Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Opadanie cząstek w płynie
Pojedyncza cząstka opadająca w płynie ruchem jednostajnym podlega działaniu trzech sił
równoważących się, tj. sile ciężkości, sile wyporu i sile oporu:
Siła ciężkości
p� d3
p
G =� r�s g
6
Siła wyporu
p� d3
p
W =� r� g
6
Siła oporu
p� d2
w2 r�
R =� x�op p
4 2
Bilans sił można zapisać jako:
G =� W +� R
p� d3 p� d3 p� d2
w2 r�
p p
r�s g =� r� g +� x�op p
6 6 4 2
skąd można obliczyć prędkość opadania cząstek kulistych w płynie:
4 dp g (�r�s -� r�)�
w =�
3 x�op r�
lub średnicę opadającej cząstki kulistej:
3 p� x�op w2 r�
d =�
4 g (�r�s -� r�)�
Zastosowanie obu tych równań do obliczeń jest utrudnione, ze względu na występowanie
współczynnika oporu kształtu x�op , który jest wielkością zmienną i zależną od liczby Reynoldsa
cząstki, definiowanej zależnością:
w dp r�
Re =�
h�
gdzie właściwości odnoszą się do ośrodka, w którym odbywa się ruch.
Doświadczalnie stwierdzono, że cząstki mogą poruszać się w sposób laminarny,
przejściowy i burzliwy. Dla tych obszarów ruchu obowiązują specyficzne zależności
pozwalające obliczać współczynnik oporu kształtu:
Obszar ruchu laminarnego, 24
Re Ł� 0,5 x�op =�
Obszar Stokesa Re
18,5
Obszar ruchu przejściowego,
0,5 <� Re <� 500 x�op =�
Obszar Allena Re0,6
Obszar ruchu burzliwego,
x�op =� 0,44
Re Ł� 500
Obszar Newtona
Na wykresie w skali podwójnie logarytmicznej zależność ta, dla wszystkich trzech
obszarów pokazana jest na poniższym rysunku:
43
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
10000
1000
100
10
1
0,1
0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Re
Jeśli do zależności określającej siłę oporu działającej na cząstkę wstawić zależność dla
ruchu laminarnego, to otrzymuje się wzór:
p� d2
24 h� w2 r�
p
R =� =� 3 p� dp h� w
w dp r� 4 2
znany jako równanie Stokesa. Po wykorzystaniu tego równania do bilansu sił i jego
przekształceniu otrzymuje się:
d2 (�r�s -� r�)�g
p
w =�
18 h�
Postępując analogicznie w obszarze Allena uzyskuje się zależności:
18,5 h�0,6 p� d2 w2 r� 18,5
p
R =� =� p� d1,4 h�0,6 w1,4 r�0,4
p
w0,6 d0,6 r�0,6 4 2 8
p
1,6
1
1 1
1,4
1,4 1,4
dp 1,4 (�r�s -� r�)� g
ć� 4 ��
w =� �� ��
0,6 0,4
3 ��18,5
1,4 1,4
Ł� ł�
h� r�
0,714
d1,143 (�r�s -� r�)�
p
w =� 0,781
h�0,4286 r�0,2857
Natomiast w obszarze Newtona uzyskuje się:
p� d2
w2 r�
p
R =� 0,44
4 2
44
op
Współczynnik oporu kształtu
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
dp (�r�s -� r�)� g
4
w =�
3�� 0,44 r�
dp (�r�s -� r�)�
w =� 5,452
r�
Wzory ujęte w ramki pokazują, że prędkość opadania różnie zależy od średnicy cząstki.
W obszarze Stokesa jest proporcjonalna do d2 , w obszarze Allena do d1,143 , a w obszarze
p p
Newtona do d0,5 . W postaci wykreślnej zależność ta przedstawiona jest na poniższym rysunku
p
Obszar Stokesa
Obszar Allena
Obszar Newtona
d
Przedstawione powyżej równania są niewygodne do obliczeń projektowych, bo gdy
trzeba obliczyć prędkość lub gdy trzeba obliczyć średnicę opadającej cząstki, to równocześnie
trzeba znać obszar ruchu, w którym odbywa się opadanie. Zatem obliczenia można wykonać
jedynie zakładając ten obszar i po wykonaniu obliczeń sprawdzić poprawność założenia
(obliczyć wartość liczby Reynoldsa).
