1. Wyznaczenie położenia równowagi: 2. Częstość własna układu
Z zasady zachowania energii mechanicznej:
V = V + V
H = E + V = const
1 1 1

"V
E = m x + I Ć + I Ć

= -P
2 2 2
"z
1
I = m r
2
P = 0
1
I = m l

"V
3
= 0 => V = 0
x
"z
Ć =

r
"V
x

= -P
Ć =

"z
l
x = x = x

P = -S = -kz

1 1 x 1 x

E = m x + m r + m l

"V
2 4 r 6 l
= kz
"z
3 1

E = m x + m x
4 6
"V = kz "z
1
V = kx
2
"V = kz "z + c
( )
x = Asin Ét + Ć
( )
x = AÉ cos Ét + Ć
1
1
V = kz + c ( )
V = kA sin Ét + Ć
2
2
3
( )
E = m A É cos Ét + Ć
( )
V 0 = 0
4
1
( )
+ m A É cos Ét + Ć
C = 0
6
1
1
V = kz
V = kA
2
2
1 1
3 1
V = V + V = 0 + kz = kz
E = m A É + m A É
2 2
4 6
1 1 3 1
"V
kA = A É m + m

= 0
2 2 2 3
"z

k 1000 3000
É = = =
3 1 2
11
"V
m + m 3 +
2 3 3
= kz
"z
3000 10 330 rad
"

É = =
0 = k
11 11 s
rad
=
É = 16,514456
s
3. Drgania swobodne nietłumione
Dane:
f = 0
m1= 2 [kg]
m2= 2 [kg]
k= 1000 [ ]

l1= 0,5 [m]
l2= 0,5 [m]
r= 0,1 [m]
warunki poczÄ…tkowe:
t=t0=0
x(0)=1; ‹(0)=1

3000
I Ć = -S l

É =
11
1
I = m l


3
 + =

I Ć 1


S = - = - m l Ć

l 3
x Rozwiązanie równania różniczkowego:

Ć = Ć =

l
Analityczne
1

x + É x = 0
S = - m x

3
( ) ( )
x = C cos Ét + C sin Ét
I Ć = -S r + S r

( ) ( )
x = -C É sin Ét + C É cos Ét
1 3
I = m r + m r = m r
Z warunków początkowych:
2 2
S = kx x(0)=C1 => C = 1


S = S
‹(0)=C2É => C = = 0,06055

3 1
( ) ( )
m r Ć = -kx r - m x r x = cos 16,51446t + 0,06055 sin 16,51446 " t

2 3
Graficznie:
x

Ć =

( )
r x = Asin Ét + Ć
3 1

m x = -kx - m x

A = C + C = 1,0018317
2 3
x = x = x
C
tgĆ =
x = x = x C

C
x = x = x
Ć = arctg = 1,51032 [rad]
C
3 1
m x + kx + m x = 0
2Ä„
2 3
T = = 0,38047 [s]
É
3 1
x m + m + kx = 0
2 3 X=1,0018317 " sin (16,51446t + 1,51032)
k
x + x = 0
3 1
m + m
2 3
zalożność przemieszczenia od czasu x(t)
0,8
0,3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
-0,2
-0,7
-1,2
t
Charakterystyka
amplitudowo-fazowa
20
15
10
5
0
-1,2 -0,7 -0,2 0,3 0,8
-5
-10
-15
-20
x
x
‹
4. Drgania swobodne tłumione:
Dane:
µ`"0
f=0
m1= 2 [kg]
m2= 2 [kg]
c= 1

k= 1000

l1= 0,5 [m]
l2= 0,5 [m]
r= 0,1 [m]
warunki poczÄ…tkowe:
t=t0=0
x(0)=1; ‹(0)=1

I Ć = -S l

1
I = m l

3
I Ć 1


S = - = - m l Ć

l 3
x

Ć = Ć =

l
1

S = - m x

3
I Ć = -S r - Gr + S r

1 3
I = m r + m r = m r
2 2
S = kx
G = cx


S = S
3 1
m r Ć = -kx r - cx r - m x r

2 3
x

Ć =

r
3 1
m x = -kx - cx - m x

2 3
x = x = x

x = x = x

x = x = x
3 1
m x + cx + kx + m x = 0
2 3
3 1
x m + m + cx + kx = 0
2 3
c k
x + x + x = 0
3 1 1
m - m 3 m - m
2 3 2 3
1 3
2h = =
2
11
3 +
3
1000 3000
É = =
2
11
3 +
3

 +  + =

Transformata równania różniczkowego:
s + 2hs + É = 0
( )
"= 4h - 4É = 4 h - É

3 3000
"= 4 " - = -1090,835 < 0 => tłumienie jest podkrytyczne
22 11

3000 3 = 16,51389 rad
É
É = - h = -
11 22 s
Rozwiązanie równania różniczkowego:
·ð Analityczne:
[ ( ) ( )]
x = e C cos É t + C sin É t
( ) ( )]
[ ( ) ( )] [-C É sin É t + C É cos É t
‹ = -he C cos É t + C sin É t + e
z warunków początkowych:
x(0)=C1 => C1=1

‹(0)=-hC1+C2Ét => = = 0,068813


) ( )]
[ (
x = e cos 16,51389 " t + 0,068813 sin 16,51389 " t
·ð Graficzne:
( )
x = Ae sin É t + Ć

A = C + C = 1,0023648
C
tgĆ =
C
C
Ć = arctg = 1,50209 [rad]
C
2Ä„
T = = 0,38048 [s]
É

( )
x = 1,0023648e sin 16,51389 " t + Ć
D = hT = 0,05188
zalożeność przemieszczenia od czasu x(t)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1 1 3 5 7 9 11 13 15
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
t [s]
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
20
15
10
5
0
-1,2 -0,7 -0,2 0,3 0,8
-5
-10
-15
-20
t [s]
x
‹
5. Drgania wymuszone
Dane:
µ`"0
f=0
m1= 2 [kg]
m2= 2 [kg]
c= 1

k= 1000

l1= 0,5 [m]
l2= 0,5 [m]
r= 0,1 [m]
P=P0cos(Åšt)
P0= 10 [N]
Åš= 60


I Ć = -S + Pl

1
I = m l

3
-I Ć + Pl


S =
l
1
- m l Ć + Pl 1
1
3

S = = - m Ć l + P = - m x + P

l 3 3


Ć = Ć =


1

S = - m x + P

3
I Ć = S r - Gr - S r


S = S
S = kx
G = cx

1 3
I = m r + m r = m r
2 2
3
m r Ć = S r - Gr - S r

2
x

Ć =

r
3 x 1

m r = - m x + P - cx - kx

2 r 3
x = x = x

x = x = x

x = x = x
3 1
m x + m x + cx + kx = P
2 3
3 1
x m + m + cx + kx = P cos (Åšt)
2 3
c k P
x + 3 1 x + x = cos (Åšt)
1 1
m + m 3 m + m 3 m + m
2 3 2 3 2 3
x + 2hx + É x = cos (Åšt)
1 3
2h = =
2
11
3 +
3
1000 3000
É = =
2
11
3 +
3
10 30
= =
2
11
3 +
3
Zjawisko dudnienia
Założenie: h=0, Ś=16 [rad/s]:
k P
x + x = cos (Åšt)
3 1 1
m + m 3 m + m
2 3 2 3
x = x + x
( ) ( )
x = C cos Ét + C sin Ét
( )
x = Acos Åšt
( )
x = -AÅš sin Åšt

