6. Układy równań liniowych
Definicja 6.1. Układem równań liniowych nazywamy układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ a11x1 + ... + a1nxn = b1
òÅ‚
.........................................
ôÅ‚
ół
am1x1 + ... + amnxn = bm,
gdzie x1, ..., xn sÄ… niewiadomymi, zaÅ› aij, bi, gdzie i = 1, ..., m; j = 1, ....n sÄ… skalarami
ze zbioru K, gdzie K = R lub K = C.
Definicja 6.2. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg (x1, ..., xn) " Kn, który
spełnia ten układ.
Definicja 6.3. Skalary aij nazywają się współczynnikami układu równań.
Skalary b1, ..., bm nazywają się wyrazami wolnymi układu.
Definicja 6.4. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań nazywa się
jednorodnym. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny.
Definicja 6.5. Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej
Ax = b,
gdzie macierz A o m wierszach i n kolumnach
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A =
. . .
ïÅ‚ śł
. . .
ðÅ‚ . . . . . . ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
nazywa się macierzą współczynników.
Definicja 6.6. Macierze kolumnowe:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 x1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
· ·
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b = · , x = · .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
· ·
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
bm xn
nazywane są wektorem wyrazów wolnych oraz wektorem niewiadomych.
Twierdzenie 6.1 (Kroneckera Capellego). Układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wte-
dy, gdy
rkA = rk[A, b] = r,
gdzie [A, b] jest macierzą utworzoną z macierzy A przez dopisanie do niej kolumny wyrazów
wolnych.
Uwaga 6.1. Macierz [A, b] nazywa się macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu.
Definicja 6.7. Układy równań dzielimy na trzy typy ze względu na liczbę rozwiązań:
1. Układy sprzeczne, gdy układ nie ma rozwiązania:
rkA = rk[A, b].

14
2. Układy oznaczone, gdy mają dokładnie jedno rozwiązanie (jeden wektor x):
rkA = rk[A, b] = n
3. Układy nieoznaczone, gdy zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele rozwiązań (nie-
skończenie wiele wektorów x):
rkA = rk[A, b] = r < n.
Definicja 6.8. Układ równań, który posiada rozwiązanie (jedno lub więcej), nazywamy
układem zgodnym.
Definicja 6.9. Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
mają dokładnie taki sam zbiór rozwiązań.
Uwaga 6.2. Aby otrzymać układy równoważne, można wykonywać operacje elementarne
na układzie równań liniowych, które polegają na:
 przestawieniu dwóch dowolnych równań,
 pomnożeniu obu stron równania przez dowolny skalar różny od zera,
 dodaniu wielokrotności jednego równania do innego równania
Definicja 6.10. Metoda rozwiązywania układu równań, polegająca na sprowadzeniu go
do równoważnego układu schodkowego nosi nazwę metody eliminacji Gaussa.
Twierdzenie 6.2 (Cramera). Niech dany będzie układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ a11x1 + ... + a1nxn = b1,
òÅ‚
.......................................
ôÅ‚
ół
an1x1 + ... + annxn = bn,
taki że det A = 0 (macierz A jest kwadratowa!),

wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami
det Ai
xi = dla i = 1, ..., n,
det A
gdzie Ai jest macierzÄ… otrzymanÄ… z macierzy A przez zastÄ…pienie i tej kolumny kolumnÄ…
wyrazów wolnych.
Twierdzenie 6.3. Układ n równań liniowych jednorodnych
Ax = 0
ma rozwiÄ…zanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
det A = 0.
7. Wektory w przestrzeni
Definicja 7.1. Jeśli przez dowolny punkt O w przestrzeni poprowadzimy trzy wzajemnie
prostopadłe zorientowane osie Ox, Oy, Oz i na każdej z nich wprowadzimy skalę równomier-
ną, to układ tych trzech osi nazywamy ortokartezjańskim układem współrzędnych i oznaczamy
Oxyz.
Definicja 7.2. Każdemu punktowi P przestrzeni, w której wprowadzono układ Oxyz, przy-
porządkowana jest dokładnie jedna uporządkowana trójka liczb (xP , yP , zP ). Liczby te są
współrzędnymi rzutów prostokątnych punktu P na osie Ox, Oy, Oz. Nazywamy je współ-
rzędnymi punktu P w układzie Oxyz.
15
zP
P
yP
xP
Definicja 7.3. Niech P1(x1, y1, z1) i P2(x2, y2, z2) sÄ… dwoma dowolnymi punktami, wtedy
przez P1P2 będziemy oznaczać odcinek łączący te dwa punkty, którego długość d można
obliczyć ze wzoru:

