21
I l2 H H Å‚2´2 Å‚2´2 Å‚2´2
2m1 2m0 2m0
przy czym: U2m1 - napięcie na elemencie półprzestrzeni (wsadu) o długości "y = 1 m wyra-
żone w V, I2m1 - prÄ…d przepÅ‚ywajÄ…cy przez wycinek półprzestrzeni o przekroju l2´2 .
Oznacza to, że warstwa przypowierzchniowa półprzestrzeni o gruboÅ›ci ´2 ma takÄ…
samą rezystancję dla prądu stałego, jaką cała półprzestrzeń przedstawia dla prądu przemien-
nego.
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej (moc przepływająca przez powierzchnię od-
daloną od brzegu o x) określa wektor Poyntinga (6.24)
ëÅ‚ öÅ‚
1 1+ j 2x
"
2
ìÅ‚
(6.65)
S = (E × H )= H2m0 expìÅ‚- ÷Å‚
2 2m 2m
2 2Å‚2´2 ´2 ÷Å‚i
íÅ‚ Å‚Å‚
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej (w V " A/m2) wnikającej do wsadu przez powierzch-
niÄ™ x = O
1+ j
2
S20 = H2m0 = p20 + jq20 (6.66)
2Å‚2´2
przy czym
1
2
p20 = Re( S20 ) = H2m0 (6.67)
2Å‚2´2
1
2
q20 = Im( S20 ) = H2m0 (6.68)
2Å‚2´2
Uwzględniając w (6.67) związek (6.60) dla jednostkowej powierzchniowej mocy czynnej, wy-
rażonej w W/m, otrzymuje się
1
p20 = ( I1wl )2 (6.69)
2Å‚2´2
31
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
Po przekształceniu
p20 = 2Ä„ Å"10-3( I1wl )2 0.1µ2r f / Å‚2 H" 2 Å"10-3( I1wl )2 µ2r f / Å‚2 =
(6.70)
= 2 Å"10-3( I1wl )K2 p f
elektromagnetycznego przy czym K2 p = µ2r / Å‚2 - współczynnik pochÅ‚aniania energii pola.
Wyrażenie na gęstość powierzchniową mocy biernej jest analogiczne. Współczynnik mocy dla
odbiornika jakim jest półprzestrzeń przewodząca ma postać
P2 P20 1
cos Ć2 = = = = 0.707 (6.71)
2 2 2
P22 + Q2 p20 + q20 2
co oznacza, że nie zależy on od parametrów elektromagnetycznych półprzestrzeni µ2 oraz Å‚2 ,
a także od częstotliwości fali elektromagnetycznej.
Jednostronne padanie fali płaskiej na płytę przewodzącą jest przypadkiem, w
którym modelem strukturalnym układu rzeczywistego nie może być półprzestrzeń, ponieważ
głębokość wnikania fali jest porównywalna z grubością układu rzeczywistego. Sprawia to, że
zjawisko pochłaniania fali komplikuje się wskutek odbicia fali od powierzchni przeciwległej
do tej, przez którą fala wnika.
Zakładając, że za płytą o grubości g2 , czyli dla x > g2 znajduje się powietrze o
parametrach µ2 = µ0 , Å‚3 = 0, µ3 = µ0 , zgodnie z zależnoÅ›ciami (6.37), (6.43), rozwiÄ…zania
równań pola elektromagnetycznego mają postać:
 w płycie (obszar 2 dla 0 d" x d" g2 )
H = [C exp(- “ x)+ D2 exp(“ x)]k (6.72)
2m 2 2 2
“
2
E = [C exp(- “ x)- D2 exp(“ x)]j (6.73)
2m 2 2
Å‚2 2
 w powietrzu (obszar 3 dla x > g2 )
H = C exp(- Ä…3 x)k (6.74)
3m 3
µ0
E = [C exp(- Ä…3 x)]j (6.75)
3m
µ0 3
przy czym Ä…3 = jÉ µ0µ0 .
Zależności (6.74), (6.75) otrzymuje się z rozwiązania równań pola (6.12), (6.13) dla
dielektryka idealnego ( ł3 = 0 ) przy założeniu, że H i E powinny mieć wartość
3m 3m
32
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
_______________________________________________________________________________________________________
skończoną przy x " ( D3 = 0 ). Stałe C3 ,C2 ,D2 wyznacza się z warunków brzegowych, w
myśl których H = H dla x = 0 oraz H = H i E2m = E3m dla x = g2 [652].
