Ciągi liczbowe - Materiały do druku, Ciąg arytmetyczny, geometryczny, Suma ciągu, różnica, iloraz - Leniwiec.edu.pl Strona 1
Ciągi liczbowe - Materiały do druku
Potrzebne definicje, wzory i oznaczenia
1. Niech i będą liczbami dodatnimi
liczbę nazywamy średnią arytmetyczną liczb i
liczbę nazywamy średnią geometryczną liczb i
2. Wzory, które trzeba pamiętać
suma początkowych liczb naturalnych
suma kolejnych potęg (od zera do ) liczby
3. Niech będzie funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, krótko:
Taką funkcję nazywamy ciągiem liczbowym, "ciągiem " i zamiast powyższego oznaczenia piszemy
Wartości tej funkcji, czyli oznaczamy
i nazywamy wyrazami ciągu
4. Ciąg jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej, każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego, czyli
5. Ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej, każdy następny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego, czyli
6. Definicja rekurencyjna ciągu
Podajemy wartość wyrazu pierwszego lub kilku pierwszych wyrazów oraz regułę wg której można obliczyć wyraz gdy znamy wyrazy poprzednie.
Np. sławny ciąg, który zwykle definiuje się rekurencyjnie - ciąg Fibonacciego (o nim na naszych stronach w tekście "Ciąg Fibonacciego"). Zdefiniowany jest tak:
Jego początkowe wyrazy to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Ciąg arytmetyczny
Definicja rekurencyjna
jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba , że dla każdego zachodzi równość:
czyli
Wyraz pierwszy należy podać.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego - oprócz pierwszego - otrzymujemy dodając do poprzedniego tą samą liczbę .
Liczbę nazywa się różnicą ciągu.
Wciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:
Ciąg arytmetyczny jest określony, jeżeli znamy jego wyraz pierwszy i różnicę . Wtedy:
...
http://www.leniwiec.edu.pl/index2.php?option=com_content&task=view&id=90&pop=1&page=0&Itemid=88 2010-02-08 16:04:12
Ciągi liczbowe - Materiały do druku, Ciąg arytmetyczny, geometryczny, Suma ciągu, różnica, iloraz - Leniwiec.edu.pl Strona 2
Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego
Definicja przez podanie wyrazu ogólnego
Ciąg , którego wyraz ogólny ma postać
, gdzie
jest ciągiem arytmetycznym.
Własności ciągu arytmetycznego
Monotoniczność - ciąg arytmetyczny jest:
- rosnący, gdy
- stały, gdy
- malejący, gdy
Jeżeli jest ciągiem arytmetycznym, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu
zachodzi równość
która oznacza, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.
Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
Przez oznaczamy sumę kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego
A
atwo jest pokazać, że
Równości te wynikają z tego, że suma wyrazów ciągu arytmetycznego równo odległych od początku i końca ciągu jest taka sama i równa
Piszemy
i po dodaniu stronami otrzymujemy:
astąd
O pewnych ciągach arytmetycznych (i innych)
Kolejne liczby naturlane 1,2,3, ... , , ... tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1,
Ze wzoru na otrzymujemy:
czyli wzór na sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do . Suma taka pojawia się często nie tylko w matematyce, czy fizyce.
Wez
my sumę kolejnych liczb nieparzystych
oczywiście
W 1837r Lejeune Dirichlet udowodnił bardzo ważne klasyczne twierdzenie o postępie arytmetycznym
http://www.leniwiec.edu.pl/index2.php?option=com_content&task=view&id=90&pop=1&page=0&Itemid=88 2010-02-08 16:04:12
Ciągi liczbowe - Materiały do druku, Ciąg arytmetyczny, geometryczny, Suma ciągu, różnica, iloraz - Leniwiec.edu.pl Strona 3
W 1837r Lejeune Dirichlet udowodnił bardzo ważne, klasyczne twierdzenie o postępie arytmetycznym
Jeśli i są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi to ciąg arytmetyczny zawiera
nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Np. każdy z poniższych ciągów zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych:
1.
2.
3.
Jeszcze o sumach ciągów, które nie są ciągami arytmetycznymi
1. suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do
2. suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych od 1 do
Takie sumy pojawiają się często w fizyce i różnych działach matematyki. Warto więc pamiętać wyrażające je wzory:
Ciąg geometryczny
Definicja rekurencyjna
Niech będzie wyrazem pierwszym ciągu oraz niech dla każdego zachodzi równość Tak określony ciąg
nazywamy ciągiem geometrycznym, a liczbę nazywamy ilorazem ciągu.
Ciąg geometryczny jest określony, gdy znamy jego wyraz pierwszy i iloraz
Z definicji tej wynika też, że stosunek wyrazu następnego do poprzedniego, dla wszystkich wyrazów, jest stały.
Zgodnie z powyższą definicją mamy:
...
Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego
Definicja przez podanie wyrazu ogólnego
Ciąg , którego wyraz ogólny ma postać
, gdzie
jest ciągiem geometrycznym.
Własności ciągu geometrycznego
http://www.leniwiec.edu.pl/index2.php?option=com_content&task=view&id=90&pop=1&page=0&Itemid=88 2010-02-08 16:04:12
Ciągi liczbowe - Materiały do druku, Ciąg arytmetyczny, geometryczny, Suma ciągu, różnica, iloraz - Leniwiec.edu.pl Strona 4
Monotoniczność - ciąg geometryczny, którego wyraz pierwszy jest:
- rosnący, gdy
- stały, gdy
- malejący, gdy
Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu
zachodzi równość
która oznacza, że każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.
Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
Przez oznaczamy sumę kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego
A
atwo jest udowodnić, że dla kązdego i zachodzi
W podręcznikach szkolnych podaje się zwykle następujący dowód
Odejmujemy te równości stronami i otrzymujemy
astąd mamy
Zbieramy wzory do zapamiętania
http://www.leniwiec.edu.pl/index2.php?option=com_content&task=view&id=90&pop=1&page=0&Itemid=88 2010-02-08 16:04:12