WYKA
AD 1 5-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
TEORIA POLA
FUNKCJE WEKTOROWE
Definicja: Funkcja wektorowa jednej zmiennej
Niech I ‚"R bÄ™dzie dowolnym przedziaÅ‚em. FunkcjÄ™ r : I Śą R3śą R2źą nazywamy funkcjÄ…
Śą
wektorową jednej zmiennej. Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci:
r śątźą=[ x śątźą , y śąt źą , zśątźą] r śątźą=[ x śątźą , y śąt źą] t"I
Śą lub Śą dla
x śąt źą , y śątźą , zśąt źą
to funkcje skalarna zmiennej t
Definicja: Funkcja wektorowa wielu zmiennych
Śą
Niech D‚" R3 śą R2źą . FunkcjÄ™ F : D Śą R3 śą R2źą nazywamy wektorowÄ… wielu zmiennych.
Funkcję taka będziemy zapisuje się w postaci:
Śą
śą x , y , zźą"D
F śą x , y , zźą=[P śą x , y , zźą , Qśą x , y , zźą , R śą x , y , zźą] dla
Śą
śą x , y źą"D
F śą x , y , zźą=[ P śą x , y , zźą , Qśą x , y , zźą] dla
P , Q , R to funkcje skalarne określane na obszarze D
POLE SKALARNE, POLE WEKTOROWE
Definicja: Pole skalarne
Polem skalarnym określanym na obszarze nazywamy funkcję skalarną f : DŚą R
D‚"R3 śą R2źą
Definicja: Powierzchnia ekwiskalarna
f śą x , y , zźą=C C
Powierzchnia , gdzie jest stała rzeczywistą
Definicja: Ciągłość pola skalarnego
Mówimy, że pole skalarne jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja skalarna
f : DŚą R jest funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną)
Definicja: Pole wektorowe
Polem wektorowym, okreÅ›lonym w obszarze D‚" R3 śą R2źą nazywamy funkcjÄ™ wektorowÄ…
Śą
F : D Śą R3 śą R2źą
Definicja: Ciągłość pola wektorowego
Mówimy, że pole wektorowe jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja wektorowa jest
Śą
funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną)
F : D Śą R3 śą R2źą
GRADIENT POLA SKALARNEGO
Definicja: Gradient pola skalarnego
f śą x , y , zźą [ f śą x , yźą]
Załóżmy, że dane jest pole skalarne okreÅ›lone w obszarze D‚" R3 śą R2źą
A0 śą x0, y0, z0źą"D [ A0 śą x0, y0źą" D]
f
Gradientem pola skalarnego w punkcie nazywamy
wektor:
´f ´f ´f ´f ´f
grad f śą A0źą=[ śą A0źą , śą A0źą , śą A0źą] grad f śą A0źą=[ śą A0źą , śą A0źą]
lub
´x ´y ´z ´x ´y
1 WYKA
AD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Operator Hamiltona
Specyficzny wektor nazywany również  nablą o postaci:
´ ´ ´ ´f ´f ´f
" =[ , , ] grad f =" f =[ , , ]
wówczas
´x ´y ´z ´x ´y ´z
Własności gradientu:
grad f śąA0źą
" gradient jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwiskalarnej
A0
f śą x , y , zźą=C
przechodzÄ…cej przez punkt
#"grad f śą A0źą#"
" długość wektora gradientu jest wprost proporcjonalna do szybkości
wzrostu pola
grad f śą A0źą
" zwrot wektora jest od powierzchni ekwiskalarnej o mniejszej wartości pola
do powierzchni ekwiskalarnej o większej wartości pola
DEWERGENCJA POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Dywergencji pola wektorowego
Śą Śą
Załóżmy, że dane jest pole wektorowe F śą x , y , zźą [ F śą x , y źą] określone w obszarze
Śą Śą
D‚" R3 śą R2źą Dywergencja pola wektorowego F =[ P , Q , R] [ F =[P ,Q]] w punkcie
A0 śą x0, y0, z0źą"D [ A0 śą x0, y0źą"D]
nazywamy liczbÄ…
´P ´Q ´R
Śą
F śą A0źą= śą A0źąƒÄ… śą A0źąƒÄ… śą A0źą
div
´x ´y ´z
´P ´Q
Śą
F śą A0źą= śą A0źąƒÄ… śą A0źą
div
´x ´y
Dywergencję nazywamy inaczej rozbieżnością pola wektorowego.
Definicja: Pole bez z
ródłowe
Śą
F
Jeżeli div F śą Aźą=0 dla każdego punktu A"D to pole nazywa się bez z
ródłowym.
Definicja: Operator Laplace'a
´2 ´2 ´2
2
" = " "=[ , , ]
´x2 ´y2 ´z2
ROTACJA POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Rotacja pola wektorowego
Śą Śą
Załóżmy, że dane jest pole wektorowe F śą x , y , zźą [ F śą x , y źą] określone w obszarze
Śą Śą
D‚" R3 śą R2źą Rotacja pola wektorowego F =[ P , Q , R] [ F =[P ,Q]] w punkcie
A0 śą x0, y0, z0źą"D [ A0 śą x0, y0źą"D]
nazywamy wektor:
´R ´Q ´P ´R ´Q ´P
Śą
rot F śą A0źą=[ śą A0źą- śą A0źą , śą A0źą- śą A0źą , śą A0źą- śą A0źą]
´y ´z ´z ´x ´x ´y
´Q ´P
Śą
rot F śą A0źą=[0 , 0 , śą A0źą- śą A0źą]
´x ´y
Rotację pola nazywamy inaczej wirowością pola wektorowego.
2 WYKA
AD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Pole bez wirowego
Śą Śą
Jeżeli rot F śąaźą=0 dla każdego A"D to pole nazywamy bez wirowym.
F
POTENCJAA
POLA WEKTOROWEGO
Definicja: Potencjalne pole wektorowe
Śą
Pole wektorowe okreÅ›lone w obszarze D‚" R3 śą R2źą nazywamy polem potencjalnym, jeżeli
F
f D
istnieje pole skalarne określone w takie, że:
Śą
F =grad f
Śą
f
Pole skalarne nazywamy wówczas potencjałem pola F
Definicja: Powierzchnie ekwipotencjalne
f śą x , y , zźą=C f
Powierzchnie równego potencjału dla będącego potencjałem pola
Śą
wektorowego .
F
Śą
Definicja: Warunek konieczny potencjalności pola F
Śą Śą
D śą x , y , zźą"D
Pole jest potencjalne w obszarze , jeżeli rot F śą x , y , zźą=0 dla każdego
F
Śą
Definicja: Warunek dostateczny potencjalności pola F
D=[a1,a2]×[b1,b2]×[c1,c2] Śą
D
Niech wówczas pole F jest potencjalne w obszarze wtedy i
Śą
śą x , y , zźą"D
tylko wtedy gdy rot F śą x , y , zźą=0 dla każdego
3 WYKA
AD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska