5. Granica i ciągłość funkcji
5.1. Granica funkcji
Definicja 5.1. Niech A Ä…" R, x0 " R. Punkt x0 jest punktem skupienia zbioru A wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje ciąg {xn} ą" A \ {x0} taki, że lim xn = x0.
n+"
Definicja 5.2 (Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech A będzie podzbiorem R. Niech
f : A - R będzie funkcją oraz niech x0 " R będzie punktem skupienia zbioru A. Mówimy,
że funkcja f ma granicę (właściwą) g " R w punkcie x0, jeśli

"µ > 0 "´ > 0 "x " A \ {x0} : |x0 - x| < ´ =Ò! |f(x) - g| < µ .
Piszemy wówczas lim f(x) = g lub f(x) - g.
--
xx0 xx0
Uwaga 5.1. W definicji granicy funkcji nic nie jest powiedziane o wartości funkcji f w punkcie
x0. Punkt x0 może nawet nie należeć do dziedziny funkcji, czyli funkcja może nawet nie być
określona w punkcie x0, a mieć w tym punkcie granicę.
Granica funkcji
Definicja 5.3 (Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech A będzie podzbiorem R. Niech
f : A - R będzie funkcją oraz niech x0 " R będzie punktem skupienia zbioru A. Mówimy,
że funkcja f ma granicę (właściwą) g " R w punkcie x0 " R, jeśli

"{xn} Ä…" A \ {x0} : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g .
n+" n+"
Piszemy wówczas lim f(x) = g lub f(x) - g.
--
xx0 xx0
Graficzna interpretacja granicy funkcji.
5.2. Ciągłość funkcji
Definicja 5.4 (Ciągłość funkcji w punkcie). Niech A ą" R, niech f : A - R będzie funkcją
oraz niech x0 " A (x0 nie musi być punktem skupienia zbioru A). Mówimy, że funkcja f jest
ciągła w punkcie x0 " R, jeśli

(Cauchy)
"µ > 0 "´ > 0 "x " A : |x - x0| < ´ =Ò! |f(x) - f(x0)| < µ .

(Heine)
"{xn} Ä…" A : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = f(x0) .
n+" n+"
Mówimy, że funkcja f jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Uwaga 5.2.  Można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny.
 Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie
granicę równą wartości.
 Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.
Uwaga
Funkcję f nazywamy ciągłą w x0, jeśli:
19
 jest okreÅ›lona w otoczeniu K(x0, ´) = {x " R : |x - x0| < ´} punktu x0,
 istnieje lim f(x),
xx0
 lim f(x) = f(x0).
xx0
Uwaga 5.3. Jeśli któryś z tych trzech wymienionych warunków nie zachodzi, to mówimy, że
funkcja jest nieciągła w x0.
Ilustracja graficzna ciągłości funkcji.
Wykres funkcji ciągłej (łącznie z punktami izolowanymi).
Wykres funkcji nie mającej granicy w x0 (nieciągłość typu skoku).
Wykres funkcji nieciągłej (nieciągłość typu luka).
Definicja 5.5. Funkcja f : A R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie zbioru A
(jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny).
1
Przykład 5.1. Funkcja f(x) = , x = 0 jest ciągła.

x
Jeśli x0 = 0 i {xn} jest ciągiem takim, że lim = x0, to

n"
1 1
lim f(xn) = lim = = f(x0).
n" n"
xn x0
Twierdzenie 5.1 (Ciągłość złożenia). Jeśli A, B ą" R oraz f : A - B i g : B - R są
funkcjami, to:
 jeśli f jest ciągła w x0 " A oraz g jest ciągła w y0 = f(x0) " B, to g ć% f jest ciągła w
x0;
 jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to g ć% f jest także funkcją ciągłą.
Twierdzenie 5.2 (O  arytmetyce granic funkcji). Jeśli A ą" R, x0 " R jest punktem
skupienia zbioru A, f1, f2 : A - R sÄ… funkcjami, lim f1(x) = g1 oraz lim f2(x) = g2, to:
xx0 xx0
1. lim |f1|(x) = |g1|;
xx0
2. lim (f1 Ä… f2)(x) = g1 Ä… g2;
xx0
3. lim (f1f2)(x) = g1g2;
xx0

f1 g1
4. lim (x) = , o ile g2 = 0 oraz dla x " A mamy f2(x) = 0;

xx0
f2 g2
f2(x)
g2
5. lim f1(x) = g1 , o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.
xx0
Twierdzenie 5.3. Jeśli A ą" R, x0 " A oraz f1, f2 : A - R są funkcjami ciągłymi w punk-
cie x0, to:
1. |f1| jest funkcją ciągłą w x0;
2. f1 ą f2 jest funkcją ciągłą w x0;
3. f1 · f2 jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… w x0;
f1
4. jest funkcją ciągłą w x0 (o ile f2(x0) = 0).

f2
Twierdzenie 5.4 (O trzech funkcjach). Niech f, g, h będą funkcjami rzeczywistymi określo-
nymi w pewnym sÄ…siedztwie S(x0, ´) = {x " R : 0 < |x - x0| < ´} punktu x0, tak że
zachodzą nierówności: f(x) g(x) h(x) oraz
lim f(x) = y0 i lim h(x) = y0,
xx0 xx0
20
to
lim g(x) = y0
xx0
Twierdzenie 5.5 (O ciągłości funkcji odwrotnej). Niech P jest przedziałem w R, a f :
P R jest funkcją ściśle monotoniczą i ciągłą. Wtedy funkcja odwrotna g : f(P ) P
jest ciągła.
5.3. Granice niewłaściwe
Definicja 5.6 (Granica niewłaściwa funkcji). Niech A ą" R oraz x0 " R jest punktem
skupienia zbioru A.
 Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy ego) +" w punkcie x0, jeśli

"M " R "´ > 0 "x " A \ {x0} : |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M .
 Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy ego) -" w punkcie x0, jeśli

"M " R "´ > 0 "x " A \ {x0} : |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M .
Definicja 5.7 (Granica niewłaściwa funkcji). Niech A ą" R oraz x0 " R jest punktem
skupienia zbioru A.
 Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) +" w punkcie x0, jeśli

"{xn} Ä…" A \ {x0} : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = +" .
n+" n+"
 Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) -" w punkcie x0, jeśli

"{xn} Ä…" A \ {x0} : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -" .
n+" n+"
Interpretacja graficzna granicy niewłaściwej w +" i -".
Definicja 5.8 (Granica funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech g " R oraz niech f : R -
R będzie funkcją oraz +" punktem skupienia dziedziny funkcji.
lim f(x) = g Ð!Ò!
x+"



 (Cauchy) "µ > 0 "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) - g < µ ,


 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - +" =Ò! f(xn) - g .
Definicja 5.9 (Granica funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech g " R oraz niech f : R -
R będzie funkcją oraz -" punktem skupienia dziedziny funkcji.
lim f(x) = g Ð!Ò!
x-"



 (Cauchy) "µ > 0 "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) - g < µ


 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - -" =Ò! f(xn) - g .
21
Definicja 5.10 (Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech f : R - R
będzie funkcją.
lim f(x) = +" Ð!Ò!
x+"

 (Cauchy) "N " R "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) N ,

 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - +" =Ò! f(xn) - +"
Granice niewłaściwe
Definicja 5.11 (Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech f : R - R
będzie funkcją.
lim f(x) = -" Ð!Ò!
x+"

 (Cauchy) "N " R "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) N ,

 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - +" =Ò! f(xn) - -"
Granice niewłaściwe
Definicja 5.12 (Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech f : R - R
będzie funkcją.
lim f(x) = +" Ð!Ò!
x-"

 (Cauchy) "N " R "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) N ,

 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - -" =Ò! f(xn) - +" .
Granice niewłaściwe
Definicja 5.13 (Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym). Niech f : R - R
będzie funkcją.
lim f(x) = -" Ð!Ò!
x-"

 (Cauchy) "N " R "M " R "x " R : x M =Ò! f(x) N ,

 (Heine) "{xn} Ä…" R : xn - -" =Ò! f(xn) - -" .
Granice niewłaściwe
Interpretacja graficzna granicy niewłaściwej funkcji w +" i -".
5.4. Granice jednostronne funkcji
Granice jednostronne funkcji
22
Definicja 5.14 (Granice prawostronna funkcji). Niech A ą" R, niech x0 będzie punktem
skupienia zbioru A )" (x0, +") oraz niech f : A - R będzie funkcją. Granicę prawostronną
funkcji f w punkcie x0 oznaczamy lim f(x) lub f(x+) i definiujemy jako
0
xx+
0
 (Cauchy)



"µ > 0 "´ > 0 "x " A )" (x0, +") : x - x0 ´ =Ò! f(x) - g < µ ,


 (Heine) "{xn} Ä…" A )" (x0, +") : xn - x0 =Ò! f(xn) - g .
Granice jednostronne funkcji
Definicja 5.15 (Granice lewostronna funkcji). Niech A ą" R, niech x0 będzie punktem
skupienia zbioru A )" (-", x0) oraz niech f : A - R będzie funkcją. Granicę lewostronną
funkcji f w punkcie x0 oznaczamy lim f(x) lub f(x-) i definiujemy jako
0
xx-
0
 (Cauchy)



"µ > 0 "´ > 0 "x " A )" (-", x0) : x - x0 ´ =Ò! f(x) - g < µ ,


 (Heine) "{xn} Ä…" A )" (-", x0) : xn - x0 =Ò! f(xn) - g .
Granice jednostronne funkcji
Uwaga 5.4. Granica funkcji f w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice
jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.
Interpretacja graficzna granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji
5.5. Ciągłość jednostronna funkcji
Ciągłość jednostronna funkcji
Definicja 5.16. Niech A ą" R oraz niech f : A - R będzie funkcją oraz niech x0 " A.
Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0 " R wtedy i tylko wtedy, gdy:
 (Cauchy)



"µ > 0 "´ > 0 "x " A : x " [x0, x0 + ´) =Ò! f(x) - f(x0) < µ ;


 (Heine) "{xn} Ä…" A )" [x0, +") : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = f(x0) .
n+" n+"
Ciągłość jednostronna funkcji
Definicja 5.17. Niech A ą" R oraz niech f : A - R będzie funkcją oraz niech x0 " A.
Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 " R wtedy i tylko wtedy, gdy:
 (Cauchy)



"µ > 0 "´ > 0 "x " A : x " (x0 - ´, x0] =Ò! f(x) - f(x0) < µ ;


 (Heine) "{xn} Ä…" A )" (-", x0] : lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = f(x0) .
n+" n+"
23
Ciągłość jednostronna funkcji
Przykład 5.2. Rozważmy funkcję f : R - R daną wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ -x + 1 dla x 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ Ä„
tg x dla 0 < x < ,
f(x) =
2
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„ Ä„
ôÅ‚
ół
x - dla x.
2 2
Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie x = 0 oraz prawostronnie ciągła w punkcie
Ä„
x = , ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie x = 0 oraz nie jest lewostronnie ciągła w
2
Ä„
punkcie x = . W pozostałych punktach x " R funkcja jest ciągła, a więc w szczególności
2
lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
Ciągłość jednostronna funkcji
Wykres funkcji z przykładu
Ciągłość jednostronna funkcji
Twierdzenie 5.6. Funkcja f : R ‡" A - R jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 " A wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
5.6. Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji
Punkty odosobnione
Definicja 5.18. Jeśli punkt x0 " Df jest punktem nieciągłości funkcji ciągłej f w sąsiedztwie
S(x0, ´), to punkt ten nazywamy punktem odosobnionym.
Definicja 5.19. Odosobnione punkty nieciągłości dzielimy na dwa rodzaje:
1. Punkty nieciągłości I rodzaju, tj. takie, w których istnieją granice jednostronne właściwe
(różne bądz
równe, ale różniące się od f(x0)).
2. Punkty nieciągłości II rodzaju, tj. takie gdy choć jedna z granic jednostronnych nie
istnieje lub jest granicą niewłaściwą.
Punkty odosobnione
Definicja 5.20. Jeśli punkt x0 jest punktem nieciągłości I rodzaju, przy czym
lim f(x) = lim f(x) = g = f(x0)