Innym sposobem przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy jest
następujące podejście. Z równania bilansowego:
p� d3 p� d3 p� d2
w2 r�
p p
r�s g =� r� g +� x�op p
6 6 4 2
wynika, że:
dp g
4 (�r�s -� r�)�
x�op =�
3 w2 r�
Mnożąc obie strony równania przez Re2 otrzymuje się:
d3 (�r�s -� r�)�r� g
4
p
x�op Re2 =�
3 h�2
Zdefiniujmy bezwymiarową wielkość:
d3 (�r�s -� r�)�r� g
p
Ar =�
h�2
jako liczbę Archimedesa. Zatem na podstawie dwóch powyższych zależności uzyskuje się wzór:
3
x�op Re2 =� Ar
4
45
w
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Zauważmy, że do obliczenia wartości liczby Archimedesa nie jest konieczna znajomość
prędkości opadania cząstki.
W obszarze Stokesa graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 0,5, a współczynnik
24
oporu kształtu wynosi: x�op =� . Po podstawieniu do zależności w ramce uzyskuje się graniczną
Re
wartość liczby Archimedesa:
3 24
Ar =� 0,52 =� 9
4 0,5
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Stokesa wynosi:
3 24
Re2 =� Ar
4 Re
18 Re =� Ar
Ar
Re =�
18
W obszarze Newtona najmniejsza graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 500,
a współczynnik oporu opadania wynosi 0,44, zatem:
3
Ar =� 0,44 ��5002 =� 82500
4
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Newtona wynosi:
3
0,44 Re2 =� Ar
4
Re =� 1,7408 Ar
Obszar Allena zawarty jest zatem w zakresie 9 <� Ar <� 82500 , a współczynnik oporu
18,5
opadania wynosi: x�op =� , zatem:
Re0,6
3 18,5
Re2 =� Ar
4 Re0,6
po przekształceniach otrzymuje się:
1
0,714
1,4
ć� Ar �� ć� Ar ��
Re =� �� �� =� �� ��
��13,875 �� ��13,875 ��
Ł� ł� Ł� ł�
Zestawienie powyższych przekształceń pokazano w tabeli:
Obszar ruchu Zakres liczb Reynoldsa Zakres liczb Archimedesa Re vs Ar
Ar
Stokesa Re Ł� 0,5
Ar Ł� 9 Re =�
18
1
0,714
1,4
ć� Ar �� ć� Ar ��
Allena 0,5 <� Re <� 500
9 <� Ar <� 82500
Re =� �� �� =� �� ��
��13,875 �� ��13,875 ��
Ł� ł� Ł� ł�
Newtona Re ł� 500 Re ł� 500 Ar ł� 82500
Re =� 1,7408 Ar
Reasumując, przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy wygodnie jest
korzystać z liczby Archimedesa, natomiast przy obliczaniu średnicy cząstki o znanej prędkości
opadania obliczenia należy wykonać metodą prób i błędów.
Przedstawione powyżej rozważania dotyczą cząstek o kształcie kulistym. Dla cząstek
o kształcie odbiegającym od kuli prędkość opadania należy skorygować za pomocą odwrotności
współczynnika kształtu czyli współczynnika sferyczności.