2m 2m0 2m 3m
Uwzględniając fakt, że w obszarze 2 ma miejsce nakładanie się fali padającej i odbitej,
wynikowe wektory natężenia pola magnetycznego, elektrycznego i gęstości prądu są określone
wzorami
sinh[“ (g2 - x)]k = H k
2
H = H (6.76)
2m 2m0 2m
sinh( “ g2 )
2
1 + j cosh[“ (g2 - x)]
2
E = H j = E j (6.77)
2m 2m0 2m
Å‚2´2 sinh( “ g2 )
2
J = Å‚2 E2m = J j (6.78)
2m 2m
przy czym ´2 jest gÅ‚Ä™bokoÅ›ciÄ… wnikania w pÅ‚ytÄ™ o konduktywnoÅ›ci Å‚2 .
Moduły tych wektorów
cosh[ 2( g2 - x ) / ´2 ] - cos[ 2( g2 - x ) / ´2 ]
H2m = H2m0 (6.79)
cosh( 2g2 / ´2 ) - cos(2g2 / ´2)
2H2m0 cosh[ 2( g2 - x ) / ´2 ] + cos[ 2( g2 - x ) / ´2 ]
E2m = (6.80)
Å‚2´2 cosh( 2g2 / ´2 ) - cos(2g2 / ´2)
J2m = Å‚2E2m (6.81)
Otrzymane rezultaty pokazano na rys. 6.8. Natężenie pola magnetycznego
H ( g2 ) = 0 , ponieważ jego składowa pierwotna jest w przeciwfazie do składowej odbitej.
2m
Rzecz ma się inaczej w przypadku natężenia pola elektrycznego, którego składowa pierwotna i
wtórna są w fazie i dlatego dla 0 d" x d" g jego amplituda jest większa aniżeli w przypadku
wnikania fali do półprzestrzeni, czyli w warunkach nie występowania odbicia.
Z przedstawionych na rys. 6.8 krzywych wynika, że dla pÅ‚yt o g2 / ´2e" 3 oddziaÅ‚ywanie
pola z płytą i półprzestrzenią pod względem elektromagnetycznym jest praktycznie takie same.
Do obliczeń mogą być w takich przypadkach stosowane wzory obowiązujące dla
półprzestrzeni.
Znajomość rozkładu gęstości prądów (6.81) umożliwia zgodnie z (6.29) obliczenie
rozkładu gęstości objętościowej mocy czynnej we wsadzie (rys. 6.8)
1 1 cosh[ 2( g2 - x / ´2 ] + cos[ g2 - x ) / ´2 ]
2 2
p2V = J2m = H2m0 (6.82)
2
2Å‚2 Å‚2´2 cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 )
33
6. Nagrzewanie indukcyjne
_________________________________________________________________________
Rys. 6.8. Rozkład podstawowych wielkości elektromagnetycznych w płycie przewodzącej przy jednostronnym
padaniu na jej powierzchnię fali płaskiej w odniesieniu do wartości maksymalnych (tzn. x = 0) dla kilku
gruboÅ›ci wzglÄ™dnych pÅ‚yty g2/´2
H2m, E2m - amplituda natężenia pola magnetycznego i elektrycznego w płycie o grubości g2;
J2m - amplituda gęstości prądu w płycie; p2V - gęstość objętościowa mocy czynnej; x/g2 - współrzędna
względna
Całkowita moc czynna wydzielana w elemencie objętościowym płyty o powierzchni l
m2 i o grubości g2 ( "y = l m, l2 = l m)
g2
2 2
H sinh( 2g2 / ´2 ) + sin( 2g2 / ´2 ) H
2m0 2m0
P2 = p2V dx = = Fr (6.83)
+"
2Å‚2´2 cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 ) 2Å‚2´2
0
34
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
Impedancja l m2 płyty o grubości g2
E2m0 1+ j cosh( k2g2 ) 1+ j
(6.84)
Z21 = = = ctgh( k2 g2 ) = R21 + jX
21
H Å‚2´2 sinh( k2g2 ) Å‚2´2
2m0
przy czym E - wartość natężenia pola elektrycznego na powierzchni płyty określona ze
2m0
wzoru (6.77) dla x = 0.