xx+ xx-
0 0
to mówimy, że funkcja f(x) ma w x0 nieciągłość usuwalną (nieciągłość typu luka).
Uwaga 5.5. Punkty nieciągłości bywają często mylone z punktami, który nie należą do dzie-
1
dziny funkcji. Dla przykładu funkcja f dana wzorem f(x) = , która jest określona w zbiorze
x
(-", 0) *" (0, +") jest ciągła (nie ma punktów nieciągłości), a więc z definicji punkt x0 = 0
nie może być jej punktem nieciągłości.
24
5.7. Granice specjalne
Granice specjalne
Å„Å‚
ôÅ‚ +" dla Ä… > 0,
òÅ‚
Twierdzenie 5.7 (Granice specjalne). 1. lim xÄ… = 1 dla Ä… = 0,
ôÅ‚
x+"
ół
0 dla Ä… < 0.
2. lim axxÄ… 0·" 0 dla a " (0, 1), Ä… 0.
=
x+"
0 0
sin x arc sin x
0 0
3. lim = 1 oraz lim = 1.
x0 x0
x x
1 1
1" "0
x x
4. lim (1 + x) = e, lim (1 + x) = 1.
x0 x+"
Granice specjalne
Twierdzenie 5.8. 1. Każdy wielomian w : R - R jest funkcją ciągłą.
2. Funkcja potęgowa (0, +") x - xą " R (ą " R) jest ciągła.
3. Funkcja wykładnicza (0, +") x - ax " R (a > 0) jest ciągła.
4. Funkcje trygonometryczne sin, cos, tg , ctg są ciągłe.
Granice specjalne
1-cosx
Przykład 5.3. Obliczmy granicę lim .
x2
x0
Ze wzoru cos 2Ä… = cos2 Ä… - sin2 Ä… = 1 - 2 sin2 Ä…, mamy dla 2Ä… = x
1 - cos x = 2 sin2 x, stÄ…d
2
2
x
2 sin2 x sin
1-cosx 1 1
2 2
lim = lim = lim = .
x
x2 x2 2 2
x0 x0 x0 2
5.8. Twierdzenie Weierstrassa
Twierdzenie Weierstrassa
Twierdzenie 5.9 (Weierstrassa). Jeśli A ą" R jest zbiorem zwartym (domkniętym i ograni-
czonym) oraz f : A - R jest funkcją ciągłą, to funkcja f osiąga swoje kresy, to znaczy
"x1, x2 " A "x " A : f(x1) f(x) f(x2).
Twierdzenie Weierstrassa
Interpretacja graficzna tw. Weierstrassa.
Twierdzenie Weierstrassa
Uwaga 5.6. Niech A ‚" R.
Największą liczbę ograniczającą zbiór z dołu nazywamy kresem dolnym (infinium) i ozna-
czamy symbolem inf A.
Najmniejszą liczbę ograniczającą zbiór z góry nazywamy kresem górnym (supremum) i
oznaczamy symbolem sup A.
Z twierdzenia Weierstrassa wynika zatem, że istnieją x1, x2 " A, takie że f(x1) = inf f(A)
oraz f(x2) = sup f(A).
25
5.9. Twierdzenie Darboux
Twierdzenie Darboux
Lemat 5.1. Jeśli A ą" R, x0 " A oraz funkcja f : A - R jest ciągła w punkcie x0, to:
1. jeÅ›li f(x0) > 0, to "´ > 0 "x " (x0 - ´, x0 + ´) : f(x) > 0;
2. jeÅ›li f(x0) < 0, to "´ > 0 "x " (x0 - ´, x0 + ´) : f(x) < 0.
Twierdzenie Darboux
Twierdzenie 5.10 (Darboux). JeÅ›li a < b, f : [a, b] - R jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä…, f(a)·f(b) < 0,
to
"c " (a, b) : f(c) = 0.
Twierdzenie Darboux
Interpretacja graficzna tw. Darboux.
Twierdzenie Darboux
Uwaga 5.7. Twierdzenie mówi, że funkcja ciągła na przedziale [a, b] i taka, że f(a) < 0 i
f(b) > 0 posiada pierwiastek w przedziale (a, b). Na tej własności opiera się, stosowana w
metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.
Twierdzenie Darboux
Wniosek 5.1 (własność Darboux). Jeśli a < b, f : [a, b] - R jest funkcją ciągłą, f(a) <
f(b) (odpowiednio f(a) > f(b)), to

"w " f(a), f(b) "c " (a, b) : f(c) = w
(odpowiednio

"w " f(b), f(a) "c " (a, b) : f(c) = w).
Twierdzenie Darboux
Interpretacja graficzna wł. Darboux.
26