Przykładowo w obszarze Stokesa współczynnik oporu kształtu oblicza się z zależności:
a
x�op =� ,
Re
46
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
24
gdzie wielkość a =� ,
y�
0,843 log
0,065
a zatem prędkość opadania oblicza się z zależności:
d2 (�r�s -� r�)�g �� y� ł�
z
w =�
ę�0,843 log 0,065ś�
18 h�
�� ��
Z kolei w obszarze Newtona współczynnik oporu kształtu przedstawia zależność:
x�op =� 5,31-� 4,87 y�
a prędkość opadania liczy się z zależności:
dp (�r�s -� r�)�g dp (�r�s -� r�)�
4
-�0,5
w =� =� 3,617 (�5,31-� 4,87 y�)�
3(�5,31-� 4,87 y�)� r� r�
Dla obszaru Allena nie ma jednej zależności na obliczanie prędkości opadania, gdyż
współczynnik oporu kształtu zależy nie tylko od sferyczności, ale także od wartości liczby
Reynoldsa.
Współczynnik sferyczności y� występujący w powyższych równaniach określa stosunek
pola powierzchni kuli do pola powierzchni cząstki przy takiej samej objętości, zatem jest to
liczba mniejsza od 1. Przykładowe wartości dla wybranych brył podano poniżej.
Bryła Współczynnik
sferyczności y�
Kula 1
Sześcian 0,806
Graniastosłup a �� a �� 2a 0,766
Graniastosłup a �� 2a ��3a 0,76
Walec h =� 2 r 0,873
Walec h =�10 r 0,691
Opadanie pojedynczych cząstek w aparatach przemysłowych jest wyjątkowo rzadkie.
Najczęściej występuje tak zwane opadanie gromadne, tj. takie w którym sąsiadujące cząstki mają
wpływ na ruch innych. Wówczas ciecz i obecne w niej cząstki należy traktować jako zawiesinę.
Obecność wielu cząstek powoduje zmniejszenie przekroju, w którym jest faza ciągła i
w związku z tym występuje wówczas wsteczny ruch cieczy. Wielkością, która opisuje wpływ
innych cząstek na opadanie w roju jest porowatość zawiesiny e� , czyli udział objętości
swobodnej w całej zawiesinie.
Dla celów praktycznego wykorzystania w projektowaniu prędkość opadania kulistych
cząstek w zawiesinie wz oblicza się mnożąc prędkość opadania pojedynczej cząstki przez
współczynnik f uwzględniający zmniejszenie prędkości wskutek zapełnienia objętości przez rój
cząsetk:
e�2
f =�
101,82 (�1-� e�)�
47
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Klasyfikacja hydrauliczna
Klasyfikacja hydrauliczna wykorzystuje różnice w prędkościach opadania cząstek
o jednakowej średnicy, ale o innej gęstości. Zasadę klasyfikacji hydraulicznej zawiesiny złożonej
z dwóch rodzajów cząstek o dwóch różnych średnicach przedstawiono na poniższym schemacie:
Zawiesina
Klarowna
ciecz
r�s1 > r�s2
dp1 > dp2
r�s1 r�s1 �r�s2 �r�s2
dp1 dp2 dp1 dp2
W klasyfikatorach hydraulicznych najczęściej rozdziela się zawiesiny cząstek stałych
rozproszonych w wodzie. Rozdziałowi poddaje się mieszaniny cząstek stałych różnych
materiałów, np. o gęstościach r�s1 i r�s2 o rozmiarach zawartych w pewnym zakresie od dpmin do
dp max .
W klasyfikatorze poziomym czas, w którym cząstka opada pionowo z prędkością
w jest równy czasowi, w którym przemieszcza się ona poziomo na odległość L z prędkością
przepływu wody w :
H2O
H L
t� =� =�
w wH2O
Zatem miejsce, w którym opadnie cząstka zależy od jej prędkości opadania w kierunku
pionowym w. Znając charakter przebiegu zależności w =� f(�dp)� dla cząstek o różnych gęstościach
r�s1 i r�s2 można określić czy możliwy jest rozdział mieszaniny cząstek na czyste frakcje (czyste
substancje). Przebieg takiego procesu można prześledzić na poniższym wykresie.
w
1
r�
s1
w1
2
w2
3
r�
w3
s2
4
w4
d
p
d d
p min p maks
Jak widać, w zakresie średnic od dpmin do dp max .cząstki o gęstości r�s1 opadają z prędkościami
w2 <� w <� w1, natomiast cząstki o gęstości r�s2 opadają z prędkościami w4 <� w <� w3 . Zakresy
tych prędkości opadania nie nakładają się na siebie zatem możliwy jest rozdział mieszaniny na
czyste frakcje.