d = d(P1P2) = d(P1, P2) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
-
-
Definicja 7.4. Wektorem o początku w P1 i końcu w P2, który oznaczamy P1P2, nazywamy
uporządkowaną parę punktów P1 i P2, wyznaczającej w danej przestrzeni odcinek skierowany,
co zapisujemy:
-
-
= P1P2
a
P2
a
P1
Definicja 7.5. Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego początek i koniec pokrywa

się z jego końcem i oznaczamy go przez 0
-
-
Definicja 7.6. Długością wektora = P1P2 nazywamy odległość punktów P1 i P2 i ozna-
a
czamy
-
-
= P1P2
a
-
-
Definicja 7.7. Współrzędnymi (składowymi) wektora = P1P2, gdzie P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),
a
nazywamy liczby
ax = x2 - x1, ay = y2 - y1, az = z2 - z1,
co zapisujemy
= [ax, ay, az].
a
16
Uwaga 7.1.

0 = [0, 0, 0]

= a2 + a2 + a2
a
x y z

Definicja 7.8. Dwa wektory = [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] nazywamy równymi, co zapisu-
a

jemy = b, jeśli
a
ax = bx, ay = by, az = bz.
Definicja 7.9. Wektorem swobodnym nazywamy wektor będący reprezentantem zbioru wek-
torów, mających ten sam kierunek, zwrot i długość.

Definicja 7.10. Sumą + b wektorów = [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] nazywamy wektor
a a
= [cx, cy, cz], taki że
c
= [ax + bx, ay + by, az + bz].
c
b
c a b
a
Własność 7.1 (sumy wektorów).

 + = b +
a b a
 ( + + = + ( +
a b) c a b c)

 + 0 =
a a
Definicja 7.11. Iloczynem  wektora = [ax, ay, az] i skalara  " R nazywamy taki
a a
wektor że
c,
= [ax, ay, az]
c
Własność 7.1.
 µ( = (µ = (µ) µ,  " R
a) a) a,
 ( + =  + 
a b) a b
 ( + µ) = a + µ
a a

Definicja 7.12. Dwa niezerowe wektory b nazywamy kolinearnymi (współliniowymi),
a,
jeżeli istnieje liczba rzeczywista ą " R, ą = 0, że


b = Ä…
a

Uwaga 7.2. Dla Ä… = -1 wektory i b sÄ… przeciwne, tzn. = -
a a b

Twierdzenie 7.1. Jeśli b = ą to = |ą|
a, b a
17
Twierdzenie 7.2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości dwóch wektorów

= [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] jest, aby
a

ax ay az
rk = 1
bx by bz
(proporcjonalność współrzędnych)

Definicja 7.13. Wersorem niezerowego wektora nazywamy wektor a" spełniający waru-
a
nek:

=
a a a".
Uwaga 7.3.

a" = 1 i a"
a
Definicja 7.14. Wektor, którego długość jest równa 1, nazywamy wektorem jednostkowym.
Definicja 7.15. Wersorami osi nazywamy wektory:

 i = [1, 0, 0] wersor osi Ox

 j = [0, 1, 0] wersor osi Oy

 k = [0, 0, 1] wersor osi Oz
Twierdzenie 7.3. Każdy wektor = [ax, ay, az] można przedstawić w postaci:
a
= ax + ay + az
a i j k.