Reaktancję i rezystancję jednostkową płyty (l m2) określa się z równania (6.84)
wyodrębniając z niego część rzeczywistą i urojoną
1 sinh( 2g2 / ´2 ) + sin( 2g2 / ´2 ) 1
R21 = = Fr (6.85)
Å‚2´2 cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 ) Å‚2´2
1 sinh( 2g2 / ´2 ) - sin( 2g2 / ´2 ) 1
X = = Fx (6.86)
21
Å‚2´2 cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 ) Å‚2´2
przy czym Fr i Fx są współczynnikami kształtu wsadu.
Współczynnik mocy
R21 1
cos Ć2 = = (6.87)
2 2
R21 + X 1 + ( Fx / Fr )2
21
Zależność współczynników kształtu oraz cos Ć od względnej grubości płyty (odniesionej do
głębokości wnikania) przedstawia rys. 6.9.
Aby obliczyć gęstość powierzchniową mocy wnikającej do płyty, należy posłużyć się
zespolonym wektorem Poyntinga (6.24)
2
Å„Å‚
1 H sinh[ 2( g2 - x ) / ´2 ] - sin[ 2( g2 - x ) / ´2 ]
"
2m0
S = ( E × H ) = +
òÅ‚
2 2m 2m
2 2Å‚2´2 ół cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 )
(6.88)
sinh[ 2( g2 - x ) / ´2 ] - sin[ 2( g2 - x ) / ´2 ] üÅ‚
+ j
żłi
cosh( 2g2 / ´2 ) - cos( 2g2 / ´2 )
þÅ‚
Dla x=0
2
H2m0
S = ( Fr + jFx ) = p20 + jq20 (6.89)
20
2Å‚2´2
a po uwzglÄ™dnieniu (6.60) oraz zwiÄ…zków: µ2 = µ0 µ2r , É = 2Ä„f
p20 = ( I1wl )2 Ä„fµ0 µ2r / Å‚2 Fr (6.90)
q20 = ( I1wl )2 Ä„fµ0 µ2r / Å‚2 Fx (6.91)
35
6. Nagrzewanie indukcyjne
_________________________________________________________________
Rys. 6.9. Zależność współczynników ksztaÅ‚tu Fr, i Fx, oraz współczynnika mocy cosÕ od gruboÅ›ci, wzglÄ™dnej
pÅ‚yty przewodzÄ…cej o gruboÅ›ci g2; (odniesionej do gÅ‚Ä™bokoÅ›ci wnikania ´2) przy jednostronnym padaniu
na jej powierzchnię fali płaskiej
Dwustronne padanie fal płaskich na płytę przewodzącą o grubości g2 (rys. 6.10) może być
modelem układu grzejnego nagrzewnicy dwustronnej wsadów płaskich o grubości g2<przy czym s2 jest szerokością płyty. Zakładając, że tak jak w dwóch poprzednich przypadkach
występuje fala płaska harmoniczna o parametrach płyty przewodzącej identycznych z
przyjętymi przy formułowaniu równań ogólnych, warunki brzegowe możemy zapisać
następująco: H ( g2 / 2 ) = H ( -g2 / 2 ) = H . Po ich uwzględnieniu w rozwiązaniach
2m 2m 2m0
ogólnych (6.37), (6.43), otrzymuje się wektory i ich moduły w następującej postaci [652]:
cosh( “ x )
2
H = H k (6.92)
2m 2m0
cosh( “ g2 / 2 )
2
“ sinh( “ x )
2 2
E = H j (6.93)
2m
Å‚2 2m0 cosh( “ g2 / 2 )
2
J = Å‚2 E (6.94)
2m 2m
36
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
cosh( 2x / ´2 ) + cos( 2x / ´2 )
H = H (6.95)
2m 2m0
cosh( g2 / ´2 ) + cos( g2 / ´2 )
2H cosh( 2x / ´2 ) - cos( 2x / ´2 )
2m0
E2m = (6.96)
Å‚2´2 cosh( g2 / ´2 ) + cos( g2 / ´2 )
J2m = Å‚2E2m (6.97)
ZależnoÅ›ci powyższe sÄ… pokazane na rys. 6.11. Przy g2 / ´2 > 4
2
H = H exp( -x / ´2 ) (6.98)
2m 2m0
2
przy czym x jest odległością od powierzchni płyty.
Dla g2 / ´2 < 1 można przyjąć H H" H .