48
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Inny przypadek zamieszczono poniżej:
w
1
r�
s1
w1
5 3
r�
w3 s2
2
6
w2
4
w4
d
p
d d d
d
p min p5 p6 p maks
Jak widać zakresy prędkości opadania różnych cząstek zachodzą na siebie, a zatem niemożliwy
jest rozdział mieszaniny na czyste frakcje. Zatem , jeśli w3 >� w2 , to niemożliwy jest rozdział na
czyste frakcje i w klasyfikatorze otrzyma się:
ż� �frakcję czystych cząstek o gęstości r�s1 o średnicach od dpmax do dp5 ,
ż� �frakcję czystych cząstek o gęstości r�s2 o średnicach od dp6 do dpmin ,
oraz
ż� �frakcję mieszaną o średnicach od dp6 do dp5 .
Wobec powyższego, aby rozwiązać problem jakie cząstki (o jakich średnicach) odbierze
się w postaci pojedynczych substancji oraz z jakich cząstek będzie złożona frakcja mieszana
należy dla każdego punktu zaznaczonego na wykresie poznać prędkości opadania oraz średnice
cząstek. Przypomnijmy, że do obliczania prędkości opadania cząstek o znanej średnicy
wykorzystuje się liczbę Archimedesa, a obliczenia średnicy cząstek o znanej prędkości opadania
wykonuje się metoda prób i błędów.
Pozostanie zatem obliczenie gdzie, tj. w jakiej odległości od wlotu spadną poszczególne
cząstki oraz jakie są rozmiary cząstek we frakcji mieszanej. Dla zadanej długości klasyfikatora
L , wysokości H i zadanej prędkości przepływu wody wH2O miejsca (odległości), w których
opadną poszczególne cząstki oblicza się znając prędkość ich opadania w pionie z zależności,
np. dla punktu 1:
wH2O
L1 =� H
w1
Oprócz klasyfikatorów poziomych znane są klasyfikatory pionowe, w których zawiesina
przepływa pionowo od dołu go góry. Zasada działania jest takiego aparatu polega na odbieraniu
cząstek lekkich górą, a cząstek ciężkich dołem. Prędkość przepływu wody dobiera się tak, aby
była ona większa od prędkości opadania cząstek lekkich a mniejsza od prędkości opadania
cząstek ciężkich. Klasyfikatory pionowe, w których fazą ciągłą jest powietrze nazywa się
klasyfikatorami pneumatycznymi i powszechnie wykorzystuje się na przykład do wydzielania
ziaren zbóż z surowca otrzymywanego w trakcie młócenia.
Schematyczną konstrukcję klasyfikatora pionowego pracującego w układzie ciało stałe 
ciecz pokazano na poniższym rysunku.
49
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Zawiesina
Czastki
lekkie
Czastki
ciezkie
Zawiesina wpływa do klasyfikatora na pewnej wysokości i jest rozdzielana strumieniem
cieczy płynącej od dołu. Prędkość przepływu cieczy musi być dobrana tak, aby była większa od
prędkości opadania cząstek lekkich, ale mniejsza od prędkości opadania cząstek ciężkich.
50
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Dynamika warstwy fluidalnej
W niektórych procesach przemysłowych istotne jest, aby cząstki ciała stałego były
dokładnie omywane przez fazę ciągłą. Jako przykład może służyć wykorzystywanie stałych
katalizatorów do wykonywania reakcji w fazie płynnej. Powierzchnia międzyfazowa, którą
stanowi powierzchnia każdej cząstki ciała stałego musi być w doskonałym kontakcie z coraz to
innymi porcjami fazy ciągłej. Takie warunki są spełnione w tak zwanej warstwie fluidalnej.
