Błędy obliczeń numerycznych
1. Podstawowe definicje
2. Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych
3. Propagacja błędów
4. y
ródła błędów
5. Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
6. Obliczenia numeryczne w Maple u
7. Zalecenia
Podstawowe definicje
x - wartość dokładna
~
x - wartość przybliżona
1. Błąd przybliżenia "x
def
~
"x = x - x
"x
2. Błąd bezwzględny
def
~
"x = x - x
3. BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny µx
def
"x
µx = , x `" 0
x
4. Liczba cyfr znaczących (d ) - największą dodatnia liczba całkowita,
spełniająca nierówność
1
µx < 10-d
2
Przykład ilustrujący
~
x = Ä„, x = 3.1415 (Ä„= 3.141592653589793238462643 ..)
1. Błąd przybliżenia
"x = Ä„ - 3.1415 H" 0.000092654
2. Błąd względny
"x
µx = H" 0.00002949268419
x
3. Liczba cyfr znaczÄ…cych
Ä„ - 3.1415 1
~
< 10-d d " (-", 4.229257627) d = 4
x = 3.1415
Ä„ 2
Ä„ - 3.1416 1
~
x = 3.1416
< 10-d d "(-", 5.330044700) d = 5
Ä„ 2
Błędy wyników operacji matematycznych (na podstawie definicji)
Dane: x1, x2
- wartości dokładne
~1, ~2 - wartości przybliżone
x x
Szukane: błędy przybliżenia i błędy względne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
~1
"x1 = x1 - x
~2
"x2 = x2 - x
BÅ‚Ä…d sumy
~ ~ ~ ~ ~ ~
s = x1 + x2 , s = x1 + x2 , "s = s - s = x1 + x2 - x1 - x2
"s = "x1 + "x2
"s "x1 + "x2
µs = =
s x1 + x2
Błąd różnicy
~ ~ ~ ~ ~ ~
r = x1 - x2 , r = x1 - x2 , "r = r - r = x1 - x2 - x1 + x2
"r = "x1 - "x2
"r "x1 - "x2
µr = =
r x1 - x2
Błędy operacji matematycznych c.d.
BÅ‚Ä…d iloczynu
~ ~ ~ ~
m = x1 x2 , m = x1~2 , "m =m - m = x1x2 - x1~2
x x
"m = x1x2 - (x1 - "x1)(x2 - "x2) = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
"m x2"x1 + x1"x2 - "x1"x2
µm = = = µx1 + µx2 - µx1µx2 H" µx1 + µx2
m x1 x2
BÅ‚Ä…d ilorazu
x1 ~ ~1 x1 ~1
x x
~
q = , q = , "q =q - q = -
~2
x2 x x2 ~2
x
x2"x1 - x1"x2
"q =
x2(x2 - "x2)
"q x2"x1 - x1"x2 x2"x1 - x1"x2
µq = = H" = µx1 - µx2
q x1(x2 - "x2) x1x2
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie definicji)
rodzaj operacji Błąd przybliżenia błąd względny
"x1 + "x2
µs =
"s = "x1 + "x2
dodawanie
x1 + x2
"x1 - "x2
µr =
odejmowanie
"r = "x1 - "x2
x1 - x2
µm H" µx1 + µx2
mnożenie "m = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
x2"x1 - x1"x2
µq H" µx1 - µx2
dzielenie
"q =
x2(x2 -"x2)
Propagacja błędów
Propagacji błędów ma miejsce przy wyznaczaniu wartości wielkości wyjściowej
zależnej w określony sposób pd wielkości wejściowych
Dane:
Szukane: "f , µ
f
f = f (x1 , x2 , ... xn)
x (x1 , x2, ..., xn)

"x = x - x

x(x1 , x2, ..., xn)

Rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora wokół punktu x z przyrostem "x
n
" f

f (x) = f (x) +" xi +...
"" xi
x=x
i=1
n
Å„Å‚ üÅ‚
" f

"f = f (x) - f (x) H"
òÅ‚ żł"x
"ół" xi
x=x i
i=1
þÅ‚
"f "f
µ = H"
f

f (x) f (x)
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie szer. Taylora)
2
Å„Å‚ üÅ‚ "f
" f
f = f (x1, x2) µ H"
"f H"
f
òÅ‚ żł"x f (x)
"ół" xi
x=x i
i=1
þÅ‚
"x1 + "x2
µs =
s = x1 + x2
"s = "x1 + "x2
x1 + x2
"x1 - "x2
µr =
r = x1 - x2
"r = "x1 - "x2
x1 - x2
m = x1x2
"m = x1"x2 + x2"x1 - 2"x1"x2 µm H" µx1 + µx2
x2"x1 - x1"x2
x1
µq H" µx1 - µx2
"q =
q =
(x2 -"x2)2
x2
"m = x1"x2 + x2"x1 - "x1"x2
- na podstawie definicji
x2"x1 - x1"x2
"q =
x2(x2 -"x2)
Przykład ilustrujący
3
4 4
V = Ä„r3 f = f (x1, x2) = x1x2
3 3
2
Å„Å‚üÅ‚
" f 4
3 2
"f H"
òłżł"x = x2"x1 + 4x1x2"x2
"ół" xi
x=x i
3
i=1
þÅ‚
"f "x1 "x2
µ H" = + 3
f