2m 2m0
Gęstość objętościową mocy czynnej oblicza się, wykorzystując (6.97) w zależności
(6.29)
2
H2m0 cosh(2x / ´2 )-cos(2x / ´2 )
p2V =
2
(6.99)
2Å‚2´2 cosh(g2 / ´2 )+cos(g2 / ´2 )
37
6. Nagrzewanie indukcyjne
_________________________________________________________________________
Rys. 6.11. Rozkład podstawowych wiel-
kości elektromagnetycznych w płycie
przewodzącej o grubości g2 przy dwu-
stronnym padaniu na jej powierzchniÄ™
fal płaskich w odniesieniu do wartości
maksymalnych (tzn. dla x=0.5g2 oraz
x=-0.5g2) dla kilku grubości względnych
pÅ‚yty g2 /´2
Moc czynna wydzielona w elemencie objętościowym płyty o powierzchni 1 m2 i o grubości
0.5g2
g2 / 2
2 2
H sinh( g2 / ´2 ) - sin( g2 / ´2 ) H2m0
2m0
P2 = p2V dx = = Fr (6.100)
+"
2Å‚2´2 cosh( g2 / ´2 ) + cos( g2 / ´2 ) 2Å‚2´2
0
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej wnikającej do płyty
38
6. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
2
îÅ‚
H sinh( g2 / ´2 ) - sin( g2 / ´2 ) sinh( g2 / ´2 ) + sin( g2 / ´2 ) Å‚Å‚
2m0
S = + j =
20
2Å‚2´2 ïÅ‚cosh( g2 / ´2 ) + cos( g2 / ´2 ) cosh( g2 / ´2 ) + cos( g2 / ´2 )śł
ðÅ‚ ûÅ‚
(6.101)
2
H
2m0
= ( Fr + jFx ) = p20 + jq20
2Å‚2´2
Wielkości p20 i q20 są określone tymi samymi wyrażeniami jak w przypadku poprzednim, tzn.
(6.90) i (6.91) zaś współczynnik mocy wyrażeniem (6.87). Oczywiście wartości Fr, i Fx, są
inne, takie jak we wzorze (6.101).
Rys. 6.12. Zależność współczynników kształtu Fr, i Fx, oraz współczynnika mocy cos Ć2 od grubości względnej
pÅ‚yty przewodzÄ…cej o gruboÅ›ci g2 (odniesionej do gÅ‚Ä™bokoÅ›ci wnikania ´2 ) przy dwustronnym
padaniu na jej powierzchnię fal płaskich
Współczynniki kształtu Fr, i Fx, oraz cos Ć2 dla płyty nieskończenie rozciągłej w kierunkach
y, z dla rozważanego przypadku pokazano na rys. 6.12.
6.1.2.6. Wsady cylindryczne w podłużnym polu elektromagnetycznym
W niniejszym punkcie przedstawione zostanÄ… dwa zagadnienia, a mianowicie: padanie fali
cylindrycznej na powierzchnię boczną wsadu cylindrycznego pełnego (problem odpowiadający
padaniu fali płaskiej na półprzestrzeń) oraz padanie tegoż rodzaju fali na powierzchnię boczną
zewnętrzną wsadu rurowego (odpowiednik padania fali płaskiej na
39
6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________
płytę). W obu przypadkach chodzi o zagadnienia jednowymiarowe (wsady jednorodne
nieskoÅ„czenie rozciÄ…gÅ‚e wzdÅ‚uż osi z), charakteryzujÄ…ce siÄ™ staÅ‚oÅ›ciÄ… µ2 oraz Å‚2 .
W celu otrzymania rezultatów szczegółowych rozwiązuje się w pierwszym przypadku
przekształcone równania Maxwella dla środowiska przewodzącego, a w drugim dodatkowo dla
dielektryka. W obu przypadkach korzystamy ze współrzędnych walcowych [527].
Padanie fali cylindrycznej na powierzchnię boczną wsadu cylindrycznego pełnego
prowadzi do następujących rezultatów:
I0( “ r )
2
H = H k (6.102)
2m 2m0
I0( “r2 )
“ I0 ( “ r )
2 2
E = -H 1Åš (6.103)
2m 2m0
Å‚2 I0( “ r2 )
2
J = Å‚2 E (6.104)
2m 2m
przy czym: I0 , I1- zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rodzaju zerowego i pierwszego
rzÄ™du, “ = (1 + j ) / ´2 .
