Podstawy fizyki teoretycznej
dla fizyki medycznej II
Mechanika kwantowa
Zbiór problemów obliczeniowych z rozwiązaniami
Krzysztof Szczygielski
29 kwietnia 2014
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Spis treści
1 Podstawy mechaniki kwantowej. Ruch pojedynczej cząstki 3
Zad. 1.1 Model atomu wodoru Bohra  Sommerfelda . . . . . . . . . . . . . . 3
Zad. 1.2 Jednowymiarowy pakiet falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Zad. 1.3 Gaussowski pakiet falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Zad. 1.4 Zjawisko tunelowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Zad. 1.5 Prawdopodobieństwo w przestrzeni pędów . . . . . . . . . . . . . . . 19
Zad. 1.6 Równanie ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Zad. 1.7 Równanie ciągłości  ciąg dalszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej 26
2.1 Iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Zad. 2.1 Przestrzenie o skończonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Zad. 2.2 Przestrzeń macierzy zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Zad. 2.3 Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Własności operatorów nad przestrzenią Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Zad. 2.4 Operatory komutujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Zad. 2.5 Operator odwrotny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Zad. 2.6 Operatory normalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Zad. 2.7 Zagadnienie własne operatorów pędu i energii . . . . . . . . . . . . . 33
Zad. 2.8 Elementy analizy harmonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Zad. 2.9 Rzeczywiste wartości własne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Zad. 2.10 Ortogonalność wektorów własnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Zad. 2.11 Symetryczność operatorów mechaniki kwantowej . . . . . . . . . . . 41
Zad. 2.12 Samosprzężoność a warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Zad. 2.13 Własności operatorów unitarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Zad. 2.14 Unitarność a samosprzężoność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Orbitalny i spinowy moment pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Zad. 2.15 Orbitalny moment pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Zad. 2.16 Cząstka o spinie 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ć
Zad. 2.17 Operator L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Kwantowomechaniczny opis budowy materii 62
3.1 Elementy teorii układów wielocząstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Zad. 3.1 Stan dwucząstkowy bozonowy i fermionowy . . . . . . . . . . . . . . 62
Zad. 3.2 Operatory kreacji i anihilacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Zad. 3.3 Stany koherentne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Zad. 3.4 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Zad. 3.5 Oscylator harmoniczny w drugiej kwantyzacji . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Atom wodoropodobny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Zad. 3.6 Degeneracja poziomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Zad. 3.7 Stan podstawowy atomu wodoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Zad. 3.8 Orbitale rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Literatura 81
2
Rozdział 1
Podstawy mechaniki kwantowej. Ruch
pojedynczej cząstki
Zad. 1.1 Model atomu wodoru Bohra  Sommerfelda (wykład: rozdział 1)
Teoria Bohra  Sommerfelda jest naturalnym uogólnieniem półklasycznego modelu atomu
Bohra. Oparta jest na postulacie Sommerfelda  Wilsona mówiącym, że elektron porusza się w
polu elektrostatycznym pochodzącym od jądra atomowego po orbicie eliptycznej w taki sposób,
że całki działania liczone względem jego trajektorii k przyjmują dyskretne wartości,
pidqi = nih, ni " Z. (1.1)
k
Energia E i moment pędu J na trajektorii k są stałe, pi i qi to odpowiednio pęd uogólniony i
kanonicznie z nim sprzężona współrzędna uogólniona, h jest stałą Plancka.
1. Rozwiązać zagadnienie ruchu elektronu w polu o potencjale o symetrii sferycznej V (r) "
1/r, uzyskując równanie krzywej stożkowej, zadanej przez parametr p i mimośród liniowy
�. Określić rodzaj otrzymanej krzywej w zależności od wartości mimośrodu.
2. Korzystając z postulatu Sommerfelda  Wilsona, znalez
ć wyrażenia na moment pędu,
parametr i mimośród orbity elektronu. Znalez
ć wyrażenie na stosunek długości półosi.
3. Wyprowadzić wyrażenia na energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą w ruchu elektronu
po orbicie. Wyrazić energię całkowitą jako funkcję liczb kwantowych nr i nĆ.
4. Rozważyć przypadek orbity kołowej. Wyprowadzić warunek na liczby kwantowe nr i nĆ i
sprawdzić, że model Bohra  Sommerfelda staje się tożsamy modelowi Bohra.
3
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Rozwiązanie (Zad. 1.1).
Ad 1. Ruch elektronu o energii całkowitej E i momencie pędu J w potencjale sferycznosyme-
trycznym postaci
� Ze2
V (r) = - , � = (1.2)
r 4Ą�0
jest ruchem płaskim, opisywanym przez czterowymiarową przestrzeń fazową. W podprzestrzeni
konfiguracyjnej definiujemy współrzędne uogólnione q1 = r, q2 = Ć odpowiadające współrzęd-
nym w układzie biegunowym. Kanonicznie sprzężone z nimi pędy pr i pĆ można łatwo wyzna-
czyć z równań Eulera  Lagrange a. Lagrangian elektronu poruszającego się w potencjale V (r)
przyjmuje postać
1 �
L(r, Y, Ć, Ć) = T - V = m(Y2 + r2Ć2) + . (1.3)
Ł Ł
2 r
Odpowiednie pędy uogólnione wynoszą
"L "L
pr = = mY, pĆ = = mr2Ć. (1.4)
Ł
"Y "Ć
Ł
W ruchu płaskim moment pędu J wyraża się wzorem J = I�, gdzie I = mr2 jest momentem
bezwładności (elektron traktujemy punktowo) punktu materialnego o masie m, zaś � = Ć jest
Ł
prędkością kątową, stąd też mamy
pĆ = mr2Ć = J = const. (1.5)
Ł
Korzystając z definicji J, energię całkowitą elektronu wyrażamy jako
1 � 1 J2 �
E = T + V = m(Y2 + r2Ć2) - = mY2 + - , (1.6)
Ł
2 r 2 2mr2 r
z czego można wyznaczyć prędkość radialną Y,
"
( )
dr 2 J2 �
Y = = E - + . (1.7)
dt m 2mr2 r
Z definicji J = mr2Ć uzyskujemy prędkość kątową
Ł
dĆ J
Ć = = , (1.8)
Ł
dt mr2
dr
zaś obliczając uzyskujemy równanie różniczkowe określające parametryczną postać toru r(Ć),
dĆ
4
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
"
( )
dr dr dt Y mr2 2 J2 �
= � = = E - + . (1.9)
dĆ dt dĆ Ć J m 2mr2 r
Ł
Wprowadzamy oznaczenia
J2 2� 2E
a = - , b = , c = (1.10)
m2 m m
i rozdzielamy zmienne, uzyskując
J dr
dĆ = " . (1.11)
mr2 + + c
a b
r2 r
b
Podstawiamy nową zmienną u = , du = -b dr/r2,
r
J du
dĆ = - " . (1.12)
a
mb
u2 + u + c
b2
a
W celu łatwego scałkowania powyższego wyrażenia, trójmian kwadratowy u2 + u + c z mia-
b2
nownika można zapisać w tzw. postaci kanonicznej,
B B2 - 4AC
Ax2 + Bx + C = A(x - P )2 + Q, P = - , Q = - (1.13)
2A 4A
a
dla A = , B = 1 i C = c. Proste przekształcenia pozwalają odnalez
ć P i Q,
b2
1 b2 4AC - 1 b2
P = - = - , Q = = c - . (1.14)
2A 2a 4A 4a
Zwracając uwagę na to, że A < 0, dla czytelności można zapisać A = -|A|. Otrzymujemy:
J du
dĆ = - " , (1.15)
mb
Q - |A|(u - P )2
" "
zaś wykonując podstawienie t = |A|/Q(u - P ), du = Q/|A|dt, dostajemy
J dt
dĆ = - " " . (1.16)
1
mb |A| - t2
Obustronne całkowanie nie nastręcza już żadnych problemów, gdyż po prawej stronie znaku
5
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
+"
"-dx
równości pojawia się funkcja arcus cosinus, = arccos x + C,
1-x2
(" )
J |A|
Ć + C = " arccos (u - P ) . (1.17)
Q
mb |A|
Zawsze można dobrać warunek początkowy r(0) stowarzyszony z równaniem różniczkowym
(1.9) w taki sposób, aby stała całkowania C wynosiła zero. Wykorzystując wcześniej wpro-
wadzone definicje parametrów A, P, Q, a, b i c i definicję u = b/r, po dosyć żmudnych, ale
prostych przekształceniach uzyskujemy postać funkcji r(Ć),
p
r(Ć) = (1.18)
1 + � cos Ć
która przedstawia krzywą stożkową charakteryzowaną parametrem p i mimośrodem �, gdzie
"
J2 2EJ2
p = , � = 1 + . (1.19)
m� m�2
Planimetryczna analiza krzywych stożkowych pozwala stwierdzić, że jej rodzaj jest w pełni
charakteryzowany przez wartość mimośrodu:
(a) � = 0: okrąg;
(b) 0 < � < 1: elipsa;
(c) � = 1: parabola;
(d) � > 1: hiperbola.
Warto zauważyć, że aby tor ruchu elektronu stanowił, zgodnie z założeniem modelu Bohra -
Sommerfelda elipsę, spełniony musi być warunek
"
2EJ2
1 + < 1, (1.20)
m�2
co implikuje, że całkowita energia w ruchu E musi być ujemna.
Ad 2. Z postulatu kwantowania Sommerfelda - Wilsona wynikają dwie równości dotyczące
całek działania obliczanych względem dwóch typów zmiennych uogólnionych:
pĆdĆ = nĆh, prdr = nrh. (1.21)
k k
Krzywa k, po której całkujemy to elipsa zadana równaniem parametrycznym (1.18) i (1.19).
Z uwagi na to, że przy ustalonym p i � położenie punktu na krzywej jest w całości scharakte-
6
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
ryzowane przez kąt Ć, efektywnie obie całki krzywoliniowe mogą zostać sprowadzone do całek
Riemanna względem dĆ.
Zgodnie z (1.4) i (1.5), mamy pr = mY, pĆ = J. Stąd otrzymujemy
+"2Ą
pĆdĆ = JdĆ = 2ĄJ = nĆh, nĆ " N. (1.22)
k 0
Implikuje to wyrażenie na kwantowanie orbitalnego momentu pędu
h
J = nĆ , = . (1.23)
2Ą
Druga z całek działania przyjmuje postać
+"2Ą +"2Ą
dr dr
prdr = pr dĆ = mY dĆ. (1.24)
dĆ dĆ
k 0 0
Korzystając ponownie z równania parametrycznego (1.18), dostajemy
dr p� � �J sin Ć
= sin Ć = r2(Ć) sin Ć = (1.25)
dĆ (1 + � cos Ć)2 p mp Ć
Ł
gdzie ostatnia równość wynika z tego, że J = mr2Ć. Prędkość radialna Y daje się z wykorzy-
Ł
staniem (1.25) wyrazić jako
dr dĆ �J
Y = � = sin Ć. (1.26)
dĆ dt mp
Podstawiając wyrażenia na Y i dr/dĆ do całki działania, otrzymujemy
+"2Ą
sin2 Ć dĆ
prdr = �2J . (1.27)
(1 + � cos Ć)2
k 0
Wykonując całkowanie przez części otrzymujemy
�ł łł
+"2Ą +"2Ą
2Ą
sin2 Ć dĆ sin Ć cos Ć dĆ
�ł �ł
�2J = �2J - . (1.28)
(1 + � cos Ć)2 �(1 + � cos Ć) 0 �(1 + � cos Ć)
0 0
7
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Pierwszy wyraz po znaku równości znika i pozostaje całka postaci
( )
+"2Ą +"2Ą
cos Ć dĆ 1
-�J = -J 1 - dĆ (1.29)
1 + � cos Ć 1 + � cos Ć
0 0
+"2Ą
dĆ
= J - 2ĄJ.
1 + � cos Ć
0
Wyrażenie z prawej strony ostatniego znaku równości można obliczyć, wykorzystując twierdze-
nie Cauchy ego o residuach. Wprowadzając zmienną zespoloną z = eiĆ, otrzymujemy cos Ć =
1
(z + z-1), dz = ieiĆdz = izdĆ, skąd mamy dĆ = dz/(iz). Należy zauważyć, że specyficzny wy-
2
bór zmiennej z definiuje krzywą na płaszczyz
nie zespoloną - okrąg jednostkowy ł : [0, 1] - C,
ł(t) = z = e2Ąti:
+"2Ą
dĆ -2idz
= . (1.30)
1 + � cos Ć �z2 + 2z + �
0 ł
Twierdzenie 1 (o residuach). Niech X �" C będzie obszarem jednospójnym i niech funkcja
f : X \ {zi} - C będzie holomorficzna, zi " X. Dla dowolnej zamkniętej, gładkiej lub kawał-
kami gładkiej krzywej Jordana ł �" X \ {zi} ograniczającej obszar jednospójny � �" X zachodzi
"
f(z)dz = 2Ąi Resz (f). (1.31)
j
zj"�
ł
Trójmian kwadratowy �z2 + 2z + � z mianownika funkcji podcałkowej można zapisać w postaci
iloczynowej jako
"
-1 " 1 - �2
�z2 + 2z + � = �(z - z1)(z - z2), z1, 2 = . (1.32)
�
Wynika stąd, że funkcja podcałkowa nie jest określona w punktach z1 i z2, które stanowią dla
niej bieguny jednokrotne. Krzywa ł jest brzegiem koła jednostkowego � = {|z| 1}. Można
"
-1+ 1-�2
pokazać, że z1 < -1 oraz 0 z2 1, stąd jedynie z2 = leży wewnątrz obszaru �. Z
�
uwagi na twierdzenie o residuach, wartość poszukiwanej całki wyrazi się wzorem
( )
-2idz -2i
= 2Ąi Resz . (1.33)
2
�z2 + 2z + � �z2 + 2z + �
ł
8
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Twierdzenie 2. Niech z0 będzie biegunem jednokrotnym funkcji f, holomorficznej w jego oto-
czeniu. Residuum f w tym punkcie wyraża się wzorem
Resz (f) = lim (z - z0)f(z). (1.34)
0
zz0
Proste przekształcenie pozwala obliczyć
( )
-2i -2i
Resz = lim (z - z2) (1.35)
2
zz2
�z2 + 2z + � �(z - z1)(z - z2)
-2i -i
= = " ,
�(z2 - z1)
1 - �2
co implikuje
-2idz 2Ą
= " . (1.36)
�z2 + 2z + �
1 - �2
ł
Ostatecznie zatem całka działania przyjmuje postać
( )
1
prdr = 2ĄJ " - 1 = nrh. (1.37)
1 - �2
k
Jak można łatwo pokazać, z faktu, że dla orbit zamkniętych 0 � < 1 wynika, iż wyrażenie w
nawiasie jest ograniczone z dołu przez 0. Przekształcając, dostajemy
1 nr
0 " - 1 " , (1.38)
nĆ
1 - �2
co implikuje, że liczby kwantowe muszą być zgodnych znaków,
nr
0 �! nr 0. (1.39)
nĆ
Podstawiając J = nĆ , po kilku trywialnych przekształceniach dostajemy wyrażenie na mimo-
śród liniowy orbity elektronu,
"
( )2
nĆ
� = 1 - . (1.40)
nĆ + nr
Korzystając z wcześniejszych rezultatów, wiążących moment pędu z parametrem orbity, otrzy-
mujemy
n2
J2 Ć 2 Ze2
p = = , � = . (1.41)
m� m� 4Ą�0
9
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Z ogólnej geometrii analitycznej wynika, że związek między mimośrodem liniowym � oraz dłu-
gościami wielkiej (a) i małej (b) półosi wyrazić można wzorem
"
b2
� = 1 - . (1.42)
a2
Porównując to wyrażenie z wynikiem uzyskanym w (1.40) dostajemy
b nĆ
= . (1.43)
a nĆ + nr
Ad 3. Energia kinetyczna T wyraża się wzorem
1
T = m(Y2 + r2Ć2). (1.44)
Ł
2
Z wcześniejszych obliczeń wynika, że
�J J2 J2
Y = sin Ć, r2Ć2 = = (1 + � cos Ć)2. (1.45)
Ł
mp m2r2 m2p2
Podstawiając to do wyrażenia na T i korzystając z tego, że p = J2/m�, uzyskujemy
m�2
T = (1 + 2� cos Ć + �2). (1.46)
2J2
Analogicznie, energia potencjalna V będzie wyrażała się jako
� �
V = - = - (1 + � cos Ć). (1.47)
r p
Energia całkowita E = T + V , po prostych przekształceniach wynosi
m�2 m�2 1
E = (�2 - 1) = - " , n = nĆ + nr. (1.48)
2
2J2 2 (nĆ + nr)2 n2
Podstawiając definicję �, dostajemy związek
Z2e4m
E = - , n = nĆ + nr. (1.49)
8h2�2n2
0
Ad 4. Zgodnie z ogólną charakterystyką krzywych stożkowych, zadanie mimośrodu liniowego
równego 0 jest równoznaczne z otrzymaniem okręgu:
"
( )2
nĆ
� = 1 - = 0 (1.50)
nĆ + nr
10
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Rozwiązanie powyższego równania ze względu na nr daje nam
nr = 0 (" nr = -2nĆ, (1.51)
jednak drugie z rozwiązań musimy odrzucić, jako że nie spełnia (1.39). Stąd, orbita kołowa
opisana będzie warunkiem nr = 0. Uwzględnienie tego faktu w wyrażeniu na całkowitą energię
(1.49) nie zmienia rzecz jasna ogólnej jego postaci, która jest zgodna ze standardowym modelem
Bohra, zakładającym kołowe orbity i kwantowanie momentu pędu postaci J = n .
Zad. 1.2 Jednowymiarowy pakiet falowy (wykład: rozdziały 2, 2.4  2.6)
Rozważyć przypadek jednowymiarowego pakietu falowego zadanego funkcją falową �(x, t),
przyjmując, że scharakteryzowany jest on relacją dyspersyjną � = �(k), gdzie � i k to odpo-
wiednio częstość kołowa i liczba falowa. Udowodnić, że prędkość grupowa vg pakietu falowego
wyraża się wzorem
d�(k)
vg = . (1.52)
dk
Rozwiązanie (Zad. 1.2). Niech paczka falowa opisana będzie funkcją � " L2(R, dx) w pełni
Ć
scharakteryzowaną przez swoją transformatę Fouriera �(k),
+""
1
Ć
�(x, t) = " �(k)ei(kx-�(k)t)dk, (1.53)
2Ą
-"
gdzie explicite kładziemy relację dyspersyjną � = �(k). Zakładamy teraz, że pakiet falowy jest
 niemal monochromatyczny, tj. że relację dyspersyjną można przybliżyć dwoma pierwszymi
wyrazami rozwinięcia w szereg Taylora w otoczeniu punktu k0 tak, że paczka opisywana będzie
dyspersją liniową,
d�
�(k) = �(k0) + (k - k0). (1.54)
dk
k0
Wprowadzamy oznaczenia
d�
�(k0) = �0, = �0. (1.55)
dk
k0
11
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Funkcja falowa daje się przedstawić formułą przybliżoną jako
+""
1
0
Ć
�(x, t) = " �(k)ei(kx-t(� +�0(k-k0)))dk. (1.56)
2Ą
-"
Przekształcamy powyższy wzór, otrzymując
+""
1
0 0 0
Ć
�(x, t) = eit(� k0-�0) " �(k)eik(x-� t)dk = eit(� k0-�0)�(x(t)). (1.57)
2Ą
-"
dla x(t) = x - �0t. Amplituda pakietu u(x, t) = |�(x, t)| spełnia
u(x, t) = u(x - �0t), (1.58)
czyli ulega ona przesunięciu w stronę dodatnich wartości na osi rzeczywistej z prędkością
d�
�0 = a" vg, (1.59)
dk
k0
noszącą nazwę prędkości grupowej. Warto zauważyć, że w przypadku, gdy relacja dyspersyj-
na �(k) będzie silniejsza, niż wynika to z zastosowanego przybliżenia liniowego, amplituda
pakietu będzie ulegać zniekształceniom ( rozmyciu ) w czasie. Pakiet może być bowiem in-
terpretowany jako superpozycja wielu monochromatycznych pakietów, które, przez wzgląd na
relację d�/dk = const. słuszną dla nieliniowych dyspersji �(k), poruszać będą się z różnymi
8
prędkościami grupowymi.
Zad. 1.3 Gaussowski pakiet falowy (wykład: rozdziały 2, 2.4  2.6)
Zakładając, że w reprezentacji pędowej funkcja falowa pakietu falowego opisana jest wyra-
żeniem
{ }
itp2 �
�
�(p, t) = exp - �(p), (1.60a)
2m
{ }
1 i (p - Ł'p�')2
�
�(p) = exp - Ł'x�'p - , (1.60b)
2 2
(2ĄDp)1/4 4Dp
wyprowadzić funkcję falową w reprezentacji położeniowej.
Rozwiązanie (Zad. 1.3). Reprezentacje pędowa i położeniowa powiązane są ze sobą poprzez
12
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
unitarną transformatę Fouriera F,
+""
1 i
px
� �
f(x) = (F-1f)(x) = " f(p)e dp. (1.61)
2Ą
-"
Podstawiając wyrażenie (1.60a) do (1.61) i porządkując wykładniki, dostajemy
{ ( )} { }
+""
1 1 i p2 (p - Ł'p�')2
�(x, t) = " exp p(x - Ł'x�') - t exp dp (1.62)
2 2
(2ĄDp)1/4 2m 4Dp
2Ą
-"
Wprowadzamy nowe zmienne
� = x - Ł'x�', � = p - Ł'p�', dp = d� (1.63)
z czego wynika p = � + Ł'p�' oraz argument pierwszej funkcji eksponent
( ) ( )
i p2 i (� + Ł'p�')2
p(x - Ł'x�') - t = (� + Ł'p�')� - t (1.64)
2m 2m
( ( ) )
i Ł'p�'t �2t
= � � - + Ł'p�'� - - E(Ł'p�')t ,
m 2m
gdzie E(Ł'p�') = Ł'p�'2/2m.
Przekształcając stałą stojącą przed znakiem całkowania, zauważamy, że
2
2
Dp = (1.65)
2
4Dx
co wynika z faktu, że gasowski pakiet falowy minimalizuje zasadę nieoznaczoności. Korzystając
z tego faktu, dostajemy
"
1 1 1 Dx
" = . (1.66)
2
(2ĄDp)1/4 (2Ą)1/4 Ą
2Ą
Ł'p�'
Wprowadzamy dla czytelności nową zmienną �(t) = � - t, uzyskując całkę w zmienionej
m
postaci
"
{ }
+"" {
}
1 Dx i i
�(x, t) = exp Ł'p�'� - E(Ł'p�')t exp iu� - w�2 d�. (1.67)
(2Ą)1/4 Ą
-"
13
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
gdzie zastosowano pomocnicze oznaczenia
2
�(t) it Dx
u = , w = + . (1.68)
2 m 2
Można bardzo łatwo zweryfikować, że zachodzi równość
( )2
"
u u2
iu� - w�2 = - w� - i " - , (1.69)
2 w 4w
co pozwala nam dokonać kolejnej modyfikacji, otrzymując
"
{ }
1 Dx i i u2
�(x, t) = exp Ł'p�'� - E(Ł'p�')t - � (1.70)
(2Ą)1/4 Ą 4w
( )2}
+"" {
"
u
� exp - w� - i " d�.
2 w
-"
" "
u
Wykonujemy podstawienie z = w� - i2" , d� = dz/ w. Całkę sprowadzamy do postaci
w
"
{ }
+""
1 Dx i i u2 1 2
�(x, t) = exp Ł'p�'� - E(Ł'p�')t - � " e-z dz. (1.71)
(2Ą)1/4 Ą 4w w
-"
Teraz można wykorzystać następujący
Lemat 1. Zachodzi równość
+""
"
2
e-x dx = Ą. (1.72)
-"
Dowód. Rozważmy pomocniczą całkę
�ł �ł2
+" +"" +"" +""
2 2 2 2
�ł
e-(x +y2)dS(x, y) = dy e-x e-y dx = e-x dxłł = I2, (1.73)
-" -" -"
R2
co jest następstwem twierdzenia Fubiniego (Tonelliego) dla miary Jordana na płaszczyz
nie dS =
dxdy. Z drugiej jednak strony, po przejściu do biegunowego układu współrzędnych, x2+y2 = r2,
d(x,y)
dS = drdĆ = rdrdĆ, mamy
d(r,Ć)
+" +"2Ą +""
"
2 2 2
I2 = e-(x +y2)dS(x, y) = dĆ re-r dr = -Ąe-r = Ą (1.74)
0
0 0
R2
14
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
+"
"
2
"
co implikuje I = e-x dx = Ą.
-"
"
Całka wynosi zatem Ą co, po powtórnym podstawieniu definicji użytych parametrów po-
mocniczych pozwala nam zapisać
"
"
{ }
1 Dx i i u2 Ą
�(x, t) = exp Ł'p�'� - E(Ł'p�')t - � = (1.75)
(2Ą)1/4 Ą 4w w
" { }
Dx 1 i i u2
= " exp Ł'p�'� - E(Ł'p�')t - .
(2Ą)1/4 w 4w
Poza tym, trywialne przekształcenia pozwalają łatwo sprawdzić, że
"
Dx 1 1 1
" = " , (1.76a)
2
(2Ą)1/4 w (2ĄDx)1/4 1 + i t
2
2mDx
( )2
Ł'p�'
t
i i u2 i itŁ'p�'2 x - Ł'x�' - m
Ł'p�'� - E(Ł'p�')t - = Ł'p�'(x - Ł'x�') - - ( )
(1.76b)
4w 2m i t
2
4Dx 1 +
2
2mDx
co finalnie daje funkcję opisującą gaussowski pakiet falowy w reprezentacji położeniowej,
ńł
( )2 �ł
Ł'p�'
�ł �ł
�ł żł
t
1 1 i itŁ'p�'2 x - Ł'x�' - m
�(x, t) = " exp Ł'p�'(x - Ł'x�') - - ( )
. (1.77)
2
(2ĄDx)1/4 1 + i t �ł 2m i t �ł
2
ół �ł
4Dx 1 +
2 2
2mDx 2mDx
Zad. 1.4 Zjawisko tunelowania (wykład: rozdziały 2, 2.7 i 2.8)
Niech dana będzie jednowymiarowa, prostokątna bariera potencjału o szerokości a i wysoko-
ści U0, symetryczna względem początku układu współrzędnych. Rozważając strumień cząstek
o masie m i energii E < U0 nadlatujących z kierunku ujemnych wartości osi Ox, rozwiązać
stacjonarne równanie Schr�dingera, uzyskując wyrażenie na współczynnik transmisji T charak-
teryzujący zjawisko tunelowania cząstek przez barierę.
Rozwiązanie (Zad. 1.4). Rozważamy przestrzeń R1, w której zadano potencjał postaci
ńł
a
�łU0, |x| ,
2
U(x) = (1.78)
ół0, w innym przypadku.
15
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Stacjonarne równanie Schr�dingera przyjmuje postać
( )
2
d2
- + U(x) �(x) = E�(x), (1.79a)
2m dx2
ńł
�ł�1(x), x < -a
�ł
�ł
2
�ł
a
�(x) = (1.79b)
2
�ł�2(x), -a x 2,
�ł
�ł
a
ół�3(x), x > .
2
Spostrzeżenie 1. Rozwiązanie ogólne równania Schr�dingera jest postaci
ńł
�łeikx
�ł
+ Ae-ikx, x < -a
�ł
2
�ł
-łx a
�(x) = (1.80)
2
�łBe + B2 ełx, -a x 2,
�ł
�ł
ółCeikx a
, x > .
2
Dowód. Równanie (1.79a) wygodnie jest zapisać w postaci
d2 2m
�(x) + ��(x) = 0, � = (E - U(x)). (1.81)
2
dx2
Jako że dla każdego x jest to równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, jego
równanie charakterystyczne przyjmuje postać r2 + � = 0 i ma dwa pierwiastki r1, 2; stąd też,
1 2
całka ogólna tego równania będzie wyrażona jako kombinacja liniowa �(x) = A1er x + A2er x.
2
W obszarze x < -a mamy U(x) = 0 oraz � = 2Em/ > 0, co implikuje czysto urojone
2
"
pierwiastki wielomianu charakterystycznego r1, 2 = ąi 2mE/ oraz
"
2mE
�1(x) = A1eikx + A2e-ikx, k = . (1.82)
Człon eikx opisuje falą płaską cząstek nadlatujących z lewej strony i nie jest całkowalny z kwa-
dratem, nie reprezentuje więc funkcji falowej. Niemniej może zostać użyty jako  prototypowa
funkcja falowa, na bazie której można rozważać faktyczne funkcje falowe w postaci pakietów,
całkowalnych z kwadratem i przez to normalizowalnych. Ponieważ z tego tytułu nie musi-
my przejmować się normalizacją rozwiązań, można utożsamiać ze sobą funkcje f1 i f2 będące
rozwiązaniami równania Schr�dingera pod warunkiem istnienia takiej stałej multiplikatywnej
ą " C, że f1 = ąf2. Wygodnie więc podzielić funkcję �1 przez współczynnik A1 i rozpatrywać
względną amplitudę A a" A2/A1,
�1(x) = eikx + Ae-ikx, (1.83)
16
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
której kwadrat modułu wyraża prawdopodobieństwo odbicie się cząstki od bariery.
a 2
W obszarze -a x mamy U(x) = U0 > E, � = 2m(E - U0)/ < 0 co implikuje
2 2
rozwiązanie rzeczywiste w postaci
"
2m(U0 - E)
�2(x) = Be-łx + B2 ełx, ł = . (1.84)
W trzecim obszarze, podobnie jak w pierwszym rozwiązanie przedstawiamy jako falę płaską
(nienormalizowalną) biegnącą tym razem tylko w prawo (brakuje cząstek, które mogłyby przy-
lecieć ze strony dodatnich x),
"
2mE
�3(x) = Ceikx, k = , (1.85)
co kończy dowód.
Na funkcję �(x) nakłada się dodatkowe warunki brzegowe, jakie powinna spełniać porządna
funkcja falowa w postaci tzw. warunków zszywania
(
a) ( a) (a) (a)
�1 - = �2 - , �2 = �3 , (1.86a)
2 2 2 2
d�1 ( a) d�2 ( a) d�2 (a) d�3 (a)
- = - , = . (1.86b)
dx 2 dx 2 dx 2 dx 2
Różniczkując funkcję �(x), dostajemy ogólne związki
d�1
= ik(eikx - Ae-ikx), (1.87a)
dx
d�2
= ł(B2 ełx - Be-łx), (1.87b)
dx
d�3
= ikCeikx. (1.87c)
dx
Obliczając wartości funkcji �i(x) oraz ich pochodnych w punktach ąa/2 uzyskujemy następu-
jący układ równań wyrażający warunki zszycia
ńł
ika ika ła ła
�łe-
2 2 2
�ł
+ Ae = Be + B2 e- 2
�ł
�ł
�ł
�ł ła ła ika
�łBe-
2 2 2
+ B2 e = Ce
(1.88)
ika ika ła ła
�łike-
2 2 2 2
�ł
- ikAe = -łBe + łB2 e-
�ł
�ł
�ł
�ł ła ła ika
ół-łBe-
2 2 2
+ łB2 e = ikCe .
Otrzymany układ równań z czterema niewiadomymi A, B, B2 i C wygodnie jest zapisać w
17
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
postaci macierzowej,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ika ła ła ika
2 2 2 2
e -e -e- 0 A -e-
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ła ła ika
�ł 2 2 2 �ł �ł �ł �ł �ł
0 e- e -e B 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
= . (1.89)
ika ła ła ika
�ł �ł �ł �ł �ł
2 2 2 2
-ike łe -łe- 0 B2 -ike- �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
ła ła ika
2 2 2
0 -łe- łe -ike C 0
Wyznacznik macierzy głównej T układu można obliczyć, stosując rozwinięcie Laplace a np.
względem pierwszej kolumny. Dostaniemy
ła ła ika
2 2 2
e- e -e
ika
ła ła
2
2 2
det T = e � (-1)1+1 � + (1.90)
łe -łe- 0
ła ła ika
2 2 2
-łe- łe -ike
ła ła
2
-e -e- 2
0
ika
ła ła
ika
2
2 2 2
+(-ik)e � (-1)3+1 � .
e- e -e
ła ła ika
2
-łe- 2 2 -ike
łe
Pozostałe wyznaczniki trzeciego stopnia można obliczyć łatwo, stosując rozwinięcie Sarrusa.
Po wykonaniu prostych obliczeń i skorzystaniu z definicji funkcji cyklometrycznych sinh x =
1 1
(ex - e-x), cosh x = (ex + e-x), otrzymujemy
2 2
det T = 2eika(2ikł cosh ła + (k2 - ł2) sinh ła). (1.91)
Interesuje nas współczynnik C, opisujący transmisję cząstek przez barierę potencjału. Stosując
wzory Cramera, wystarczy zatem obliczyć
ika ła ła -ika
2 2 2 2
e -e -e- -e
ła ła
0 e- 2 2
e 0
det TC = = 4ikł, (1.92)
ika ła ła ika
2 2 2 2
-ike łe -łe- -ike-
ła ła
2
0 -łe- 2
łe 0
oraz, finalnie,
det TC 2ikł
C = = . (1.93)
det T eika(2ikł cosh ła + (k2 - ł2) sinh ła)
Prawdopodobieństwo przejścia, czyli tzw. współczynnik transmisji jest równy kwadratowi mo-
dułu C,
4k2ł2
|C|2 = . (1.94)
|2ikł cosh ła + (k2 - ł2) sinh ła|2
18
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Zauważamy, że
|2ikł cosh ła + (k2 - ł2) sinh ła|2 = (k2 - ł2)2 sinh2 ła + 4k2ł2 cosh2 ła (1.95)
co, po spostrzeżeniu, iż
(k2 - ł2)2 = k4 - 2k2ł2 + ł4 = (k4 + 2k2ł2 + ł4) - 4k2ł2 (1.96)
= (k2 + ł2)2 - 4k2ł2
daje nam, po skorzystaniu z tzw. hiperbolicznej jedynki trygonometrycznej cosh2 x-sinh2 x = 1
wyrażenie postaci
4k2ł2
|C|2 = (1.97)
(k2 + ł2)2 sinh2 ła + 4k2ł2(cosh2 ła - sinh2 ła)
4k2ł2
= .
(k2 + ł2)2 sinh2 ła + 4k2ł2
Zad. 1.5 Prawdopodobieństwo w przestrzeni pędów (wykład: rozdział 2, 2.4)
Znalez
ć rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla funkcji falowej określonej wzorem �(x) =
A�[0, L](x) w reprezentacji pędowej. Wyznaczyć A, przyjmując, że jest to liczba rzeczywista.
Rozwiązanie (Zad. 1.5). Funkcja falowa �(x) określona jest nad przestrzenią R1 wzorem
ńł
�łA, x " [0, L],
�(x) = A�[0, L](x) = (1.98)
ół0, w innym przypadku.
Wyznaczenie stałej A (zakładamy A " R) nie nastręcza trudności, jeżeli nałożymy na funkcję
falową warunek unormowania,
+""
%"�%"2 = |�(x)|2dx = 1. (1.99)
-"
Podstawiając wzór funkcji i zauważając, że zachodzi równość dystrybucji
+" +"L
� d�[0, L] = � dx (1.100)
R 0
19
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
dla d�[0, L] = �[0, L](x)dx i funkcji f całkowalnej w przedziale [0, L], dostajemy od razu
+"L
1 = %"�%"2 = |A|2 dx = |A|2L, (1.101)
0
z czego wnioskujemy
1
"
|A| = A = . (1.102)
L
Reprezentacje położeniowa i pędowa związane są ze sobą unitarną transformatą Fouriera tak,
że
+""
ipx
1
�
�(x) = " �(p)e dp, (1.103a)
2Ą
-"
+""
ipx
1
�
�(p) = " �(x)e- dx. (1.103b)
2Ą
-"
Funkcja falowa w reprezentacji pędowej przyjmuje zatem postać
+"L
A ipx
�
�(p) = " e- dx, (1.104)
2Ą
0
co, po położeniu t = -ipx/ , dx = (i /p)dt i scałkowaniu w granicach t(0) = 0, t(L) = -ipL/
daje nam
t(L)
"
+"
( )
ipL
i A iA
�
�(p) = " etdt = e- - 1 . (1.105)
p 2Ą
p 2Ą
t(0)
1
Wprowadzamy nową zmienną � = L, wyznaczającą środek oraz jednocześnie połowę długości
2
przedziału [0, L]. Jak łatwo sprawdzić, implikuje to
( )
ipL ip� ip� ip� ip� p�
e- - 1 = e- e- - e = -2ie- sin . (1.106)
Dzięki temu mamy funkcję falową w reprezentacji pędowej
" "
�p Lp
ip� sin ip� sin
2 2
2
�
�(p) = Ae- = e- . (1.107)
Ą p ĄL p
20
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Odpowiadający jej rozkład gęstości prawdopodobieństwa to
sin2 Lp
2 L sin2 �(p) Lp
2
�
|�(p)|2 = = , �(p) = . (1.108)
ĄL p2 2Ą �2(p) 2
Zad. 1.6 Równanie ciągłości (wykład: rozdział 1)
Korzystając z równania Schr�dingera dla cząstki swobodnej, wyprowadzić równanie ciągłości
dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Rozważyć przypadki jedno- i trójwymiarowy.
Rozwiązanie (Zad. 1.6). Równanie Schr�dingera dla cząstki swobodnej przedstawia się jako
2
"�(r, t)
- "2�(r, t) = i (1.109)
2m "t
gdzie Laplasjan we współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni R3 zdefiniowany jest jako
"2 "2 "2
"2 = + + , (1.110)
"x2 "y2 "z2
zaś w przypadku przestrzeni R1 redukuje się do
"2
"2 = . (1.111)
"x2
Będziemy stosowali oznaczenie "2 bez względu na wymiar przestrzeni, jako że wyprowadzenie
równania ciągłości nie różni się w przypadku jedno- i trójwymiarowym. Odpowiednie równanie
sprzężone przedstawia się analogicznym wzorem,
2
"�(r, t)
- "2�(r, t) = -i . (1.112)
2m "t
2
Fakt ten można uzasadnić obserwacją, z której wynika że operator energii H = -2m"2 jest
symetryczny, zaś po przyjęciu pewnych założeń, także  samosprzężony (mimo nieograniczo-
ności).
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie r określamy jako
�(r, t) = |�(r, t)|2 = �(r, t)�(r, t). (1.113)
21
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Obliczamy pochodną po czasie tego wyrażenia ,
"�(r, t) "�(r, t) "�(r, t)
= �(r, t) + �(r, t) (1.114)
"t "t "t
zaś pochodne funkcji �(r, t) i �(r, t) po czasie uzyskujemy z (1.109) i (1.112),
"�(r, t)
= "2�(r, t), (1.115a)
"t 2mi
"�(r, t)
= - "2�(r, t). (1.115b)
"t 2mi
Podstawiając, dostajemy związek
( )
"�(r, t)
= - �(r, t)"2�(r, t) - �(r, t)"2�(r, t) . (1.116)
"t 2mi
Definiuje się prąd gęstości prawdopodobieństwa,
( )
j(r, t) = �(r, t)"�(r, t) - �(r, t)"�(r, t) , (1.117)
2mi
gdzie wektorowy operator gradientu we współrzędnych kartezjańskich w przypadku trójwymia-
rowym definiujemy jako
3
"
"
" = ęi , (1.118)
"xi
i=1
"
zaś w jednowymiarowym mamy po prostu " = , ęi oznaczają odpowiednią bazę standardową.
"x
Dywergencję pola wektorowego A(r) w R3 definiujemy jako formalny iloczyn skalarny operatora
gradientu i pola, tj.
3
"
"Ai
div A = " � A = , (1.119)
"xi
i=1
"A(x)
co w przypadku jednowymiarowym jest po prostu równe div A(x) = . Obliczamy dywer-
"x
gencję prądu gęstości prawdopodobieństwa, stosując następującą cechę dywergencji,
div (ĆA) = ("Ć) � A + Ć div A, Ć : R3 - R, (1.120)
22
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
otrzymując
( )
div j(r, t) = ("�) � "� + �"2� - ("�) � ("�) - �"2� (1.121)
2mi
( )
= �"2� - �"2�
2mi
co jest dokładnie równe ujemności prawej strony w (1.116). Stąd też uzyskujemy równanie
ciągłości dla gęstości prądu prawdopodobieństwa odpowiednio w przypadku trój- i jednowy-
miarowym:
"�(r, t) "�(x, t) "j(x, t)
+ div j(r, t) = 0, + = 0. (1.122)
"t "t "x
Zad. 1.7 Równanie ciągłości  ciąg dalszy (wykład: rozdział 1)
Zilustrować prawdziwość równania ciągłości z Zad. 1.6 dla gaussowskiej paczki falowej w
przestrzeni R1.
Rozwiązanie (Zad. 1.7). Rozważać będziemy jednowymiarowe równanie ciągłości (1.122), tj.
"�(x, t) "j(x, t)
+ = 0, (1.123)
"t "x
gdzie �(x, t) jest całkowalną z kwadratem funkcją falową spełniającą zależne od czasu równanie
Schr�dingera. Kładziemy � określające gaussowski pakiet falowy w reprezentacji położeniowej,
ńł
( )2 �ł
Ł'p�'
�ł �ł
�ł żł
x - t
1 1 i itŁ'p�'2 m
�(x, t) = " exp Ł'p�'x - - ( )
. (1.124)
2
(2ĄDx)1/4 1 + i t �ł 2m i t �ł
2
ół �ł
4Dx 1 +
2 2
2mDx 2mDx
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa stowarzyszony z tą funkcją daje się zapisać jako
ńł
( )2 �ł
Ł'p�'
�ł �ł
�ł żł
x - t
1 m
�(x, t) = |�(x, t)|2 = " exp - = A(t)eB(x,t). (1.125)
2
�ł 2Dx(t) �ł
2ĄDx(t)
ół �ł
z zależną od czasu dyspersją
"
2
t2
2
Dx(t) = Dx + . (1.126)
2
4m2Dx
23
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Jako wielkości pomocnicze, obliczmy
2 2
"Dx(t) 1 2 t t
= " = , (1.127a)
2 2
2
"t t2 4m2Dx 4m2DxDx(t)
2
2 Dx +
2
4m2Dx
2
"A(t) 1 "Dx(t) 1 t
= -" = -" � (1.127b)
2
2 2
"t "t 4m2DxDx(t)
2ĄDx(t) 2ĄDx(t)
( )
2 2
1 t t
= - " = -A(t) ,
2 2 2 2
4m2DxDx(t) 4m2DxDx(t)
2ĄDx(t)
( ) ( ) ( )2
Ł'p�' Ł'p�'
2 x
2 x - t � -Ł'p�' � 2Dx(t) - x - t � 4Dx(t)"D (t)
"B(x, t) m m m "t
= - (1.127c)
4
"t 4Dx(t)
[
( ) ( )2]
2
1 Ł'p�' Ł'p�' t Ł'p�'
2
= x - t Dx(t) + x - t
4 2
Dx(t) m m 4m2Dx m
( )
2
�(x, t) Ł'p�' t �(x, t)
= + ,
2 2 2
Dx(t) m 4m2DxDx(t)
Ł'p�'
gdzie �(x, t) = x - t.
m
Obliczamy pochodną czasową rozkładu:
"�(x, t) "A(t) "B(x, t)
= eB(x,t) + A(t)eB(x,t) (1.128)
"t "t "t
( )
2 2
t �(x, t) Ł'p�' t �(x, t)
= - A(t)eB(x,t) + A(t)eB(x,t) +
2 2 2 2 2
4m2DxDx(t) Dx(t) m 4m2DxDx(t)
[ ( )]
2 2
t �(x, t) Ł'p�' t �(x, t)
= �(x, t) - + +
2 2 2 2 2
4m2DxDx(t) Dx(t) m 4m2DxDx(t)
[ ( ) ]
2
�(x, t) t �2(x, t) Ł'p�'
= - 1 + �(x, t) .
2 2 2
Dx(t) 4m2Dx Dx(t) m
Dla przypadku jednowymiarowego, prąd gęstości prawdopodobieństwa to
( )
"�(x, t) "�(x, t)
j(x, t) = �(x, t) - �(x, t) . (1.129)
2mi "x "x
Zauważamy jednak, że - jak można łatwo pokazać - zachodzi
"� "�
� = � , (1.130)
"x "x
zatem prąd daje się wyrazić w formie
( )
"�
j(x, t) = ! � . (1.131)
m "x
24
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Trywialny rachunek pokazuje
"� "B(x, t)
= A(t)eB(x,t) (1.132)
"x "x
�ł �ł
i �(x, t)
�ł
= �(x, t) Ł'p�' - ( )łł
,
i t
2
2Dx 1 +
2
2mDx
stąd mamy, że
�ł �ł �łłł
i �(x, t)
j(x, t) = !�ł|�(x, t)|2 �ł Ł'p�' - ( )łł�ł
(1.133)
m i t
2
2Dx 1 +
2
2mDx
( )
�(x, t) Ł'p�' t�(x, t)
= +
2 2
m 4mDxDx(t)
Dywergencja prądu jest w przypadku jednowymiarowym jedynie jego pochodną po x,
( )
2
"j(x, t) "�(x, t) Ł'p�' t�(x, t) t�(x, t)
= + + . (1.134)
2 2 2 2
"x m "x 4mDxDx(t) 4m2DxDx(t)
Pojawiająca się w powyższym wyrażeniu dywergencja rozkładu �(x, t) daje się zapisać jako
"�(x, t) "B(x, t) �(x, t)
= A(t)eB(x,t) = -�(x, t) , (1.135)
2
"x "x Dx(t)
dzięki czemu, po wykonaniu prostych przekształceń, dywergencja gęstości prądu prawdopodo-
bieństwa jest równa
[ ( ) ]
2
"j(x, t) �(x, t) t �2(x, t) Ł'p�'
= - - 1 + �(x, t) , (1.136)
2 2 2
"x Dx(t) 4m2Dx Dx(t) m
czyli spełniony jest poddawany weryfikacji związek
"�(x, t) "j(x, t)
+ = 0 (1.137)
"t "x
będący specjalnym przypadkiem równania ciągłości "t�(x, t) + div j(r, t) = 0.
25
Rozdział 2
Formalizm matematyczny mechaniki
kwantowej
2.1 Iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta
Zad. 2.1 Przestrzenie o skończonym wymiarze (wykład: rozdział 3, 3.4)
Zbadać, czy podane niżej odwzorowania dwuargumentowe są iloczynami skalarnymi w prze-
strzeni V . Jeżeli nie, wskazać, dlaczego.
n
"
1. V = Rn, Ł'x|y�' = xiyi,
i=1
n
"
2. V = Cn, Ł'x|y�' = xiyi,
i=1
n
"
3. V = Cn, Ł'x|y�' = xiyi.
i=1
Rozwiązanie (Zad. 2.1). Kolejno dla wszystkich podpunktów należy sprawdzić, czy zadane od-
wzorowanie dwuargumentowe spełnia aksjomatykę iloczynu skalarnego, tj. czy jest liniowe ze
względu na drugi i antyliniowe ze względu na pierwszy składnik, czy jest symetryczne w do-
kładnością do sprzężenia zespolonego i czy jest niezdegenerowane i nieujemnie określone.
Ad 1. A
atwo można zauważyć, że zachodzi
n n
" "
Ł'x|y�' = xiyi = yixi = Ł'y|x�', (2.1)
i=1 i=1
26
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
co przy założeniu o tym, że x i y są rzeczywiste, implikuje ponadto symetryczność tego odwzo-
rowania, Ł'x|y�' = Ł'x|y�' = Ł'y|x�'.
Równie łatwo zauważamy, że
n n n
" " "
Ł'ąx + �y|z�' = (ąxi + �yi)zi = ą xizi + � yizi = ąŁ'x|z�' + �Ł'y|z�', (2.2a)
i=1 i=1 i=1
n n n
" " "
Ł'x|ąy + �z�' = xi(ąyi + �zi) = ą xiyi + � xizi = ąŁ'x|y�' + �Ł'x|z�', (2.2b)
i=1 i=1 i=1
co w obliczu wykazanej wcześniej symetryczności oznacza, że Ł'x|y�' jest istotnie liniowe ze
względu drugi i (anty)liniowe ze względu na pierwszy składnik. Położenie y = x daje nam
n
"
Ł'x|x�' = x2 0, (2.3)
i
i=1
gdyż każdy ze składników sumy postaci x2 jest nieujemny dla dowolnego rzeczywistego xi.
i
Oczywiście z tego wynika, że równość Ł'x|x�' = 0 otrzymujemy wyłącznie dla x = 0. Można to
łatwo udowodnić, posługując się następującym twierdzeniem pomocniczym:
"n
Lemat 2. Niech (ai)n będzie ciągiem nieujemnych liczb rzeczywistych. Równość ai = 0
i=1
i=1
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ai = 0 dla każdego i " {1, 2, ..., n}.
"n
Dowód. Załóżmy, że ai = 0. Z założenia o nieujemności ai wynika, że ciąg sum częścio-
i=1
wych (sk) zdefiniowanych rekurencyjnie jako sk = sk-1 + ak, s1 = a1 jest nieujemny i spełnia
n
"
0 s1 s2 ... sn = ai = 0. (2.4)
i=1
Oznacza to że s1 = a1 = 0, s2 = a2 + a1 = a2 = 0 itd., czyli ai = 0 dla każdego i. Oczywiście
zakładając, że ai = 0, dowód  w drugą stronę jest trywialny.
Na podstawie lematu 2 wynika, że Ł'x|y�' jest niezdegenerowany, tj. Ł'x|x�' = 0 tylko dla x2 = 0 i
i
tym samym xi = 0. Stąd, jest to iloczyn skalarny w Rn.
"n
Ad 2. Bardzo łatwo pokazać, że Ł'x|y�' zadane wzorem Ł'x|y�' = xiyi dla x, y " Cn jest
i=1
liniowy ze względu na oba składniki, co oznacza w szczególności, że
Ł'x|ąy + �z�' = ąŁ'x|y�' + �Ł'x|z�'. (2.5)
27
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Ponieważ jednak ą, � " C, wyklucza to antyliniowość tego odwzorowania i tym samym Ł'x|y�'
nie może być iloczynem skalarnym. Ponadto, żądanie aby Ł'x|y�' było równe Ł'y|x�' prowadzi do
warunku
n n n
" " "
Ł'x|y�' = xiyi = yi xi = yixi = Ł'y|x�', (2.6)
i=1 i=1 i=1
co implikuje, że xi = xi i yi = yi, czyli wektory x i y muszą być rzeczywiste. Bez dwóch zdań
jest to sprzeczne z założeniem, że x, y " Cn więc tak zadane Ł'x|y�' nie jest iloczynem skalarnym.
"n
Ad 3. A
atwo pokazujemy, że Ł'x|y�' = xiyi jest liniowe ze względu na drugi i antyliniowe
i=1
ze względu na pierwszy składnik, tj.
n n n
" " "
Ł'x|ąy + �z�' = xi(ąyi + �zi) = ą xiyi + � xizi = ąŁ'x|y�' + �Ł'x|z�', (2.7a)
i=1 i=1 i=1
n n n
" " "
Ł'ąx + �y|z�' = (ąxi + �yi)zi = ą xizi + � yizi = ąŁ'x|y�' + �Ł'y|z�'. (2.7b)
i=1 i=1 i=1
Podobnie, obliczenie sprzężenia odwzorowania prowadzi do równości
n n n
" " "
Ł'x|y�' = xiyi = xiyi = yixi = Ł'y|x�'. (2.8)
i=1 i=1 i=1
Położenie y = x daje nam
n n
" "
Ł'x|x�' = xixi = |xi|2 0, (2.9)
i=1 i=1
zaś równość Ł'x|x�' zachodzi, w oparciu o lemat 2, tylko dla wektora x = 0. Stąd wnioskujemy,
że Ł'x|y�' jest iloczynem skalarnym w Cn.
Zad. 2.2 Przestrzeń macierzy zespolonych
Ć
Niech dla dowolnych dwóch macierzy kwadratowych �, B z przestrzeni macierzy o zespolo-
nych współczynnikach Mn(C) wymiaru n�n określone będzie odwzorowanie dwuargumentowe
Ć
Ł'A|B�' = tr (B �). (2.10)
Pokazać, że jest to iloczyn skalarny.
28
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Rozwiązanie (Zad. 2.2). W celu rozwiązania tego zadania, najpierw zapiszemy, a następnie
udowodnimy kilka podstawowych własności śladu.
Lemat 3 (Własności śladu). Ślad tr (�) macierzy kwadratowej � " Mn(C) definiujemy jako
"n
sumę jej elementów diagonalnych, tr (�) = Aii. Spełnia on następujące własności:
i=1
1. tr (�) =  tr (�),
Ć Ć
2. tr (� + B) = tr (�) + tr (B),
3. tr (� ) = tr (�).
Ć
Dowód. Jak łatwo sprawdzić, mamy (�)ij = Aij oraz (� + B)ij = Aij + Bij. Daje to
n n n
" " "
tr (�) = (�)ii = Aii =  Aii =  tr (�), (2.11a)
i=1 i=1 i=1
n n n n
" " " "
Ć Ć
tr (� + B) = (� + B)ii = (Aii + Bii) = Aii + Bii (2.11b)
i=1 i=1 i=1 i=1
Ć
= tr (�) + tr (B).
Zauważmy, że jedną z podstawowych własności sprzężenia hermitowskiego jest (� )ij = Aji.
Wynika stąd, że (� )ii = Aii, czyli
n n n
" " "
tr (� ) = (� )ii = Aii = Aii = tr (�). (2.12)
i=1 i=1 i=1
Lemat 4. Dla dowolnej macierzy kwadratowej � " Mn(C) i dowolnego  " C zachodzi (�) =
� .
Ć
Korzystając z dwóch powyższych lematów i definicji zadanego odwzorowania Ł'�|B�' =
Ć
tr (B �), można łatwo pokazać, że
Ć Ć Ć
Ł'ą� + �B|
�' = tr (
(ą� + �B)) = ą tr (
�) + � tr (B�) (2.13a)
Ć
= ąŁ'�|
�' + �Ł'B|
�',
Ć Ć Ć
Ł'�|ąB + �
�' = tr ((ąB) �) + tr ((�
) �) = ą tr (B �) + �tr (
�) (2.13b)
Ć
= ąŁ'�|B�' + �Ł'�|
�',
Ć
czyli Ł'�|B�' jest liniowe ze względu na drugi i antyliniowe ze względu na pierwszy składnik.
29
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Z lematu 3 wynika natychmiast
Ć Ć Ć Ć Ć
Ł'�|B�' = tr (B �) = tr ((B �) ) = tr (� B) = Ł'B|��'. (2.14)
Ć
Kładąc teraz B = � mamy
n
"
Ł'�|��' = tr (� �) = (� �)ii. (2.15)
i=1
"n
Ć
Z ogólnych reguł mnożenia macierzy mamy, że (�B)ij = AikBkj, czyli
k=1
n n n n n n
" " " " " "
Ł'�|��' = (� )ikAki = AkiAki = |Aki|2 0, (2.16)
i=1 k=1 i=1 k=1 i=1 k=1
gdyż liczby |Aki|2 są nieujemne. Ponownie stosując lemat 2 wnioskujemy, że Ł'�|��' = 0 wtedy
i tylko wtedy, gdy wszystkie Aki są zerami, czyli gdy � jest macierzą zerową. Stąd wynika
Ć
nieujemność i niezdegenerowanie odwzorowania Ł'�|B�' co, w połączeniu z pokazaną wcześniej
liniowością i antyliniowością dowodzi, że jest to iloczyn skalarny w przestrzeni Mn(C).
Zad. 2.3 Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem (wykład: rozdział 3, 3.4)
Pokazać, że odwzorowanie dwuargumentowe zadane wzorem
+"b
Ł'f|g�' = f(x)g(x) dx (2.17)
a
gdzie f i g są całkowalnymi funkcjami o wartościach zespolonych, określonymi na odcinku
[a, b] �" R, jest iloczynem skalarnym.
Rozwiązanie (Zad. 2.3). Przestrzeń funkcyjna jest liniowa, więc w ogólności działania mnożenia
funkcji przez element z ciała liczbowego i dodawania funkcji są zdefiniowane  punktowo tak,
że dla dowolnej funkcji f i dowolnej liczby ą " C definiujemy funkcję ąf taką, że (ąf)(x) =
ąf(x) oraz dla dowolnej funkcji g definiujemy sumę funkcji f i g jako taką funkcję f + g, że
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
30
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Sprawdzamy liniowość i antyliniowość odwzorowania:
+"b
Ł'ąf + �g|h�' = (ąf + �g)(x)h(x) dx (2.18a)
a
+"b
= (ąf(x) + �g(x))h(x) dx
a
+"b +"b
= ą f(x)h(x) dx + � g(x)h(x) dx
a a
= ąŁ'f|h�' + �Ł'g|h�',
+"b
Ł'f|ąg + �h�' = f(x)(ąg(x) + �h(x)) dx (2.18b)
a
+"b +"b
= ą f(x)g(x) dx + � f(x)h(x) dx
a a
= ąŁ'f|g�' + �Ł'f|h�'.
Obliczenie sprzężenia Ł'f|g�' daje nam
+"b +"b +"b +"b
Ł'f|g�' = f(x)g(x) dx = f(x) g(x) dx = f(x)g(x) dx = g(x)f(x) dx (2.19)
a a a a
= Ł'g|f�'.
Podobnie, położenie g = f daje nam
+"b +"b
Ł'f|f�' = f(x)f(x) dx = |f(x)|2 dx 0, (2.20)
a a
gdyż funkcja podcałkowa jest nieujemna. Jednocześnie, proste jest sprawdzenie, że skoro mamy
|f(x)|2 0, to równość Ł'f|f�' = 0 zachodzi wyłącznie dla funkcji tożsamościowo równej zero1,
co dowodzi niezdegenerowania odwzorowania Ł'f|g�' i ostatecznie tego, że jest ono iloczynem
skalarnym.
Przestrzeń funkcji zespolonych, dla których wyrażenie Ł'f|f�' istnieje i jest skończone nazywamy
+"
b
1
Udowodnienie, że f(x) dx 0 o ile f(x) 0 na rozważanym przedziale [a, b] jest bardzo proste w oparciu
a
o definicję całki Riemanna oraz używany już kilkukrotnie lemat 2.
31
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem (na odcinku [a, b]) i oznaczamy standardowo
symbolem L2([a, b]). Ponieważ jest to przestrzeń Hilberta, jest ona zupełna w sensie normy %" �%"
"
zadanej przez iloczyn skalarny tak, że %"f%" := Ł'f|f�'.
2.2 Własności operatorów nad przestrzenią Hilberta
Zad. 2.4 Operatory komutujące (wykład: rozdział 3, 3.4)
Ć
Pokazać, że jeżeli dla dowolnych dwóch operatorów liniowych �, B : X - X gdzie X jest
Ć
przestrzenią Hilberta zachodzi [�, B] = 0, to operatory te mają te same wektory własne.
Rozwiązanie (Zad. 2.4). Załóżmy, że x " X jest wektorem własnym operatora �, tj. �x = x.
Ć
Z warunku zerowania się komutatora operatorów � i B uzyskujemy
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć
[�, B]x = �Bx - B�x = �Bx - B(x) = �(Bx) - (Bx) = 0, (2.21)
Ć Ć Ć
co implikuje, że �(Bx) = (Bx), czyli wektor Bx jest również wektorem własnym operatora
�, stowarzyszonym z tą samą wartością własną . Ponieważ jednak fakt ten obowiązuje dla
Ć
wszystkich wektorów własnych x, wektor Bx może być co najwyżej wprost proporcjonalny
Ć Ć
do x, czyli Bx = �x dla pewnego �. Stąd, x jest również wektorem własnym operatora B,
stowarzyszonym z pewną wartością własną �.
Zad. 2.5 Operator odwrotny
Pokazać, że jeżeli � : X - X jest operatorem samosprzężonym i �-1 istnieje, to �-1x =
-1x.
Rozwiązanie (Zad. 2.5). Niech �x = x. Jak łatwo zauważyć, [�, �-1] = 0, czyli z rozwiązania
zadania Zad. 2.4 wynika, że �-1 ma te same wektory własne co �. Oznacza to �-1x = �x dla
pewnej liczby �. Działając na równanie własne operatora � z lewej strony operatorem �-1,
dostajemy
�-1�x = �-1x �! x = (�-1x) = �x, (2.22)
z czego wynika, że � = 1, czyli � = -1 i przez to �-1x = -1x.
Zad. 2.6 Operatory normalne.
Pokazać, że jeżeli � : X - X jest operatorem normalnym, to:
32
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
1. operator sprzężony � ma te same wektory własne co �,
2. wartości własne operatora � są sprzężeniami zespolonymi wartości własnych �.
Rozwiązanie (Zad. 2.6). Zdefiniujmy najpierw pojęcie operatora normalnego:
Definicja 1 (Operator normalny). Operator liniowy � : X - X nazywamy normalnym,
jeżeli komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. [�, � ] = 0.
Ć
Ad 1. Jeżeli � jest normalny, to z rozwiązania Zad. 2.4 dla B = � natychmiast wynika, że �
i � mają te same wektory własne.
Ad 2. Niech �x = x. Z poprzedniego punktu wynika, że skoro � jest normalny, to również
� x = �x dla pewnej liczby �. Stąd,
Ł'x|�x�' = Ł'x|x�' = %"x%"2, (2.23a)
Ł'x|�x�' = Ł'� x|x�' = Ł'�x|x�' = �Ł'x|x�' = �%"x%"2. (2.23b)
Ale to implikuje, że %"x%"2 = �%"x%"2, czyli � =  i ostatecznie � x = x.
Zad. 2.7 Zagadnienie własne operatorów pędu i energii (wykład: rozdział 3, 3.4)
Rozwiązać zagadnienie własne operatorów pędu oraz energii kinetycznej, zdefiniowanych nad
przestrzenią L2([a, b], dx) funkcji całkowalnych z kwadratem na odcinku [a, b] �" R. Przyjąć, że
rozważane są wyłącznie funkcje periodyczne na odcinku [a, b]. Następnie sprawdzić, że funkcje
własne tworzą zbiór ortogonalny.
Rozwiązanie (Zad. 2.7). Jednowymiarowy operator pędu p i energii kinetycznej $
w reprezen-
Ć
tacji położeniowej definiujemy tak, że
df
(pf)(x) = -i (x), (2.24a)
Ć
dx)
(
2
p2f d2f(x)
Ć
($
f)(x) = (x) = - . (2.24b)
2m 2m dx2
33
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Obliczmy, jako ćwiczenie dodatkowe, komutator operatorów p i $
:
Ć
([p, $
]f)(x) = (p($
f) - $
(pf))(x) (2.25)
Ć Ć Ć
( ) ( ) ( )
2 2
d d2f(x) d2 df(x)
= -i - - - -i
dx 2m dx2 2m dx2 dx
3 3
i d3f(x) i d3f(x)
= -
2m dx3 2m dx3
= 0.
Ponieważ powyższa równość zachodzi bez względu na postać funkcji f(x), wnioskujemy równość
operatorową [p, $
] = 0. Na podstawie rezultatów Zad. 2.4 możemy więc stwierdzić, że operatory
Ć
p i $
mają te same wektory (funkcje) własne. Rozważymy zatem zagadnienie własne operatora
Ć
pędu,
df(x)
(pf)(x) = -i = pf(x), (2.26)
Ć
dx
gdzie oczywiście p " R przez wzgląd na samosprzężoność operatora p na rozważanej przestrze-
Ć
ni2. Rozważamy zatem jednorodne, liniowe równanie różniczkowe o stałych współczynnikach,
df(x) i
= pf(x), (2.27)
dx
oraz, po rozdzieleniu zmiennych,
df(x) i
= p. (2.28)
f(x)
Całkujemy równanie, otrzymując rozwiązanie ogólne postaci
i
px
f(x) = Ce . (2.29)
Rozwiązanie szczególne uzyskujemy, korzystając z założenia o periodyczności funkcji należących
do dziedziny operatorów. Kładąc f(a) = f(b), uzyskujemy równanie
i i
pa pb
Ce = Ce (2.30)
2
W zasadzie operator pędu p nie jest określony na całej przestrzeni L2([a, b], dx), ale tylko na jej gęstym
Ć
podzbiorze. Zagadnienia sprzężenia hermitowskiego i samosprzężoności operatora nieograniczonego, jakim jest
p, zostaną potraktowane nieco dogłębniej w Zad. 2.11.
Ć
34
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
i i
pa pb
co implikuje, że e = e , czyli
i
pb
e i
p(b-a)
= e = 1. (2.31)
i
pa
e
Z analizy zespolonej wiemy, że eiĆ = 1 dla Ć równego dowolnej całkowitej wielokrotności 2Ą,
Ć = 2nĄ, n " Z. Oznacza to
p(b - a) = 2Ąn , (2.32)
2Ą n
skąd uzyskujemy warunek na dopuszczalne wartości własne p = pn = , w pełni określają-
b-a
ce widmo (punktowe) tego operatora3. Funkcja własna stowarzyszona z wartością własną pn
określona jest zatem jako
i 2Ąni
pnx x
b-a
fn(x) = Ce = Ce . (2.33)
Wartość stałej C łatwo uzyskujemy z warunku unormowania funkcji fn do jedności, tj.
+"b +"b
2Ąni
x
b-a
1 = %"fn%"2 = |Ce |2dx = |C|2 dx = |C|2(b - a), (2.34)
a a
"
skąd, przy założeniu C " R mamy C = 1/ b - a. Pełne rozwiązanie zagadnienia własnego
operatora pędu p podajemy w postaci zbioru funkcji i wartości własnych,
Ć
1 i 2Ąn
pnx
fn(x) = " e , pn = , n " Z. (2.35)
b - a
b - a
Funkcje fn są również funkcjami własnymi operatora energii kinetycznej $
:
( ) ( )2
2 2
d2 1 i ipn 1 i
pnx pnx
($
fn)(x) = - " e = - � " e (2.36)
2m dx2 - a b - a
2m
b
p2
n
= fn(x) = Enfn(x),
2m
czyli rozwiązanie zagadnienia własnego dla $
przedstawia się w dosyć analogiczny sposób jako
3
Ć
Zgodnie z ogólną teorią znaną z analizy funkcjonalnej, operator T zdefiniowany na przestrzeni Hilberta H
Ć) Ć Ć)
ma punktowe widmo �p(T wtedy i tylko wtedy, gdy stowarzyszony z nim operator T -  dla  " �p(T nie
Ć)
jest różnowartościowy (będąc przez to nieodwracalny). Wtedy dla każdego  " �p(T można znalez
ć takie dwie
Ć Ć Ćh Ć
funkcje f, g " $
, że (T - )f = (T - )g oraz T = h dla funkcji h := f - g będącą tzw. funkcją własną T.
Ć
Liczbę  " �p(T ) nazywamy wtedy wartością własną operatora T.
35
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
1 i p2 2Ąn
pnx n
fn(x) = " e , En = , pn = , n " Z. (2.37)
2m b - a
b - a
Należy w tym momencie zauważyć, że z uwagi na to, że operator energii jest wprost propor-
cjonalny do kwadratu operatora pędu, wszystkie niezerowe wartości własne operatora $
będą
dwukrotnie zdegenerowane4, tj. tej samej wartości własnej En odpowiadają, jak łatwo spraw-
dzić, dokładnie dwie funkcje własne: fn oraz f-n.
Sprawdzamy ortogonalność zbioru funkcji fn, obliczając ogólne wyrażenie na iloczyn skalarny
2
dwóch funkcji fn i fn . Jasne jest, że gdy n = n2 dostajemy
+"b +"b
1 i 1 i 1 i
pnx pnx (pn-pn)x
Ł'fn|fn�' = " e " e dx = e dx (2.38)
b - a
b - a b - a
a a
+"b
1 b - a
= dx = = 1.
b - a b - a
a
W przypadku, gdy n = n2 mamy
8
+"b +"b
1 i 1 i 1 i
pn x (pn -pn)x
pnx 2 2
2
Ł'fn|fn �' = " e " e dx = e dx (2.39)
b - a
b - a b - a
a a
+"b
1 i 2Ą
� (n2 -n)x
b-a
= e dx.
b - a
a
2Ąi b-a 2Ąi
Wykonujemy elementarne całkowanie, kładąc t = (n2 -n)x, dx = dt, t(a) = (n2 -
b-a 2Ąi(n2 -n) b-a
2Ąi
n)a, t(b) = (n2 - n)b,
b-a
t(b)
( )
+"
2Ąi(n2 -n)b 2Ąi(n2 -n)a
1 b - a 1
b-a b-a
2
Ł'fn|fn �' = � etdt = e - e (2.40)
b - a 2Ąi(n2 - n) 2Ąi(n - n2 )
t(a)
2Ąi(n2 -n)a ( ) 2Ąi(n2 -n)a
( )
b-a b-a
2Ąi(n2 -n)(b-a)
e e 2
b-a
= e - 1 = e2Ąi(n -n) - 1
2Ąi(n - n2 ) 2Ąi(n - n2 )
= 0,
2
gdyż n2 - n jest liczbą całkowitą, przez co e2Ąi(n -n) = 1. Tym samym udało się udowodnić
4
Wartość własną  operatora samosprzężonego � nazywamy g-krotnie zdegenerowaną, jeżeli odpowiada ona
g różnym wektorom własnym xi, tj. �xi = xi dla i = 1, ... , g.
36
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
związek
2 2
Ł'fn|fn �' = �nn (2.41)
co jest równoważne stwierdzeniu, że zbiór funkcji własnych operatorów pędu i energii {fn :
i
1 pnx
"
fn(x) = e } jest ortogonalny (i nawet ortonormalny). Co więcej, z ortogonalności funk-
b-a
cji fn wynika również ich liniowa niezależność5. Funkcje te tworzą bazę w przestrzeni funkcji
periodycznych na odcinku [a, b]. Przestrzeń ta jest oczywiście podprzestrzenią liniową całej
przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem L2([a, b], dx).
Zad. 2.8 Elementy analizy harmonicznej
Posługując się rezultatami zadania Zad. 2.7 znalez
ć wyrażenie określające współczynniki
rozwinięcia dowolnej całkowalnej z kwadratem, periodycznej funkcji z przestrzeni L2 ([a, b], dx)
per.
w bazie zadanej przez funkcje własne operatorów pędu i energii kinetycznej. Znalez
ć powiązanie
z szeregiem Fouriera.
Rozwiązanie (Zad. 2.8). Z rozwiązania zadania Zad. 2.7 wiemy, że funkcje fn zadane formułą
1 i 2Ąn
pnx
fn(x) = " e , pn = , n " Z (2.42)
b - a
b - a
tworzą ortonormalną bazę w przestrzeni funkcji L2 ([a, b], dx) periodycznych na odcinku
per.
[a, b] �" R. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią w L2([a, b], dx), więc przyjmujemy w niej iden-
tyczną definicję iloczynu skalarnego,
+"b
Ł'f|g�' = f(x)g(x) dx. (2.43)
a
Z dowolną funkcją periodyczną f : [a, b] - C możemy stowarzyszyć ciąg liczb zespolonych6
d = (dn) taki, że poszczególne jego elementy dn będą współczynnikami rozwinięcia funkcji f w
5
Fakt ten jest wyrażony jako lemat 7 na str. 79 i tamże dowiedziony.
6
Można pokazać bezpośrednim rachunkiem, że taki ciąg należy do przestrzeni !2 wszystkich ciągów su-
mowalnych z
""kwadratem, tj. d " !2 wtedy i tylko wtedy, gdy jego norma %"d%"!2 zadana przez równość
"
%"d%"!2 := |dn|2 jest skończona. Co więcej, z każdą funkcją z L2([a, b], dx) (nie tylko periodyczną)
n=-"
można stowarzyszyć w sposób wzajemnie jednoznaczny ciąg d = (dn) w !2 taki, że %"f%" = %"d%"!2. Przestrze-
nie L2 ([a, b], dx) oraz !2 są więc izometrycznie izomorficzne, tj. istnieje między nimi izomorfizm (bijekcja)
per.
zachowujący normę (i przez to metrykę), nazywany izometrią.
37
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
bazie fn,
"
"
f = dnfn, (2.44)
n=-"
Oczywiście obliczając iloczyn skalarny funkcji f z którąkolwiek funkcją bazy fn dostajemy
" " "
" " "
2 2 2 2 2 2
Ł'fn|f�' = Ł'fn| dn fn �' = dn Ł'fn|fn �' = dn �nn = dn, (2.45)
n2 =-" n2 =-" n2 =-"
czyli współczynnik kombinacji liniowej dn wyraża się w prosty sposób jako iloczyn skalarny z
1
n
"
fn. Wiedząc jednak, że fn(x) = eip x, dostajemy
b-a
+"b +"b
1
n
dn = Ł'fn|f�' = fn(x)f(x) dx = " e-ip xf(x) dx (2.46)
b - a
a a
+"b
1 2Ąni
b-a
= " e- xf(x) dx.
b - a
a
Funkcje fn rozpinają przestrzeń L2 ([a, b], dx), są więc również periodyczne. Oznacza to, że
per.
spełniają równość fn(a) = fn(a + T ) = fn(b), czyli T = b - a. Wprowadzając oznaczenie
&! = 2Ą/T wyrażamy funkcję fn jako
1
"
fn(x) = ein&!t, (2.47)
T
zaś wzór na współczynnik dn upraszcza się do postaci
a+T
+"
1
dn = " e-in&!xf(x) dx. (2.48)
T
a
Oczywiście wiemy, że równanie (2.44) implikuje natychmiast
" "
" "
1
"
f(x) = dnfn(x) = dn � ein&!x (2.49)
T
n=-" n=-"
"
"
= cnein&!x,
n=-"
38
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
gdzie wprowadzono oznaczenie nowego współczynnika cn,
a+T
+"
d 1
"n
cn = = e-in&!xf(x) dx. (2.50)
T
T
a
W formule (2.49) rozpoznajemy natychmiast zespoloną postać szeregu Fouriera. Teoria oparta
na szeregu Fouriera czy też szerzej, na transformacie Fouriera7 jest podstawą dziedziny mate-
matyki, zwanej analizą harmoniczną. Z punktu widzenia tejże, funkcje periodyczne na danym
odcinku [a, a + T ] można traktować jak (często nieskończone) superpozycje prostych funkcji
n
harmonicznych, wyrażonych w postaci cnei&! x i obrazujących  drgania , z których każde opisa-
ne jest własną częstością kątową &!n = n&! = 2Ąn/T. Funkcje te nazywane są również  modami
Fourierowskimi ,  modami podstawowymi itp.
Możemy teraz skorzystać z formuły Eulera, aby zapisać ein&!x = cos n&!x + i sin n&!x. Dzięki
temu, wyrażenie na f(x) daje się przedstawić jako
" "
" "
f(x) = cnein&!x = cn(cos n&!x + i sin n&!x) (2.51)
n=-" n=-"
" "
" "
= c0 + cn(cos n&!x + i sin n&!x) + c-n(cos n&!x - i sin n&!x),
n=1 n=1
gdzie skorzystano z własności parzystości funkcji cosinus i nieparzystości funkcji sinus. Dalej
możemy pogrupować wyrazy powyższego szeregu tak, aby zapisać
" "
" "
f(x) = c0 + (cn + c-n) cos n&!x + (icn - ic-n) sin n&!x. (2.52)
n=1 n=1
Wprowadzamy nowe oznaczenia an = cn + c-n oraz bn = i(cn - c-n), dostając
" "
"
a0 "
f(x) = + an cos n&!x + bn sin n&!x, (2.53)
2
n=1 n=1
7
Można pokazać, że funkcje nieperiodyczne nie mogą być opisane za pomocą szeregu Fouriera. Dowolną
funkcję nieperiodyczną można jednak traktować jako funkcję periodyczną, ale o nieskończonym okresie T. Ściślej,
okazuje się, że w granicy T 0 formuła wyrażająca współczynnik cn staje się tożsama transformacie Fouriera
+"
"
Ć Ć
"1
(Ff)(�) funkcji f(x), zadanej przez równość (Ff)(�) = f(x)e-i�xdx. Transformata Fouriera istnieje
2Ą -"
dla znacznie szerszej klasy funkcji, obejmującej również funkcje nieperiodyczne.
39
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
gdzie współczynniki an i bn można podać explicite,
a+T a+T
+" +"
( )
1 2
an = cn + c-n = e-in&!x + ein&!x f(x) dx = f(x) cos n&!x dx (2.54a)
T T
a a
( )
+"b
2 2Ąn
= f(x) cos x dx,
b - a b - a
a
+"b
2
a0 = f(x) dx (2.54b)
b - a
a
a+T a+T
+" +"
( )
i 2
bn = i(cn - c-n) = e-in&!x - ein&!x f(x) dx = f(x) sin n&!x dx (2.54c)
T T
a a
( )
+"b
2 2Ąn
= f(x) sin x dx.
b - a b - a
a
Otrzymaliśmy zatem inną, również często stosowaną postać szeregu Fouriera, wyrażonego w
bazie funkcji rzeczywistych postaci {1, sin &!x, cos &!x, sin 2&!x, cos 2&!x, ...}.
Zad. 2.9 Rzeczywiste wartości własne.
Niech � : X - X będzie operatorem samosprzężonym, posiadającym wartości i wektory
własne. Pokazać, że wartości własne tego operatora są rzeczywiste.
Rozwiązanie (Zad. 2.9). Niech �Ć = Ć, Ć " X. Z tego, że � = � i z własności iloczynu
skalarnego wynika, że
Ł'Ć|�Ć�' = Ł'Ć|Ć�' = Ł'Ć|Ć�' = %"Ć%"2. (2.55)
Jednocześnie jednak z założenia o samosprzężoności
Ł'Ć|�Ć�' = Ł'� Ć|Ć�' = Ł'�Ć|Ć�' = Ł'Ć|Ć�' = %"Ć%"2. (2.56)
Oznacza to, że Ł'Ć|�Ć�' = %"Ć%"2 = %"Ć%"2 i  = , co w obliczu dowolności wyboru Ć implikuje
 " R.
Zad. 2.10 Ortogonalność wektorów własnych
40
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Udowodnić, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym operatora sa-
mosprzężonego � : X - X są ortogonalne.
Rozwiązanie (Zad. 2.10). Niech �Ć1 = 1Ć1, �Ć2 = 2Ć2 i 1 = 2. Rozważamy iloczyn
8
skalarny,
Ł'Ć1|�Ć2�' = Ł'Ć1|2Ć2�' = 2Ł'Ć1|Ć2�'. (2.57)
Z drugiej jednak strony mamy Ł'Ć1|�Ć2�' = Ł'�Ć1|Ć2�', gdyż � jest samosprzężony. Daje to
Ł'AĆ1|Ć2�' = Ł'1Ć1|Ć1�' = 1Ł'Ć1|Ć2�', (2.58)
gdyż z samosprzężoności � wynika, że 1 " R. Ale ostatni wynik oznacza, że Ł'Ć1|�Ć2�' =
1Ł'Ć1|Ć2�' = 2Ł'Ć1|Ć2�', co implikuje
(1 - 2)Ł'Ć1|Ć2�' = 0. (2.59)
Z założenia 1 = 2 natychmiast wnioskujemy, że Ł'Ć1|Ć2�' = 0, czyli wektory własne Ć1 i Ć2 są
8
ortogonalne.
Zad. 2.11 Symetryczność operatorów mechaniki kwantowej (wykład: rozdział 3, 3.4)
Wielkości mierzalne w mechanice kwantowej (obserwable) reprezentowane są przez opera-
tory samosprzężone, działające nad pewną przestrzenią Hilberta H. Odpowiednio określając
dziedzinę tych operatorów, można dowieść ich samosprzężoności, badając symetryczność, tj.
sprawdzając, że zachodzi ogólna równość
Ł'f|T g�' = Ł'T f|g�', (2.60)
gdzie Ł' � |� �' jest iloczynem skalarnym w H.
Zdefiniujmy następujące operatory:
Ć
1. mnożenia przez funkcję (V f)(x) = v(x)f(x), v(x) " R,
d
2. pędu p = -i ,
Ć
dx
p2
Ć
3. energii kinetycznej $
= ,
2m
Ć
4. składowej operatora momentu pędu L = Ć � p wzdłuż osi z.
r Ć
41
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Przyjmujemy, że przestrzenią Hilberta jest przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na
całej prostej rzeczywistej, H = L2(R, dx), zaś w dziedzinach tych operatorów leżą wyłącznie
funkcje, dla których spełnione są warunki brzegowe
df(x)
lim f(x) = lim = 0. (2.61)
|x|" |x|" dx
Należy sprawdzić, czy powyższe operatory są symetryczne, tj. czy zachodzi warunek (2.60).
Rozwiązanie (Zad. 2.11).
Ć
Ad 1. Operator V mnożenia przez funkcję definiujemy jako
Ć
(V f)(x) = v(x)f(x) (2.62)
Ć
dla f " Dom V �" H i zakładamy, że v(x) jest skończoną i rzeczywistą funkcją określoną na R.
Korzystając z definicji symetryczności, mamy
+"" +"" +""
Ć Ć
Ł'f|V g�' = f(x)(V g)(x) dx = f(x)v(x)g(x) dx = v(x)f(x)g(x) dx (2.63)
-" -" -"
+""
Ć Ć
= (V f)(x)g(x) dx = Ł'V f|g�'.
-"
Ad 2. W reprezentacji położeniowej definiujemy operator pędu
df
(pf)(x) = -i (x), (2.64)
Ć
dx
zaś za jego dziedzinę Dom (p) przyjmujemy zbiór wszystkich różniczkowalnych, całkowalnych z
Ć
kwadratem funkcji f : R - C spełniających warunek (2.61). Ponownie, dostajemy
+"" +""
dg
Ł'f|pg�' = f(x)(pg)(x) dx = f(x)(-i ) (x) dx. (2.65)
Ć Ć
dx
-" -"
Z twierdzenia o całkowaniu przez części
+" +"
dv du
u dx = uv - v dx (2.66)
dx dx
42
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
dostajemy natychmiast
�ł �ł
[ ]" +""
df
�ł
Ł'f|pg�' = -i f(x)g(x) - g(x) dxłł . (2.67)
Ć
-" dx
-"
Pierwszy składnik po prawej stronie znika na mocy założenia o dziedzinie operatora pędu.
Pozostaje drugi, który daje się zapisać jako
+"" +"" +""
df df
Ł'f|pg�' = i g(x) dx = (-i ) g(x) dx = (pf)(x)g(x) dx (2.68)
Ć Ć
dx dx
-" -" -"
= Ł'pf|g�',
Ć
co implikuje jego symetryczność.
Ad 3. Operator energii kinetycznej $
definiujemy jako
2
p2 d2
Ć
$
= = - , (2.69)
2m 2m dx2
a za jego dziedzinę Dom ($
) przyjmujemy zbiór wszystkich funkcji f : R - C całkowal-
nych z kwadratem, przynajmniej dwukrotnie różniczkowalnych, spełniających warunek (2.61).
Dostajemy:
+"" +""
2
d2g
Ł'f|$
g�' = f(x)($
g)(x) dx = - f(x) (x) dx (2.70)
2m dx2
-" -"
+""
2
dg2
= - f(x) (x) dx
2m dx
-"
dg(x)
gdzie podstawiono g2 (x) = . Całkując przez części i korzystając z założenia, że funkcja
dx
g " Dom ($
) spełnia (2.61), mamy
+""
2
df dg
Ł'f|$
g�' = (x) (x) dx, (2.71)
2m dx dx
-"
co, ponownie całkując przez części i korzystając z warunku (2.61) narzuconego na dziedzinę
43
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
daje nam
�ł �ł
[ ]"
+""
2
df d2f
�ł
Ł'f|$
g�' = (x)g(x) - (x)g(x) dxłł (2.72)
2m dx dx2
-"
-"
( )
+"" +""
2
d2f
= - (x)g(x) dx = ($
f)(x)g(x) dx = Ł'$
f|g�'.
2m dx2
-" -"
Ć
Ad 4. Definiujemy wektorowy operator momentu pędu L jako formalny iloczyn wektorowy
operatora położenia Ć i pędu p,
r Ć
Ć
L := Ć � p (2.73)
r Ć
ę1 ę2 ę3
= = ę1 (yp3 - zp2) + ę2 (zp1 - xp3) + ę3 (xp2 - yp1) .
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
x y z
p1 p2 p3
Ć Ć Ć
Składowa wzdłuż osi Oz to
( )
" "
Ć
L3 = ę3 (xp2 - yp1) = -i ę3 x - y . (2.74)
Ć Ć
"y "x
Dostajemy
+""
Ć
Ł'f|Lzg�' = ęz f(r) (x(pyg)(r) - y(pxg)(r)) d3r (2.75)
Ć Ć
-"
( )
+""
"g(r) "g(r)
= -i ęz f(r) x - y d3r
"y "x
-"
�ł łł
( )
+"" +"" +""
"g "g
�ł �ł
= -i ęz dz dx dyf(r) x (r) - y (r)
"y "x
-"
�ł-" -" łł
( ) ( )
+"" +"" +"" +"" +""
"g "g
�ł
= -i ęz dz x dx f(r) (r) dy - y dy f(r) (r) dx�ł .
"y "x
-" -" -" -" -"
Całki względem zmiennych x i y łatwo obliczamy przez części,
( )
+"" +""
[ ]" +""
"g "f(r) "f(r)
f(r) (r) dy = f(r)g(r) - g(r) dy = - g(r) dy (2.76)
"y -" "y "y
-" -" -"
44
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
na mocy zadanych warunków brzegowych. W analogiczny sposób uzyskujemy, że
( )
+"" +""
"g "f(r)
f(r) (r) dx = - g(r) dx (2.77)
"x "x
-" -"
co, po podstawieniu do wcześniejszego wyrażenia, daje
�ł �ł
+"" +"" +"" +"" +""
"f(r) "f(r)
Ć �ł
Ł'f|Lzg�' = -i ęz dz -x dx g(r) dy + y dy g(r) dxłł (2.78)
"y "x
-" -" -" -" -"
)
+"" +"" +"" (
"f(r) "f(r)
= ęz dx dy dz x (-i ) - y (-i ) g(r)
"y "x
-" -" -"
+"
= ęz (x (pyf)(r) - y (pxf)(r))g(r) d3r
Ć Ć
R3
Ć
= Ł'Lzf|g�'.
Zad. 2.12 Samosprzężoność a warunki brzegowe
Sprawdzić, czy operatory pędu p i energii $
zdefiniowane tak samo, jak w zadaniu poprzed-
Ć
nim są symetryczne, przyjmując, że przestrzenią Hilberta jest przestrzeń funkcji całkowalnych
z kwadratem nad odcinkiem [a, b], H = L2([a, b]), zaś dziedziną operatorów są tylko funkcje
df df
periodyczne, tj. takie, dla których f(a) = f(b) i (a) = (b).
dx dx
Rozwiązanie (Zad. 2.12). Analogicznie, jak w zadaniu poprzednim, sprawdzamy symetryczność
operatora pędu i energii, tym razem jednak przyjmując odcinek [a, b] za dziedzinę funkcji cał-
kowalnych z kwadratem. Transformacje matematyczne są niemalże identyczne jak w przypadku
poprzednim, ograniczymy się zatem do podania tylko głównych kroków obliczeniowych.
Ad 1. Kładziemy operator pędu postaci
d
p = -i , (2.79)
Ć
dx
zaś jego dziedziną niech będą wszystkie funkcje całkowalne z kwadratem, periodyczne na od-
45
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
cinku [a, b]. Obliczamy
+"b +""
dg
Ł'f|pg�' = f(x)(pg)(x) dx = f(x)(-i ) (x) dx (2.80)
Ć Ć
dx
a -"
�ł �ł
[ ]b +"b
df
�ł
= -i f(x)g(x) - g(x) dxłł
a dx
a
+""
df
= (-i ) g(x) dx
dx
-"
= Ł'pf|g�',
Ć
[ ]b
gdzie f(x)g(x) = 0 z uwagi na nałożone warunki brzegowe.
a
Ad 2. Podobnie, definiując operator energii kinetycznej jako
2
d2
$
= - (2.81)
2m dx2
dostajemy
+"b +"b
2
d2g
Ł'f|$
g�' = f(x)($
g)(x) dx = - f(x) (x) dx (2.82)
2m dx2
a a
�ł �ł
[ ]b
+"b
2
dg(x) df(x) dg(x)
�ł
= - f(x) - dxłł
2m dx dx dx
a
a
�ł �ł
]b +"b
[ ]b [
2
dg(x) df(x) d2f(x)
�ł
= - f(x) - g(x) + g(x) dxłł
2m dx dx dx2
a
a
a
( )
+"b
2
d2f(x)
= - g(x) dx = Ł'$
f|g�',
2m dx2
a
[ ]b [ ]b
df(x)
gdzie f(x)dg(x) = g(x) = 0 z uwagi na warunki brzegowe nałożone na funkcję g.
dx dx
a a
Zad. 2.13 Własności operatorów unitarnych
Definicja 2. Operator � : X - X, gdzie X jest przestrzenią Hilberta nazywamy unitarnym,
jeżeli �-1 = � .
46
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
1. Pokazać, że � jest operatorem normalnym.
2. Pokazać, że operator unitarny zachowuje iloczyn skalarny, tj. że Ł'x|y�' = Ł'�x|�y�' dla
dowolnych x, y " X.
3. Pokazać, że wartości własne operatora unitarnego leżą na okręgu jednostkowym {z " C :
|z| = 1}.
Rozwiązanie (Zad. 2.13).
Ad 1. Skoro � = �-1, to
Ć Ć
[�, � ] = �� - � � = ��-1 - �-1� = I - I = 0 (2.83)
czyli � jest normalny.
Ad 2.
Ł'�x|�y�' = Ł'� �x|y�' = Ł'�-1�x|y�' = Ł'x|y�', (2.84)
więc iloczyn skalarny jest inwariantny względem operacji unitarnych.
Ad 3. Z rozwiązania zadania Zad. 2.5 wynika, że jeżeli �x = x, to �-1x = -1x. Jednocześnie
jednak �-1x = � x. Jak pokazaliśmy, � jest normalny, więc z rozwiązania zadania Zad. 2.6
wnioskujemy równość � x = x = -1x, czyli -1 = . Oczywiście oznacza to, że
 = ||2 = 1, (2.85)
Ćnie
co wobec tego, że  " C (operator unitarny inny niż I może być samosprzężony!) oznacza, że
dowolne  spełnia || = 1, co jest równaniem okręgu o jednostkowym promieniu na płaszczyz
nie
zespolonej.
Zad. 2.14 Unitarność a samosprzężoność
Pokazać, że jeżeli � : X - X jest operatorem samosprzężonym, to operator zdefiniowany
jako
"
"
(i�)n
ei� = (2.86)
n!
n=0
jest operatorem unitarnym.
47
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Rozwiązanie (Zad. 2.14). Sprawdzamy, czy zachodzi (ei�) = (ei�)-1. Z własności sprzężenia
wiemy, że
Ć Ć
(�B) = B � , (2.87a)
Ć Ć
(� + B) = � + B , (2.87b)
(z�) = z� , z " C. (2.87c)
To pozwala nam zapisać
( ) "
" " "
( ) " (i�)n " 1 ( ) " 1
"
1
ei� = = (i�)n = (-i� )n = (-i�)n (2.88)
n! n! n! n!
n=0 n=0 n=0 n=0
= e-i�.
W powyższym skorzystano z równości (2.87a), gdyż mamy (�n) = (��n-1) = (�n-1) � .
Następnie można udowodnić indukcyjnie, że (�n) = (� )n. W celu znalezienia odwrotności
Ć
operatora ei�, posłużymy się definicją operatora unitarnego: skoro � = �-1, to � � = I.
Sprawdzamy zatem, czy tak jest,
0
Ć
(ei�) ei� = e-i�ei� = ei�-i� = eĆ = I. (2.89)
Stąd widać, że e-i� = (ei�)-1 = (ei�) , czyli ei� jest unitarny, jak należało pokazać.
2.3 Orbitalny i spinowy moment pędu
Zad. 2.15 Orbitalny moment pędu (wykład: rozdział 3, 3.1.2 i 3.2)
Ć
Ć Ć
Sprawdzić, że dla operatorów położenia x, pędu p i momentu pędu L spełnione są zależności
Ć Ć Ć
komutacyjne (w przykładzie 2.90c skorzystać z własności komutacji [Lj, Lk] = i �jklLl gdzie
�jkl jest antysymetrycznym symbolem Levi-Civity):
Ć
[xj, pk] = i �jkI, j, k " {1, 2, 3}, (2.90a)
Ć Ć
Ć Ć Ć
[L1, L2] = i L3, (2.90b)
Ć Ć
[Lj, L2] = 0 dla j = 1, 2, 3. (2.90c)
Ć
Rozwiązanie (Zad. 2.15). Aby udowodnić równość operatorów � i B, należy pokazać, że ope-
48
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
ratory te działają w identyczny sposób na dowolną funkcję f.
Ad 1. Równość (2.90a).
"f "
[xj, pk]f = xj(pkf) - pk(xjf) = xj(-i ) - (-i ) (xjf) (2.91)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
"xk "xk
( )
"f "xj "f "xj
= -i xj + i f + xj = i f
"xk "xk "xk "xk
Ć
= i �jkf = i �jkIf,
Ć
zaś z dowolności wyboru funkcji f wynika równość operatorowa [xj, pk] = i �jkI.
Ć Ć
Ad 2. Równość (2.90b).
Ć
Wektorowy operator orbitalnego momentu pędu L można rozpisać w bazie standardowej jako
Ć
L = Ć � p = e1 (yp3 - zp2) + e2 (zp1 - xp3) + e3 (xp2 - yp1) . (2.92)
r Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć
Mamy stąd
( )
" "
Ć
L1 = yp3 - zp2 = -i y - z , (2.93a)
Ć Ć
"z "y
( )
" "
Ć
L2 = zp1 - xp3 = -i z - x , (2.93b)
Ć Ć
"x "z
( )
" "
Ć
L3 = xp2 - yp1 = -i x - y . (2.93c)
Ć Ć
"y "x
Obliczamy zatem
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
[L1, L2]f = L1(L2f) - L2(L1)f (2.94)
( ) ( ) ( ) ( )
" " "f "f " " "f "f
= (-i )2 y - z z - x - (-i )2 z - x y - z .
"z "y "x "z "x "z "z "y
Rozpisanie powyższego wyrażenia i skorzystanie z twierdzenia Schwartza
( ) ( )
" "f " "f "2f
= = (2.95)
"xj "xk "xk "xj "xj"xk
dla funkcji f(xj, xk) takiej, że jej drugie pochodne mieszane istnieją i są ciągłe, pozwala bardzo
49
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
łatwo znalez
ć wyrażenie
( )
"f "f
Ć Ć
[L1, L2]f = (-i )2 y - x (2.96)
"x "y
( )
" "
= i � (-i ) � x - y
"y "x
Ć
= i L3f
co dowodzi prawdziwości weryfikowanej tożsamości operatorowej.
Ad 3. Równość (2.90c).
Można udowodnić, że ogólna relacja komutacyjna dla składowych operatora orbitalnego mo-
mentu pędu przedstawia się wzorem
Ć Ć Ć
[Lj, Lk] = i �jklLl (2.97)
gdzie �jkl nazywany jest całkowicie antysymetrycznym pseudotensorem Leviego  Civity (lub
krócej, symbolem antysymetrycznym) i zdefiniowany jest jako
ńł
�ł1, gdy (j, k, l) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) lub (3, 1, 2),
�ł
�ł
�ł
�jkl = (2.98)
�ł-1, gdy (j, k, l) = (1, 3, 2), (2, 1, 3) lub (3, 2, 1),
�ł
�ł
ół0, gdy przynajmniej dwa wskaz
niki j, k, l są takie same.
Ć
Ponieważ L jest operatorem wektorowym, jego kwadrat będzie wyrażał się jako
3
"
Ć Ć Ć Ćn
L2 = L � L = L2. (2.99)
n=1
Ć Ć Ć
Korzystając z ogólnej własności komutatora operatorów [�, B
] = B[�, 
] + [�, B]
, możemy
obliczyć
3 3 3
" " "
Ć Ć Ć Ćn Ć Ć Ć Ć Ć Ć
[Lj, L2] = [Lj, L2] = Ln[Lj, Ln] + [Lj, Ln]Ln (2.100)
n=1 n=1
( ) (n=1 )
3 3 3 3
" " " "
Ć Ć Ć Ć
= Ln i �jnkLk + i �jnkLk Ln
n=1 k=1 n=1 k=1
3 3 3 3
" " " "
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
= i �jnk(LnLk + LkLn) = i �jnk{Ln, Lk}
n=1 k=1 n=1 k=1
Ć Ć Ć
gdzie nawiasy klamrowe oznaczają antykomutator operatorów, {�, B} = �B+B�. Z powyższej
50
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
sumy od razu możemy wyeliminować te składniki, dla których n = k, j = n lub j = k gdyż
wtedy �jnk = 0. Pośród pozostałych pozostaną tylko te, których indeksy nie powtarzają się, gdyż
tylko dla nich symbol antysymetryczny przyjmuje wartość różną od zera. Efektywnie zatem
liczyć się będą jedynie składniki, dla których uporządkowana trójka indeksów (j, n, k) przy
ustalonym j wybrana zostanie spośród wszystkich trójelementowych wariacji bez powtórzeń
V33 zbioru {1, 2, 3}, co de facto odpowiada wszystkim jego permutacjom. Takich wariacji jest
3! = 6, jednak spośród nich wybieramy tylko te o wspólnej wartości indeksu j. Oczywiście jest
ich 2! = 2. Zauważmy jednak, że antykomutator jest niezmienniczy ze względu na operację
Ć Ć Ć Ć
zamiany operatorów miejscami, gdyż {B, �} = B� + �B = {�, B}. Implikuje to, że zamiana
Ć Ć
miejscami indeksów n i k nie zmieni antykomutatora {Ln, Lk} i naszą sumę można zapisać
w nieco zmodyfikowanej postaci, grupując ze sobą składniki, w których przestawiono wartości
indeksów n i k, pamiętając że ograniczamy się tylko do tych składników, dla których indeksy
się różnią,
3 3
" "
Ć Ć Ć Ć
i �jnk{Ln, Lk} = (�jnk + �jkn){Ln, Lk} (2.101)
n=1 k=1
j=n, j=k, n8=k
8 8
jednak to jest natychmiast równe zero z uwagi na to, że w mnożniku (�jnk + �jkn) w jednym
z symboli antysymetrycznych występuje cykliczna, a w drugi antycykliczna permutacja zbioru
{1, 2, 3}. Z definicji (2.98) wnioskujemy natychmiast, że jeden z symboli �jnk lub �jkn przyjmuje
wartość 1, drugi zaś -1, ich suma zatem to 0.
Zad. 2.16 Cząstka o spinie 1/2 (wykład: rozdział 3, 3.1.2 i 3.2)
Dla cząstki o spinie 1/2, jaką jest np. elektron, definiujemy uogólniony wektorowy operator
spinowego momentu pędu
1
\
= � = (�1, �2, �3), (2.102)
Ć Ć Ć Ć
2 2
gdzie �k dla k = 1, 2, 3 są macierzami Pauliego, danymi jako
( ) ( ) ( )
0 1 0 -i 1 0
�1 = , �2 = , �3 = . (2.103)
Ć Ć Ć
1 0 i 0 0 -1
Ć
1. Sprawdzić, że dla macierzy Pauliego zachodzi {�i, �j} = 2�ijI, gdzie nawiasy klamrowe
Ć Ć
Ć Ć Ć
oznaczają antykomutator operatorów {�, B} := �B + B�. Korzystając z tego faktu
pokazać, że �i = I dla każdego i.
Ć2 Ć
51
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
2. Udowodnić równość
Ć Ć Ć
(� � �)(B � �) = � � B + i� � (� � B), (2.104)
Ć Ć Ć
Ć
gdzie � i B to pewne obserwable wektorowe.
3. Jakie są wartości i wektory własne operatora \
3? Sprawdzić zgodność wyniku z formułą
S3 = ms i wskazać możliwe wartości spinowej magnetycznej liczby kwantowej ms dla
spinu 1/2.
4. Sprawdzić, że zachodzą relacje komutacji
[\
1, \
2] = i \
3, [\
2, \
3] = i \
1, [\
3, \
1] = i \
2. (2.105)
5. Korzystając z poprzedniego podpunktu i obliczając [\
3, \
2] sprawdzić rozwiązanie zagad-
2
nienia własnego dla operatora \
2. Sprawdzić zgodność wyniku z formułą Ł'\
2�' = s(s+1).
Rozwiązanie (Zad. 2.16).
Ć
Ad 1. Antykomutator operatorów, {�, B}, jest odwzorowaniem niezmienniczym ze względu na
Ć Ć Ć Ć
operację zamiany operatorów miejscami, tj. {�, B} = �B + B� = {B, �}. Z tego powodu aby
udowodnić daną równość nie trzeba sprawdzać wartości komutatora dla wszystkich możliwych
par indeksów (i, j) takich że i, j " {1, 2, 3}, wystarczy tylko sprawdzić równość dla par postaci
(i, j) = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3) oraz (2, 3).
Przestrzenią Hilberta dla cząstek o spinie 1/2, na której określone są operatory \
i jest przestrzeń
zespolonych ciągów dwuelementowych (sumowalnych z kwadratem), izomorficzna z C2, a zatem
dwuwymiarowa. Wiemy, że w przypadku gdy przestrzeń ma wymiar skończony, samosprzężone
operatory liniowe na niej zdefiniowane dane są w sposób jednoznaczny za pomocą hermitowskich
macierzy kwadratowych, w tym wypadku 2 � 2. Operacja składania operatorów realizowana
jest z pomocą zwykłego mnożenia macierzy.
Korzystając z definicji macierzy Pauliego (2.103) wykonujemy odpowiednie mnożenia, dostając
52
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
( ) ( )
0 1 0 1
{�1, �1} = �1�1 + �1�1 = 2�1 = 2 (2.106a)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć2
1 0 1 0
( )
1 0
= 2 ,
0 1
( ) ( )
0 -i 0 -i
{�2, �2} = �2�2 + �2�2 = 2�2 = 2 (2.106b)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć2
i 0 i 0
( )
1 0
= 2 ,
0 1
( ) ( )
1 0 1 0
{�3, �3} = �3�3 + �3�3 = 2�3 = 2 (2.106c)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć2
0 -1 0 -1
( )
1 0
= 2 ,
0 1
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 -i 0 -i 0 1
{�1, �2} = �1�2 + �2�1 = + (2.106d)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
1 0 i 0 i 0 1 0
( )
0 0
= ,
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 0 1 0 0 1
{�1, �3} = �1�3 + �3�1 = + (2.106e)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
1 0 0 -1 0 -1 1 0
( )
0 0
= ,
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
0 -i 1 0 1 0 0 -i
{�2, �3} = �2�3 + �3�2 = + (2.106f)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
i 0 0 -1 0 -1 i 0
( )
0 0
= .
0 0
Widzimy zatem, że gdy indeksy zgadzają się, tj. i = j otrzymujemy podwojony operator jed-
53
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
nostkowy, zaś gdy i = j otrzymujemy operator zerowy. Oznacza to że
8
ńł
�ł2I, i = j
Ć
Ć
{�i, �j} = �! {�i, �j} = 2�ijI, (2.107)
Ć Ć Ć Ć
ół0, i = j
8
jak należało pokazać.
Kładąc teraz i = j mamy �ii = 1, co daje nam
{�i, �i} = 2�i = 2I �! �i = I. (2.108)
Ć Ć Ć2 Ć Ć2 Ć
Ad 2. Działanie   iloczynu skalarnego  operatorów wektorowych definiujemy przez analogię
do standardowego iloczynu skalarnego z przestrzeni R3,
3
"
Ć Ć
� � B = �kBk. (2.109)
k=1
Korzystając zatem z (2.109), można zapisać (użyto konwencji sumacyjnej)
Ć Ć
(� � �)(B � �) = �j�jBk�k. (2.110)
Ć Ć Ć Ć
Ć
Zakładając, iż operatory �i i Bi komutują z macierzami Pauliego, uzyskujemy
Ć Ć
�j�jBk�k = �jBk�j�k. (2.111)
Ć Ć Ć Ć
Operator �j�k można  przekomutować , korzystając ze znanej własności operatorów Pauliego
Ć Ć
�j�k = �jk + i�jkl�l. (2.112)
Ć Ć Ć
Otrzymujemy stąd:
Ć Ć Ć Ć
�jBk�j�k = �jBk (�jk + i�jkl�l) = �jBk�jk + i�l�ljk�jBk, (2.113)
Ć Ć Ć Ć
gdzie wykorzystano własność symbolu antysymetrycznego �ijk = �kij = �jki. Wysumowanie
Ć
delty Kroneckera w ostatniej równości skutkuje otrzymaniem wyrażenia �jBj, co równie jest
Ć
 iloczynowi skalarnemu operatorów wektorowych � i B. Ostatni człon w istocie będzie również
iloczynem skalarnym
Ć Ć Ć
i�l�ljk�jBk = i�l(� � B)l = i� � (� � B), (2.114)
Ć Ć Ć
54
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
przez co otrzymujemy finalnie równość (2.104):
Ć Ć Ć Ć
�jBk�jk + i�l�ljk�jBk = � � B + i� � (� � B). (2.115)
Ć Ć
Ad 3. Operator \
3, zdefiniowany jako
( )
1 1 0
\
3 = �3 = (2.116)
Ć
2 2
0 -1
jest operatorem symetrycznym (a zatem samosprzężonym) i diagonalnym; z tego wynika, że
zapisany jest w ortogonalnej bazie zbudowanej ze swoich wektorów własnych, zaś stowarzyszone
z nimi wartości własne znajdują się na diagonali. Istotnie, kładąc
( ) ( )
1 0
Ć1 = , Ć2 = (2.117)
0 1
widać, że spełnione są równania własne
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 1
\
3Ć1 = �3Ć1 = = = Ć1, (2.118a)
Ć
2 2 2 2
0 -1 0 0
( ) ( ) ( )
1 1 0 0 0
\
3Ć2 = �3Ć2 = = - = - Ć2, (2.118b)
Ć
2 2 2 2
0 -1 1 1
z wartościami własnymi ą1 . Z ogólnej teorii mechaniki kwantowej wiemy, że wartości własne
2
operatora \
3 wyrażać się powinny wzorem S3 = ms , gdzie spinowa magnetyczna liczba kwan-
1
towa m2 " {-s, -s + 1, ..., s - 1, s} przyjmuje 2s + 1 wartości. Z założenia s = wynika, że
2
1 1
ms przyjmować może 2 � + 1 = 2 wartości, są to -s i s, czyli -1 i . Ewidentne zatem jest,
2 2 2
że nasz wynik jest zgodny z ogólną teorią.
Ć Ć Ć Ć
Ad 4. Wiedząc, że komutator operatorów � i B zdefiniowany jest jako [�, B] = �B - B� i
Ć
podstawiając w miejsce � i B konkretne operatory \
i, można łatwo udowodnić prawdziwość
55
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
weryfikowanych relacji komutacyjnych:
[\
1, \
2] = \
1\
2 - \
2\
1 (2.119a)
[( ) ( ) ( ) ( )]
2
0 1 0 -i 0 -i 0 1
= -
4
1 0 i 0 i 0 1 0
( )
2
1 0
= � 2i
4
0 -1
( )
1 0
= i �
2
0 -1
= i \
3,
[\
2, \
3] = \
2\
3 - \
3\
2 (2.119b)
[( ) ( ) ( ) ( )]
2
0 -i 1 0 1 0 0 -i
= -
4
i 0 0 -1 0 -1 i 0
( )
2
0 1
= � 2i
4
1 0
( )
0 1
= i �
2
1 0
= i \
1,
[\
3, \
1] = \
3\
1 - \
1\
3 (2.119c)
[( ) ( ) ( ) ( )]
2
1 0 0 1 0 1 1 0
= -
4
0 -1 1 0 1 0 0 -1
( )
2
0 -i
= � 2i
4
i 0
( )
0 -i
= i �
2
i 0
= i \
2.
56
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Ad 5. Najpierw obliczamy komutator
2 2 2
[\
3, \
2] = [\
3, \
1 + \
2 + \
3] (2.120)
2 2 2
= [\
3, \
1] + [\
3, \
2] + [\
3, \
3]
= \
1[\
3, \
1] + [\
3, \
1]\
2 + \
2[\
3, \
2] + [\
3, \
2]\
1
= i \
1\
2 + i \
2\
1 - i \
2\
1 - i \
1\
2
= 0,
gdzie skorzystano z tego, że [\
3, \
2] = -[\
2, \
3]. Wniosek ze znikania tego komutatora jest taki,
że skoro operatory \
3 i \
2 komutują, to mają te same wektory własne, tj. Ć1 i Ć2 zadane w
(2.117).
Operator \
2 daje się, dzięki własności (2.108) macierzy Pauliego, wyrazić jako
2
3
2 2 2
\
2 = \
1 + \
2 + \
3 = (�1 + �2 + �3) = I. (2.121)
Ć2 Ć2 Ć2 2 Ć
4 4
Ten operator jest bez dwóch zdań diagonalizowany przez (2.108) i posiada jedną, dwukrotnie
3 2
zdegenerowaną wartość własną .
4
Ogólne wyrażenie na wartość średnią obserwabli w mechanice kwantowej to Ł'��' = Ł'�|���'
dla pewnego unormowanego stanu � z przestrzeni Hilberta. Rozważmy przestrzeń C2 i wez
my
pewien wektor � = c1Ć1 + c2Ć2, spełniający warunek unormowania Ł'�|��' = |c1|2 + |c2|2 = 1.
A
atwo dostajemy, że
3 3 3
2 2 2
Ć
Ł'�|\
2��' = Ł'�|I��' = Ł'�|��' = . (2.122)
4 4 4
1 2 3 2
Naturalnie, wziąwszy s = otrzymujemy równość s(s + 1) = .
2 4
Ć
Zad. 2.17 Operator L3 (wykład: rozdział 3, 3.1.2 i 3.2)
Wyprowadzić postać trzeciej składowej operatora momentu pędu we współrzędnych sferycz-
nych i rozwiązać jego zagadnienie własne.
Ć
Rozwiązanie (Zad. 2.17). Trzecia składowa operatora L orbitalnego momentu pędu we współ-
rzędnych kartezjańskich przedstawia się, zgodnie z (2.93c), jako
( )
" "
Ć
L3 = -i x - y . (2.123)
"y "x
57
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Znajdziemy reprezentację tego operatora w układzie współrzędnych sferycznych. Transformacje
między oboma układami współrzędnych zadane są ze pomocą układów równości
ńł
�łx = r cos Ć sin �,
�ł
�ł
�ł
(2.124)
�ły = r sin Ć sin �,
�ł
�ł
ółz = r cos �.
z
Dzieląc ostatnie równanie obustronnie przez r, dostajemy związek cos � = . Dzieląc stronami
r
y
równania pierwsze i drugie, mamy = tg Ć, zaś dodając do siebie kwadraty współrzędnych x,
x
y i z łatwo dostajemy związek uogólniający twierdzenie Pitagorasa x2 + y2 + z2 = r2. Uzyskane
zależności pozwalają zdefiniować transformację odwrotną,
ńł
"
�łr = x2 + y2 + z2,
�ł
�ł
�ł
y
Ć = arctg ,
(2.125)
x
�ł
�ł
�ł� = arccos " z .
ół
x2+y2+z2
We wzorze (2.123) występuje jawne różniczkowanie po współrzędnych kartezjańskich. Musi-
"
my zatem operatory różniczkowe wyrazić przez odpowiednie operatory różniczkowania po
"xi
" " "
współrzędnych układu współrzędnych sferycznych, tj. , i . Załóżmy zatem, że pewna
"r "Ć "�
funkcja f jest funkcją współrzędnych sferycznych, tzn. f = f(r, �, Ć). Dysponując transfor-
macją (2.125) wiemy, jak należy wyrazić współrzędne sferyczne za pomocą kartezjańskich, tj.
zapisujemy zmienne r, Ć i � jako jawne funkcje zmiennych x, y i z. To czyni z funkcji f(r, �, Ć)
funkcję złożoną f(r(x, y, z), �(x, y, z), Ć(x, y, z)). Oczywiście pochodna funkcji f po współrzęd-
nej kartezjańskiej xi będzie się wyrażać, zgodnie z regułą różniczkowania funkcji złożonych,
jako
"f "r "f "Ć "f "� "f
= + + . (2.126)
"xi "xi "r "xi "Ć "xi "�
Ponieważ równość powyższa zachodzić musi dla wszystkich funkcji f, uzyskujemy następujące
równania dla operatorów różniczkowania po zmiennej xi = x i x2 = y:
" "r " "Ć " "� "
= + + , (2.127a)
"x "x "r "x "Ć "x "�
" "r " "Ć " "� "
= + + . (2.127b)
"y "y "r "y "Ć "y "�
Odpowiednie pochodne występujące w powyższych wzorach są elementami macierzy Jacobiego
58
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
transformacji między układami współrzędnych. Ich obliczenie jest elementarne:
"r "Ć sin Ć "� cos Ć cos �
= cos Ć sin �, = - , = , (2.128a)
"x "x r sin � "x r
"r "Ć cos Ć "� sin Ć cos �
= sin Ć sin �, = , = . (2.128b)
"y "y r sin � "y r
Po podstawieniu uzyskanych wzorów na powrót do (2.123), dostajemy
[ ( )
" cos Ć " sin Ć cos � "
Ć
L3 = -i r cos Ć sin � sin Ć sin � + + (2.129)
"r r sin � "Ć r "�
( )]
" sin Ć " cos Ć cos � "
-r sin Ć sin � cos Ć sin � - +
"r r sin � "Ć r "�
" "
= -i (cos2 Ć + sin2 Ć) = -i .
"Ć "Ć
Funkcje, które leżą w dziedzinie tego operatora reprezentują stan fizyczny jakiegoś układu
kwantowo-mechanicznego. Z oczywistych względów chcemy, aby układ fizyczny był niezmien-
niczy względem operacji obrotu układu współrzędnych o kąt pełny. Oznacza to, że przestrzenią
Hilberta funkcji falowych opisujących układ będzie przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadra-
tem i periodycznych, tj. takich, dla których zajdzie �(Ć, �) = �(Ć + 2Ą, � + 2Ą).
Ć
Rozważymy teraz zagadnienie własne dla operatora L3. Można udowodnić8, że przy założeniu
Ć
periodyczności funkcji falowych opisujących stan układu fizycznego, widmo operatora L3 skła-
dać się będzie tylko z wartości własnych, tj. takich k " R, że spełnione będzie równanie własne
postaci
Ć
(L3�m)(r, Ć, �) = m�m(r, Ć, �) (2.130)
dla funkcji własnej �m(r, Ć, �).
Załóżmy, że funkcja falowa � daje się zapisać w postaci sfaktoryzowanej, tj. że istnieją takie
dwie funkcje f(Ć) oraz g(r, �), że
�m(r, Ć, �) = fm(Ć)gm(r, �). (2.131)
Ć
Wtedy równanie własne dla L3 można zatem, uwzględniając definicję tego operatora (2.129)
we współrzędnych sferycznych, zapisać jako
"fm(Ć)
-i gm(r, �) = mfm(Ć)gm(r, �). (2.132)
"Ć
8
Patrz rozwiązanie Zad. 2.7.
59
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Ponieważ równość ta ma zachodzić bez względu na wartość funkcji gm, można ją wyeliminować
z równania, otrzymując równanie własne
dfm(Ć)
-i = mfm(Ć). (2.133)
dĆ
Jest to równanie różniczkowe jednorodne zwyczajne pierwszego rzędu, liniowe o stałych współ-
czynnikach. Symbol różniczki cząstkowej " został zastąpiony symbolem zwykłej pochodnej d,
gdyż funkcje fm są już funkcjami tylko jednej zmiennej, tj. Ć. Zapisując to równanie w nieco
innej postaci,
dfm(Ć) i
= mdĆ (2.134)
fm(Ć)
jego scałkowanie nie nastręcza już żadnych trudności. Całka ogólna tego równania przedstawia
się wyrażeniem
i
ln |fm(Ć)| = mĆ + C1, (2.135)
co pozwala zapisać
i
mĆ
1
fm(Ć) = Ce , C = eC . (2.136)
Pamiętając, że funkcje własne muszą spełniać warunek periodyczności, mamy fm(Ć + 2Ą) =
fm(Ć):
i i
m(Ć+2Ą) mĆ
Ce = Ce , (2.137)
m
co implikuje natychmiast e2Ąi / = 1. Z tego wnioskujemy, że liczba 2Ąm/ musi być całkowitą
wielokrotnością 2Ą,
2Ąm
= 2mĄ. (2.138)
skąd, bez straty ogólności, można zapisać m = m. Widać więc, że dopuszczalne wartości
własne trzeciej składowej operatora orbitalnego momentu pędu są skwantowane, zaś różnice
między kolejnymi wartościami własnymi są stałe i równe . Podstawiając rezultat (2.138) na
Ć
powrót do (2.136) uzyskujemy postać funkcji własnych operatora L3
fm(Ć) = CmeimĆ, m " Z (2.139)
ze stowarzyszonymi wartościami własnymi m = m. W przypadku modelu atomu wodoropo-
60
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
dobnego, wiemy, że indeks m, oznaczany również jako ml nosi nazwę magnetycznej spinowej
liczby kwantowej i zakres jego zmienności uzależniony jest od wartości pobocznej liczby kwan-
towej l w taki sposób, że ml " {-l, -l + 1, ... , l - 1, l}, czyli ml przebiega zbiór 2l + 1 liczb
Ć
całkowitych. Wtedy rozwiązaniem zagadnienia własnego operatora L3 jest zbiór funkcji wła-
l
snych fm (Ć) = Cm eim Ć stowarzyszonych z wartościami własnymi ml . Oczywiście przestrzeń
l l
Ć
funkcji, na które działa Lz jest dla dowolnego ustalonego l przestrzenią rozpiętą przez zbiór
2l + 1 funkcji własnych fm , jest więc skończeniewymiarowa.
l
Jeżeli ponadto nałoży się na funkcje fm warunek ich unormowania do jedności, można wyliczyć
l
wartość stałej normującej Cm . Z definicji normy w przestrzeni L2([0, 2Ą], dĆ),
l
1
�ł �ł
2
+"2Ą
�ł
%"�%" = |�(Ć)|2 dĆłł (2.140)
0
i żądania %"�%" = 1 dostajemy
+"2Ą
l
1 = %"fk%"2 = |Cm eim Ć|2 dĆ = |Cm |2 � 2Ą, (2.141)
l l
0
l
gdyż |eim Ć| = 1. Stąd otrzymujemy
1
"
|Cm | = . (2.142)
l
2Ą
Formalnie wystarczy żądać, aby Cm było liczbą rzeczywistą; stąd można założyć Cm = |Cm | =
l l l
"1
.
2Ą
61
Rozdział 3
Kwantowomechaniczny opis budowy
materii
3.1 Elementy teorii układów wielocząstkowych
Zad. 3.1 Stan dwucząstkowy bozonowy i fermionowy
Niech H oznacza pewną przestrzeń Hilberta. Rozważamy przypadek układu dwóch cząstek
o których wiemy, że jedna z nich znajduje się w stanie �1 " H, zaś druga w stanie �2 " H, orto-
gonalnym do �1 i %"�1%" = %"�2%" = 1. Stan kolektywny �1,2 opisujący cały układ dwucząstkowy
definiujemy jako wektor1 z przestrzeni Hilberta H " H,
ą
�1,2 = A(�1 " �2 ą �2 " �1), (3.1)
gdzie A jest pewną stałą zaś wybór znaku (ą) uzależniony jest od tego, czy rozpatrywane
cząstki są bozonami (znak +) czy fermionami (znak -).
ą
1. Wyznaczyć wartość stałej A tak, aby �1,2 był (kolektywnym) stanem kwantowym.
2. Sprawdzić, jakie konsekwencje w przypadku bozonowym i jakie w przypadku fermiono-
wym daje operacja zamiany cząstek 1 i 2 miejscami.
1
Podana w tym zadaniu formuła jest najprostszym przykładem stanu wielocząstkowego. W ogólności, stan
N nierozróżnialnych cząstek kwantowych zadany jest za pomocą znacznie ogólniejszego wyrażenia postaci
"
ą
"1
�N = (ą1)Ą�Ą(1) " �Ą(2) " ... " �Ą(N), gdzie SN jest zbiorem (grupą) wszystkich permutacji zbioru
Ą"SN
N!
{1, 2, ... , N}, Ą " SN jest konkretną permutacją tegoż; symbol (ą1)Ą przyjmuje wartość 1 w przypadku bo-
zonów (znak +), zaś w przypadku fermionów (znak -) równy jest parzystości permutacji, tj. wynosi 1 dla Ą
będącej parzystą, oraz -1 dla Ą będącej nieparzystą permutacją zbioru {1, ... , N}. Przez permutację Ą rozu-
miemy dowolne, bijektywne odwzorowanie zbioru {1, ... , N} w siebie. Permutację Ą nazywamy parzystą (lub
nieparzystą), gdy równoważna jest ona wykonaniu parzystej (nieparzystej) liczby przestawień elementów zbioru.
62
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
3. Założyć, że obie cząstki są w tym samym stanie kwantowym. Jaki wpływ ma to założenie
na postać stanu dwucząstkowego gdy obie cząstki są bozonami, a jaki, gdy są fermionami?
Przedyskutować implikacje fizyczne w obu przypadkach.
Rozwiązanie (Zad. 3.1).
Ad 1. Wektor � z pewnej przestrzeni Hilberta może pełnić rolę stanu kwantowego, jeżeli jest
ą
znormalizowany do jedności, %"�%" = 1. Wektor �1,2 z treści zadania należy do przestrzeni H"H,
która ma naturalną strukturę przestrzeni Hilberta z iloczynem skalarnym
Ł'f " g|h " k�'H"H = Ł'f|h�'HŁ'g|k�'H (3.2)
gdzie Ł'f|h�'H i Ł'g|k�'H są zwykłymi iloczynami skalarnymi w H. Iloczyn skalarny w H " H
definiuje standardową formę półtoraliniową i indukuje normę
"
%"�%"H"H = Ł'�|��'H"H. (3.3)
+ -
Obliczamy kwadrat normy wektorów �1,2 i �1,2:
+ + +
%"�1,2%"2 = Ł'�1,2|�1,2�' = Ł'A(�1 " �2 + �2 " �1)|A(�1 " �2 + �2 " �1)�' = (3.4)
= |A|2(Ł'�1 " �2|�1 " �2�' + Ł'�1 " �2|�2 " �1�'
+ Ł'�2 " �1|�1 " �2�' + Ł'�2 " �1|�2 " �1�')
= 2|A|2(%"�1%"2%"�2%"2 + |Ł'�1|�2�'|2)
= 2|A|2,
ponieważ stany �1 i �2 są unormowane do jedności i ortogonalne. Uzyskujemy zatem warunek
1
"
normalizacyjny 1 = 2|A|2 co pozwala nam zaproponować A = . Analogiczny rachunek można
2
-
przeprowadzić dla stanu �1,2,
- - -
%"�1,2%"2 = Ł'�1,2|�1,2�' = Ł'A(�1 " �2 - �2 " �1)|A(�1 " �2 - �2 " �1)�' = (3.5)
= |A|2(Ł'�1 " �2|�1 " �2�' - Ł'�1 " �2|�2 " �1�'
- Ł'�2 " �1|�1 " �2�' + Ł'�2 " �1|�2 " �1�')
= 2|A|2(%"�1%"2%"�2%"2 - |Ł'�1|�2�'|2)
= 2|A|2,
63
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
co daje identyczny wniosek na temat A i pozwala ostatecznie wyrazić stan dwucząstkowy jako
1
+
"
�1,2 = (�1 " �2 + �2 " �1), (3.6a)
2
1
-
"
�1,2 = (�1 " �2 - �2 " �1). (3.6b)
2
ą
Ad 2. Zamieniając cząstki miejscami, efektywnie konstruujemy stan �2,1, tj. zamieniamy miej-
scami wektory w iloczynach tensorowych względem oryginalnych, otrzymując
1
+ +
"
�2,1 = (�2 " �1 + �1 " �2) = �1,2, (3.7a)
2
1
- +
"
�2,1 = (�2 " �1 - �1 " �2) = -�1,2 (3.7b)
2
co oznacza, że zamiana miejscami bozonów nie powoduje żadnej zmiany stanu, zaś w przypadku
fermionów zmianie ulega znak wektora stanu kolektywnego2.
Ad 3. Jeżeli założymy, że obie cząstki współdzielą ten sam stan kwantowy �, dostaniemy
"
1
+
"
�1,2 = (� " � + � " �) = 2 � " �, (3.8a)
2
1
-
"
�1,2 = (� " � - � " �) = 0. (3.8b)
2
"
+ +
Stan �1,2 jest nieznormalizowany (%"�1,2%" = 2), ale w razie potrzeb można go znormalizo-
"
- -
wać, dzieląc przez 2; stan �1,2 natomiast całkowicie znika (%"�1,2%" = 0), więc nie można
go znormalizować do jedności i tym samym nie może on reprezentować stanu kwantowego. Z
tej obserwacji wnioskujemy, że sytuacja gdy dwa (lub więcej) fermiony znajdują się w iden-
tycznym stanie kwantowym, jest zupełnie wykluczona, co stanowi manifestację tzw. zakazu
Pauliego. Zakaz ten objawia się w bardzo wielu aspektach mechaniki kwantowej i w ogromnym
stopniu kształtuje rzeczywistość fizyczną  trywialnymi przykładami jego obecności są zasady
wypełniania powłok i podpowłok atomów pierwiastków przez elektrony, występowanie struk-
tury pasmowej ciał stałych, obecność tzw. materii zdegenerowanej w egzotycznych, końcowych
stadiach rozwoju gwiazd takich jak biały karzeł i gwiazda neutronowa, istnienie powierzchni,
energii i poziomu Fermiego gazu elektronowego w ciele stałym itd. Bozony, z drugiej strony, nie
2
Niemniej jednak z punktu widzenia mechaniki kwantowej, a zwłaszcza teorii pomiaru i fizyki eksperymen-
talnej, zmiana znaku nie ma żadnego znaczenia z tego powodu, że liczba -1 = eiĄ, będąca globalną fazą, jest
nieistotna. Matematycznie rygorystyczne podejście do mechaniki kwantowej definiuje bowiem przestrzeń Hil-
berta stanów układu jako przestrzeń rzutową, zdefiniowaną jako przestrzeń ilorazowa (H \ {0})/ <" gdzie <" jest
relacją równoważności w H zdefiniowaną tak, że dla f, g " H \ {0} mamy f <" g wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje taka niezerowa  " C, że f = g. Relacja <" utożsamia zatem ze sobą te wszystkie stany, które różnią
- - -
się jedynie o multiplikatywną stałą i przez to �2,1 = -�1,2 oraz �1,2 są także utożsamione.
64
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
podlegają zakazowi Pauliego i ten sam stan kwantowy może współdzielić dowolna ich liczba.
Najbardziej prominentną manifestacją tego faktu jest możliwość tworzenia przez nie tzw. kon-
densatu Bosego  Einsteina, obecnego np. w niskotemperaturowych nadprzewodnikach (pary
Coopera, przewidziane przez teorię BCS, tworzą kondensat w stanie nadprzewodzącym gdyż
4
są bozonami  ich spin wynosi 0) lub nadciekłym helu He (tutaj kondensat budowany jest z
atomów izotopu helu  podobnie jak pary Coopera, te również są bozonami o spinie 0).
Zad. 3.2 Operatory kreacji i anihilacji
W pewnej przestrzeni Hilberta H definiujemy ortonormalny i zupełny zbiór wektorów {�n : n
2 2
0}, Ł'�n|�n �' = �nn oraz dwa wzajemnie sprzężone operatory kreacji � i anihilacji �, których
działanie na zbiór {�n} określone jest związkami
"
� �n = n �n-1, n > 0, (3.9a)
� �0 = 0, (3.9b)
"
� �n = n + 1 �n+1. (3.9c)
Baza {�n} bywa nazywana reprezentacją liczby obsadzeń3. Jeżeli jakiś układ fizyczny znajduje
się w stanie opisanym wektorem �n, oznacza to, że w tym układzie znajduje się dokładnie n
cząstek4 współdzielących pewien ustalony stan kwantowy. Gdy liczba cząstek wynosi 0, odpo-
wiadający tej sytuacji stan �0 nazywamy stanem próżni. Operator � � nazywać będziemy ope-
ratorem liczby cząstek, gdyż jego wartością własną jest liczba cząstek w układzie, � � �n = n �n.
Ć
1. Sprawdzić, że tak zdefiniowane operatory spełniają relacją komutacyjną [�, � ] = I.
( )n
"1
2. Sprawdzić indukcyjnie, że �n = � �0.
n!
3. Sprawdzić, że dla dowolnego �n zachodzi � � �n = n �n.
3
Stany {�n} bywają równoważnie nazywane stanami Focka.
4
Określenie  cząstka jest tutaj bardzo umowne. W kwantowej teorii pola pod tym terminem rozumie się
zarówno fizycznie występujące cząstki (takie jak elektrony, protony itp.), jak również tzw. kwazicząstki, czyli
często dosyć egzotyczne i abstrakcyjne obiekty opisane przy pomocy właściwych dla siebie operatorów kre-
acji i anihilacji, spełniających kanoniczne reguły komutacyjne lub antykomutacyjne. Przykładami kwazicząstek
są dziury elektronowe w półprzewodnikach, ekscytony (czyli związane układy elektron-dziura), elektrony w
kryształach (posiadające masę efektywną ze względu na obecność periodycznego potencjału krystalicznego i od-
działywania z innymi elektronami), pary Coopera w nadprzewodnikach, polarytony (układy foton-kwazicząstka)
czy też odkryte w 2014 roku dropletony. Osobną kategorią kwazicząstek są mody wzbudzeniowe, takie jak fotony
(wzbudzenie pola elektromagnetycznego), fonony (kolektywne drgania sieci krystalicznej), rotony (wzbudzenia
4
w nadciekłym helu He) itd.
65
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Rozwiązanie (Zad. 3.2).
Ad 1. Jeżeli relacja komutacyjna zachodzi, to znaczy, że [�, � ]�n = �n dla każdego wektora
�n. Zakładając najpierw n > 0, dostajemy
( ) ( )
[�, � ]�n = �� - � � �n = � � �n - � (� �n) (3.10)
"
"
= n + 1 � �n+1 - n � �n-1
" "
" "
= n + 1 � n + 1 �n - n � n �n
= (n + 1) �n - n �n
= �n.
Osobno sprawdzamy przypadek n = 0:
( ) ( )
[�, � ]�0 = �� - � � �0 = � � �0 - � (� �0) (3.11)
(" )
"
= � 0 + 1 �1 - 0 = � �1 = 1 �0
= �0
czyli sprawdzany związek komutacyjny faktycznie zachodzi.
Ad 2. W dowodzie poprawności proponowanej formuły dla n > 0 wykorzystamy twierdzenie o
indukcji matematycznej (przypadek n = 0 jest trywialny). Jako założenie indukcyjne przyjmu-
jemy, że
( )n
1
"
�n = � �0. (3.12)
n!
Tezą indukcyjną jest sformułowanie następujące: z tego, że (3.12) zachodzi dla pewnego n wynika,
że zachodzi również dla n + 1. Dowód rozpoczynamy zwyczajowo od sprawdzenia poprawności
(3.12) dla pewnego początkowego n, np. równego 1:
L = �1, (3.13a)
"
1
"
P = � �0 = 1 + 0 �1 = �1, (3.13b)
1!
czyli L = P i badana formuła jest poprawna dla pewnego początkowego n. Teraz przeprowa-
66
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
dzamy obliczenia dla dowolnego n + 1:
L = �n+1, (3.14a)
( )n+1 (( )n )
1 1
P = " � �0 = " � � �0 (3.14b)
(n + 1)! (n + 1)n!
( )
( )n
1 1 1
= " � " � �0 = " � �n
n + 1 n + 1
n!
"
1
= " � n + 1 �n+1
n + 1
= �n+1
po skorzystaniu z założenia indukcyjnego. Przez to znowu mamy L = P, co kończy dowód
indukcyjny postawionej tezy. Na tej podstawie stwierdzamy, że korzystając z zasady indukcji
matematycznej udowodniliśmy poprawność formuły (3.12) dla n > 0. Jeżeli n = 0, związek
( )0
1
�0
"
(3.12) jest również automatycznie spełniony jako że � �0 = 1 � I = �0.
0!
Ad 3. Wykonując proste przekształcenia, bardzo łatwo pokazujemy, że
( ) " " "
"
� � �n = � n �n-1 = n � �n-1 = n � n �n (3.15)
= n �n.
W przypadku, gdy n = 0, mamy � � �0 = 0 � �0 = 0.
Zad. 3.3 Stany koherentne
Niech � i � oznaczają odpowiednio operator anihilacji i kreacji, związane kanoniczną relacją
Ć
komutacyjną [�, � ] = I i niech �0 będzie stanem próżni. Definiujemy stan koherentny �(ą)
jako
"
"
1 ąn
2
�(ą) = e- |ą|2 " �n. (3.16)
n!
n=0
Stany koherentne minimalizują zasadę nieoznaczoności Heisenberga, przez co przejawiają wiele
własności klasycznych. Odgrywają bardzo istotną rolę w optyce kwantowej, gdzie znajdują
zastosowanie np. przy opisie światła laserowego.
1. Sprawdzić normalizację stanu koherentnego �(ą).
2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że podczas pomiaru nad układem w stanie koherentnym,
wykrytych zostanie dokładnie n cząstek. Skomentować wynik.
67
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
3. Obliczyć średnią liczbę cząstek w stanie koherentnym.
4. Sprawdzić, że stan koherentny jest wektorem własnym operatora anihilacji.
5. Sprawdzić, czy dwa różne stany koherentne �(ą) i �(�) są ortogonalne. Skomentować
wynik.
Rozwiązanie (Zad. 3.3).
Ad 1. Obliczamy kwadrat modułu stanu �(ą), uzyskując
%"�(ą)%"2 = Ł'�(ą)|�(ą)�' (3.17)
" "
" "
1 ąn 1 ąm
2 2
= Ł'e- |ą|2 " �n|e- |ą|2 " �m�'
n! m!
n=0 m=0
" " " "
" " " "
2 ąnąm 2 ąnąm
= e-|ą| " Ł'�n|�m�' = e-|ą| " �nm
n!m! n!m!
n=0 m=0 n=0 m=0
"
"
2 |ą|2n 2 2
= e-|ą| = e-|ą| e|ą|
n!
n=0
= 1.
Ad 2. Prawdopodobieństwo wykrycia n cząstek podczas pomiaru nad układem w stanie � jest
równe prawdopodobieństwu redukcji stanu � do stanu o ustalonej liczbie cząstek �n,
2
"
"
1 ąm
2
p(n) = |Ł'�n|�(ą)�'|2 = e- |ą|2 " Ł'�n|�m�' (3.18)
m!
m=0
2
"
"
2 ąm 2 |ą|2n
= e-|ą| " �nm = e-|ą| .
n!
m!
m=0
n
Uzyskany rozkład gęstości prawdopodobieństwa jest tożsamy rozkładowi Poissona p(n) = e-
n!
dla parametru  = |ą|2.
Ad 3. Średnia liczba cząstek w stanie �(ą) wyrażona będzie jako średnia z operatora � �,
wyrażona jako średnia względem gęstości rozkładu prawdopodobieństwa p(n):
" " "
" " "
2 |ą|2n 2 |ą|2n
Ł'n�' = n p(n) = e-|ą| n = e-|ą| = ... (3.19)
n! (n - 1)!
n=0 n=0 n=1
68
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
co po wprowadzeniu nowej zmiennej m = n - 1 daje
" "
" "
2 |ą|2(m+1) 2 |ą|2m 2 2
... = e-|ą| = e-|ą| |ą|2 = e-|ą| |ą|2e|ą| (3.20)
m! m!
m=0 m=0
= |ą|2.
Ad 4. Działając operatorem � na �(ą) dostajemy, kładąc w odpowiednim miejscu m = n - 1
podobnie jak wyżej,
" "
" "
"
1 ąn 1 ąn
2 2
� �(ą) = e- |ą|2 " � �n = e- |ą|2 " n �n-1 (3.21)
n! n!
n=0 n=0
" "
" "
1 ąn 1 ąm+1
2 2
= e- |ą|2 " �n-1 = e- |ą|2 " �m
(n - 1)! m!
n=1 m=0
= ą �(ą).
Ad 5. Obliczamy iloczyn skalarny dwóch różnych stanów koherentnych �(ą) i �(�):
" "
" "
1 ąn 1 ąm
2 2
Ł'�(ą)|�(�)�' = Ł'e- |ą|2 " �n|e- |�|2 " �m�' (3.22)
n! m!
n=0 m=0
" "
" "
1 ąn�m
2
= e- (|ą|2+|�|2) " Ł'�n|�m�'
n!m!
n=0 m=0
"
"
1 (ą�)n
2
= e- (|ą|2+|�|2)
n!
n=0
1 1
2 2
= e- (|ą|2+|�|2)eą� = e- (|ą|2+|�|2-2ą�)
co nigdy nie przyjmuje wartości 0, czyli zbiór stanów koherentnych nie jest ortogonalny5.
3.2 Oscylator harmoniczny
Zad. 3.4 Metoda wariacyjna (wykład: rozdział 3, 3.5.2)
Funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zadana jest przez funkcję
Gaussa postaci
x2
2�2
��(x) = A�e- . (3.23)
5
Nieortogonalność nie przeszkadza jednak temu, że stany koherentne tworzą zbiór zupełny (a nawet nadzu-
pełny).
69
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
1. Znalez
ć wyrażenie na A� tak, aby �� była poprawnie zdefiniowaną funkcją falową.
2. Korzystając z metody wariacyjnej znalez
ć wyrażenie na parametr � funkcji falowej stanu
podstawowego i wartość energii stanu podstawowego.
Rozwiązanie (Zad. 3.4). Metoda wariacyjna w mechanice kwantowej, oparta na rachunku wa-
riacyjnym, jest narzędziem poszukiwania przybliżonych rozwiązań równania Schr�dingera. W
szczególności, może zostać użyta do odnajdywania najlepszego przybliżenia funkcji falowej i
energii stanu podstawowego układu kwantowo-mechanicznego. Definiując funkcjonał
Ł'��|$
���'
�(��) = (3.24)
Ł'��|���'
gdzie �� jest tzw. funkcją testową, zależną od zbioru pewnych parametrów � = (�1, �2, ... , �n),
nazywanych parametrami wariacyjnymi. Można udowodnić, że funkcjonał (3.24) spełnia nie-
równość
E0 �(��) (3.25)
dla dowolnej testowej funkcji ��, gdzie E0 jest energią stanu podstawowego. Oznacza to, że
dla danej klasy funkcji testowych ��, wielkość �0 = inf�{�(��)} jest najlepszym przybliżeniem
z góry dla E0. Ponieważ zakładamy, że funkcje testowe zależą od parametrów �i w sposób
odpowiednio gładki, �0 będzie jednocześnie globalnym minimum funkcjonału �(��). Z założenia
o gładkości wynika warunek konieczny istnienia minimum6
n
"
"�(��)
��i = 0. (3.26)
"�i
i=1
Wielkości ��i są, z formalnego punktu widzenia wariacjami (o skończonej wartości), nie róż-
niczkami7. Oczywiście z powodu dowolności ��i, warunek (3.26) implikuje, że dla każdego �i
spełniony będzie warunek postaci
"�(��)
= 0. (3.27)
"�i
6
Oczywiście warunek ten spełniony jest nie tylko w minimum globalnym, ale również we wszystkich punktach
stacjonarnych. Niemniej dla ułatwienia obliczeń pomijamy rozważania nt. istnienia innych punktów ekstremal-
nych lub siodłowych i zakładamy, że (przynajmniej lokalnie) funkcjonał � osiąga wyłącznie globalne minimum.
7
Niemniej jednak nasze rozważania nie tracą na ogólności, gdyż funkcjonał � można, traktując go jak funkcję
0 0
zmiennych �1, �2, ... , �n, rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu �0 = (�1, ... , �n) w którym osiąga
0
minimum. W szeregu Taylora pojawią się wariacje zmiennych ��i = �i - �i które pozwolą, dla bardzo małych
��i, przybliżyć szereg tylko do wyrazów liniowych względem ��i. W rezultacie otrzymuje się (3.26).
70
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Ad 1. Funkcja gaussowska ��(x) powinna być unormowana do jedności w sensie normy w
przestrzeni L2(R, dx), tj. musi zajść
+""
%"��%"2 = |��(x)|2 dx = 1. (3.28)
-"
Stosując definicję funkcji �� dostajemy
+""
x2
|A�e- 2�2
|2 dx = 1. (3.29)
-"
Bez straty ogólności możemy założyć, że A� " R, co daje
+""
x2
�2
A2 e- dx = 1. (3.30)
�
-"
Wykonujemy podstawienie t = x/�, dx = �dt,
+"" +""
x2
2
�2
A2 e- dx = A2� e-t dt (3.31)
� �
-" -"
+"
"
2
"
i korzystamy z lematu 1, uzyskując e-t dt = Ą, co daje nam
-"
"
A2� Ą = 1 (3.32)
�
"
i automatycznie A� = 1/Ą1/4 �. W ten sposób uzyskujemy znormalizowaną funkcję falową
x2
1
2�2
��(x) = " e- (3.33)
Ą1/4 �
zależną od jednego parametru �.
Ad 2. Funkcja testowa �� zależna jest od jednego parametru �. Ponieważ zbiór funkcji testo-
wych zawiera wyłącznie funkcje unormowane do jedności, spełniające Ł'��|���' = 1, funkcjonał
� przyjmie postać
Ł'��|$
���'
�(��) = = Ł'��|$
���'. (3.34)
Ł'��|���'
71
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego spełnia równość
2
d2�(x) 1
($
�)(x) = - + m�2x2�(x). (3.35)
2m dx2 2
Funkcjonał � zatem wyraża się wzorem
+""
�(��) = ��(x)($
��)(x) dx (3.36)
-"
�ł �ł
( )
+"" +""
x2 x2 x2
1 2 d2 1
�ł-
2�2 2�2 �2
= " e- e- dx + m�2 x2e- dxłł .
� Ą 2m dx2 2
-" -"
Lemat 5. Zachodzi równość
+"" "
2 Ą
x2e-x dx = . (3.37)
2
-"
Stosując lemat 5, obliczamy kolejno całki:
( )
+"" +""
x2 x2 x2 x2
d2 1
2�2 2�2 2�2 2�2
e- e- dx = e- � e- (x2 - �2) dx (3.38a)
dx2 �4
-" -"
+"" +""
x2 x2
1 1
�2 �2
= x2e- dx - e- dx
�4 �2
-" -"
"
Ą
= - ,
2�
+"" "
x2
�3 Ą
x2e- �2
dx = . (3.38b)
2
-"
Podstawiając uzyskane wyniki na powrót do wyrażenia na �(��), uzyskujemy
( " " )
2
1 Ą 1 �3 Ą
�(��) = " � + m�2 � (3.39)
� Ą 2m 2� 2 2
2
+ m2�2�4
= .
4m�2
Warunkiem koniecznym minimalizowania się funkcjonału �(��) jest znikanie pierwszej pochod-
nej otrzymanego wyrażenia względem parametru wariacyjnego �,
2
d + m2�2�4 m2�2�4 - 2
0 = = . (3.40)
d� 4m�2 2m�3
72
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
2
Pozostaje zatem rozważyć równanie postaci m2�2�4 - = 0. Oczywiście interesują nas wy-
łącznie rzeczywiste, dodatnie rozwiązania; w tym przypadku łatwo otrzymujemy
"
� = (3.41)
m�
co daje nam postać funkcji stanu podstawowego
1
(m� )
m�
4
2
�0(x) = ��(x)|�=" = e- x2. (3.42)
m� Ą
Należy tutaj zaznaczyć, że wybrana klasa funkcji próbnych, zadanych przez krzywe Gaussa jest
klasą możliwie najlepszą - posługując się metodą wariacyjną, udaje się wyznaczyć funkcję falową
stanu podstawowego nie w sposób przybliżony, ale ścisły. Oczywiście wybór innej klasy funkcji
próbnych pozwoliłby jedynie na uzyskanie formuł przybliżających uzyskany tutaj wynik.
Skoro �0 jest funkcją stanu podstawowego, to wartość funkcjonału �(�0) = Ł'��|$
���' w (3.39),
"
liczonego przy wartości � = dokładnie odpowiada energii stanu podstawowego E0:
m�
2
+ m2�2�4 1
Ł'��|$
���' " = = �. (3.43)
�= 4m�2 �=" 2
m�
m�
Zad. 3.5 Oscylator harmoniczny w drugiej kwantyzacji
d
Niech x i p = -i oznaczają samosprzężone, jednowymiarowe operatory położenia i pędu.
Ć Ć
dx
Definiujemy operator kreacji � i operator anihilacji � tak, że
"
( )
m� i
� = x + p , (3.44a)
Ć Ć
2 m�
"
( )
m� i
� = x - p . (3.44b)
Ć Ć
2 m�
1. Wyznaczyć operatory x i p.
Ć Ć
2. Wyrazić hamiltonian oscylatora harmonicznego za pomocą operatorów � i � .
3. Podać ogólną postać stanów i energii własnych hamiltonianu oscylatora harmonicznego.
Czy hamiltonian jest ograniczony z dołu? Jeżeli tak, podać energię stanu podstawowego.
Rozwiązanie (Zad. 3.5). hamiltonian oscylatora harmonicznego w mechanice kwantowej wyraża
się analogicznie jak w mechanice klasycznej jako forma kwadratowa pędu p i położenia x, które
73
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
zastąpione zostają przez odpowiedniki w postaci samosprzężonych operatorów x i p,
Ć Ć
2
p2 m�2 d2 m�2
Ć
$
= + x2 = - + x2. (3.45)
Ć
2m 2 2m dx2 2
Ad 1. Dodając lub odejmując stronami równości (3.44) i wykonując elementarne przekształce-
nia łatwo dostajemy, że
"
x = (� + � ), (3.46a)
Ć
2m�
"
m�
p = -i (� - � ). (3.46b)
Ć
2
Ad 2. Hamiltonian oscylatora (3.45) wyrażamy, podstawiając w miejsce x i p odpowiednie
Ć Ć
formuły (3.46):
( )2 (" )2
"
1 m� m�2
$
= -i (� - � )2 + (� + � )2 (3.47)
2m 2 2 2m�
( )
�
= -(� - � )2 + (� + � )2
4
( )
�
= -�2 + �� + � � - (� )2 + �2 + �� + � � + (� )2
4
( ) ( )
� �
= � � + �� = � � + (1 + � �)
2 2
( )
1
= � � � + .
2
Ad 3. Otrzymany w punkcie poprzednim hamiltonian jest funkcją operatora liczby cząstek
� �, który zdefiniowany został w Zad. 3.2 dlatego jest również diagonalizowany przez stany
reprezentacji liczby obsadzeń �n takie, że � � �n = n �n, n 0:
( ) ( )
1 1
$
�n = � � � + �n = � n + �n. (3.48)
2 2
Wartości własne hamiltonianu oscylatora En wyrażają się zatem wzorem
( )
1
En = � n + , n 0. (3.49)
2
1
Widmo hamiltonianu �($
) = {En : n 0} posiada kres dolny w postaci wartości E0 = � i
2
hamiltonian jest ograniczony z dołu, jego stan podstawowy istnieje i odpowiada przypadkowi
n = 0 o energii E0.
74
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
3.3 Atom wodoropodobny
Zad. 3.6 Degeneracja poziomów (wykład: rozdział 4, 4.1.2)
Obliczyć krotność degeneracji poszczególnych poziomów energetycznych atomu wodoru.
Rozwiązanie (Zad. 3.6). Z ogólnej kwantowomechanicznej teorii atomu wodoru wiemy, że stany
własne �nlm = Rn " Ylm spełniają równanie własne
l l
$
�nlm = En�nlm (3.50)
l l
tak, że stowarzyszone z nimi wartości własne En wyrażają się formułą
mec2ą2 1 13.6 eV
En = - � H" - , (3.51)
2 n2 n2
gdzie ą = e2/4Ą�0 c H" 1/137 jest stałą struktury subtelnej. Wartości energii poziomów elek-
tronowych są więc zależne jedynie od głównej liczby kwantowej8 n. To oznacza, że każdemu
poziomowi energetycznemu En odpowiadać będą różne funkcje własne �nlm takie, że dla wy-
l
branego n, indeksowane będą za pomocą liczb kwantowych l oraz ml.
Wiemy, że poboczna liczba kwantowa l przebiega zbiór {0, 1, 2, .. , n - 1}, przyjmuje więc
n - 1 + 1 = n możliwych wartości. Jednocześnie magnetyczna orbitalna liczba kwantowa ml
przyjmuje wartości {-l, -l + 1, ... , l - 1, l}, jest ich 2l + 1. Oznacza to, że jednej wartości
energii En odpowiada gn możliwych funkcji własnych �nlm tak, że
l
n-1
"
gn = (2l + 1). (3.52)
l=0
Oczywiście powyższe wyrażenie jest niczym innym, jak sumą skończenie wielu wyrazów ciągu
arytmetycznego gl = 2l + 1. Ponieważ z elementarnej matematyki wiemy, że
m
"
m
gl = (a1 + am), (3.53)
2
l=1
8
Stwierdzenie to jest słuszne wyłącznie w przybliżeniu nierelatywistycznym i obowiązuje dla lekkich atomów
(tj. o małej liczbie masowej). Założenie o nierelatywistyczności opisu pociąga za sobą brak uwzględnienia spinu
elektronu; w ogólności poziomy energetyczne ulegają nawet dalszej degeneracji ze względu na liczbę kwantową
j, charakteryzującą całkowity moment pędu.
75
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
mamy natychmiast
n-1
"
n
gn = (2l + 1) = (2 � 0 + 1 - (2(n - 1) + 1)) = n2. (3.54)
2
l=0
Liczba gn nosi nazwę degeneracji poziomu energetycznego o ustalonym n.
Zad. 3.7 Stan podstawowy atomu wodoru (wykład: rozdział 4, 4.1.2 i 4.2)
W stanie podstawowym elektron w atomie wodoru opisany jest liczbami kwantowymi n = 1,
l = 0, ml = 0. Stan elektronu �nlm = �100 = R10"Y00 wyrażony jest za pomocą funkcji radialnej
l
R10(r) i harmoniki sferycznej Y00(�, Ć) tak, że
r
2 1
a0
R10(r) = e- , Y00(�, Ć) = " (3.55)
2 Ą
a3/2
0
gdzie a0 jest promieniem orbity elektronu w stanie podstawowym w modelu Bohra (tzw. promień
Bohra).
1. Sprawdzić unormowanie funkcji R10 i Y00.
2. Obliczyć średnią odległość elektronu od jądra. Wynik porównać z półklasyczną teorią
atomu Bohra.
Rozwiązanie (Zad. 3.7).
Ad 1. Funkcje radialne i harmoniki sferyczne powinny być unormowane oddzielnie, tj. powinny
zachodzić warunki %"R10%" = 1 i %"Y00%" = 1. Obliczmy najpierw normę funkcji radialnej,
1 1
�ł �ł �ł �ł
2 2
+"" +""
2r
4
a0
�ł �ł
%"R10%" = r2|R10(r)|2 drłł = r2e- drłł . (3.56)
a3
0
0 0
Lemat 6. Dla n " N *" {0} zachodzi równość
+""
xne-x dx = n!. (3.57)
0
+"
"
Dowód. Wprowadz
my oznaczenie xne-x dx = In. Całkujemy przez części, uzyskując
0
+"" +""
"
xne-x dx = -xne-x 0 + n xn-1e-x dx = nIn-1 (3.58)
0 0
76
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
gdyż limx" xne-x = 0 dla n > 0 na mocy reguły de l Hospitala9. Jednocześnie zachodzi
+"
"
I0 = e-x dx = 1, więc uzyskany wynik
0
ńł
�łnIn-1, n > 0,
In = (3.59)
ół1, n = 0
jest definicją rekurencyjną funkcji silnia, In = n!.
Wprowadzamy nową zmienną t = 2r/a0, dr = (a0/2)dt i korzystamy z lematu 6 dla n = 2,
uzyskując
1
�ł �ł
"
2
+""
4 a0 a2 1
0
�ł
%"R10%" = � � t2e-t dtłł = � 2! = 1. (3.60)
a3 2 4 2
0
0
Sprawdzenie unormowania harmoniki sferycznej jest trywialne,
1 1
�ł �ł �ł �ł
2 2
+"Ą +"2Ą +"Ą +"2Ą
1
�ł �ł
%"Y00%" = sin � d� |Y00(�, Ć)|2 dĆłł = sin � d� dĆłł (3.61)
4Ą
0 0 0 0
1
( )
2
1
= � 2Ą � (-1) � cos �|2Ą = 1.
0
4Ą
Ad 2. Zgodnie z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej, kwadrat modułu funkcji fa-
lowej interpretujemy jako funkcję gęstości prawdopodobieństwa10. Jeżeli funkcja ta zapisana
zostanie w tzw. reprezentacji położeniowej jako �(r, t), wyrażenie |�(r, t)|2 traktować należy
jako gęstość prawdopodobieństwa odnalezienia cząstki w chwili t w punkcie r przestrzeni po-
łożeń. Oznacza to, że wartość średnia obserwabli r winna wyrażać się jako całka względem
rozkładu |�nlm (r, �, Ć)|2:
l
+"Ą +"2Ą +"" +""
2r
4
a0
Ł'r�' = sin � d� dĆ r|R10(r)Y00(�, Ć)|2r2 dr = r3e- dr (3.62)
a3
0
0 0 0 0
gdyż poprzednio pokazaliśmy, że harmoniki sferyczne są unormowane do jedności. Wykonujemy
podstawienie t = 2r/a0, dr = (a0/2)dt Ponownie korzystamy z lematu 6, tym razem dla n = 3,
9
limx" xne-x = limx" xn i tak licznik, jak i mianownik jest rozbieżny do +". Indukcyjnie można
ex
dn dn n!
udowodnić, że xn = n!, e-x = (-1)ne-x, przez co limx" xn = limx" (-1)nex = 0.
dxn dxn ex
10
Ściślej, w reprezentacji położeniowej jest to funkcja gęstości miary probabilistycznej � : B(R3) - [0, 1],
zdefiniowanej na �-algebrze podzbiorów borelowskich B(R3) w przestrzeni położeń R3. Wymagamy, aby miara
� była �-skończona i �-addytywna, oraz aby dla dowolnego podzbioru borelowskiego S w R3 wyrażona była
+" +"+"+"
jako �(S) = �(dS) = |�(r, t)|2d3r.
S S
77
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
otrzymując
(a )3 a0 +""
4 4 3
0
Ł'r�' = � � t3e-t dt = a0 � 3! = a0, (3.63)
a3 2 2 16 2
0
0
czyli średni promień orbity elektronu w stanie podstawowym w modelu atomu Schr�dingera
jest 1,5 razy większy, niż promień a0 w półklasycznym modelu atomu Bohra.
Zad. 3.8 Orbitale rzeczywiste (wykład: rozdział 5, 5.3.2)
Dla pobocznej liczby kwantowej l = 1 definiujemy tzw. orbitale kierunkowe px, py i pz,
1 i
" "
px = (p-1 - p1), py = (p-1 + p1), pz = p0, (3.64)
2 2
gdzie p0 i pą1 dane są jako
p0 = Rn1 " Y10, p1 = Rn1 " Y11, p-1 = Rn1 " Y1-1. (3.65)
1. Sprawdzić, że zbiór orbitali kierunkowych stanowi bazę w przestrzeni funkcji falowych dla
l = 1 i ustalonego n 1.
2. Pokazać, że orbitale kierunkowe px, py i pz są funkcjami rzeczywistymi.
Rozwiązanie (Zad. 3.8). Każda z funkcji p0,ą1 dana jest wyrażeniem Rn1 " Y1m , gdzie m1 "
1
{-1, 0, 1}, co oznacza, że
p0(r, �, Ć) = Rn1(r)Y10(�, Ć), pą1(r, �, Ć) = Rn1(r)Y1ą1(�, Ć). (3.66)
Zapiszmy definicje harmonik sferycznych Ylm dla l = 1. Indeks ml = m1 przebiegać będzie
l
zbiór 3 wartości, m1 " {-1, 0, 1} tak, że
"
3
Y1-1(�, Ć) = e-iĆ sin �, (3.67a)
8Ą
"
3
Y10(�, Ć) = cos �, (3.67b)
4Ą
"
3
Y11(�, Ć) = - eiĆ sin � (3.67c)
8Ą
Ad 1. Przez bazę (algebraiczną) w przestrzeni liniowej X nad ciałem K rozumiemy maksymal-
ny zbiór liniowo niezależnych elementów tej przestrzeni ei takich, że dowolny element f " X
78
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
daje się wyrazić jako skończona kombinacja liniowa elementów bazy i elementów ciała K, tj.
"n
f = aiei, ai " K. Liczbę n określającą liczebność bazy nazywamy (algebraicznym) wy-
i=1
miarem przestrzeni11 X.
Lemat 7. Jeżeli {ei} jest zbiorem k wzajemnie ortogonalnych wektorów w przestrzeni Hilberta,
to jest to również zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Dowód. Zakładamy bez straty ogólności, że Ł'ei|ej�' = �ij. Jak można łatwo pokazać, mamy
"k
Ł'x|0�' = Ł'0|x�' = 0 dla dowolnego x. Żądamy, aby zachodziło aiei = 0, tj. aby zbiór {ei}
i=1
był liniowo niezależny; otrzymujemy więc, że
k k k
" " "
0 = Ł'ej| aiei�' = aiŁ'ej|ei�' = ai�ji = aj, (3.68)
i=1 i=1 i=1
skąd mamy aj = 0 dla każdego j, czyli liniowa niezależność układu wektorów jest gwarantowana
przez ich ortogonalność.
W przestrzeni Hilberta Hn1 stanów układu fizycznego zadanej przez liczbę kwantową l = 1 i
przy ustalonym n 1 mamy do dyspozycji dokładnie trzy wektory postaci Rnl " Ylm , są to
l
Rn1 " Y1-1, Rn1 " Y10 i Rn1 " Y11; to oznacza, że przestrzeń Hn1 jest efektywnie trójwymiarową
przestrzenią zespoloną z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako
+"" +"2Ą +"Ą
Ł'f|g�' = r2 dr dĆ sin � d� f(r, �, Ć)g(r, �, Ć). (3.69)
0 0 0
Baza Rn1 " Y1m jest unormowana do jedności w taki sposób, że funkcje radialne i harmoniki
1
sferyczne są unormowane oddzielnie,
+"" +"2Ą +"Ą
%"Rn1 " Y1m %"2 = r2 dr dĆ sin � d� Rn1(r)Y1m (�, Ć)Rn1(r)Y1m (�, Ć) (3.70)
1 1 1
0 0 0
�ł �ł �ł �ł
+"" +"2Ą +"Ą
�ł
= r2|Rn1(r)|2 drłł �ł dĆ sin � d� |Y1m (�, Ć)|2łł
1
0 0 0
= 1.
11
Podane definicje są słuszne w przypadku skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych. Gdy X jest nieskoń-
czeniewymiarowa (jak np. używana często przez nas przestrzeń L2([a, b], dx)), baza w podanym sensie jest nazy-
wana bazą Hamela. Można pokazać jednak, że taka baza jest nieużyteczna w zastosowaniach praktycznych (ba-
zy Hamela w przypadku nieskończeniewymiarowych X są nieprzeliczalne), dlatego poszukuje się takich ei, aby
"" "n
f = aiei (co należy interpretować w sensie przejścia granicznego takiego, że limn" %" aiei - f%" = 0;
i=1 i=1
jest to tzw. zbieżność w topologii zadanej przez normę). Bazy spełniające taką równość nazywane są ogólnie
bazami Schaudera, zaś reprezentatywnym ich przykładem są bazy ortogonalne w przestrzeniach Hilberta.
79
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
Ponadto, można pokazać bezpośrednim rachunkiem, że funkcje Rnl " Ylm są ortogonalne, tj.
l
2 2 2 2
Ł'Rnl " Ylm |Rn l2 " Yl m2 �' = �nn �ll �m m2 . (3.71)
l l
l l
Zbiór orbitali kierunkowych {px, py, pz} jest trójelementowy  liczba funkcji odpowiada wy-
miarowi przestrzeni12 Hilberta Hn1. Wystarczy zatem pokazać, że funkcje te są wzajemnie
ortogonalne, aby na mocy lematu 7 udowodnić ich liniową niezależność i tym samym wykazać,
że stanowią bazę.
Sprawdzenie ortogonalności jest bardzo proste  wystarczy obliczyć trzy możliwe iloczyny ska-
larne Ł'px|py�', Ł'px|pz�' oraz Ł'py|pz�'. Jako wielkość pomocniczą, obliczamy iloczyn skalarny funkcji
pk i pl, k, l " {-1, 0, 1}:
Ł'pk|pl�' = Ł'Rn1 " Y1k|Rn1 " Y1l�' = �nn�11�kl = �kl. (3.72)
Dysponując powyższym związkiem, wykonujemy obliczenia:
1 i
" "
Ł'px|py�' = Ł' (p-1 - p1)| (p-1 + p1)�' (3.73a)
2 2
i
= (Ł'p-1|p-1�' + Ł'p-1|p1�' - Ł'p1|p-1�' - Ł'p1|p1�')
2
i
= (�-1,-1 + �-1,1 - �1,-1 - �1,1)
2
i
= (1 + 0 - 0 - 1)
2
= 0,
1 1
" "
Ł'px|pz�' = Ł' (p-1 - p1)|p0�' = (Ł'p-1|p0�' - Ł'p1|p0�') (3.73b)
2 2
1 1
" "
= (�-1,0 - �1,0) = (0 - 0)
2 2
= 0,
i i
" "
Ł'py|pz�' = Ł' (p-1 + p1)|p0�' = (Ł'p-1|p0�' + Ł'p1|p0�') (3.73c)
2 2
i i
" "
= (�-1,0 + �1,0) = (0 + 0)
2 2
= 0,
12
Istnieje twierdzenie mówiące, że wszystkie bazy w skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej są równoliczne
(H. L�wig, 1934 oraz H. E. Lacey, 1973).
80
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II
czyli funkcje istotnie są ortogonalne. Na mocy lematu 7 są też liniowo niezależne i stanowią
bazę przestrzeni Hilberta Hn1.
Ad 2. Korzystając z definicji orbitali kierunkowych i funkcji radialnych i sferycznych, łatwo
uzyskujemy
1 1
" "
px(r, �, Ć) = (p-1(r, �, Ć) - p1(r, �, Ć)) = Rn1(r) (Y1-1(�, Ć) - Y11(�, Ć)) (3.74a)
2 2
(" )
"
1 3 3
"
= Rn1(r) e-iĆ sin � + eiĆ sin �
8Ą 8Ą
2
" "
( )
3 3
= Rn1(r) e-iĆ + eiĆ sin � = Rn1(r) cos Ć sin �,
16Ą 4Ą
i i
" "
py(r, �, Ć) = (p-1(r, �, Ć) + p1(r, �, Ć)) = Rn1(r) (Y1-1(�, Ć) + Y11(�, Ć)) (3.74b)
2 2
(" )
"
i 3 3
"
= Rn1(r) e-iĆ sin � - eiĆ sin �
8Ą 8Ą
2
" "
( )
3 3
= i Rn1(r) e-iĆ - eiĆ sin � = Rn1(r) sin Ć sin �,
16Ą 4Ą
"
3
pz(r, �, Ć) = p0(r, �, Ć) = Rn1(r)Y10(�, Ć) = Rn1(r) cos �. (3.74c)
4Ą
Można pokazać, że funkcje radialne Rnl(r) są funkcjami rzeczywistymi. To oznacza, że otrzy-
mane funkcje orbitali kierunkowych są również rzeczywiste.
Literatura
1. R. Alicki, Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej II. Mechanika kwantowa
(skrypt wykładowy), Uniwersytet Gdański, Gdańsk 2014.
2. S. Kryszewski, Mechanika kwantowa. Skrypt dla studentów III-ego roku fizyki (skrypt
wykładowy), Uniwersytet Gdański 2002-2010 (dostępny w Internecie).
3. I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów. Mechanika falowa, PWN,
Warszawa 2001.
4. A. S. Dawydow, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1967.
5. L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Krótki kurs fizyki teoretycznej. Tom 2. Mechanika Kwantowa,
PWN, Warszawa 1980.
81