Definicja 7.16. Kątem między wektorami i b nazywamy kąt określony na płaszczyz
nie
a
wyznaczonej przez te wektory, dla którego jego miara ( b) 180ć%
a,
Uwaga 7.4. Kąt uważamy za skierowany dodatnio, jeśli liczony jest zgodnie z ruchem wska-
zówek zegara. W przeciwnym przypadku mówimy, że kąt jest skierowany ujemnie i piszemy
go ze znakiem  - .
Rysunek
7.1. Iloczyn skalarny

Definicja 7.17. Iloczynem skalarnym b dwóch wektorów i b nazywamy liczbę określoną
ać% a
wzorem:
Å„Å‚
òÅ‚

b cos ( b), b = 0,
a a, a,
ć% =
a b
ół

0, = 0 (" b = 0.
a
Własność 7.2.

 ć% = b ć%
a b a
 ć% ( + = ć% + ć%
a b c) a b a c
 ( ć% = ( ć% = ć% (  " R
a b) a) b a b),
 ć% =
a a a 2
Uwaga 7.5.
"
 = ć%
a a a

 i ć% = j ć% j = k ć% k = 1
i


 i ć% j = i ć% k = j ć% k = 0
18

Twierdzenie 7.4. Iloczyn skalarny dwóch wektorów = [ax, ay, az] i b = [bx, by, bz] jest
a
równy:
ć% = axbx + ayby + azbz.
a b

Twierdzenie 7.5. 1. Wektor jest prostopadły do wektora b, co zapisujemy Ą" b wtedy
a a
i tylko wtedy, gdy ć% = 0.
a b

2. Cosinus kąta między wektorami i b wyraża się wzorem:
a
ć%
a b
cos ( b) =
a,
b
a
Definicja 7.18. KÄ…tami kierunkowymi wektora nazywamy kÄ…ty, jakie ten wektor tworzy
a
z osiami ukÅ‚adu Ox, Oy, Oz. Oznaczamy je odpowiednio Õx, Õy, Õz
Rysunek
Twierdzenie 7.6.
ć% ax
a i
 cos Õx = =
a
i
a

ć% j ay
a
 cos Õy = =

a
j
a

ć% k az
a
 cos Õz = =
a
k
a
Twierdzenie 7.7.
cosÕ + cos2 Õy + cos2 Õz = 1
x

Twierdzenie 7.8. Jeśli a" jest wersorem niezerowego wektora to:
a,

a" = [cos Õx, cos Õy, cos Õz]
7.2. Wektory liniowo niezależne
Definicja 7.19. Wektory . . . , nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją stałe
a1, a2, an
ą1, . . . , ąn, nierówne jednocześnie zeru, takie że:
Ä…1 + Ä…2 + . . . + Ä…n = 0.
a1 a2 an
W przypadku gdy takie wektory nie istnieją, wektory . . . , nazywamy liniowo niezależ-
a1, an
nymi.
Twierdzenie 7.9. Warunkiem koniecznym i wystarczającym kolinearności (współliniowości)
dwóch wektorów niezerowych jest ich liniowa zależność.
Definicja 7.20. Trzy wektory nazywamy komplanarnymi (współpłaszczyznowymi), jeśli są
równoległe do jednej płaszczyzny.
Twierdzenie 7.10. Warunkiem koniecznym i wystarczającym komplanarności trzech wek-
torów niezerowych jest ich liniowa zależność.
Twierdzenie 7.11. Układ trzech wektorów b, w przestrzeni R3 jest liniowo niezależny
a, c
wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik W ( b, utworzony ze współrzędnych tych wektorów
a, c),
jest różny od zera, tzn.


ax ay az


W ( b, = bx by bz = 0.
a, c)


cx cy cz
19
Uwaga 7.6. W przestrzeni R3 układ złożony z trzech wektorów może być liniowo zależny lub
liniowo niezależny, ale układ czterech wektorów w R3 musi być już liniowo zależny.
7.3. Orientacja przestrzeni
Definicja 7.21.
1. Znak wyznacznika W ( b, określa orientację uporządkowanej trójki wektorów w R3.
a, c)


2. Orientacja trójki wektorów ( b, jest zgodna z orientacją (a , b , c ) wtedy i tylko
a, c)
wtedy, gdy


sgnW ( b, = sgnW (a , b , c )
a, c)
3. Uporządkowana trójka wektorów ( b, ma w przestrzeni orientację dodatnią, jeżeli:
a, c)
W ( b, > 0,
a, c)
a ujemną, jeśli
W ( b, < 0.
a, c)
Przykład 7.1. Uporządkowana trójka wektorów ( i, ma orientację dodatnią, ponieważ
i, k)


1 0 0


W ( i, = 0 1 0 = 1 > 0
i, k)


0 0 1
Uwaga 7.7. Przez orientację przestrzeni R3 rozumieć będziemy orientację trójki wersorów
( i,
i, k).
7.4. Iloczyn wektorowy
Definicja 7.22. Iloczynem wektorowym b uporządkowanej pary dwóch niekolinearnych
a×

i niezerowych wektorów i b w przestrzeni zorientowanej nazywamy taki wektor = ×
a c a b,
który spełnia warunki:

1. Wektor jest prostopadły do każdego z wektorów i b.
c a
2. Wektor ma długość = b sin ( b).
c c a a,
3. Zwrot wektora jest taki, aby uporządkowana trójka wektorów ( b, miała orientację
c a, c)
zgodnÄ… z orientacjÄ… przestrzeni.
Jeśli wektory są kolinearne lub jeden z nich jest wektorem zerowym, to przyjmujemy, że

× = 0.
a b
Własność 7.3.
1. × = - ×
a b b a
2. × ( + = × + ×
a b c) a b a c
3. ( × = ( × = × (  " R
a b) a) b a b),

4. = Pf&, gdzie Pf& jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach i b
c a


5. i × j = k, k × = j, j × k = i
i


6. i × = j × j = k × k = 0
i

Twierdzenie 7.12. JeÅ›li = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz], to współrzÄ™dne wektora = × b
a c a
wyznaczamy ze wzoru:



i j k


= × =
c a b
ax ay az


bx by bz
Przykład 7.2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(-1, 2, 3), B(0, 4, 3), C(-1, 2, 1).
20
7.5. Iloczyn mieszany
Definicja 7.23. Iloczynem mieszanym ( uporządkowanej trójki wektorów ( b, w prze-
abc) a, c)
strzeni zorientowanej nazywamy liczbę ( określoną wzorem:
abc)
( = ( × Ä‡%
abc) a b) c

Twierdzenie 7.13. Jeżeli = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz] i = [cx, cy, cz], to iloczyn tych
a c
wektorów jest określony wzorem:


ax ay az


( = W ( b, = bx by bz
abc) a, c)


cx cy cz
Własność 7.4.
1. ( = ( = ( (przemienna cykliczność)
abc) bca) cab)
2. ( = -( = -(
abc) bac) acb)
3. ( × Ä‡% = ć% ( ×
a b) c a b c)
4. |( = Vr, gdzie Vr jest objętością równoległościanu rozpiętego na tych wektorach
abc)|
Twierdzenie 7.14. Warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym, aby trzy wektory niezerowe

b, były komplanarne jest, aby ich iloczyn mieszany był równy zeru, tzn.:
a, c


ax ay az


( = bx by bz = 0
abc)


cx cy cz
Przykład 7.3. Obliczyć objętość ostrosłupa (czworościanu) o wierzchołkach A(3, 1, 1), B(1, 4, 1),
C(1, 1, 7), D(3, 4, 9)
21