2
Odpowiednio ich moduły
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r r
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ber + bei2
ìÅ‚C2 r2 ÷Å‚ ìÅ‚C2 r2 ÷Å‚
2
ber C + bei2C
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
H = H = H (6.105)
2m 2m0
2 2
ber C2 + bei2C2 2m0 ber C2 + bei2C2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r r
2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ 2 2 ìÅ‚ ÷Å‚
ber + bei
ìÅ‚C2 r2 ÷Å‚ ìÅ‚C2 r2 ÷Å‚
2 2 2 2
2 ber C + bei C 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
E2m = H = H (6.106)
2 2 2 2 2 2 2 2
Å‚2´2 2m0 ber C2 + bei C2 Å‚2´2 2m0 ber C2 + bei C2
J = Å‚2 E (6.107)
2m 2m
przy czym: H = I1mwl ,C = r 2 / ´2 ,C2 = r2 2 / ´2 . Takie przeksztaÅ‚cenie uÅ‚atwia
2m0
sporządzenie wykresów względnych wartości modułów natężeń pola magnetycznego i elek-
trycznego w funkcji r/r2 dla różnych wartości C2 (rys.6.13)2
Funkcje ber, bei, ber', bei' dla C << 10 wyraża się w postaci szeregów zaś dla
10 < C < 125 w postaci funkcji trygonometrycznych [185], [570]. Często są one podawane w
formie tablic dla argumentów mających znaczenie praktyczne [558], [652]. Dla C>6, suma
2
2 2 2 2
ber C + bei2C H" ber C + bei C = [exp( C 2 )] / 2Ä„C , dlatego przy r2 > 4.2´2 (wtedy C > 6),
wzory (6.99), (6.105) upraszczajÄ… siÄ™ ( r `" 0 ).
40
2
Przy korzystaniu do tego celu z MathCada należy stosować zapis:
2 2
ber x a" ber(1,x ) lubber x a" d / dx( ber(0,x ));beix a" bei(1,x )lub d / dx( bei( 0,x ));
berx a" ber(0,x );beix a" bei(0,x )
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
ëÅ‚ öÅ‚
H2m0 r - r2
ìÅ‚ ÷Å‚
H2m H" expìÅ‚ (6.108)
´2 Å‚Å‚
r / r2 íÅ‚ ÷Å‚
r
2 H ëÅ‚ - r2 öÅ‚
2m0
ìÅ‚ ÷Å‚
E2m H" expìÅ‚ (6.109)
Å‚2´2 ´2 Å‚Å‚
r / r2 íÅ‚ ÷Å‚
J2m H" Å‚2 E2m (6.110)
2
2 2 2 2 2
JeÅ›li C < l, co ma miejsce gdy r2 < ´2 / 2 , to ber C + bei2C H" 1, ber C + bei C H" C / 4
i wówczas
H2m H" H (6.111)
2m0
rH
2m0
E2m H" (6.112)
Å‚2´2
J2m H" Å‚2E2m (6.113)
Z sześciu ostatnich wzorów uproszczonych wynika, że gdy wsady mają duże promienie
w porównaniu z głębokością wnikania, można je uważać za półprzestrzenie przewodzące i
stosować wzory odnoszące się do podania fali płaskiej. Gdy promienie wsadu są mniejsze od
głębokości wnikania, natężenie pola magnetycznego jest stałe w całym przekroju wsadu zaś
gęstość prądu indukowanego zmienia się w funkcji promienia r liniowo (rys. 6.13).
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej wnikającej do wsadu (tzn. gdy r = r2)
2
îÅ‚ 2 2
H ber C2berC + bei C2beiC
2 m0 2 2
S = 2 +
20
2 2
2Å‚2´2 ïÅ‚ ber C2 + bei C2
ðÅ‚
2
2 2 Å‚Å‚
ber C2berC - bei C2beiC H
2 2 2 m0
+ j 2 = ( Fr + jFx ) = p20 + jq20
2 2
ber C2 + bei C2 śł 2Å‚2´2
ûÅ‚
(6.114)
Wielkości p20 oraz q20 można także uzależnić od wartości skutecznej prądu w
przewodzie wzbudnika I1 oraz gęstości zwojów we wzbudniku, tak jak to przedstawiają
zależności (6.90) i (6.91), przy czym Fr , i Fx (współczynniki kształtu wsadu cylindrycznego
pełnego) określa się ze wzoru (6.114). Są one przedstawione na rys. 6.14. Biorąc pod uwagę,
że obwód wsadu wynosi Ąd2 , wobec tego moc czynna i bierna na jednostkę długości wsadu
p21 = Ąd2 p20 ,q21 = Ąd2q20 .Współczynnik mocy dla rozważanego układu opisuje wzór (6.87)
ze współczynnikami kształtu z (6.114). Przy C " , cos Ć = 0.707 , czyli równy jest wartości
jaką ma w przypadku padania fali płaskiej na półprzestrzeń przewodzącą [652].
41
6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________________
Padanie fali cylindrycznej na zewnętrzną powierzchnię boczną rurowego wsadu
cylindrycznego wypełnionego dielektrykiem, którym jest zwykle powietrze (rys. 6.15) dla
przypadku gdy r2w / ´2 >> µ2 / µ3 prowadzi do nastÄ™pujÄ…cych rozwiÄ…zaÅ„1):
r2 z sinh[“ ( r - r2w )]
2
H = H (6.115)
2m 2m0
r sinh[“ ( r2 z - r2w )]k
2
Rys. 6.14. Zależność współczynników
kształtu Fr i Fx oraz współczynnika
mocy cos Ć od promienia względnego
pełnego cylindra przy padaniu fali
cylindrycznej na jego powierzchniÄ™
bocznÄ…
Rys. 6.13. Rozkład podstawowych wielkości
elektromagnetycznych we wsadzie cylindrycznym
pełnym o średnicy 2r2 przy padaniu fali cylindrycznej
na powierzchnię boczną w odniesieniu do wartości
maksymalnych (tzn. dla r=r2) dla kilku wartości
C2 = 2r2 / ´2
1)
Warto pamiÄ™tać, że ´1 i w tym przypadku okreÅ›la siÄ™ z klasycznej definicji dotyczÄ…cej wnikania pola w
półprzestrzeÅ„ przewodzÄ…cÄ…. Wobec innej geometrii ukÅ‚adu, w odlegÅ‚oÅ›ci ´2 od powierzchni wsadu, wartoÅ›ci
H ,E oraz J nie maleją jednak e-razy, podobnie jak p2V nie maleje e2 razy. Tak jest też w przypadku
2m 2m 2m
układów o geometrii innej niż półprzestrzeń
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
Rys. 6.15. Padanie fali cylindrycznej na powierzchniÄ™
boczną zewnętrzną wsadu cylindrycznego rurowego
1 + j r2 z cosh[“ ( r - r2w )]
2
E = -H (6.116)
2m 2m0 Åš
Å‚2´2 r sinh[“ ( r -r2w )]1
2 2 z
J = Å‚2 E (6.117)
2m 2m
r2 z cosh[2( r - r2w ) / ´2]- cos[2( r - r2w ) / ´2 ]
H = H (6.118)
2m 2m0
r cosh[2( r2 z - r2w / ´2]- cos[2( r2 z - r2w / ´2 ]
r2 z 2 cosh[2( r - r2w ) / ´2]- cos[2( r - r2w ) / ´2]
E2m = H (6.119)
2m0
r Å‚2´2 cosh[2( r2 z - r2w / ´2]- cos[2( r2 z - r2w / ´2]
J2m = Å‚E2m (6.120)
Przykład względnych zmian modułów podstawowych wielkości elektromagnetycznych dla
tego układu obliczony przy użyciu dokładnych wzorów jest pokazany na rys. 6.16. Pełną
postać tych wzorów zawierają m.in. monografie Langera [185], Sundberga [682] oraz
Wajnberga [712].
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej wnikającej do wsadu S wyraża się tak jak w
20
przypadku poprzednim, tzn. wzorem (6.89), a jej składowe p20 oraz q20 - zależnościami (6.90)
i (6.91). Współczynniki kształtu dla wsadu cylindrycznego rurowego Fr, i Fx to złożone
funkcje, podawane także we wspomnianych monografiach. Są one przedstawione na rys. 6.17.
Współczynnik mocy wyznacza się na podstawie (6.87) przy wykorzystaniu wartości Fr, i Fx
podanych na rys. 6.17.
43
6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________________
Rys.6.16. Rozkład podstawowych
wielkości elektromagnetycznych we
wsadzie cylindrycznym rurowym o
grubości ścianki r2z  r2w przy padaniu fali
cylindrycznej na jego powierzchniÄ™ bocznÄ…
zewnętrzną w odniesieniu do wartości
maksymalnej (tzn. dla r = r2z) dla kilku
wartoÅ›ci C2w = 2r2w / ´2 , przy C2z = 7,
wg [712]
44
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
Rys.6.17. Zależność współczynników
kształtu Fr i Fx oraz współczynnika
mocy cos Ć2 od względnej grubości
ścianki cylindra rurowego przy padaniu
fali cylindrycznej na jego powierzchniÄ™
boczna zewnętrzną
45
6. Nagrzewanie indukcyjne
___________________________________________________________________________
6.1.2.7. Pole elektromagnetyczne w obszarze ograniczonym
wzbudnikiem cylindrycznym
Przy założeniu, że rozważamy zagadnienie jednowymiarowe (wzbudnik nieskończenie długi -
rys. 6.18) zaś gęstość zwojów we wzbudniku jest jednorodna i równa w, oraz płynie w nim
prąd sinusoidalnie zmienny o wartości skutecznej I1 , wektory natężenia pola magnetycznego i
elektrycznego we wnętrzu obszaru jaki on ogranicza, mają tylko po jednej składowej.
Względne zmiany modułów tych wielkości są przedstawione na rys. 6.19. Z przebiegu krzywej
H3m / H wynika, że H3m = 0 dla Ä…0r = 2.405 . BiorÄ…c pod uwagÄ™, że Ä…0 = É µ0µ0 , ma to
1m0
miejsce przy częstotliwości f = 50 Hz gdy r = r1w = 2295 km zaś przy częstotliwości
f = 1 MHz przy r = r1w = 114.75 m . Średnice wzbudników nigdy nie osiągają takich
wymiarów i dlatego nawet dla największych częstotliwości stosowanych w praktyce można
przyjmować, że natężenie pola magnetycznego w obszarze ograniczonym nieskończenie
długim wzbudnikiem cylindrycznym jest stałe, czyli H1m0 = H = H3m0 , zaś natężenie pola
2m0
elektrycznego zmienia siÄ™ w funkcji r liniowo.
H H" H k (6.121)
3m 1m0
Rys. 6.18. Fragment wzbudnika cylindrycznego
nieskończenie długiego
µ1 , Å‚1 - parametry przewodu wzbudnika, µ2 , Å‚2 , µ2 -
parametry ośrodka w obszarze ograniczonym
powierzchnią wewnętrzną wzbudnika; H1m0 - moduł
natężenia pola magnetycznego na powierzchni
wewnętrznej; I1 - prąd wzbudnika; r1w - promień
powierzchni wewnętrznej; r1z - promień powierzchni
zewnętrznej; gu grubość przewodu wzbudnika
46
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
___________________________________________________________________________
1
E H" jH ɵ0r1Ś (6.122)
3m 1m0
2
Gęstość powierzchniowa mocy pozornej przenikającej ze wzbudnika przez jego
powierzchnię wewnętrzną ( r = r1w )
1
2
S = - jH1m0Ä„fµ0r1w = - jq10 (6.123)
10
2
a więc wektor Poyntinga ma tylko składową urojoną.
Rys. 6.19. Rozkład względnych wartości modułów natężenia pola magnetycznego i elektrycznego w przewodzie
wzbudnika
Moc na jednostkę długości wzbudnika jest równa
2
p1l = 2Ä„r1wq10 = Ä„ r12 fµ0( I1mwl )2 = 2.48 Å"10-5( Iwl )2 fr12 (6.124)
w w
6.1.2.8. Pole elektromagnetyczne we wzbudniku cylindrycznym
Rozkład podstawowych wielkości elektromagnetycznych we wzbudniku cylindrycznym
określa się przyjmując, że fala cylindryczna pada na wewnętrzną powierzchnię rury
nieskończenie rozciągłej. Warunki brzegowe dla tego przypadku są następujące:
H ( r = r1w ) = H , H ( r = r1z ) = 0 . Natężenie pola magnetycznego, elektrycznego
1m 1m0 1m
47
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
oraz gęstość prądu w uzwojeniu wzbudnika są dość złożonymi kombinacjami funkcji
cylindrycznych (Bessela i Neumanna) [185]. Ich argumenty są bardzo duże nawet dla
częstotliwości sieciowej. Wynika to z faktu, że wzbudniki wykonuje się prawie zawsze z
miedzi. Pozwala to zastąpić funkcje cylindryczne funkcjami wykładniczymi, które po
przekształceniach prowadzą do zależności
r1w sinh “ z
1
H = H (6.125)
1m 1m0
r sinh “ z1
1
“ r1w cosh “ z
1 1
E1m = H (6.126)
1m0
Å‚1 r sinh “ z1
1
przy czym: “ z = [( 1 + j )( r1z - r ) / ´1 ]; “ z1 = [(1 + j )( r1z - r ) / ´1 ]; “ = j 2 / ´1.