f (x) x1 x2

x1 = 3.14, x2 = 5.00

f (x1, x2)= 523.3333333
"x1 = 0.0016, "x2 = 0.001
"f H" 0.5806666667
µ H" .001109554140
f
y
ródła błędów
1. Błędy modelu
2. Błędy metody
3. Błędy obcięcia
4. Błędy zaokrąglenia
5. Błędy wejściowe
6. Błędy działań arytmetycznych
7. Błędy programowania
y
ródła błędów
Ad.1 Błędy modelu
Ä„
Õ(0) =
Model uproszczony
20

Õ(t) + Õ(t) = 0
Model ścisły

Õ(t) + sin Õ(t) = 0
Ä„
Õ(0) =
3
y
ródła błędów
Ad.2 Błędy metody
1
2
F =
+"e-x dx
0
Wzór prostokątów Wzór Simpsona (parabol)
n = 20 n = 20
n-1 n-2
n-1
ëÅ‚ öÅ‚
h
ìÅ‚
FSi = y0 + 4 yi + 2 yi + yn ÷Å‚ = 0.7468241840
Fpr = h yi = 0.7624738510
" "
"
ìÅ‚ ÷Å‚
3
i=1,3,5 i=2,4,6
i=0 íÅ‚ Å‚Å‚
(jedna cyfra znacząca) (sześć cyfr znaczących
0.746824132812427025399467436132
(30 cyfr znaczÄ…cych)
y
ródła błędów
Ad.3 Błędy obcięcia
Błędy te występują gdy posługujemy się skończoną liczbą wyrazów szeregów
nieskończonych
Ad.4 Błędy zaokrąglenia
Błędy te pojawiają się podczas wykonywania obliczeń przy użyciu liczb
zmiennoprzecinkowych (zmiennopozycyjnych)
y
ródła błędów
Ad.5 Błędy wejściowe
Są to błędy stałych fizycznych bądz
wielkości będących wynikiem pomiarów
Ad.6 Błędy działań arytmetycznych
Są to błędy związane z wykonywaniem operacji arytmetycznych na liczbach
przybliżonych (zmiennoprzecinkowych)
Ad.7 Błędy programowania
Są to błędy użytkownika (programisty)
Aby ich uniknąć należy dzielić duże programy na podprogramy, które należy oddzielnie
testować
Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
Jeżeli niewielkie zmiany wartości danych powodują duże zmiany jego rozwiązania,
to zagadnienie takie nazywamy z
le uwarunkowanym numerycznie
Przykłady z
le uwarunkowanych zagadnień:
1. Wyznaczanie pirwiastków wielomianów wyższych stopni
2. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych typu A x=a
dla których det (A) ~ 0
Obliczenia numeryczne w Maple u
Sytuacje w których należy prowadzić obliczenia numeryczne w Maple u
" Podczas rozwiązywania problemów, które nie posiadają rozwiązań
symbolicznych bÄ…dz
analitycznych
" Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt obszerne, co utrudnia ich analizę
" Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt czasochłonne, a interesuje nas
graficzna strona rozwiÄ…zania
Software floating-point numbers vs. harware floating-point numbers
(evalf vs. evalhf)
Uwaga: Szybkość obliczeń numerycznych przy użyciu evalhf jest
większa niż przy użyciu evalf
Ogólne zalecenia
W praktyce obliczeniowej należy kierować się następującymi zaleceniami:
1. Aby uniknąć zbyt dużych błędów zaokrągleń należy zwiększyć precyzję
obliczeń (Digits) i obserwować jej wpływ na wynik końcowy,
2. W przypadku obliczania sumy wielu składników należy zacząć dodawanie
od liczb najmniejszych,
3. Obliczenia cykliczne (w pętli) powinno się wykonywać wyłącznie na
liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia cykliczne prowadzone na
symbolach bÄ…dz
liczbach reprezentowanych w sposób ścisły mogą
spowodować nadmierne rozbudowanie wyników pośrednich i zawieszenie
systemu,
4. Rozwiązując nowy, nieznany problem, warto spróbować uzyskać
rozwiązanie ścisłe, które jest zwykle cenniejsze, bo pozbawione błędów.