( )
x = -AÅš cos Åšt

( ) ( ) ( )
-AÅš cos Åšt + É Acos Åšt = P cos Åšt
( ) ( )
[A É + Åš - P ] cos Åšt = 0
( )
A É - Åš - P = 0
P N
A = = 0,16304
É - Åš m " rad
P 10 rad
´ = = = 0,01
k 1000 m
Åš
Å‚ = = 0,96885
É
A
ź = = 16,304
´
P
( ) ( ) ( )
x = C cos Ét + C sin Ét -
cos Åšt
É - Åš
ZakÅ‚adamy, że ÉH"Åš
Zakładamy zerowe warunki początkowe:
t=t0=0
x(0)=0
‹(0)=0
P
( ) ( ) ( )
‹ = -C É sin Ét + C É cos Ét - Åš sin Åšt
É - Åš
podstawienie zerowych warunków początkowych:
P P
0 = C + => C = - = -0,16304
É - Åš É - Åš
0 = C É => C = 0
( ) ( )
x = -0,16304 cos 16,514456 " t - 0,16304 cos 16,514456 " t
RozwiÄ…zanie graficzne:
P
( ) ( )
x = (cos Åšt - cos Ét )
É - Åš
P P P
= =
( )( )
É - Åš É - Åš É + Åš "É " 2É
( - Åš = "É
)
É
( )
É + Åš = 2É
É - Åš É + Åš "É
( ) ( ) ( )
cos Åšt - cos Ét = 2 sin t sin t H" 2 sin t sin Ét
2 2 2
P "É
( )
x = " 2 sin t sin Ét
"É " 2É 2
[ ( )] ( )
x = 0,32609 " sin 0,2572 " t sin 16,514456t
zalożność przemieszczenia od czasu x(t)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 5 10 15 20 25 30
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
t [s]
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
4
3
2
1
0
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
-1
-2
-3
-4
x
x
‹
Zjawisko rezonansu
ZaÅ‚ożenia: É=0, h=0
x + É x = cos (Åšt)
1000 3000
É = =
2
11
3 +
3
10 30
= =
2
11
3 +
3
x = x + x
( )
x = Atsin Ét
( ) ( )
x = Asin Ét + AtÉ cos Ét

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x = AÉ cos Ét + AÉ cos Ét - AtÉ sin Ét = 2AÉ cos Ét - AtÉ sin Ét

( ) ( ) ( ) ( )
2AÉ cos Ét - AtÉ sin Ét + É Atsin Ét = P cos Ét
( - P cos Ét = 0
) ( )
2AÉ
P
2AÉ - P = 0 => A = = 0,08257
2É
P P Ä„
( )
x = tsin Ét = tcos Ét -
2É 2É 2
P P Ä„
( )
x = tsin Ét = tcos 16,514456 " t -
2É 2É 2
zalożność przemieszczenia od czasu x(t)
2
1,5
1
0,5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,5
-1
-1,5
-2
t [s]
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
3
2
1
0
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
-1
-2
-3
x
x
‹
Rozpatruje pełne rozwiązanie:
c k P
x + 3 1 x + x = cos (Åšt)
1 1
m + m 3 m + m 3 m + m
2 3 2 3 2 3
x + 2hx + É x = cos (Åšt)
1 3
2h = =
2
11
3 +
3
1000 3000
É = =
2
11
3 +
3
10 30
= =
2
11
3 +
3
9 3000
h - É = - = -272,709 < 0 => tÅ‚umienie jest podkrytyczne
484 11
Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego
c k P
x + 3 1 x + x = cos (Åšt)
1 1
m + m 3 m + m 3 m + m
2 3 2 3 2 3
ma postać:
= + +
W praktyce przyjmujemy, że
( )
x = x = Bcos Śt + Ć
P N
B = = 0,001288
m " rad
( )
É - Åš + 4h Åš
30
P 11 rad
´ = = = 0,01
É 3000 m
11
Åš 330
"
Å‚ = = = 3,63318
É 5
3
2h
11
² = = = 0,01651
É
3000
11
² 1
ź = =
´ (1 - Å‚ ) + ² Å‚
2hÅš
Ć = arctg = -4,918 " 10 [rad]
É - Åš
( )
x = 0,001288 " cos 60 " t - 4,918 " 10
2
= = 0,10472 [ ]

µ(Å‚)
12
10
8
6
4
2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Å‚
µ