1 1 1
Moduły wektorów (6.125) i (6.126)
r1w cosh[ 2( r1z - r ) / ´1 ] - cos[ 2( r1z - r ) / ´1 ]
H1m = H1m0 (6.127)
r cosh[ 2gu / ´1 ] - cos[ 2gu / ´1 ]
2 r1w cosh[ 2( r1z - r ) / ´1 ] - cos[ 2( r1z - r ) / ´1 ]
E1m = E1m0 (6.128)
Å‚1´1 r cosh[ 2gu / ´1 ] - cos[ 2gu / ´1 ]
Rozkłady gęstości prądów w uzwojeniach miedzianych wzbudników o trzech różnych
grubościach gu = r1z - r1w są przedstawione na rys. 6.20. Impedancję jednostkową wzbudnika
określa się podobnie jak impedancję jednostkową przewodnika masywnego, tzn. z ilorazu
(6.64). Wychodząc z (6.126) i odnosząc impedancję do jednostkowej długości wzbudnika l1 ,
otrzymuje się wyrażenie
E ( r = r1w ) E1m0 1 + j
1m
= = ctgh( k1gu ) = Z = R11 + jX (6.129)
11 11
H H Å‚1´1
1m0 1m0
Zależność (6.121) jest więc analogiczna do (6.84). Wobec tego
1
R11 = Fr (6.130)
Å‚1´1
1
X = Fx (6.131)
11
Å‚1´1
przy czym współczynniki kształtu Fr oraz Fx są określone zależnościami (6.85) i (6.86) oraz
przedstawione na rys. 6.9.
48
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego
____________________________________________________________________________
Rys. 6.20. Rozkłady gęstości prądów w uzwojeniach wzbudników cylindrycznych
wykonanych z miedzi o trzech różnych grubościach przewodu wzbudnika gu
-2
wg [185]
( f = 600 Hz, ´1 = 0.276 Å"10 m, H1m0 = 1.27 Å"105 A / m ),
6.1.2.9. Prostopadłościan w podłużnym polu elektromagnetycznym
Dotychczas omówione przypadki dotyczyły zagadnień jednowymiarowych. O ile modele
jednowymiarowe układów cylindrycznych dla pewnej klasy zagadnień dość dobrze od-
powiadają układom rzeczywistym, o tyle trudniej to powiedzieć o modelach jednowy-
miarowych układów płaskich. Znacznie bliższym rzeczywistości przy analizie pola we
wsadach prostopadłościennych jest uzależnienie H oraz E od dwóch zmiennych prze-
strzennych. Dla układu jak na rys. 6.21 gęstość powierzchniowa mocy czynnej i biernej
wnikającej do wsadu przez jego powierzchnie zewnętrzne nie jest jednakowa na całym
obwodzie (rys. 6.21 c). Na ogół jednak operuje się wartościami średnimi
S 1
2c 2
S = = H2m0( Fr + jFx ) (6.132)
20
2( A2 + B2 )l2 2Å‚2´2
przy czym S jest całkowitą mocą pozorną wnikającą do wsadu przy współczynnikach
2c
kształtu jak na rys. 6.22.
Przy B2 / ´2 ", Fr i Fx dążą do jednoÅ›ci. Gdy A2 / ´ " , współczynniki ksztaÅ‚tu
2
dążą do wartości charakterystycznych dla dwustronnego padania fal płaskich na płytę
przewodzÄ…cÄ… [652].
49
6. Nagrzewanie indukcyjne
____________________________________________________________________________
Rys. 6.21. Wsad o przekroju prostokątnym w polu podłużnym, wg [558]: a) przekrój podłużny układu grzejnego,
b) przekrój poprzeczny układu grzejnego, c) rozkład mocy czynnej wnikającej do wsadu
Rys. 6.22. Zależność współczynników ksztaÅ‚tu Fr i Fx od gruboÅ›ci wzglÄ™dnej wsadu B2/´2, wg [678]
B2  grubość wsadu, A2  szerokość wsadu
50