Przez fluidyzację rozumie się zawieszenie cząstek stałych w przepływającym w górę strumieniu
gazu lub cieczy. W warstwie fluidalnej cząstki stałe są intensywnie mieszane, co zapewnia
zwiększenie szybkości procesów transportu (wymiany) ciepła czy masy pomiędzy fazą stałą
a płynem. W stanie fluidyzacji osiąga się bardzo wysoki stopień jednorodności mieszaniny, nie
występują lokalne przegrzania czy wzrosty stężenia.
Rozpatrując fluidyzację fizycznie można powiedzieć, że jest ona stanem pośrednim
pomiędzy przepływem płynu przez warstwę nieruchomego, usypanego materiału a transportem
(przepływem) mieszaniny dwufazowej ciało stałe płyn. Zgodnie z tym stwierdzeniem można
przyjąć, że fluidyzacja zaczyna się przy pewnej minimalnej prędkości strumienia gazu i kończy
się przy prędkości maksymalnej, w której wraz z gazem lub cieczą zostaje porwane złoże stałe.
Straty ciśnienia przy przepływie przez nieruchome złoże stałe oblicza się
z cytowanego już wcześniej równania Mc Leva:
3-�n
L w2 r� (�1 -� e�)�
D�p =� l� y�3-�n
de 2 e�3
Jeśli przedstawić zależność tych strat od prędkości w postaci wykreślnej, to początkowo
obserwuje się wzrost strat ciśnienia proporcjonalny do kwadratu prędkości (obszar I).
D�p
I II III IV V
w
wkr
Spadek strat ciśnienia w obszarze II zwanym obszarem ekspansji wynika z doskonalszego
upakowania się cząstek w złożu. Obszar III nazywany jest pierwszym stadium fluidyzacji,
obszar IV drugim stadium fluidyzacji, gdzie ustala się spadek ciśnienia i wreszcie obszar V
odpowiada transportowi pneumatycznemu.
Jeśli przez złoże znajdujące się w drugim stadium fluidyzacji przepuszczać coraz mniej
gazu, to zaobserwuje się nieodwracalność procesu fluidyzacji zjawisko to pokazano na
poniższym wykresie. Linia oznaczona nr 1 oznacza tak zwane złoże zbite, tj. przed ekspansją,
linia nr 2 to złoże rozpulchnione, a linia nr 3 oznacza stan fluidalny.
51
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
D�p 3
1
2
w
wkr
W obliczeniach projektowych najistotniejszą wielkością, którą należy określić jest
krytyczna prędkość fluidyzacji, przy której zaczyna się proces. Można przyjąć, że krytyczna
prędkość fluidyzacji odpowiada takiemu momentowi, w którym ciśnienie statyczne złoża stałego
jest zrównoważone przez parcie gazu równe stratom ciśnienia gazu przepływającego przez
najluz
niej upakowane złoże. Zatem, ciśnienie statyczne złoża o wysokości H można zapisać
wzorem:
D�p =� H (�1-� e�kr)�(�r�s -� r�)�g
lub zaniedbując gęstość gazu
D�p =� H (�1-� e�kr )�r�s g ,
a stratę ciśnienia związaną z przepływem gazu przez złoże zapisujemy równaniem Mc Leva
3-�n
H w2 r� (�1-� e�kr )�
kr
D�p =� l� y�3-�n (2)
de 2 e�3
kr
wiedząc, że współczynnik opory przepływu oblicza się z zależności:
400
l� =�
Re
z równań (1)  (3) otrzymuje się wzór:
2
0,005 de r� g e�3
kr
wkr =�
h� y�2 (�1-� e�kr )�
Jak widać w tych wszystkich wzorach występuje wartość porowatości złoża w punkcie
krytycznym, trzeba pamiętać, że jest to inna wielkość niż porowatość złoża w spoczynku, co
utrudnia stosowanie tych wzorów.
W praktyce warstwa fluidalna niestety nie jest jednorodna, obserwuje się szereg zakłóceń
w pracy złoża fluidalnego, co przedstawiają poniższe schematy.
a) b) c)
a) powstawanie pęcherzy, b) pulsowanie tłokowe, c) kanalikowanie.
52